At iba pa, lohikal na pamilyar sa mga equation ng iba pang mga uri. Ang susunod sa linya ay linear na equation, ang may layuning pag-aaral na nagsisimula sa mga aralin sa algebra sa ika-7 baitang.

Malinaw na kailangan mo munang ipaliwanag kung ano ang isang linear equation, magbigay ng isang kahulugan ng isang linear equation, ang mga coefficient nito, ipakita ang pangkalahatang anyo nito. Pagkatapos ay maaari mong malaman kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang isang linear equation depende sa mga halaga ng mga coefficient, at kung paano matatagpuan ang mga ugat. Ito ay magpapahintulot sa iyo na magpatuloy sa paglutas ng mga halimbawa, at sa gayon ay pagsama-samahin ang pinag-aralan na teorya. Sa artikulong ito gagawin natin ito: tatalakayin natin nang detalyado ang lahat ng teoretikal at praktikal na mga punto tungkol sa mga linear na equation at ang kanilang solusyon.

Sabihin natin kaagad na dito ay isasaalang-alang lamang natin ang mga linear na equation na may isang variable, at sa isang hiwalay na artikulo ay pag-aaralan natin ang mga prinsipyo ng paglutas linear equation sa dalawang variable.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang linear equation?

Ang kahulugan ng isang linear equation ay ibinibigay sa pamamagitan ng anyo ng notasyon nito. Bukod dito, sa iba't ibang mga aklat-aralin ng matematika at algebra, ang mga pormulasyon ng mga kahulugan ng mga linear na equation ay may ilang mga pagkakaiba na hindi nakakaapekto sa kakanyahan ng isyu.

Halimbawa, sa isang algebra textbook para sa grade 7 ni Yu. N. Makarycheva at iba pa, ang isang linear equation ay tinukoy bilang sumusunod:

Kahulugan.

Uri ng equation ax=b, kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay ilang mga numero, ay tinatawag linear equation na may isang variable.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga linear na equation na tumutugma sa tininigan na kahulugan. Halimbawa, ang 5 x=10 ay isang linear equation na may isang variable x , dito ang coefficient a ay 5 , at ang bilang b ay 10 . Isa pang halimbawa: −2.3 y=0 ay isa ring linear equation, ngunit may variable na y , kung saan a=−2.3 at b=0 . At sa mga linear na equation x=−2 at −x=3.33 a ay hindi tahasang naroroon at katumbas ng 1 at −1, ayon sa pagkakabanggit, habang sa unang equation b=−2 at sa pangalawa - b=3.33 .

Isang taon na mas maaga, sa aklat-aralin ng matematika ni N. Ya. Vilenkin, ang mga linear na equation na may isang hindi alam, bilang karagdagan sa mga equation ng form a x = b, ay itinuturing din na mga equation na maaaring mabawasan sa form na ito sa pamamagitan ng paglilipat ng mga termino mula sa isang bahagi ng equation sa isa pang may kabaligtaran na tanda, gayundin sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga katulad na termino. Ayon sa kahulugang ito, ang mga equation ng form 5 x=2 x+6 , atbp. ay linear din.

Sa turn, ang sumusunod na kahulugan ay ibinigay sa algebra textbook para sa 7 klase ni A. G. Mordkovich:

Kahulugan.

Linear equation na may isang variable x ay isang equation ng form a x+b=0 , kung saan ang a at b ay ilang mga numero, na tinatawag na coefficients ng linear equation.

Halimbawa, ang mga linear na equation ng ganitong uri ay 2 x−12=0, dito ang coefficient a ay katumbas ng 2, at b ay katumbas ng −12, at 0.2 y+4.6=0 na may coefficients a=0.2 at b =4.6. Ngunit sa parehong oras, may mga halimbawa ng mga linear na equation na may anyo na hindi a x+b=0 , ngunit a x=b , halimbawa, 3 x=12 .

Tayo, upang wala tayong anumang mga pagkakaiba sa hinaharap, sa ilalim ng isang linear na equation na may isang variable na x at mga coefficients a at b mauunawaan natin ang isang equation ng form a x+b=0 . Ang ganitong uri ng linear equation ay tila ang pinaka-makatwiran, dahil ang mga linear equation ay algebraic equation unang degree. At ang lahat ng iba pang mga equation na ipinahiwatig sa itaas, pati na rin ang mga equation na nabawasan sa anyo ng a x+b=0 sa tulong ng mga katumbas na pagbabago, ay tatawagin mga equation na bumabawas sa mga linear na equation. Sa diskarteng ito, ang equation na 2 x+6=0 ay isang linear na equation, at 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, atbp. ay mga linear equation.

Paano malutas ang mga linear na equation?

Ngayon ay oras na upang malaman kung paano nalutas ang mga linear na equation na isang x+b=0. Sa madaling salita, oras na upang malaman kung ang linear equation ay may mga ugat, at kung gayon, ilan at kung paano mahahanap ang mga ito.

Ang pagkakaroon ng mga ugat ng isang linear equation ay nakasalalay sa mga halaga ng mga coefficient a at b. Sa kasong ito, ang linear equation a x+b=0 ay mayroon

• ang tanging ugat sa a≠0 ,
• walang mga ugat para sa a=0 at b≠0 ,
• ay may walang katapusang maraming ugat para sa a=0 at b=0 , kung saan ang anumang numero ay ugat ng isang linear equation.

Ipaliwanag natin kung paano nakuha ang mga resultang ito.

Alam natin na upang malutas ang mga equation, posibleng lumipat mula sa orihinal na equation sa katumbas na equation, iyon ay, sa mga equation na may parehong mga ugat o, tulad ng orihinal, na walang mga ugat. Upang gawin ito, maaari mong gamitin ang mga sumusunod na katumbas na pagbabago:

• paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda,
• at din multiply o paghahati sa magkabilang panig ng equation sa parehong di-zero na numero.

