Mga expression sa matematika (mga formula) pinaikling multiplikasyon(ang parisukat ng kabuuan at pagkakaiba, ang kubo ng kabuuan at pagkakaiba, ang pagkakaiba ng mga parisukat, ang kabuuan at pagkakaiba ng mga cube) ay lubhang hindi mapapalitan sa maraming lugar ng mga eksaktong agham. Ang 7 character na entry na ito ay hindi maaaring palitan kapag pinasimple ang mga expression, paglutas ng mga equation, pagpaparami ng polynomial, pagbabawas ng mga fraction, paglutas ng mga integral at marami pa. Kaya't ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang upang malaman kung paano sila nakuha, para saan ang mga ito, at higit sa lahat, kung paano matandaan ang mga ito at pagkatapos ay ilapat ang mga ito. Tapos nag-a-apply pinaikling mga pormula ng pagpaparami sa pagsasagawa, ang pinakamahirap na bagay ay ang makita kung ano X at kung ano ang mayroon. Malinaw na walang mga paghihigpit sa a at b hindi, na nangangahulugang maaari itong maging anumang numeric o literal na expression.
At kaya narito sila:
Una x 2 - sa 2 = (x - y) (x + y).Upang makalkula pagkakaiba ng mga parisukat dalawang expression, kinakailangang i-multiply ang mga pagkakaiba ng mga expression na ito sa kanilang mga kabuuan.
Pangalawa (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Hanapin kabuuan squared dalawang expression, kailangan mong idagdag sa parisukat ng unang expression nang dalawang beses ang produkto ng unang expression ng pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.
Pangatlo (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Upang makalkula pinagkaiba squared dalawang expression, kailangan mong ibawas mula sa parisukat ng unang expression nang dalawang beses ang produkto ng unang expression ng pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang expression.
Pang-apat (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + sa 3. Upang makalkula sum cube dalawang expression, kailangan mong idagdag sa cube ng unang expression ng tatlong beses ang produkto ng square ng unang expression at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang square ng pangalawa, kasama ang cube ng pangalawang pagpapahayag.
Panglima (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - sa 3. Upang makalkula pagkakaiba cube dalawang expression, kinakailangang ibawas mula sa kubo ng unang expression ng tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression sa pamamagitan ng pangalawa at tatlong beses ang produkto ng unang expression at ang parisukat ng pangalawa minus ang kubo ng pangalawa pagpapahayag.
pang-anim x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Upang makalkula kabuuan ng mga cube dalawang expression, kailangan mong i-multiply ang mga kabuuan ng una at pangalawang expression sa hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga expression na ito.
ikapito x 3 - sa 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Para gumawa ng kalkulasyon mga pagkakaiba sa kubo dalawang expression, kinakailangang i-multiply ang pagkakaiba ng una at pangalawang expression sa hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ng mga expression na ito.
Hindi mahirap tandaan na ang lahat ng mga formula ay ginagamit upang gumawa ng mga kalkulasyon sa kabaligtaran ng direksyon (mula kanan hanggang kaliwa).
Ang pagkakaroon ng mga regular na ito ay kilala mga 4 na libong taon na ang nakalilipas. Sila ay malawakang ginagamit ng mga naninirahan sa sinaunang Babilonya at Ehipto. Ngunit sa mga panahong iyon sila ay ipinahayag sa salita o geometrically at hindi gumagamit ng mga titik sa mga kalkulasyon.
Pag-aralan natin sum square proof(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Ito pagiging regular ng matematika pinatunayan ang sinaunang siyentipikong Griyego na si Euclid, na nagtrabaho sa Alexandria noong ika-3 siglo BC, ginamit niya ang geometriko na pamamaraan ng pagpapatunay ng pormula para dito, dahil ang mga siyentipiko ng sinaunang Hellas ay hindi gumagamit ng mga titik upang tukuyin ang mga numero. Hindi "a 2" ang ginamit nila sa lahat ng dako, ngunit "parisukat sa segment a", hindi "ab", ngunit "parihaba na nakapaloob sa pagitan ng mga segment a at b".
