Sa artikulong ito, susuriin natin ang konsepto ng cross product ng dalawang vectors. Ibibigay namin ang mga kinakailangang kahulugan, magsulat ng isang formula para sa paghahanap ng mga coordinate ng isang produkto ng vector, ilista at bigyang-katwiran ang mga katangian nito. Pagkatapos nito, tatalakayin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector ng dalawang vectors at isaalang-alang ang mga solusyon sa iba't ibang tipikal na halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan ng cross product.

Bago tukuyin ang isang produkto ng vector, unawain natin ang oryentasyon ng isang nakaayos na triple ng mga vector sa tatlong-dimensional na espasyo.

I-plot natin ang mga vectors mula sa isang punto. Depende sa direksyon ng vector, ang tatlo ay maaaring kanan o kaliwa. Tingnan natin mula sa dulo ng vector kung paano ang pinakamaikling pagliko mula sa vector patungo sa . Kung ang pinakamaikling pag-ikot ay nangyayari sa counterclockwise, kung gayon ang triple ng mga vector ay tinatawag tama, kung hindi - umalis.

Ngayon ay kumuha tayo ng dalawang di-collinear na vector at . I-plot natin ang mga vector at mula sa punto A. Bumuo tayo ng ilang vector na patayo sa pareho at at . Malinaw, kapag gumagawa ng isang vector, maaari tayong gumawa ng dalawang bagay, na nagbibigay ito ng alinman sa isang direksyon o ang kabaligtaran (tingnan ang ilustrasyon).

Depende sa direksyon ng vector, ang iniutos na triplet ng mga vector ay maaaring right-handed o left-handed.

Ito ay naglalapit sa atin sa kahulugan ng isang produkto ng vector. Ito ay ibinigay para sa dalawang vectors na tinukoy sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo.

Kahulugan.

Ang cross product ng dalawang vectors at , na tinukoy sa isang rectangular coordinate system ng tatlong-dimensional na espasyo, ay tinatawag na vector na

Ang cross product ng mga vectors at tinutukoy bilang .

Mga coordinate ng produkto ng vector.

Ngayon ay ibibigay namin ang pangalawang kahulugan ng isang produkto ng vector, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang mga coordinate nito mula sa mga coordinate ng ibinigay na mga vector at.

Kahulugan.

Sa isang rectangular coordinate system ng three-dimensional na espasyo produkto ng vector ng dalawang vector At ay isang vector , nasaan ang mga coordinate vectors.

Ang kahulugang ito ay nagbibigay sa amin ng cross product sa coordinate form.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng vector bilang ang determinant ng isang third-order square matrix, ang unang hilera kung saan ay ang mga vectors, ang pangalawang hilera ay naglalaman ng mga coordinate ng vector, at ang pangatlo ay naglalaman ng mga coordinate ng vector sa isang naibigay na rectangular coordinate system:

Kung palawakin natin ang determinant na ito sa mga elemento ng unang hilera, makukuha natin ang pagkakapantay-pantay mula sa kahulugan ng produkto ng vector sa mga coordinate (kung kinakailangan, sumangguni sa artikulo):

Dapat tandaan na ang coordinate form ng produkto ng vector ay ganap na naaayon sa kahulugan na ibinigay sa unang talata ng artikulong ito. Bukod dito, ang dalawang kahulugang ito ng isang cross product ay katumbas. Makikita mo ang patunay ng katotohanang ito sa aklat na nakalista sa dulo ng artikulo.

Mga katangian ng isang produkto ng vector.

Dahil ang produkto ng vector sa mga coordinate ay maaaring katawanin bilang isang determinant ng matrix, ang mga sumusunod ay madaling mabigyang katwiran batay sa mga katangian ng cross product:

Bilang halimbawa, patunayan natin ang anticommutative property ng isang vector product.

A-prioryo At . Alam namin na ang halaga ng determinant ng isang matrix ay nababaligtad kung ang dalawang hanay ay ipinagpalit, samakatuwid, , na nagpapatunay sa anticommutative na katangian ng isang produkto ng vector.

Vector product - mga halimbawa at solusyon.

Mayroong pangunahing tatlong uri ng mga problema.

Sa mga problema ng unang uri, ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinibigay, at kailangan mong hanapin ang haba ng produkto ng vector. Sa kasong ito, ginagamit ang formula .

