Ang pagsusuri sa matematika ay isang sangay ng matematika na tumatalakay sa pag-aaral ng mga function batay sa ideya ng isang walang katapusang maliit na function.

Ang mga pangunahing konsepto ng pagsusuri sa matematika ay dami, set, function, infinitesimal function, limit, derivative, integral.

Halaga lahat ng bagay na maaaring masukat at ipahayag sa pamamagitan ng isang numero ay tinatawag.

marami ay isang koleksyon ng ilang mga elemento na pinagsama ng ilang karaniwang tampok. Ang mga elemento ng isang set ay maaaring mga numero, numero, bagay, konsepto, atbp.

Ang mga set ay tinutukoy ng malalaking titik, at ang mga elemento ng isang set ay may maliliit na titik. Ang mga elemento ng set ay nakapaloob sa mga kulot na brace.

Kung elemento x nabibilang sa set X, pagkatapos ay sumulat x∈X (∈ - nabibilang).
Kung ang set A ay bahagi ng set B, pagkatapos ay isulat A ⊂ B (⊂ - ay nakapaloob).

Ang isang set ay maaaring tukuyin sa isa sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng enumeration at sa pamamagitan ng pagtukoy ng property.

Halimbawa, tinutukoy ng enumeration ang mga sumusunod na set:

• A=(1,2,3,5,7) - set ng mga numero
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) ay isang set ng ilang elemento x 1 ,x 2 ,...,x n
• Ang N=(1,2,...,n) ay ang hanay ng mga natural na numero
• Ang Z=(0,±1,±2,...,±n) ay ang hanay ng mga integer

Ang set (-∞;+∞) ay tinatawag linya ng numero, at anumang numero ay isang punto ng linyang ito. Hayaan ang isang arbitrary na punto sa totoong linya at δ isang positibong numero. Ang pagitan (a-δ; a+δ) ay tinatawag δ-kapitbahayan ng punto a.

Ang isang set X ay nililimitahan mula sa itaas (mula sa ibaba) kung mayroong isang numero c na para sa alinmang x ∈ X ang hindi pagkakapantay-pantay x≤с (x≥c) ay nasiyahan. Ang numero c sa kasong ito ay tinatawag tuktok (ibaba) gilid sets X. Tinatawag ang set na may hangganan sa itaas at ibaba limitado. Ang pinakamaliit (pinakamalaking) sa itaas (mas mababang) mga mukha ng set ay tinatawag eksaktong tuktok (ibaba) na mukha set na ito.

Pangunahing Mga Set ng Numeric

N	(1,2,3,...,n) Ang set ng lahat
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Itakda buong numero. Kasama sa hanay ng mga integer ang hanay ng mga natural na numero.
Q	Maraming makatwirang mga numero. Bilang karagdagan sa mga buong numero, mayroon ding mga fraction. Ang fraction ay isang pagpapahayag ng anyo , kung saan p ay isang integer, q- natural. Ang mga desimal ay maaari ding isulat bilang . Halimbawa: 0.25 = 25/100 = 1/4. Ang mga integer ay maaari ding isulat bilang . Halimbawa, sa anyo ng isang fraction na may denominator ng "isa": 2 = 2/1. Kaya, ang anumang rational na numero ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction - finitely o infinitely periodic.
R	Marami sa lahat tunay na mga numero. Ang mga hindi makatwiran na numero ay walang katapusang non-periodic fraction. Kabilang dito ang: Magkasama, dalawang set (rasyonal at hindi makatwiran na mga numero) ang bumubuo sa hanay ng tunay (o tunay) na mga numero.

Kung ang isang set ay walang mga elemento, kung gayon ito ay tinatawag walang laman na set at naitala Ø .

Mga elemento ng lohikal na simbolismo

Ang notasyon ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

quantifier

Kapag nagsusulat ng mga mathematical expression, kadalasang ginagamit ang mga quantifier.

quantifier ay tinatawag na isang lohikal na simbolo na nagpapakilala sa mga elementong sumusunod dito sa dami ng mga termino.

• ∀- pangkalahatang quantifier, ay ginagamit sa halip na mga salitang "para sa lahat", "para sa sinuman".
• ∃- existential quantifier, ay ginagamit sa halip na mga salitang "umiiral", "may". Ginagamit din ang kumbinasyon ng simbolo na ∃!, na binabasa dahil isa lang.

Mga operasyon sa mga set

Dalawa Ang set A at B ay pantay(A=B) kung binubuo sila ng parehong mga elemento.
Halimbawa, kung A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) pagkatapos ay A=B.

Unyon (sum) Ang set A at B ay tinatawag na set A ∪ B, na ang mga elemento ay kabilang sa kahit isa sa mga set na ito.
Halimbawa, kung A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), kung gayon A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Intersection (produkto) Ang set A at B ay tinatawag na set A ∩ B, na ang mga elemento ay kabilang sa set A at set B.
Halimbawa, kung A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), kung gayon A ∩ B = (2,4)

pagkakaiba Ang set A at B ay tinatawag na set AB, ang mga elemento nito ay kabilang sa set A, ngunit hindi kabilang sa set B.
Halimbawa, kung A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), pagkatapos AB = (1,2)

Pagkakaiba ng simetriko set A at B ay tinatawag na set A Δ B, na kung saan ay ang unyon ng mga pagkakaiba ng mga set AB at BA, iyon ay, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Halimbawa, kung A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), kung gayon A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

Mga katangian ng mga set na operasyon

Mga katangian ng permutability

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

nag-uugnay na ari-arian

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Mabibilang at hindi mabilang na mga hanay

Upang paghambingin ang alinmang dalawang set A at B, ang isang sulat ay itinatag sa pagitan ng kanilang mga elemento.

Kung ang sulat na ito ay isa-sa-isa, kung gayon ang mga hanay ay tinatawag na katumbas o katumbas, A B o B A.

Halimbawa 1

Ang hanay ng mga punto ng leg BC at ang hypotenuse AC ng tatsulok na ABC ay may pantay na kapangyarihan.

Set ng matematika

Maraming- isa sa mga pangunahing bagay ng matematika, sa partikular, set theory. "Sa ilalim ng set ang ibig sabihin namin ay ang pag-iisa sa isang kabuuan ng tiyak, ganap na nakikilalang mga bagay ng aming intuwisyon o aming pag-iisip" (G. Kantor). Ito ay hindi sa buong kahulugan na isang lohikal na kahulugan ng konsepto ng isang set, ngunit isang paliwanag lamang (dahil ang pagtukoy sa isang konsepto ay nangangahulugan ng paghahanap ng ganitong generic na konsepto kung saan ang konseptong ito ay kasama bilang isang species, ngunit ang isang set ay marahil ang pinakamalawak na konsepto ng matematika at lohika).

mga teorya

Mayroong dalawang pangunahing diskarte sa konsepto ng isang set - walang muwang at axiomatic set theory.

Axiomatic set theory

Ngayon, ang isang set ay tinukoy bilang isang modelo na nakakatugon sa mga ZFC axioms (ang Zermelo-Fraenkel axioms na may napiling axiom). Sa diskarteng ito, sa ilang mga teorya sa matematika, lumilitaw ang mga koleksyon ng mga bagay na hindi mga set. Ang ganitong mga koleksyon ay tinatawag na mga klase (ng iba't ibang mga order).

Itakda ang elemento

Ang mga bagay na bumubuo sa isang set ay tinatawag itakda ang mga elemento o itakda ang mga puntos. Ang mga set ay madalas na tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin, ang mga elemento nito - ng maliliit. Kung ang a ay isang elemento ng set A, pagkatapos ay isulat ang ∈ A (ang a ay kabilang sa A). Kung ang a ay hindi elemento ng set A, pagkatapos ay sumulat ng ∉ A (ang a ay hindi kabilang sa A).

Ilang uri ng set

• Ang ordered set ay isang set kung saan ibinigay ang order relation.
• Isang set (sa partikular, isang nakaayos na pares). Hindi tulad ng isang set lamang, ito ay nakasulat sa loob ng panaklong: ( x 1 , x 2 , x 3 , …), at ang mga elemento ay maaaring ulitin.

Ayon sa hierarchy:

Set ng mga set Subset Superset

Sa pamamagitan ng limitasyon:

Mga operasyon sa mga set

Panitikan

• Stoll R.R. Mga set. Logics. mga teoryang axiomatic. - M .: Edukasyon, 1968. - 232 p.

Tingnan din

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Mathematical set" sa iba pang mga diksyunaryo:

Ang Vitali set ay ang unang halimbawa ng isang set ng mga tunay na numero na walang Lebesgue measure. Ang halimbawang ito, na naging klasiko, ay inilathala noong 1905 ng Italyano na matematiko na si J. Vitali sa kanyang artikulong “Sul problema della misura dei gruppi di punti ... ... Wikipedia

- (average na halaga) ng isang random na variable ay isang numerical na katangian ng isang random variable. Kung ang isang random na variable ay ibinigay sa isang probability space (tingnan ang Probability theory), kung gayon ang M. o nito. Ang MX (o EX) ay tinukoy bilang integral ng Lebesgue: kung saan... Pisikal na Encyclopedia

Ang isang random na variable ay ang numerical na katangian nito. Kung ang random variable X ay mayroong distribution function na F(x), kung gayon ang M. o nito. magiging: . Kung ang distribusyon ng X ay discrete, kung gayon М.о.: , kung saan ang x1, x2, ... ay posibleng mga halaga ng discrete random variable X; p1... Geological Encyclopedia

Suporta sa matematika ng ACS- , katulad ng software, software, isang set ng mga mathematical program at algorithm, isa sa mga sumusuportang subsystem. Karaniwang kinabibilangan ng maraming mga programa para sa paglutas ng mga partikular na problema sa isang computer, na pinagsama ng pangunahing programa ... ... Diksyunaryo sa Ekonomiya at Matematika

ACS software- kapareho ng software, software, isang set ng mga mathematical program at algorithm, isa sa mga sumusuportang subsystem. Karaniwang kinabibilangan ng maraming mga programa para sa paglutas ng mga partikular na problema sa isang computer, na pinagsama ng pangunahing programa ng dispatcher. ... ... Handbook ng Teknikal na Tagasalin

- (matematika) tingnan ang set theory...