Ginagamit ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon (FSU) upang i-exponentiate at i-multiply ang mga numero at expression. Kadalasan ang mga formula na ito ay nagpapahintulot sa iyo na gumawa ng mga kalkulasyon nang mas compact at mabilis.
Sa artikulong ito, ililista namin ang mga pangunahing formula para sa pinaikling multiplikasyon, igrupo ang mga ito sa isang talahanayan, isaalang-alang ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito, at talakayin din ang mga prinsipyo ng pagpapatunay ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sa unang pagkakataon, ang paksa ng FSU ay isinasaalang-alang sa loob ng kursong "Algebra" para sa ika-7 baitang. Nasa ibaba ang 7 pangunahing formula.
Mga pinaikling pormula ng pagpaparami
- sum square formula: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- pagkakaiba ng square formula: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- sum cube formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- formula ng cube ng pagkakaiba: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- formula para sa kabuuan ng mga cube: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- formula ng pagkakaiba ng cube: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Ang mga titik a, b, c sa mga expression na ito ay maaaring maging anumang numero, variable o expression. Para sa kadalian ng paggamit, mas mahusay na matutunan ang pitong pangunahing mga formula sa pamamagitan ng puso. Binubuod namin ang mga ito sa isang talahanayan at ibigay ang mga ito sa ibaba, na binibilog ang mga ito ng isang kahon.
Hinahayaan ka ng unang apat na formula na kalkulahin, ayon sa pagkakabanggit, ang parisukat o kubo ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang expression.
Kinakalkula ng ikalimang formula ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga expression sa pamamagitan ng pagpaparami ng kanilang kabuuan at pagkakaiba.
Ang ikaanim at ikapitong formula ay, ayon sa pagkakabanggit, ang multiplikasyon ng kabuuan at pagkakaiba ng mga expression sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba at ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan.
Ang pinaikling pormula ng pagpaparami ay tinatawag ding pinaikling mga pagkakakilanlan ng pagpaparami. Ito ay hindi nakakagulat, dahil ang bawat pagkakapantay-pantay ay isang pagkakakilanlan.
Kapag nilulutas ang mga praktikal na halimbawa, ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami ay kadalasang ginagamit na may muling pagkakaayos sa kaliwa at kanang bahagi. Ito ay lalong maginhawa kapag nagsasaliksik ng isang polynomial.
Mga karagdagang pinaikling formula ng multiplikasyon
Hindi namin lilimitahan ang aming sarili sa kursong ika-7 baitang sa algebra at magdagdag ng ilan pang mga formula sa aming talahanayan ng FSU.
Una, isaalang-alang ang binomial formula ni Newton.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Narito ang C n k ay ang binomial coefficients na nasa linyang numero n sa tatsulok ng pascal. Ang mga binomial coefficient ay kinakalkula ng formula:
C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !
Tulad ng makikita mo, ang FSU para sa parisukat at kubo ng pagkakaiba at ang kabuuan ay isang espesyal na kaso ng binomial na formula ng Newton para sa n=2 at n=3, ayon sa pagkakabanggit.
Ngunit paano kung mayroong higit sa dalawang termino sa kabuuan na itataas sa isang kapangyarihan? Ang formula para sa parisukat ng kabuuan ng tatlo, apat o higit pang termino ay magiging kapaki-pakinabang.
isang 1 + isang 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Ang isa pang formula na maaaring magamit ay ang formula para sa pagkakaiba ng ika-n na kapangyarihan ng dalawang termino.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Ang formula na ito ay karaniwang nahahati sa dalawang formula - ayon sa pagkakabanggit para sa kahit at kakaibang degree.
Para sa even exponents 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2
Para sa mga kakaibang exponent 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m
Ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at ang pagkakaiba ng mga cube, nahulaan mo, ay mga espesyal na kaso ng formula na ito para sa n = 2 at n = 3, ayon sa pagkakabanggit. Para sa pagkakaiba ng mga cube, ang b ay pinalitan din ng - b .
Paano basahin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon?
Ibibigay namin ang naaangkop na mga formulation para sa bawat formula, ngunit una naming haharapin ang prinsipyo ng pagbabasa ng mga formula. Ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay sa pamamagitan ng isang halimbawa. Kunin natin ang pinakaunang formula para sa parisukat ng kabuuan ng dalawang numero.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
Sabi nila: ang parisukat ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng parisukat ng unang expression, dalawang beses ang produkto ng mga expression at ang parisukat ng pangalawang expression.
Ang lahat ng iba pang mga formula ay binabasa nang katulad. Para sa squared difference a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 isinusulat namin:
ang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga expression na ito na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng una at pangalawang expression.
Basahin natin ang formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Ang cube ng kabuuan ng dalawang expression a at b ay katumbas ng kabuuan ng mga cube ng mga expression na ito, tatlong beses ang produkto ng parisukat ng unang expression at ang pangalawa, at tatlong beses ang produkto ng square ng pangalawang expression at ang unang pagpapahayag.
Nagpapatuloy kami sa pagbabasa ng formula para sa pagkakaiba ng mga cube a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Ang cube ng pagkakaiba ng dalawang expression a at b ay katumbas ng cube ng unang expression na binawasan ng tatlong beses ang square ng unang expression at ang pangalawa, kasama ang tatlong beses ang square ng pangalawang expression at ang unang expression, minus ang cube ng pangalawang ekspresyon.
Ang ikalimang formula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (pagkakaiba ng mga parisukat) ay nagbabasa ng mga sumusunod: ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan ng dalawang expression.
Ang mga ekspresyong tulad ng a 2 + a b + b 2 at a 2 - a b + b 2 para sa kaginhawahan ay tinatawag, ayon sa pagkakabanggit, ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan at ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba.
Sa pag-iisip na ito, ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ay binabasa tulad ng sumusunod:
Ang kabuuan ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng mga expression na ito at ang hindi kumpletong parisukat ng kanilang pagkakaiba.
Ang pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga expression na ito sa pamamagitan ng hindi kumpletong parisukat ng kanilang kabuuan.
Katibayan ng FSU
Ang pagpapatunay ng FSU ay medyo simple. Batay sa mga katangian ng pagpaparami, isasagawa namin ang pagpaparami ng mga bahagi ng mga formula sa mga bracket.
Halimbawa, isaalang-alang ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Upang itaas ang isang expression sa pangalawang kapangyarihan, ang expression ay dapat na i-multiply sa kanyang sarili.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Palawakin natin ang mga bracket:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Napatunayan na ang formula. Ang iba pang mga FSO ay napatunayang katulad.
Mga halimbawa ng aplikasyon ng FSO
Ang layunin ng paggamit ng pinababang mga formula ng multiplikasyon ay upang mabilis at maigsi na magparami at mag-exponent ng mga expression. Gayunpaman, hindi ito ang buong saklaw ng FSO. Malawakang ginagamit ang mga ito sa pagbabawas ng mga expression, pagbabawas ng mga fraction, factoring polynomials. Magbigay tayo ng mga halimbawa.
Halimbawa 1. FSO
Pasimplehin natin ang expression na 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Ilapat ang sum of squares formula at makuha ang:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2
Halimbawa 2. FSO
Bawasan ang bahaging 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Napansin namin na ang expression sa numerator ay ang pagkakaiba ng mga cube, at sa denominator - ang pagkakaiba ng mga parisukat.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Binabawasan namin at nakukuha namin:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Tumutulong din ang mga FSU na kalkulahin ang mga halaga ng mga expression. Ang pangunahing bagay ay upang mapansin kung saan ilalapat ang formula. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.
I-square natin ang bilang na 79. Sa halip na masalimuot na mga kalkulasyon, isinusulat namin:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Tila ang isang kumplikadong pagkalkula ay natupad nang mabilis gamit lamang ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon at isang talahanayan ng pagpaparami.
