Muli, ang Pythagorean triangle :))) Kung ang isang piraso ng malaking dayagonal mula sa malaking base hanggang sa intersection point ay tinutukoy ng x, pagkatapos ay mula sa halatang pagkakapareho ng mga right-angled triangle na may parehong mga anggulo na sumusunod. x / 64 = 36 / x, kaya x = 48; 48/64 = 3 / 4, kaya LAHAT ng tamang tatsulok na nabuo ng mga base, diagonal at isang gilid na patayo sa base ay katulad ng isang tatsulok na may mga gilid na 3,4,5. Ang tanging pagbubukod ay isang tatsulok na nabuo ng mga piraso ng diagonal at isang pahilig na gilid, ngunit hindi kami interesado dito :). (Para malinaw, ang pagkakatulad na pinag-uusapan ay ISA PANG PANGANGALAN na trigonometric function ng mga anggulo :) alam na natin ang tangent ng anggulo sa pagitan ng malaking dayagonal at ng malaking base, ito ay 3/4, kaya ang sine ay 3/5, at ang cosine ay 4 /5 :)) Magsulat ka agad

Mga sagot. Ang ibabang base ay 80, ang taas ng trapezoid ay magiging 60, at ang itaas ay magiging 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Mga kaugnay na gawain:

1. Ang base ng prism ay isang tatsulok, kung saan ang isang gilid ay 2 cm, at ang iba pang dalawa ay 3 cm bawat isa. Ang gilid ng gilid ay 4 cm at gumagawa ng isang anggulo na 45 sa base plane. Hanapin ang gilid ng isang pantay na kubo.

2. Ang base ng inclined prism ay isang equilateral triangle na may gilid a; ang isa sa mga gilid na mukha ay patayo sa eroplano ng base at isang rhombus na ang mas maliit na dayagonal ay c. Hanapin ang volume ng prisma.

3. Sa isang hilig na prisma, ang base ay isang tamang tatsulok, ang hypotenuse nito ay katumbas ng c, isang matinding anggulo ay 30, ang gilid ng gilid ay katumbas ng at gumagawa ng isang anggulo ng 60 sa base plane. Hanapin ang volume ng ang prisma.

1. Hanapin ang gilid ng isang parisukat kung ang dayagonal nito ay 10 cm

2. Sa isang isosceles trapezoid, ang obtuse angle ay 135 degrees mas mababa kaysa sa base ay 4 cm, at ang taas ay 2 cm hanapin ang lugar ng trapezoid?

3. Ang taas ng trapezoid ay 3 beses na higit sa isa sa mga base, ngunit kalahati ng isa. Hanapin ang mga base ng trapezoid at ang taas kung ang lugar ng trapezoid ay 168 cm squared?

4. Sa tatsulok na ABC, anggulo A = Sa anggulo = 75 degrees. Hanapin ang BC kung ang lugar ng isang tatsulok ay 36 cm squared.

1. Sa isang trapezoid ABCD na may mga gilid AB at CD, ang mga diagonal ay nagsalubong sa punto O

a) Paghambingin ang mga lugar ng mga tatsulok na ABD at ACD

b) Paghambingin ang mga lugar ng tatsulok na ABO at CDO

c) Patunayan na OA*OB=OC*OD

2. Ang base ng isang isosceles triangle ay nauugnay sa gilid bilang 4:3, at ang taas na iginuhit sa base ay 30 cm. Hanapin ang mga segment kung saan ang taas na ito ay hinati sa bisector ng anggulo sa base.

3. Line AM -tangent sa bilog, AB-chord ng bilog na ito. Patunayan na ang anggulo MAB ay sinusukat ng kalahati ng arc AB na matatagpuan sa loob ng anggulo MAB.

1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base
2. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng trapezoid at ang mga segment ng mga dayagonal hanggang sa punto ng kanilang intersection ay magkatulad
3. Ang mga tatsulok na nabuo ng mga segment ng mga diagonal ng isang trapezoid, ang mga gilid nito ay nasa gilid ng trapezoid - pantay na lugar (may parehong lugar)
4. Kung palawakin natin ang mga gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, pagkatapos ay magsa-intersect sila sa isang punto na may tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base.
5. Ang segment na nagkokonekta sa mga base ng trapezoid, at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, ay nahahati sa puntong ito sa isang proporsyon na katumbas ng ratio ng mga haba ng mga base ng trapezoid.
6. Ang isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at iginuhit sa pamamagitan ng intersection point ng mga diagonal ay nahahati sa puntong ito, at ang haba nito ay 2ab / (a ​​​​+ b), kung saan ang a at b ay ang mga base ng trapezoid

Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid

Ikonekta ang mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ABCD, bilang isang resulta kung saan magkakaroon tayo ng isang segment na LM.
Isang line segment na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid namamalagi sa midline ng trapezium.

Ang segment na ito parallel sa mga base ng trapezium.

Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base nito.

LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2

Mga katangian ng mga tatsulok na nabuo ng mga diagonal ng isang trapezoid

Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng trapezoid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid - ay pareho.
Ang mga tatsulok na BOC at AOD ay magkatulad. Dahil ang mga anggulo ng BOC at AOD ay patayo, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OCB at OAD ay panloob na crosswise na nakahiga sa parallel na linya AD at BC (ang mga base ng trapezium ay parallel sa isa't isa) at ang secant line AC, samakatuwid, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OBC at ODA ay pantay para sa parehong dahilan (internal cross-lying).

Dahil ang lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng mga katumbas na anggulo ng isa pang tatsulok, ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.

Ano ang kasunod nito?

Upang malutas ang mga problema sa geometry, ang pagkakatulad ng mga tatsulok ay ginagamit bilang mga sumusunod. Kung alam natin ang haba ng dalawang katumbas na elemento ng magkatulad na tatsulok, makikita natin ang koepisyent ng pagkakapareho (hinahati natin ang isa sa isa). Mula sa kung saan ang mga haba ng lahat ng iba pang mga elemento ay nauugnay sa bawat isa sa eksaktong parehong halaga.

Mga katangian ng mga tatsulok na nakahiga sa gilid ng gilid at mga dayagonal ng isang trapezoid

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na nakahiga sa mga gilid ng trapezoid AB at CD. Ito ay mga tatsulok na AOB at COD. Sa kabila ng katotohanan na ang mga sukat ng mga indibidwal na panig ng mga tatsulok na ito ay maaaring ganap na naiiba, ngunit ang mga lugar ng mga tatsulok na nabuo ng mga gilid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay, ibig sabihin, ang mga tatsulok ay pantay.

Kung ang mga gilid ng trapezoid ay pinalawak patungo sa mas maliit na base, kung gayon ang punto ng intersection ng mga gilid ay magiging nag-tutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base.

Kaya, ang anumang trapezoid ay maaaring pahabain sa isang tatsulok. kung saan:

• Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng isang trapezoid na may isang karaniwang vertex sa punto ng intersection ng mga pinahabang panig ay magkatulad
• Ang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid ay, sa parehong oras, ang median ng constructed triangle

Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit ka ng isang segment na ang mga dulo ay namamalagi sa mga base ng trapezoid, na namamalagi sa intersection point ng mga diagonal ng trapezoid (KN), kung gayon ang ratio ng mga constituent segment nito mula sa gilid ng base hanggang sa intersection point ng diagonal (KO / ON) ay magiging katumbas ng ratio ng mga base ng trapezoid(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

Ang pag-aari na ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga katumbas na tatsulok (tingnan sa itaas).

Mga katangian ng isang segment na kahanay sa mga base ng isang trapezoid

Kung gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, magkakaroon ito ng mga sumusunod na katangian:

• Preset na distansya (KM) hinahati ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid
• Haba ng hiwa, na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at kahanay sa mga base, ay katumbas ng KM = 2ab/(a + b)

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid

a, b- mga base ng isang trapezoid

c, d- mga gilid ng trapezoid

d1 d2- mga diagonal ng isang trapezoid

α β - mga anggulo na may mas malaking base ng trapezoid

Mga formula para sa paghahanap ng mga dayagonal ng isang trapezoid sa pamamagitan ng mga base, gilid at anggulo sa base

Ang unang pangkat ng mga formula (1-3) ay sumasalamin sa isa sa mga pangunahing katangian ng trapezoid diagonal:

1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid at dalawang beses ang produkto ng mga base nito. Ang pag-aari na ito ng mga diagonal ng isang trapezoid ay maaaring patunayan bilang isang hiwalay na teorama

2 . Ang formula na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabago ng nakaraang formula. Ang parisukat ng pangalawang dayagonal ay itinapon sa ibabaw ng pantay na tanda, pagkatapos kung saan ang square root ay nakuha mula sa kaliwa at kanang bahagi ng expression.

3 . Ang formula na ito para sa paghahanap ng haba ng dayagonal ng isang trapezoid ay katulad ng nauna, na may pagkakaiba na ang isa pang dayagonal ay naiwan sa kaliwang bahagi ng expression.

Ang susunod na pangkat ng mga formula (4-5) ay magkatulad sa kahulugan at nagpapahayag ng magkatulad na relasyon.

Ang pangkat ng mga formula (6-7) ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang dayagonal ng isang trapezoid kung alam mo ang mas malaking base ng trapezoid, isang gilid at ang anggulo sa base.

Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid sa mga tuntunin ng taas

Tandaan. Sa araling ito, ibinigay ang solusyon ng mga problema sa geometry tungkol sa mga trapezoid. Kung hindi ka nakahanap ng solusyon sa problema sa geometry ng uri na interesado ka - magtanong sa forum.

Isang gawain.
Ang mga dayagonal ng trapezoid ABCD (AD | | BC) ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng base BC ng trapezoid kung ang base AD = 24 cm, haba AO = 9 cm, haba OS = 6 cm.

Solusyon.
Ang solusyon ng gawaing ito ay ganap na magkapareho sa mga naunang gawain sa mga tuntunin ng ideolohiya.

Ang mga tatsulok AOD at BOC ay magkatulad sa tatlong anggulo - AOD at BOC ay patayo, at ang natitirang mga anggulo ay magkapares na magkapareho, dahil ang mga ito ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng isang linya at dalawang parallel na linya.

Dahil ang mga tatsulok ay magkatulad, ang lahat ng kanilang mga geometric na sukat ay nauugnay sa isa't isa, dahil ang mga geometric na sukat ng mga segment na AO at OC ay kilala sa amin ayon sa kondisyon ng problema. Yan ay

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Sagot: 16 cm

Isang gawain.
Sa trapezoid ABCD alam na AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Hanapin ang lugar ng trapezoid.

Solusyon .
Upang mahanap ang taas ng isang trapezoid mula sa mga vertices ng mas maliit na base B at C, ibababa namin ang dalawang taas sa mas malaking base. Dahil ang trapezoid ay hindi pantay, tinutukoy namin ang haba AM = a, ang haba KD = b ( hindi dapat malito sa mga simbolo sa formula paghahanap ng lugar ng isang trapezoid). Dahil ang mga base ng trapezoid ay parallel at tinanggal namin ang dalawang taas na patayo sa mas malaking base, kung gayon ang MBCK ay isang rektanggulo.

ibig sabihin
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Ang mga tatsulok na DBM at ACK ay right-angled, kaya ang kanilang mga tamang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng taas ng trapezoid. Tukuyin natin ang taas ng trapezoid bilang h. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng Pythagorean theorem

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
at
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Isaalang-alang na a \u003d 16 - b, pagkatapos ay sa unang equation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Palitan ang halaga ng parisukat ng taas sa pangalawang equation, na nakuha ng Pythagorean Theorem. Nakukuha namin:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Kaya, KD = 12
saan
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Hanapin ang lugar ng isang trapezoid gamit ang taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base
, kung saan a b - ang mga base ng trapezoid, h - ang taas ng trapezoid
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Sagot: ang lugar ng isang trapezoid ay 80 cm2.

Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, ang sumusunod na teoretikal na materyal ay magiging kapaki-pakinabang sa paglutas ng problema.

1. Kung ang mga dayagonal ay patayo sa isang isosceles na trapezoid, ang taas ng trapezoid ay kalahati ng kabuuan ng mga base.

Gumuhit tayo ng linyang CF hanggang sa punto C na kahanay ng BD at pahabain ang linya AD hanggang sa mag-intersect ito sa CF.

Ang Quadrilateral BCFD ay isang parallelogram (BC∥ DF bilang base ng isang trapezoid, BD∥ CF sa pamamagitan ng pagbuo). Kaya CF=BD, DF=BC at AF=AD+BC.

Ang Triangle ACF ay right-angled (kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang parallel na linya, kung gayon ito ay patayo din sa kabilang linya). Dahil ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay pantay, at CF=BD, pagkatapos ay CF=AC, iyon ay, triangle ACF ay isosceles na may base AF. Kaya naman, ang taas nitong CN ay ang median din. At dahil ang median ng isang tamang tatsulok na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati nito, kung gayon

na maaaring isulat sa pangkalahatan bilang

kung saan ang h ay ang taas ng trapezoid, a at b ang mga base nito.

2. Kung sa isang isosceles trapezoid ang mga diagonal ay patayo, kung gayon ang taas nito ay katumbas ng midline.

Dahil ang midline ng trapezoid m ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base, kung gayon

3. Kung ang mga diagonal ay patayo sa isang isosceles trapezoid, kung gayon ang lugar ng trapezoid ay katumbas ng parisukat ng taas ng trapezoid (o ang parisukat ng kalahating kabuuan ng mga base, o ang parisukat ng midline ).

Dahil ang lugar ng isang trapezoid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

at ang taas, kalahati ng kabuuan ng mga base at ang midline ng isang isosceles trapezoid na may mga patayong diagonal ay katumbas ng bawat isa:

4. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon ang parisukat ng dayagonal nito ay katumbas ng kalahati ng parisukat ng kabuuan ng mga base, pati na rin ang dalawang beses ang parisukat ng taas at dalawang beses ang parisukat ng midline.

Dahil ang lugar ng isang convex quadrilateral ay matatagpuan sa pamamagitan ng mga diagonal nito at ang anggulo sa pagitan ng mga ito gamit ang formula