Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

Panimula 2

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation 5

Algebraic 5

Paglutas ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric function na may parehong pangalan 7

Factoring 8

Pagbawas sa isang homogenous na equation 10

Panimula ng auxiliary angle 11

I-convert ang produkto sa kabuuan 14

Pangkalahatang pagpapalit 14

Konklusyon 17

Panimula

Hanggang sa ikasampung baitang, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon ng maraming mga pagsasanay na humahantong sa layunin, bilang isang panuntunan, ay hindi malabo na tinukoy. Halimbawa, ang mga linear at quadratic na equation at inequalities, mga fractional na equation at equation na mababawasan sa mga quadratic, atbp. Nang walang pagsusuri nang detalyado sa prinsipyo ng paglutas ng bawat isa sa mga halimbawang nabanggit, napapansin namin ang pangkalahatang bagay na kinakailangan para sa kanilang matagumpay na solusyon.

Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong matukoy kung anong uri ng gawain, tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na humahantong sa layunin, at isagawa ang mga pagkilos na ito. Malinaw na ang tagumpay o kabiguan ng mag-aaral sa pag-master ng mga pamamaraan ng paglutas ng mga equation ay nakasalalay sa kung gaano niya magagawang matukoy nang tama ang uri ng equation at matandaan ang pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga yugto ng solusyon nito. Siyempre, ipinapalagay nito na ang mag-aaral ay may mga kasanayan upang magsagawa ng magkatulad na mga pagbabago at kalkulasyon.

Ang isang ganap na naiibang sitwasyon ay nangyayari kapag ang isang mag-aaral ay nakatagpo ng mga trigonometric equation. Kasabay nito, hindi mahirap itatag ang katotohanan na ang equation ay trigonometriko. Ang mga paghihirap ay lumitaw kapag naghahanap ng isang kurso ng aksyon na hahantong sa isang positibong resulta. At dito nahaharap ang estudyante sa dalawang problema. Mahirap matukoy ang uri sa pamamagitan ng hitsura ng equation. At nang hindi nalalaman ang uri, halos imposibleng piliin ang nais na formula mula sa ilang dosenang magagamit.

Upang matulungan ang mga mag-aaral na mahanap ang kanilang paraan sa pamamagitan ng kumplikadong labirint ng mga trigonometric equation, una silang ipinakilala sa mga equation, na, pagkatapos ng pagpapakilala ng isang bagong variable, ay nabawasan sa mga parisukat. Pagkatapos ay lutasin ang mga homogenous na equation at bawasan sa kanila. Ang lahat ay nagtatapos, bilang isang panuntunan, na may mga equation, para sa solusyon kung saan kinakailangan na i-factor ang kaliwang bahagi, pagkatapos ay i-equating ang bawat isa sa mga kadahilanan sa zero.

Napagtatanto na ang isa at kalahating dosenang mga equation na nasuri sa mga aralin ay malinaw na hindi sapat upang hayaan ang mag-aaral na maglayag nang nakapag-iisa sa trigonometric na "dagat", ang guro ay nagdagdag ng ilang higit pang mga rekomendasyon mula sa kanyang sarili.

Upang malutas ang trigonometric equation, dapat nating subukan:

Dalhin ang lahat ng mga function na kasama sa equation sa "parehong anggulo";

Dalhin ang equation sa "parehong mga function";

I-factor ang kaliwang bahagi ng equation, atbp.

Ngunit, sa kabila ng kaalaman sa mga pangunahing uri ng trigonometriko equation at ilang mga prinsipyo para sa paghahanap ng kanilang solusyon, maraming mga mag-aaral pa rin ang nahahanap ang kanilang mga sarili sa isang hindi pagkakasundo sa harap ng bawat equation na bahagyang naiiba sa mga nalutas na dati. Ito ay nananatiling hindi malinaw kung ano ang dapat pagsikapan ng isa, pagkakaroon ng isa o isa pang equation, kung bakit sa isang kaso kinakailangan na ilapat ang mga formula ng dobleng anggulo, sa isa pa - ang kalahating anggulo, at sa pangatlo - ang mga formula ng karagdagan, atbp.

Kahulugan 1. Ang trigonometric equation ay isang equation kung saan ang hindi alam ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng trigonometriko function.

Kahulugan 2. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may parehong mga anggulo kung ang lahat ng trigonometric function na kasama dito ay may pantay na argumento. Ang isang trigonometric equation ay sinasabing may parehong mga function kung ito ay naglalaman lamang ng isa sa mga trigonometric function.

Kahulugan 3. Ang antas ng isang monomial na naglalaman ng trigonometric function ay ang kabuuan ng mga exponent ng mga kapangyarihan ng trigonometriko function na kasama dito.

Kahulugan 4. Ang isang equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga monomial dito ay may parehong antas. Ang antas na ito ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng equation.

Kahulugan 5. Trigonometric equation na naglalaman lamang ng mga function kasalanan At cos, ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng monomial na may kinalaman sa trigonometriko function ay may parehong antas, at ang trigonometriko function mismo ay may pantay na mga anggulo at ang bilang ng mga monomial ay 1 mas malaki kaysa sa pagkakasunud-sunod ng equation.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Ang solusyon ng trigonometric equation ay binubuo ng dalawang yugto: ang pagbabago ng equation upang makuha ang pinakasimpleng anyo nito at ang solusyon ng resultang pinakasimpleng trigonometric equation. Mayroong pitong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

ako. algebraic na pamamaraan. Ang pamamaraang ito ay kilala mula sa algebra. (Paraan ng pagpapalit ng mga variable at pagpapalit).

Lutasin ang mga equation.

1)

Ipakilala natin ang notasyon x=2 kasalanan3 t, nakukuha namin

Ang paglutas ng equation na ito, nakukuha natin:
o

mga. maaaring isulat

Kapag isinusulat ang solusyon na nakuha dahil sa pagkakaroon ng mga palatandaan degree
walang kwenta ang pagsusulat.

Sagot:

Magpakilala

Kumuha kami ng isang quadratic equation
. Ang mga ugat nito ay mga numero
At
. Samakatuwid, ang equation na ito ay bumababa sa pinakasimpleng trigonometric equation
At
. Ang paglutas ng mga ito, nakita namin iyon
o
.

Sagot:
;
.

Magpakilala

hindi nakakatugon sa kondisyon

ibig sabihin

Sagot:

Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng equation:

Kaya, ang paunang equation na ito ay maaaring isulat bilang:

, ibig sabihin.

Nagpapahiwatig
, nakukuha namin
Ang paglutas ng quadratic equation na ito, mayroon tayong:

hindi nakakatugon sa kondisyon

Isinulat namin ang solusyon ng orihinal na equation:

Sagot:

Pagpapalit
binabawasan ang equation na ito sa isang quadratic equation
. Ang mga ugat nito ay mga numero
At
. kasi
, kung gayon ang ibinigay na equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

II. Solusyon ng mga equation gamit ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga function ng trigonometriko ng parehong pangalan.

A)
, Kung

b)
, Kung

V)
, Kung

Gamit ang mga kundisyong ito, isaalang-alang ang solusyon ng mga sumusunod na equation:

6)

Gamit ang sinabi sa aytem a), makikita natin na ang equation ay may solusyon kung at kung lamang
.

Ang paglutas ng equation na ito, nakita namin
.

Mayroon kaming dalawang grupo ng mga solusyon:

.

7) Lutasin ang equation:
.

Gamit ang kondisyon ng bahagi b) hinuhusgahan natin iyon
.

Ang paglutas ng mga quadratic equation na ito, nakukuha natin:

.

8) Lutasin ang equation
.

Mula sa equation na ito ay hinuhusgahan natin na . Ang paglutas ng quadratic equation na ito, nakita natin iyon

.

III. Factorization.

Isinasaalang-alang namin ang pamamaraang ito na may mga halimbawa.

9) Lutasin ang equation
.

Solusyon. Ilipat natin ang lahat ng termino ng equation sa kaliwa: .

Binabago at isinasali namin ang expression sa kaliwang bahagi ng equation:
.

.

.

1)
2)

kasi
At
huwag kunin ang halaga na null

sabay-sabay, tapos pinaghihiwalay namin ang magkabilang bahagi

mga equation para sa
,

Sagot:

10) Lutasin ang equation:

Solusyon.

o

Sagot:

11) Lutasin ang equation

Solusyon:

1)
2)
3)

,

Sagot:

IV. Pagbawas sa isang homogenous na equation.

Upang malutas ang isang homogenous na equation, kailangan mo:

Ilipat ang lahat ng miyembro nito sa kaliwang bahagi;

Ilabas ang lahat ng karaniwang salik sa mga bracket;

I-equate ang lahat ng salik at bracket sa zero;

Ang mga panaklong equated sa zero ay nagbibigay ng isang homogenous na equation ng mas mababang antas, na dapat na hatiin sa
(o
) sa senior degree;

Lutasin ang resultang algebraic equation para sa
.

Isaalang-alang ang mga halimbawa:

12) Lutasin ang equation:

Solusyon.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng
,

Ipinapakilala ang notasyon
, pangalan

ang mga ugat ng equation na ito ay:

mula dito 1)
2)

Sagot:

13) Lutasin ang equation:

Solusyon. Gamit ang mga formula ng dobleng anggulo at ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan, binabawasan namin ang equation na ito sa kalahating argumento:

Pagkatapos bawasan ang mga katulad na termino, mayroon kaming:

Hinahati ang homogenous na huling equation sa pamamagitan ng
, nakukuha namin

itatalaga ko
, nakukuha namin ang quadratic equation
, na ang mga ugat ay mga numero

Sa gayon

Pagpapahayag
naglalaho sa
, ibig sabihin. sa
,
.

Ang aming solusyon sa equation ay hindi kasama ang mga numerong ito.

Sagot:
, .

V. Panimula ng isang pantulong na anggulo.

Isaalang-alang ang isang equation ng form

saan a, b, c- mga coefficient, x- hindi kilala.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng

Ngayon ang mga coefficient ng equation ay may mga katangian ng sine at cosine, ibig sabihin: ang modulus ng bawat isa sa kanila ay hindi lalampas sa isa, at ang kabuuan ng kanilang mga parisukat ay katumbas ng 1.

Pagkatapos ay maaari nating lagyan ng label ang mga ito nang naaayon
(Dito - auxiliary angle) at ang aming equation ay nasa anyo: .

Pagkatapos

At ang kanyang desisyon

Tandaan na ang ipinakilalang notasyon ay maaaring palitan.

14) Lutasin ang equation:

Solusyon. Dito
, kaya hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng

Sagot:

15) Lutasin ang equation

Solusyon. kasi
, kung gayon ang equation na ito ay katumbas ng equation

kasi
, tapos may anggulo na ganyan
,
(mga.
).

Meron kami

kasi
, pagkatapos ay nakuha namin sa wakas:

.

Tandaan na ang isang equation ng form ay may solusyon kung at kung lamang

16) Lutasin ang equation:

Upang malutas ang equation na ito, pinapangkat namin ang mga function ng trigonometriko na may parehong mga argumento

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa dalawa

Binabago namin ang kabuuan ng trigonometriko function sa isang produkto:

Sagot:

VI. I-convert ang produkto sa kabuuan.

Ang kaukulang mga formula ay ginagamit dito.

17) Lutasin ang equation:

Solusyon. I-convert natin ang kaliwang bahagi sa kabuuan:

VII.Pangkalahatang pagpapalit.

,

ang mga formula na ito ay totoo para sa lahat

Pagpapalit
tinatawag na unibersal.

18) Lutasin ang equation:

Solusyon: Palitan at
sa kanilang pagpapahayag sa pamamagitan ng
at magpakilala
.

Nakakakuha tayo ng rational equation
, na kino-convert sa parisukat
.

Ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga numero
.

Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa paglutas ng dalawang equation
.

Nahanap namin iyon
.

Tingnan ang halaga
ay hindi nakakatugon sa orihinal na equation, na na-verify sa pamamagitan ng pagsuri - pagpapalit sa ibinigay na halaga t sa orihinal na equation.

Sagot:
.

Magkomento. Ang equation 18 ay maaaring malutas sa ibang paraan.

Hatiin ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 (i.e. sa pamamagitan ng
):
.

kasi
, tapos may number
, Ano
At
. Kaya ang equation ay nagiging:
o
. Mula dito makikita natin iyan
saan
.

19) Lutasin ang equation
.

Solusyon. Dahil ang mga pag-andar
At
may pinakamalaking halaga na katumbas ng 1, kung gayon ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 2 kung
At
, sa parehong oras, iyon ay
.

Sagot:
.

Kapag nilulutas ang equation na ito, ang boundedness ng mga function at ginamit.

Konklusyon.

Paggawa sa paksang "Mga solusyon ng trigonometric equation", kapaki-pakinabang para sa bawat guro na sundin ang mga sumusunod na rekomendasyon:

I-systematize ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Piliin para sa iyong sarili ang mga hakbang upang maisagawa ang pagsusuri ng equation at ang mga palatandaan ng pagiging angkop ng paggamit ng isa o ibang paraan ng solusyon.

Pag-isipan ang mga paraan ng pagpipigil sa sarili ng aktibidad sa pagpapatupad ng pamamaraan.

Matutong gumawa ng "iyong" mga equation para sa bawat isa sa mga pinag-aralan na pamamaraan.

Application No. 1

Lutasin ang homogenous o reducible equation.

1.	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.
5.	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.
7.	Sinabi ni Rep.
	Sinabi ni Rep.

Mga natapos na gawa

MGA GAWA ITO

Marami na ang huli at ngayon ay graduate ka na, kung, siyempre, isusulat mo ang iyong thesis sa oras. Ngunit ang buhay ay isang bagay na ngayon lamang ay naging malinaw sa iyo na, sa pagtigil sa pagiging isang mag-aaral, mawawala sa iyo ang lahat ng kagalakan ng mag-aaral, na marami sa mga ito ay hindi mo pa sinubukan, ipagpaliban ang lahat at ipagpaliban ito para sa ibang pagkakataon. At ngayon, imbes na makahabol, pinag-iisipan mo pa ang thesis mo? Mayroong isang mahusay na paraan: i-download ang thesis na kailangan mo mula sa aming website - at magkakaroon ka kaagad ng maraming libreng oras!
Ang mga gawaing diploma ay matagumpay na naipagtanggol sa mga nangungunang Unibersidad ng Republika ng Kazakhstan.
Gastos ng trabaho mula sa 20 000 tenge

MGA GAWA NG KURSO

Ang proyekto ng kurso ay ang unang seryosong praktikal na gawain. Sa pagsulat ng isang term paper nagsisimula ang paghahanda para sa pagbuo ng mga proyekto sa pagtatapos. Kung natutunan ng isang mag-aaral na ipahayag nang tama ang nilalaman ng paksa sa isang proyekto ng kurso at iguhit ito nang tama, kung gayon sa hinaharap ay hindi siya magkakaroon ng mga problema sa pagsulat ng mga ulat, o sa pag-compile ng mga tesis, o sa pagsasagawa ng iba pang praktikal na mga gawain. Upang matulungan ang mga mag-aaral sa pagsulat ng ganitong uri ng gawain ng mag-aaral at upang linawin ang mga tanong na lumabas sa kurso ng paghahanda nito, sa katunayan, ang seksyong ito ng impormasyon ay nilikha.
Gastos ng trabaho mula sa 2 500 tenge

MGA TESIS NI MASTER

Sa kasalukuyan, sa mga mas mataas na institusyong pang-edukasyon ng Kazakhstan at mga bansang CIS, ang yugto ng mas mataas na propesyonal na edukasyon, na sumusunod pagkatapos ng bachelor's degree - ang master's degree, ay karaniwan. Sa mahistrado, ang mga mag-aaral ay nag-aaral na may layuning makakuha ng master's degree, na kinikilala sa karamihan ng mga bansa sa mundo higit pa sa bachelor's degree, at kinikilala din ng mga dayuhang employer. Ang resulta ng pagsasanay sa mahistrado ay ang pagtatanggol sa tesis ng master.
Bibigyan ka namin ng up-to-date na analytical at textual na materyal, kasama sa presyo ang 2 siyentipikong artikulo at abstract.
Gastos ng trabaho mula sa 35 000 tenge

MGA ULAT SA PAGSASANAY

Matapos makumpleto ang anumang uri ng pagsasanay ng mag-aaral (pang-edukasyon, industriyal, undergraduate) isang ulat ay kinakailangan. Ang dokumentong ito ay magiging kumpirmasyon ng praktikal na gawain ng mag-aaral at ang batayan para sa pagbuo ng pagtatasa para sa pagsasanay. Karaniwan, upang makaipon ng isang ulat sa internship, kailangan mong mangolekta at pag-aralan ang impormasyon tungkol sa negosyo, isaalang-alang ang istraktura at iskedyul ng trabaho ng organisasyon kung saan nagaganap ang internship, gumuhit ng isang plano sa kalendaryo at ilarawan ang iyong mga praktikal na aktibidad.
Tutulungan ka naming magsulat ng isang ulat sa internship, na isinasaalang-alang ang mga detalye ng mga aktibidad ng isang partikular na negosyo.

Kumusta mahal na mga kaibigan! Ngayon ay isasaalang-alang natin ang gawain mula sa bahagi C. Ito ay isang sistema ng dalawang equation. Ang mga equation ay medyo kakaiba. Narito ang parehong sine at cosine, at maging ang mga ugat ay magagamit. Kailangan mo ng kakayahang malutas ang square at, ang pinakasimpleng. Sa ipinakita na gawain, ang kanilang mga detalyadong solusyon ay hindi ipinakita, dapat na magagawa mo na ito. Maaari mong tingnan ang nauugnay na teorya at praktikal na mga gawain sa pamamagitan ng pag-click sa mga link na ibinigay.

Ang pangunahing kahirapan sa mga naturang halimbawa ay kinakailangan na ihambing ang nakuha na mga solusyon sa nahanap na domain ng kahulugan, dito ay madaling magkamali dahil sa kawalan ng pansin.

Ang solusyon sa system ay palaging isang pares ng (mga) numero ng x at y, na nakasulat bilang (x; y).Tiyaking bumalik pagkatapos mong makatanggap ng tugon.May tatlong paraan para sa iyo, hindi, hindi mga paraan, ngunit tatlong paraan ng pangangatwiran na maaari mong gawin. Sa personal, ang pangatlo ay pinakamalapit sa akin. Magsimula na tayo:

Lutasin ang sistema ng mga equation:

UNANG PARAAN!

Hanapin ang domain ng equation. Alam na ang radikal na expression ay may hindi negatibong halaga:

Isaalang-alang ang unang equation:

1. Ito ay zero sa x = 2 o sa x = 4, ngunit ang 4 na radian ay hindi kabilang sa kahulugan ng expression (3).

* Ang isang anggulo ng 4 radians (229.188 0) ay nasa ikatlong quarter, kung saan negatibo ang halaga ng sine. kaya lang

tanging ang ugat na x = 2 ang natitira.

Isaalang-alang ang pangalawang equation para sa x = 2.

Sa halagang ito ng x, ang expression na 2 - y - y 2 ay dapat na katumbas ng zero, dahil

Lutasin ang 2 - y - y 2 = 0, nakukuha natin ang y = – 2 o y = 1.

Tandaan na para sa y = – 2, ang ugat ng cos y ay walang solusyon.

* Ang isang anggulo ng -2 radians (-114.549 0) ay nasa ikatlong quarter, at sa loob nito ay negatibo ang halaga ng cosine.

Samakatuwid, y = 1 na lang ang natitira.

Kaya, ang solusyon ng system ay ang pares (2;1).

2. Ang unang equation ay katumbas din ng zero para sa cos y = 0, iyon ay, para sa

Ngunit isinasaalang-alang ang nahanap na domain ng kahulugan (2), nakukuha natin ang:

Isaalang-alang ang pangalawang equation na may y.

Ang expression 2 - y - y 2 na may y \u003d - Pi / 2 ay hindi katumbas ng zero, na nangangahulugan na upang magkaroon ito ng solusyon, dapat matugunan ang kundisyon:

Nagpasya kami:

Isinasaalang-alang ang nahanap na domain ng kahulugan (1), nakuha namin iyon

Kaya, ang solusyon ng system ay isa pang pares:

IKALAWANG PARAAN!

Hanapin natin ang domain ng kahulugan para sa expression:

Ito ay kilala na ang expression sa ilalim ng root ay may isang hindi-negatibong halaga.
Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay 6x - x 2 + 8 ≥ 0, makakakuha tayo ng 2 ≤ x ≤ 4 (2 at 4 ay radians).

Isaalang-alang ang Kaso 1:

Hayaan ang x = 2 o x = 4.

Kung x = 4, kung gayon ang kasalanan x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Isinasaalang-alang na ang kasalanan x ≠ 0, lumalabas na sa kasong ito sa pangalawang equation ng system 2 - y - y 2 = 0.

Ang paglutas ng equation, nakuha namin na y \u003d - 2 o y \u003d 1.

Sinusuri ang mga nakuhang halaga, masasabi nating ang x \u003d 4 at y \u003d - 2 ay hindi mga ugat, dahil nakakakuha tayo ng kasalanan x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Makikita na ang x = 2 at y = 1 ay kasama sa domain ng kahulugan.

Kaya, ang solusyon ay ang pares (2;1).

Isaalang-alang ang Kaso 2:

Hayaan ngayon 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Batay dito, maaari nating tapusin na sa unang equation cos y ay dapat na katumbas ng zero.

Nalulutas namin ang equation, nakukuha namin:

Sa pangalawang equation, kapag hinahanap ang saklaw ng expression:

Nakukuha namin:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Sa lahat ng mga solusyon ng equation cos y = 0, tanging:

Para sa isang ibinigay na halaga ng y, ang expression na 2 - y - y 2 ≠ 0. Samakatuwid, sa pangalawang equation, ang sin x ay magiging katumbas ng zero, nakukuha natin ang:

Sa lahat ng mga solusyon sa equation na ito, ang pagitan 2< х < 4 принадлежит только

Kaya ang solusyon ng system ay magiging dalawa pa:

*Ang domain ng kahulugan para sa lahat ng mga expression sa system ay hindi agad nahanap, isinasaalang-alang namin ang expression mula sa unang equation (2 kaso) at pagkatapos, kasama ang paraan, natukoy namin ang pagsusulatan ng mga nahanap na solusyon sa itinatag na domain ng kahulugan. Sa palagay ko, hindi ito masyadong maginhawa, kahit papaano ay nalilito.

IKATLONG PARAAN!

Ito ay katulad ng una, ngunit may mga pagkakaiba. Gayundin, ang saklaw para sa mga expression ay unang matatagpuan. Pagkatapos ang una at pangalawang equation ay malulutas nang hiwalay, pagkatapos ay matatagpuan ang solusyon ng system.

Hanapin natin ang domain ng kahulugan. Alam na ang radikal na expression ay may hindi negatibong halaga:

Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay 6x - x 2 + 8 ≥ 0 ay makakakuha tayo ng 2 ≤ x ≤ 4 (1).

Ang mga halaga 2 at 4 ay radians, 1 radian tulad ng alam natin ≈ 57.297 0

Sa mga degree, maaari nating isulat ang humigit-kumulang 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 .

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay 2 – y – y 2 ≥ 0 nakukuha natin – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

Sa mga degree, maaari nating isulat - 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .

Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na kasalanan x ≥ 0, nakukuha natin iyon

Ang paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay cos y ≥ 0, nakukuha natin iyon

Ito ay kilala na ang produkto ay katumbas ng zero kapag ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero (at ang iba ay hindi nawawala ang kanilang kahulugan).

Isaalang-alang ang unang equation:

ibig sabihin

Ang solusyon cos y = 0 ay:

Desisyon 6x - x 2 Ang + 8 = 0 ay x = 2 at x = 4.

Isaalang-alang ang pangalawang equation:

ibig sabihin

Ang solusyon sa sin x = 0 ay:

Ang solusyon sa equation 2 - y - y 2 = 0 ay magiging y = - 2 o y = 1.

Ngayon, isinasaalang-alang ang domain ng kahulugan, sinusuri namin

natanggap na mga halaga:

Dahil 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 , ang segment na ito ay naglalaman lamang ng isang solusyon ng equation sin x = 0, iyon ay x = pi.

Dahil – 114.549 0 ≤ у ≤ 57.297 0 , kung gayon ang segment na ito ay naglalaman lamang ng isang solusyon ng equation cos y = 0, ito ay

Isaalang-alang ang mga ugat x = 2 at x = 4.

Tama!

Kaya, ang solusyon ng system ay magiging dalawang pares ng mga numero:

* Dito, isinasaalang-alang ang nahanap na domain ng kahulugan, ibinukod namin ang lahat ng nakuhang halaga na hindi kabilang dito at pagkatapos ay dumaan sa lahat ng mga opsyon para sa posibleng mga pares. Susunod, sinuri namin kung alin sa mga ito ang solusyon ng system.

Inirerekumenda ko kaagad sa pinakadulo simula ng paglutas ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, ang kanilang mga sistema, kung mayroong mga ugat, logarithms, trigonometriko function, ito ay kinakailangan upang mahanap ang domain ng kahulugan. Mayroong, siyempre, tulad ng mga halimbawa kung saan mas madaling malutas kaagad, at pagkatapos ay suriin lamang ang solusyon, ngunit tulad ng isang kamag-anak na minorya.

Iyon lang. Good luck sa iyo!

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Ang mga equation ay ginagamit ng tao mula pa noong unang panahon at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang mga equation ng trigonometric ay lahat ng mga equation na may kasamang variable na nasa ilalim ng tanda ng isang function na trigonometric. Halimbawa: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Ang solusyon ng trigonometric equation ay binabawasan sa mga sumusunod na subtasks:

* solusyon ng equation;

* pagpili ng mga ugat.

Ang sagot sa naturang mga equation ay nakasulat sa:

degrees;

Mga Radian.

Upang malutas ang ganitong uri ng equation, kinakailangang ibahin ang anyo ng equation sa isa/ilang pangunahing trigonometric equation: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] At ang solusyon ng naturang mga pangunahing equation ay ang paggamit ng talahanayan ng conversion o hanapin ang mga posisyon na \[x\] sa unit circle.

Halimbawa, ibinigay ang mga trigonometrikong equation, na nalutas gamit ang isang talahanayan ng conversion, ng sumusunod na anyo:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

Sagot: \

\[\cot2x = 1.732\]

Sagot: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0.866\]

Sagot: \[ x = \pi/3 \]

Saan ko malulutas ang isang sistema ng mga trigonometric equation online nang libre?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https: // site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang isang online na equation ng anumang kumplikado sa ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari mo ring panoorin ang pagtuturo ng video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming Vkontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Aralin 54-55. Mga sistema ng trigonometric equation (opsyonal)

09.07.2015 9315 915

Target: isaalang-alang ang pinakakaraniwang mga sistema ng trigonometric equation at mga paraan upang malutas ang mga ito.

I. Komunikasyon ng paksa at layunin ng mga aralin

II. Pag-uulit at pagsasama-sama ng materyal na sakop

1. Mga sagot sa mga tanong sa takdang-aralin (pagsusuri ng mga problemang hindi nalutas).

2. Pagsubaybay sa asimilasyon ng materyal (independiyenteng gawain).

Opsyon 1

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Opsyon 2

Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

III. Pag-aaral ng bagong materyal

Sa mga pagsusulit, ang mga sistema ng trigonometric equation ay mas karaniwan kaysa sa trigonometric equation at inequalities. Walang malinaw na pag-uuri ng mga sistema ng mga equation ng trigonometriko. Samakatuwid, may kondisyon kaming hinahati sila sa mga grupo at isinasaalang-alang ang mga paraan upang malutas ang mga problemang ito.

1. Ang pinakasimpleng sistema ng mga equation

Kabilang dito ang mga sistema kung saan ang alinman sa mga equation ay linear, o ang mga equation ng system ay maaaring malutas nang hiwalay sa isa't isa.

Halimbawa 1

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Dahil ang unang equation ay linear, ipinapahayag namin ang variable mula ditoat palitan sa pangalawang equation:Ginagamit namin ang formula ng pagbabawas at ang pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko. Nakukuha namin ang equation o Magpakilala tayo ng bagong variable t = kasalanan y. Mayroon kaming isang quadratic equation 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, na ang mga ugat t 1 \u003d 1/3 at t 2 = 2 (hindi angkop, dahil kasalanan y ≤ 1). Bumalik tayo sa dating hindi alam at kunin ang equation siny = 1/3, na ang solusyonNgayon ay madaling mahanap ang hindi alam:Kaya, ang sistema ng mga equation ay may mga solusyon kung saan n ∈ Z .

Halimbawa 2

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Ang mga equation ng system ay independyente. Samakatuwid, posibleng isulat ang mga solusyon ng bawat equation. Nakukuha namin:Idinaragdag at ibinabawas namin ang mga equation ng sistemang ito ng mga linear equation na termino ayon sa termino at nahanap namin:saan

Bigyang-pansin natin ang katotohanan na, dahil sa kalayaan ng mga equation, kapag naghahanap ng x - y at x + y, dapat ipahiwatig ang iba't ibang mga integer. n at k . Kung sa halip na k naihatid din n , kung gayon ang mga solusyon ay magiging ganito:Sa kasong ito, mawawala ang isang walang katapusang hanay ng mga solusyon at, bilang karagdagan, magkakaroon ng koneksyon sa pagitan ng mga variable. x at y: x = 3y (na hindi naman talaga). Halimbawa, madaling suriin na ang sistemang ito ay may solusyon x = 5π at y = n (ayon sa mga nakuhang formula), na, kapag k = n imposibleng mahanap. Kaya mag-ingat ka.

2. Tingnan ang mga system

Ang ganitong mga sistema ay nababawasan sa pinakasimple sa pamamagitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga equation. Sa kasong ito, nakakakuha kami ng mga systemo Tandaan ang malinaw na limitasyon: At Ang mismong solusyon ng gayong mga sistema ay hindi mahirap.

Halimbawa 3

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Ibahin muna natin ang pangalawang equation ng system gamit ang pagkakapantay-pantay Nakukuha namin: Palitan ang unang equation sa numerator ng fraction na ito:at ipahayag Ngayon mayroon kaming isang sistema ng mga equationIdagdag at ibawas natin ang mga equation na ito. Meron kami: oIsinulat namin ang mga solusyon ng pinakasimpleng sistemang ito:Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga linear na equation na ito, makikita natin:

3. Tingnan ang mga system

Ang ganitong mga sistema ay maaaring ituring bilang ang pinakasimpleng mga at malutas nang naaayon. Gayunpaman, may isa pang paraan upang malutas ito: i-convert ang kabuuan ng trigonometriko function sa isang produkto at gamitin ang natitirang equation.

Halimbawa 4

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Una, binabago namin ang unang equation gamit ang formula para sa kabuuan ng mga sine ng mga anggulo. Nakukuha namin:Gamit ang pangalawang equation, mayroon kaming:saan Isinulat namin ang mga solusyon ng equation na ito:Isinasaalang-alang ang pangalawang equation ng sistemang ito, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na equationMula sa sistemang ito makikita natin Maginhawang isulat ang gayong mga solusyon sa mas makatwirang anyo. Para sa itaas na mga palatandaan mayroon kaming:para sa mas mababang mga palatandaan -

4. Tingnan ang mga system

Una sa lahat, kinakailangan upang makakuha ng isang equation na naglalaman lamang ng isang hindi alam. Para dito, halimbawa, ipinapahayag namin mula sa isang equation sin y, mula sa iba - cos y. I-square namin ang mga ratio na ito at idagdag ang mga ito. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang trigonometric equation na naglalaman ng hindi kilalang x. Lutasin natin ang equation na ito. Pagkatapos, gamit ang anumang equation ng sistemang ito, nakakakuha tayo ng equation para sa paghahanap ng hindi kilalang y.

Halimbawa 5

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Sinusulat namin ang system sa formI-square natin ang bawat equation ng system at makuha ang:Idinaragdag namin ang mga equation ng system na ito: o Gamit ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan, isinusulat namin ang equation sa form o Mga solusyon sa equation na ito cos x = 1/2 (pagkatapos ) at cos x = 1/4 (kung saan ), kung saan n , k ∈ Z . Isinasaalang-alang ang koneksyon sa pagitan ng mga hindi alam cos y \u003d 1 - 3 cos x, nakukuha namin: para sa cos x \u003d 1/2 cos y \u003d -1/2; para sa cos x = 1/4 cos y = 1/4. Dapat alalahanin na kapag nilulutas ang sistema ng mga equation, ang pag-squaring ay isinagawa at ang operasyong ito ay maaaring humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang unang equation ng sistemang ito, kung saan sumusunod na ang mga dami kasalanan x at kasalanan dapat magkaroon ng parehong tanda.

Sa pag-iisip na ito, nakakakuha tayo ng mga solusyon ng sistemang ito ng mga equationAt kung saan n, m, k, l ∈ Z . Sa kasong ito, para sa hindi kilalang x at y, alinman sa itaas o mas mababang mga palatandaan ay sabay-sabay na pinili.

Sa isang partikular na kasoang sistema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pag-convert ng kabuuan (o pagkakaiba) ng trigonometriko function sa isang produkto at pagkatapos ay term sa pamamagitan ng term na naghahati ng mga equation sa isa't isa.

Halimbawa 6

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Sa bawat equation, binabago namin ang kabuuan at pagkakaiba ng mga function sa isang produkto at hinahati ang bawat equation sa 2. Nakukuha namin ang:Dahil wala sa mga salik sa kaliwang bahagi ng mga equation ang katumbas ng zero, hinahati namin ang termino ng mga equation ayon sa termino sa bawat isa (halimbawa, ang pangalawa sa una). Nakukuha namin:saan Palitan ang nahanap na halagaHalimbawa, sa unang equation:Isinasaalang-alang namin iyon Pagkatapos saan

Nakakuha ng isang sistema ng mga linear na equationAng pagdaragdag at pagbabawas ng mga equation ng sistemang ito, nakita naminAt kung saan n , k ∈ Z .

5. Mga sistemang nalulusaw sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hindi alam

Kung ang sistema ay naglalaman lamang ng dalawang trigonometric function o nabawasan sa ganoong anyo, kung gayon ito ay maginhawa upang gamitin ang pagbabago ng mga hindi alam.

Halimbawa 7

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Dahil ang sistemang ito ay kinabibilangan lamang ng dalawang trigonometric function, ipinakilala namin ang mga bagong variable a = tg x at b = kasalanan y. Kumuha kami ng isang sistema ng mga algebraic equationMula sa unang equation ipinapahayag namin ang isang = b + 3 at palitan ang pangalawa:o Ang mga ugat ng quadratic equation na ito b 1 = 1 at b 2 = -4. Ang mga katumbas na halaga ay a1 = 4 at a2 = -1. Bumalik sa dating hindi alam. Kumuha kami ng dalawang sistema ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko:

a) ang kanyang desisyon kung saan n , k ∈ Z .

b) walang solusyon, dahil kasalanan y ≥ -1.

Halimbawa 8

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Ibahin natin ang pangalawang equation ng system upang naglalaman lamang ito ng mga function kasalanan x at cos y. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula ng pagbabawas. Nakukuha namin:(saan ) At (Pagkatapos ). Ang pangalawang equation ng system ay may anyo: o Nakakuha kami ng isang sistema ng mga trigonometric equationIpakilala natin ang mga bagong variable a = sin x at b = cos y. Mayroon kaming simetriko na sistema ng mga equation ang tanging solusyon kung saan a = b = 1/2. Bumalik tayo sa mga lumang hindi alam at kunin ang pinakasimpleng sistema ng mga trigonometric equation kaninong solusyon kung saan n , k ∈ Z .

6. Mga sistema kung saan mahalaga ang mga singularidad ng mga equation

Sa pagsasagawa, kapag nilulutas ang anumang sistema ng mga equation, ginagamit ang isa o isa pa sa mga tampok nito. Sa partikular, ang isa sa mga pinaka-pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng isang sistema ay magkaparehong mga pagbabagong-anyo, na ginagawang posible upang makakuha ng isang equation na naglalaman lamang ng isang hindi alam. Ang pagpili ng mga pagbabago, siyempre, ay tinutukoy ng mga detalye ng mga equation ng system.

Halimbawa 9

Solusyonan natin ang sistema

Bigyang-pansin natin ang kaliwang bahagi ng mga equation, halimbawa, saGamit ang mga formula ng pagbabawas, gumawa kami ng isang function mula dito gamit ang argumento π/4 + x. Nakukuha namin:Pagkatapos ang sistema ng mga equation ay may anyo:Upang alisin ang variable na x, i-multiply natin ang term ng equation sa pamamagitan ng term at makuha ang:o 1 \u003d kasalanan 3 2y, mula sa kung saan kasalanan 2y \u003d 1. Nakita namin At Maginhawang isaalang-alang nang hiwalay ang mga kaso ng pantay at kakaibang mga halaga n. Para sa kahit n (n = 2 k , kung saan k ∈ Z ) Pagkatapos mula sa unang equation ng sistemang ito nakukuha natin ang:kung saan m ∈ Z . Para sa kakaiba Pagkatapos mula sa unang equation mayroon kaming:Kaya ang sistemang ito ay may mga solusyon

Tulad ng sa kaso ng mga equation, medyo madalas mayroong mga sistema ng mga equation kung saan ang boundedness ng sine at cosine function ay gumaganap ng isang mahalagang papel.

Halimbawa 10

Lutasin natin ang sistema ng mga equation

Una sa lahat, binabago namin ang unang equation ng system:o o o o Isinasaalang-alang ang boundedness ng sine function, nakikita natin na ang kaliwang bahagi ng equation ay hindi mas mababa sa 2, at ang kanang bahagi ay hindi mas malaki kaysa sa 2. Samakatuwid, ang naturang equation ay katumbas ng mga kondisyon kasalanan 2 2x \u003d 1 at kasalanan 2 y \u003d 1.

Isinulat namin ang pangalawang equation ng system sa form kasalanan 2 y \u003d 1 - cos 2 z o kasalanan 2 y \u003d kasalanan 2 z, at pagkatapos ay kasalanan 2 z = 1. Nakakuha kami ng isang sistema ng mga simpleng trigonometric equationGamit ang formula ng pagbabawas ng kapangyarihan, isinusulat namin ang system sa formo Pagkatapos

Siyempre, kapag nilulutas ang iba pang mga sistema ng mga equation ng trigonometriko, kinakailangan ding bigyang-pansin ang mga tampok ng mga equation na ito.

Mag-download ng materyal

Tingnan ang nada-download na file para sa buong teksto.
Ang pahina ay naglalaman lamang ng isang fragment ng materyal.