Isa pa mahalagang punto- pagpili ng parisukat ng binomial. Ang expression na 4 x 2 + 4 x - 3 ay maaaring i-convert sa 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2-4 = 2 x + 1 2-4 . Ang ganitong mga pagbabago ay malawakang ginagamit sa pagsasama.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Kapag kinakalkula ang mga algebraic polynomial, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginagamit namin pinaikling mga pormula ng pagpaparami . Mayroong pitong gayong mga formula sa kabuuan. Lahat sila ay kailangang kilalanin ng puso.
Dapat ding tandaan na sa halip na a at b sa mga formula, maaaring mayroong parehong mga numero at anumang iba pang algebraic polynomial.
Pagkakaiba ng mga parisukat
Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng mga numerong ito at ng kanilang kabuuan.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
sum square
Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero kasama ang dalawang beses sa produkto ng unang numero at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang numero.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Tandaan na sa pinababang multiplication formula na ito, madali itong gawin hanapin ang mga parisukat ng malalaking numero nang hindi gumagamit ng calculator o mahabang multiplikasyon. Ipaliwanag natin sa isang halimbawa:
Hanapin ang 112 2 .
I-decompose natin ang 112 sa kabuuan ng mga numero na ang mga parisukat ay naaalala nating mabuti.2
112 = 100 + 1
Sinusulat namin ang kabuuan ng mga numero sa mga bracket at naglalagay ng isang parisukat sa ibabaw ng mga bracket.
112 2 = (100 + 12) 2
Gamitin natin ang sum square formula:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544
Tandaan na ang square sum formula ay valid din para sa anumang algebraic polynomial.
(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Babala!!!
(a + b) 2 hindi katumbas ng a 2 + b 2
Ang parisukat ng pagkakaiba
Ang parisukat ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay katumbas ng parisukat ng unang numero na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng una at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawang numero.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alala sa isang napaka-kapaki-pakinabang na pagbabagong-anyo:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Ang formula sa itaas ay napatunayan sa pamamagitan lamang ng pagpapalawak ng mga panaklong:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
sum cube
Ang kubo ng kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng kubo ng unang numero kasama ang tatlong beses ng parisukat ng unang numero na beses ang pangalawa at tatlong beses ang produkto ng unang beses ng parisukat ng pangalawa kasama ang kubo ng pangalawa.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Ang pag-alala sa mukhang "kakila-kilabot" na formula na ito ay medyo simple.
Alamin na ang 3 ang mauna.
Ang dalawang polynomial sa gitna ay may mga coefficient na 3.
ATtandaan na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Madaling makita na sa formula ay may pagbaba sa degree a at pagtaas sa degree b. Maaari mong i-verify ito:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Babala!!!
(a + b) 3 hindi katumbas ng a 3 + b 3
pagkakaiba cube
Ang kubo ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero ay katumbas ng kubo ng unang numero na binawasan ng tatlong beses ang parisukat ng unang numero at ang pangalawa kasama ang tatlong beses ang produkto ng unang numero at ang parisukat ng pangalawa bawas ang kubo ng pangalawa .
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Ang formula na ito ay naaalala bilang ang nauna, ngunit isinasaalang-alang lamang ang paghahalili ng mga palatandaan na "+" at "-". Ang unang miyembro ng isang 3 ay pinangungunahan ng isang "+" (ayon sa mga tuntunin ng matematika, hindi namin ito isinulat). Nangangahulugan ito na ang susunod na miyembro ay mauunahan ng "-", pagkatapos ay muli ang "+", atbp.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Ang kabuuan ng mga cube ( Hindi dapat malito sa sum cube!)
Ang kabuuan ng mga cube ay katumbas ng produkto ng kabuuan ng dalawang numero at ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba.
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
Ang kabuuan ng mga cube ay produkto ng dalawang bracket.
Ang unang panaklong ay ang kabuuan ng dalawang numero.
