Isinaalang-alang namin ang ilang pisikal na ganap na magkakaibang mga sistema, at tiniyak na ang mga equation ng paggalaw ay nabawasan sa parehong anyo

Ang mga pagkakaiba sa pagitan ng mga pisikal na sistema ay nagpapakita lamang ng kanilang mga sarili sa iba't ibang mga kahulugan ng dami at sa ibang pisikal na kahulugan ng variable x: maaari itong maging isang coordinate, anggulo, singil, kasalukuyang, atbp. Tandaan na sa kasong ito, tulad ng sumusunod mula sa mismong istraktura ng equation (1.18), ang dami ay palaging may sukat ng kabaligtaran ng oras.

Inilalarawan ng equation (1.18) ang tinatawag na harmonic vibrations.

Ang equation ng harmonic oscillations (1.18) ay isang second-order linear differential equation (dahil naglalaman ito ng pangalawang derivative ng variable x). Ang linearity ng equation ay nangangahulugan na

kung anumang function x(t) ay isang solusyon sa equation na ito, pagkatapos ay ang function Cx(t) magiging solusyon din niya ( C ay isang di-makatwirang pare-pareho);

kung functions x 1 (t) at x 2 (t) ay mga solusyon ng equation na ito, pagkatapos ay ang kanilang kabuuan x 1 (t) + x 2 (t) magiging solusyon din sa parehong equation.

Ang isang matematikal na teorama ay napatunayan din, ayon sa kung saan ang isang pangalawang-order na equation ay may dalawang independiyenteng solusyon. Ang lahat ng iba pang mga solusyon, ayon sa mga katangian ng linearity, ay maaaring makuha bilang kanilang mga linear na kumbinasyon. Madaling suriin sa pamamagitan ng direktang pagkita ng kaibhan na ang mga independiyenteng pag-andar at masiyahan ang equation (1.18). Kaya ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay:

saan C1,C2 ay di-makatwirang mga pare-pareho. Ang solusyon na ito ay maaari ding iharap sa ibang anyo. Ipinakilala namin ang dami

at tukuyin ang anggulo bilang:

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon (1.19) ay nakasulat bilang

Ayon sa mga formula ng trigonometry, ang expression sa mga bracket ay

Nakarating na kami sa wakas pangkalahatang solusyon ng equation ng harmonic oscillations bilang:

Di-negatibong halaga A tinawag amplitude ng oscillation, - ang paunang yugto ng oscillation. Ang buong argumento ng cosine - ang kumbinasyon - ay tinatawag yugto ng oscillation.

Ang mga expression (1.19) at (1.23) ay ganap na katumbas, kaya maaari naming gamitin ang alinman sa mga ito para sa mga kadahilanan ng pagiging simple. Ang parehong mga solusyon ay panaka-nakang pag-andar ng oras. Sa katunayan, ang sine at cosine ay panaka-nakang may tuldok . Samakatuwid, ang iba't ibang mga estado ng isang sistema na nagsasagawa ng mga harmonic oscillations ay inuulit pagkatapos ng isang yugto ng panahon t*, kung saan ang oscillation phase ay tumatanggap ng isang increment na isang multiple ng :

Kaya naman sinusunod iyon

Ang pinakamaliit sa mga panahong ito

tinawag panahon ng oscillation (Larawan 1.8), isang - kanyang pabilog (cyclic) dalas.

kanin. 1.8.

Gumagamit din sila dalas pag-aatubili

Alinsunod dito, ang circular frequency ay katumbas ng bilang ng mga oscillations bawat segundo.

Kaya, kung ang sistema sa oras t nailalarawan sa pamamagitan ng halaga ng variable x(t), pagkatapos, ang parehong halaga, ang variable ay magkakaroon pagkatapos ng isang tagal ng panahon (Fig. 1.9), iyon ay

Ang parehong halaga, siyempre, ay mauulit pagkatapos ng ilang sandali. 2T, ZT atbp.