Halimbawa.

Hanapin ang haba ng produkto ng vector ng mga vector at , kung kilala .

Solusyon.

Alam namin mula sa kahulugan na ang haba ng produkto ng vector ng mga vector at ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector at sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila, samakatuwid, .

Sagot:

.

Ang mga problema ng pangalawang uri ay nauugnay sa mga coordinate ng mga vector, kung saan ang produkto ng vector, ang haba nito o anupaman ay hinahanap sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga ibinigay na vector. At .

Mayroong maraming iba't ibang mga pagpipilian na posible dito. Halimbawa, hindi ang mga coordinate ng mga vector at maaaring tukuyin, ngunit ang kanilang mga pagpapalawak sa mga coordinate na vector ng form at , o mga vector at maaaring tukuyin sa pamamagitan ng mga coordinate ng kanilang mga punto ng pagsisimula at pagtatapos.

Tingnan natin ang mga karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Dalawang vector ang ibinibigay sa isang rectangular coordinate system . Hanapin ang kanilang cross product.

Solusyon.

Ayon sa pangalawang kahulugan, ang produkto ng vector ng dalawang mga vector sa mga coordinate ay nakasulat bilang:

Narating namin ang parehong resulta kung ang produkto ng vector ay isinulat sa mga tuntunin ng determinant

Sagot:

.

Halimbawa.

Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors at , kung saan ang mga unit vectors ng rectangular Cartesian coordinate system.

Solusyon.

Una naming mahanap ang mga coordinate ng produkto ng vector sa isang ibinigay na rectangular coordinate system.

Dahil ang mga vector at may mga coordinate at ayon sa pagkakabanggit (kung kinakailangan, tingnan ang artikulong mga coordinate ng isang vector sa isang rectangular coordinate system), pagkatapos ay sa pamamagitan ng pangalawang kahulugan ng isang produkto ng vector mayroon kami

Iyon ay, ang produkto ng vector ay may mga coordinate sa isang ibinigay na coordinate system.

Nahanap namin ang haba ng isang produkto ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito (nakuha namin ang formula na ito para sa haba ng isang vector sa seksyon sa paghahanap ng haba ng isang vector):

Sagot:

.

Halimbawa.

Sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system, ang mga coordinate ng tatlong puntos ay ibinibigay. Maghanap ng ilang vector na patayo at sa parehong oras.

Solusyon.

Mga Vector at may mga coordinate at ayon sa pagkakabanggit (tingnan ang artikulo sa paghahanap ng mga coordinate ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga puntos). Kung makikita natin ang produkto ng vector ng mga vector at , kung gayon sa kahulugan ito ay isang vector na patayo sa parehong to at to , iyon ay, ito ay isang solusyon sa ating problema. Hanapin natin siya

Sagot:

- isa sa mga patayong vector.

Sa mga problema ng ikatlong uri, ang kasanayan sa paggamit ng mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector ay nasubok. Pagkatapos ilapat ang mga katangian, inilapat ang kaukulang mga formula.

Halimbawa.

Ang mga vector at ay patayo at ang kanilang mga haba ay 3 at 4, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang haba ng cross product .

Solusyon.

Sa pamamagitan ng distributive property ng isang vector product, maaari tayong sumulat

Dahil sa kumbinasyonal na pag-aari, inaalis namin ang mga numerical coefficient mula sa tanda ng mga produkto ng vector sa huling expression:

Ang mga produkto ng vector at ay katumbas ng zero, dahil At , Tapos .

Dahil ang produkto ng vector ay anticommutative, kung gayon .

Kaya, gamit ang mga katangian ng produkto ng vector, nakarating kami sa pagkakapantay-pantay .

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang mga vector at ay patayo, iyon ay, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng . Iyon ay, mayroon kaming lahat ng data upang mahanap ang kinakailangang haba

Sagot:

.

Geometric na kahulugan ng isang produkto ng vector.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang haba ng produkto ng vector ng mga vectors ay . At mula sa kursong geometry sa mataas na paaralan alam natin na ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng mga haba ng dalawang gilid ng tatsulok at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Dahil dito, ang haba ng produkto ng vector ay katumbas ng dalawang beses sa lugar ng isang tatsulok na ang mga gilid ay ang mga vector at , kung sila ay naka-plot mula sa isang punto. Sa madaling salita, ang haba ng produkto ng vector ng mga vector at katumbas ng lugar ng isang paralelogram na may mga gilid at at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng . Ito ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector.

Sa araling ito titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: produkto ng vector ng mga vector At pinaghalong produkto ng mga vector (Immediate link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bilang karagdagan sa scalar na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kinakailangan. Ito ay pagkagumon sa vector. Maaaring tila tayo ay papasok sa gubat ng analytical geometry. Mali ito. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na kahoy, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas kumplikado kaysa sa pareho produktong scalar, magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytical geometry, dahil marami ang makumbinsi o nakumbinsi na, ay HUWAG MAGKAKAMALI SA PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell at ikaw ay magiging masaya =)

Kung kumikinang ang mga vector sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling makuha ang pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili; sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa praktikal na gawain

Ano ang magpapasaya sa iyo kaagad? Noong bata pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa at kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi mo na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang namin mga spatial vectors lamang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Ang operasyong ito, tulad ng scalar product, ay kinabibilangan dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo ipinapahiwatig ng sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong tukuyin ang produkto ng vector ng mga vector sa ganitong paraan, sa mga square bracket na may krus.

At kaagad tanong: kung nasa scalar na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito ang dalawang vector ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Ang malinaw na pagkakaiba ay, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng scalar product ng mga vectors ay NUMBER:

Ang resulta ng cross product ng mga vectors ay VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami natin ang mga vector at muling nakakuha ng isang vector. Saradong club. Actually, dito nagmula ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literatura na pang-edukasyon, maaaring mag-iba din ang mga pagtatalaga; Gagamitin ko ang liham.

Kahulugan ng cross product

Una ay magkakaroon ng kahulugan na may larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: Vector na produkto hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Hatiin natin ang kahulugan, maraming kawili-wiling bagay dito!

Kaya, ang mga sumusunod na mahahalagang punto ay maaaring i-highlight:

1) Ang orihinal na mga vector, na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.

2) Kinuha ang mga vector sa isang mahigpit na tinukoy na pagkakasunud-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" na may "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR, na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng raspberry). Ibig sabihin, totoo ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector) ay ayon sa bilang na katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector. Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, natural, ang nominal na haba ng produkto ng vector ay hindi katumbas ng lugar ng paralelogram.

Alalahanin natin ang isa sa mga geometric na formula: Ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa itaas, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na ang formula ay tungkol sa LENGTH ng vector, at hindi tungkol sa vector mismo. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay sa mga problema ng analytical geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Kunin natin ang pangalawang mahalagang pormula. Ang dayagonal ng isang paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan gamit ang formula:

4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vector, iyon ay . Siyempre, ang oppositely directed vector (raspberry arrow) ay orthogonal din sa orihinal na vectors.

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako ng sapat na detalye tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon sa espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay. Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin ito sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki– titingnan ang produkto ng vector. Ito ay isang right-oriented na batayan (ito ang isa sa figure). Ngayon baguhin ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Maaaring may tanong ka: aling batayan ang umalis sa oryentasyon? "Italaga" sa parehong mga daliri kaliwang kamay vectors, at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang oryentasyon ng espasyo (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konsepto na ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang oryentasyon ng espasyo ay binago ng pinaka-ordinaryong salamin, at kung "hinutin mo ang sinasalamin na bagay mula sa salamin," kung gayon sa pangkalahatang kaso ito hindi posibleng pagsamahin ito sa "orihinal." Siyanga pala, hawakan ang tatlong daliri sa salamin at pag-aralan ang reflection ;-)

...gaano kabuti na alam mo na ngayon kanan- at kaliwa-oriented bases, nakakatakot kasi ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Cross product ng collinear vectors

Ang kahulugan ay tinalakay nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok parallelogram ay katumbas ng zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugang ang lugar ay zero

Kaya, kung , pagkatapos At . Mangyaring tandaan na ang produkto ng vector mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at sila ay nakasulat na ito ay katumbas din ng zero.

Ang isang espesyal na kaso ay ang cross product ng isang vector sa sarili nito:

Gamit ang produkto ng vector, maaari mong suriin ang collinearity ng mga three-dimensional na vector, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.

Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa na maaaring kailanganin mo trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.

Buweno, pagsikapan natin ang apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga sugnay. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin haba vector (krus na produkto). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Kung tinanong ka tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang dimensyon - mga yunit.

b) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin parisukat paralelogram na binuo sa mga vector. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng produkto ng vector:

Sagot:

Mangyaring tandaan na ang sagot ay hindi nagsasalita tungkol sa produkto ng vector; tinanong kami tungkol sa lugar ng figure, nang naaayon, ang dimensyon ay square units.

Palagi kaming tumitingin sa KUNG ANO ang kailangan naming hanapin ayon sa kondisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring mukhang literal ito, ngunit maraming literalista sa mga guro, at ang takdang-aralin ay may magandang pagkakataon na maibalik para sa rebisyon. Kahit na ito ay hindi isang partikular na malayong pag-aalinlangan - kung ang sagot ay mali, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi nakakaintindi ng mga simpleng bagay at/o hindi naiintindihan ang kakanyahan ng gawain. Ang puntong ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol kapag nilulutas ang anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.

Saan napunta ang malaking titik na "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan na naka-attach sa solusyon, ngunit upang paikliin ang entry, hindi ko ginawa ito. Sana ay naiintindihan ng lahat iyon at isang pagtatalaga para sa parehong bagay.

Isang tanyag na halimbawa para sa isang solusyon sa DIY:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napakakaraniwan; ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan ka.

Upang malutas ang iba pang mga problema kakailanganin namin:

Mga katangian ng produkto ng vector ng mga vector

Isinaalang-alang na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko ang mga ito sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi naka-highlight sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) – ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay mahalaga.

3) – nag-uugnay o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling ilipat sa labas ng produkto ng vector. Talaga, ano ang dapat nilang gawin doon?

4) – pamamahagi o distributive mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.

Upang ipakita, tingnan natin ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Solusyon: Ang kundisyon ay muling nangangailangan ng paghahanap ng haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant sa labas ng saklaw ng produkto ng vector.

(2) Kinukuha namin ang pare-pareho sa labas ng module, at ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang natitira ay malinaw.

Sagot:

Panahon na upang magdagdag ng higit pang kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Solusyon: Hanapin ang lugar ng tatsulok gamit ang formula . Ang catch ay ang mga vector na "tse" at "de" ay ipinakita mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector. Para sa kalinawan, hahatiin namin ang solusyon sa tatlong yugto:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag natin ang isang vector sa mga tuntunin ng isang vector. Wala pang salita sa haba!

(1) Palitan ang mga expression ng mga vector.

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nauugnay na batas, inililipat namin ang lahat ng mga constant sa kabila ng mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga hakbang 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa magandang katangian. Sa pangalawang termino ginagamit namin ang pag-aari ng anticommutativity ng isang produkto ng vector:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay katulad ng Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok:

Ang mga yugto 2-3 ng solusyon ay maaaring nakasulat sa isang linya.

Sagot:

Ang problemang isinasaalang-alang ay karaniwan sa mga pagsusulit, narito ang isang halimbawa para sa paglutas nito sa iyong sarili:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Cross product ng mga vector sa mga coordinate

, na tinukoy sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Ang formula ay talagang simple: sa tuktok na linya ng determinant isinulat namin ang mga coordinate vectors, sa pangalawa at pangatlong linya ay "inilalagay" namin ang mga coordinate ng mga vector, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod– una ang mga coordinate ng "ve" vector, pagkatapos ay ang mga coordinate ng "double-ve" vector. Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga hilera ay dapat na palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
A)
b)

Solusyon: Ang tseke ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero (zero vector): .

a) Hanapin ang produkto ng vector:

Kaya, ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang produkto ng vector:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyong ito ay hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay depende sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.

Ang isang halo-halong produkto ng mga vector ay ang produkto ng tatlong mga vector:

Kaya't pumila sila na parang tren at hindi makapaghintay na makilala.

Una, muli, isang kahulugan at isang larawan:

Kahulugan: Pinaghalong trabaho hindi koplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, tinawag parallelepiped na dami, na binuo sa mga vectors na ito, na nilagyan ng "+" sign kung ang batayan ay tama, at isang "–" sign kung ang batayan ay naiwan.

Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng mga tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang muling pagsasaayos ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi mangyayari nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang isang malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa literatura na pang-edukasyon, ang disenyo ay maaaring bahagyang naiiba; Sanay akong tukuyin ang isang halo-halong produkto ng , at ang resulta ng mga kalkulasyon sa pamamagitan ng titik na "pe".

A-prioryo ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vectors (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng isang ibinigay na parallelepiped.

Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating alalahanin muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay maaaring magdagdag ng minus sign sa volume. Sa simpleng salita, ang isang halo-halong produkto ay maaaring negatibo: .

Direkta mula sa kahulugan ay sumusunod sa formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vectors.

Pagsusulit Blg. 1

Mga vector. Mga elemento ng mas mataas na algebra

1-20. Ang mga haba ng mga vector at at ay kilala; – ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito.

Kalkulahin: 1) at, 2).3) Hanapin ang lugar ng tatsulok na binuo sa mga vector at.

Gumawa ng drawing.

Solusyon. Gamit ang kahulugan ng tuldok na produkto ng mga vectors:

At ang mga katangian ng scalar product: ,

1) hanapin ang scalar square ng vector:

ibig sabihin, Pagkatapos .

Arguing katulad, nakukuha namin

ibig sabihin, Pagkatapos .

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang produkto ng vector: ,

isinasaalang-alang iyon

Ang lugar ng isang tatsulok na itinayo mula sa mga vector at katumbas ng

21-40. Mga kilalang coordinate ng tatlong vertex A, B, D paralelogram A B C D. Gamit ang vector algebra, kailangan mo:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Solusyon.

Ito ay kilala na ang mga diagonal ng isang paralelogram ay nahahati sa kalahati sa punto ng intersection. Samakatuwid, ang mga coordinate ng punto E- intersection ng mga diagonal - hanapin bilang mga coordinate ng gitna ng segment BD. Tinutukoy ang mga ito sa pamamagitan ng x E ,y E , z E nakukuha natin yan

Nakukuha namin.

Pag-alam sa mga coordinate ng punto E- gitnang punto ng dayagonal BD at ang mga coordinate ng isa sa mga dulo nito A(3;0;-7), Gamit ang mga formula, tinutukoy namin ang mga kinakailangang coordinate ng vertex SA paralelogram:

Kaya, ang tuktok.

2) Upang mahanap ang projection ng isang vector sa isang vector, hinahanap namin ang mga coordinate ng mga vector na ito: ,

katulad . Ang projection ng isang vector sa isang vector ay matatagpuan gamit ang formula:

3) Ang anggulo sa pagitan ng mga diagonal ng isang paralelogram ay matatagpuan bilang anggulo sa pagitan ng mga vector

At sa pamamagitan ng pag-aari ng scalar product:

Pagkatapos

4) Hanapin ang lugar ng parallelogram bilang modulus ng produkto ng vector:

5) Ang volume ng pyramid ay matatagpuan bilang isang ikaanim ng modulus ng pinaghalong produkto ng mga vector, kung saan ang O(0;0;0), pagkatapos

Pagkatapos ang kinakailangang dami (kubiko na yunit)

41-60. Ibinigay na matrice:

V C -1 +3A T

Mga pagtatalaga:

Una, nakita natin ang kabaligtaran na matrix ng matrix C.

Upang gawin ito, nakita namin ang determinant nito:

Ang determinant ay naiiba sa zero, samakatuwid, ang matrix ay hindi isahan at para dito maaari mong mahanap ang inverse matrix C -1

Hanapin natin ang algebraic complements gamit ang formula , kung saan ang minor ng elemento:

Tapos , .

61–80. Lutasin ang sistema ng mga linear na equation:

paraan ng Cramer; 2. Paraan ng matrix.

Solusyon.

a) Pamamaraan ni Cramer

Hanapin natin ang determinant ng system

Dahil , ang sistema ay may natatanging solusyon.

Hanapin natin ang mga determinant at sa pamamagitan ng pagpapalit sa una, pangalawa, pangatlong hanay sa coefficient matrix ng isang column ng mga libreng termino, ayon sa pagkakabanggit.

Ayon sa mga formula ng Cramer:

b)matrix method (gamit ang inverse matrix).

Isinulat namin ang sistemang ito sa anyong matrix at lutasin ito gamit ang inverse matrix.

Hayaan A– matrix ng mga coefficient para sa mga hindi alam; X– matrix-column ng mga hindi alam x, y, z At N– matrix-column ng mga libreng miyembro:

Ang kaliwang bahagi ng system (1) ay maaaring isulat bilang isang produkto ng matrices , at ang kanang bahagi bilang isang matrix N. Samakatuwid mayroon kaming matrix equation

Dahil ang determinant ng matrix A ay iba mula sa zero (point "a"), pagkatapos ay ang matrix A may inverse matrix. I-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (2) sa kaliwa ng matrix, nakukuha natin

Mula saan E ay ang identity matrix, at , pagkatapos

Magkaroon tayo ng non-singular matrix A:

Pagkatapos ay nakita namin ang kabaligtaran na matrix gamit ang formula:

saan A ij- algebraic complement ng isang elemento a ij sa determinant ng matrix A, na produkto ng (-1) i+j at ang minor (determinant) n-1 order na nakuha sa pamamagitan ng pagtanggal i-th mga linya at jth column sa determinant ng matrix A:

Mula dito nakukuha natin ang inverse matrix:

Hanay X: X=A -1 H

81–100. Lutasin ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang Gauss method

Solusyon. Isulat natin ang system sa anyo ng isang pinahabang matrix:

Nagsasagawa kami ng mga elementarya na pagbabago gamit ang mga string.

Mula sa ika-2 linya ay ibawas natin ang unang linya na pinarami ng 2. Mula sa linya 3 ay ibawas natin ang unang linya na pinarami ng 4. Mula sa linya 4 ay binabawasan natin ang unang linya, nakukuha natin ang matrix:

Susunod, makakakuha tayo ng zero sa unang hanay ng kasunod na mga hilera; upang gawin ito, ibawas ang ikatlong hilera mula sa pangalawang hilera. Mula sa ikatlong hilera, ibawas ang pangalawang hilera, na pinarami ng 2. Mula sa ikaapat na hilera, ibawas ang pangalawang hilera, na pinarami ng 3. Bilang resulta, nakakuha kami ng isang matrix ng form:

Mula sa ikaapat na linya ay ibawas natin ang pangatlo.

Pagpalitin natin ang penultimate at huling mga linya:

Ang huling matrix ay katumbas ng sistema ng mga equation:

Mula sa huling equation ng system nakita namin.

Ang pagpapalit sa penultimate equation, nakukuha natin .

Mula sa pangalawang equation ng sistema ay sinusundan iyon

Mula sa unang equation nakita namin ang x:

Sagot:

Pagsusulit Blg. 2

Analytic geometry

1-20. Ibinigay ang mga coordinate ng vertices ng tatsulok ABC. Hanapin:

1) haba ng gilid ASA;

2) mga equation ng mga panig AB At Araw at ang kanilang mga angular coefficients;

3) anggulo SA sa radians tumpak sa dalawang digit;

4) equation ng taas CD at ang haba nito;

5) median equation AE

taas CD;

SA parallel sa gilid AB,

7) gumawa ng pagguhit.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Solusyon.

Sa paglalapat ng (1), makikita natin ang haba ng gilid AB:

2) mga equation ng mga panig AB At Araw at ang kanilang mga angular coefficients:

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos at may anyo

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos sa (2) A At SA, makuha namin ang equation ng panig AB:

(AB).

(B.C.).

3) anggulo SA sa radians na may katumpakan ng dalawang digit.

Ito ay kilala na ang tangent ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya, ang mga angular coefficient na kung saan ay pantay-pantay at kinakalkula ng formula

Kinakailangang anggulo SA nabuo sa pamamagitan ng mga tuwid na linya AB At Araw, ang mga angular coefficient na kung saan ay matatagpuan: ; . Paglalapat (3), nakukuha namin

; , o

4) equation ng taas CD at ang haba nito.

Distansya mula sa punto C hanggang sa tuwid na linya AB:

5) median equation AE at ang mga coordinate ng punto K ng intersection ng median na ito sa

taas CD.

gitna ng bahagi ng araw:

Pagkatapos ang equation na AE:

Nalutas namin ang sistema ng mga equation:

6) equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto SA parallel sa gilid AB:

Dahil ang nais na linya ay parallel sa gilid AB, kung gayon ang angular coefficient nito ay magiging katumbas ng angular coefficient ng tuwid na linya AB. Pinapalitan ang mga coordinate ng nahanap na punto sa (4) SA at ang slope, nakukuha namin

; (KF).

Ang lugar ng paralelogram ay 12 metro kuwadrado. mga yunit, ang dalawang vertice nito ay mga puntos A(-1;3) At B(-2;4). Hanapin ang iba pang dalawang vertices ng parallelogram na ito kung alam na ang punto ng intersection ng mga diagonal nito ay nasa x-axis. Gumawa ng drawing.

Solusyon. Hayaang may mga coordinate ang punto ng intersection ng mga diagonal .

Tapos halata naman

samakatuwid, ang mga coordinate ng mga vectors ay .

Nahanap namin ang lugar ng isang paralelogram gamit ang formula

Pagkatapos ang mga coordinate ng iba pang dalawang vertices ay .

Sa mga problema 51-60 ang mga coordinate ng mga puntos ay ibinigay A at B. Kailangan:

Sumulat ng canonical equation para sa isang hyperbola na dumadaan sa mga puntong ito A at B, kung ang foci ng hyperbola ay matatagpuan sa x-axis;

Hanapin ang mga semi-axes, foci, eccentricity at equation ng mga asymptotes ng hyperbola na ito;

Hanapin ang lahat ng mga punto ng intersection ng hyperbola na may isang bilog na may gitna sa pinagmulan, kung ang bilog na ito ay dumaan sa foci ng hyperbola;

Bumuo ng hyperbola, mga asymptotes at bilog nito.

A(6;-2), B(-8;12).

Solusyon. Ang equation ng gustong hyperbola sa canonical form ay nakasulat

saan a- tunay na semiaxis ng hyperbola, b- haka-haka na semi-axis. Pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos A At SA Sa equation na ito makikita natin ang mga semi-ax na ito:

– hyperbola equation: .

Semi-axes a=4,

Focal length Mga Focus (-8.0) at (8.0)

Eccentricity

Asyptotes:

Kung ang isang bilog ay dumaan sa pinanggalingan, ang equation nito ay

Ang pagpapalit ng isa sa foci, nakita namin ang equation ng bilog

Hanapin ang mga intersection point ng hyperbola at ng bilog:

Bumubuo kami ng isang pagguhit:

Sa mga problema 61-80, bumuo ng isang graph ng isang function sa isang polar coordinate system point by point, na nagbibigay ng  values ​​​​sa pagitan ng  /8 (0   2). Hanapin ang equation ng linya sa isang rectangular Cartesian coordinate system (ang positibong semi-axis ng abscissa ay tumutugma sa polar axis, at ang pole sa pinagmulan).

Solusyon. Bumuo tayo ng isang linya ayon sa mga puntos, na napunan muna ang talahanayan ng mga halaga at φ.

Numero	φ ,	φ, digri			Numero	φ , masaya	degrees
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 napagpasyahan namin na ang equation na ito ay tumutukoy sa isang ellipse: Binibigyan ng mga puntos A, SA , C, D . Kailangang hanapin: 1. Plane equation (Q), dumadaan sa mga puntos A, B, C D sa eroplano (Q); 2. Line equation (ako), dumadaan sa mga puntos SA at D; 3. Anggulo sa pagitan ng eroplano (Q) at tuwid (ako); 4. Plane equation (R), dumadaan sa isang punto A patayo sa isang tuwid na linya (ako); 5. Anggulo sa pagitan ng mga eroplano (R) At (Q) ; 6. Equation ng isang linya (T), dumadaan sa isang punto A sa direksyon ng radius vector nito; 7. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya (ako) At (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Plane equation (Q), dumadaan sa mga puntos A, B, C at suriin kung ang punto ay namamalagi D sa eroplano ay tinutukoy ng formula Hanapin: 1) . 2) Square paralelogram, binuo sa At. 3) Dami ng parallelepiped, binuo sa mga vector, At. Kontrolin Trabaho sa paksang ito " Mga elemento teorya ng mga linear na espasyo... Mga rekomendasyong metodolohikal para sa pagkumpleto ng mga pagsusulit para sa undergraduate na part-time na pag-aaral sa kwalipikasyon 080100. 62 sa direksyon Mga Alituntunin Parallelepiped at dami ng pyramid, binuo sa mga vector, At. Solusyon: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. MGA GAWAIN PARA SA KONTROL GUMAGAWA Seksyon I. Linear algebra. 1 – 10. Ibinigay...