Si Newton Leibniz ay isang Aleman na pilosopo na ipinanganak noong Hulyo 1, 1646. Bilang karagdagan sa pilosopiya, siya ay nabighani sa mga eksaktong agham. Nakilala niya ang kanyang sarili sa lohika, matematika, mekanika, pisika, kasaysayan, diplomasya, at mekanika. Si Newton ay itinuturing din na isang imbentor, pati na rin isang linguist. Siya ang nagtatag at ang unang naging pinuno ng Academy of Sciences sa Berlin. Nakuha ni Leibniz ang isang honorary na lugar sa French Academy of Sciences bilang isang dayuhang miyembro.
Ang pinakamahalagang siyentipikong tagumpay ng Leibniz ay isinasaalang-alang:
Paglikha ng mathematical analysis. Ang calculus ay kaugalian at integral, na ibinatay niya sa mga infinitesimal.
Sa tulong nito, inilatag ang pundasyon ng lohika ng matematika.
Ang agham ng combinatorics.
Binary number system na may mga numerong 0 at 1. Ngayon lahat ng modernong teknolohiya ay nakabatay sa kanila.
Para sa sikolohiya, mayroong isang napakahalagang kontribusyon, tulad ng konsepto ng walang malay na maliliit na pananaw. Bilang karagdagan, lumitaw ang doktrina ng walang malay na buhay sa kaisipan.
Inihayag niya ang batas ng konserbasyon ng enerhiya at ipinakilala ang konsepto ng lakas-tao.
Si Newton ay itinuturing na finalist ng pilosopiya noong ika-17 siglo. Siya ay naging ninuno ng isang bagong sistema at binigyan ito ng pangalan - monadology. Bilang karagdagan sa mga tagumpay sa pilosopiya, nakilala niya ang doktrina ng synthesis at pagsusuri. Binumula ito ni Leibniz bilang batas ng sapat na katwiran. Tulad ng nabanggit niya, ang lahat ng ito ay hindi lamang nagsimula sa pag-iisip at lohika, kundi pati na rin sa pagiging at ontolohiya. Ang pilosopo ay maaaring i-kredito sa may-akda ng modernong pagbabalangkas ng batas ng pagkakakilanlan. Siya ang nagdala sa mundo ng pag-unawa sa salitang "modelo".
Sa kanyang mga sinulat, isinulat ni Leibniz ang tungkol sa pagkakaiba-iba ng mga posibilidad ng machine simulation sa utak ng tao. Tulad ng nangyari, mayroon itong malaking bilang ng mga pag-andar. Ang siyentipikong ito ang unang naglantad sa mundo sa ideya na ang ilang uri ng enerhiya ay maaaring ilipat sa iba. Ang mga pag-aaral na ito ay gumawa ng malaking kontribusyon sa pisika. Siyempre, ang pinakamahalaga at sikat na gawain sa kanyang buhay ay ang pormula. Tinawag nila itong Newton-Leibniz formula.
Formula ng Newton Leibniz
Hayaang maibigay ang ilang tuluy-tuloy na function f sa ilang segment ng Ox axis. Ipinapalagay namin na hindi binabago ng function na ito ang sign nito sa buong interval.
Kung ang f ay isang tuluy-tuloy at hindi-negatibong pag-andar sa isang partikular na segment, at ang F ay ilan sa mga antiderivative nito sa segment na ito, kung gayon ang lugar ng curvilinear trapezoid S ay katumbas ng pagtaas ng antiderivative sa segment na ito.
Ang teorama na ito ay maaaring isulat sa sumusunod na pormula:
S = F(b) – F(a)
Ang integral ng function na f(x) mula a hanggang b ay magiging katumbas ng S. Dito at sa ibaba, upang tukuyin ang tiyak na integral ng ilang function na f(x), na may mga limitasyon sa pagsasama mula a hanggang b, gagamitin natin ang sumusunod na notasyon (a;b)∫f( x). Nasa ibaba ang isang halimbawa ng magiging hitsura nito.
Kaya maaari nating itumbas ang dalawang resultang ito. Nakukuha natin ang: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), sa kondisyon na ang F ay isang antiderivative para sa function na f sa . Ang formula na ito ay tinatawag na Newton-Leibniz formula. Magiging totoo ito para sa anumang tuluy-tuloy na function f sa pagitan.
Ang Newton-Leibniz formula ay ginagamit upang kalkulahin ang mga integral. Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Halimbawa 1: kalkulahin ang integral. Nahanap namin ang antiderivative para sa integrand x2. Ang isa sa mga antiderivative ay ang function (x3)/3.
Ngayon ginagamit namin ang formula ng Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Sagot: (-1;2)∫x2dx = 3.
Halimbawa 2: kalkulahin ang integral (0;pi)∫sin(x)dx.
Hanapin ang antiderivative para sa integrand sin(x). Ang isa sa mga antiderivative ay ang –cos(x) function. Gamitin natin ang formula ng Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Sagot: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Minsan, para sa pagiging simple at kaginhawaan ng notasyon, ang pagtaas ng function na F sa segment (F(b)-F(a)) ay nakasulat bilang mga sumusunod:
Gamit ang notasyong ito para sa pagtaas, ang formula ng Newton-Leibniz ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
Tulad ng nabanggit sa itaas, ito ay isang pagdadaglat lamang para sa kadalian ng pag-record, walang ibang apektado ng pag-record na ito. Ang notasyong ito at ang formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) ay magiging katumbas.
Ang formula na ito ay ginagamit pa rin ng isang malaking bilang ng mga siyentipiko at calculator. Sa tulong nito, dinala ni Leibniz ang pag-unlad sa maraming agham.