kanin. 1.9. Panahon ng oscillation

Kasama sa pangkalahatang solusyon ang dalawang di-makatwirang constants ( C 1 , C 2 o A, a), ang mga halaga nito ay dapat matukoy ng dalawa paunang kondisyon. Karaniwan (bagaman hindi kinakailangan) ang kanilang papel ay nilalaro ng mga paunang halaga ng variable x(0) at ang hinango nito.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Hayaang ilarawan ng solusyon (1.19) ng equation ng mga harmonic oscillations ang paggalaw ng spring pendulum. Ang mga halaga ng di-makatwirang mga pare-pareho ay nakasalalay sa paraan kung saan namin dinala ang pendulum mula sa ekwilibriyo. Halimbawa, hinila namin ang tagsibol sa malayo at pinakawalan ang bola nang walang paunang bilis. Sa kasong ito

Pagpapalit t = 0 sa (1.19), makikita natin ang halaga ng pare-pareho Mula 2

Ang solusyon ay ganito ang hitsura:

Ang bilis ng pag-load ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan na may paggalang sa oras

Nagpapalit dito t = 0, hanapin ang pare-pareho Mula sa 1:

Sa wakas

Kung ikukumpara sa (1.23), nakita natin iyon ay ang oscillation amplitude, at ang paunang yugto nito ay katumbas ng zero: .

Dinadala namin ngayon ang pendulum sa ekwilibriyo sa ibang paraan. Pindutin natin ang pagkarga, upang makakuha ito ng paunang bilis , ngunit halos hindi gumagalaw sa panahon ng epekto. Mayroon kaming iba pang mga paunang kondisyon:

ang aming solusyon ay mukhang

Ang bilis ng pagkarga ay magbabago ayon sa batas:

Ilagay natin dito:

HARMONIC VIBRATION MOTION

§1 Kinematics ng harmonic oscillation

Ang mga prosesong umuulit sa paglipas ng panahon ay tinatawag na oscillations.

Depende sa likas na katangian ng proseso ng oscillatory at mekanismo ng paggulo, mayroong: mga mekanikal na oscillations (mga oscillations ng mga pendulum, mga string, mga gusali, ibabaw ng lupa, atbp.); electromagnetic oscillations (oscillations ng alternating current, oscillations ng vectors at sa isang electromagnetic wave, atbp.); electromechanical vibrations (vibrations ng lamad ng telepono, loudspeaker diffuser, atbp.); vibrations ng nuclei at molecules bilang resulta ng thermal motion sa mga atoms.

Isaalang-alang natin ang segment [OD] (radius-vector) na gumagawa ng rotational motion sa paligid ng point 0. Ang haba ng |OD| = A . Ang pag-ikot ay nangyayari sa isang pare-pareho ang angular velocity ω 0 . Pagkatapos ang anggulo φ sa pagitan ng radius vector at ng axisxnagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas

kung saan ang φ 0 ay ang anggulo sa pagitan ng [OD] at ng axis X sa oras nat= 0. Projection ng segment [OD] papunta sa axis X sa oras nat= 0

at sa isang di-makatwirang punto ng panahon

(1)

Kaya, ang projection ng segment [OD] sa x axis ay nag-o-oscillate sa kahabaan ng axis X, at ang mga pagbabagong ito ay inilalarawan ng batas ng cosine (formula (1)).

Mga oscillation na inilalarawan ng batas ng cosine

o sinus

tinawag maharmonya.

Harmonic vibrations ay periodical, dahil ang halaga ng x (at y) ay inuulit sa mga regular na pagitan.

Kung ang segment [OD] ay nasa pinakamababang posisyon sa figure, i.e. tuldok D sumasabay sa punto R, kung gayon ang projection nito sa x-axis ay zero. Tawagin natin ang posisyong ito ng segment [OD] na posisyon ng ekwilibriyo. Pagkatapos ay maaari naming sabihin na ang halaga X naglalarawan ng displacement ng isang oscillating point mula sa equilibrium na posisyon nito. Ang pinakamataas na displacement mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay tinatawag malawak pagbabagu-bago

Halaga

na nakatayo sa ilalim ng cosine sign ay tinatawag na phase. Phase tinutukoy ang displacement mula sa equilibrium na posisyon sa isang arbitrary na punto ng orast. Phase sa unang sandali ng orast = 0 katumbas ng φ 0 ay tinatawag na paunang yugto.

T

Ang tagal ng panahon kung saan nagaganap ang isang kumpletong oscillation ay tinatawag na period of oscillation. T. Ang bilang ng mga oscillation sa bawat yunit ng oras ay tinatawag na oscillation frequency ν.