Ang modelong matematikal ay isang representasyong matematikal ng katotohanan. Ang pagmomodelo ng matematika ay ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika. Lahat ng natural at panlipunang agham gamit ang mathematical apparatus, sa katunayan ... ... Wikipedia

Isang matematikal na disiplina na nakatuon sa teorya at mga pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng sukdulan ng mga pag-andar sa mga hanay ng isang finite-dimensional na vector space na tinukoy ng linear at non-linear na mga hadlang (mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay). M. p........ Mathematical Encyclopedia

Isang matematikal na disiplina na nakatuon sa teorya at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa paghahanap ng sukdulan ng mga pag-andar sa mga set na tinukoy ng mga linear at non-linear na hadlang (mga pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay). M. p. seksyon ng agham ng ... ... Great Soviet Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Patunay. Sa matematika, ang isang patunay ay isang hanay ng mga lohikal na hinuha na nagpapakita na para sa ilang hanay ng mga axioms at mga panuntunan sa hinuha, ang isang tiyak na pahayag ay totoo. Depende sa ... Wikipedia

Mga libro

• Ang pagmomodelo ng matematika ng ekonomiya, Malykhin V.I. Tinatalakay ng aklat ang mga pangunahing modelo ng matematika ng ekonomiya: ang modelo ng indibidwal na mamimili (batay sa utility function), ang modelo ng kumpanya ng pagmamanupaktura (batay sa production function),...

Maikling buod

Ako ay isang theoretical physicist sa pamamagitan ng edukasyon, ngunit mayroon akong isang mahusay na mathematical background. Sa mahistrado isa sa mga paksa ay pilosopiya, kinakailangan na pumili ng isang paksa at magsumite ng isang papel tungkol dito. Dahil ang karamihan sa mga opsyon ay higit sa isang beses obmusoleny, nagpasya akong pumili ng isang bagay na mas kakaiba. Hindi ako nagkukunwaring bago, nagawa ko lang na maipon ang lahat / halos lahat ng magagamit na literatura sa paksang ito. Ang mga pilosopo at mathematician ay maaaring magbato sa akin, ako ay magpapasalamat lamang para sa nakabubuo na pagpuna.

P.S. Napaka "dry language", ngunit medyo nababasa pagkatapos ng programa sa unibersidad. Para sa karamihan, ang mga kahulugan ng mga kabalintunaan ay kinuha mula sa Wikipedia (pinasimpleng salita at handa na TeX markup).

Panimula

Parehong ang set theory mismo at ang mga kabalintunaan na likas dito ay lumitaw hindi pa matagal na ang nakalipas, mahigit isang daang taon na ang nakalipas. Gayunpaman, sa panahong ito ay malayo na ang nalakbay, ang teorya ng mga set, sa isang paraan o iba pa, ay talagang naging batayan ng karamihan sa mga seksyon ng matematika. Ang mga kabalintunaan nito, na konektado sa infinity ng Cantor, ay matagumpay na naipaliwanag nang literal sa kalahating siglo.

Dapat kang magsimula sa isang kahulugan.

Ano ang maraming tao? Ang tanong ay medyo simple, ang sagot dito ay medyo intuitive. Ang set ay isang set ng mga elemento na kinakatawan ng isang bagay. Kantor sa kanyang trabaho Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre nagbibigay ng depinisyon: sa pamamagitan ng "set" ang ibig naming sabihin ay ang kumbinasyon sa isang tiyak na kabuuan ng ilang mga bagay na mahusay na makilala ng ating pagmumuni-muni o ng ating pag-iisip (na tatawaging "mga elemento" ng set). Tulad ng makikita mo, ang kakanyahan ay hindi nagbago, ang pagkakaiba ay nasa bahagi lamang na nakasalalay sa pananaw sa mundo ng determinant. Ang kasaysayan ng set theory, kapwa sa lohika at sa matematika, ay lubos na kontrobersyal. Sa katunayan, inilatag ni Kantor ang pundasyon para dito noong ika-19 na siglo, pagkatapos ay ipinagpatuloy ni Russell at ng iba pa ang gawain.

Paradoxes (logic and set theory) - (mula sa ibang Greek παράδοξος - hindi inaasahan, kakaiba mula sa ibang Greek παρα-δοκέω - I seem) - mga pormal na lohikal na kontradiksyon na lumabas sa makabuluhang set theory at formal logic habang pinapanatili ang lohikal na kawastuhan ng pangangatwiran. Lumilitaw ang mga kabalintunaan kapag ang dalawang magkasalungat na proposisyon (magkasalungat) ay pantay na napatunayan. Ang mga kabalintunaan ay maaaring lumitaw kapwa sa loob ng siyentipikong teorya at sa ordinaryong pangangatwiran (halimbawa, ang kabalintunaan ni Russell tungkol sa hanay ng lahat ng mga normal na hanay ay ibinigay ni Russell: "Ang barbero sa baryo ay nag-aahit ng lahat ng iyon at tanging ang mga naninirahan sa kanyang nayon na hindi nag-ahit sa kanilang sarili. Dapat inahit niya ang iyong sarili?"). Dahil ang isang pormal-lohikal na kontradiksyon ay sumisira sa pangangatwiran bilang isang paraan ng pagtuklas at pagpapatunay ng katotohanan (sa isang teorya kung saan lumilitaw ang isang kabalintunaan, anumang pangungusap, parehong totoo at mali, ay mapapatunayan), ang problema ay bumangon sa pagtukoy ng mga mapagkukunan ng naturang mga kontradiksyon at paghahanap ng mga paraan upang maalis ang mga ito. Ang problema ng pilosopikal na pag-unawa sa mga tiyak na solusyon sa mga kabalintunaan ay isa sa mga mahalagang metodolohikal na problema ng pormal na lohika at ang lohikal na pundasyon ng matematika.

Ang layunin ng gawaing ito ay pag-aralan ang mga kabalintunaan ng set theory bilang tagapagmana ng mga sinaunang antinomiya at medyo lohikal na mga kahihinatnan ng paglipat sa isang bagong antas ng abstraction - infinity. Ang gawain ay isaalang-alang ang mga pangunahing kabalintunaan, ang kanilang pilosopikal na interpretasyon.

Mga pangunahing kabalintunaan ng set theory

Ang barbero ay nag-aahit lamang ng mga taong hindi nag-aahit sa kanilang sarili. Nag-ahit ba siya sa sarili niya?

Magpatuloy tayo sa isang maikling iskursiyon sa kasaysayan.

Ang ilan sa mga lohikal na kabalintunaan ay kilala mula noong sinaunang panahon, ngunit dahil sa katotohanan na ang teorya ng matematika ay limitado sa aritmetika at geometry lamang, imposibleng iugnay ang mga ito sa set na teorya. Noong ika-19 na siglo, ang sitwasyon ay nagbago nang malaki: Naabot ni Kantor ang isang bagong antas ng abstraction sa kanyang mga gawa. Ipinakilala niya ang konsepto ng infinity, sa gayon ay lumikha ng isang bagong sangay ng matematika at sa gayon ay nagpapahintulot sa iba't ibang mga infinity na maihambing gamit ang konsepto ng "kapangyarihan ng isang set". Gayunpaman, sa paggawa nito, lumikha siya ng maraming kabalintunaan. Ang una ay ang tinatawag na Burali-Forti kabalintunaan. Sa panitikan sa matematika, mayroong iba't ibang mga pormulasyon batay sa iba't ibang terminolohiya at isang ipinapalagay na hanay ng mga kilalang teorema. Narito ang isa sa mga pormal na kahulugan.

Mapapatunayan na kung ay isang arbitrary na hanay ng mga ordinal na numero, kung gayon ang sum-set ay isang ordinal na numero na mas malaki sa o katumbas ng bawat isa sa mga elemento ng . Ipagpalagay na ngayon na ang set ng lahat ng ordinal na numero. Kung gayon ay isang ordinal na numero na mas malaki sa o katumbas ng alinman sa mga numero sa . Ngunit pagkatapos at ay isang ordinal na numero, bukod dito, ito ay mahigpit na mas malaki, at samakatuwid ay hindi katumbas ng alinman sa mga numero sa . Ngunit ito ay sumasalungat sa kondisyon na ang set ng lahat ng ordinal na numero.

Ang kakanyahan ng kabalintunaan ay kapag ang hanay ng lahat ng ordinal na numero ay nabuo, ang isang bagong ordinal na uri ay nabuo, na hindi pa kabilang sa "lahat" ng transfinite ordinal na mga numero na umiral bago ang pagbuo ng hanay ng lahat ng ordinal na numero. Ang kabalintunaan na ito ay natuklasan mismo ni Cantor, independiyenteng natuklasan at inilathala ng Italyano na matematiko na si Burali-Forti, ang mga pagkakamali ng huli ay naitama ni Russell, pagkatapos ay nakuha ng pagbabalangkas ang pangwakas na anyo nito.