Ang pangalawang bracket ay ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ng mga numero. Ang hindi kumpletong parisukat ng pagkakaiba ay tinatawag na expression:
A 2 - ab + b 2
Ang parisukat na ito ay hindi kumpleto, dahil sa gitna, sa halip na isang dobleng produkto, mayroong isang ordinaryong produkto ng mga numero.
Pagkakaiba ng Cube (Hindi dapat ipagkamali sa Difference Cube!!!)
Ang pagkakaiba ng mga cube ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba ng dalawang numero ng hindi kumpletong parisukat ng kabuuan.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Mag-ingat sa pagsusulat ng mga character.Dapat tandaan na ang lahat ng mga formula sa itaas ay ginagamit din mula kanan hanggang kaliwa.
Isang madaling paraan upang matandaan ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, o... Pascal's Triangle.
Mahirap bang tandaan ang mga formula ng pinaikling multiplikasyon? Ang kaso ay madaling tulungan. Kailangan mo lamang tandaan kung paano inilalarawan ang isang simpleng bagay tulad ng tatsulok ni Pascal. Pagkatapos ay maaalala mo ang mga formula na ito palagi at saanman, o sa halip, huwag matandaan, ngunit ibalik.
Ano ang Pascal's Triangle? Ang tatsulok na ito ay binubuo ng mga coefficient na pumapasok sa pagpapalawak ng anumang kapangyarihan ng isang binomial ng anyo sa isang polynomial.
Hatiin natin ito, halimbawa:
Sa rekord na ito, madaling tandaan na sa simula ay mayroong isang kubo ng una, at sa dulo - ang kubo ng pangalawang numero. Ngunit kung ano ang nasa gitna ay mahirap tandaan. At kahit na ang katotohanan na sa bawat susunod na termino ang antas ng isang kadahilanan ay bumababa sa lahat ng oras, at ang pangalawang pagtaas - ito ay madaling mapansin at tandaan, ito ay mas mahirap na matandaan ang mga coefficient at mga palatandaan (plus o minus?).
Kaya, una ang mga logro. Hindi mo kailangang kabisaduhin ang mga ito! Sa mga gilid ng kuwaderno, mabilis kaming gumuhit ng tatsulok ni Pascal, at narito sila - ang mga coefficient, nasa harap na namin. Nagsisimula kaming gumuhit ng tatlong yunit, isa sa itaas, dalawa sa ibaba, sa kanan at sa kaliwa - oo, nakuha na ang isang tatsulok:
Ang unang linya, na may isa, ay zero. Pagkatapos ay darating ang una, pangalawa, pangatlo at iba pa. Upang makuha ang pangalawang linya, kailangan mong magdagdag ng mga muli sa mga gilid, at sa gitna isulat ang numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang numero sa itaas nito:
Isinulat namin ang ikatlong linya: muli sa mga gilid ng yunit, at muli, upang makuha ang susunod na numero sa isang bagong linya, idagdag ang mga numero sa itaas nito sa nauna:
Tulad ng maaaring nahulaan mo, nakukuha namin sa bawat linya ang mga koepisyent mula sa agnas ng isang binomial sa isang polynomial:
Kaya, mas madaling matandaan ang mga palatandaan: ang una ay kapareho ng sa pinalawak na binomial (inilalatag namin ang kabuuan, na nangangahulugang plus, ang pagkakaiba, na nangangahulugang minus), at pagkatapos ay ang mga palatandaan ay kahalili!
Ito ay isang kapaki-pakinabang na bagay - tatsulok ni Pascal. Enjoy!
Ginagamit ang mga ito upang gawing simple ang mga kalkulasyon, pati na rin ang agnas ng mga polynomial sa mga salik, ang mabilis na pagpaparami ng mga polynomial. Karamihan sa mga pinaikling formula ng multiplikasyon ay maaaring makuha mula sa binomial ng Newton - makikita mo ito sa lalong madaling panahon.