Pagkatapos ng isang yugto ng panahon na katumbas ng panahon T, ibig sabihin. habang ang cosine argument ay tumataas ng ω 0 T, ang paggalaw ay paulit-ulit, at ang cosine ay tumatagal ng parehong halaga

kasi Ang cosine period ay katumbas ng 2π, kung gayon, samakatuwid, ω 0 T= 2π

kaya, ang ω 0 ay ang bilang ng mga oscillations ng katawan sa loob ng 2π segundo. ω 0 - cyclic o circular frequency.

pattern ng maharmonya na alon

PERO- malawak, T- panahon, X- offset,t- oras.

Nahanap namin ang bilis ng oscillating point sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ng equation ng displacement X(t) ayon sa panahon

mga. bilis vwala sa phase na may offset X saπ /2.

Acceleration - unang derivative ng velocity (pangalawang derivative ng displacement) na may paggalang sa oras

mga. acceleration a ay naiiba sa phase shift ng π.

Bumuo tayo ng isang graph X( t) , y( t) at a( t) sa isang pagtatantya ng mga coordinate (para sa pagiging simple, kinukuha namin ang φ 0 = 0 at ω 0 = 1)

Libre o pagmamay-ari Ang mga oscillations na nangyayari sa isang sistema na naiwan sa sarili nito pagkatapos na ito ay alisin sa ekwilibriyo ay tinatawag.

Ang Harmonic oscillation ay isang phenomenon ng panaka-nakang pagbabago ng ilang dami, kung saan ang pagdepende sa argumento ay may katangian ng isang sine o cosine function. Halimbawa, ang isang dami na nag-iiba-iba sa oras gaya ng mga sumusunod ay magkakasuwato na nagbabago:

kung saan ang x ay ang halaga ng nagbabagong dami, t ay oras, ang natitirang mga parameter ay pare-pareho: A ay ang amplitude ng mga oscillations, ω ay ang cyclic frequency ng mga oscillations, ay ang buong yugto ng mga oscillations, ay ang unang yugto ng ang mga oscillations.

Pangkalahatang harmonic oscillation sa differential form

(Anumang di-trivial na solusyon ng differential equation na ito ay isang harmonic oscillation na may cyclic frequency)

Mga uri ng vibrations

Ang mga libreng oscillations ay ginagawa sa ilalim ng pagkilos ng mga panloob na pwersa ng system pagkatapos na alisin ang sistema sa ekwilibriyo. Para maging harmonic ang mga libreng oscillations, kinakailangan na linear ang oscillatory system (inilalarawan ng mga linear equation ng motion), at hindi dapat magkaroon ng dissipation ng enerhiya (ang huli ay magdudulot ng damping).

Ang mga sapilitang oscillations ay ginagawa sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na pana-panahong puwersa. Para maging harmonic ang mga ito, sapat na na linear ang oscillatory system (inilalarawan ng mga linear equation ng motion), at ang panlabas na puwersa mismo ay nagbabago sa paglipas ng panahon bilang isang harmonic oscillation (iyon ay, na ang pag-asa sa oras ng puwersang ito ay sinusoidal) .

Harmonic vibration equation

Equation (1)

nagbibigay ng pag-asa ng pabagu-bagong halaga S sa oras t; ito ang equation ng libreng harmonic oscillations sa tahasang anyo. Gayunpaman, ang equation ng mga oscillations ay karaniwang nauunawaan bilang ibang record ng equation na ito, sa differential form. Para sa katiyakan, kinukuha namin ang equation (1) sa anyo

Ibahin ito ng dalawang beses na may paggalang sa oras:

Ito ay makikita na ang sumusunod na kaugnayan ay nagtataglay:

na tinatawag na equation ng libreng harmonic oscillations (sa differential form). Ang equation (1) ay isang solusyon sa differential equation (2). Dahil ang equation (2) ay isang second-order differential equation, dalawang paunang kundisyon ang kinakailangan upang makakuha ng kumpletong solusyon (iyon ay, upang matukoy ang mga constants A at   na kasama sa equation (1); halimbawa, ang posisyon at bilis ng isang oscillatory system sa t = 0.