Kaya, sa isang linear equation na may isang variable ng form na a x+b=0, maaari nating ilipat ang terminong b mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda. Sa kasong ito, ang equation ay kukuha ng anyo a x=−b.

At pagkatapos ay ang paghahati ng parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng numero a ay nagmumungkahi ng sarili nito. Ngunit mayroong isang bagay: ang numero a ay maaaring katumbas ng zero, kung saan imposible ang gayong dibisyon. Upang harapin ang problemang ito, ipagpalagay muna natin na ang numero a ay iba sa zero, at isaalang-alang ang kaso ng zero a nang hiwalay sa ibang pagkakataon.

Kaya, kapag ang a ay hindi katumbas ng zero, maaari nating hatiin ang parehong bahagi ng equation a x=−b sa pamamagitan ng a , pagkatapos na ito ay ma-convert sa form na x=(−b):a , ang resultang ito ay maaaring isulat gamit ang a solidong linya bilang .

Kaya, para sa a≠0, ang linear na equation na a·x+b=0 ay katumbas ng equation , kung saan makikita ang ugat nito.

Madaling ipakita na ang ugat na ito ay natatangi, ibig sabihin, ang linear equation ay walang ibang mga ugat. Pinapayagan ka nitong gawin ang kabaligtaran na pamamaraan.

Tukuyin natin ang ugat bilang x 1 . Ipagpalagay na mayroong isa pang ugat ng linear equation, na tinutukoy natin x 2, at x 2 ≠ x 1, na, dahil sa mga kahulugan ng pantay na mga numero sa pamamagitan ng pagkakaiba ay katumbas ng kundisyon x 1 − x 2 ≠0 . Dahil ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng linear equation a x+b=0, kung gayon ang mga numerical equalities a x 1 +b=0 at a x 2 +b=0 ay magaganap. Maaari nating ibawas ang mga katumbas na bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, na pinahihintulutan sa atin ng mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay na numero, mayroon tayong x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , kung saan a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 at pagkatapos ay a (x 1 − x 2)=0 . At ang pagkakapantay-pantay na ito ay imposible, dahil pareho ang a≠0 at x 1 − x 2 ≠0. Kaya't nakarating tayo sa isang kontradiksyon, na nagpapatunay sa pagiging natatangi ng ugat ng linear equation a·x+b=0 para sa a≠0 .

Kaya't nalutas namin ang linear equation a x+b=0 na may a≠0 . Ang unang resulta na ibinigay sa simula ng subsection na ito ay makatwiran. May dalawa pang nakakatugon sa kundisyon a=0 .

Para sa a=0 ang linear equation na a·x+b=0 ay nagiging 0·x+b=0 . Mula sa equation na ito at sa pag-aari ng pag-multiply ng mga numero sa zero, sinusunod nito na kahit anong numero ang kunin natin bilang x, kapag pinalitan natin ito sa equation na 0 x+b=0, nakukuha natin ang numerical equality b=0. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo kapag b=0 , at sa ibang mga kaso kapag b≠0 ang pagkakapantay-pantay na ito ay mali.

Samakatuwid, para sa a=0 at b=0, ang anumang numero ay ang ugat ng linear equation a x+b=0, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0. At para sa a=0 at b≠0, ang linear equation na a x+b=0 ay walang mga ugat, dahil sa ilalim ng mga kundisyong ito, ang pagpapalit ng anumang numero sa halip na x ay humahantong sa isang hindi tamang pagkakapantay-pantay ng numero b=0.

Ginagawang posible ng mga katwiran sa itaas na bumuo ng isang pagkakasunod-sunod ng mga aksyon na nagpapahintulot sa paglutas ng anumang linear equation. Kaya, algorithm para sa paglutas ng isang linear equation ay:

• Una, sa pamamagitan ng pagsulat ng isang linear na equation, makikita natin ang mga halaga ng mga coefficient a at b.
• Kung a=0 at b=0 , kung gayon ang equation na ito ay may walang katapusang maraming mga ugat, ibig sabihin, ang anumang numero ay isang ugat ng linear na equation na ito.
• Kung ang a ay iba sa zero, kung gayon
• ang koepisyent b ay inililipat sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, habang ang linear na equation ay binago sa anyo a x=−b ,
• pagkatapos kung saan ang parehong bahagi ng resultang equation ay hinati sa isang di-zero na numero a, na nagbibigay ng nais na ugat ng orihinal na linear equation.

Ang nakasulat na algorithm ay isang kumpletong sagot sa tanong kung paano malutas ang mga linear na equation.

Sa konklusyon ng talatang ito, nararapat na sabihin na ang isang katulad na algorithm ay ginagamit upang malutas ang mga equation ng form a x=b. Ang pagkakaiba nito ay nakasalalay sa katotohanan na kapag ang a≠0, ang parehong bahagi ng equation ay agad na hinati sa numerong ito, narito ang b ay nasa nais na bahagi ng equation at hindi na ito kailangang ilipat.

Upang malutas ang mga equation ng form a x=b, ang sumusunod na algorithm ay ginagamit:

• Kung a=0 at b=0 , kung gayon ang equation ay may walang katapusang maraming ugat, na anumang mga numero.
• Kung a=0 at b≠0 , kung gayon ang orihinal na equation ay walang mga ugat.
• Kung ang a ay hindi zero, kung gayon ang magkabilang panig ng equation ay nahahati sa isang di-zero na numero a, kung saan matatagpuan ang tanging ugat ng equation na katumbas ng b / a.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation

Magpatuloy tayo sa pagsasanay. Suriin natin kung paano inilapat ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation. Ipakita natin ang mga solusyon ng mga tipikal na halimbawa na tumutugma sa iba't ibang mga halaga ng mga coefficient ng mga linear equation.

Halimbawa.

Lutasin ang linear equation 0 x−0=0 .

Solusyon.

Sa linear equation na ito, a=0 at b=−0 , na kapareho ng b=0 . Samakatuwid, ang equation na ito ay may walang katapusang maraming ugat, anumang numero ang ugat ng equation na ito.

Sagot:

x ay anumang numero.

Halimbawa.

May mga solusyon ba ang linear equation 0 x+2.7=0?

Solusyon.

Sa kasong ito, ang coefficient a ay katumbas ng zero, at ang coefficient b ng linear equation na ito ay katumbas ng 2.7, iyon ay, iba ito sa zero. Samakatuwid, ang linear equation ay walang mga ugat.

Linear na equation. Solusyon, mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")

Linear na equation.

Ang mga linear equation ay hindi ang pinakamahirap na paksa sa matematika ng paaralan. Ngunit may ilang mga trick doon na maaaring palaisipan kahit isang sinanay na estudyante. Malalaman ba natin ito?)

Ang isang linear equation ay karaniwang tinukoy bilang isang equation ng form:

palakol + b = 0 saan a at b- anumang mga numero.

2x + 7 = 0. Dito a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 Dito a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 Dito a=12, b=1/2

Walang kumplikado, tama? Lalo na kung hindi mo napapansin ang mga salitang: "kung saan ang a at b ay anumang mga numero"... At kung mapapansin mo, ngunit walang ingat na pag-iisip tungkol dito?) Pagkatapos ng lahat, kung a=0, b=0(anumang mga numero ang posible?), pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang nakakatawang expression:

Ngunit hindi lang iyon! Kung, sabihin, a=0, a b=5, ito ay lumiliko ang isang bagay na medyo walang katotohanan:

Ano ang nagpapahirap at nakakasira ng kumpiyansa sa matematika, oo ...) Lalo na sa mga pagsusulit. Ngunit sa mga kakaibang expression na ito, kailangan mo ring hanapin ang X! Na wala sa lahat. At, nakakagulat, ang X na ito ay napakadaling mahanap. Matututunan natin kung paano ito gagawin. Sa araling ito.

Paano makilala ang isang linear equation sa hitsura? Depende ito sa kung anong hitsura.) Ang daya ay ang mga linear equation ay tinatawag na hindi lamang mga equation ng form palakol + b = 0 , ngunit gayundin ang anumang mga equation na nababawasan sa form na ito sa pamamagitan ng mga pagbabago at pagpapasimple. At sino ang nakakaalam kung ito ay nabawasan o hindi?)

Ang isang linear equation ay maaaring malinaw na makilala sa ilang mga kaso. Sabihin, kung mayroon tayong isang equation kung saan mayroon lamang mga hindi alam sa unang antas, oo mga numero. At ang equation ay hindi mga fraction na hinati ng hindi kilala , ito ay mahalaga! At paghahati sa pamamagitan ng numero, o isang numeric fraction - iyon lang! Halimbawa:

Ito ay isang linear equation. Mayroong mga fraction dito, ngunit walang mga x sa parisukat, sa kubo, atbp., at walang mga x sa mga denominator, i.e. Hindi paghahati ng x. At narito ang equation

hindi matatawag na linear. Narito ang lahat ng x ay nasa unang antas, ngunit mayroon paghahati sa pamamagitan ng pagpapahayag na may x. Pagkatapos ng mga pagpapasimple at pagbabago, maaari kang makakuha ng isang linear na equation, at isang quadratic, at anumang gusto mo.

Ito ay lumiliko na imposibleng malaman ang isang linear equation sa ilang masalimuot na halimbawa hanggang sa halos malutas mo ito. Nakakainis. Ngunit sa mga takdang-aralin, bilang panuntunan, hindi sila nagtatanong tungkol sa anyo ng equation, di ba? Sa mga gawain, ang mga equation ay inayos magpasya. Ito ang nagpapasaya sa akin.)

Solusyon ng mga linear equation. Mga halimbawa.

Ang buong solusyon ng mga linear na equation ay binubuo ng magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation. Sa pamamagitan ng paraan, ang mga pagbabagong ito (kasing dami ng dalawa!) ay sumasailalim sa mga solusyon lahat ng equation ng matematika. Sa madaling salita, ang desisyon anuman Ang equation ay nagsisimula sa mga parehong pagbabagong ito. Sa kaso ng mga linear equation, ito (ang solusyon) sa mga pagbabagong ito ay nagtatapos sa isang ganap na sagot. Makatuwiran na sundin ang link, tama?) Bukod dito, mayroon ding mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng halimbawa. Nang walang anumang mga pitfalls. Sabihin nating kailangan nating lutasin ang sumusunod na equation.

x - 3 = 2 - 4x

Ito ay isang linear equation. Ang mga X ay nasa unang kapangyarihan, walang dibisyon ng X. Ngunit, sa totoo lang, wala kaming pakialam kung ano ang equation. Kailangan natin itong lutasin. Ang scheme dito ay simple. Kolektahin ang lahat ng may x sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng walang x (mga numero) sa kanan.

Upang gawin ito, kailangan mong ilipat - 4x sa kaliwang bahagi, na may pagbabago ng tanda, siyempre, ngunit - 3 - sa kanan. Ito nga pala unang identical transformation ng mga equation. Nagulat? Kaya, hindi nila sinunod ang link, ngunit walang kabuluhan ...) Nakukuha namin:

x + 4x = 2 + 3

Nagbibigay kami ng katulad, isinasaalang-alang namin:

Ano ang kailangan natin para maging ganap na masaya? Oo, para may malinis na X sa kaliwa! Lima ang humarang. Alisin ang limang may pangalawang magkaparehong pagbabagong-anyo ng mga equation. Ibig sabihin, hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng 5. Nakakuha kami ng isang handa na sagot:

Isang halimbawa ng elementarya, siyempre. Ito ay para sa isang warm-up.) Hindi masyadong malinaw kung bakit ko naalala ang magkatulad na pagbabago dito? OK. Kinukuha namin ang toro sa pamamagitan ng mga sungay.) Magpasya tayo ng isang bagay na mas kahanga-hanga.

Halimbawa, narito ang equation na ito:

Saan tayo magsisimula? May X - sa kaliwa, walang X - sa kanan? Maaaring ganoon. Maliit na hakbang sa mahabang daan. At magagawa mo kaagad, sa isang unibersal at makapangyarihang paraan. Maliban kung, siyempre, sa iyong arsenal ay may magkaparehong pagbabago ng mga equation.

Nagtatanong ako sa iyo ng isang mahalagang tanong: Ano ang pinaka ayaw mo sa equation na ito?

95 tao sa 100 ang sasagot ng: mga fraction ! Tama ang sagot. Kaya tanggalin na natin sila. Kaya simulan namin kaagad sa pangalawang magkaparehong pagbabago. Ano ang kailangan mong i-multiply ang fraction sa kaliwa upang ang denominator ay ganap na mabawasan? Tama, 3. At sa kanan? Sa pamamagitan ng 4. Ngunit pinapayagan tayo ng matematika na i-multiply ang magkabilang panig sa ang parehong numero. Paano tayo lalabas? I-multiply natin ang magkabilang panig sa 12! Yung. sa isang common denominator. Pagkatapos ang tatlo ay mababawasan, at ang apat. Huwag kalimutan na kailangan mong i-multiply ang bawat bahagi ganap. Narito ang hitsura ng unang hakbang:

Pagpapalawak ng mga bracket:

Tandaan! Numerator (x+2) Kinuha ko ang mga bracket! Ito ay dahil kapag nagpaparami ng mga fraction, ang numerator ay pinarami ng kabuuan, nang buo! At ngayon maaari mong bawasan ang mga fraction at bawasan ang:

Pagbubukas ng natitirang mga panaklong:

Hindi isang halimbawa, ngunit puro kasiyahan!) Ngayon naaalala namin ang spell mula sa mas mababang mga grado: may x - sa kaliwa, walang x - sa kanan! At ilapat ang pagbabagong ito:

Narito ang ilang tulad ng:

At hinahati namin ang parehong bahagi ng 25, i.e. ilapat muli ang pangalawang pagbabagong-anyo:

Iyon lang. Sagot: X=0,16

Tandaan: upang dalhin ang orihinal na nakakalito na equation sa isang kaaya-ayang anyo, gumamit kami ng dalawa (dalawa lang!) magkaparehong pagbabago- pagsasalin kaliwa-kanan na may pagbabago ng sign at multiplication-division ng equation sa parehong numero. Ito ang unibersal na paraan! Magtatrabaho tayo sa ganitong paraan anuman mga equation! Ganap na kahit ano. Iyon ang dahilan kung bakit paulit-ulit kong inuulit ang magkatulad na pagbabagong ito sa lahat ng oras.)

Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng paglutas ng mga linear na equation ay simple. Kinukuha namin ang equation at pinasimple ito sa tulong ng magkaparehong pagbabago hanggang makuha namin ang sagot. Ang mga pangunahing problema dito ay nasa mga kalkulasyon, at hindi sa prinsipyo ng solusyon.

Ngunit ... May mga ganitong sorpresa sa proseso ng paglutas ng pinaka-elementarya na mga linear na equation na maaari nilang itaboy sa isang malakas na pagkahilo ...) Sa kabutihang palad, maaari lamang magkaroon ng dalawang ganoong mga sorpresa. Tawagin natin silang mga espesyal na kaso.

Mga espesyal na kaso sa paglutas ng mga linear na equation.

Surprise muna.

Ipagpalagay na nakatagpo ka ng elementary equation, tulad ng:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Bahagyang nababato, inilipat namin ang X sa kaliwa, nang walang X - sa kanan ... Sa pagbabago ng sign, lahat ay chin-chinar ... Nakukuha namin:

2x-5x+3x=5-2-3

Naniniwala kami, at ... naku! Nakukuha namin:

Sa sarili nito, ang pagkakapantay-pantay na ito ay hindi kanais-nais. Zero talaga. Pero wala na si X! At dapat nating isulat sa sagot, kung ano ang katumbas ng x. Kung hindi, hindi mabibilang ang solusyon, oo...) Isang dead end?

Kalmado! Sa ganitong mga kahina-hinalang kaso, ang pinaka-pangkalahatang mga patakaran ay nakakatipid. Paano malutas ang mga equation? Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng equation? Ibig sabihin nito, hanapin ang lahat ng mga halaga ng x na, kapag pinalitan sa orihinal na equation, ay magbibigay sa amin ng tamang pagkakapantay-pantay.

Ngunit mayroon tayong tamang pagkakapantay-pantay na nangyari! 0=0, saan ba talaga?! Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ang nakuha ng x. Anong mga halaga ng x ang maaaring palitan inisyal equation kung ang mga x na ito shrink to zero pa rin? Halika?)

Oo!!! Maaaring palitan ang Xs kahit ano! Anong gusto mo. Hindi bababa sa 5, hindi bababa sa 0.05, hindi bababa sa -220. Mangliliit pa sila. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong suriin ito.) Palitan ang anumang mga halaga ng x inisyal equation at kalkulahin. Sa lahat ng oras ang dalisay na katotohanan ay makukuha: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 at iba pa.

Narito ang iyong sagot: x ay anumang numero.

Ang sagot ay maaaring isulat sa iba't ibang mga simbolo ng matematika, ang kakanyahan ay hindi nagbabago. Ito ay isang ganap na tama at kumpletong sagot.

Pangalawang sorpresa.

Kunin natin ang parehong elementary linear equation at baguhin lamang ang isang numero dito. Ito ang ating pagpapasya:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Pagkatapos ng magkaparehong pagbabagong-anyo, nakakakuha tayo ng nakakaintriga:

Ganito. Nalutas ang isang linear equation, nakakuha ng kakaibang pagkakapantay-pantay. Mathematics speaking, meron tayo maling pagkakapantay-pantay. At sa simpleng salita, hindi ito totoo. Rave. Ngunit gayunpaman, ang katarantaduhan na ito ay isang magandang dahilan para sa tamang solusyon ng equation.)

Muli, iniisip namin batay sa mga pangkalahatang tuntunin. Ano ang ibibigay sa atin ng x, kapag ipinalit sa orihinal na equation tama pagkakapantay-pantay? Oo, wala! Walang ganyang xes. Kahit anong palitan mo, mababawasan lahat, mananatili ang kalokohan.)

Narito ang iyong sagot: walang solusyon.

Ito rin ay isang ganap na wastong sagot. Sa matematika, madalas na nangyayari ang mga ganitong sagot.

Ganito. Ngayon, umaasa ako, ang pagkawala ng Xs sa proseso ng paglutas ng anumang (hindi lamang linear) na equation ay hindi mag-abala sa iyo sa lahat. Ang bagay ay pamilyar.)

Ngayong napag-usapan na natin ang lahat ng mga pitfalls sa mga linear na equation, makatuwirang lutasin ang mga ito.

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)

maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.

Ministri ng Pangkalahatan at Bokasyonal na Edukasyon ng Russian Federation

Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo

Gymnasium No. 12

sanaysay

sa paksa: Mga equation at mga paraan upang malutas ang mga ito

Nakumpleto: mag-aaral 10 "A" na klase

Krutko Evgeny

Sinuri: guro ng matematika na si Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Plano................................................ ................................................... . .............................. isa

Panimula ................................................. . ................................................ .. ....................... 2

Pangunahing bahagi................................................ ................................................... . .............. 3

Konklusyon................................................. ................................................... . ................ 25

Application................................................. ................................................... . ............... 26

Listahan ng mga sanggunian ............................................... .............................. ................... ... 29

Plano.

Panimula.

Sanggunian sa kasaysayan.

Mga equation. Algebraic equation.

a) Mga pangunahing kahulugan.

b) Linear equation at kung paano ito lutasin.

c) Quadratic equation at mga pamamaraan para sa paglutas nito.

d) Dalawang-matagalang equation, isang paraan upang malutas ang mga ito.

e) Mga equation ng kubiko at pamamaraan para sa solusyon nito.

f) Biquadratic equation at paraan ng solusyon nito.

g) Mga equation ng ikaapat na antas at mga pamamaraan para sa paglutas nito.

g) Mga equation ng mataas na antas at pamamaraan mula sa solusyon.

h) Rational algebraic equation at ang pamamaraan nito

i) Mga hindi makatwirang equation at pamamaraan ng solusyon nito.

j) Mga equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng tanda.

ganap na halaga at kung paano ito lutasin.

Transcendental equation.

a) Exponential equation at kung paano lutasin ang mga ito.

b) Logarithmic equation at kung paano lutasin ang mga ito.

Panimula

Ang edukasyong matematika na natanggap sa isang paaralang pangkalahatang edukasyon ay isang mahalagang bahagi ng pangkalahatang edukasyon at pangkalahatang kultura ng isang modernong tao. Halos lahat ng bagay na pumapalibot sa isang modernong tao ay konektado lahat sa isang paraan o iba pa sa matematika. At ang pinakabagong mga pag-unlad sa pisika, inhinyero at teknolohiya ng impormasyon ay walang pag-aalinlangan na sa hinaharap ang kalagayan ng mga gawain ay mananatiling pareho. Samakatuwid, ang solusyon ng maraming praktikal na problema ay binabawasan sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga equation na kailangang matutunan upang malutas.

Ang gawaing ito ay isang pagtatangka na gawing pangkalahatan at gawing sistematiko ang pinag-aralan na materyal sa paksa sa itaas. Inayos ko ang materyal ayon sa antas ng pagiging kumplikado nito, simula sa pinakasimpleng. Kabilang dito ang parehong mga uri ng mga equation na kilala sa amin mula sa kurso ng paaralan ng algebra, at karagdagang materyal. Kasabay nito, sinubukan kong ipakita ang mga uri ng mga equation na hindi pinag-aralan sa kurso ng paaralan, ngunit ang kaalaman kung saan maaaring kailanganin kapag pumapasok sa isang mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Sa aking trabaho, kapag nilulutas ang mga equation, hindi ko nililimitahan ang aking sarili sa isang tunay na solusyon lamang, ngunit ipinahiwatig din ang isang kumplikado, dahil naniniwala ako na kung hindi man ang equation ay hindi malulutas. Pagkatapos ng lahat, kung walang tunay na mga ugat sa equation, hindi ito nangangahulugan na wala itong mga solusyon. Sa kasamaang palad, dahil sa kakulangan ng oras, hindi ko naipakita ang lahat ng materyal na mayroon ako, ngunit kahit na sa materyal na ipinakita dito, maraming mga katanungan ang maaaring lumitaw. Sana ay sapat na ang aking kaalaman upang masagot ang karamihan sa mga tanong. Kaya, ipapakita ko ang materyal.

Mathematics... naghahayag ng kaayusan

simetriya at katiyakan,

at ito ang pinakamahalagang uri ng kagandahan.

Aristotle.

Sanggunian sa kasaysayan

Noong mga panahong iyon, noong unang nagsimulang mag-isip ang mga pantas tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami, malamang na wala pang mga barya o pitaka. Ngunit sa kabilang banda, may mga tambak, pati na rin ang mga kaldero, mga basket, na perpekto para sa papel ng mga cache-store na naglalaman ng hindi kilalang bilang ng mga item. "Kami ay naghahanap ng isang bunton, na, kasama ang dalawang katlo nito, kalahati at isang ikapito, ay 37 ...", itinuro ng Egyptian scribe na si Ahmes noong II millennium BC. Sa sinaunang mga problema sa matematika ng Mesopotamia, India, China, Greece, ang hindi kilalang dami ay nagpahayag ng bilang ng mga paboreal sa hardin, ang bilang ng mga toro sa kawan, ang kabuuan ng mga bagay na isinasaalang-alang kapag naghahati ng ari-arian. Ang mga eskriba, opisyal, at pari ay nagsimula sa lihim na kaalaman, na bihasa sa agham ng pagbibilang, ay matagumpay na nakayanan ang gayong mga gawain.

Ang mga mapagkukunan na dumating sa amin ay nagpapahiwatig na ang mga sinaunang siyentipiko ay nagtataglay ng ilang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa hindi kilalang dami. Gayunpaman, hindi isang solong papyrus, hindi isang solong clay tablet ang nagbibigay ng paglalarawan ng mga pamamaraan na ito. Paminsan-minsan lang ibinibigay ng mga may-akda ang kanilang mga numerical na kalkulasyon na may masamang komento tulad ng: "Tingnan mo!", "Gawin mo!", "Nahanap mo ito ng tama." Sa ganitong kahulugan, ang pagbubukod ay ang "Arithmetic" ng Greek mathematician na si Diophantus ng Alexandria (III siglo) - isang koleksyon ng mga problema para sa pag-compile ng mga equation na may isang sistematikong pagtatanghal ng kanilang mga solusyon.

Gayunpaman, ang gawain ng iskolar ng Baghdad noong ika-9 na siglo ay naging unang manwal para sa paglutas ng mga problema na naging malawak na kilala. Muhammad bin Musa al-Khawarizmi. Ang salitang "al-jabr" mula sa Arabic na pamagat ng treatise na ito - "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("The Book of Restoration and Contrasting") - sa paglipas ng panahon ay naging salitang "algebra" na kilala ng lahat, at ang gawain mismo ni al-Khwarizmi ay nagsilbing panimulang punto sa pag-unlad ng agham ng paglutas ng mga equation.

mga equation. Algebraic equation

Mga pangunahing kahulugan

Sa algebra, dalawang uri ng pagkakapantay-pantay ang isinasaalang-alang - mga pagkakakilanlan at mga equation.

Pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na humahawak para sa lahat ng (tinatanggap) na mga halaga ng mga titik ). Upang isulat ang pagkakakilanlan kasama ng tanda

ginagamit din ang sign.

Ang equation- ito ay isang pagkakapantay-pantay na nasiyahan lamang para sa ilang mga halaga ng mga titik na kasama dito. Ang mga titik na kasama sa equation, ayon sa kondisyon ng problema, ay maaaring hindi pantay: ang ilan ay maaaring kumuha ng lahat ng kanilang pinahihintulutang halaga (tinatawag silang mga parameter o coefficients mga equation at karaniwang tinutukoy ng mga unang titik ng alpabetong Latin:

, , ... – o ang parehong mga titik, na may kasamang mga indeks: , , ... o , , ...); ang iba na ang mga halaga ay matatagpuan ay tinatawag hindi kilala(Karaniwan silang tinutukoy ng mga huling titik ng alpabetong Latin: , , , ... - o ng parehong mga titik, na may kasamang mga indeks: , , ... o , , ...).

Sa pangkalahatan, ang equation ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

(, , ..., ).

Depende sa bilang ng mga hindi alam, ang equation ay tinatawag na isang equation na may isa, dalawa, atbp. na hindi alam.

Bumalik pasulong

Pansin! Ang slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa buong lawak ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Layunin ng Aralin:

Mga Tutorial:

• I-generalize ang kaalaman sa lahat ng uri ng equation, bigyang-diin ang kahalagahan ng lahat ng paraan na ginagamit sa paglutas ng mga equation.
• Pag-activate ng gawain ng mga mag-aaral sa pamamagitan ng iba't ibang pamamaraan sa silid-aralan.
• Subukan ang teoretikal at praktikal na mga kasanayan sa paglutas ng mga equation.
• Ituro na ang isang equation ay maaaring malutas sa maraming paraan

Pagbuo:

• Dagdagan ang interes ng mga mag-aaral sa paksa sa pamamagitan ng paggamit ng ICT.
• Pagkilala sa mga mag-aaral sa makasaysayang materyal sa paksa.
• Ang pagbuo ng aktibidad ng kaisipan sa pagtukoy ng uri ng equation at mga paraan upang malutas ito.

Pang-edukasyon:

• Linangin ang disiplina sa silid-aralan.
• Ang pag-unlad ng kakayahang makita ang maganda, sa sarili, sa ibang tao at sa mundo sa paligid.

Uri ng aralin:

• Aralin ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman.

Uri ng aralin:

• pinagsama-sama.

Materyal at teknikal na kagamitan:

• Isang kompyuter
• Screen
• Projector
• Disk na may presentasyon ng tema

Mga pamamaraan at pamamaraan:

• Gamit ang isang presentasyon
• Pangharap na pag-uusap
• gawaing pasalita
• Mga sandali ng laro
• Magtrabaho nang magkapares
• Trabaho sa whiteboard
• Magtrabaho sa mga notebook

Plano ng aralin:

1. sandali ng organisasyon (1 minuto)
2. Pagtukoy sa paksa ng aralin (3 minuto)
3. Paglalahad ng paksa at layunin ng aralin (1 minuto)
4. Theoretical warm-up (3 minuto)
5. Makasaysayang iskursiyon (3 minuto)
6. Ang larong "Alisin ang labis" (2 minuto)
7. Malikhaing gawain (2 minuto)
8. Gawain "Hanapin ang pagkakamali" (2 minuto)
9. Paglutas ng isang equation sa maraming paraan (sa isang slide) (3 minuto)
10. Paglutas ng isang equation sa maraming paraan (sa pisara) (24 minuto)
11. Independiyenteng trabaho nang magkapares na may karagdagang paliwanag (5 minuto)
12. Indibidwal na takdang-aralin (1 minuto)
13. Ang resulta ng repleksyon ng aralin (1 minuto)

Epigraph ng aralin:

"Ang pag-aaral ay maaari lamang maging masaya, upang matunaw ang kaalaman, kailangan mong makuha ito nang may gana."
A. France

Buod ng aralin

Bahagi ng organisasyon

Sinusuri ko ang kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin, markahan ang mga wala sa aralin. Guys, ang Pranses na manunulat ng ika-19 na siglo, si A. France, minsan ay nagsabi, "Ang pag-aaral ay maaari lamang maging masaya, upang matunaw ang kaalaman, kailangan mong makuha ito nang may gana." Kaya't sundin natin ang payo ng manunulat sa ating aralin at tunawin ang kaalaman nang may matinding gana, dahil ito ay magiging kapaki-pakinabang sa ating buhay.

Pagtukoy sa paksa ng aralin

Upang magpatuloy sa isang mas mahirap na gawain, iunat natin ang ating mga utak sa mga simpleng gawain. Ang paksa ng aming aralin ay naka-encrypt, sa pamamagitan ng paglutas ng mga oral na gawain at paghahanap ng sagot sa kanila, alam na ang bawat sagot ay may sariling liham, ibubunyag namin ang paksa ng aralin. Slide ng pagtatanghal 3

Mensahe tungkol sa paksa at layunin ng aralin

Ikaw mismo ang nagpangalan sa paksa ng aralin ngayon

"Mga Uri ng Equation at Paraan para Malutas ang mga Ito". Slide ng pagtatanghal 4

Layunin: Alalahanin at gawing pangkalahatan ang lahat ng uri ng mga equation at kung paano lutasin ang mga ito. Lutasin ang isang equation sa lahat ng paraan. Presentation slide 5 Basahin ang pahayag ni Einstein Presentation slide 5

Theoretical warm-up

Mga Tanong Presentation slide 7

Mga sagot

1. Isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang variable na tinutukoy ng ilang titik.
2. Nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito, o pagpapatunay na walang mga ugat.
3. Ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.
4. Pagkatapos ng kahulugang ito, basahin ang isang tula tungkol sa equation Presentation slide 12,13,14

Mga sagot sa huling 2 tanong Presentation slide 9,10,11

Makasaysayang paglihis

Makasaysayang tala tungkol sa "Sino at kailan naimbento ang equation" Slide 15 ng pagtatanghal

Isipin na ang isang primitive na ina na nagngangalang ... gayunpaman, malamang na wala siyang pangalan, pumili ng 12 mansanas mula sa isang puno upang ibigay sa bawat isa sa kanyang 4 na anak. Malamang na hindi niya alam kung paano magbilang hindi lamang hanggang 12, kundi hanggang apat din, at tiyak na hindi alam kung paano hatiin ang 12 sa 4. At hinati niya ang mga mansanas, marahil ay ganito: una ay binigyan niya ang bawat bata ng apple, then another apple, then another alone tapos nakita ko na wala na epal at tuwang tuwa ang mga bata. Kung isusulat natin ang mga pagkilos na ito sa modernong wikang matematika, makakakuha tayo ng x4 = 12, iyon ay, nalutas ni nanay ang problema ng pag-iipon ng isang equation. Mukhang imposibleng sagutin ang tanong sa itaas. Ang mga problema na humahantong sa solusyon ng mga equation ay nalutas ng mga tao sa batayan ng sentido komun mula noong sila ay naging mga tao. Sa simula ng 3-4 na libong taon BC, ang mga Egyptian at Babylonians ay nagawang malutas ang pinakasimpleng mga equation, ang anyo nito at ang mga pamamaraan ng solusyon ay hindi katulad ng mga modernong. Ang mga Griyego ay minana ang kaalaman ng mga Ehipsiyo, at nagpatuloy pa. Ang pinakadakilang tagumpay sa pag-unlad ng doktrina ng mga equation ay nakamit ng Greek scientist na si Diophantus (III century), kung saan isinulat nila:

Marami siyang nalutas na problema.
At hinulaang mga amoy, at pag-ulan.
Tunay na kamangha-mangha ang kanyang kaalaman.

Ang isang malaking kontribusyon sa solusyon ng mga equation ay ginawa ng Central Asian mathematician na si Muhammad al Khorezmi (ika-9 na siglo). Ang kanyang tanyag na aklat na al-Khwarizmi ay nakatuon sa paglutas ng mga equation. Ito ay tinatawag na "Kitab al-jabr wal-muqabala", ibig sabihin, "Ang Aklat ng Pagpupuno at Pagsalungat". Nakilala ang aklat na ito sa mga Europeo, at mula sa salitang "al-jabr" mula sa pamagat nito ay nagmula ang salitang "algebra" - ang pangalan ng isa sa mga pangunahing bahagi ng matematika. Sa hinaharap, maraming mathematician ang humarap sa mga problema ng mga equation. Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa anyo na x2+in=0 ay binuo ng German mathematician na si Stiefel, na nabuhay noong ika-15 siglo. Matapos ang mga gawa ng Dutch mathematician na si Girard (XVI century), pati na rin sina Descartes at Newton, ang paraan ng solusyon ay nagkaroon ng modernong hitsura. Ang mga formula na nagpapahayag ng pag-asa ng mga ugat ng equation sa mga coefficient nito ay ipinakilala ni Vieta. Nabuhay si François Viet noong ika-16 na siglo. Gumawa siya ng malaking kontribusyon sa pag-aaral ng iba't ibang problema sa matematika at astronomiya; sa partikular, ipinakilala niya ang mga pagtatalaga ng titik para sa mga coefficient ng isang equation. At ngayon ay makikilala natin ang isang kawili-wiling yugto mula sa kanyang buhay. Nakatanggap ng malaking katanyagan ang Viet sa ilalim ni Haring Henry III, noong Digmaang Franco-Espanyol. Ang mga Espanyol na inquisitor ay nag-imbento ng isang napaka-komplikadong sikretong script, salamat sa kung saan ang mga Espanyol ay nakipag-ugnayan sa mga kaaway ni Henry III kahit na sa France mismo.

Sa walang kabuluhan sinubukan ng mga Pranses na hanapin ang susi sa cipher, at pagkatapos ay lumingon ang hari sa Vieta. Sinasabing natagpuan ni Viet ang susi sa cipher sa loob ng dalawang linggo ng tuluy-tuloy na trabaho, pagkatapos nito, sa hindi inaasahang pagkakataon para sa Espanya, nagsimulang manalo ang France ng sunud-sunod na laban. Palibhasa'y siguradong imposibleng matukoy ang cipher, inakusahan ng mga Kastila si Vieta na may kaugnayan sa diyablo at sinentensiyahan siyang sunugin sa tulos. Sa kabutihang palad, hindi siya na-extradited sa Inquisition at bumaba sa kasaysayan bilang isang mahusay na matematiko.

Ang larong "Alisin ang labis"

Layunin ng laro oryentasyon sa anyo ng mga equation.

Binigyan kami ng tatlong hanay ng mga equation, sa bawat isa sa kanila, ang mga equation ay tinutukoy ng ilang mga tampok, ngunit ang isa sa mga ito ay kalabisan, ang iyong gawain ay upang mahanap at makilala ito. Slide ng pagtatanghal 16

malikhaing gawain

Ang layunin ng gawaing ito: Pakikinig na pag-unawa ng matematikal na pagsasalita na nakatuon sa mga bata sa anyo ng mga equation.

Sa screen makikita mo ang 9 na equation. Ang bawat equation ay may sariling numero, pangalanan ko ang uri ng equation na ito, at dapat kang makahanap ng isang equation ng ganitong uri, at ilagay lamang ang numero kung saan ito nakatayo, bilang isang resulta makakakuha ka ng 9-digit na numero Presentation slide 17

1. Ang pinababang quadratic equation.
2. Fractional rational equation
3. cubic equation
4. logarithmic equation
5. Linear Equation
6. Hindi kumpletong quadratic equation
7. exponential equation
8. hindi makatwirang equation
9. trigonometriko equation

Gawain "Hanapin ang pagkakamali"

Isang estudyante ang nag-solve ng equation, pero nagtawanan ang buong klase, nagkamali siya sa bawat equation, ang gawain mo ay hanapin ito at itama. Slide ng pagtatanghal 18

Paglutas ng isang equation sa maraming paraan

At ngayon ay malulutas namin ang isang equation sa lahat ng posibleng paraan, upang makatipid ng oras sa aralin, isang equation sa screen. Ngayon ay papangalanan mo ang uri ng equation na ito, at ipaliwanag kung aling paraan ang ginagamit upang malutas ang equation na ito Mga slide ng presentasyon 19-27

Paglutas ng isang equation sa maraming paraan (sa pisara)

Tiningnan namin ang halimbawa, ngayon ay lutasin natin ang equation sa pisara sa lahat ng posibleng paraan.

X-2 - hindi makatwirang equation

I-square natin ang magkabilang panig ng equation.

X 2 +2x+4x-1-4=0

Niresolba namin ang equation na ito sa pisara sa 9 na paraan.

Independent work in pair, na sinusundan ng paliwanag sa pisara

At ngayon ay magtatrabaho ka nang pares, nagbibigay ako ng isang equation sa desk, ang iyong gawain ay upang matukoy ang uri ng equation, ilista ang lahat ng mga paraan upang malutas ang equation na ito, malutas ang 1-2 sa mga pinaka-makatwirang paraan para sa iyo. (2 minuto)

Mga gawain para sa paggawa nang magkapares

Lutasin ang Equation

Pagkatapos ng independiyenteng trabaho sa mga pares, isang kinatawan ang pumunta sa board, ipinakita ang kanyang equation, malulutas ito sa isang paraan

Indibidwal na takdang-aralin(nakakaiba)

Lutasin ang Equation

(tukuyin ang uri ng equation, lutasin sa lahat ng paraan sa isang hiwalay na sheet)

Buod ng repleksyon ng aralin.

Binubuo ko ang aralin, bigyang-pansin ang katotohanan na ang isang equation ay maaaring malutas sa maraming paraan, magbigay ng mga marka, tapusin kung sino ang aktibo at kung sino ang kailangang maging mas aktibo. Binasa ko ang pahayag ni Kalinin Presentation slide 28

Tingnang mabuti ang mga layunin na itinakda natin para sa aralin ngayon:

• Ano sa tingin mo ang nagawa natin?
• Ano ang hindi naging maganda?
• Ano ang lalo mong nagustuhan at naaalala?
• Ngayon may natutunan akong bago...
• Nakatulong sa akin ang aralin...
• Naging mahirap para sa akin...
• Natuwa ako sa lesson...

Panitikan.

1. Dorofeev G.V. "Koleksyon ng mga gawain para sa pagsasagawa ng nakasulat na pagsusulit sa matematika para sa isang kurso sa mataas na paaralan" - M .: Drofa, 2006.
2. Garner Martin. Math puzzle at masaya.
3. Ivlev B.M., Sahakyan S.M. Didactic na materyales sa algebra at ang simula ng pagsusuri para sa ika-10 baitang, ika-11 baitang. M.: Enlightenment. 2002.