Mga formula para sa mga parisukat kadalasang ginagamit sa mga kalkulasyon. Nagsisimula silang pag-aralan sa kurikulum ng paaralan mula sa ika-7 baitang hanggang sa katapusan ng pagsasanay, ang mga pormula para sa mga parisukat at cube, dapat malaman ng mga mag-aaral sa puso.
Mga formula ng kubo hindi masyadong kumplikado at kailangan nilang malaman kapag binabawasan ang mga polynomial sa isang karaniwang anyo, upang gawing simple ang pagtaas ng kabuuan o pagkakaiba ng isang variable at isang numero sa isang kubo.
Ang mga formula na minarkahan ng pula ay nakuha mula sa nakaraang pagpapangkat ng mga katulad na termino.
Mga formula para sa ikaapat at ikalimang kapangyarihan sa kurso sa paaralan, kakaunti ang magiging kapaki-pakinabang, gayunpaman, may mga gawain sa pag-aaral ng mas mataas na matematika kung saan kailangan mong kalkulahin ang mga coefficient sa mga degree.
Mga formula ng degree n ay pininturahan sa mga tuntunin ng binomial coefficients gamit ang mga factorial tulad ng sumusunod 
Mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami
Halimbawa 1. Kalkulahin ang 51^2.
Solusyon. Kung mayroon kang calculator, madali mo itong mahahanap
Nagbibiro ako - lahat ay matalino sa isang calculator, kung wala ito ... (huwag nating pag-usapan ang mga malungkot na bagay).
Kung walang calculator at alam ang mga panuntunan sa itaas, makikita natin ang parisukat ng numero ayon sa panuntunan
Halimbawa 2 Hanapin ang 99^2.
Solusyon. Ilapat ang pangalawang formula
Halimbawa 3: Pag-squaring ng isang expression
(x+y-3).
Solusyon. Isinasaalang-alang namin ang kabuuan ng unang dalawang termino bilang isang termino at, ayon sa pangalawang pormula para sa pinaikling multiplikasyon, mayroon kaming
Halimbawa 4. Hanapin ang pagkakaiba ng mga parisukat
11^2-9^2.
Solusyon. Dahil ang mga numero ay maliit, maaari mo lamang palitan ang mga halaga ng mga parisukat
Ngunit ang aming layunin ay ganap na naiiba - upang matutunan kung paano gumamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon upang pasimplehin ang mga kalkulasyon. Para sa halimbawang ito, ilapat ang ikatlong formula
Halimbawa 5. Hanapin ang pagkakaiba ng mga parisukat
17^2-3^2
.
Solusyon. Sa halimbawang ito, gugustuhin mo nang matutunan ang mga panuntunan upang bawasan ang mga kalkulasyon sa isang linya
Tulad ng nakikita mo, wala kaming ginawang kamangha-manghang bagay.
Halimbawa 6: Pasimplehin ang isang expression
(x-y)^2-(x+y)^2.
Solusyon. Maaari mong ilatag ang mga parisukat, at sa paglaon ay ipangkat tulad ng mga termino. Gayunpaman, maaaring direktang ilapat ng isa ang pagkakaiba ng mga parisukat 
Simple at walang mahabang solusyon.
Halimbawa 7. Cube isang polynomial
x^3-4.
Solusyon . Ilapat natin ang 5 abbreviated multiplication formula 
Halimbawa 8. Isulat bilang pagkakaiba ng mga parisukat o kanilang kabuuan
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
Solusyon. a) Muling ayusin ang mga tuntunin
b) Pasimplehin batay sa nakaraang pangangatwiran 
Halimbawa 9. Palawakin ang isang rational fraction
Solusyon. Ilapat ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula 
Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga constant
Idinaragdag namin ang pangalawang equation sa triple na unang equation. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa unang equation 
Sa wakas, ang pagpapalawak ay tumatagal ng anyo 
Kadalasan ay kinakailangan upang palawakin ang isang rational fraction bago pagsamahin upang mabawasan ang kapangyarihan ng denominator.