Sa lahat ng mga pagtatangka upang maiwasan ang mga kabalintunaan at sa ilang mga lawak subukang ipaliwanag ang mga ito, ang ideya ng nabanggit na Russell ay nararapat na bigyang pansin. Iminungkahi niyang ibukod mula sa matematika at lohika ang mga impredicative na pangungusap kung saan ang kahulugan ng isang elemento ng isang set ay nakasalalay sa huli, na nagiging sanhi ng mga kabalintunaan. Ganito ang tunog ng panuntunan: "walang set ang maaaring maglaman ng mga elementong tinukoy lamang sa mga tuntunin ng isang set, pati na rin ang mga elementong nagpapalagay ng set na ito sa kanilang kahulugan." Ang ganitong paghihigpit sa kahulugan ng isang set ay nagpapahintulot sa amin na maiwasan ang mga kabalintunaan, ngunit sa parehong oras ay makabuluhang pinaliit ang saklaw ng aplikasyon nito sa matematika. Bilang karagdagan, ito ay hindi sapat upang ipaliwanag ang kanilang kalikasan at mga dahilan para sa kanilang hitsura, na nakaugat sa dichotomy ng pag-iisip at wika, sa mga tampok ng pormal na lohika. Sa ilang mga lawak, ang paghihigpit na ito ay maaaring masubaybayan ng isang pagkakatulad sa kung ano sa mga susunod na panahon ang mga cognitive psychologist at linguist ay nagsimulang tumawag sa "basic level categorization": ang kahulugan ay nabawasan sa pinaka madaling maunawaan at pag-aaral na konsepto.

Kabalintunaan ni Cantor. Ipagpalagay na ang set ng lahat ng set ay umiiral. Sa kasong ito, totoo na ang bawat set ay isang subset ng . Ngunit ito ay sumusunod mula dito na ang cardinality ng anumang set ay hindi lalampas sa cardinality ng . Ngunit sa bisa ng axiom ng set ng lahat ng subsets, para sa , pati na rin ang anumang set, mayroong isang set ng lahat ng subsets , at sa pamamagitan ng Cantor's theorem, na sumasalungat sa naunang pahayag. Samakatuwid, hindi ito maaaring umiral, na sumasalungat sa "naive" na hypothesis na ang anumang syntactically correct logical na kondisyon ay tumutukoy sa isang set, ibig sabihin, para sa anumang formula na hindi naglalaman ng libre. Ang isang kapansin-pansing patunay ng kawalan ng gayong mga kontradiksyon sa batayan ng axiomatized Zermelo-Fraenkel set theory ay ibinigay ni Potter.

Mula sa isang lohikal na pananaw, ang parehong mga kabalintunaan sa itaas ay magkapareho sa "Sinungaling" o "Ang Barbero": ang ipinahayag na paghatol ay nakadirekta hindi lamang sa isang bagay na may kaugnayan sa kanya, kundi pati na rin sa kanyang sarili. Gayunpaman, dapat bigyang-pansin hindi lamang ang lohikal na bahagi, kundi pati na rin ang konsepto ng kawalang-hanggan, na naroroon dito. Ang panitikan ay tumutukoy sa gawain ng Poincaré, kung saan isinulat niya: "paniniwala sa pagkakaroon ng isang aktwal na kawalang-hanggan ... ginagawang kinakailangan ang mga di-predicative na kahulugan na ito" .

Sa pangkalahatan, ang mga pangunahing punto ay:

1. sa mga kabalintunaan na ito, nilalabag ang tuntunin upang malinaw na paghiwalayin ang "mga globo" ng panaguri at ng paksa; ang antas ng pagkalito ay malapit sa pagpapalit ng isang konsepto para sa isa pa;
2. kadalasan sa lohika ay ipinapalagay na sa proseso ng pangangatwiran ang paksa at ang panaguri ay nagpapanatili ng kanilang dami at nilalaman, sa kasong ito ay may paglipat mula sa isang kategorya patungo sa isa pa, na nagreresulta sa isang pagkakaiba;
3. ang pagkakaroon ng salitang "lahat" ay may katuturan para sa isang may hangganan na bilang ng mga elemento, ngunit sa kaso ng isang walang katapusang bilang ng mga ito, posibleng magkaroon ng isa na, upang tukuyin ang sarili nito, ay mangangailangan ng kahulugan ng isang set;
4. nilalabag ang mga pangunahing lohikal na batas:
   1. nilalabag ang batas ng pagkakakilanlan kapag nahayag ang hindi pagkakakilanlan ng paksa at panaguri;
   2. ang batas ng kontradiksyon - kapag ang dalawang magkasalungat na paghatol ay hinango na may parehong karapatan;
   3. ang batas ng ibinukod na pangatlo - kapag ang ikatlong ito ay kailangang kilalanin, at hindi ibinukod, dahil ang una o ang pangalawa ay hindi makikilala ng isa kung wala ang isa, dahil pareho silang balido.

Ang kabalintunaan ni Russell. Narito ang isa sa kanyang mga pagpipilian. Hayaan ang set ng lahat ng set na hindi naglalaman ng kanilang mga sarili bilang kanilang elemento. Naglalaman ba ito ng sarili bilang isang elemento? Kung gayon, kung gayon, ayon sa kahulugan, hindi ito dapat maging isang elemento - isang kontradiksyon. Kung hindi - kung gayon, sa kahulugan, ito ay dapat na isang elemento - muli isang kontradiksyon. Ang pahayag na ito ay lohikal na hinango mula sa kabalintunaan ni Cantor, na nagpapakita ng kanilang relasyon. Gayunpaman, ang pilosopikal na kakanyahan ay nagpapakita ng sarili nang mas malinaw, dahil ang "paggalaw sa sarili" ng mga konsepto ay nagaganap mismo "sa harap ng ating mga mata".

Tristram Shandy's Paradox. Sa Stern's The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, nalaman ng bayani na inabot siya ng isang buong taon para isalaysay ang mga pangyayari sa unang araw ng kanyang buhay, at isa pang taon para ilarawan ang ikalawang araw. Kaugnay nito, nagrereklamo ang bayani na ang materyal ng kanyang talambuhay ay maipon nang mas mabilis kaysa sa maproseso niya ito, at hinding-hindi niya ito makukumpleto. “Ngayon ay pinaninindigan ko,” tutol dito ni Russell, “na kung siya ay mabubuhay magpakailanman at ang kanyang trabaho ay hindi magiging pabigat sa kanya, kahit na ang kanyang buhay ay patuloy na maging kasing-kaganapan gaya noong simula, kung gayon wala ni isang bahagi ng kanyang talambuhay ang hindi mananatiling hindi nakasulat.

Sa katunayan, mailalarawan ni Shandy ang mga kaganapan sa -ika-araw para sa -ika-taon at, sa gayon, sa kanyang sariling talambuhay, bawat araw ay kukunan. Sa madaling salita, kung ang buhay ay tatagal nang walang katiyakan, magkakaroon ito ng maraming taon ng mga araw.

Gumuhit si Russell ng pagkakatulad sa pagitan ng nobelang ito at ni Zeno sa kanyang pagong. Sa kanyang opinyon, ang solusyon ay nakasalalay sa katotohanan na ang kabuuan ay katumbas ng bahagi nito sa kawalang-hanggan. Yung. tanging ang "axiom of common sense" ay humahantong sa isang kontradiksyon. Gayunpaman, ang solusyon sa problema ay nasa larangan ng purong matematika. Malinaw, mayroong dalawang hanay - taon at araw, sa pagitan ng mga elemento kung saan mayroong isa-sa-isang sulat - isang bijection. Pagkatapos, sa ilalim ng kondisyon ng walang katapusang buhay ng kalaban, mayroong dalawang walang katapusang hanay ng pantay na kapangyarihan, na, kung isasaalang-alang natin ang kapangyarihan bilang isang generalisasyon ng konsepto ng bilang ng mga elemento sa isang set, ay malulutas ang kabalintunaan.

Kabalintunaan (theorem) ng Banach-Tarski o pagdodoble ng bola kabalintunaan- isang theorem sa set theory na nagsasaad na ang isang three-dimensional na bola ay pantay na binubuo ng dalawa sa mga kopya nito.

Dalawang subset ng Euclidean space ay tinatawag na pantay na binubuo kung ang isa ay maaaring hatiin sa isang may hangganan na bilang ng mga bahagi, inilipat ang mga ito, at binubuo ng mga ito ang pangalawa. Mas tiyak, dalawang set at pantay na binubuo kung mairepresenta ang mga ito bilang isang may hangganang unyon ng magkahiwalay na mga subset at para sa bawat isa ay magkapareho ang subset.

Kung gagamitin natin ang pagpipiliang teorama, ang kahulugan ay ganito:

Ang axiom of choice ay nagpapahiwatig na mayroong isang dibisyon ng ibabaw ng isang unit sphere sa isang may hangganan na bilang ng mga bahagi, na, sa pamamagitan ng mga pagbabagong-anyo ng three-dimensional na Euclidean space na hindi nagbabago sa hugis ng mga bahaging ito, ay maaaring tipunin sa dalawa. mga sphere ng unit radius.

Malinaw, dahil sa pangangailangan para sa mga bahaging ito na masusukat, ang pahayag na ito ay hindi magagawa. Ang sikat na physicist na si Richard Feynman sa kanyang talambuhay ay nagsabi kung paano sa isang pagkakataon ay nagtagumpay siya sa pagtatalo tungkol sa paghahati ng isang orange sa isang may hangganang bilang ng mga bahagi at muling pagbubuo nito.

Sa ilang mga punto, ang kabalintunaan na ito ay ginagamit upang pabulaanan ang axiom ng pagpili, ngunit ang problema ay ang itinuturing nating elementarya na geometry ay hindi mahalaga. Ang mga konseptong iyon na itinuturing naming intuitive ay dapat na pahabain sa antas ng mga katangian ng transendental na pag-andar.