Hayaang maibigay ang ilang tuluy-tuloy na function f sa ilang segment ng Ox axis. Ipinapalagay namin na hindi binabago ng function na ito ang sign nito sa buong interval.
Kung ang f ay isang tuluy-tuloy at hindi-negatibong pag-andar sa isang partikular na segment, at ang F ay ilan sa mga antiderivative nito sa segment na ito, kung gayon ang lugar ng curvilinear trapezoid S ay katumbas ng pagtaas ng antiderivative sa segment na ito.
Ang teorama na ito ay maaaring isulat sa sumusunod na pormula:
S = F(b) - F(a)
Ang integral ng function na f(x) mula a hanggang b ay magiging katumbas ng S. Dito at sa ibaba, upang tukuyin ang tiyak na integral ng ilang function na f(x), na may mga limitasyon sa pagsasama mula a hanggang b, gagamitin natin ang sumusunod na notasyon (a;b)∫f( x). Nasa ibaba ang isang halimbawa ng magiging hitsura nito.
Formula ng Newton-Leibniz
Kaya maaari nating itumbas ang dalawang resultang ito. Nakukuha natin ang: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), sa kondisyon na ang F ay isang antiderivative para sa function na f sa . Ang formula na ito ay tinatawag na Mga formula ng Newton-Leibniz. Magiging totoo ito para sa anumang tuluy-tuloy na function f sa pagitan.
Ang Newton-Leibniz formula ay ginagamit upang kalkulahin ang mga integral. Tingnan natin ang ilang halimbawa:
Halimbawa 1: kalkulahin ang integral. Hanapin ang antiderivative para sa integrand x 2 . Ang isa sa mga antiderivative ay ang function (x 3)/3.
Ngayon ginagamit namin ang formula ng Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Sagot: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Halimbawa 2: kalkulahin ang integral (0;pi)∫sin(x)dx.
Hanapin ang antiderivative para sa integrand sin(x). Ang isa sa mga antiderivative ay ang -cos(x) function. Gamitin natin ang formula ng Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Sagot: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Minsan, para sa pagiging simple at kaginhawaan ng notasyon, ang pagtaas ng function na F sa segment (F(b)-F(a)) ay nakasulat bilang mga sumusunod:
Gamit ang notasyong ito para sa pagtaas, ang formula ng Newton-Leibniz ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:
Tulad ng nabanggit sa itaas, ito ay isang pagdadaglat lamang para sa kadalian ng pag-record, walang ibang apektado ng pag-record na ito. Ang notasyong ito at ang formula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) ay magiging katumbas.
tiyak na integral mula sa tuluy-tuloy na pag-andar f(x) sa may hangganang pagitan [ a, b] (kung saan ) ay ang pagtaas ng ilan sa mga antiderivative nito sa segment na ito. (Sa pangkalahatan, magiging mas madali ang pag-unawa kung uulitin mo ang paksa ng hindi tiyak na integral) Sa kasong ito, ang notasyon
Tulad ng makikita sa mga graph sa ibaba (ang pagtaas ng antiderivative function ay ipinahiwatig ng ), Ang tiyak na integral ay maaaring maging positibo o negatibo.(Kinakalkula ito bilang pagkakaiba sa pagitan ng halaga ng antiderivative sa itaas na limitasyon at halaga nito sa mas mababang limitasyon, i.e. bilang F(b) - F(a)).
Numero a at b ay tinatawag na lower at upper limits ng integration, ayon sa pagkakabanggit, at ang interval [ a, b] ay ang segment ng integration.
Kaya, kung F(x) ay ilang antiderivative function para sa f(x), pagkatapos, ayon sa kahulugan,
(38)
Equality (38) ang tawag Formula ng Newton-Leibniz . Pagkakaiba F(b) – F(a) ay maikling isinulat tulad nito:
Samakatuwid, ang formula ng Newton-Leibniz ay isusulat tulad ng sumusunod:
(39)
Patunayan natin na ang tiyak na integral ay hindi nakadepende sa kung aling antiderivative ng integrand ang kinukuha kapag kinakalkula ito. Hayaan F(x) at F( X) ay mga di-makatwirang antiderivatives ng integrand. Dahil ang mga ito ay mga antiderivatives ng parehong function, sila ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino: Ф( X) = F(x) + C. kaya lang
Kaya, ito ay itinatag na sa segment [ a, b] mga pagtaas ng lahat ng antiderivatives ng function f(x) tugma.
Kaya, upang kalkulahin ang tiyak na integral, kinakailangan upang mahanap ang anumang antiderivative ng integrand, i.e. Una kailangan mong hanapin ang hindi tiyak na integral. pare-pareho MULA SA hindi kasama sa mga kasunod na kalkulasyon. Pagkatapos ay inilapat ang formula ng Newton-Leibniz: ang halaga ng pinakamataas na limitasyon ay pinapalitan sa antiderivative function b , karagdagang - ang halaga ng mas mababang limitasyon a at kalkulahin ang pagkakaiba F(b) - F(a) . Ang resultang numero ay magiging isang tiyak na integral..
Sa a = b tinatanggap ayon sa kahulugan
Halimbawa 1
Solusyon. Hanapin muna natin ang indefinite integral:
Paglalapat ng Newton-Leibniz formula sa antiderivative
(sa MULA SA= 0), nakukuha namin
Gayunpaman, kapag kinakalkula ang isang tiyak na integral, mas mahusay na hindi hanapin ang antiderivative nang hiwalay, ngunit agad na isulat ang integral sa form (39).
Halimbawa 2 Kalkulahin ang isang tiyak na integral
Solusyon. Gamit ang formula
Mga Katangian ng Definite Integral
Teorama 2.Ang halaga ng tiyak na integral ay hindi nakasalalay sa pagtatalaga ng variable ng pagsasama, ibig sabihin.