Halimbawa 10. Gamit ang binomial ni Newton, pintura
expression (x-a)^7.
Solusyon. Marahil alam mo na kung ano ang binomial ni Newton. Kung hindi, sa ibaba ay ang binomial coefficients
Ang mga ito ay nabuo bilang mga sumusunod: may mga yunit sa kahabaan ng gilid, ang mga coefficient sa pagitan ng mga ito sa ilalim na hilera ay nabuo sa pamamagitan ng pagbubuod ng mga katabing itaas. Kung naghahanap tayo ng pagkakaiba sa ilang lawak, kung gayon ang mga palatandaan sa iskedyul ay kahalili mula sa plus hanggang minus. Kaya, para sa ikapitong order, nakukuha namin ang sumusunod na pagkakahanay
Maingat ding tingnan kung paano nagbabago ang mga tagapagpahiwatig - para sa unang variable ay bumababa sila ng isa sa bawat susunod na termino, ayon sa pagkakabanggit, para sa pangalawa - tumaas sila ng isa. Sa kabuuan, ang mga tagapagpahiwatig ay dapat palaging katumbas ng antas ng agnas (= 7).
Sa tingin ko sa batayan ng materyal sa itaas ay magagawa mong lutasin ang mga problema sa binomial ng Newton. Alamin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon at ilapat saanman ito mapapasimple ang mga kalkulasyon at makatipid ng oras sa gawain.
Sa nakaraang aralin, tinalakay natin ang factorization. Pinagkadalubhasaan namin ang dalawang pamamaraan: pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket at pagpapangkat. Sa tutorial na ito, ang sumusunod na makapangyarihang paraan: pinaikling mga pormula ng pagpaparami. Sa isang maikling tala - FSU.
Ang mga pinaikling pormula ng multiplikasyon (kuwadrado ng kabuuan at pagkakaiba, kubo ng kabuuan at pagkakaiba, pagkakaiba ng mga parisukat, kabuuan at pagkakaiba ng mga cube) ay mahalaga sa lahat ng sangay ng matematika. Ginagamit ang mga ito sa pagpapasimple ng mga expression, paglutas ng mga equation, pagpaparami ng polynomial, pagbabawas ng mga fraction, paglutas ng mga integral, atbp. atbp. Sa madaling salita, mayroong lahat ng dahilan upang makitungo sa kanila. Unawain kung saan sila nanggaling, bakit kailangan ang mga ito, kung paano matandaan ang mga ito at kung paano ilalapat ang mga ito.
Naiintindihan ba natin?)
Saan nagmula ang mga pinaikling pormula ng pagpaparami?
Ang pagkakapantay-pantay 6 at 7 ay hindi nakasulat sa isang napakakaraniwang paraan. Tulad ng kabaligtaran. Ito ay sinasadya.) Ang anumang pagkakapantay-pantay ay gumagana mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa. Sa naturang record, mas malinaw kung saan nagmula ang FSO.
Ang mga ito ay kinuha mula sa pagpaparami.) Halimbawa:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Yun lang, walang scientific tricks. I-multiply lang namin ang mga bracket at nagbibigay ng mga katulad. Ito ay kung paano ito lumiliko lahat ng pinaikling pormula ng pagpaparami. pinaikling multiplication ay dahil sa mismong mga formula ay walang multiplikasyon ng mga bracket at pagbabawas ng mga katulad. Nabawasan.) Ang resulta ay ibinibigay kaagad.
Kailangang malaman ng FSU sa puso. Kung wala ang unang tatlo, hindi ka maaaring mangarap ng isang triple, kung wala ang natitira - tungkol sa apat na may lima.)
Bakit kailangan natin ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon?
Mayroong dalawang dahilan upang matutunan, kahit isaulo, ang mga formula na ito. Ang una - isang handa na sagot sa makina ay kapansin-pansing binabawasan ang bilang ng mga error. Ngunit hindi ito ang pangunahing dahilan. At narito ang pangalawa...
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