Upang higit pang pahinain ang kumpiyansa ng mga naniniwalang mali ang axiom of choice, dapat banggitin ang theorem nina Mazurkiewicz at Sierpinski, na nagsasaad na mayroong isang non-empty subset ng Euclidean plane na mayroong dalawang magkahiwalay na subset, bawat isa ay maaaring hatiin sa isang may hangganang bilang ng mga bahagi, upang ang mga ito ay maisalin ng isometries sa isang takip ng set . Ang patunay ay hindi nangangailangan ng paggamit ng axiom of choice. Ang mga karagdagang konstruksyon batay sa axiom of certainty ay nagbibigay ng resolusyon sa Banach-Tarski na kabalintunaan, ngunit hindi ganoong interes.

1. Ang kabalintunaan ni Richard: Kinakailangang pangalanan ang "pinakamaliit na bilang na hindi pinangalanan sa aklat na ito". Ang kontradiksyon ay na sa isang banda, ito ay maaaring gawin, dahil mayroong pinakamaliit na bilang na pinangalanan sa aklat na ito. Mula dito, maaari ding pangalanan ng isa ang pinakamaliit na hindi pinangalanan. Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw: ang continuum ay hindi mabilang, sa pagitan ng anumang dalawang numero maaari kang magpasok ng isang walang katapusang bilang ng mga intermediate na numero. Sa kabilang banda, kung mapapangalanan natin ang numerong ito, awtomatiko itong lilipat mula sa klase na hindi nabanggit sa aklat patungo sa klase na nabanggit.
2. Grelling-Nilson kabalintunaan: ang mga salita o palatandaan ay maaaring magpahiwatig ng ilang ari-arian at kasabay nito ay mayroon ito o wala. Ang pinakawalang kuwenta na pagbabalangkas ay ganito: ang salitang "heterological" (na nangangahulugang "hindi naaangkop sa sarili nito") heterological?.. Ito ay halos kapareho sa kabalintunaan ni Russell dahil sa pagkakaroon ng isang diyalektikong kontradiksyon: ang duality ng anyo at nilalaman ay nilabag. Sa kaso ng mga salita na may mataas na antas ng abstraction, imposibleng magpasya kung heterological ang mga salitang ito.
3. Skolem na kabalintunaan: gamit ang Gödel completeness theorem at ang Löwenheim-Skolem theorem, nakuha natin na ang axiomatic set theory ay nananatiling totoo kahit na isang countable set lang ng set ang ipinapalagay (available) para sa interpretasyon nito. Kasabay nito, ang teorya ng axiomatic ay kinabibilangan ng nabanggit na teorem ng Cantor, na humahantong sa atin sa hindi mabilang na walang katapusang mga hanay.

Paglutas ng mga kabalintunaan

Ang paglikha ng set theory ay nagbunga ng kung ano ang itinuturing na ikatlong krisis ng matematika, na hindi pa nareresolba nang kasiya-siya para sa lahat. Sa kasaysayan, ang unang diskarte ay set-theoretic. Ito ay batay sa paggamit ng aktwal na infinity, nang ikonsidera na ang anumang infinite sequence ay nakumpleto sa infinity. Ang ideya ay na sa set theory ang isa ay madalas na kailangang gumana sa mga set na maaaring bahagi ng iba, mas malalaking set. Ang mga matagumpay na aksyon sa kasong ito ay posible lamang sa isang kaso: ang mga ibinigay na set (finite at infinite) ay nakumpleto. Ang isang tiyak na tagumpay ay maliwanag: Zermelo-Fraenkel's axiomatic set theory, isang buong paaralan ng matematika ni Nicolas Bourbaki, na umiral nang higit sa kalahating siglo at nagdudulot pa rin ng maraming kritisismo.

Ang lohisismo ay isang pagtatangka na bawasan ang lahat ng kilalang matematika sa mga termino ng aritmetika, at pagkatapos ay bawasan ang mga tuntunin ng aritmetika sa mga konsepto ng lohika ng matematika. Sinagot ito ni Frege nang malapitan, ngunit pagkatapos ng trabaho sa trabaho, napilitan siyang ituro ang kanyang hindi pagkakapare-pareho, pagkatapos ituro ni Russell ang mga kontradiksyon sa teorya. Ang parehong Russell, tulad ng nabanggit kanina, ay sinubukang alisin ang paggamit ng mga impredicative na kahulugan sa tulong ng "type theory". Gayunpaman, ang kanyang mga konsepto ng set at infinity, pati na rin ang axiom ng reducibility, ay naging hindi makatwiran. Ang pangunahing problema ay ang mga pagkakaiba ng husay sa pagitan ng pormal at matematikal na lohika ay hindi isinasaalang-alang, pati na rin ang pagkakaroon ng mga kalabisan na konsepto, kabilang ang mga may likas na intuitive.
Bilang resulta, hindi maalis ng teorya ng lohisismo ang mga diyalektikong kontradiksyon ng mga kabalintunaan na nauugnay sa kawalang-hanggan. Mayroon lamang mga prinsipyo at pamamaraan na naging posible upang maalis ang hindi bababa sa mga di-predicative na kahulugan. Sa kanyang sariling pangangatwiran, si Russell ang tagapagmana ni Cantor.

Sa pagtatapos ng XIX - simula ng XX siglo. ang pagkalat ng pormalistang pananaw sa matematika ay nauugnay sa pag-unlad ng pamamaraang axiomatic at ang programa ng pagpapatibay ng matematika, na inilagay ni D. Hilbert. Ang kahalagahan ng katotohanang ito ay ipinahiwatig ng katotohanan na ang una sa dalawampu't tatlong mga problema na ibinabanta niya sa komunidad ng matematika ay ang problema ng kawalang-hanggan. Kinailangan ang pormalisasyon upang patunayan ang pagkakapare-pareho ng klasikal na matematika, "habang hindi kasama rito ang lahat ng metapisika." Dahil sa mga paraan at pamamaraan na ginamit ni Hilbert, ang kanyang layunin ay naging imposible, ngunit ang kanyang programa ay may malaking epekto sa buong kasunod na pag-unlad ng mga pundasyon ng matematika. Si Hilbert ay nagtrabaho sa problemang ito sa loob ng mahabang panahon, na unang itinayo ang axiomatics ng geometry. Dahil ang solusyon ng problema ay naging matagumpay, nagpasya siyang ilapat ang axiomatic method sa teorya ng natural na mga numero. Narito ang isinulat niya kaugnay nito: "Isinasagawa ko ang isang mahalagang tunguhin: ako ang nagnanais na harapin ang mga tanong ng pundasyon ng matematika, na ginagawa ang bawat pahayag sa matematika sa isang mahigpit na pormula na maaaring makuha." Kasabay nito, pinlano na alisin ang infinity sa pamamagitan ng pagbawas nito sa isang tiyak na bilang ng mga operasyon. Upang gawin ito, bumaling siya sa pisika kasama ang atomismo nito, upang ipakita ang buong hindi pagkakapare-pareho ng walang katapusang dami. Sa katunayan, itinaas ni Hilbert ang tanong ng relasyon sa pagitan ng teorya at layunin na katotohanan.

Ang isang higit pa o hindi gaanong kumpletong ideya ng mga may hangganang pamamaraan ay ibinigay ng mag-aaral ni Hilbert na si J. Herbran. Sa pamamagitan ng may hangganang pangangatwiran, nauunawaan niya ang gayong pangangatwiran na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: mga lohikal na kabalintunaan

Tanging isang may hangganan at tiyak na bilang ng mga bagay at function ang palaging isinasaalang-alang;

Ang mga function ay may tumpak na kahulugan, at ang kahulugan na ito ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang kanilang halaga;

Hindi nito kailanman iginigiit ang "Ang bagay na ito ay umiiral" maliban kung ang isang paraan sa pagbuo nito ay kilala;

Ang hanay ng lahat ng bagay X ng anumang walang katapusang koleksyon ay hindi kailanman isinasaalang-alang;

Kung alam na ang anumang pangangatwiran o teorama ay totoo para sa lahat ng X na ito, nangangahulugan ito na ang pangkalahatang pangangatwiran na ito ay maaaring ulitin para sa bawat partikular na X, at ang pangkalahatang pangangatwiran na ito mismo ay dapat isaalang-alang lamang bilang isang modelo para sa naturang partikular na pangangatwiran.

Gayunpaman, sa oras ng huling publikasyon sa lugar na ito, natanggap na ni Gödel ang kanyang mga resulta, sa esensya ay muli niyang natuklasan at inaprubahan ang pagkakaroon ng dialectics sa proseso ng cognition. Sa esensya, ang karagdagang pag-unlad ng matematika ay nagpakita ng kabiguan ng programa ni Hilbert.

Ano nga ba ang pinatunayan ni Gödel? Mayroong tatlong pangunahing resulta:

1. Ipinakita ni Gödel ang imposibilidad ng isang mathematical na patunay ng pagkakapare-pareho ng anumang sistemang sapat na malaki upang isama ang lahat ng arithmetic, isang patunay na hindi gagamit ng anumang iba pang mga alituntunin ng hinuha kaysa sa makikita sa mismong sistema. Maaaring maging kapaki-pakinabang ang gayong patunay, na gumagamit ng mas makapangyarihang tuntunin ng hinuha. Ngunit kung ang mga alituntuning ito ng hinuha ay mas malakas kaysa sa lohikal na paraan ng arithmetic calculus, kung gayon ay walang tiwala sa pagkakapare-pareho ng mga pagpapalagay na ginamit sa patunay. Sa anumang kaso, kung ang mga pamamaraan na ginamit ay hindi finitist, kung gayon ang programa ni Hilbert ay magiging hindi praktikal. Ipinapakita lamang ni Gödel ang hindi pagkakapare-pareho ng mga kalkulasyon para sa paghahanap ng isang finitistang patunay ng pagkakapare-pareho ng aritmetika.

2. Itinuro ni Godel ang mga pangunahing limitasyon ng mga posibilidad ng pamamaraang axiomatic: ang sistemang Principia Mathematica, tulad ng anumang iba pang sistema kung saan binuo ang aritmetika, ay mahalagang hindi kumpleto, ibig sabihin, para sa anumang pare-parehong sistema ng mga axiom ng aritmetika mayroong mga tunay na pangungusap na aritmetika na hindi nagmula sa mga axiom ng sistemang ito.

3. Ang theorem ni Gödel ay nagpapakita na walang extension ng isang arithmetic system ang makakapagpakumpleto nito, at kahit na punan natin ito ng isang walang katapusang hanay ng mga axiom, kung gayon sa bagong sistema ay palaging magiging totoo, ngunit hindi mababawas sa pamamagitan ng sistemang ito, mga posisyon. Ang axiomatic approach sa aritmetika ng mga natural na numero ay hindi maaaring sumaklaw sa buong larangan ng tunay na aritmetika na mga proposisyon, at ang ibig sabihin natin sa proseso ng matematikal na patunay ay hindi limitado sa paggamit ng axiomatic na pamamaraan. Pagkatapos ng teorama ni Godel, naging walang kabuluhan ang asahan na ang konsepto ng isang nakakumbinsi na patunay sa matematika ay maaaring ibigay minsan at para sa lahat ng mga delineate na anyo.

Ang pinakabago sa seryeng ito ng mga pagtatangka na ipaliwanag ang set theory ay intuitionism.

Dumaan siya sa ilang yugto sa kanyang ebolusyon - semi-intuitionism, intuitionism proper, ultra-intuitionism. Sa iba't ibang yugto, ang mga mathematician ay nag-aalala tungkol sa iba't ibang mga problema, ngunit ang isa sa mga pangunahing problema ng matematika ay ang problema ng infinity. Ang mga matematikal na konsepto ng infinity at continuity ay naging paksa ng pilosopikal na pagsusuri mula noong sila ay mabuo (ang mga ideya ng mga atomista, ang aporias ni Zeno ng Elea, ang infinitesimal na pamamaraan noong unang panahon, ang calculus ng infinitesimals sa modernong panahon, atbp.). Ang pinakamalaking kontrobersya ay sanhi ng paggamit ng iba't ibang uri ng infinity (potensyal, aktwal) bilang mga bagay sa matematika at ang kanilang interpretasyon. Ang lahat ng mga problemang ito, sa aming opinyon, ay nabuo ng isang mas malalim na problema - ang papel ng paksa sa kaalamang pang-agham. Ang katotohanan ay ang estado ng krisis sa matematika ay nabuo ng epistemological na kawalan ng katiyakan ng paghahambing ng mundo ng bagay (infinity) at ang mundo ng paksa. Ang mathematician bilang isang paksa ay may posibilidad na pumili ng paraan ng pag-unawa - alinman sa potensyal o aktwal na kawalang-hanggan. Ang paggamit ng potensyal na kawalang-hanggan bilang isang pagiging isa ay nagbibigay sa kanya ng pagkakataong isagawa, upang bumuo ng isang walang katapusang hanay ng mga konstruksyon na maaaring itayo sa ibabaw ng mga may hangganan, nang walang pagkakaroon ng isang may hangganang hakbang, nang hindi nakumpleto ang pagtatayo, ito ay posible lamang. Ang paggamit ng aktwal na infinity ay nagbibigay sa kanya ng pagkakataong magtrabaho kasama ang infinity bilang na realizable, natapos sa pagbuo nito, bilang aktwal na ibinigay sa parehong oras.

Sa yugto ng semi-intuitionism, ang problema ng infinity ay hindi pa independyente, ngunit hinabi sa problema ng pagbuo ng mga bagay sa matematika at mga paraan upang bigyang-katwiran ito. Ang semi-intuitionism ng A. Poincaré at ang mga kinatawan ng Parisian school ng theory of functions Baire, Lebesgue at Borel ay itinuro laban sa pagtanggap ng axiom ng malayang pagpili, sa tulong kung saan napatunayan ang theorem ni Zermelo, na nagsasabi na ang anumang set ay maaaring gawin ganap na iniutos, ngunit walang pagtukoy ng isang teoretikal na paraan upang matukoy ang mga elemento ng anumang subset ng mga nais na set. Walang paraan upang makabuo ng mathematical object, at walang mathematical object mismo. Naniniwala ang mga mathematician na ang pagkakaroon o kawalan ng isang teoretikal na pamamaraan para sa pagbuo ng isang pagkakasunud-sunod ng mga bagay ng pag-aaral ay maaaring magsilbing batayan para sa pagpapatunay o pagpapabulaanan ng axiom na ito. Sa bersyong Ruso, ang semi-intuitionistic na konsepto sa pilosopikal na pundasyon ng matematika ay binuo sa direksyon tulad ng effectivism na binuo ni N.N. Luzin. Ang pagiging epektibo ay isang pagsalungat sa mga pangunahing abstraction ng doktrina ng Cantor ng walang katapusan - aktuwalidad, pagpili, transfinite induction, atbp.

Para sa effectivism, ang abstraction ng potensyal na pagiging posible ay epistemologically mas mahalaga kaysa sa abstraction ng aktwal na infinity. Dahil dito, nagiging posible na ipakilala ang konsepto ng transfinite ordinals (walang katapusan na mga ordinal na numero) batay sa epektibong konsepto ng paglago ng mga function. Ang epistemological setting ng pagiging epektibo para sa pagpapakita ng tuloy-tuloy (continuum) ay batay sa mga discrete na paraan (aritmetika) at ang deskriptibong teorya ng mga set (function) na nilikha ni N.N. Luzin. Ang intuitionism ng Dutchman L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heyting ay malayang nakikita ang mga umuusbong na pagkakasunud-sunod ng iba't ibang uri bilang isang tradisyonal na bagay ng pag-aaral. Sa yugtong ito, ang paglutas ng mga problema sa matematika nang wasto, kabilang ang muling pagsasaayos ng lahat ng matematika sa isang bagong batayan, itinaas ng mga intuitionist ang pilosopikal na tanong ng papel ng isang matematiko bilang isang paksang nakakaalam. Ano ang kanyang posisyon, kung saan siya ay mas malaya at aktibo sa pagpili ng mga paraan ng katalusan? Ang mga intuitionist ang una (at sa yugto ng semi-intuitionism) na pumuna sa konsepto ng aktwal na kawalang-hanggan, ang teorya ng mga hanay ni Cantor, na nakikita sa loob nito ang paglabag sa kakayahan ng paksa na maimpluwensyahan ang proseso ng siyentipikong paghahanap para sa isang solusyon sa isang nakabubuo na problema . Sa kaso ng paggamit ng potensyal na kawalang-hanggan, ang paksa ay hindi niloloko ang kanyang sarili, dahil para sa kanya ang ideya ng potensyal na kawalang-hanggan ay intuitively mas malinaw kaysa sa ideya ng aktwal na kawalang-hanggan. Para sa isang intuitionist, ang isang bagay ay itinuturing na umiiral kung ito ay direktang ibinigay sa isang mathematician o kung ang paraan ng pagbuo nito ay kilala. Sa anumang kaso, maaaring simulan ng paksa ang proseso ng pagkumpleto ng pagtatayo ng isang bilang ng mga elemento ng kanyang hanay. Ang unconstructed object ay hindi umiiral para sa mga intuitionist. Kasabay nito, ang paksang nagtatrabaho sa aktwal na infinity ay aalisan ng pagkakataong ito at madarama ang dobleng kahinaan ng pinagtibay na posisyon:

1) hindi kailanman posible na isakatuparan ang walang katapusang konstruksyon na ito;

2) nagpasya siyang gumana nang may aktwal na kawalang-hanggan tulad ng sa isang bagay na may hangganan, at sa kasong ito ay nawawala ang kanyang pagtitiyak ng konsepto ng kawalang-hanggan. Sinasadyang nililimitahan ng intuitionism ang mga posibilidad ng isang mathematician sa pamamagitan ng katotohanan na maaari siyang bumuo ng mga bagay sa matematika na eksklusibo sa pamamagitan ng paraan na, kahit na nakuha sa tulong ng mga abstract na konsepto, ay mabisa, nakakumbinsi, mapapatunayan, functionally constructive tumpak na praktikal at ang kanilang mga sarili intuitively malinaw bilang constructions, constructions, ang pagiging maaasahan ng kung saan sa pagsasanay, walang duda. Ang intuitionism, na umaasa sa konsepto ng potensyal na kawalang-hanggan at nakabubuo na mga pamamaraan ng pananaliksik, ay tumatalakay sa matematika ng pagiging, ang set theory ay tumutukoy sa matematika ng pagiging.

Para sa intuitionist na si Brouwer, bilang kinatawan ng mathematical empiricism, pangalawa ang lohika; pinupuna niya ito at ang batas ng ibinukod na gitna.

Sa kanyang bahagyang mystical na mga gawa, hindi niya itinatanggi ang pagkakaroon ng kawalang-hanggan, ngunit hindi pinapayagan ang aktuwalisasyon nito, ang potensyalisasyon lamang. Ang pangunahing bagay para sa kanya ay ang interpretasyon at pagbibigay-katwiran ng praktikal na ginagamit na lohikal na paraan at pangangatwiran sa matematika. Ang paghihigpit na pinagtibay ng mga intuitionist ay nagtagumpay sa kawalan ng katiyakan ng paggamit ng konsepto ng infinity sa matematika at nagpapahayag ng pagnanais na malampasan ang krisis sa pundasyon ng matematika.

Ang ultra-intuitionism (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov at iba pa) ay ang huling yugto sa pagbuo ng intuitionism, kung saan ang mga pangunahing ideya nito ay na-moderno, makabuluhang pupunan at binago, nang hindi binabago ang kakanyahan nito, ngunit nagtagumpay sa mga pagkukulang at pagpapalakas ng mga positibong aspeto, ginagabayan ng ang pamantayan mathematical rigor. Ang kahinaan ng intuitionist na diskarte ay isang makitid na pag-unawa sa papel ng intuwisyon bilang ang tanging pinagmumulan ng pagbibigay-katwiran para sa kawastuhan at pagiging epektibo ng mga pamamaraan sa matematika. Ang pagkuha ng "intuitive clarity" bilang isang criterion ng katotohanan sa matematika, intuitionist methodologically pinapahirapan ang mga posibilidad ng isang mathematician bilang isang paksa ng kaalaman, binawasan ang kanyang aktibidad sa mental operations lamang batay sa intuition at hindi isinama ang pagsasanay sa proseso ng kaalaman sa matematika. Ang ultra-intuitionistic na programa ng pagpapatibay ng matematika ay isang priyoridad ng Russia. Samakatuwid, ang mga domestic mathematician, na nagtagumpay sa mga limitasyon ng intuitionism, ay nagpatibay ng epektibong pamamaraan ng materyalistikong dialectics, na kinikilala ang kasanayan ng tao bilang isang mapagkukunan ng pagbuo ng parehong mga konsepto ng matematika at mga pamamaraan ng matematika (mga hinuha, mga konstruksyon). Nalutas ng mga ultraintuitionist ang problema ng pagkakaroon ng mga bagay sa matematika, hindi umaasa sa hindi natukoy na subjective na konsepto ng intuwisyon, ngunit sa kasanayan sa matematika at isang tiyak na mekanismo para sa pagbuo ng isang bagay sa matematika - isang algorithm na ipinahayag ng isang computable, recursive function.

Pinahuhusay ng ultra-intuitionism ang mga pakinabang ng intuitionism, na binubuo sa posibilidad ng pag-order at pag-generalize ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga nakabubuo na problema na ginagamit ng mga mathematician sa anumang direksyon. Samakatuwid, ang intuitionism ng huling yugto (ultraintuitionism) ay malapit sa constructivism sa matematika. Sa aspetong epistemolohiko, ang mga pangunahing ideya at prinsipyo ng ultraintuitionism ay ang mga sumusunod: pagpuna sa klasikal na axiomatics ng lohika; ang paggamit at makabuluhang pagpapalakas (sa tahasang mga tagubilin ng A.A. Markov) ng papel ng abstraction ng pagkakakilanlan (mental abstraction mula sa hindi magkatulad na katangian ng mga bagay at ang sabay-sabay na paghihiwalay ng mga pangkalahatang katangian ng mga bagay) bilang isang paraan ng pagbuo at constructively understanding abstract mga konsepto, matematikal na paghatol; patunay ng pagkakapare-pareho ng mga pare-parehong teorya. Sa pormal na aspeto, ang aplikasyon ng abstraction ng pagkakakilanlan ay nabibigyang katwiran sa pamamagitan ng tatlong katangian nito (axioms) ng pagkakapantay-pantay - reflexivity, transitivity at symmetry.

Upang malutas ang pangunahing kontradiksyon sa matematika sa problema ng kawalang-hanggan, na nagbunga ng isang krisis ng mga pundasyon nito, sa yugto ng ultra-intuitionism sa mga gawa ni A.N. Iminungkahi ni Kolmogorov ang mga paraan mula sa krisis sa pamamagitan ng paglutas sa problema ng mga relasyon sa pagitan ng klasikal at intuitionistic na lohika, klasikal at intuitionistic na matematika. Ang intuitionism ni Brouwer sa kabuuan ay tinanggihan ang lohika, ngunit dahil ang sinumang matematiko ay hindi magagawa nang walang lohika, ang pagsasagawa ng lohikal na pangangatwiran ay napanatili pa rin sa intuitionism, ang ilang mga prinsipyo ng klasikal na lohika ay pinahintulutan, na mayroong axiomatics bilang batayan nito. S.K. Kleene, R. Wesley kahit na tandaan na ang intuitionistic na matematika ay maaaring inilarawan bilang isang uri ng calculus, at ang calculus ay isang paraan ng pag-aayos ng kaalaman sa matematika batay sa lohika, pormalisasyon at anyo nito - algorithmization. Isang bagong bersyon ng ugnayan sa pagitan ng lohika at matematika sa loob ng balangkas ng intuitionistic na mga kinakailangan para sa intuitive na kalinawan ng mga paghatol, lalo na ang mga may kasamang negasyon, A.N. Iminungkahi ni Kolmogorov ang mga sumusunod: ipinakita niya ang intuitionistic na lohika, malapit na nauugnay sa intuitionistic mathematics, sa anyo ng isang axiomatic implicative minimal calculus ng mga proposisyon at predicates. Kaya, ipinakita ng siyentipiko ang isang bagong modelo ng kaalaman sa matematika, na nagtagumpay sa mga limitasyon ng intuitionism sa pagkilala lamang sa intuwisyon bilang isang paraan ng pag-unawa at mga limitasyon ng lohisismo, na nagpapawalang-bisa sa mga posibilidad ng lohika sa matematika. Ang posisyong ito ay naging posible na ipakita sa matematikal na anyo ang synthesis ng intuitive at lohikal bilang batayan ng flexible rationality at ang constructive effectiveness nito.

Kaya, ang epistemological na aspeto ng kaalaman sa matematika ay nagpapahintulot sa amin na suriin ang mga rebolusyonaryong pagbabago sa yugto ng krisis ng mga pundasyon ng matematika sa pagliko ng ika-19-20 na siglo. mula sa mga bagong posisyon sa pag-unawa sa proseso ng cognition, ang kalikasan at papel ng paksa sa loob nito. Ang epistemological na paksa ng tradisyonal na teorya ng kaalaman, na naaayon sa panahon ng dominasyon ng set-theoretical na diskarte sa matematika, ay isang abstract, hindi kumpleto, "bahagyang" paksa, na kinakatawan sa mga relasyon sa paksa-bagay, pinunit ng abstractions, lohika, pormalismo mula sa realidad, makatwiran, theoretically alam ang bagay nito at nauunawaan bilang isang salamin, tumpak na sumasalamin at pagkopya ng katotohanan. Sa katunayan, ang paksa ay hindi kasama sa katalusan bilang isang tunay na proseso at resulta ng pakikipag-ugnayan sa bagay. Ang pagpasok ng intuitionism sa arena ng pakikibaka ng mga pilosopikal na uso sa matematika ay humantong sa isang bagong pag-unawa sa matematiko bilang isang paksa ng kaalaman - isang taong nakakaalam, na ang pilosopikal na abstraction ay dapat na itayo, tulad ng dati. Ang mathematician ay lumitaw bilang isang empirical na paksa, na nauunawaan bilang isang integral na tunay na tao, kasama ang lahat ng mga katangian na nakuha mula sa epistemological na paksa - empirical concreteness, variability, historicity; ito ay isang kumikilos at nakakaalam sa tunay na katalusan, isang malikhain, intuitive, mapag-imbento na paksa. Ang pilosopiya ng intuitionistic na matematika ay naging batayan, ang pundasyon ng modernong epistemological paradigm, na binuo sa konsepto ng flexible rationality, kung saan ang isang tao ay isang integral (holistic) na paksa ng cognition, nagtataglay ng mga bagong cognitive na katangian, pamamaraan, pamamaraan; pinagsasama-sama niya ang kanyang abstract-epistemological at lohikal-methodological na kalikasan at anyo, at sa parehong oras ay tumatanggap ng isang eksistensyal-antropolohikal at "historical-metaphysical" na pag-unawa.

Ang isang mahalagang punto ay din ang intuwisyon sa katalusan at, sa partikular, sa pagbuo ng mga konsepto sa matematika. Muli, mayroong isang pakikibaka sa pilosopiya, mga pagtatangka na ibukod ang batas ng ibinukod na gitna, bilang walang kahulugan sa matematika at nanggagaling sa pilosopiya. Gayunpaman, ang pagkakaroon ng labis na diin sa intuwisyon at ang kakulangan ng malinaw na mga katwiran sa matematika ay hindi pinahintulutan ang paglilipat ng matematika sa isang matatag na pundasyon.

Gayunpaman, pagkatapos ng paglitaw ng isang mahigpit na konsepto ng isang algorithm noong 1930s, ang baton mula sa intuitionism ay kinuha ng mathematical constructivism, na ang mga kinatawan ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa modernong teorya ng computability. Bilang karagdagan, noong 1970s at 1980s, natuklasan ang mga makabuluhang koneksyon sa pagitan ng ilan sa mga ideya ng mga intuitionist (kahit na ang mga dati ay tila walang katotohanan) at ang matematikal na teorya ng topos. Ang matematika na matatagpuan sa ilang topoi ay halos kapareho sa sinusubukang likhain ng mga intuitionist.

Bilang isang resulta, ang isa ay maaaring gumawa ng isang pahayag: karamihan sa mga kabalintunaan sa itaas ay hindi umiiral sa teorya ng mga set na may pagmamay-ari sa sarili. Kung depinitibo ang ganitong paraan ay mapagtatalunan, ipapakita ang karagdagang gawain sa lugar na ito.

Konklusyon

Ang dialectical-materialistic analysis ay nagpapakita na ang mga kabalintunaan ay bunga ng dichotomy ng wika at pag-iisip, isang pagpapahayag ng malalim na dialectical (Gödel's theorem na naging posible upang maipakita ang dialectics sa proseso ng cognition) at epistemological na mga paghihirap na nauugnay sa mga konsepto ng isang bagay at paksa. lugar sa pormal na lohika, isang set (klase) sa logic at set theory, na may paggamit ng abstraction principle, na nagpapahintulot sa pagpapakilala ng mga bagong (abstract) na bagay (infinity), na may mga pamamaraan para sa pagtukoy ng abstract na mga bagay sa agham, atbp. Samakatuwid, isang Ang unibersal na paraan upang maalis ang lahat ng mga kabalintunaan ay hindi maibibigay.

Kung ang ikatlong krisis ng matematika ay tapos na (dahil ito ay nasa isang sanhi na relasyon sa mga kabalintunaan; ngayon ang mga kabalintunaan ay isang mahalagang bahagi) - ang mga opinyon ay naiiba dito, bagaman ang pormal na kilalang mga kabalintunaan ay inalis noong 1907. Gayunpaman, ngayon sa matematika ay may iba pang mga pangyayari na maaaring ituring na alinman sa krisis o nagbabadya ng isang krisis (halimbawa, ang kawalan ng mahigpit na katwiran para sa integral ng landas).

Tulad ng para sa mga kabalintunaan, ang kilalang sinungaling na kabalintunaan ay gumaganap ng isang napakahalagang papel sa matematika, pati na rin ang isang buong serye ng mga kabalintunaan sa tinatawag na walang muwang (nauna na axiomatic) set na teorya na nagdulot ng isang krisis ng mga pundasyon (isa sa mga paradox na ito ang gumanap isang nakamamatay na papel sa buhay ni G. Frege) . Ngunit, marahil, ang isa sa mga pinaka-underestimated na phenomena sa modernong matematika, na maaaring tawaging parehong kabalintunaan at krisis, ay ang solusyon ni Paul Cohen noong 1963 ng unang problema ni Hilbert. Mas tiyak, hindi ang mismong katotohanan ng desisyon, ngunit ang likas na katangian ng desisyong ito.

Panitikan

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
2. SA. Burova. Mga kabalintunaan ng set theory at dialectics. Agham, 1976.
3. M.D. Magpapalayok. Itakda ang teorya at ang pilosopiya nito: isang kritikal na panimula. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Zhukov N.I. Pilosopikal na pundasyon ng matematika. Minsk: Universitetskoe, 1990.
5. Feynman R.F., S. Ilyin. Siyempre, nagbibiro ka, Mr. Feynman!: ang mga pakikipagsapalaran ng isang kamangha-manghang tao, na sinabi niya kay R. Layton. Hummingbird, 2008.
6. O. M. Mizhevich. Dalawang Paraan para Malampasan ang Mga Kabalintunaan sa Set Theory ni G. Kantor. Logical and Philosophical Studies, (3):279-299, 2005.
7. S. I. Masalova. PILOSOPIYA NG INTUITIONIST MATHEMATICS. Bulletin ng DSTU, (4), 2006.
8. Chechulin V.L. Teorya ng mga set na may pagmamay-ari ng sarili (pundasyon at ilang aplikasyon). Perm. estado un-t. – Perm, 2012.
9. S. N. Tronin. Maikling buod ng mga lektura sa disiplina na "Philosophy of Mathematics". Kazan, 2012.
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. Pag-aaral sa set theory at non-classical logics. Agham, 1976.
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: itong walang katapusang garland. Bahrakh-M, 2001.
12. Kabakov F.A., Mendelson E. Panimula sa mathematical logic. Publishing house na "Nauka", 1976.
13. OO. Bochvar. Sa tanong ng mga kabalintunaan ng mathematical logic at set theory. Koleksyon ng Matematika, 57(3):369-384, 1944.

Ang paglalarawan ng lugar ng paksa (ang paglikha ng ontolohiya nito) ay nagsisimula sa pagpili ng mga bagay at kanilang pag-uuri, na ayon sa kaugalian ay binubuo sa pag-compile ng isang puno ng mga subclass at pagtatalaga ng mga indibidwal sa kanila. Kasabay nito, ang terminong "klase", sa katunayan, ay ginagamit sa kahulugan ng "set": ang pagre-refer ng isang bagay sa isang klase ay iniisip na kasama ito bilang isang elemento sa kaukulang hanay. Ang layunin ng tekstong ito ay upang ipakita na ang gayong pinag-isang diskarte sa paglalarawan ng istraktura ng lugar ng paksa ay isang malakas na pagpapasimple at hindi pinapayagan ang pag-aayos ng iba't ibang semantikong relasyon ng mga bagay.

Tingnan natin ang tatlong opsyon para sa pag-uuri ng indibidwal na Bug:

1. Hayop - aso - husky - Bug.
2. Serbisyo - pagsakay - Bug.
3. Kulungan ng aso - pangkat ng mga aso - Zhuchka.

Ang unang pagkakasunud-sunod ng mga subordinate na entity ay malinaw na inilarawan sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga klase at subclass: ang bug ay isang indibidwal ng "like" class, ang "like" class ay isang subclass ng mga aso, at ang isa ay isang subclass ng "animal" class . Sa kasong ito, ang klase na "mga hayop" ay itinuturing bilang isang hanay ng lahat ng mga hayop, at ang klase ay "gusto" bilang isang subset ng hanay na "mga aso". Gayunpaman, ang gayong paglalarawan, sa kabila ng katotohanan na ito ay medyo malinaw, ay makabuluhang tautological, self-referential: tinatawag namin ang indibidwal na Bug na isang husky kung ito ay kasama sa hanay ng mga huskies, at ang hanay ng mga huskies mismo ay tinukoy bilang ang kabuuan ng lahat ng indibidwal ng huskies - iyon ay, pagsasama sa hanay ng makabuluhang duplicate na pangalan. Bilang karagdagan, ang paglalarawan ng isang class-set ay ganap na naubos sa pamamagitan ng paglalarawan ng isang indibidwal na nahuhulog sa ilalim ng konsepto na tumutukoy sa klase. Dapat ding tandaan na ang pagpapatakbo ng naturang mga klase-set ay hindi nakasalalay sa bilang ng mga elemento sa kanila: ang Bug's husky ay magiging husky kahit na ito ay nananatiling nag-iisa, huling husky sa Earth. Higit pa rito, maaari tayong magpatakbo ng mga ganitong klase-set kahit na walang mga indibidwal sa kanila: maaari tayong bumuo ng isang ontolohiya ng mga extinct na dinosaur, mag-isip ng isang klase na sa hinaharap lamang ay magsasama ng isang natatanging aparato na idinisenyo, o bumuo ng isang modelo ng paksang lugar ng mga mythical na hayop, mga bayani ng mga fairy tale, kahit na sa parehong oras ang cardinality ng lahat ng class-set ay magiging katumbas ng zero.

Kaya, kung pinag-uusapan natin ang bahagi ng nilalaman ng nasuri na pag-uuri (hayop - aso - husky - Bug), kung gayon ito (ang bahagi ng nilalaman) ay hindi maipahayag sa anumang paraan sa pamamagitan ng kaugnayan ng mga set at subset. Sa kasong ito, nakikitungo tayo sa konseptwalisasyon - ang pagpili ng mga konsepto at pagtatatag ng mga relasyon ng genus-species sa pagitan nila. Kasabay nito, ang aktwal na bilang ng mga elemento ng konseptong klase, iyon ay, ang saklaw ng konsepto, ay hindi lilitaw sa kahulugan nito at binanggit (at kahit na pagkatapos ay hindi makabuluhan) lamang kapag ang isang konsepto ("tulad") ay bumagsak. sa ilalim ng isa pa ("aso"), iyon ay, kapag bilang isang uri ng genus. Oo, maaari nating sabihin na ang saklaw ng konseptong "aso" ay mas malaki kaysa sa saklaw ng konseptong "tulad", ngunit ang tunay na numerical ratio ng mga set na ito ay walang anumang ontological na kahulugan. Ang paglampas sa dami ng isang klase ng volume ng isang subclass sa mga ugnayan ng genus-species ay sumasalamin lamang sa katotohanan na, ayon sa kahulugan ng isang genus, dapat itong magsama ng ilang mga species - kung hindi, ang pag-uuri na ito ay magiging walang kahulugan. Iyon ay, sa pag-uuri ng konsepto ng genus-species, interesado kami sa nilalaman ng mga konsepto - kung paano naiiba ang uri ng "aso" mula sa uri na "pusa" (na nasa ilalim din ng generic na konsepto ng "hayop" para sa kanila), at hindi kung paano nauugnay ang mga volume ng mga hanay ng genus at species at higit pa kaya ang mga volume ng mga partikular na konsepto ("aso" at "pusa"). At upang makilala ang mga konseptong klase mula sa tunay na mabibilang na mga hanay, mas tamang pag-usapan ang tungkol sa nahuhulog sa ilalim ng konsepto at hindi tungkol sa pagsasama ito sa isang klase/set. Malinaw na sa pormal na notasyon, ang mga pahayag na "kabilang sa konsepto ng X" at "ay isang elemento ng klase X" ay maaaring magkamukha, ngunit ang hindi pag-unawa sa mahahalagang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang paglalarawan na ito ay maaaring humantong sa mga malubhang pagkakamali sa ang pagbuo ng ontolohiya.

Sa pangalawang variant (serbisyo - pagmamaneho - Bug), hindi rin kami interesado sa paghahambing ng konsepto ng "pagmamaneho" sa anumang hanay: ang semantikong nilalaman ng pahayag na "Bug - pagmamaneho" ay hindi nakasalalay sa kung ito lamang ang pagmamaneho isa o marami sa kanila. Mukhang narito ang pakikitungo natin sa mga relasyon ng genus-species: ang konsepto ng "pagmamaneho" ay maaaring isaalang-alang bilang isang tiyak na may paggalang sa generic na konsepto ng "serbisyo". Ngunit ang koneksyon ng indibidwal na "Bug" sa konsepto ng "pagmamaneho" ay makabuluhang naiiba sa koneksyon sa konsepto ng "tulad": ang pangalawa, konseptwal, konsepto ay immanent at walang paltos na likas sa indibidwal, at ang una ay sumasalamin sa lokal. sa oras espesyalisasyon. Ang bug ay hindi ipinanganak bilang isang mangangabayo, at marahil sa edad na ito ay maaaring tumigil na ito at lumipat sa kategorya ng mga guwardiya, at sa katandaan, sa pangkalahatan, mawawala ang anumang "propesyon". Iyon ay, nagsasalita ng pagdadalubhasa, maaari nating palaging makilala ang mga kaganapan ng pagkuha at pagkawala ng koneksyon sa isang partikular na konsepto. Halimbawa, ang Bug ay maaaring kilalanin bilang ganap na kampeon ng lahi, at pagkatapos ay mawala ang pamagat na ito, na sa panimula ay imposible sa mga konseptong konsepto: ang Bug mula sa pagsilang hanggang sa kamatayan, iyon ay, para sa buong yugto ng panahon ng pagkakaroon nito bilang isang indibidwal, ay isang aso at isang husky. Kaya ang isang tao ay nananatiling konsepto ng "tao" sa buong buhay niya, ngunit sa sitwasyon (mula sa kaganapan hanggang sa kaganapan) ay maaaring mahulog sa ilalim ng mga espesyal na konsepto ng "mag-aaral", "mag-aaral", "doktor", "asawa", atbp. At tulad ng dati nabanggit, ang koneksyon sa mga konseptong ito ay hindi man lang nangangahulugan ng pagsasama sa isang tiyak na hanay (bagama't maaaring ganito ang hitsura) - ang pagtatalaga ng isang espesyal na konsepto ay palaging resulta ng isang partikular na relasyon ng isang indibidwal sa ibang mga indibidwal: pagpasok sa isang paaralan, unibersidad, pagkuha ng diploma, pagpaparehistro ng kasal, atbp. Samakatuwid, maaari ding tawagin ang mga espesyal na konsepto pamanggit. Mula sa mga halimbawa sa itaas, ang isa pang makabuluhang pagkakaiba sa pagitan ng konseptwal na pag-uuri at espesyalisasyon ay sumusunod: ang isang indibidwal ay maaaring magkaroon ng ilang mga espesyalisasyon (ang isang bug ay maaaring isang sled dog at isang kampeon ng lahi, ang isang tao ay isang mag-aaral at isang asawa), ngunit hindi maaaring sabay-sabay. magpasok ng higit sa isang haka-haka na hierarchy (ang isang bug ay hindi maaaring maging isang aso, at isang pusa).

At sa ikatlong bersyon lamang ng paglalarawan ng Zhuchka - bilang pag-aari sa isang tiyak na kulungan ng aso at bilang isang miyembro ng isang tiyak na koponan na kumukuha ng mga sled sa tundra - kinakailangan lamang na banggitin ang karamihan. Sa kasong ito lamang, may karapatan tayong sabihin na ang isang indibidwal ay isang elemento ng isang kongkretong hanay na may mabibilang na bilang ng mga elemento, at hindi nasa ilalim ng konsepto, na maaaring katawanin bilang isang abstract na hanay, na may kondisyong pag-aayos ng saklaw ng konseptong ito. At narito, mahalaga na ang isang indibidwal ay bahagi ng isa pang indibidwal, na unang tinukoy bilang isang set: ang isang kulungan ng aso at isang koponan ay kinakailangang isang hindi walang laman na hanay ng mga aso, at ang bilang ng mga elemento ng hanay na ito ay kinakailangang kasama sa kanilang mga kahulugan bilang mga indibidwal. Iyon ay, sa kasong ito, dapat nating pag-usapan ang tungkol sa relasyon bahagi-buo: Ang bug ay bahagi ng kulungan ng aso at bahagi ng koponan. Bukod dito, ang pagpasok o hindi pagpasok ng Bug sa isang partikular na koponan ay nagbabago sa nilalaman (team) nito: kung mayroon kaming dalawang koponan, pagkatapos ay pagkatapos alisin ang Bug, ang koponan ay magiging isang koponan. Sa ganitong mga kaso, nakikipag-usap tayo hindi lamang sa isang mabibilang na hanay (mga aso sa isang kulungan ng aso), ngunit sa isang indibidwal na ang kakanyahan ay nagbabago kapag ang komposisyon ng mga elemento nito ay nagbabago, ay tinutukoy ng komposisyon na ito, iyon ay, sa sistema. Kung ang isang kulungan ng aso ay isang indibidwal-grupo lamang, na inilarawan sa pamamagitan ng isang hanay ng mga elementong kasama dito, kung gayon ang isang pangkat ay isang sistema, na ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa bilang at mga detalye ng mga bahagi nito.

Samakatuwid, kapag bumubuo ng isang ontology ng isang paksa na lugar, maaari isa-isa ang tunay na mga bagay-set, tiyak na tinukoy bilang isang koleksyon ng isang tiyak na bilang ng mga indibidwal. Ito ay: isang klase sa paaralan, mga kalakal sa isang kahon sa isang bodega, mga bahagi ng isang bloke ng elektronikong aparato, atbp. At ang mga set na ito ay maaaring maging mga subset ng iba pang tunay na mabibilang na hanay: lahat ng mga mag-aaral sa isang paaralan, lahat ng mga kalakal sa isang bodega, lahat mga bahagi ng isang aparato. Kapag nakikilala ang mga hanay na ito, mahalaga na sila (ang mga hanay na ito) ay kumilos bilang mga independiyenteng indibidwal (isang pangkat, isang pangkat ng mga kalakal, isang hanay ng mga bahagi), ang pangunahing katangian kung saan ay tiyak ang bilang ng mga elementong kasama sa kanila. Bukod dito, ang isang pagbabago sa katangiang ito ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa katayuan ng bagay, halimbawa, na may pagtaas sa bilang ng mga elemento, gawing isang quintet ang isang quartet o isang rehimyento sa isang brigada. Mahalaga rin na ang paglalarawan ng mga set-object na ito, kumplikadong mga bagay, ay hindi limitado sa paglalarawan ng mga indibidwal na kasama sa mga ito, bagama't maaari itong magsama ng indikasyon ng tinatanggap na uri ng huli (isang string quartet, isang pangkat ng mga kabayo). At ang gayong mga ugnayan - hindi sa pagitan ng mga abstract na hanay, ngunit sa pagitan ng mga hanay na mga indibidwal, kumplikadong mga bagay - ay mas tumpak na inilarawan bilang bahagi-buong mga relasyon, at hindi class-subclass.

Kaya, ang tradisyonal na pag-uuri ng mga indibidwal sa pamamagitan ng pagtatalaga sa kanila sa ilang mga klase-set ay hindi maituturing na homogenous. Kinakailangang makilala sa pagitan ng (1) ang pagsasama ng mga indibidwal bilang mga bahagi sa isang kumplikadong bagay (buo), ang semantiko na pagtitiyak na hindi limitado sa paglalarawan ng mga elemento nito. Kasabay nito (1.1.), ang isang object-buo ay maituturing lamang bilang isang pinangalanang hanay ng mga indibidwal (mga bahagi sa isang pakete, isang koleksyon ng mga kuwadro na gawa), kung saan, sa katunayan, ang bilang lamang ng mga bahagi ay mahalaga. Ang ganitong mga bagay ay maaaring tawagin mga grupo (o mga koleksyon)). Gayundin (1.2.) ang isang bagay-buo ay maaaring maging makabuluhan (at hindi lamang sa dami) na tinutukoy ng mga bahagi nito at, bilang resulta, may mga katangian na wala ang mga bahagi. Ang ganitong integridad ay tradisyonal na tinatawag mga sistema, at mga bahagi ng system - mga elemento. Ang pangalawang opsyon para sa paglalarawan ng mga bagay sa pamamagitan ng pagtatalaga sa mga ito sa mga subclass ay (2) ang pagbagsak ng mga indibidwal sa ilalim ng konsepto, na maaari lamang pormal na inilarawan bilang tautologically bilang pagsasama ng mga indibidwal sa isang set na ang kapangyarihan ay katumbas ng kapangyarihan ng konsepto. Ang konseptong paglalarawan ng mga indibidwal, sa turn, ay maaaring uriin sa (2.1) konseptwal, sa buong mundo na inaayos ang uri ng indibidwal, at (2.2) dalubhasa (relational), lokal sa oras at espasyo (event-wise) na nag-uugnay sa indibidwal sa iba pang mga bagay.

Ang pangangatwiran sa itaas, una sa lahat, ay itinaas ang tanong ng kasapatan at kasapatan ng tradisyonal na diskarte sa paglalarawan ng paksa gamit ang isang klasipikasyon batay sa set theory. At ang konklusyon ay iminungkahi: upang ayusin ang buong iba't ibang mga ugnayan ng bagay sa ontologies, kailangan ang higit pang magkakaibang mga tool sa pag-uuri (mga grupo, sistema, konseptong konsepto at dalubhasa). Ang pormalismo ng set theory ay maaari lamang gamitin bilang lokal na pagpapasimple para sa mga pangangailangan ng hinuha, at hindi bilang pangunahing paraan ng paglalarawan.