(40)
Hayaan F(x) ay antiderivative para sa f(x). Para sa f(t) ang antiderivative ay ang parehong function F(t), kung saan ang independiyenteng baryabol ay iba ang kahulugan. Dahil dito,
Batay sa formula (39), ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga integral
Teorama 3.Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng isang tiyak na integral, ibig sabihin.
(41)
Teorama 4.Ang tiyak na integral ng algebraic sum ng isang may hangganan na bilang ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga tiyak na integral ng mga function na ito, ibig sabihin.
(42)
Teorama 5.Kung ang bahagi ng pagsasama ay nahahati sa mga bahagi, kung gayon ang tiyak na integral sa buong segment ay katumbas ng kabuuan ng mga tiyak na integral sa mga bahagi nito, ibig sabihin. kung
(43)
Teorama 6.Kapag muling inaayos ang mga limitasyon ng pagsasama, ang ganap na halaga ng tiyak na integral ay hindi nagbabago, ngunit ang tanda lamang nito ay nagbabago., ibig sabihin.
(44)
Teorama 7(mean value theorem). Ang tiyak na integral ay katumbas ng produkto ng haba ng integration segment at ang halaga ng integrand sa ilang punto sa loob nito, ibig sabihin.
(45)
Teorama 8.Kung ang upper integration limit ay mas malaki kaysa sa lower one at ang integrand ay non-negative (positive), then ang definite integral ay non-negative din (positive), i.e. kung
Teorama 9.Kung ang itaas na limitasyon ng pagsasama ay mas malaki kaysa sa mas mababang limitasyon at ang mga function at tuloy-tuloy, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay
maaaring isama ang termino sa pamamagitan ng termino, ibig sabihin.
(46)
Ang mga katangian ng tiyak na integral ay nagpapahintulot sa amin na gawing simple ang direktang pagkalkula ng mga integral.
Halimbawa 5 Kalkulahin ang isang tiyak na integral
Gamit ang Theorems 4 at 3, at kapag naghahanap ng mga antiderivatives - mga integral na tabular (7) at (6), nakukuha namin
Definite integral na may variable na upper limit
Hayaan f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a, b] function, at F(x) ay ang prototype nito. Isaalang-alang ang tiyak na integral
(47)
at sa pamamagitan ng t ang integration variable ay ipinapahiwatig upang hindi malito ito sa upper bound. Kapag nagbago ito X nagbabago rin ang tiyak na integral (47), ibig sabihin, ito ay isang function ng pinakamataas na limitasyon ng pagsasama X, na tinutukoy namin ng F(X), ibig sabihin.
(48)
Patunayan natin na ang function F(X) ay antiderivative para sa f(x) = f(t). Sa katunayan, pagkakaiba-iba F(X), nakukuha namin
kasi F(x) ay antiderivative para sa f(x), a F(a) ay isang pare-parehong halaga.
Function F(X) ay isa sa walang katapusang hanay ng mga antiderivatives para sa f(x), ibig sabihin ang isa na x = a napupunta sa zero. Ang pahayag na ito ay nakukuha kung sa pagkakapantay-pantay (48) ay ilalagay natin x = a at gamitin ang Theorem 1 ng nakaraang seksyon.
Pagkalkula ng mga tiyak na integral sa pamamagitan ng paraan ng pagsasama ng mga bahagi at ang paraan ng pagbabago ng variable
kung saan, ayon sa kahulugan, F(x) ay antiderivative para sa f(x). Kung sa integrand ginagawa namin ang pagbabago ng variable
pagkatapos, alinsunod sa formula (16), maaari tayong sumulat
Sa ekspresyong ito
antiderivative function para sa
Sa katunayan, ang hinango nito, ayon sa ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function, ay katumbas ng
Hayaan ang α at β ang mga halaga ng variable t, kung saan ang function
tumatagal ng ayon sa pagkakabanggit ang mga halaga a at b, ibig sabihin.
Ngunit, ayon sa Newton-Leibniz formula, ang pagkakaiba F(b) – F(a) meron
Ang solusyon ng mga inilapat na problema ay nabawasan sa pagkalkula ng integral, ngunit hindi laging posible na gawin ito nang tumpak. Minsan kinakailangan na malaman ang halaga ng isang tiyak na integral na may ilang antas ng katumpakan, halimbawa, hanggang sa isang libo.
May mga gawain kung kailan kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may kinakailangang katumpakan, pagkatapos ay ginagamit ang numerical integration tulad ng paraan ng Simposn, trapezoids, rectangles. Hindi lahat ng kaso ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ito nang may tiyak na katumpakan.
Isinasaalang-alang ng artikulong ito ang aplikasyon ng Newton-Leibniz formula. Ito ay kinakailangan para sa eksaktong pagkalkula ng tiyak na integral. Ang mga detalyadong halimbawa ay ibibigay, ang pagbabago ng variable sa tiyak na integral ay isasaalang-alang, at makikita natin ang mga halaga ng tiyak na integral kapag pinagsama ng mga bahagi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formula ng Newton-Leibniz
Kahulugan 1Kapag ang function na y = y (x) ay tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ], at F (x) ay isa sa mga antiderivatives ng function ng segment na ito, kung gayon Formula ng Newton-Leibniz itinuturing na patas. Isulat natin ito ng ganito ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Ang formula na ito ay isinasaalang-alang ang pangunahing pormula ng integral calculus.
Upang patunayan ang formula na ito, kinakailangang gamitin ang konsepto ng isang integral na may magagamit na variable na upper limit.
Kapag ang function na y = f (x) ay tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay ang halaga ng argumento x ∈ a ; b , at ang integral ay may anyong ∫ a x f (t) d t at itinuturing na function ng itaas na limitasyon. Kinakailangang tanggapin ang notasyon ng function ay kukuha ng anyo ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , ito ay tuloy-tuloy, at ang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = Ang f (x) ay may bisa para dito.
Inaayos namin na ang pagdaragdag ng function na Φ (x) ay tumutugma sa pagtaas ng argumento ∆ x , kinakailangang gamitin ang ikalimang pangunahing pag-aari ng isang tiyak na integral at makuha
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
kung saan ang halaga c ∈ x ; x + ∆x .
Inaayos namin ang pagkakapantay-pantay sa anyong Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative ng isang function, kinakailangang pumasa sa limitasyon bilang ∆ x → 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng formula ng form na matatagpuan sa [ a ; b ] Kung hindi, ang expression ay maaaring isulat
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , kung saan pare-pareho ang halaga ng C.
Kalkulahin natin ang F (a) gamit ang unang katangian ng tiyak na integral. Pagkatapos makuha namin iyon
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , kaya C = F (a) . Ang resulta ay naaangkop kapag kinakalkula ang F (b) at nakukuha natin ang:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , sa madaling salita, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Ang pagkakapantay-pantay ay nagpapatunay sa Newton-Leibniz formula ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Ang pagtaas ng function ay kinuha bilang F x a b = F (b) - F (a) . Sa tulong ng notasyon, ang formula ng Newton-Leibniz ay nagiging ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Upang mailapat ang formula, kinakailangang malaman ang isa sa mga antiderivatives y = F (x) ng integrand y = f (x) mula sa segment [ a ; b ] , kalkulahin ang pagtaas ng antiderivative mula sa segment na ito. Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga kalkulasyon gamit ang Newton-Leibniz formula.
Halimbawa 1
Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ 1 3 x 2 d x gamit ang Newton-Leibniz formula.
Solusyon
Isaalang-alang na ang integrand ng anyong y = x 2 ay tuloy-tuloy mula sa pagitan [ 1 ; 3 ] , pagkatapos at ay maisasama sa segment na ito. Ayon sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral, nakikita natin na ang function na y \u003d x 2 ay may isang hanay ng mga antiderivatives para sa lahat ng tunay na halaga ng x, na nangangahulugang x ∈ 1; 3 ay isusulat bilang F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Kinakailangang kunin ang antiderivative na may C \u003d 0, pagkatapos ay makuha namin ang F (x) \u003d x 3 3.
Gamitin natin ang formula ng Newton-Leibniz at kunin na ang pagkalkula ng tiyak na integral ay kukuha ng anyong ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .
Sagot:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Halimbawa 2
Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x gamit ang Newton-Leibniz formula.
Solusyon
Ang ibinigay na function ay tuloy-tuloy mula sa segment [ - 1 ; 2 ], na nangangahulugan na ito ay maisasama dito. Kinakailangang hanapin ang halaga ng indefinite integral ∫ x e x 2 + 1 d x gamit ang paraan ng pagsusuma sa ilalim ng differential sign, pagkatapos ay makuha natin ang ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.
Kaya't mayroon tayong isang set ng mga antiderivatives ng function na y = x · e x 2 + 1 , na wasto para sa lahat ng x , x ∈ - 1 ; 2.
Kinakailangang kunin ang antiderivative sa C = 0 at ilapat ang formula ng Newton-Leibniz. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form
∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Sagot:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Halimbawa 3
Kalkulahin ang mga integral ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x at ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Solusyon
Segment - 4; - Sinasabi ng 1 2 na ang function sa ilalim ng integral sign ay tuloy-tuloy, na nangangahulugan na ito ay integrable. Mula dito makikita natin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na y = 4 x 3 + 2 x 2 . Nakukuha namin iyon
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Kinakailangang kunin ang antiderivative F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, pagkatapos, ilapat ang formula ng Newton-Leibniz, nakuha namin ang integral, na kinakalkula namin:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Ginagawa namin ang paglipat sa pagkalkula ng pangalawang integral.
Mula sa segment [ - 1 ; 1 ] mayroon kaming na ang integrand ay itinuturing na walang hangganan, dahil lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , pagkatapos ay sumusunod mula dito na ang isang kinakailangang kondisyon para sa integrability mula sa segment. Kung gayon ang F (x) = 2 x 2 - 2 x ay hindi isang antiderivative para sa y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; 1 ] , dahil ang puntong O ay kabilang sa segment, ngunit hindi kasama sa domain ng kahulugan. Nangangahulugan ito na mayroong isang tiyak na integral ng Riemann at Newton-Leibniz para sa function na y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; isa ].
Sagot: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, mayroong isang tiyak na integral ng Riemann at Newton-Leibniz para sa function na y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; isa ].
Bago gamitin ang formula ng Newton-Leibniz, kailangan mong malaman nang eksakto ang tungkol sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral.
Pagbabago ng variable sa isang tiyak na integral
Kapag ang function na y = f (x) ay tinukoy at tuloy-tuloy mula sa segment [ a ; b ] , pagkatapos ay ang umiiral na set [ a ; b ] ay itinuturing na hanay ng function na x = g (z) na tinukoy sa pagitan α ; β kasama ang umiiral na tuloy-tuloy na derivative, kung saan ang g (α) = a at g β = b , kaya't makuha natin na ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Ginagamit ang formula na ito kapag kinakailangan upang kalkulahin ang integral ∫ a b f (x) d x , kung saan ang di-tiyak na integral ay may anyo na ∫ f (x) d x , kinakalkula namin gamit ang paraan ng pagpapalit.
Halimbawa 4
Kalkulahin ang isang tiyak na integral ng anyo ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Solusyon
Ang integrand ay itinuturing na tuloy-tuloy sa integration interval, na nangangahulugan na ang tiyak na integral ay umiiral. Ibigay natin ang notasyon na 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Ang halaga ng x \u003d 9 ay nangangahulugang z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, at para sa x \u003d 18 nakuha namin iyon z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 \3, pagkatapos ay g 3 u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Ang pagpapalit ng mga nakuhang halaga sa formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, nakuha namin iyon
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
Ayon sa talahanayan ng mga indefinite integral, mayroon tayong isa sa mga antiderivatives ng function na 2 z 2 + 9 na kumukuha ng value na 2 3 a r c t g z 3 . Pagkatapos, paglalapat ng Newton-Leibniz formula, nakuha namin iyon
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π π 1 = 2 3 π
Ang paghahanap ay maaaring gawin nang hindi gumagamit ng formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .
Kung ang paraan ng pagpapalit ay gumagamit ng integral ng anyong ∫ 1 x 2 x - 9 d x , pagkatapos ay makakarating tayo sa resulta ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .
Mula dito magsasagawa kami ng mga kalkulasyon gamit ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Nakukuha namin iyon
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 \u003d π 18
Nagtugma ang mga resulta.
Sagot: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Pagsasama ng mga bahagi sa pagkalkula ng isang tiyak na integral
Kung sa segment [a ; b ] ang mga function na u (x) at v (x) ay tinukoy at tuluy-tuloy, pagkatapos ang kanilang mga first-order derivatives na v " (x) u (x) ay mapagsasama, kaya mula sa pagitan na ito para sa integrable function na u " (x) v ( x) ang pagkakapantay-pantay ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x ay totoo.
Ang formula ay maaaring gamitin pagkatapos, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang integral ∫ a b f (x) d x , at ∫ f (x) d x ito ay kinakailangan upang mahanap ito gamit ang integration sa pamamagitan ng mga bahagi.
Halimbawa 5
Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Solusyon
Ang function na x sin x 3 + π 6 ay maisasama sa segment - π 2; 3 π 2 , kaya ito ay tuloy-tuloy.
Hayaan u (x) \u003d x, pagkatapos ay d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, at d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, at v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Mula sa formula ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x makuha natin iyon
∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003 \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Ang solusyon ng halimbawa ay maaaring gawin sa ibang paraan.
Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function x sin x 3 + π 6 gamit ang integration sa pamamagitan ng mga bahagi gamit ang Newton-Leibniz formula:
∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Sagot: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
1 sa 30
Pagtatanghal sa paksa: Formula ng Newton-Leibniz
slide number 1
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 2
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 3
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 4
Paglalarawan ng slide:
Newton at Leibniz Mula sa mga nananatiling dokumento, nalaman ng mga istoryador ng agham na natuklasan ni Newton ang differential at integral calculus noong 1665-1666, ngunit hindi ito nai-publish hanggang 1704. Independiyenteng binuo ni Leibniz ang kanyang bersyon ng pagsusuri (mula noong 1675), kahit na ang unang impetus sa kanyang pag-iisip ay malamang na nagmula sa mga alingawngaw na si Newton ay mayroon nang ganoong calculus, pati na rin salamat sa mga siyentipikong pag-uusap sa England at pakikipag-ugnayan kay Newton. Hindi tulad ni Newton, inilathala kaagad ni Leibniz ang kanyang bersyon, at nang maglaon, kasama sina Jacob at Johann Bernoulli, ay malawakang itinaguyod ang landmark na pagtuklas na ito sa buong Europa. Karamihan sa mga siyentipiko sa Kontinente ay walang alinlangan na natuklasan ni Leibniz ang pagsusuri.
slide number 5
Paglalarawan ng slide:
Nakikinig sa panghihikayat ng mga kaibigan na umapela sa kanyang pagkamakabayan, sinabi ni Newton sa ika-2 aklat ng kanyang "Principles" (1687): Sa mga liham na ipinagpalit ko mga sampung taon na ang nakararaan sa isang napakahusay na matematiko, si Mr. isang paraan para sa pagtukoy ng maxima at minima , pagguhit ng mga tangent at paglutas ng mga katulad na tanong, na parehong naaangkop sa parehong makatwiran at hindi makatwiran na mga termino, at itinago ko ang pamamaraan sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga titik ng sumusunod na pangungusap: "kapag ang isang equation ay ibinigay na naglalaman ng anumang bilang ng mga kasalukuyang dami, hanapin ang mga fluxions at pabalik". Sinagot ako ng pinakasikat na asawang lalaki na inatake din niya ang gayong pamamaraan at ipinaalam sa akin ang kanyang pamamaraan, na naging halos hindi naiiba sa akin, at pagkatapos ay sa mga tuntunin at pormula lamang.
numero ng slide 6
Paglalarawan ng slide:
Noong 1693, nang sa wakas ay nai-publish ni Newton ang unang buod ng kanyang bersyon ng pagsusuri, nakipagpalitan siya ng mga liham pangkaibigan kay Leibniz. Sinabi ni Newton: Ang aming Wallis ay nakakabit sa kanyang "Algebra", na kalalabas lamang, ang ilan sa mga liham na isinulat ko sa iyo sa aking panahon. Kasabay nito, hiniling niya sa akin na hayagang sabihin ko ang paraan na itinago ko sa iyo noong panahong iyon sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga titik; Ginawa ko itong maikli hangga't kaya ko. Umaasa ako na hindi ako sumulat ng anumang bagay na hindi kasiya-siya para sa iyo, ngunit kung nangyari ito, mangyaring ipaalam sa akin, dahil ang aking mga kaibigan ay mas mahal sa akin kaysa sa mga pagtuklas sa matematika.
numero ng slide 7
Paglalarawan ng slide:
Matapos ang paglitaw ng unang detalyadong publikasyon ng Newtonian analysis (isang mathematical supplement sa "Optics", 1704), isang hindi kilalang pagsusuri ang lumitaw sa journal ni Leibniz na "Acta eruditorum" na may mga nakakasakit na parunggit kay Newton. Ang pagsusuri ay malinaw na nagpahiwatig na ang may-akda ng bagong calculus ay si Leibniz. Si Leibniz mismo ay mariing itinanggi na ang pagsusuri ay isinulat niya, ngunit ang mga istoryador ay nakahanap ng draft na nakasulat sa kanyang sulat-kamay. Hindi pinansin ni Newton ang artikulo ni Leibniz, ngunit galit na tumugon ang kanyang mga estudyante, pagkatapos ay sumiklab ang isang pan-European priority war, "ang pinakanakakahiya na pag-aaway sa buong kasaysayan ng matematika."
numero ng slide 8
Paglalarawan ng slide:
Noong Enero 31, 1713, nakatanggap ang Royal Society ng isang liham mula kay Leibniz na naglalaman ng wikang nagkakasundo: sumasang-ayon siya na si Newton ay dumating sa pagsusuri sa kanyang sarili, "sa pangkalahatang mga prinsipyo tulad ng sa atin." Isang galit na Newton ang humiling ng paglikha ng isang internasyonal na komisyon upang linawin ang priyoridad. Ang komisyon ay hindi tumagal ng maraming oras: makalipas ang isang buwan at kalahati, na pinag-aralan ang mga sulat ni Newton sa Oldenburg at iba pang mga dokumento, nagkakaisang kinikilala nito ang priyoridad ni Newton, bukod dito, sa isang salita na nakakainsulto kay Leibniz sa oras na ito. Ang desisyon ng komisyon ay inilimbag sa mga paglilitis ng Samahan kasama ang lahat ng sumusuportang dokumento.
numero ng slide 9
Paglalarawan ng slide:
Bilang tugon, mula sa tag-araw ng 1713, ang Europa ay binaha ng hindi kilalang mga polyeto na nagtanggol sa priyoridad ni Leibniz at iginiit na "Nilalayon ni Newton sa kanyang sarili ang karangalan na pagmamay-ari ng iba." Inakusahan din ng mga polyeto si Newton ng pagnanakaw ng mga resulta ng Hooke at Flamsteed. Ang mga kaibigan ni Newton, sa kanilang bahagi, ay inakusahan si Leibniz mismo ng plagiarism; ayon sa kanila, sa kanyang pananatili sa London (1676), nakilala ni Leibniz ang mga hindi nai-publish na mga gawa at mga sulat ni Newton sa Royal Society, pagkatapos ay inilathala ni Leibniz ang mga ideyang ipinahayag doon at ipinasa ang mga ito bilang kanyang sarili. Hindi humina ang digmaan hanggang Disyembre 1716, nang ipaalam ng abbot Conti kay Newton: "Patay na si Leibniz - tapos na ang alitan
slide number 10
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 11
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 12
Paglalarawan ng slide:
Magtakda ng arbitrary na halaga x € (a.b) at tukuyin ang isang bagong function. Ito ay tinukoy para sa lahat ng mga halaga x € (a.b) , dahil alam natin na kung mayroong integral ng ʄ on (a,b) , kung gayon ay mayroong integral din ng ʄ on (a ,b) , kung saan Alalahanin na ipinapalagay natin ayon sa kahulugan
numero ng slide 13
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 14
Paglalarawan ng slide:
Kaya ang F ay tuloy-tuloy sa (a,b) kung ang ʄ ay may mga discontinuities; mahalaga na ang ʄ ay maisasama sa (a,b) Ipinapakita ng figure ang graph ng ʄ . Ang lugar ng variable figure aABx ay katumbas ng F (X) Ang pagtaas nito F (X+h)-F(x) ay katumbas ng area ng figure xBC(x+h) , na, dahil sa ang Boundedness ng ʄ, malinaw na may posibilidad na zero bilang h → 0, hindi alintana kung ang x ay magiging punto ng pagpapatuloy o discontinuity ʄ hal. point x-d
numero ng slide 15
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 16
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 17
Paglalarawan ng slide:
Ang pagpasa sa limitasyon bilang h→0 ay nagpapakita ng pagkakaroon ng derivative ng F sa punto at ang bisa ng pagkakapantay-pantay. Para sa x=a,b, pinag-uusapan natin ang kanan at kaliwang derivatives, ayon sa pagkakabanggit. Kung ang function na ʄ ay tuloy-tuloy sa (a,b) , kung gayon, batay sa itaas, ang katumbas na function ay may derivative na katumbas ng Samakatuwid, ang function na F(x) ay ang antiderivative para sa ʄ (a,b)
numero ng slide 18
Paglalarawan ng slide:
Napatunayan namin na ang isang arbitrary na tuluy-tuloy na function ʄ sa segment (a,b) ay may antiderivative sa segment na ito na tinukoy ng pagkakapantay-pantay. Pinatutunayan nito ang pagkakaroon ng isang antiderivative para sa anumang function na tuloy-tuloy sa isang pagitan. Ngayon hayaang magkaroon ng arbitrary na antiderivative ng function na ʄ(x) sa (a,b) . Alam namin na ang Where C ay medyo pare-pareho. Ipagpalagay sa pagkakapantay-pantay na ito x=a at isinasaalang-alang na F(a)=0 nakukuha natin ang Ф(a)=C Kaya, Ngunit
numero ng slide 19
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 20
Paglalarawan ng slide:
Integral Ang integral ng isang function ay isang natural na analogue ng kabuuan ng isang sequence. Ayon sa pangunahing teorama ng pagsusuri, ang pagsasama ay ang operasyon na kabaligtaran sa pagkita ng kaibhan. Ang proseso ng paghahanap ng integral ay tinatawag na integration. Mayroong ilang iba't ibang mga kahulugan ng operasyon ng integration, na naiiba sa mga teknikal na detalye. Gayunpaman, lahat sila ay magkatugma, iyon ay, anumang dalawang paraan ng pagsasama, kung maaari silang mailapat sa isang naibigay na function, ay magbibigay ng parehong resulta.
slide number 21
Paglalarawan ng slide:
numero ng slide 22
Paglalarawan ng slide:
Kasaysayan Ang mga palatandaan para sa integral ʃ ng derivation na dx ay unang ginamit ni Leibniz sa pagtatapos ng ika-17 siglo. Ang simbolo ng integral ay nabuo mula sa titik S - isang pagdadaglat ng salitang lat. summa (sum). Ang Integral in Antiquity Integration ay matutunton pabalik sa sinaunang Egypt, mga 1800 BC. e., ang Moscow Mathematical Papyrus ay nagpapakita ng kaalaman sa formula para sa dami ng isang pinutol na pyramid. Ang unang kilalang paraan para sa pagkalkula ng mga integral ay ang paraan ng pagkaubos ni Eudoxus (c. 370 BC), na sinubukang maghanap ng mga lugar at volume sa pamamagitan ng paghahati-hati sa mga ito sa isang walang katapusang bilang ng mga bahagi kung saan ang lugar o volume ay kilala na. Ang pamamaraang ito ay kinuha at binuo ni Archimedes, at ginamit upang kalkulahin ang mga lugar ng mga parabola at tinatayang ang lugar ng isang bilog. Ang mga katulad na pamamaraan ay binuo nang nakapag-iisa sa Tsina noong ika-3 siglo AD ni Liu Hui, na ginamit ang mga ito upang mahanap ang lugar ng isang bilog. Ang pamamaraang ito ay kasunod na ginamit ni Ju Chongshi upang mahanap ang volume ng isang globo.
numero ng slide 23
Paglalarawan ng slide:
Makasaysayang kahalagahan at pilosopikal na kahulugan ng Newton-Leibniz formula Isa sa pinakamahalagang tool sa pananaliksik ng seryeng ito ay ang Newton-Leibniz formula, at ang paraan sa likod nito para sa paghahanap ng antiderivative function sa pamamagitan ng pagsasama ng derivative nito. Ang makasaysayang kahalagahan ng pormula ay sa paggamit ng mga walang katapusang dami at sa ganap na eksaktong sagot sa tanong na ibinibigay. Ang mga bentahe ng paggamit ng pamamaraang ito para sa paglutas ng mga problema sa matematika, pisikal at iba pang natural na agham, halimbawa, ang klasikal na problema ng pag-squaring ng isang bilog - pagbuo ng isang parisukat na pantay na laki sa isang naibigay na bilog, ay kilala. Ang pilosopikal na kahulugan - sa posibilidad na makakuha ng impormasyon tungkol sa kabuuan mula sa napakaliit na bahagi nito, na nabanggit kanina - ay malinaw na natanto sa medisina at biology, isang halimbawa kung saan maaaring maging tagumpay ng genetic engineering sa pag-clone - ang paglikha ng magkatulad na mga nilalang na nabubuhay. . Ang kasaysayan ay nananatiling isang bihirang eksepsiyon sa listahan ng mga agham na gumamit ng Newton-Leibniz formula. Ang imposibilidad ng paglalahad ng impormasyon mula sa mga makasaysayang mapagkukunan sa anyo ng mga numero - mga argumento ng formula - ay tradisyonal. Kaya, hanggang ngayon, ang pilosopikal na kahulugan ng pormula ay hindi ganap na pilosopikal, dahil ito ay natanto lamang sa kaalaman sa natural na agham, na iniiwan ang kaalamang panlipunan at makataong walang ganoong makapangyarihang kasangkapan. Bagaman, kung ang isa ay sumunod sa mga tradisyonal na katangian ng panlipunan at makataong kaalaman, ang mga kahinaan nito, wika nga, kung gayon ito ay nasa kaso nito.
numero ng slide 24
Paglalarawan ng slide:
Ngunit ang karagdagang siyentipikong pagsusuri sa ating panahon ay nagbibigay ng bago, ibang larawan ng patuloy na proseso. Ang atomistic na pananaw na ngayon ay nangingibabaw sa agham ay nabubulok ang bagay sa isang bungkos ng maliliit na particle o regular na matatagpuan na mga sentro ng mga puwersa na nasa walang hanggang iba't ibang paggalaw. Katulad nito, ang eter penetrating matter ay patuloy na nasasabik at umuusad sa mga alon. Ang lahat ng mga paggalaw na ito ng bagay at eter ay nasa pinakamalapit at tuluy-tuloy na koneksyon sa kalawakan ng mundo, na walang katapusan para sa atin. Ang gayong representasyon, hindi naa-access sa ating konkretong imahinasyon, ay sumusunod mula sa data ng pisika.
slide number 25
Paglalarawan ng slide:
Kahit na ang mga mystical at mahiwagang alon ay dapat umasa sa posisyong ito, bagaman maaari nilang, sa pamamagitan ng pagbibigay ng ibang kahulugan sa konsepto ng oras, ganap na sirain ang kahalagahan ng katotohanang ito sa pangkalahatang pananaw sa mundo. Kaya, hangga't ang tanong ay tungkol sa mga phenomena na nakikita ng mga pandama, kahit na ang mga lugar na ito ng pilosopiya at relihiyon, ang pinakamalayo sa eksaktong kaalaman, ay dapat umasa sa napatunayang katotohanan sa siyensya, dahil dapat silang umasa sa katotohanan na ang dalawang beses dalawa ay apat sa ang lugar na napapailalim sa mga pandama.at isip.
numero ng slide 26
Paglalarawan ng slide:
Kasabay nito, ang dami ng kaalamang naipon ng sangkatauhan ay sapat na upang sirain ang tradisyong ito. Sa katunayan, hindi na kailangan sa paraang Pythagorean na maghanap ng digital na sulat sa mga pahayag na "Peter I bumisita sa Venice sa panahon ng Great Embassy" at "Peter wala ako sa Venice sa panahon ng Great Embassy", kapag ang mga expression na ito mismo ay madaling magsilbi bilang mga argumento ng algebra ng lohika ni George Boole. Ang resulta ng bawat makasaysayang pananaliksik ay mahalagang hanay ng mga naturang argumento. Kaya, sa aking opinyon, makatwiran na gumamit ng isang hanay ng mga makasaysayang pag-aaral bilang isang pinagsama-samang pag-andar, na ipinakita sa anyo ng mga argumento ng algebra ng lohika, na may layuning makuha ang pinaka-malamang na muling pagtatayo ng makasaysayang kaganapan sa ilalim ng pag-aaral bilang isang antiderivative. Maraming hamon sa daan. Sa partikular: ang representasyon ng isang tiyak na makasaysayang pag-aaral - isang hinango ng isang muling itinayong kaganapan - sa anyo ng isang hanay ng mga lohikal na expression - ang operasyon ay malinaw naman na mas kumplikado kaysa, halimbawa, ang electronic cataloging ng isang simpleng archive ng library. Gayunpaman, ang pambihirang tagumpay ng impormasyon sa huling bahagi ng ika-20 - unang bahagi ng ika-21 siglo (isang napakataas na antas ng pagsasama ng base ng elemento at isang pagtaas sa kapangyarihan ng impormasyon) ay ginagawang ganap na totoo ang katuparan ng naturang gawain.
numero ng slide 27
Paglalarawan ng slide:
Sa liwanag ng nabanggit, sa kasalukuyang yugto, ang pagsusuri sa kasaysayan ay isang pagsusuri sa matematika na may teorya ng probabilidad at ang algebra ng lohika, at ang ninanais na antiderivative function ay ang posibilidad ng isang makasaysayang kaganapan, na sa pangkalahatan ay medyo pare-pareho at kahit na. pinupunan ang ideya ng agham sa kasalukuyang yugto, dahil ang pagpapalit ng konsepto ng kakanyahan ng konsepto ng pag-andar - ang pangunahing bagay sa pag-unawa sa agham sa modernong panahon - ay kinumpleto ng pagtatasa ng pagpapaandar na ito. Dahil dito, ang modernong makasaysayang kahalagahan ng pormula ay nasa posibilidad na maisakatuparan ang pangarap ni Leibniz "tungkol sa oras na, sa halip na walang katapusang mga pagtatalo, dalawang pilosopo, tulad ng dalawang mathematician, ay kukuha ng mga panulat sa kanilang mga kamay at, nakaupo sa mesa, palitan ang pagtatalo sa pagkalkula" . Ang bawat makasaysayang pananaliksik-konklusyon ay may karapatang umiral, sumasalamin sa isang tunay na kaganapan at umakma sa impormasyong makasaysayang larawan. Ang panganib ng pagkabulok ng makasaysayang agham sa isang hanay ng mga walang kulay na mga parirala-pahayag - ang resulta ng aplikasyon ng iminungkahing pamamaraan, ay hindi hihigit sa panganib ng musika na bumababa sa isang hanay ng mga tunog, at pagpipinta sa isang hanay ng mga kulay sa kasalukuyang yugto ng pag-unlad ng tao. Ito ay kung paano ko nakikita ang bagong pilosopikal na kahulugan ng Newton-Leibniz formula, na ibinigay sa unang pagkakataon sa pagtatapos ng ika-17 - simula ng ika-18 siglo.
numero ng slide 28
Paglalarawan ng slide:
Sa katunayan, ang pormula, dahil sa kakaibang pang-unawa ng mga simbolo ng matematika ng mga tagapagdala ng kaalaman sa lipunan at makatao, na ipinahayag sa takot na takot ng mga tagapagdala ng anumang representasyon ng gayong mga palatandaan, ay ibibigay sa anyo ng pandiwang: isang tiyak na integral ng ang derivative ng isang function ay ang antiderivative ng function na ito. Ang ilang mga pormal na pagkakaiba sa pagitan ng ibinigay na halimbawa ng problema ng pag-squaring ng isang bilog at ang karaniwang pang-edukasyon at matematikal na halimbawa ng pagkalkula ng lugar na matatagpuan sa ilalim ng isang di-makatwirang kurba sa sistema ng coordinate ng Cartesian ay hindi, siyempre, nagbabago ng kakanyahan.
numero ng slide 29
Paglalarawan ng slide:
GAMIT NA LITERATURA: 1. Brodsky I.A. Gumagana sa apat na volume. T.3. SPb., 1994. 2. Vernadsky V.I. Biosphere at noosphere. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Panimula sa pilosopiya. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. Ang ebolusyon ng konsepto ng agham. M., 1980. 5. Descartes, Rene. Mga Pagninilay sa Primitive Philosophy. SPb., 1995. 6. Karpov G.M. The Great Embassy of Peter I. Kaliningrad, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Vidman F. Philosophy: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovskiy V.S. Mga piling kabanata ng kasaysayan ng matematika. Kaliningrad, 2002. 9. Natanson I.P. Isang maikling kurso sa mas mataas na matematika. SPb., 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Mga sanaysay sa kasaysayan ng matematika. M., 2004 Mga mapagkukunan sa Internet http://ru.wikipedia.org
numero ng slide 30
Paglalarawan ng slide:
