Bernoulli test scheme. Bernoulli formula
Gumawa tayo ng ilang pagsubok. Bukod dito, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $A$ sa bawat pagsubok ay hindi nakadepende sa mga kinalabasan ng iba pang mga pagsubok. Ang ganitong mga pagsubok ay tinatawag na independiyenteng may kinalaman sa kaganapan A. Sa iba't ibang mga independiyenteng pagsubok, ang kaganapan A ay maaaring magkaroon ng magkaibang probabilidad, o isa at pareho. Isasaalang-alang lamang namin ang mga independiyenteng pagsubok kung saan ang kaganapang $A$ ay may parehong posibilidad.
Sa pamamagitan ng isang kumplikadong kaganapan ibig sabihin namin ay isang kumbinasyon ng mga simpleng kaganapan. Hayaang maisagawa ang n pagsubok. Sa bawat pagsubok, ang kaganapang $A$ ay maaaring mangyari o hindi. Ipinapalagay namin na sa bawat pagsubok ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $A$ ay pareho at katumbas ng $p$. Kung gayon ang posibilidad na $\overline A $ (o hindi paglitaw ng A ) ay katumbas ng $P(( \overline A ))=q=1-p$.
Hayaang kailanganin na kalkulahin ang posibilidad na sa n-magaganap ang kaganapan sa pagsubok na $A$ k- beses at $n-k$ ulit - hindi darating. Ang posibilidad na ito ay ilalarawan ng $P_n (k)$. Bukod dito, ang pagkakasunod-sunod ng paglitaw ng kaganapan $A$ ay hindi mahalaga. Halimbawa: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$
$P_5 (3)-$ sa limang pagsubok na kaganapan $A$ ay lumitaw nang 3 beses at 2 ang hindi lumitaw. Ang posibilidad na ito ay matatagpuan gamit ang Bernoulli formula.
Pinagmulan ng Bernoulli formula
Sa pamamagitan ng theorem ng multiplikasyon ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan, ang posibilidad na ang kaganapang $A$ ay nangyari $k$ beses at $n-k$ beses ay hindi nangyari ay katumbas ng $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. At maaaring magkaroon ng kasing dami ng mga masalimuot na kaganapan gaya ng maaaring magkaroon ng $C_n^k $. Dahil ang mga kumplikadong kaganapan ay hindi magkatugma, pagkatapos ay ayon sa theorem sa kabuuan ng mga probabilidad ng mga hindi magkatugma na mga kaganapan, kailangan nating idagdag ang mga probabilidad ng lahat ng mga kumplikadong kaganapan, at mayroong eksaktong $C_n^k $ ng mga ito. Kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang $A$ ay eksakto k minsan a n mga pagsubok, mayroong $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Formula ni Bernoulli.
Halimbawa. Ang isang die ay ibinabato ng 4 na beses. Hanapin ang posibilidad na ang isa ay lilitaw sa kalahati ng oras.
Solusyon. $A=$ (hitsura ng isa)
$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=$0.115
Madaling makita iyon para sa malalaking halaga n sa halip mahirap kalkulahin ang posibilidad dahil sa napakalaking bilang. Lumalabas na ang posibilidad na ito ay maaaring kalkulahin hindi lamang gamit ang Bernoulli formula.
Kung maraming pagsubok ang ginawa, at ang posibilidad ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay hindi nakasalalay sa mga resulta ng iba pang mga pagsubok, kung gayon ang mga naturang pagsubok ay tinatawag na independyente kaugnay ng kaganapan A .
Sa iba't ibang mga independiyenteng pagsubok, ang kaganapan A ay maaaring magkaroon ng alinman sa magkaibang mga probabilidad o parehong posibilidad. Isasaalang-alang lamang namin ang mga independiyenteng pagsubok kung saan ang kaganapan A ay may parehong posibilidad.
Sa ibaba ay ginagamit namin ang konsepto kumplikado mga pangyayari, pag-unawa dito kumbinasyon ng ilang magkakahiwalay na kaganapan, na tinatawag na simple lang .
Hayaan itong mabuo n mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan maaaring mangyari o hindi mangyari ang A. Sumang-ayon tayo na ipagpalagay na ang posibilidad ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pareho, ibig sabihin, ito ay katumbas ng R . Samakatuwid, ang posibilidad ng hindi paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho din at katumbas ng q = 1 - p .
Itakda natin sa ating sarili ang gawain ng pagkalkula ng posibilidad na n mga pagsubok, eksaktong magaganap ang kaganapan A k beses at, samakatuwid, ay hindi maisasakatuparan n-k minsan. Mahalagang bigyang-diin na hindi kinakailangan na eksaktong mauulit ang kaganapang A k beses sa isang tiyak na pagkakasunod-sunod.
Halimbawa, kung pinag-uusapan natin ang paglitaw ng isang kaganapan PERO tatlong beses sa apat na pagsubok, posible ang mga sumusunod na kumplikadong kaganapan: AAA, AAA, AAA, AAA. Pagre-record AAA nangangahulugan na sa una, pangalawa at pangatlong pagsubok ang kaganapan PERO dumating, ngunit sa ikaapat na pagsubok ay hindi ito lumitaw, i.e. kabaligtaran ang nangyari NGUNIT; ibang mga entry ay may katumbas na kahulugan.
Ipahiwatig ang nais na posibilidad R p (k) . Halimbawa, ang simbolo R 5 (3) nangangahulugang ang posibilidad na sa limang pagsubok ang kaganapan ay magaganap nang eksaktong 3 beses at, samakatuwid, ay hindi magaganap nang 2 beses.
Ang problema ay maaaring malutas gamit ang tinatawag na Bernoulli formula.
Pinagmulan ng Bernoulli formula. Ang posibilidad ng isang tambalang kaganapan na binubuo sa katotohanan na sa P kaganapan sa pagsubok PERO darating k minsan at hindi darating n - k beses, ayon sa teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan ay katumbas ng p k q n - k . Maaaring mayroong kasing dami ng mga masalimuot na kaganapan gaya ng mga kumbinasyon ng P mga elemento sa pamamagitan ng k mga elemento, i.e. C n k .
Simula ng mga masalimuot na pangyayaring ito hindi magkatugma, pagkatapos ayon sa theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan ang gustong probabilidad ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng kumplikadong pangyayari. Dahil ang mga probabilidad ng lahat ng kumplikadong kaganapang ito ay pareho, ang nais na posibilidad (ng pangyayari k mga oras ng kaganapan PERO sa P mga pagsubok) ay katumbas ng posibilidad ng isang kumplikadong kaganapan, na pinarami ng kanilang numero:
Ang resultang formula ay tinatawag Bernoulli formula .
Halimbawa 1. Ang posibilidad na ang pagkonsumo ng kuryente sa isang araw ay hindi lalampas sa itinatag na pamantayan ay katumbas ng p = 0.75 . Hanapin ang posibilidad na sa susunod na 6 na araw ang konsumo ng kuryente sa loob ng 4 na araw ay hindi lalampas sa pamantayan.
Solusyon. Ang posibilidad ng normal na pagkonsumo ng kuryente sa bawat 6 na araw ay pare-pareho at katumbas ng p = 0.75 . Samakatuwid, ang posibilidad ng labis na paggasta ng kuryente araw-araw ay pare-pareho at katumbas ng q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25.
Ang nais na posibilidad ayon sa Bernoulli formula ay katumbas ng:
Maikling teorya
Ang teorya ng probabilidad ay tumatalakay sa mga eksperimento na maaaring ulitin (kahit sa teorya) ng walang limitasyong bilang ng beses. Hayaang ulitin ang ilang eksperimento nang isang beses, at ang mga resulta ng bawat pag-uulit ay hindi nakadepende sa mga resulta ng mga nakaraang pag-uulit. Ang ganitong mga serye ng mga pag-uulit ay tinatawag na mga independiyenteng pagsubok. Ang isang espesyal na kaso ng naturang mga pagsubok ay independiyenteng mga pagsubok sa Bernoulli, na nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang kundisyon:
1) ang resulta ng bawat pagsubok ay isa sa dalawang posibleng resulta, na tinatawag na "tagumpay" o "kabiguan".
2) ang posibilidad ng "tagumpay" sa bawat kasunod na pagsubok ay hindi nakasalalay sa mga resulta ng mga nakaraang pagsubok at nananatiling pare-pareho.
Ang teorama ni Bernoulli
Kung ang isang serye ng mga independiyenteng pagsubok sa Bernoulli ay ginawa, sa bawat isa kung saan ang "tagumpay" ay nangyayari nang may posibilidad , kung gayon ang posibilidad na ang "tagumpay" sa mga pagsubok ay nangyari nang eksaktong isang beses ay ipinahayag ng formula:
nasaan ang posibilidad ng pagkabigo.
- ang bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento sa pamamagitan ng (tingnan ang mga pangunahing formula ng combinatorics)
Ang formula na ito ay tinatawag na Bernoulli formula.
Ang Bernoulli formula ay nagbibigay-daan sa iyo upang mapupuksa ang isang malaking bilang ng mga kalkulasyon - pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad - na may sapat na malaking bilang ng mga pagsubok.
Ang Bernoulli test scheme ay tinatawag ding binomial scheme, at ang katumbas na probabilities ay tinatawag na binomial, na nauugnay sa paggamit ng binomial coefficients.
Ang pamamahagi ayon sa Bernoulli scheme ay nagbibigay-daan, sa partikular, upang mahanap ang pinakamalamang na bilang ng paglitaw ng isang kaganapan .
Kung ang bilang ng mga pagsubok n mahusay, pagkatapos ay magsaya:
Halimbawa ng solusyon sa problema
Ang gawain
Ang pagtubo ng mga buto ng isang tiyak na halaman ay 70%. Ano ang posibilidad na sa 10 buto na inihasik: 8, hindi bababa sa 8; kahit 8?
Ang solusyon sa problema
Gamitin natin ang Bernoulli formula:
Sa kaso natin
Hayaang sumibol ang kaganapan - sa 10 buto ng 8:
Hayaan ang kaganapan - tumaas ng hindi bababa sa 8 (ibig sabihin ay 8, 9 o 10)
Hayaang tumaas ang kaganapan ng hindi bababa sa 8 (ibig sabihin ay 8.9 o 10)
Sagot
Katamtaman ang halaga ng paglutas ng control work ay 700 - 1200 rubles (ngunit hindi bababa sa 300 rubles para sa buong order). Ang presyo ay malakas na naiimpluwensyahan ng madaliang pagdedesisyon (mula sa mga araw hanggang ilang oras). Ang halaga ng online na tulong sa pagsusulit / pagsubok - mula sa 1000 rubles. para sa solusyon sa tiket.
Ang application ay maaaring iwanang direkta sa chat, na dati nang itinapon ang kondisyon ng mga gawain at ipaalam sa iyo ang mga deadline para sa paglutas nito. Ang oras ng pagtugon ay ilang minuto.
Sa araling ito, makikita natin ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa mga independiyenteng pagsubok kapag ang mga pagsubok ay naulit. . Ang mga pagsubok ay tinatawag na independyente kung ang posibilidad ng isa o isa pang resulta ng bawat pagsubok ay hindi nakasalalay sa kung ano ang mga kinalabasan ng iba pang mga pagsubok. . Ang mga independiyenteng pagsusuri ay maaaring isagawa kapwa sa ilalim ng parehong mga kondisyon at sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon. Sa unang kaso, ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa lahat ng mga pagsubok ay pareho; sa pangalawang kaso, ito ay nag-iiba sa bawat pagsubok.
Mga Halimbawa ng Independent Retests :
- ang isa sa mga node ng aparato o dalawa o tatlong node ay mabibigo, at ang pagkabigo ng bawat node ay hindi nakasalalay sa kabilang node, at ang posibilidad ng pagkabigo ng isang node ay pare-pareho sa lahat ng mga pagsubok;
- ang isang bahagi na ginawa sa ilalim ng ilang pare-parehong teknolohikal na kondisyon, o tatlo, apat, limang bahagi, ay magiging hindi pamantayan, at ang isang bahagi ay maaaring maging hindi pamantayan anuman ang anumang iba pang bahagi, at ang posibilidad na ang bahagi ay lumabas na hindi pamantayan ay pare-pareho sa lahat ng mga pagsubok;
- sa ilang mga shot sa target, isa, tatlo o apat na shot ang tumama sa target anuman ang kinalabasan ng iba pang mga shot at ang posibilidad ng pagtama sa target ay pare-pareho sa lahat ng pagsubok;
- kapag ang coin ay ipinasok, ang makina ay gagana nang tama ng isa, dalawa, o isa pang bilang ng beses, anuman ang mayroon ang iba pang mga coin insertion, at ang posibilidad na ang makina ay gumana nang tama ay pare-pareho sa lahat ng pagsubok.
Ang mga kaganapang ito ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang pamamaraan. Ang bawat kaganapan ay nangyayari sa bawat pagsubok na may parehong posibilidad, na hindi nagbabago kung ang mga resulta ng mga nakaraang pagsubok ay malalaman. Ang ganitong mga pagsubok ay tinatawag na independiyente, at ang pamamaraan ay tinatawag Bernoulli scheme . Ipinapalagay na ang mga naturang pagsubok ay maaaring ulitin nang maraming beses hangga't ninanais.
Kung ang posibilidad p kaganapan A ay pare-pareho sa bawat pagsubok, pagkatapos ay ang posibilidad na sa n malayang pagsubok na kaganapan A darating m beses, matatagpuan sa Bernoulli formula :
(saan q= 1 – p- ang posibilidad na ang kaganapan ay hindi mangyayari)
Itakda natin ang gawain - upang mahanap ang posibilidad na makapasok ang isang kaganapan ng ganitong uri n darating ang mga independyenteng pagsubok m minsan.
Bernoulli formula: mga halimbawa ng paglutas ng problema
Halimbawa 1 Hanapin ang posibilidad na sa limang random na napiling bahagi, dalawa ang pamantayan, kung ang posibilidad na ang bawat bahagi ay pamantayan ay 0.9.
Solusyon. Probability ng Kaganapan PERO, na binubuo sa katotohanan na ang isang bahagi na kinuha nang random ay pamantayan, ay p=0.9 , at ang posibilidad na ito ay hindi pamantayan ay q=1–p=0.1 . Ang kaganapang ipinahiwatig sa kondisyon ng problema (tinutukoy namin ito sa pamamagitan ng AT) ay nangyayari kung, halimbawa, ang unang dalawang bahagi ay pamantayan, at ang susunod na tatlo ay hindi pamantayan. Ngunit ang kaganapan AT nangyayari rin kung ang una at ikatlong bahagi ay pamantayan at ang iba ay hindi pamantayan, o kung ang pangalawa at ikalimang bahagi ay pamantayan at ang iba ay hindi pamantayan. May iba pang posibilidad na mangyari ang kaganapan. AT. Ang alinman sa mga ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng katotohanan na sa limang bahagi na kinuha, dalawa, na sumasakop sa anumang mga lugar sa lima, ay magiging pamantayan. Samakatuwid, ang kabuuang bilang ng iba't ibang mga posibilidad para sa paglitaw ng isang kaganapan AT ay katumbas ng bilang ng mga posibilidad para sa paglalagay ng dalawang karaniwang bahagi sa limang lugar, i.e. ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng limang elemento ng dalawa, at .
Ang posibilidad ng bawat posibilidad, ayon sa probability multiplication theorem, ay katumbas ng produkto ng limang mga kadahilanan, kung saan ang dalawa, na tumutugma sa hitsura ng mga karaniwang bahagi, ay katumbas ng 0.9, at ang natitirang tatlo, na tumutugma sa hitsura ng hindi. -karaniwang mga bahagi, ay katumbas ng 0.1, i.e. ang posibilidad na ito ay . Dahil ang sampung posibilidad na ito ay hindi magkatugma na mga kaganapan, sa pamamagitan ng karagdagan theorem, ang posibilidad ng isang kaganapan AT, na tinutukoy namin
Halimbawa 2 Ang posibilidad na ang makina ay mangangailangan ng atensyon ng isang manggagawa sa loob ng isang oras ay 0.6. Ipagpalagay na ang mga pagkabigo sa mga makina ay independiyente, hanapin ang posibilidad na sa loob ng isang oras ang atensyon ng manggagawa ay kakailanganin ng alinman sa apat na makina na pinaglilingkuran niya.
Solusyon. Gamit Formula ni Bernoulli sa n=4 , m=1 , p=0.6 at q=1–p=0.4 , nakukuha natin
Halimbawa 3 Para sa normal na operasyon ng car depot, dapat mayroong hindi bababa sa walong sasakyan sa linya, at mayroong sampu sa kanila. Ang posibilidad ng hindi paglabas ng bawat kotse sa linya ay katumbas ng 0.1. Hanapin ang posibilidad ng normal na operasyon ng depot sa susunod na araw.
Solusyon. Ang Autobase ay gagana nang maayos (event F) kung alinman o walo ang papasok sa linya (ang kaganapan PERO), o siyam (kaganapan AT), o lahat ng sampung sasakyan na kaganapan (kaganapan C). Ayon sa probability addition theorem,
Hinahanap namin ang bawat termino ayon sa Bernoulli formula. Dito n=10 , m=8; 10 at p\u003d 1-0.1 \u003d 0.9, mula noong p ay dapat mangahulugan ng posibilidad ng isang kotse na pumasok sa linya; pagkatapos q=0.1 . Bilang resulta, nakukuha namin
Halimbawa 4 Hayaang maging 0.25 ang posibilidad na kailangan ng isang customer ang isang sukat na 41 na sapatos na panlalaki. Hanapin ang posibilidad na sa anim na mamimili, hindi bababa sa dalawa ang nangangailangan ng sapatos na may sukat na 41.
Hayaang magsagawa ng n pagsubok na may kinalaman sa kaganapan A. Ipakilala natin ang mga sumusunod na kaganapan: Аk -- naganap ang kaganapan А sa panahon ng k-th test, $ k=1,2,\dots , n$. Kung gayon ang $\bar(A)_(k) $ ay ang kabaligtaran na kaganapan (ang kaganapan A ay hindi naganap sa panahon ng k-th test, $k=1,2,\dots , n$).
Ano ang peer at independent trials
Kahulugan
Ang mga pagsusulit ay tinatawag sa parehong uri na may kinalaman sa kaganapan A kung ang mga probabilidad ng mga kaganapan $A1, A2, \dots , An$ ay pareho: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (ibig sabihin, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang pagsubok ay pare-pareho sa lahat ng pagsubok).
Malinaw, sa kasong ito, ang mga probabilidad ng magkasalungat na kaganapan ay nag-tutugma din: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(( A) _(n))$.
Kahulugan
Ang mga pagsubok ay tinatawag na independyente kaugnay ng kaganapan A kung ang mga kaganapang $A1, A2, \dots , An$ ay independyente.
Sa kasong ito
Sa kasong ito, pinapanatili ang pagkakapantay-pantay kapag ang anumang kaganapan Ak ay pinalitan ng $\bar(A)_(k) $.
Hayaang magsagawa ng serye ng n katulad na independiyenteng pagsubok na may kinalaman sa kaganapan A. Dala namin ang notasyon: p - ang posibilidad ng kaganapan A sa isang pagsubok; q ay ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan. Kaya P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ para sa anumang k at p+q=1.
Ang posibilidad na sa isang serye ng n pagsubok na kaganapan A ay magaganap nang eksakto k beses (0 ≤ k ≤ n) ay kinakalkula ng formula:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Ang pagkakapantay-pantay (1) ay tinatawag na Bernoulli formula.
Ang posibilidad na sa isang serye ng n independiyenteng pagsubok ng parehong uri ng kaganapan A ay magaganap nang hindi bababa sa k1 beses at hindi hihigit sa k2 beses ay kinakalkula ng formula:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Ang paggamit ng Bernoulli formula para sa malalaking halaga ng n ay humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon, kaya sa mga kasong ito ay mas mahusay na gumamit ng iba pang mga formula - mga asymptotic.
Paglalahat ng iskema ng Bernoulli
Isaalang-alang ang isang generalization ng Bernoulli scheme. Kung sa isang serye ng n independiyenteng pagsubok, ang bawat isa ay may m pairwise na hindi tugma at posibleng mga resulta Ak na may kaukulang probabilities Рk= рk(Аk). Pagkatapos ang polynomial distribution formula ay wasto:
Halimbawa 1
Ang posibilidad na magkaroon ng trangkaso sa panahon ng isang epidemya ay 0.4. Hanapin ang posibilidad na sa 6 na empleyado ng kumpanya ay magkasakit
- eksaktong 4 na empleyado;
- hindi hihigit sa 4 na empleyado.
Solusyon. 1) Malinaw, upang malutas ang problemang ito, ang Bernoulli formula ay naaangkop, kung saan n=6; k=4; p=0.4; q=1-p=0.6. Sa paglalapat ng formula (1), makukuha natin ang: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.
Upang malutas ang problemang ito, ang formula (2) ay naaangkop, kung saan ang k1=0 at k2=4. Meron kami:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ approx 0.959.) \end(array)\]
Dapat pansinin na ang gawaing ito ay mas madaling malutas gamit ang kabaligtaran na kaganapan - higit sa 4 na empleyado ang nagkasakit. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang formula (7) sa mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan, nakukuha namin ang:
Sagot: $\ $0.959.
Halimbawa 2
Ang isang urn ay naglalaman ng 20 puti at 10 itim na bola. 4 na bola ang inilabas, at ang bawat bola na inilabas ay ibinalik sa urn bago ang susunod na ibunot at ang mga bola sa urn ay pinaghalo. Hanapin ang posibilidad na sa apat na bola na iginuhit ay magkakaroon ng 2 puting bola sa Figure 1.
Larawan 1.
Solusyon. Hayaan ang kaganapan A na -- isang puting bola ang iguguhit. Pagkatapos ang mga probabilidad $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Ayon sa Bernoulli formula, ang kinakailangang probabilidad ay $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \kanan)^(2) =\frac(8)(27) $.
Sagot: $\frac(8)(27) $.
Halimbawa 3
Tukuyin ang posibilidad na ang isang pamilya na may 5 anak ay magkakaroon ng hindi hihigit sa 3 babae. Ang mga posibilidad na magkaroon ng isang lalaki at isang babae ay ipinapalagay na pareho.
Solusyon. Probabilidad ng pagkakaroon ng isang babae $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probability ng pagkakaroon ng isang lalaki. Walang hihigit sa tatlong babae sa isang pamilya, na nangangahulugang isa, o dalawa, o tatlong babae ang ipinanganak, o lahat ng lalaki sa pamilya.
Hanapin ang mga probabilidad na walang mga babae sa pamilya, isa, dalawa o tatlong babae ang ipinanganak: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Samakatuwid, ang kinakailangang probabilidad ay $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Sagot: $\frac(13)(16)$.
Halimbawa 4
Ang unang shooter na may isang shot ay maaaring tumama sa nangungunang sampung na may posibilidad na 0.6, ang siyam na may posibilidad na 0.3, at ang walo na may posibilidad na 0.1. Ano ang posibilidad na, sa 10 putok, tatama siya ng sampu anim na beses, siyam na tatlong beses, at walong walong beses?
