Isaalang-alang ang isang eroplanong Q sa kalawakan. Ang posisyon nito ay ganap na natutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang vector N patayo sa eroplanong ito at ilang nakapirming punto na nakahiga sa eroplanong Q. Ang vector N na patayo sa eroplanong Q ay tinatawag na normal na vector ng eroplanong ito. Kung ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A, B at C ang mga projection ng normal na vector N, kung gayon

Kunin natin ang equation ng eroplanong Q na dumadaan sa ibinigay na punto at pagkakaroon ng ibinigay na normal na vector. Upang gawin ito, isaalang-alang ang isang vector na nagkokonekta sa isang punto sa isang arbitrary na punto ng eroplano Q (Larawan 81).

Para sa anumang posisyon ng point M sa plane Q, ang MXM vector ay patayo sa normal na vector N ng plane Q. Samakatuwid, ang scalar product Isulat natin ang scalar product sa mga tuntunin ng projection. Since , at vector , then

at samakatuwid

Ipinakita namin na ang mga coordinate ng anumang punto ng Q plane ay nakakatugon sa equation (4). Madaling makita na ang mga coordinate ng mga puntos na hindi nakahiga sa eroplano Q ay hindi nakakatugon sa equation na ito (sa huling kaso, ). Samakatuwid, nakuha namin ang kinakailangang equation ng eroplanong Q. Ang equation (4) ay tinatawag na equation ng eroplano na dumadaan sa ibinigay na punto. Ito ay nasa unang antas na may kaugnayan sa kasalukuyang mga coordinate

Kaya, ipinakita namin na ang anumang eroplano ay tumutugma sa isang equation ng unang antas na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate.

Halimbawa 1. Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang puntong patayo sa vector.

Solusyon. Dito . Batay sa formula (4), nakukuha natin

o, pagkatapos ng pagpapasimple,

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga coefficient A, B at C ng equation (4) ng magkakaibang mga halaga, maaari nating makuha ang equation ng anumang eroplano na dumadaan sa punto. Ang hanay ng mga eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto ay tinatawag na grupo ng mga eroplano. Ang equation (4), kung saan ang mga coefficient A, B at C ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga, ay tinatawag na equation ng isang bundle ng mga eroplano.

Halimbawa 2. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa tatlong puntos, (Larawan 82).

Solusyon. Isulat natin ang equation para sa isang grupo ng mga eroplano na dumadaan sa isang punto

ay ang pangkalahatang equation ng isang eroplano sa kalawakan

Normal na vector ng eroplano

Ang isang normal na vector ng isang eroplano ay isang nonzero vector na orthogonal sa bawat vector na nakahiga sa eroplano.

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang punto na may ibinigay na normal na vector

ay ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong M0 na may ibinigay na normal na vector

Mga vector ng direksyon ng eroplano

Dalawang non-collinear vectors na parallel sa eroplano ay tinatawag na direction vectors ng eroplano

Parametric plane equation

– parametric equation ng plane sa vector form

ay ang parametric equation ng eroplano sa mga coordinate

Equation ng isang eroplano sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto at dalawang direksyon ng vectors

-nakapirming punto

isang tuldok lang lol

ay coplanar, kaya ang kanilang pinaghalong produkto ay 0.

Equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos

– equation ng eroplano sa pamamagitan ng tatlong puntos

Equation ng isang eroplano sa mga segment

- equation ng eroplano sa mga segment

Patunay

Upang patunayan ito, ginagamit namin ang katotohanan na ang aming eroplano ay dumadaan sa A, B, C, at ang normal na vector

Palitan natin ang mga coordinate ng punto at ang vector n sa equation ng eroplano na may normal na vector

Hatiin ang lahat at kunin

Kaya ito napupunta.

Normal na equation ng eroplano

ay ang anggulo sa pagitan ng ox at ng normal na vector sa eroplano, na lumalabas sa O.

ay ang anggulo sa pagitan ng oy at ng normal na vector sa eroplano, papalabas mula sa O.

ay ang anggulo sa pagitan ng oz at ng normal na vector sa eroplano, palabas mula sa O.

ay ang distansya mula sa pinanggalingan ng mga coordinate sa eroplano.

Katibayan o ilang kalokohan

Ang karatula ay nasa tapat ng D.

Katulad din para sa iba pang mga cosine. Tapusin.

Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano

Point S, eroplano

ay ang oriented na distansya mula sa puntong S hanggang sa eroplano

Kung , kung gayon ang S at O ​​ay nakahiga sa magkabilang panig ng eroplano

Kung , kung gayon ang S at O ​​ay nasa magkabilang panig

Multiply sa n

Mutual arrangement ng dalawang linya sa espasyo

Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Sa intersection, dalawang pares ng mga vertical na dihedral na anggulo ang nabuo, ang pinakamaliit ay tinatawag na anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Tuwid na linya sa kalawakan

Ang isang linya sa espasyo ay maaaring ibigay bilang

Intersection ng dalawang eroplano:

Parametric equation ng isang tuwid na linya

- parametric equation ng isang tuwid na linya sa vector form

ay ang parametric equation ng isang tuwid na linya sa mga coordinate

Canonical Equation

ay ang canonical equation ng isang tuwid na linya.

Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos

– canonical equation ng isang tuwid na linya sa anyong vector;

Mutual arrangement ng dalawang linya sa espasyo

Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano sa kalawakan

Anggulo sa pagitan ng linya at eroplano

Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya sa espasyo

a ay ang vector ng direksyon ng ating tuwid na linya.

ay isang arbitrary na punto na kabilang sa isang ibinigay na linya

- ang punto kung saan hinahanap natin ang distansya.

Distansya sa pagitan ng dalawang magkasalubong na linya

Distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

M1 - punto na kabilang sa unang linya

Ang M2 ay isang puntong kabilang sa pangalawang linya

Mga kurba at ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Ang isang ellipse ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa kung saan sa dalawang ibinigay na mga punto (foci) ay isang pare-parehong halaga.

Canonical equation ng isang ellipse

Palitan natin ng

Hatiin sa pamamagitan ng

Mga Katangian ng Ellipse

Intersection na may coordinate axes

Symmetry tungkol sa

1. Pinagmulan

Ang isang ellipse ay isang kurba na nakahiga sa isang limitadong bahagi ng isang eroplano

Ang isang ellipse ay maaaring makuha mula sa isang bilog sa pamamagitan ng pag-unat o pagpisil nito

Parametric equation ng isang ellipse:

- mga direktor

Hyperbola

Ang hyperbola ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa 2 ibinigay na mga puntos (foci) ay isang pare-parehong halaga (2a)

Ginagawa namin ang lahat katulad ng sa ellipse, nakukuha namin

Palitan ng

Hatiin sa pamamagitan ng

Mga katangian ng hyperbola

;

- mga direktor

Asymptote

Ang isang asymptote ay isang tuwid na linya kung saan ang kurba ay lumalapit nang walang katiyakan, umuurong sa kawalang-hanggan.

Parabola

parabot properties

Relasyon sa pagitan ng ellipse, hyperbola at parabola.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga kurba na ito ay may algebraic na paliwanag: lahat sila ay ibinibigay ng mga equation ng ikalawang antas. Sa anumang coordinate system, ang mga equation ng mga curve na ito ay may anyo: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, kung saan ang a, b, c, d, e, f ay mga numero

Pagbabago ng Rectangular Cartesian Coordinate System

Parallel na pagsasalin ng coordinate system

–O’ sa lumang coordinate system

– mga coordinate ng punto sa lumang coordinate system

– mga coordinate ng punto sa bagong coordinate system

Point coordinates sa bagong coordinate system.

I-rotate sa isang Cartesian Coordinate System

– bagong coordinate system

Ilipat ang matrix mula sa lumang batayan patungo sa bago

- (sa ilalim ng unang hanay ako’ , sa ilalim ng pangalawa j’ ) ang transition matrix mula sa batayan ako,j sa batayan ako’ ,j’

Pangkalahatang kaso

1 opsyon

1. Pag-ikot ng coordinate system

Opsyon 2

1. Pag-ikot ng coordinate system

   Parallel na pagsasalin ng pinagmulan

Pangkalahatang equation ng second order lines at ang pagbabawas nito sa canonical form

ay ang pangkalahatang anyo ng second-order curve equation

Pag-uuri ng mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Ellipsoid

Mga cross section ng isang ellipsoid

- ellipse

- ellipse

Ellipsoids ng rebolusyon

Ang mga ellipsoid ng rebolusyon ay alinman sa mga oblate o prolate na spheroid, depende sa kung ano ang ating iniikot sa paligid.

Isang-band hyperboloid

Mga seksyon ng isang one-strip hyperboloid

– hyperbola na may totoong axis oy

ay isang hyperbola na may totoong x-axis

Ito ay lumiliko ang isang ellipse para sa anumang h. Kaya ito napupunta.

Single-strip hyperboloids ng rebolusyon

Ang isang sheet na hyperboloid ng rebolusyon ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng hyperbola sa paligid ng haka-haka na axis nito.

Dalawang-sheet na hyperboloid

Mga seksyon ng isang dalawang-sheet na hyperboloid

- hyperbole na may aksyon. axisoz

ay isang hyperbola na may totoong axis oz

Kono

- isang pares ng mga intersecting na linya

- isang pares ng mga intersecting na linya

Elliptical paraboloid

- parabola

- parabola

Mga pag-ikot

Kung , kung gayon ang elliptic paraboloid ay isang ibabaw ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng parabola tungkol sa axis ng symmetry nito.

Hyperbolic paraboloid

Parabola

- parabola

h>0 hyperbola na may totoong axis na kahanay ng x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Sa ilalim ng silindro ang ibig sabihin namin ay ang ibabaw na makukuha kapag ang isang tuwid na linya ay gumagalaw sa kalawakan, na hindi nagbabago ng direksyon nito, kung ang tuwid na linya ay gumagalaw na may kaugnayan sa oz, kung gayon ang equation ng silindro ay ang equation ng isang seksyon sa pamamagitan ng eroplano xoy.

Elliptical cylinder

hyperbolic cylinder

parabolic cylinder

Mga rectilinear generator ng mga ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod

Ang mga linya na ganap na nakahiga sa ibabaw ay tinatawag na rectilinear generators ng surface.

Mga ibabaw ng rebolusyon

Fuck you lol

Display

sa pamamagitan ng pagpapakita Tawagan natin ang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat elemento ng set A ay nauugnay sa isa o higit pang mga elemento ng set B. Kung ang bawat isa ay itinalaga ng isang solong elemento ng set B, kung gayon ang pagmamapa ay tinatawag hindi malabo, kung hindi malabo.

Pagbabago set ay tinatawag na one-to-one na pagmamapa ng isang set sa sarili nito

Iniksyon

Injection o one-to-one na pagmamapa ng set A hanggang set B

(iba't ibang elemento ng isang tumutugma sa iba't ibang elemento ng B) halimbawa y=x^2

surjection

Surjection o pagmamapa ng isang set A sa isang set B

Para sa bawat B, mayroong kahit isang A (halimbawa, isang sine)

Ang bawat elemento ng set B ay tumutugma lamang sa isang elemento ng set A. (halimbawa, y=x)

Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang normal na equation ng eroplano. Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pagbuo ng normal na equation ng eroplano ayon sa anggulo ng pagkahilig ng normal na vector ng eroplano mula sa mga axes Baka, Oy, Oz at sa pamamagitan ng distansya r mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano. Ipakita natin ang isang paraan para sa pagbabawas ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya sa normal na anyo. Isaalang-alang ang mga numerical na halimbawa.

Hayaang magbigay ng Cartesian rectangular coordinate system sa espasyo. Pagkatapos normal na equation ng eroplano Ω kinakatawan ng sumusunod na formula:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

saan r− distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano Ω , a α,β,γ ay ang mga anggulo sa pagitan ng unit vector n, orthogonal sa eroplano Ω at coordinate axes Baka, Oy, Oz, ayon sa pagkakabanggit (Fig.1). (Kung ang r>0, pagkatapos ay ang vector n nakadirekta patungo sa eroplano Ω , kung ang eroplano ay dumaan sa pinanggalingan, kung gayon ang direksyon ng vector n pinili nang arbitraryo).

Nakukuha namin ang formula (1). Hayaang magbigay ng Cartesian rectangular coordinate system at isang eroplano sa kalawakan Ω (Larawan 1). Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng pinagmulan Q, patayo sa eroplano Ω , at ang punto ng intersection ay ilalarawan ng R. Sa linyang ito, pipiliin namin ang unit vector n, na may direksyon na tumutugma sa vector. (Kung ang mga tuldok O at R tugma, pagkatapos ay ang direksyon n maaaring kunin nang arbitraryo).

Ipinapahayag namin ang equation ng eroplano Ω sa pamamagitan ng mga sumusunod na parameter: ang haba ng segment at ang mga anggulo ng pagkahilig α, β, γ sa pagitan ng vector n at mga palakol Baka, Oy, Oz, ayon sa pagkakabanggit.

Dahil ang vector n ay isang unit vector, pagkatapos ay ang mga projection nito papunta Baka, Oy, Oz magkakaroon ng mga sumusunod na coordinate:

Tuldok na produkto ng mga vector n at may sumusunod na anyo:

Kung ganoon n={cosα, cosβ, cosγ}, , makakakuha tayo ng:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Nakuha namin ang normal na equation ng eroplano Ω . Ang equation (7) (o (1)) ay tinatawag din normalized na equation ng eroplano. Vector n tinawag eroplanong normal na vector.

Gaya ng nabanggit sa itaas, ang numero r sa equation (1) ay nagpapakita ng distansya ng eroplano mula sa pinanggalingan. Samakatuwid, ang pagkakaroon ng normal na equation ng eroplano, madaling matukoy ang distansya ng eroplano mula sa pinanggalingan. Upang suriin kung ang isang ibinigay na equation ng isang eroplano ay isang equation sa normal na anyo, kailangan mong suriin ang haba ng normal na vector ng eroplanong ito at ang tanda ng numero r, ibig sabihin. kung | n|=1 at r>0, kung gayon ang equation na ito ay isang normal (na-normalize) na equation ng eroplano.

Halimbawa 1. Ibinigay ang sumusunod na plane equation:

Tukuyin natin ang haba ng vector n:

Dahil ang mga equation (1) at (8) ay dapat matukoy ang parehong tuwid na linya (Proposisyon 2 ng artikulong "General equation of the plane"), kung gayon mayroong ganoong numero t, Ano

Pasimplehin ang expression at hanapin t:

t 2 A 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (A 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Ang denominator sa (11) ay iba sa sero, dahil kahit isa sa mga coefficient A, B, C ay hindi katumbas ng zero (kung hindi, ang (8) ay hindi kumakatawan sa equation ng isang tuwid na linya).

Alamin kung anong tanda t. Bigyang-pansin natin ang ikaapat na pagkakapantay-pantay sa (9). kasi r ay ang distansya mula sa pinanggalingan sa eroplano, kung gayon r≥0. Pagkatapos ang produkto tD dapat may negatibong senyales. Yung. tanda t sa (11) ay dapat na kabaligtaran ng tanda D.

Pinapalitan sa (1) sa halip na cosα, cosβ, cosγ at −r mga halaga mula sa (9), nakukuha namin tAx+tBy+tCz+tD=0. Yung. upang dalhin ang pangkalahatang equation ng eroplano sa normal na anyo, kailangan mong i-multiply ang ibinigay na equation sa pamamagitan ng factor (11). Ang salik (11) ay tinatawag normalizing factor.

Halimbawa 2. Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay ibinigay

kasi D>0, pagkatapos ay lagdaan t negatibo:

Tandaan na ang numero ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya (12).

Ang posisyon ng eroplano sa kalawakan ay ganap na matutukoy kung itatakda natin ang distansya nito mula sa pinanggalingan O, ibig sabihin, ang haba ng patayo na OT, na bumaba mula sa punto O patungo sa eroplano, at ang unit vector n°, patayo sa eroplano at nakadirekta mula sa pinanggalingan O hanggang sa eroplano (Larawan 110).

Kapag ang puntong M ay gumagalaw sa kahabaan ng eroplano, ang radius vector nito ay nagbabago upang ito ay palaging nakatali sa ilang kundisyon. Tingnan natin kung ano ang kondisyong ito. Malinaw, para sa anumang punto na nakahiga sa eroplano, mayroon kaming:

Ang kundisyong ito ay humahawak lamang para sa mga punto sa eroplano; ito ay nilabag kung ang punto M ay nasa labas ng eroplano. Kaya, ang pagkakapantay-pantay (1) ay nagpapahayag ng isang pag-aari na karaniwan sa lahat ng mga punto ng eroplano at sa kanila lamang. Ayon sa § 7 Ch. 11 mayroon kaming:

at, samakatuwid, ang equation (1) ay maaaring muling isulat bilang:

Ang equation (D) ay nagpapahayag ng kondisyon kung saan ang punto ) ay nasa isang partikular na eroplano, at tinatawag na normal na equation ng eroplanong ito. Ang radius vector ng isang arbitrary point M ng eroplano ay tinatawag na kasalukuyang radius vector.

Ang equation (1) ng eroplano ay nakasulat sa vector form. Ang pag-on sa mga coordinate at paglalagay ng pinagmulan ng mga coordinate sa pinanggalingan ng mga vectors - ang punto O, napapansin namin na ang mga projection ng unit vector sa mga coordinate axes ay ang mga cosine ng mga anggulo na binubuo ng mga axes na may ganitong vector, at ang projection ng radius vector ng point M

ay ang mga coordinate ng point , ibig sabihin, mayroon kaming:

Ang equation (D) ay napupunta sa isang coordinate:

Kapag isinalin ang vector equation (Г) ng eroplano sa coordinate equation (2), ginamit namin ang formula (15) § 9 Ch. 11 na nagpapahayag ng scalar product sa mga tuntunin ng vector projection. Ang equation (2) ay nagpapahayag ng kondisyon kung saan ang puntong M(x, y, z) ay nasa isang partikular na eroplano, at tinatawag na normal na equation ng eroplanong ito sa coordinate form. Ang resultang equation (2) ay nasa unang degree na may kinalaman sa , ibig sabihin, anumang eroplano ay maaaring katawanin ng isang equation ng unang degree na may paggalang sa kasalukuyang mga coordinate.

Tandaan na ang mga hinangong equation (1") at (2) ay nananatiling wasto kahit na kapag , ibig sabihin, ang ibinigay na eroplano ay dumaan sa pinanggalingan. Sa kasong ito, alinman sa dalawang unit na vector ang patayo sa eroplano at nagkakaiba ng isa mula sa ibang direksyon.

Magkomento. Ang normal na equation ng eroplano (2) ay maaaring makuha nang hindi gumagamit ng vector method.

Sumakay ng di-makatwirang eroplano at gumuhit ng isang tuwid na linya I sa pamamagitan ng pinanggalingan patayo dito. Magtakda ng positibong direksyon sa linyang ito mula sa pinanggalingan hanggang sa eroplano (kung ang napiling eroplano ay dumaan sa pinanggalingan, kung gayon ang direksyon sa linya ay maaaring kunin anumang ).

Ang posisyon ng eroplanong ito sa espasyo ay ganap na tinutukoy ng distansya nito mula sa pinanggalingan, ibig sabihin, ang haba ng axis segment l mula sa pinanggalingan hanggang sa punto ng intersection sa eroplano (sa Fig. 111 - segment) at ang mga anggulo sa pagitan ng axis at ang coordinate axes. Kapag ang isang punto ay gumagalaw sa kahabaan ng eroplano kasama ang mga coordinate nito, ang mga coordinate nito ay nagbabago sa paraang palagi silang nakatali sa ilang kundisyon. Tingnan natin kung ano ang kondisyong ito.

Bumuo tayo sa Fig. 111 coordinate polyline OPSM ng isang arbitrary point M ng eroplano. Kunin natin ang projection ng putol na linyang ito sa l-axis. Pansinin na ang projection ng sirang linya ay katumbas ng projection ng pagsasara ng segment nito (Kabanata I, § 3), mayroon kami.

Equation ng eroplano. Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano?
Mutual na pag-aayos ng mga eroplano. Mga gawain

Ang spatial geometry ay hindi mas kumplikado kaysa sa "flat" na geometry, at ang aming mga flight sa kalawakan ay nagsisimula sa artikulong ito. Upang maunawaan ang paksa, dapat magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga vector, bilang karagdagan, ito ay kanais-nais na maging pamilyar sa geometry ng eroplano - magkakaroon ng maraming pagkakatulad, maraming mga pagkakatulad, kaya ang impormasyon ay mas mahusay na matutunaw. Sa isang serye ng aking mga aralin, nagbubukas ang 2D na mundo gamit ang isang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano. Ngunit ngayon ay umalis na si Batman sa flat screen TV at naglulunsad mula sa Baikonur Cosmodrome.

Magsimula tayo sa mga guhit at simbolo. Sa eskematiko, ang eroplano ay maaaring iguhit bilang isang paralelogram, na nagbibigay ng impresyon ng espasyo:

Ang eroplano ay walang katapusan, ngunit mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang isang piraso lamang nito. Sa pagsasagawa, bilang karagdagan sa paralelogram, ang isang hugis-itlog o kahit isang ulap ay iginuhit din. Para sa mga teknikal na kadahilanan, mas maginhawa para sa akin na ilarawan ang eroplano sa ganitong paraan at sa posisyong ito. Ang mga tunay na eroplano, na isasaalang-alang natin sa mga praktikal na halimbawa, ay maaaring isagawa sa anumang paraan - itak na kunin ang pagguhit sa iyong mga kamay at i-twist ito sa espasyo, na nagbibigay sa eroplano ng anumang slope, anumang anggulo.

Notasyon: kaugalian na magtalaga ng mga eroplano sa maliliit na letrang Griyego, tila upang hindi malito ang mga ito diretso sa eroplano o kasama diretso sa kalawakan. Sanay na akong gumamit ng sulat . Sa pagguhit, ito ay ang titik na "sigma", at hindi isang butas sa lahat. Bagaman, isang holey na eroplano, ito ay tiyak na napaka nakakatawa.

Sa ilang mga kaso, madaling gamitin ang parehong mga letrang Griyego na may mga subscript para magtalaga ng mga eroplano, halimbawa, .

Malinaw na ang eroplano ay natatanging tinutukoy ng tatlong magkakaibang mga punto na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Samakatuwid, ang mga tatlong-titik na pagtatalaga ng mga eroplano ay medyo popular - ayon sa mga punto na kabilang sa kanila, halimbawa, atbp. Kadalasan ang mga titik ay nakapaloob sa panaklong: , upang hindi malito ang eroplano sa isa pang geometric na pigura.

Para sa mga may karanasang mambabasa, ibibigay ko menu ng shortcut:

• Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano gamit ang isang punto at dalawang vectors?
• Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

at hindi kami mangungulit sa mahabang paghihintay:

Pangkalahatang equation ng eroplano

Ang pangkalahatang equation ng eroplano ay may anyo , kung saan ang mga coefficient ay sabay-sabay na hindi zero.

Ang ilang mga teoretikal na kalkulasyon at praktikal na mga problema ay wasto kapwa para sa karaniwang orthonormal na batayan at para sa affine na batayan ng espasyo (kung ang langis ay langis, bumalik sa aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayang vector). Para sa pagiging simple, ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kaganapan ay nangyayari sa isang orthonormal na batayan at isang Cartesian rectangular coordinate system.

At ngayon magsanay tayo ng kaunting spatial na imahinasyon. Okay lang kung masama ka, ngayon bubuoin natin ng kaunti. Kahit na ang paglalaro sa nerbiyos ay nangangailangan ng pagsasanay.

Sa pinaka-pangkalahatang kaso, kapag ang mga numero ay hindi katumbas ng zero, ang eroplano ay nag-intersect sa lahat ng tatlong coordinate axes. Halimbawa, tulad nito:

Uulitin ko muli na ang eroplano ay nagpapatuloy nang walang katiyakan sa lahat ng direksyon, at mayroon tayong pagkakataon na ilarawan ang bahagi lamang nito.

Isaalang-alang ang pinakasimpleng equation ng mga eroplano:

Paano maintindihan ang equation na ito? Isipin ito: "Z" LAGING, para sa anumang mga halaga ng "X" at "Y" ay katumbas ng zero. Ito ang equation ng "katutubong" coordinate plane. Sa katunayan, pormal na ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: , mula sa kung saan malinaw na nakikita na wala kaming pakialam, kung anong mga halaga ang kinuha ng "x" at "y", mahalaga na ang "z" ay katumbas ng zero.

Katulad nito:
ay ang equation ng coordinate plane ;
ay ang equation ng coordinate plane.

Palubhain natin nang kaunti ang problema, isaalang-alang ang isang eroplano (dito at higit pa sa talata ay ipinapalagay natin na ang mga numerical coefficient ay hindi katumbas ng zero). Isulat muli natin ang equation sa anyo: . Paano ito maintindihan? Ang "X" ay LAGING, para sa anumang halaga ng "y" at "z" ay katumbas ng isang tiyak na numero. Ang eroplanong ito ay parallel sa coordinate plane. Halimbawa, ang isang eroplano ay parallel sa isang eroplano at dumadaan sa isang punto.

Katulad nito:
- ang equation ng eroplano, na parallel sa coordinate plane;
- ang equation ng isang eroplano na parallel sa coordinate plane.

Magdagdag ng mga miyembro: . Ang equation ay maaaring muling isulat tulad nito: , ibig sabihin, "Z" ay maaaring maging anuman. Ano ang ibig sabihin nito? Ang "X" at "Y" ay konektado sa pamamagitan ng isang ratio na gumuhit ng isang tiyak na tuwid na linya sa eroplano (makikilala mo equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano?). Dahil ang Z ay maaaring maging anuman, ang linyang ito ay "ginagaya" sa anumang taas. Kaya, ang equation ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa coordinate axis

Katulad nito:
- ang equation ng eroplano, na parallel sa coordinate axis;
- ang equation ng eroplano, na parallel sa coordinate axis.

Kung ang mga libreng termino ay zero, ang mga eroplano ay direktang dadaan sa mga kaukulang axes. Halimbawa, ang klasikong "direktang proporsyonalidad":. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa eroplano at i-multiply ito sa isip pataas at pababa (dahil ang "z" ay anuman). Konklusyon: ang eroplano na ibinigay ng equation ay dumadaan sa coordinate axis.

Tinatapos namin ang pagsusuri: ang equation ng eroplano dumadaan sa pinanggalingan. Buweno, narito, malinaw na ang punto ay natutugunan ang ibinigay na equation.

At, sa wakas, ang kaso na ipinapakita sa pagguhit: - ang eroplano ay kaibigan sa lahat ng mga coordinate axes, habang ito ay palaging "pumuputol" ng isang tatsulok na maaaring matatagpuan sa alinman sa walong octants.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa espasyo

Upang maunawaan ang impormasyon, kailangang pag-aralan nang mabuti linear inequalities sa eroplano dahil maraming bagay ang magkakatulad. Ang talata ay magiging isang maikling pangkalahatang-ideya na may ilang mga halimbawa, dahil ang materyal ay medyo bihira sa pagsasanay.

Kung ang equation ay tumutukoy sa isang eroplano, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay
magtanong kalahating espasyo. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (ang huling dalawa sa listahan), kung gayon ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay, bilang karagdagan sa kalahating espasyo, ay kasama ang eroplano mismo.

Halimbawa 5

Hanapin ang unit na normal na vector ng eroplano .

Solusyon: Ang unit vector ay isang vector na ang haba ay isa. Tukuyin natin ang vector na ito sa pamamagitan ng . Malinaw na ang mga vector ay collinear:

Una, tinanggal namin ang normal na vector mula sa equation ng eroplano: .

Paano mahanap ang unit vector? Upang mahanap ang unit vector, kailangan mo bawat vector coordinate na hinati sa haba ng vector.

Isulat muli natin ang normal na vector sa anyo at hanapin ang haba nito:

Ayon sa itaas:

Sagot:

Suriin: , na kinailangang suriin.

Malamang napansin iyon ng mga mambabasa na maingat na nag-aral sa huling talata ng aralin ang mga coordinate ng unit vector ay eksaktong mga direksyon cosine ng vector:

Lumihis tayo mula sa disassembled na problema: kapag binigyan ka ng arbitrary non-zero vector, at sa pamamagitan ng kundisyon na kinakailangan upang mahanap ang mga direksyon ng cosine nito (tingnan ang mga huling gawain ng aralin Tuldok na produkto ng mga vector), pagkatapos ikaw, sa katunayan, ay nakahanap din ng isang unit vector collinear sa ibinigay na isa. Sa katunayan, dalawang gawain sa isang bote.

Ang pangangailangan upang mahanap ang isang yunit ng normal na vector arises sa ilang mga problema ng mathematical analysis.

Nalaman namin ang pangingisda ng normal na vector, ngayon sasagutin namin ang kabaligtaran na tanong:

Paano magsulat ng isang equation para sa isang eroplano gamit ang isang punto at isang normal na vector?

Ang matibay na pagtatayo ng isang normal na vector at isang punto ay kilala ng isang darts target. Mangyaring iunat ang iyong kamay at pumili ng isang arbitrary na punto sa espasyo, halimbawa, isang maliit na pusa sa isang sideboard. Malinaw, sa pamamagitan ng puntong ito, maaari kang gumuhit ng isang solong eroplano na patayo sa iyong kamay.

Ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang punto na patayo sa vector ay ipinahayag ng formula: