Mula sa paaralan, alam nating lahat ang panuntunan tungkol sa exponentiation: anumang numero na may exponent N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa sarili nitong N bilang ng beses. Sa madaling salita, ang 7 sa kapangyarihan ng 3 ay 7 na pinarami ng sarili nitong tatlong beses, iyon ay, 343. Ang isa pang tuntunin ay ang pagtaas ng anumang dami sa kapangyarihan ng 0 ay nagbibigay ng isa, at ang pagtaas ng negatibong dami ay resulta ng ordinaryong pagtaas sa ang kapangyarihan kung ito ay kahit na, at ang parehong resulta na may isang minus sign kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay din ng sagot sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang kinakailangang halaga sa pamamagitan ng modulus ng indicator sa karaniwang paraan, at pagkatapos ay hatiin ang yunit sa resulta.

Mula sa mga panuntunang ito ay nagiging malinaw na ang pagsasagawa ng mga tunay na gawain na kinasasangkutan ng malalaking dami ay mangangailangan ng pagkakaroon ng mga teknikal na paraan. Manu-manong maaari mong i-multiply sa iyong sarili ang isang maximum na hanay ng mga numero hanggang dalawampu't tatlumpu, at pagkatapos ay hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Ito ay hindi banggitin pagkatapos ay hatiin ang isa sa resulta. Samakatuwid, para sa mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin sa iyo kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa Excel.

Paglutas ng mga problema sa Excel

Upang malutas ang mga problemang kinasasangkutan ng exponentiation, pinapayagan ka ng Excel na gumamit ng isa sa dalawang opsyon.

Ang una ay ang paggamit ng isang formula na may karaniwang tanda na "takip". Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng worksheet:

Sa parehong paraan, maaari mong itaas ang nais na halaga sa anumang kapangyarihan - negatibo, fractional. Gawin natin ang mga sumusunod na hakbang at sagutin ang tanong kung paano itaas ang isang numero sa negatibong kapangyarihan. Halimbawa:

Maaari mong itama ang =B2^-C2 nang direkta sa formula.

Ang pangalawang opsyon ay ang paggamit ng yari na function na "Degree", na tumatagal ng dalawang kinakailangang argumento - isang numero at isang exponent. Upang simulan ang paggamit nito, ilagay lamang ang equal sign (=) sa anumang libreng cell, na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at ilagay ang mga salita sa itaas. Ang natitira na lang ay pumili ng dalawang cell na lalahok sa operasyon (o manu-manong tukuyin ang mga partikular na numero) at pindutin ang Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa.

			Formula	Resulta
			DEGREE(B2;C2)
			DEGREE(B3;C3)	0,002915

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan at sa isang regular na kapangyarihan gamit ang Excel. Pagkatapos ng lahat, upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang parehong pamilyar na simbolo ng "takip" at ang built-in na function ng programa, na madaling matandaan. Ito ay isang tiyak na plus!

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga halimbawa. Tandaan natin ang panuntunan tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong fractional power, at makikita natin na ang problemang ito ay napakadaling malutas sa Excel.

Fractional indicator

Sa madaling salita, ang algorithm para sa pagkalkula ng isang numero na may fractional exponent ay ang mga sumusunod.

1. I-convert ang isang fraction sa tamang o di-wastong fraction.
2. Itaas ang aming numero sa numerator ng resultang na-convert na fraction.
3. Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang exponent ng ugat ay ang denominator ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumang-ayon na kahit na gumagana sa maliit na mga numero at wastong mga fraction, ang mga naturang kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Mabuti na ang Excel spreadsheet processor ay walang pakialam kung anong numero ang itataas sa kung anong kapangyarihan. Subukang lutasin ang sumusunod na halimbawa sa isang worksheet ng Excel:

Gamit ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyakin na ang pagkalkula ay ginawa nang tama.

Sa dulo ng aming artikulo, ipapakita namin sa anyo ng isang talahanayan na may mga formula at mga resulta ng ilang mga halimbawa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, pati na rin ang ilang mga halimbawa ng pagpapatakbo gamit ang mga fractional na numero at kapangyarihan.

Halimbawang talahanayan

Tingnan ang mga sumusunod na halimbawa sa iyong Excel worksheet. Para gumana nang tama ang lahat, kailangan mong gumamit ng halo-halong sanggunian kapag kinokopya ang formula. Ayusin ang numero ng column na naglalaman ng numerong itinataas at ang numero ng row na naglalaman ng indicator. Dapat ganito ang hitsura ng iyong formula: “=$B4^C$3.”

Numero/Degree

Pakitandaan na ang mga positibong numero (kahit na hindi integer) ay maaaring kalkulahin nang walang mga problema para sa anumang exponent. Walang mga problema sa pagpapataas ng anumang mga numero sa mga integer. Ngunit ang pagtaas ng negatibong numero sa isang fractional na kapangyarihan ay magiging isang pagkakamali para sa iyo, dahil imposibleng sundin ang panuntunang ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtaas ng mga negatibong numero, dahil ang parity ay isang katangian na eksklusibo ng isang BUONG numero.

Unang antas

Degree at mga katangian nito. The Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kakailanganin? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, kung ano ang kailangan nila, at kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang kaalaman sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam o Unified State Exam at sa pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung nakikita mo ang gobbledygook sa halip na mga formula, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay isang mathematical operation tulad ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Ang bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakabuo sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

Anong iba pang matalinong trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sasabihin ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong iyon sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Natatandaan ng mga mathematician na ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay... At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag dito? parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na isang metro sa isang metro. Ang pool ay nasa iyong dacha. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Pero... walang ilalim ang pool! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang ilalim na lugar ng pool.

Maaari mo lamang kalkulahin sa pamamagitan ng pagturo ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro bawat metrong cube. Kung mayroon kang mga tile na isang metro sa isang metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Ngunit saan ka nakakita ng gayong mga tile? Ang tile ay malamang na magiging cm por cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri." Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool ay magkasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, masyadong, mga tile. I-multiply at makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool, pinarami namin ang parehong numero sa pamamagitan ng kanyang sarili? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil pina-multiply natin ang parehong numero, maaari nating gamitin ang "exponentiation" technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply ang mga ito o itaas sa isang power. Pero kung marami ka sa kanila, kung gayon ang pagtaas ng mga ito sa isang power ay mas madali at mas kaunti rin ang mga error sa mga kalkulasyon. Para sa Unified State Exam, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang sa ikalawang kapangyarihan ay magiging (). O maaari nating sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo: bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang mayroon sa chessboard gamit ang parisukat ng numero... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang kalkulahin ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo o... kung napansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may isang gilid, pagkatapos ay maaari mong kuwadrado ang walo. Makakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: ang ibaba ay isang metro ang laki at isang metro ang lalim, at subukang bilangin kung gaano karaming mga cube na sumusukat ng isang metro sa isang metro ay magkasya sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo...Ilan ang nakuha mo? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung pinasimple rin nila ito. Binawasan namin ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlong cubed ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito: .

Ang natitira na lang tandaan ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari kang magpatuloy sa pagbibilang gamit ang iyong daliri.

Buweno, upang sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga huminto at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyon na kinikita mo, kumikita ka ng isa pang milyon. Ibig sabihin, bawat milyon mayroon kang doble sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at... tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - ang dalawa ay pinarami ng dalawa ... sa ikalawang taon - ang nangyari, ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang kumpetisyon at ang pinakamabilis na mabibilang ay makakakuha ng mga milyun-milyong ito... Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga kapangyarihan ng mga numero, hindi ba?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, sa bawat milyong kinikita mo, kumikita ka pa ng dalawa. Ang galing di ba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply ng, pagkatapos ay ang resulta sa isa pa... Nakakabagot na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya sa pang-apat na kapangyarihan ito ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Terms and concepts... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan...

Well, at the same time, ano ganyang degree basis? Kahit na mas simple - ito ang numero na matatagpuan sa ibaba, sa base.

Narito ang isang guhit para sa mahusay na sukat.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan... Ang isang degree na may base na " " at isang exponent " " ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, ngunit ano ito natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga numerong iyon na ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo... Kapag nagbibilang tayo ng mga bagay, hindi natin sinasabing: “minus five,” “minus six,” “minus seven.” Hindi rin namin sinasabi: "one third", o "zero point five". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Anong mga numero sa tingin mo ang mga ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at numero. Ang zero ay madaling maunawaan - ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong (“minus”) na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila lumitaw, sa palagay mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila ng mga natural na numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero... Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, ito ay isang walang katapusang decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwirang numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang ibig sabihin ng pag-square ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nito:
3. Ang ibig sabihin ng pag-cube ng isang numero ay i-multiply ito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Ang pagpapataas ng isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng mga degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ito At ?

A-priory:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Napakasimple nito: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga salik, at ang resulta ay mga multiplier.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay: , na kung saan ay kung ano ang kailangan upang mapatunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

2. yun lang ika kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa kapangyarihan ng natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung tayo ay dumami, ito ay gumagana.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 na mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo tinatawag namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang " " sign) at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero power ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tanungin natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang natin ang ilang antas na may batayan. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa, at nakuha namin ang parehong bagay tulad ng dati - . Anong numero ang dapat mong i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa sarili mo, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero na kapangyarihan, dapat itong pantay. Kaya gaano ito katotoo? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Mag-move on na tayo. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama rin sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang negatibong kapangyarihan, gawin natin ang huling pagkakataon: i-multiply ang ilang normal na numero sa parehong numero sa isang negatibong kapangyarihan:

Mula rito, madaling ipahayag ang iyong hinahanap:

Ngayon palawakin natin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero na may negatibong kapangyarihan ay ang katumbas ng parehong numero na may positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras Ang base ay hindi maaaring null:(dahil hindi mo mahahati sa).

Ibuod natin:

I. Ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga problema para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, nakakatakot ang mga numero, ngunit sa Unified State Exam kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang mga solusyon kung hindi mo malutas ang mga ito at matututo kang makayanan ang mga ito nang madali sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong “angkop” bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang natin mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng bagay na maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, at.

Upang maunawaan kung ano ito "fractional degree", isaalang-alang ang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan natin ang tuntunin tungkol sa "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika kapangyarihan ay ang kabaligtaran na operasyon ng pagtaas sa isang kapangyarihan: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawakin: .

Ngayon idagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan natin ang panuntunan: anumang numerong itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang kahit na mga ugat mula sa mga negatibong numero!

Nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring katawanin sa anyo ng iba, mababawasan na mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, ngunit ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit kung iba ang isusulat natin sa indicator, muli tayong magkakaproblema: (iyon ay, nakakuha tayo ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang namin tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• - integer;

Mga halimbawa:

Ang mga rational exponents ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa sa pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon ay dumating ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay aalamin natin ito degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban

Pagkatapos ng lahat, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...numero sa zeroth power- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko na numero" lamang. , ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer degree- parang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami sa sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matututo kang lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa karaniwang tuntunin para sa pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. Wala ba siyang naaalala sayo? Alalahanin natin ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Binabawasan namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng degree

Ang degree ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na indicator (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Degree na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

Konstruksyon sa zero degree:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil hindi mo mahahati sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

• - natural na numero;
• - integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng mga degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan Kailangan dapat may parehong dahilan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga kapangyarihan sa base, ngunit nananatili itong isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa produkto ng mga kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon ay hindi mo maisusulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng degree:

Ipangkat muli natin ang gawaing ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng sarili nitong beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa esensya, ito ay matatawag na "pag-alis ng indicator sa mga bracket." Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan: !

Alalahanin natin ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami: ilang beses natin gustong sumulat? Ngunit ito ay hindi totoo, pagkatapos ng lahat.

Power na may negatibong base.

Hanggang dito na lang napag-usapan kung ano ang dapat index degrees. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa kapangyarihan ng natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang mga numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, ang bilang ba ay positibo o negatibo? A? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Naaalala namin ang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng - .

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami ay magbabago ang tanda. Ang mga sumusunod na simpleng patakaran ay maaaring mabuo:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5) ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: pagkatapos ng lahat, hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Hindi pantay ang base, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan natin iyan, nagiging malinaw na, ibig sabihin ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago natin tingnan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga expression:

Mga solusyon :

Kung papansinin natin ang ikawalong kapangyarihan, ano ang makikita natin dito? Alalahanin natin ang programa sa ika-7 baitang. So, naalala mo ba? Ito ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Tingnan nating mabuti ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Mali ang pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano? Lumalabas na napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay nakakatulong sa atin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ito ay naging ganito:

Magically nagbago ang mga termino. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa isang pantay na antas: madali nating mababago ang mga palatandaan sa panaklong. Ngunit mahalagang tandaan: Ang lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras! Hindi mo ito mapapalitan sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang kawalan lamang na hindi namin gusto!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin ito:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Ilang titik ang kabuuan? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang ipinaaalala nito sa iyo? Ito ay walang iba kundi isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: May mga multiplier lang doon. Iyon ay, ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang exponent. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga rational na numero).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational exponents, sa bawat oras na gumawa kami ng partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang isang degree na may natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero na kapangyarihan ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nila sinimulan na i-multiply ito, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay tiyak na "blangko na numero", ibig sabihin ay isang numero; isang degree na may integer na negatibong exponent - para bang may naganap na "reverse process", iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Ito ay sa halip ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan natin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Binabawasan namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, ginagamit namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT MGA BATAYANG FORMULA

Degree tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

isang degree na ang exponent ay isang natural na numero (ibig sabihin, integer at positibo).

Kapangyarihan na may makatwirang exponent

degree, ang exponent nito ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

isang degree na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng mga degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang antas ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON IKAW NA ANG SALITA...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa ibaba sa mga komento kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa paggamit ng mga katangian ng degree.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

ay matatagpuan gamit ang multiplikasyon. Halimbawa: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ang ganitong pagpapahayag ay sinasabing ang kabuuan ng pantay na mga termino ay nakatiklop sa isang produkto. At sa kabaligtaran, kung babasahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito mula kanan hanggang kaliwa, makikita natin na pinalawak natin ang kabuuan ng mga katumbas na termino. Katulad nito, maaari mong i-collapse ang produkto ng ilang pantay na salik 5x5x5x5x5x5=5 6.

Iyon ay, sa halip na i-multiply ang anim na magkaparehong salik na 5x5x5x5x5x5, isinusulat nila ang 5 6 at sinasabing "lima hanggang ikaanim na kapangyarihan."

Ang expression na 5 6 ay isang kapangyarihan ng isang numero, kung saan:

5 - base ng degree;

6 - exponent.

Ang mga aksyon kung saan ang produkto ng pantay na mga kadahilanan ay nabawasan sa isang kapangyarihan ay tinatawag pagtataas sa isang kapangyarihan.

Sa pangkalahatan, ang isang degree na may base na "a" at exponent "n" ay nakasulat bilang mga sumusunod

Ang pagtaas ng bilang a sa kapangyarihan n ay nangangahulugan ng paghahanap ng produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a

Kung ang base ng degree na "a" ay katumbas ng 1, ang halaga ng degree para sa anumang natural na numero n ay magiging katumbas ng 1. Halimbawa, 1 5 =1, 1 256 =1

Kung itataas mo ang bilang na "a" sa unang degree, pagkatapos ay makuha natin ang numero mismo: a 1 = a

Kung magtataas ka ng anumang numero sa zero degree, pagkatapos bilang resulta ng mga kalkulasyon ay nakakakuha kami ng isa. a 0 = 1

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay itinuturing na espesyal. Nakabuo sila ng mga pangalan para sa kanila: ang pangalawang degree ay tinatawag parisukat ang numero, pangatlo - kubo itong numero.

Anumang numero ay maaaring itaas sa isang kapangyarihan - positibo, negatibo o zero. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na patakaran ay hindi nalalapat:

Kapag nahanap ang kapangyarihan ng isang positibong numero, ang resulta ay isang positibong numero.

Kapag kinakalkula ang zero sa natural na kapangyarihan, makakakuha tayo ng zero.

x m · x n = x m + n

halimbawa: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong base Hindi namin binabago ang base, ngunit ibawas ang mga exponent:

x m / x n = x m - n , Saan, m > n,

halimbawa: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Kapag nagkalkula pagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan Hindi namin binabago ang base, ngunit i-multiply ang mga exponents sa bawat isa.

(sa m ) n = y m n

halimbawa: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

halimbawa:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ayon sa pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan itinataas natin ang numerator at denominator ng fraction sa isang ibinigay na kapangyarihan

(x/y)n = x n / y n

halimbawa: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon kapag nagtatrabaho sa mga expression na naglalaman ng isang degree.

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ng mga expression na walang panaklong, ngunit naglalaman ng mga kapangyarihan, una sa lahat, nagsasagawa sila ng exponentiation, pagkatapos ay pagpaparami at paghahati, at pagkatapos lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang expression na naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay gawin muna ang mga kalkulasyon sa mga bracket sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig sa itaas, at pagkatapos ay ang natitirang mga aksyon sa parehong pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.

Napakalawak sa mga praktikal na kalkulasyon, ang mga handa na talahanayan ng mga kapangyarihan ay ginagamit upang pasimplehin ang mga kalkulasyon.

Ito ay malinaw na ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito nang sunud-sunod sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2.
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds pantay na kapangyarihan ng magkatulad na mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay katumbas ng 5a 2.

Halata rin na kung kukuha ka ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable At iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat na binubuo sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3.

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi katumbas ng dalawang beses na parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay isang 3 b n + 3a 5 b 6.

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng mga subtrahends ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring paramihin, tulad ng iba pang mga dami, sa pamamagitan ng pagsusulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o walang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng a 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng magkaparehong mga variable.
Ang ekspresyon ay kukuha ng anyo: a 5 b 5 y 3.

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng halaga antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa isang n , ang a ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng kapangyarihan ng n;

At ang isang m ay kinuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

kaya naman, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring paramihin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponents ng mga kapangyarihan.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung i-multiply mo ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero na nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degrees.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dibisyon ng mga degree

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero, sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa dibidendo, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa fraction form.

Kaya, ang isang 3 b 2 na hinati sa b 2 ay katumbas ng isang 3.

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati sa 3 ay mukhang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Totoo rin ang panuntunan para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2.
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents ng $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent ng $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 /a 3 at a -3 /a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay a -2 ang unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 /5a 7 at 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Nalaman namin kung ano talaga ang kapangyarihan ng isang numero. Ngayon kailangan nating maunawaan kung paano kalkulahin ito nang tama, i.e. itaas ang mga numero sa kapangyarihan. Sa materyal na ito susuriin natin ang mga pangunahing panuntunan para sa pagkalkula ng mga degree sa kaso ng integer, natural, fractional, rational at irrational exponents. Ang lahat ng mga kahulugan ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang konsepto ng exponentiation

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan 1

Exponentiation- ito ang pagkalkula ng halaga ng kapangyarihan ng isang tiyak na numero.

Iyon ay, ang mga salitang "pagkalkula ng halaga ng isang kapangyarihan" at "pagtaas sa isang kapangyarihan" ay nangangahulugan ng parehong bagay. Kaya, kung ang problema ay nagsasabing "Itaas ang numero 0, 5 sa ikalimang kapangyarihan," dapat itong maunawaan bilang "kalkulahin ang halaga ng kapangyarihan (0, 5) 5.

Ngayon ipinakita namin ang mga pangunahing patakaran na dapat sundin kapag gumagawa ng mga naturang kalkulasyon.

Tandaan natin kung ano ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent. Para sa isang kapangyarihan na may base a at exponent n, ito ang magiging produkto ng ika-n bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ito ay maaaring isulat tulad nito:

Upang kalkulahin ang halaga ng isang degree, kailangan mong magsagawa ng pagkilos ng pagpaparami, iyon ay, i-multiply ang mga base ng degree sa tinukoy na bilang ng beses. Ang mismong konsepto ng isang degree na may natural na exponent ay batay sa kakayahang mabilis na dumami. Magbigay tayo ng mga halimbawa.

Halimbawa 1

Kundisyon: itaas - 2 sa kapangyarihan 4.

Solusyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Susunod, kailangan lang nating sundin ang mga hakbang na ito at makakuha ng 16.

Kumuha tayo ng isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang halaga 3 2 7 2

Solusyon

Ang entry na ito ay maaaring muling isulat bilang 3 2 7 · 3 2 7 . Noong nakaraan, tiningnan namin kung paano tama na i-multiply ang mga pinaghalong numero na binanggit sa kondisyon.

Gawin natin ang mga hakbang na ito at makuha ang sagot: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Kung ang problema ay nagpapahiwatig ng pangangailangan na itaas ang hindi makatwiran na mga numero sa isang natural na kapangyarihan, kakailanganin muna nating bilugan ang kanilang mga base sa digit na magbibigay-daan sa amin upang makakuha ng sagot ng kinakailangang katumpakan. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Halimbawa 3

Gawin ang parisukat ng π.

Solusyon

Una, bilugan natin ito sa hundredths. Pagkatapos π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Kung π ≈ 3. 14159, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mas tumpak na resulta: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Tandaan na ang pangangailangan upang kalkulahin ang mga kapangyarihan ng mga hindi makatwirang numero ay lumitaw na medyo bihira sa pagsasanay. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sagot bilang ang kapangyarihan (ln 6) 3 mismo, o i-convert kung maaari: 5 7 = 125 5 .

Hiwalay, dapat itong ipahiwatig kung ano ang unang kapangyarihan ng isang numero. Dito mo lamang maaalala na ang anumang numero na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatili mismo:

Ito ay malinaw mula sa pag-record .

Hindi ito nakasalalay sa batayan ng antas.

Halimbawa 4

Kaya, (− 9) 1 = − 9, at 7 3 na itinaas sa unang kapangyarihan ay mananatiling katumbas ng 7 3.

Para sa kaginhawahan, susuriin namin ang tatlong kaso nang hiwalay: kung ang exponent ay isang positive integer, kung ito ay zero at kung ito ay isang negatibong integer.

Sa unang kaso, ito ay kapareho ng pagtaas sa isang natural na kapangyarihan: pagkatapos ng lahat, ang mga positibong integer ay nabibilang sa hanay ng mga natural na numero. Napag-usapan na natin sa itaas ang tungkol sa kung paano magtrabaho sa gayong mga degree.

Ngayon tingnan natin kung paano tama na itaas sa zero na kapangyarihan. Para sa isang base maliban sa zero, ang kalkulasyong ito ay palaging naglalabas ng 1. Nauna naming ipinaliwanag na ang 0th power ng isang ay maaaring tukuyin para sa anumang tunay na numero na hindi katumbas ng 0, at isang 0 = 1.

Halimbawa 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - hindi tinukoy.

Natitira na lang sa amin ang case ng isang degree na may integer negative exponent. Napag-usapan na natin na ang mga naturang degree ay maaaring isulat bilang isang fraction 1 a z, kung saan ang a ay anumang numero, at z ay isang negatibong integer. Nakikita namin na ang denominator ng fraction na ito ay hindi hihigit sa isang ordinaryong kapangyarihan na may positibong integer exponent, at natutunan na namin kung paano kalkulahin ito. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga gawain.

Halimbawa 6

Itaas ang 3 sa kapangyarihan - 2.

Solusyon

Gamit ang kahulugan sa itaas, isinusulat natin ang: 2 - 3 = 1 2 3

Kalkulahin natin ang denominator ng fraction na ito at makuha ang 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Kung gayon ang sagot ay: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Halimbawa 7

Itaas ang 1.43 sa -2 na kapangyarihan.

Solusyon

Mag-reformulate tayo: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Kinakalkula namin ang parisukat sa denominator: 1.43·1.43. Ang mga desimal ay maaaring i-multiply sa ganitong paraan:

Bilang resulta, nakuha namin ang (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Ang kailangan lang nating gawin ay isulat ang resultang ito sa anyo ng isang ordinaryong fraction, kung saan kailangan nating i-multiply ito ng 10 thousand (tingnan ang materyal sa pag-convert ng mga fraction).

Sagot: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Ang isang espesyal na kaso ay pagtataas ng isang numero sa minus unang kapangyarihan. Ang halaga ng antas na ito ay katumbas ng kapalit ng orihinal na halaga ng base: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Halimbawa 8

Halimbawa: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Paano itaas ang isang numero sa isang fractional na kapangyarihan

Upang maisagawa ang naturang operasyon, kailangan nating tandaan ang pangunahing kahulugan ng isang degree na may fractional exponent: a m n = a m n para sa anumang positibong a, integer m at natural n.

Kahulugan 2

Kaya, ang pagkalkula ng isang fractional na kapangyarihan ay dapat isagawa sa dalawang hakbang: pagtaas sa isang integer na kapangyarihan at paghahanap ng ugat ng ika-n na kapangyarihan.

Mayroon tayong pagkakapantay-pantay a m n = a m n , na kung saan, isinasaalang-alang ang mga katangian ng mga ugat, ay karaniwang ginagamit upang malutas ang mga problema sa anyo a m n = a n m . Nangangahulugan ito na kung itataas natin ang isang numero a sa isang fractional power m / n, pagkatapos ay kukunin muna natin ang ika-n ugat ng a, pagkatapos ay itataas natin ang resulta sa isang kapangyarihan na may integer exponent m.

Ilarawan natin sa isang halimbawa.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang 8 - 2 3 .

Solusyon

Paraan 1: Ayon sa pangunahing kahulugan, maaari nating katawanin ito bilang: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Ngayon kalkulahin natin ang antas sa ilalim ng ugat at kunin ang ikatlong ugat mula sa resulta: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Paraan 2. Baguhin ang pangunahing pagkakapantay-pantay: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Pagkatapos nito, kinukuha namin ang ugat 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 at parisukat ang resulta: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Nakikita namin na ang mga solusyon ay magkapareho. Magagamit mo ito sa anumang paraan na gusto mo.

May mga kaso kapag ang degree ay may indicator na ipinahayag bilang isang mixed number o isang decimal fraction. Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, mas mahusay na palitan ito ng isang ordinaryong fraction at kalkulahin tulad ng ipinahiwatig sa itaas.

Halimbawa 10

Itaas ang 44, 89 sa kapangyarihan ng 2, 5.

Solusyon

Ibahin natin ang halaga ng indicator sa isang ordinaryong fraction - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Ngayon ginagawa namin sa pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga aksyon na nakasaad sa itaas: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 12 = 13000 = 67 10 5 = 12 = 13000 501, 25107

Sagot: 13 501, 25107.

Kung ang numerator at denominator ng isang fractional exponent ay naglalaman ng malalaking numero, kung gayon ang pagkalkula ng mga naturang exponent na may rational exponent ay isang mahirap na trabaho. Karaniwang nangangailangan ito ng teknolohiya ng computer.

Magkahiwalay nating talakayin ang mga kapangyarihang may zero base at fractional exponent. Ang isang pagpapahayag ng anyo na 0 m n ay maaaring bigyan ng sumusunod na kahulugan: kung m n > 0, pagkatapos ay 0 m n = 0 m n = 0; kung m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Paano itaas ang isang numero sa isang hindi makatwirang kapangyarihan

Ang pangangailangan upang kalkulahin ang halaga ng isang kapangyarihan na ang exponent ay isang hindi makatwirang numero ay hindi lumabas nang madalas. Sa pagsasagawa, ang gawain ay karaniwang limitado sa pagkalkula ng isang tinatayang halaga (hanggang sa isang tiyak na bilang ng mga decimal na lugar). Karaniwan itong kinakalkula sa isang computer dahil sa pagiging kumplikado ng naturang mga kalkulasyon, kaya hindi namin ito tatalakayin nang detalyado, ipahiwatig lamang namin ang mga pangunahing probisyon.

Kung kailangan nating kalkulahin ang halaga ng isang power a na may hindi makatwirang exponent a, pagkatapos ay kukunin natin ang decimal approximation ng exponent at mabibilang mula dito. Ang resulta ay isang tinatayang sagot. Kung mas tumpak ang pagtatantya ng decimal, mas tumpak ang sagot. Ipakita natin sa isang halimbawa:

Halimbawa 11

Kalkulahin ang tinatayang halaga ng 21, 174367....

Solusyon

Limitahan natin ang ating sarili sa decimal approximation a n = 1, 17. Magsagawa tayo ng mga kalkulasyon gamit ang numerong ito: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Kung kukunin natin, halimbawa, ang approximation a n = 1, 1743, kung gayon ang sagot ay magiging mas tumpak ng kaunti: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter