Sa matematika at pisika, ang mga mag-aaral at mga mag-aaral ay madalas na nakakatagpo ng mga gawain para sa mga dami ng vector at para sa pagsasagawa ng iba't ibang mga operasyon sa mga ito. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga dami ng vector at mga scalar na dami na pamilyar sa atin, ang tanging katangian kung saan ay isang numerical na halaga? Dahil may direksyon sila.
Ang paggamit ng mga dami ng vector ay pinakamalinaw na ipinaliwanag sa pisika. Ang pinakasimpleng mga halimbawa ay mga puwersa (friction force, elastic force, weight), velocity at acceleration, dahil bilang karagdagan sa mga numerical na halaga mayroon din silang direksyon ng pagkilos. Para sa paghahambing, kunin natin halimbawa ng scalar: ito ay maaaring ang distansya sa pagitan ng dalawang punto o ang masa ng katawan. Bakit kailangang magsagawa ng mga operasyon sa mga dami ng vector tulad ng karagdagan o pagbabawas? Ito ay kinakailangan upang matukoy ang resulta ng pagkilos ng isang vector system na binubuo ng 2 o higit pang mga elemento.
Mga kahulugan ng vector mathematics
Ipakilala natin ang mga pangunahing kahulugan na ginagamit kapag nagsasagawa ng mga linear na operasyon.
- Ang isang vector ay isang nakadirekta (na may panimulang punto at isang punto ng pagtatapos) na segment.
- Ang haba (modulus) ay ang haba ng nakadirekta na segment.
- Ang mga collinear vectors ay dalawang vector na maaaring magkatulad sa parehong linya o sabay na nakahiga dito.
- Ang magkasalungat na direksyon na mga vector ay tinatawag na collinear at sa parehong oras ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon. Kung magkatugma ang kanilang direksyon, sila ay co-directional.
- Ang mga vector ay pantay-pantay kapag sila ay codirectional at may parehong ganap na halaga.
- Ang kabuuan ng dalawang vectors a at b ay tulad ng isang vector c, ang simula nito ay kasabay ng simula ng una, at ang katapusan - sa pagtatapos ng pangalawa, sa kondisyon na b nagsisimula sa parehong punto na nagtatapos a.
- Pagkakaiba ng vector a at b tawagan ang halaga a at ( - b ), saan ( - b ) - kabaligtaran sa vector b. Gayundin, ang kahulugan ng pagkakaiba ng dalawang vector ay maaaring ibigay bilang mga sumusunod: sa pamamagitan ng pagkakaiba c mag-asawang vector a at b tawag dito c, na, kapag idinagdag sa subtrahend b bumubuo ng isang nabawasan a.
Paraan ng Analitikal
Ang analytical na pamamaraan ay nagsasangkot ng pagkuha ng mga coordinate ng pagkakaiba ayon sa formula nang walang konstruksiyon. Posibleng magsagawa ng pagkalkula para sa flat (two-dimensional), volumetric (three-dimensional) o n-dimensional na espasyo.
Para sa dalawang-dimensional na espasyo at dami ng vector a {a₁;a₂) at b {b₁;b₂} ang mga kalkulasyon ay magiging ganito: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.
Sa kaso ng pagdaragdag ng ikatlong coordinate, ang pagkalkula ay isasagawa sa katulad na paraan, at para sa a {a₁;a₂; a₃) at b {b₁;b₂; b₃) ang mga coordinate ng pagkakaiba ay makukuha rin sa pamamagitan ng pairwise subtraction: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.
Pag-compute ng pagkakaiba sa graphic na paraan
Upang graphical na mai-plot ang pagkakaiba, dapat mong gamitin ang panuntunang tatsulok. Upang gawin ito, dapat mong gawin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon:
- Para sa ibinigay na mga coordinate, bumuo ng mga vector kung saan kailangan mong hanapin ang pagkakaiba.
- Pagsamahin ang kanilang mga dulo (ibig sabihin, bumuo ng dalawang nakadirekta na mga segment na katumbas ng mga ibinigay, na magtatapos sa parehong punto).
- Ikonekta ang mga simula ng parehong nakadirekta na mga segment at ipahiwatig ang direksyon; ang resulta ay magsisimula sa parehong punto kung saan nagsimula ang vector na minuend at magtatapos sa start point ng vector na ibinabawas.
Ang resulta ng operasyon ng pagbabawas ay ipinapakita sa figure sa ibaba..
Mayroon ding isang paraan para sa pagbuo ng isang pagkakaiba, bahagyang naiiba mula sa nauna. Ang kakanyahan nito ay namamalagi sa aplikasyon ng teorama sa pagkakaiba ng mga vector, na nabalangkas tulad ng sumusunod: upang mahanap ang pagkakaiba ng isang pares ng mga nakadirekta na mga segment, sapat na upang mahanap ang kabuuan ng una sa kanila na may kabaligtaran na segment. sa pangalawa. Ang algorithm ng konstruksiyon ay magiging ganito:
- Bumuo ng mga paunang nakadirekta na mga segment.
- Ang isa na subtrahend ay dapat na maipakita, ibig sabihin, bumuo ng isang magkasalungat na direksyon at pantay na bahagi; pagkatapos ay pagsamahin ang simula nito sa pinababa.
- Buuin ang kabuuan: ikonekta ang simula ng unang bahagi sa dulo ng pangalawa.
Ang resulta ng desisyong ito ay ipinapakita sa figure:
Pagtugon sa suliranin
Upang pagsamahin ang kasanayan, susuriin namin ang ilang mga gawain kung saan kinakailangan upang kalkulahin ang pagkakaiba nang analytical o graphical.
Gawain 1. Mayroong 4 na puntos sa eroplano: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Tukuyin ang mga coordinate ng vector q = AB - CD, at kalkulahin din ang haba nito.
Solusyon. Una kailangan mong hanapin ang mga coordinate AB at CD. Upang gawin ito, ibawas ang mga coordinate ng mga paunang punto mula sa mga coordinate ng mga end point. Para sa AB ang simula ay A(1; -3), at ang wakas - B(0; 4). Kalkulahin ang mga coordinate ng nakadirekta na segment:
AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}
Ang isang katulad na pagkalkula ay isinasagawa para sa CD:
CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}
Ngayon, alam ang mga coordinate, mahahanap mo ang pagkakaiba ng mga vector. Ang formula para sa analytical na solusyon ng mga problema sa eroplano ay isinasaalang-alang nang mas maaga: para sa c = a- b kamukha ng mga coordinate ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Para sa isang partikular na kaso, maaari kang sumulat:
q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}
Upang mahanap ang haba q, ginagamit namin ang formula | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.
Gawain 2. Ang figure ay nagpapakita ng mga vectors m, n at p.
Kinakailangang bumuo ng mga pagkakaiba para sa kanila: p- n; m- n; m-n- p. Alamin kung alin ang may pinakamaliit na modulus.
Solusyon. Ang gawain ay nangangailangan ng tatlong constructions. Tingnan natin ang bawat bahagi ng gawain nang mas detalyado.
Bahagi 1. Upang ilarawan p-n, Gamitin natin ang panuntunang tatsulok. Upang gawin ito, gamit ang parallel na pagsasalin, ikinonekta namin ang mga segment upang ang kanilang pagtatapos ay magkasabay. Ngayon ikonekta natin ang mga panimulang punto at tukuyin ang direksyon. Sa aming kaso, ang pagkakaiba ng vector ay nagsisimula sa parehong lugar tulad ng ibinawas. n.
Bahagi 2. I-portray natin m-n. Ngayon para sa solusyon ginagamit namin ang theorem sa pagkakaiba ng mga vectors. Upang gawin ito, bumuo ng isang vector sa tapat n, at pagkatapos ay hanapin ang kabuuan nito sa m. Magiging ganito ang resulta:
Bahagi 3 Upang mahanap ang pagkakaiba m-n-p, hatiin ang expression sa dalawang hakbang. Dahil ang mga batas na katulad ng mga batas ng arithmetic ay nalalapat sa vector algebra, ang mga sumusunod na opsyon ay posible:
- m-(n+p): sa kasong ito, ang kabuuan ay unang binuo n+p, na kung saan ay ibinabawas mula sa m;
- (m-n)-p: dito ka muna maghanap m-n, at pagkatapos ay ibawas mula sa pagkakaibang ito p;
- (m-p)-n: ang unang aksyon ay tinutukoy m-p, pagkatapos nito mula sa resulta kailangan mong ibawas n.
Dahil sa nakaraang bahagi ng problema ay nakita na natin ang pagkakaiba m-n, mababawas lang natin ito p. Buuin natin ang pagkakaiba ng dalawang ibinigay na vectors gamit ang difference theorem. Ang sagot ay ipinapakita sa larawan sa ibaba (ang pula ay nagpapahiwatig ng intermediate na resulta, at ang berde ay nagpapahiwatig ng huling resulta).
Ito ay nananatiling upang matukoy kung alin sa mga segment ang may pinakamaliit na modulus. Alalahanin na ang mga konsepto ng haba at modulus sa vector mathematics ay magkapareho. Tantyahin nang biswal ang mga haba p- n, m-n at m-n-p. Malinaw, ang sagot sa huling bahagi ng problema ay ang pinakamaikling at may pinakamaliit na modulus, ibig sabihin m-n-p.
Kabuuan ng mga vector. Ang haba ng vector. Mga mahal na kaibigan, mayroong isang pangkat ng mga gawain na may mga vector sa mga uri ng pagsusulit sa likuran. Mga gawain ng medyo malawak na hanay (mahalagang malaman ang mga teoretikal na pundasyon). Karamihan ay nareresolba nang pasalita. Ang mga tanong ay nauugnay sa paghahanap ng haba ng isang vector, ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga vector, ang scalar na produkto. Mayroon ding maraming mga gawain, sa solusyon kung saan kinakailangan upang magsagawa ng mga aksyon na may mga coordinate ng mga vectors.
Ang teorya sa likod ng mga vector ay simple at dapat na maunawaang mabuti. Sa artikulong ito, susuriin namin ang mga gawaing nauugnay sa paghahanap ng haba ng isang vector, pati na rin ang kabuuan (pagkakaiba) ng mga vector. Ang ilang mga teoretikal na punto:
Konsepto ng vector
Ang vector ay isang nakadirekta na segment ng linya.
Ang lahat ng mga vector na may parehong direksyon at pantay ang haba ay pantay.
*Lahat ng apat na vector sa itaas ay pantay!
Ibig sabihin, kung gagamit tayo ng parallel translation para ilipat ang vector na ibinigay sa atin, palagi tayong makakakuha ng vector na katumbas ng orihinal. Kaya, maaaring mayroong isang walang katapusang bilang ng mga pantay na vectors.
Vector notation
Ang isang vector ay maaaring tukuyin ng malalaking titik ng Latin, halimbawa:
Sa ganitong anyo ng notasyon, ang titik na nagsasaad ng simula ng vector ay unang isinusulat, pagkatapos ay ang titik na nagsasaad ng dulo ng vector.
Ang isa pang vector ay tinutukoy ng isang titik ng alpabetong Latin (kapital):
Posible rin ang pagtatalaga na walang mga arrow:
Ang kabuuan ng dalawang vectors AB at BC ay magiging vector AC.
Ito ay nakasulat bilang AB + BC \u003d AC.
Ang panuntunang ito ay tinatawag na - tuntuning tatsulok.
Iyon ay, kung mayroon tayong dalawang vectors - tawagin natin silang may kondisyong (1) at (2), at ang dulo ng vector (1) ay tumutugma sa simula ng vector (2), kung gayon ang kabuuan ng mga vector na ito ay magiging isang vector na ang simula ay tumutugma sa simula ng vector (1) , at ang dulo ay tumutugma sa dulo ng vector (2).
Konklusyon: kung mayroon tayong dalawang vector sa eroplano, palagi nating mahahanap ang kanilang kabuuan. Gamit ang parallel translation, maaari mong ilipat ang alinman sa mga vector na ito at ikonekta ang simula nito sa dulo ng isa pa. Halimbawa:
Ilipat natin ang vector b, o sa ibang paraan - gagawa kami ng katumbas nito:
Paano natagpuan ang kabuuan ng ilang mga vectors? Sa parehong prinsipyo:
* * *
tuntunin ng paralelogram
Ang panuntunang ito ay bunga ng nabanggit.
Para sa mga vector na may karaniwang pinagmulan, ang kanilang kabuuan ay kinakatawan ng dayagonal ng parallelogram na binuo sa mga vector na ito.
Bumuo tayo ng isang vector na katumbas ng vector b upang ang simula nito ay tumutugma sa pagtatapos ng vector a, at maaari tayong bumuo ng isang vector na magiging kanilang kabuuan:
Ilang mas mahalagang impormasyon na kailangan upang malutas ang mga problema.
Ang isang vector na katumbas ng haba ng orihinal, ngunit kabaligtaran ng direksyon, ay tinutukoy din ngunit may kabaligtaran na tanda:
Ang impormasyong ito ay lubhang kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga problema kung saan mayroong isang katanungan ng paghahanap ng pagkakaiba ng mga vector. Tulad ng nakikita mo, ang pagkakaiba ng mga vector ay parehong kabuuan sa isang binagong anyo.
Hayaang magbigay ng dalawang vector, hanapin ang kanilang pagkakaiba:
Nagtayo kami ng isang vector sa tapat ng vector b, at natagpuan ang pagkakaiba.
Mga coordinate ng vector
Upang mahanap ang mga coordinate ng vector, kailangan mong ibawas ang kaukulang mga coordinate ng pagsisimula mula sa mga coordinate ng pagtatapos:
Iyon ay, ang mga coordinate ng vector ay isang pares ng mga numero.
Kung ang
At ang mga coordinate ng mga vector ay mukhang:
Pagkatapos c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2
Kung ang
Pagkatapos c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2
Modulus ng vector
Ang module ng isang vector ay ang haba nito, na tinutukoy ng formula:
Ang formula para sa pagtukoy ng haba ng isang vector kung ang mga coordinate ng simula at pagtatapos nito ay kilala:
Isaalang-alang ang mga gawain:
Ang dalawang gilid ng parihaba ABCD ay 6 at 8. Ang mga dayagonal ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng pagkakaiba sa pagitan ng mga vectors na AO at BO.
Maghanap tayo ng vector na magiging resulta ng AO - VO:
AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB
Iyon ay, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga vectors AO at Ang VO ay magiging isang vector AB. At ang haba nito ay walo.
Mga diagonal ng rhombus A B C D ay 12 at 16. Hanapin ang haba ng vector AB +AD.
Maghanap tayo ng vector na magiging kabuuan ng mga vector na AD at AB BC ay katumbas ng vector AD . Kaya AB+AD=AB+BC=AC
Ang AC ay ang haba ng dayagonal ng rhombus AC, ito ay katumbas ng 16.Ang mga dayagonal ng rhombus ABCD ay nagsalubong sa isang punto O at katumbas ng 12 at 16. Hanapin ang haba ng vector AO + BO.
Maghanap tayo ng isang vector na magiging kabuuan ng mga vector na AO at BO BO ay katumbas ng vector OD,
Ang AD ay ang haba ng gilid ng rhombus. Ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng hypotenuse sa isang right triangle AOD. Kalkulahin natin ang mga binti:
Ayon sa Pythagorean theorem:
Ang mga dayagonal ng rhombus ABCD ay nagsalubong sa punto O at katumbas ng 12 at 16. Hanapin ang haba ng vector AO –BO.
Maghanap tayo ng vector na magiging resulta ng AO - VO:
Ang AB ay ang haba ng gilid ng rhombus. Ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng hypotenuse AB sa isang right triangle AOB. kalkulahin ang mga binti:
Ayon sa Pythagorean theorem:
Ang mga gilid ng isang regular na tatsulok na ABC ay 3.
Hanapin ang haba ng vector AB -AC.
Hanapin natin ang resulta ng pagkakaiba ng mga vector:
Ang CB ay katumbas ng tatlo, dahil ang kondisyon ay nagsasabi na ang tatsulok ay equilateral at ang mga gilid nito ay katumbas ng 3.27663. Hanapin ang haba ng vector a (6; 8).
27664. Hanapin ang parisukat ng haba ng vector AB.
Ang mga matematiko o pisikal na dami ay maaaring ilarawan bilang mga scalar na dami (numerical na halaga) o mga dami ng vector (magnitude at direksyon sa espasyo).
Ang isang vector ay isang nakadirekta na segment ng linya, kung saan ipinapahiwatig kung alin sa mga hangganan nito ang simula at kung alin ang wakas. Kaya, mayroong dalawang bahagi sa vector - ito ang haba at direksyon nito.
Ang imahe ng vector sa pagguhit.
Kapag nagtatrabaho sa mga vectors, ang isang tiyak na Cartesian coordinate system ay madalas na ipinakilala kung saan ang mga coordinate ng vector ay natutukoy sa pamamagitan ng pag-decompose nito sa mga batayang vector:
Para sa isang vector na matatagpuan sa coordinate space (x,y,z) at umaalis sa pinanggalingan
Ang distansya sa pagitan ng simula at dulo ng isang vector ay tinatawag na haba nito, at ang simbolo ng modulus ay ginagamit upang tukuyin ang haba ng isang vector (ang ganap na halaga nito).
Ang mga vector na matatagpuan alinman sa parehong linya o sa parallel na linya ay tinatawag na collinear. Ang zero vector ay itinuturing na collinear sa anumang vector. Sa mga collinear na vector, ang mga vector na may pantay na direksyon (co-directed) at magkasalungat na direksyon ay nakikilala. Ang mga vector ay tinatawag na coplanar kung nakahiga sila sa parehong eroplano o sa mga tuwid na linya na parallel sa parehong eroplano.
1. Haba ng vector (vector modulus)
Tinutukoy ng haba ng isang vector ang scalar value nito at depende sa mga coordinate nito, ngunit hindi nakadepende sa direksyon nito. Ang haba ng isang vector (o modulus ng isang vector) ay kinakalkula gamit ang arithmetic square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate (mga bahagi) ng vector (ang panuntunan para sa pagkalkula ng hypotenuse sa isang right triangle ay ginagamit, kung saan ang ang vector mismo ay nagiging hypotenuse).
Sa pamamagitan ng mga coordinate, ang modulus ng vector ay kinakalkula tulad ng sumusunod:
Para sa isang vector na matatagpuan sa coordinate space (x,y) at lumalabas sa pinanggalingan
Para sa isang vector na matatagpuan sa coordinate space (x, y, z) at lumalabas sa pinanggalingan, ang formula ay magiging katulad ng formula para sa diagonal ng isang rectangular parallelepiped, dahil ang vector sa espasyo ay tumatagal ng parehong posisyon na may kaugnayan sa coordinate mga palakol.
2. Anggulo sa pagitan ng mga vector
Ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector na naka-plot mula sa isang punto ay ang pinakamaikling anggulo kung saan ang isa sa mga vector ay dapat na paikutin sa paligid ng pinagmulan nito sa posisyon ng pangalawang vector. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay tinutukoy gamit ang isang expression upang matukoy ang scalar na produkto ng mga vector
Kaya, ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ay katumbas ng ratio ng scalar product sa produkto ng mga haba o module ng mga vector. Maaaring gamitin ang formula na ito kung ang mga haba ng mga vector at ang kanilang scalar product ay kilala, o ang mga vector ay ibinibigay sa pamamagitan ng mga coordinate sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano o sa espasyo sa anyo: at .