Ang isang mathematical pendulum ay isang oscillator, na isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang materyal na punto na matatagpuan sa isang walang timbang na inextensible na sinulid o sa isang walang timbang na baras sa isang pare-parehong larangan ng mga puwersa ng gravitational. Ang panahon ng maliliit na eigenoscillations ng isang mathematical pendulum na may haba l, na hindi gumagalaw na nakasuspinde sa isang pare-parehong gravitational field na may free fall acceleration g, ay katumbas ng

at hindi nakadepende sa amplitude at mass ng pendulum.

Ang pisikal na pendulum ay isang oscillator, na isang matibay na katawan na nag-o-oscillate sa larangan ng anumang pwersa tungkol sa isang punto na hindi sentro ng masa ng katawan na ito, o isang nakapirming axis na patayo sa direksyon ng mga puwersa at hindi dumadaan sa sentro ng masa ng katawan na ito.

Kasama ng mga galaw ng pagsasalin at pag-ikot ng mga katawan sa mekanika, ang mga paggalaw ng oscillatory ay may malaking interes din. Mga mekanikal na panginginig ng boses tinatawag na mga paggalaw ng mga katawan na eksaktong umuulit (o humigit-kumulang) sa mga regular na pagitan. Ang batas ng paggalaw ng isang oscillating body ay ibinibigay ng ilang pana-panahong pag-andar ng oras x = f (t). Ang graphic na representasyon ng function na ito ay nagbibigay ng visual na representasyon ng kurso ng proseso ng oscillatory sa oras.

Ang mga halimbawa ng mga simpleng oscillatory system ay isang load sa isang spring o isang mathematical pendulum (Fig. 2.1.1).

Ang mga mekanikal na oscillations, tulad ng mga oscillatory na proseso ng anumang iba pang pisikal na kalikasan, ay maaaring libre at pilit. Libreng vibrations ay ginawa sa ilalim ng impluwensya panloob na pwersa sistema pagkatapos na mailabas ang sistema sa ekwilibriyo. Ang mga oscillations ng isang timbang sa isang spring o ang mga oscillations ng isang pendulum ay libreng oscillations. vibrations sa ilalim ng aksyon panlabas pana-panahong nagbabagong pwersa ay tinatawag pilit .

Ang pinakasimpleng uri ng proseso ng oscillatory ay simple harmonic vibrations , na inilalarawan ng equation

x = x m cos (ω t + φ 0).

Dito x- pag-alis ng katawan mula sa posisyon ng balanse, x m - amplitude ng oscillation, i.e. ang maximum na pag-aalis mula sa posisyon ng equilibrium, ω - cyclic o circular frequency pag-aatubili, t- oras. Ang halaga sa ilalim ng cosine sign φ = ω t+ φ 0 ay tinatawag yugto maharmonya na proseso. Sa t= 0 φ = φ 0 , kaya φ 0 ang tawag unang bahagi. Ang pinakamababang agwat ng oras pagkatapos kung saan ang paggalaw ng katawan ay paulit-ulit ay tinatawag panahon ng oscillation T. Ang pisikal na dami na katumbas ng panahon ng oscillation ay tinatawag dalas ng oscillation:

Dalas ng oscillation f nagpapakita kung gaano karaming mga vibrations ang nagagawa sa 1 s. Unit ng dalas - hertz(Hz). Dalas ng oscillation f ay nauugnay sa cyclic frequency ω at ang oscillation period T ratios:

Sa fig. 2.1.2 ay nagpapakita ng mga posisyon ng katawan sa mga regular na pagitan na may harmonic vibrations. Ang ganitong larawan ay maaaring makuha sa eksperimento sa pamamagitan ng pag-iilaw sa isang oscillating body na may maikling pana-panahong pagkislap ng liwanag ( stroboscopic na pag-iilaw). Ang mga arrow ay kumakatawan sa mga vector ng bilis ng katawan sa iba't ibang mga punto ng oras.

kanin. 2.1.3 inilalarawan ang mga pagbabagong nagaganap sa graph ng isang harmonic na proseso kung ang alinman sa amplitude ng mga oscillations ay nagbabago x m , o panahon T(o dalas f), o ang paunang yugto φ 0 .

Kapag ang katawan ay nag-oscillate sa isang tuwid na linya (axis OX) ang velocity vector ay palaging nakadirekta sa tuwid na linyang ito. Bilis υ = υ x Ang galaw ng katawan ay natutukoy sa pamamagitan ng ekspresyon

Sa matematika, ang pamamaraan para sa paghahanap ng limitasyon ng ratio sa Δ t Ang → 0 ay tinatawag na pagkalkula ng derivative ng function x (t) ayon sa panahon t at tinutukoy bilang o bilang x"(t) o sa wakas bilang . Para sa harmonic law of motion Ang pagkalkula ng derivative ay humahantong sa sumusunod na resulta:

Ang hitsura ng terminong + π / 2 sa cosine argument ay nangangahulugan ng pagbabago sa paunang yugto. Pinakamataas na mga halaga ng modulo ng bilis υ = ω x m ay nakakamit sa mga sandaling iyon kapag ang katawan ay dumaan sa mga posisyon ng balanse ( x= 0). Ang acceleration ay tinukoy sa katulad na paraan a = ax mga katawan na may harmonic vibrations:

kaya ang acceleration a ay katumbas ng derivative ng function na υ ( t) ayon sa panahon t, o ang pangalawang derivative ng function x (t). Ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng:

Ang minus sign sa expression na ito ay nangangahulugan na ang acceleration a (t) palaging may kabaligtaran na tanda ng offset x (t), at, samakatuwid, ayon sa ikalawang batas ni Newton, ang puwersa na nagiging sanhi ng katawan na magsagawa ng mga harmonic oscillations ay palaging nakadirekta sa posisyon ng balanse ( x = 0).

Mga pagbabago sa oras ayon sa sinusoidal na batas:

saan X- ang halaga ng pabagu-bagong dami sa sandali ng oras t, PERO- malawak , ω - pabilog na dalas, φ ay ang unang yugto ng mga oscillation, ( φt + φ ) ay ang kabuuang yugto ng mga oscillation . Kasabay nito, ang mga halaga PERO, ω at φ - permanente.

Para sa mechanical vibrations na may oscillating value X ay, sa partikular, pag-aalis at bilis, para sa mga electrical oscillations - boltahe at kasalukuyang lakas.

Ang mga harmonic oscillations ay sumasakop sa isang espesyal na lugar sa lahat ng mga uri ng oscillation, dahil ito ang tanging uri ng oscillation na ang hugis ay hindi nabaluktot kapag dumadaan sa anumang homogenous na medium, ibig sabihin, ang mga alon na nagpapalaganap mula sa isang mapagkukunan ng mga harmonic oscillations ay magiging harmonic din. Anumang non-harmonic na vibration ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan (integral) ng iba't ibang harmonic vibrations (sa anyo ng isang spectrum ng harmonic vibrations).

Mga pagbabago sa enerhiya sa panahon ng maharmonya na vibrations.

Sa proseso ng mga oscillations, mayroong isang paglipat ng potensyal na enerhiya Wp sa kinetic W k at kabaliktaran. Sa posisyon ng maximum na paglihis mula sa posisyon ng balanse, ang potensyal na enerhiya ay maximum, ang kinetic energy ay zero. Sa pagbabalik natin sa posisyon ng balanse, ang bilis ng oscillating body ay tumataas, at kasama nito ang kinetic energy ay tumataas din, na umaabot sa maximum sa posisyon ng equilibrium. Ang potensyal na enerhiya ay bumaba sa zero. Ang karagdagang-leeg na paggalaw ay nangyayari na may pagbaba sa bilis, na bumababa sa zero kapag ang pagpapalihis ay umabot sa pangalawang maximum nito. Ang potensyal na enerhiya dito ay tumataas sa paunang (maximum) na halaga nito (sa kawalan ng friction). Kaya, ang mga oscillations ng kinetic at potensyal na enerhiya ay nangyayari na may dobleng (kumpara sa mga oscillations ng pendulum mismo) frequency at nasa antiphase (ibig sabihin, mayroong isang phase shift sa pagitan ng mga ito katumbas ng π ). Kabuuang enerhiya ng vibration W nananatiling hindi nagbabago. Para sa isang katawan na umiikot sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na puwersa, ito ay katumbas ng:

saan v m- ang pinakamataas na bilis ng katawan (sa posisyon ng balanse), x m = PERO- malawak.

Dahil sa pagkakaroon ng friction at paglaban ng medium, ang mga libreng oscillations ay mamasa-masa: ang kanilang enerhiya at amplitude ay bumababa sa paglipas ng panahon. Samakatuwid, sa pagsasagawa, hindi libre, ngunit sapilitang mga oscillation ay ginagamit nang mas madalas.