Kung ang mga vector A at B ay ibinibigay sa tatlong-dimensional na espasyo at ang mga coordinate ng bawat isa sa kanila ay ibinibigay sa anyo: at , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay tinutukoy ng sumusunod na expression:
Dapat pansinin na ang anggulo sa pagitan ng mga vector at maaari ding matukoy sa pamamagitan ng paglalapat ng cosine theorem para sa isang tatsulok: ang parisukat ng anumang panig ng tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig na binawasan ng dalawang beses ang produkto ng ang mga panig na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.
kung saan ang AB, OA, OB ay ang kaukulang panig ng tatsulok.
Cosine theorem para sa isang tatsulok
Tungkol sa vector calculus, ang pormula na ito ay muling isusulat tulad ng sumusunod:
Kaya, ang anggulo sa pagitan ng mga vector at natutukoy ng sumusunod na expression:
kung saan at ang module (haba) ng vector, at ang module (haba) ng vector, na tinutukoy mula sa pagkakaiba ng dalawang vectors. Ang mga hindi alam na pumapasok sa equation ay tinutukoy ng mga coordinate ng mga vectors at .
3. Pagdaragdag ng vector
Ang pagdaragdag ng dalawang vectors at (ang kabuuan ng dalawang vectors) ay ang operasyon ng pagkalkula ng vector , ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng pairwise na kabuuan ng mga kaukulang elemento ng mga vectors at . Kung ang mga vector ay ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system kabuuan ng mga vector
Graphically, kasama posisyon ng dalawang libreng vectors maaaring isagawa pareho ayon sa panuntunan ng isang tatsulok, at ayon sa panuntunan ng isang paralelogram.
Pagdaragdag ng dalawang vectors
Ang pagdaragdag ng dalawang sliding vectors ay tinukoy lamang sa kaso kapag ang mga linya kung saan sila ay matatagpuan. Ang pagdaragdag ng dalawang nakapirming vector ay tinukoy lamang kung mayroon silang isang karaniwang pinagmulan.
tuntuning tatsulok.
Upang magdagdag ng dalawang vector at ayon sa tuntunin ng tatsulok, ang parehong mga vector na ito ay inililipat parallel sa kanilang mga sarili upang ang simula ng isa sa mga ito ay tumutugma sa dulo ng isa pa. Pagkatapos ang kabuuan ng vector ay ibinibigay ng ikatlong bahagi ng nabuong tatsulok, at ang simula nito ay tumutugma sa simula ng unang vector, at ang dulo sa dulo ng pangalawang vector.
kung saan ang anggulo sa pagitan ng mga vectors kapag ang simula ng isa ay tumutugma sa dulo ng isa.
tuntunin ng paralelogram.
Upang magdagdag ng dalawang vectors at ayon sa parallelogram rule, ang parehong mga vector na ito ay inililipat parallel sa kanilang mga sarili upang ang kanilang mga simula ay magkasabay. Pagkatapos ang kabuuan ng vector ay ibinibigay ng dayagonal ng parallelogram na binuo sa kanila, na nagmumula sa kanilang karaniwang pinagmulan.
Ang module (haba) ng sum vector ay tinutukoy ng cosine theorem:
kung saan ang anggulo sa pagitan ng mga vectors na lumalabas sa parehong punto.
Tandaan:
Tulad ng nakikita mo, depende sa kung aling anggulo ang pipiliin, ang pag-sign sa harap ng cosine ng anggulo ay nagbabago sa formula para sa pagtukoy ng module (haba) ng kabuuan ng vector.
4. Pagkakaiba ng mga vector
Ang pagkakaiba ng mga vector at (pagbabawas ng vector) ay ang operasyon ng pagkalkula ng isang vector na lahat ng mga elemento ay katumbas ng magkapares na pagkakaiba ng mga kaukulang elemento ng mga vector at . Kung ang mga vector ay ibinigay sa isang hugis-parihaba na coordinate system pagkakaiba ng vector at maaaring matagpuan gamit ang sumusunod na formula:
Sa graphical na anyo, ang pagkakaiba ng mga vector at ang kabuuan ng vector at ang vector na kabaligtaran sa vector, i.e. 
Pagkakaiba ng dalawang libreng vectors
Ang pagkakaiba ng dalawang libreng vector sa graphical na anyo ay maaaring matukoy pareho sa pamamagitan ng patakarang tatsulok at ng panuntunan ng paralelogram. Ang modulus (haba) ng pagkakaibang vector ay tinutukoy ng cosine theorem. Depende sa anggulo na ginamit sa formula, nagbabago ang sign sa harap ng cosine (tinalakay kanina).
5. Dot product ng mga vectors
Ang scalar product ng dalawang vectors ay isang real number na katumbas ng produkto ng mga haba ng multiplied vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila. Ang scalar product ng mga vectors at tinutukoy ng isa sa mga sumusunod na notasyon o o at tinutukoy ng formula:
kung saan ang mga haba ng mga vector at, ayon sa pagkakabanggit, at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector.
Dot product ng dalawang vectors
Ang produktong scalar ay maaari ding kalkulahin sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vector sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano o sa kalawakan.
Ang scalar product ng dalawang vectors sa isang plane o sa three-dimensional space sa isang rectangular coordinate system ay ang kabuuan ng mga produkto ng kaukulang coordinate ng mga vectors at .
Kaya, para sa mga vector at sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system, ang formula para sa pagkalkula ng scalar product ay ang mga sumusunod:
Para sa isang three-dimensional na espasyo, ang formula para sa pagkalkula ng scalar product ng mga vectors at may sumusunod na anyo:
Mga katangian ng produktong scalar.
1. Ang commutativity property ng scalar product
2. Ang distributivity property ng scalar product
3. Kaakibat na ari-arian ng scalar product (associativity)
kung saan ay isang arbitrary tunay na numero.
Dapat tandaan na sa kaso ng:
Kung ang produkto ng tuldok ay positibo, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay talamak (mas mababa sa 90 degrees);
Kung negatibo ang produkto ng tuldok, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo (higit sa 90 degrees);
Kung ang produkto ng tuldok ay 0, kung gayon ang mga vector ay orthogonal (na nakahiga patayo sa bawat isa);
Kung ang produkto ng scalar ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector, kung gayon ang mga vector na ito ay magkakaugnay sa bawat isa (parallel).
6. Vector na produkto ng mga vector
Ang produkto ng vector ng dalawang vector ay isang vector kung saan natutugunan ang mga sumusunod na kundisyon:
1. ang vector ay orthogonal (patayo) sa eroplano ng mga vectors at ;
Maraming pisikal na dami ang ganap na natutukoy sa pamamagitan ng pagtatalaga ng ilang numero. Ito ay, halimbawa, volume, masa, density, temperatura ng katawan, atbp. Ang mga naturang dami ay tinatawag na scalar. Para sa kadahilanang ito, kung minsan ay tinatawag na mga scalar ang mga numero. Ngunit mayroon ding mga ganoong dami na natutukoy sa pamamagitan ng pagtatakda hindi lamang ng isang numero, kundi pati na rin ng isang tiyak na direksyon. Halimbawa, kapag gumagalaw ang isang katawan, dapat ipahiwatig ng isa hindi lamang ang bilis ng paggalaw ng katawan, kundi pati na rin ang direksyon ng paggalaw. Sa parehong paraan, kapag pinag-aaralan ang pagkilos ng anumang puwersa, kinakailangang ipahiwatig hindi lamang ang halaga ng puwersang ito, kundi pati na rin ang direksyon ng pagkilos nito. Ang ganitong mga dami ay tinatawag vector. Upang ilarawan ang mga ito, ipinakilala ang konsepto ng isang vector, na naging kapaki-pakinabang para sa matematika.
Depinisyon ng vector
Ang anumang nakaayos na pares ng mga puntos A hanggang B sa espasyo ay tumutukoy nakadirekta na segment, ibig sabihin. segment kasama ang direksyon na ibinigay dito. Kung ang punto A ay ang una, kung gayon ito ay tinatawag na simula ng nakadirekta na segment, at ang punto B ay tinatawag na pagtatapos nito. Ang direksyon ng segment ay ang direksyon mula sa simula hanggang sa wakas.
Kahulugan
Ang isang nakadirekta na segment ay tinatawag na vector.
Ipapahiwatig namin ang vector sa pamamagitan ng simbolo \(\overrightarrow(AB) \), kung saan ang unang titik ay nangangahulugang simula ng vector, at ang pangalawa - ang pagtatapos nito.
Ang isang vector na ang simula at wakas ay pareho ay tinatawag sero at tinutukoy ng \(\vec(0) \) o 0 lang.
Ang distansya sa pagitan ng simula at pagtatapos ng isang vector ay tinatawag na nito mahaba at tinutukoy ng \(|\overrightarrow(AB)| \) o \(|\vec(a)| \).
Ang mga vectors \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \) ay tinatawag collinear kung sila ay nakahiga sa parehong linya o sa parallel na linya. Ang mga collinear vector ay maaaring idirekta nang pareho o kabaligtaran.
Ngayon ay maaari nating bumalangkas ang mahalagang konsepto ng pagkakapantay-pantay ng dalawang vectors.
Kahulugan
Ang mga vectors \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \) ay tinatawag na pantay (\(\vec(a) = \vec(b) \)) kung sila ay collinear, may parehong direksyon, at ang kanilang mga haba ay pantay .
Sa fig. 1, ang mga hindi pantay na vector ay ipinapakita sa kaliwa, at ang mga pantay na vectors \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \) ay ipinapakita sa kanan. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga vectors na kung ang isang naibigay na vector ay inilipat parallel sa sarili nito, pagkatapos ay isang vector na katumbas ng ibinigay na isa ay makukuha. Kaugnay nito, ang mga vector sa analytic geometry ay tinatawag libre.
Projection ng isang vector papunta sa isang axis
Hayaang maibigay sa espasyo ang axis \(u\) at ilang vector \(\overrightarrow(AB)\). Gumuhit tayo sa mga punto A at B sa eroplano na patayo sa axis \ (u \). Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A "at B" ang mga punto ng intersection ng mga eroplanong ito sa axis (tingnan ang Larawan 2).
Ang projection ng vector \(\overrightarrow(AB) \) papunta sa \(u\) axis ay ang value A"B" ng nakadirekta na segment na A"B" sa \(u\) axis. Tandaan mo yan
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , kung ang direksyon \(\overrightarrow(A"B") \) ay pareho sa direksyon ng axis \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) kung ang direksyon ng \(\overrightarrow(A"B") \) ay kabaligtaran sa direksyon ng \(u \) axis,
Ang projection ng vector \(\overrightarrow(AB) \) papunta sa axis \(u \) ay tinutukoy bilang mga sumusunod: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).
Teorama
Ang projection ng vector \(\overrightarrow(AB) \) papunta sa axis \(u \) ay katumbas ng haba ng vector \(\overrightarrow(AB) \) na beses sa cosine ng anggulo sa pagitan ng vector \( \overrightarrow(AB) \) at ang axis \( u \) , i.e.
Magkomento
Hayaang maibigay ang \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) at ilang axis \(u \). Ang paglalapat ng formula ng theorem sa bawat isa sa mga vectors na ito, nakuha namin
Mga projection ng vector sa mga coordinate axes
Hayaang maibigay sa espasyo ang isang parihabang coordinate system na Oxyz at isang arbitrary na vector \(\overrightarrow(AB) \). Hayaan, higit pa, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Tinatawag ito ng mga projection na X, Y, Z ng vector \(\overrightarrow(AB) \) sa coordinate axes mga coordinate. Sabay-sabay silang nagsusulat
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Teorama
Anuman ang dalawang puntos na A(x 1 ; y 1 ; z 1) at B(x 2 ; y 2 ; z 2), ang mga coordinate ng vector \(\overrightarrow(AB) \) ay tinutukoy ng mga sumusunod na formula :
X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1
Magkomento
Kung ang vector \(\overrightarrow(AB) \) ay umalis sa pinanggalingan, i.e. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, pagkatapos ay ang X, Y, Z na mga coordinate ng vector \(\overrightarrow(AB) \) ay katumbas ng mga coordinate ng dulo nito:
X=x, Y=y, Z=z.
Mga cosine ng direksyon ng vector
Hayaan ang isang di-makatwirang vector \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); ipinapalagay namin na ang \(\vec(a) \) ay umalis sa pinanggalingan at hindi namamalagi sa anumang coordinate plane. Gumuhit tayo sa point A na mga eroplano na patayo sa mga axes. Kasama ang mga coordinate na eroplano, bumubuo sila ng isang hugis-parihaba na parallelepiped, ang dayagonal kung saan ay ang segment na OA (tingnan ang figure).
Ito ay kilala mula sa elementarya geometry na ang parisukat ng haba ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng tatlong dimensyon nito. Dahil dito,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Ngunit \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); kaya nakuha namin
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
o
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Ang formula na ito ay nagpapahayag ng haba ng isang arbitrary na vector sa mga tuntunin ng mga coordinate nito.
Tukuyin sa pamamagitan ng \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) ang mga anggulo sa pagitan ng vector \(\vec(a) \) at ng mga coordinate axes. Mula sa mga formula para sa projection ng vector papunta sa axis at ang haba ng vector, nakuha namin
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) ay tinatawag na mga cosiine ng direksyon ng vector \(\vec(a) \).
Ang pag-squaring sa kaliwa at kanang bahagi ng bawat isa sa mga nakaraang pagkakapantay-pantay at pagbubuod ng mga resulta, mayroon tayo
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
mga. ang kabuuan ng mga squared cosines ng direksyon ng anumang vector ay katumbas ng isa.
Mga linear na operasyon sa mga vector at ang kanilang mga pangunahing katangian
Ang mga linear na operasyon sa mga vector ay ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga vector at pagpaparami ng mga vector sa pamamagitan ng mga numero.Pagdaragdag ng dalawang vectors
Hayaang ibigay ang dalawang vectors \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \). Ang kabuuan \(\vec(a) + \vec(b) \) ay isang vector na napupunta mula sa simula ng vector \(\vec(a) \) hanggang sa dulo ng vector \(\vec(b) \) sa kondisyon na ang vector \(\vec(b) \) ay nakakabit sa dulo ng vector \(\vec(a) \) (tingnan ang figure).Magkomento
Ang pagkilos ng pagbabawas ng mga vector ay kabaligtaran ng pagkilos ng karagdagan, i.e. ang pagkakaiba \(\vec(b) - \vec(a) \) ng mga vectors \(\vec(b) \) at \(\vec(a) \) ay ang vector na, kasama ng vector \( Ang \vec(a) ) \) ay nagbibigay ng vector \(\vec(b) \) (tingnan ang figure).
Magkomento
Ang pagkakaroon ng pagtukoy sa kabuuan ng dalawang vectors, mahahanap ng isa ang kabuuan ng anumang bilang ng mga naibigay na vectors. Hayaan, halimbawa, bigyan ng tatlong vectors \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Pagdaragdag ng \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \), nakukuha namin ang vector \(\vec(a) + \vec(b) \). Ngayon idinadagdag ang vector \(\vec(c) \) dito, nakukuha namin ang vector \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Ang produkto ng isang vector sa pamamagitan ng isang numero
Hayaang magbigay ng vector \(\vec(a) \neq \vec(0) \) at isang numerong \(\lambda \neq 0 \). Ang produktong \(\lambda \vec(a) \) ay isang vector na collinear sa vector \(\vec(a) \), ay may haba na katumbas ng \(|\lambda| |\vec(a)| \), at isang direksyon na kapareho ng vector \(\vec(a) \) kung \(\lambda > 0 \), at ang kabaligtaran kung \(\lambda (0) \) sa pamamagitan ng numerong \(\lambda Ang \neq 0 \) ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod: kung \(|\lambda| >1 \), pagkatapos ay kapag pinarami ang vector \(\vec(a) \) sa numerong \( \lambda \) ang vector \( Ang \vec(a) \) ay "inaunat" ng \(\lambda \) beses, at kung \(|\lambda| 1 \).Kung \(\lambda =0 \) o \(\vec(a) = \vec(0) \), ang produkto na \(\lambda \vec(a) \) ay ipinapalagay na katumbas ng zero vector.
Magkomento
Gamit ang kahulugan ng multiplikasyon ng isang vector sa isang numero, madaling patunayan na kung ang mga vectors \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \) ay collinear at \(\vec(a) \neq \vec(0) \), pagkatapos ay mayroong (at isa lamang) numero \(\lambda \) na \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Mga pangunahing katangian ng mga linear na operasyon
1. Commutative property ng karagdagan
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Kaakibat na ari-arian ng karagdagan
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Kaakibat na pag-aari ng multiplikasyon
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Distributive property na may kinalaman sa kabuuan ng mga numero
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Distributive property na may kinalaman sa kabuuan ng mga vectors
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Magkomento
Ang mga katangian ng mga linear na operasyon ay may pangunahing kahalagahan, dahil ginagawang posible ng mga ito na magsagawa ng mga ordinaryong algebraic na operasyon sa mga vectors. Halimbawa, dahil sa mga katangian 4 at 5, posibleng gawin ang multiplikasyon ng scalar polynomial ng vector polynomial "term by term".
Vector projection theorems
Teorama
Ang projection ng kabuuan ng dalawang vector sa isang axis ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga projection sa axis na ito, i.e.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Ang teorama ay maaaring pangkalahatan sa kaso ng anumang bilang ng mga termino.
Teorama
Kapag pina-multiply ang vector \(\vec(a) \) sa numerong \(\lambda \), ang projection nito sa axis ay pina-multiply din sa numerong ito, i.e. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)
Bunga
Kung ang \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) at \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), kung gayon
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Bunga
Kung \(\vec(a) = (x;y;z) \), kung gayon \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) para sa anumang numero \(\lambda \)
Mula dito ay madaling mahihinuha kondisyon ng collinearity ng dalawang vectors sa mga coordinate.
Sa katunayan, ang pagkakapantay-pantay \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) ay katumbas ng mga pagkakapantay-pantay \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) o
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) i.e. ang mga vectors \(\vec(a) \) at \(\vec(b) \) ay collinear kung at kung ang kanilang mga coordinate ay proporsyonal.
Decomposition ng isang vector sa mga tuntunin ng isang batayan
Hayaan ang mga vectors \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ang mga unit vectors ng coordinate axes, i.e. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), at ang bawat isa sa kanila ay pantay na nakadirekta sa kaukulang coordinate axis (tingnan ang figure). Ang triple ng mga vectors \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ay tinatawag batayan.
Ang sumusunod na teorama ay humahawak.
Teorama
Anumang vector \(\vec(a) \) ay maaaring palawakin nang kakaiba sa batayan ng \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. ipinakita sa anyo
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
kung saan ang \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) ay ilang mga numero. 
