tuloy-tuloy na channel

Ang mga channel, kapag ang isang tuluy-tuloy na signal ay natanggap sa input kung saan, sa output nito, ang signal ay magiging tuluy-tuloy din, ay tinatawag na tuloy-tuloy. Palagi silang bahagi ng isang discrete channel. Ang mga tuluy-tuloy na channel ay, halimbawa, mga karaniwang channel ng komunikasyon sa telepono (mga channel ng dalas ng boses - FC) na may bandwidth na 0.3 ... 3.4 kHz, karaniwang mga channel ng broadband na may bandwidth na 60 ... 108 kHz, mga pisikal na circuit, atbp. Ang channel modelo ay maaaring kinakatawan sa anyo ng isang linear quadripole (Larawan 3.4)

Figure 3.4 - Modelo ng isang linear na tuloy-tuloy na channel

Discrete na channel

Upang itugma ang encoder at decoder ng channel sa isang tuluy-tuloy na channel ng komunikasyon, ginagamit ang mga signal conversion device (SCD), na naka-on sa panahon ng paghahatid at pagtanggap. Sa isang partikular na kaso, ito ay isang modulator at isang demodulator. Kasama ang form ng UPS ng channel ng komunikasyon discrete channel (DC), ibig sabihin. isang channel na idinisenyo upang magpadala lamang ng mga discrete signal.

Ang isang discrete channel ay nailalarawan sa pamamagitan ng rate ng paglilipat ng impormasyon, na sinusukat sa bits per second (bps). Ang isa pang katangian ng isang discrete channel ay ang modulation rate, na sinusukat sa baud. Natutukoy ito sa bilang ng mga elemento na inililipat bawat segundo.

Binary na balanseng channel . Binary na balanseng channel(binary symmetric channel - BSC) ay isang espesyal na kaso ng isang discrete memoryless channel na ang input at output na mga alphabet ay binubuo ng mga binary na elemento (0 at I). Ang mga kondisyong probabilidad ay simetriko.

Ang equation (3.6) ay nagpapahayag ng tinatawag na mga posibilidad ng paglipat.

Mga modelo ng Markov ng DC. Ang mga estado ng channel ay maaaring makilala sa pamamagitan ng posibilidad ng error sa bawat isa sa mga estado. Ang mga pagbabago sa posibilidad ng error ay maaaring, sa turn, ay nauugnay sa mga pisikal na sanhi - ang hitsura ng mga pagkagambala, ingay ng salpok, pagkupas, atbp. Ang sequence ng estado ay isang simpleng Markov chain. Ang isang simpleng Markov chain ay isang random na pagkakasunud-sunod ng mga estado kapag ang posibilidad ng isang partikular na estado ay nasa ako- ang puntong iyon sa oras ay ganap na tinutukoy ng estado c i-1 sa ( ako- 1) ika nga sandali. Ang katumbas na circuit ng naturang channel ay ipinapakita sa Figure 3.5.

Figure 3.5 - Katumbas na circuit ng isang discrete symmetrical channel kapag inilarawan ng isang modelo batay sa Markov chain

Modelo ni Hilbert. Ang pinakasimpleng modelo batay sa paggamit ng mathematical apparatus ng Markov chain ay ang error source model na iminungkahi ni Hilbert. Ayon sa modelong ito, ang channel ay maaaring nasa dalawang estado - mabuti (estado 1) at masama (estado 2). Ang unang estado ay nailalarawan sa pamamagitan ng kawalan ng mga pagkakamali. Sa pangalawang estado, lumilitaw ang mga error na may posibilidad na p osh (2) .

Panghihimasok sa mga channel ng komunikasyon

Sa isang tunay na channel, ang signal ay nasira sa panahon ng paghahatid, at ang mensahe ay muling ginawa nang may ilang error. Ang sanhi ng naturang mga error ay ang pagbaluktot na ipinakilala ng channel mismo at ang ingay na nakakaapekto sa signal. Ang mga pagbaluktot ay dapat na malinaw na ihiwalay sa mga panghihimasok ng random na kalikasan. Ang interference ay hindi alam nang maaga at samakatuwid ay hindi maaaring ganap na maalis.

Sa ilalim hadlang ay tumutukoy sa anumang epekto na nakapatong sa kapaki-pakinabang na signal at nagpapahirap sa pagtanggap nito. Ang mga interference ay magkakaiba sa kanilang pinanggalingan: thunderstorms, interference mula sa mga de-kuryenteng sasakyan, electric motors, engine ignition system, atbp.

Sa halos anumang saklaw ng dalas, may mga panloob na ingay ng kagamitan dahil sa magulong paggalaw ng mga carrier ng singil sa mga aparatong nagpapalakas, ang tinatawag na thermal noise.

Pag-uuri ng pagkagambala. Harmonic interference- ay isang narrowband modulated signal. Ang mga dahilan para sa paglitaw ng naturang pagkagambala ay ang pagbawas ng crosstalk attenuation sa pagitan ng mga cable circuit, ang impluwensya ng mga istasyon ng radyo. Impulse interference ay mga interference na puro sa oras. Ang mga ito ay isang random na pagkakasunud-sunod ng mga pulso na may mga random na agwat ng oras, at ang mga lumilipas na sanhi ng mga ito ay hindi nagsasapawan sa oras.

Ang mga pahayag ng mga pangunahing theorems at katangian ng mga numerical sequence na may mga limitasyon ay ibinigay. Naglalaman ng kahulugan ng isang sequence at limitasyon nito. Isinasaalang-alang ang mga operasyong aritmetika na may mga pagkakasunud-sunod, mga katangiang nauugnay sa mga hindi pagkakapantay-pantay, pamantayan ng convergence, mga katangian ng walang katapusang maliit at walang katapusang malalaking sequence.

Nilalaman

Mga katangian ng may hangganang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod

Mga pangunahing katangian

Ang isang punto a ay ang limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod kung at kung sa labas lamang ng anumang kapitbahayan ng puntong ito ay may hangganan na bilang ng mga elemento mga sequence o ang walang laman na set.

Kung ang numero a ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod , kung gayon mayroong kapitbahayan ng puntong a , sa labas kung saan mayroong walang katapusang bilang ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod.

Uniqueness theorem para sa limitasyon ng isang number sequence. Kung ang isang sequence ay may limitasyon, ito ay natatangi.

Kung ang isang sequence ay may hangganan na limitasyon, kung gayon ito limitado.

Kung ang bawat elemento ng sequence ay katumbas ng parehong numero C : , kung gayon ang sequence na ito ay may limitasyon na katumbas ng bilang C .

Kung ang pagkakasunod-sunod magdagdag, mag-drop o baguhin ang unang m elemento, kung gayon hindi ito makakaapekto sa convergence nito.

Mga patunay ng mga pangunahing katangian ibinigay sa pahina
Mga pangunahing katangian ng may hangganang limitasyon ng mga sequence >>>.

Arithmetic na may mga limitasyon

Hayaang magkaroon ng may hangganang limitasyon at pagkakasunud-sunod at . At hayaang ang C ay isang pare-pareho, iyon ay, isang ibinigay na numero. Pagkatapos
;
;
;
, kung .
Sa kaso ng quotient, ipinapalagay na para sa lahat n .

Kung , kung gayon .

Mga patunay ng arithmetic na ari-arian ibinigay sa pahina
Arithmetic properties ng may hangganang limitasyon ng sequence >>>.

Mga katangiang nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay

Kung ang mga elemento ng sequence, simula sa ilang numero, ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay , kung gayon ang limitasyon a ng sequence na ito ay natutugunan din ang hindi pagkakapantay-pantay .

Kung ang mga elemento ng sequence, simula sa ilang numero, ay nabibilang sa isang closed interval (segment) , kung gayon ang limit a ay kabilang din sa interval na ito: .

Kung ang at at ang mga elemento ng mga pagkakasunud-sunod, simula sa ilang numero, ay natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay , kung gayon .

Kung at, simula sa ilang numero, , pagkatapos .
Sa partikular, kung, simula sa ilang numero, , pagkatapos
kung , kung gayon ;
kung , kung gayon .

Kung at , kung gayon .

Hayaan at . Kung ang < b , pagkatapos ay mayroong isang natural na bilang N tulad na para sa lahat ng n > N nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay.

Mga patunay ng mga ari-arian na may kaugnayan sa hindi pagkakapantay-pantay ibinigay sa pahina
Mga katangian ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod na nauugnay sa mga hindi pagkakapantay-pantay >>>.

Infinitesimal at infinitesimal sequence

Infinitesimal na pagkakasunud-sunod

Ang infinitesimal sequence ay isang sequence na ang limitasyon ay zero:
.

Kabuuan at Pagkakaiba ang may hangganang bilang ng mga infinitesimal na sequence ay isang infinitesimal na sequence.

Produkto ng bounded sequence sa isang infinitesimal ay isang infinitesimal sequence.

Produkto ng isang may hangganang numero ang infinitesimal sequence ay isang infinitesimal na sequence.

Para sa isang sequence na magkaroon ng limitasyon a , ito ay kinakailangan at sapat na , kung saan ay isang infinitesimal sequence.

Mga patunay ng mga katangian ng infinitesimal sequence ibinigay sa pahina
Infinitesimal sequence - kahulugan at mga katangian >>>.

Walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod

Ang infinitely large sequence ay isang sequence na may infinitely large limit. Iyon ay, kung para sa anumang positibong numero mayroong isang natural na bilang N , depende sa , na para sa lahat ng natural na numero ang hindi pagkakapantay-pantay
.
Sa kasong ito, sumulat
.
O sa .
Sabi nila, it tends to infinity.

Kung , simula sa ilang numero N , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Kung ang mga sequence ay walang hanggan malaki, pagkatapos ay simula sa ilang numero N , isang sequence ay tinukoy na walang hanggan maliit. Kung isang infinitesimal na sequence na may non-zero elements, kung gayon ang sequence ay walang katapusan na malaki.

Kung ang sequence ay walang hanggan malaki at ang sequence ay may hangganan, kung gayon
.

Kung ang mga ganap na halaga ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod ay nililimitahan mula sa ibaba ng isang positibong numero (), at walang katapusan na maliit na may mga hindi zero na elemento, kung gayon
.

Sa mga detalye kahulugan ng isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod na may mga halimbawa ibinigay sa pahina
Kahulugan ng isang walang katapusang malaking pagkakasunod-sunod >>>.
Mga patunay para sa mga katangian ng walang katapusang malalaking pagkakasunud-sunod ibinigay sa pahina
Mga katangian ng walang katapusang malalaking sequence >>>.

Pamantayan ng Pagkakasunod-sunod ng Convergence

Mga monotonikong sequence

Ang isang mahigpit na pagtaas ng pagkakasunud-sunod ay isang pagkakasunud-sunod para sa lahat ng mga elemento kung saan ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
.

Ang mga katulad na hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa iba pang mga monotone na pagkakasunud-sunod.

Mahigpit na nagpapababa ng pagkakasunud-sunod:
.
Hindi bumababa na pagkakasunud-sunod:
.
Hindi tumataas na pagkakasunud-sunod:
.

Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng pagkakasunod-sunod ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagbaba ng pagkakasunod-sunod ay hindi rin tumataas.

Ang monotonic sequence ay isang hindi bumababa o hindi tumataas na sequence.

Ang isang monotonic sequence ay nililimitahan sa kahit isang gilid man lang ng . Ang isang hindi bumababa na sequence ay nililimitahan mula sa ibaba: . Ang isang hindi tumataas na sequence ay nililimitahan mula sa itaas: .

Teorama ng Weierstrass. Upang ang isang hindi bumababa (hindi tumataas) na pagkakasunod-sunod ay magkaroon ng isang may hangganang limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na ito ay nakatali mula sa itaas (mula sa ibaba). Narito ang M ay ilang numero.

Dahil ang anumang hindi bumababa (hindi tumataas) na pagkakasunod-sunod ay nililimitahan mula sa ibaba (mula sa itaas), ang Weierstrass theorem ay maaaring i-rephrase tulad ng sumusunod:

Para magkaroon ng may hangganang limitasyon ang isang monotone sequence, kinakailangan at sapat na ito ay may hangganan: .

Monotonic unbounded sequence ay may walang katapusang limitasyon, katumbas ng hindi bumababa at hindi tumataas na pagkakasunud-sunod.

Patunay ng Weierstrass theorem ibinigay sa pahina
Weierstrass' theorem sa limitasyon ng isang monotone sequence >>>.

Cauchy criterion para sa sequence convergence

Cauchy na kondisyon
Ang pagkakapare-pareho ay nasiyahan Cauchy na kondisyon, kung para sa alinman ay mayroong isang natural na bilang na para sa lahat ng mga natural na numero n at m na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon, ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Ang pangunahing sequence ay isang sequence na nakakatugon ang kalagayan ng Cauchy.

Cauchy criterion para sa sequence convergence. Para magkaroon ng hangganan ang isang sequence, kinakailangan at sapat na matugunan nito ang kondisyon ng Cauchy.

Patunay ng Cauchy Convergence Criterion ibinigay sa pahina
Cauchy criterion para sa sequence convergence >>>.

Mga kasunod

Teorama ng Bolzano-Weierstrass. Mula sa anumang bounded sequence, maaaring makilala ang isang convergent subsequence. At mula sa anumang walang limitasyong pagkakasunod-sunod - isang walang katapusang malaking kasunod na nagtatagpo sa o sa .

Patunay ng Bolzano-Weierstrass theorem ibinigay sa pahina
Bolzano–Weierstrass theorem >>>.

Ang mga kahulugan, teorema, at katangian ng mga kasunod at bahagyang limitasyon ay tinatalakay sa pahina
Mga kasunod at bahagyang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod >>>.

Mga sanggunian:
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
V.A. Zorich. Pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Mga batayan ng pagsusuri sa matematika. Bahagi 1. Moscow, 2005.

Tingnan din:

Kahulugan ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod at pag-andar, mga katangian ng mga limitasyon, una at pangalawang kapansin-pansin na mga limitasyon, mga halimbawa.

pare-parehong numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n) kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numero ε > 0 mayroong isang numerong N upang ang lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

Isulat ito bilang sumusunod: o x n → a.

Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, simula sa ilang numero n>N, nakahiga sa loob ng pagitan (a-ε , a+ε), i.e. mahulog sa anumang maliit na ε-kapitbahayan ng punto a.

Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - divergent.

Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng function x n = f(n) ng isang integer argument n.

Hayaang maibigay ang isang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng mga punto ng set D(f) naiiba mula sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f).

Kahulugan 1. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→ a kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A.

Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.

Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung, bibigyan ng arbitrary, arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang δ >0 (depende sa ε) para sa lahat x, nakahiga sa ε-kapitbahayan ng numero a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wikang ε - δ"

Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x → a ay may limitasyon katumbas ng A, ito ay nakasulat bilang

Kung sakaling ang sequence (f(x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang:

Ang isang variable (i.e. isang sequence o function) na ang limitasyon ay zero ay tinatawag walang katapusang maliit.

Ang isang variable na ang limitasyon ay katumbas ng infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.

Upang mahanap ang limitasyon sa pagsasanay, gamitin ang mga sumusunod na theorems.

Teorama 1 . Kung ang bawat limitasyon ay umiiral

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Magkomento. Ang mga expression ng form na 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang infinitesimal o infinitely large quantities, at ang paghahanap ng limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na “uncertainty disclosure”.

Teorama 2.

mga. posible na pumasa sa limitasyon sa base ng antas sa isang pare-parehong exponent, sa partikular,

Teorama 3.

(6.11)

saan e» Ang 2.7 ay ang batayan ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na unang kapansin-pansing limitasyon at ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon.

Ang mga corollaries ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

sa partikular ang limitasyon

Kung x → a at sa parehong oras x > a, pagkatapos ay isulat ang x →a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, pagkatapos ay isulat ang +0 sa halip na ang simbolo na 0+0. Katulad nito, kung x→a at sa parehong oras x at pinangalanan nang naaayon. tamang limitasyon at kaliwang limitasyon mga function f(x) sa punto a. Para umiral ang limitasyon ng function na f(x) bilang x→ a, kinakailangan at sapat na iyon . Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limitasyon

(6.15)

Ang kundisyon (6.15) ay maaaring isulat muli bilang:

iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.

Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) Mayroon itong gap. Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang puntong x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinman sa mga kapitbahayan nito, ibig sabihin,, anumang bukas na agwat na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D(f), ngunit hindi ito kabilang sa set na ito. Ang value na f(x o)= f(0) ay hindi tinukoy, kaya ang function ay may discontinuity sa puntong x o = 0.

Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa isang punto x o kung limitasyon

at tuloy-tuloy sa kaliwa sa isang punto x o kung limitasyon

Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.

Para sa isang function na maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganang limitasyon , at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng gap ang function.

1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f(x o), pagkatapos ay sinasabi nila iyon function f(x) sa punto mayroon si xo break ng unang uri, o tumalon.

2. Kung ang limitasyon ay +∞ o -∞ o wala, pagkatapos ay sinasabi nila na sa punto x o may pahinga ang function pangalawang uri.

Halimbawa, ang function na y = ctg x bilang x → +0 ay may limitasyon na katumbas ng +∞ , na nangangahulugan na sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump.

Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy sa . Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve.

Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng isang radioactive substance, ang pagdami ng bacteria, atbp.

Isipin mo halimbawa ng Ya. I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan . Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginagawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaang maglagay ang bangko ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera na may interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, sa oras na ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 den. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon 100 den. mga yunit lalago ng 100 × 1.5 = 150, at sa isa pang anim na buwan - ng 150 × 1.5 = 225 (mga yunit ng pera). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit magiging 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. units). Dadagdagan namin ang timeframe para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, 0.01 taon, 0.001 taon, at iba pa. Tapos sa 100 den. mga yunit makalipas ang isang taon:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. units),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. units),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. units).

Sa walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng pagsali sa interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katiyakan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilagay sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo dahil ang limitasyon

Halimbawa 3.1. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang pagkakasunod-sunod na x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1.

Solusyon. Kailangan nating patunayan na kahit anong ε > 0 ang kunin natin, mayroong natural na bilang N para dito, para sa lahat n > N ang hindi pagkakapantay-pantay |x n -1|< ε

Kunin ang anumang ε > 0. Dahil x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pagkatapos ay upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n<ε. Отсюда n>1/ε at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang integer na bahagi ng 1/ε N = E(1/ε). Sa gayon ay napatunayan namin na ang limitasyon .

Halimbawa 3.2. Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino .

Solusyon. Ilapat ang limit sum theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Bilang n → ∞, ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna kami x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit theorem at ang sum limit theorem, makikita natin:

Halimbawa 3.3. . Hanapin ang .

Solusyon.

Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base.

Halimbawa 3.4. Hanapin ( ).

Solusyon. Imposibleng ilapat ang difference limit theorem, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa form na ∞-∞. Ibahin natin ang pormula ng pangkalahatang termino:

Halimbawa 3.5. Given a function f(x)=2 1/x . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon. Ginagamit namin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence ( x n ) converging to 0, i.e. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon Pumili tayo ngayon bilang x n isang pagkakasunud-sunod na may karaniwang termino x n = -1/n, na umaabot din sa zero. Samakatuwid, walang limitasyon.

Halimbawa 3.6. Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon. Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan
. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n ) para sa iba't ibang x n → ∞

Kung x n \u003d p n, pagkatapos ay kasalanan x n \u003d kasalanan (p n) = 0 para sa lahat n at limitahan Kung
xn=2 p n+ p /2, pagkatapos sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya hindi umiiral.

Ang matematika ay ang agham na bumubuo sa mundo. Parehong siyentipiko at karaniwang tao - walang makakagawa kung wala ito. Una, ang mga maliliit na bata ay tinuturuan na magbilang, pagkatapos ay idagdag, ibawas, i-multiply at hatiin, sa gitnang paaralan, ang mga pagtatalaga ng titik ay naglaro, at sa mas nakatatanda ay hindi na sila maaalis.

Ngunit ngayon ay pag-uusapan natin kung ano ang batayan ng lahat ng kilalang matematika. Tungkol sa komunidad ng mga numero na tinatawag na "mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod".

Ano ang mga sequence at nasaan ang kanilang limitasyon?

Ang kahulugan ng salitang "sequence" ay hindi mahirap bigyang kahulugan. Ito ay tulad ng isang konstruksiyon ng mga bagay, kung saan ang isang tao o isang bagay ay matatagpuan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod o pila. Halimbawa, ang pila para sa mga tiket sa zoo ay isang pagkakasunod-sunod. At maaari lamang magkaroon ng isa! Kung, halimbawa, titingnan mo ang pila sa tindahan, ito ay isang sequence. At kung ang isang tao ay biglang umalis sa pila na ito, kung gayon ito ay ibang pila, ibang pagkakasunud-sunod.

Ang salitang "limitasyon" ay madaling bigyang-kahulugan - ito ang katapusan ng isang bagay. Gayunpaman, sa matematika, ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay ang mga halaga sa linya ng numero kung saan ang pagkakasunud-sunod ng mga numero. Bakit nagsusumikap at hindi nagtatapos? Ito ay simple, ang linya ng numero ay walang katapusan, at karamihan sa mga sequence, tulad ng mga ray, ay may simula lamang at ganito ang hitsura:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Samakatuwid ang kahulugan ng isang sequence ay isang function ng natural na argumento. Sa mas simpleng salita, ito ay isang serye ng mga miyembro ng ilang set.

Paano nabuo ang isang pagkakasunud-sunod ng numero?

Ang pinakasimpleng halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero ay maaaring ganito: 1, 2, 3, 4, …n…

Sa karamihan ng mga kaso, para sa mga praktikal na layunin, ang mga pagkakasunud-sunod ay binuo mula sa mga numero, at bawat susunod na miyembro ng serye, sabihin natin ito sa pamamagitan ng X, ay may sariling pangalan. Halimbawa:

x 1 - ang unang miyembro ng sequence;

x 2 - ang pangalawang miyembro ng sequence;

x 3 - ang ikatlong miyembro;

x n ay ang ika-na miyembro.

Sa mga praktikal na pamamaraan, ang pagkakasunod-sunod ay ibinibigay ng isang pangkalahatang formula kung saan mayroong ilang variable. Halimbawa:

X n \u003d 3n, kung gayon ang mga serye ng mga numero mismo ay magiging ganito:

Ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa pangkalahatang notasyon ng mga pagkakasunud-sunod, maaari mong gamitin ang anumang mga Latin na titik, at hindi lamang X. Halimbawa: y, z, k, atbp.

Arithmetic progression bilang bahagi ng mga sequence

Bago hanapin ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ipinapayong suriin nang mas malalim ang mismong konsepto ng naturang serye ng numero, na naranasan ng lahat noong sila ay nasa gitnang klase. Ang arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga katabing termino ay pare-pareho.

Gawain: "Hayaan ang isang 1 \u003d 15, at ang hakbang ng pag-unlad ng serye ng numero d \u003d 4. Buuin ang unang 4 na miyembro ng row na ito"

Solusyon: a 1 = 15 (ayon sa kundisyon) ay ang unang miyembro ng progression (serye ng numero).

at 2 = 15+4=19 ang pangalawang miyembro ng progression.

at 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 ang ikatlong termino.

at 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 ang pang-apat na termino.

Gayunpaman, sa pamamaraang ito ay mahirap maabot ang malalaking halaga, halimbawa, hanggang sa isang 125. . Lalo na para sa mga ganitong kaso, ang isang formula na maginhawa para sa pagsasanay ay nakuha: a n \u003d a 1 + d (n-1). Sa kasong ito, isang 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Mga uri ng pagkakasunud-sunod

Karamihan sa mga pagkakasunud-sunod ay walang katapusang, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa buong buhay. Mayroong dalawang kawili-wiling uri ng serye ng numero. Ang una ay ibinigay ng formula a n =(-1) n . Madalas na tinutukoy ng mga mathematician ang mga sequence ng flasher na ito. Bakit? Suriin natin ang mga numero nito.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, atbp. Sa halimbawang ito, nagiging malinaw na ang mga numero sa pagkakasunud-sunod ay madaling maulit.

factorial sequence. Madaling hulaan na mayroong factorial sa formula na tumutukoy sa sequence. Halimbawa: at n = (n+1)!

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ay magiging ganito:

at 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

at 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, atbp.

Ang isang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng isang pag-unlad ng aritmetika ay tinatawag na walang katapusang pagbaba kung ang hindi pagkakapantay-pantay -1 ay naobserbahan para sa lahat ng mga miyembro nito

at 3 \u003d - 1/8, atbp.

Mayroong kahit isang sequence na binubuo ng parehong numero. Kaya, at n \u003d 6 ay binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga anim.

Pagtukoy sa Limitasyon ng isang Sequence

Matagal nang umiral ang mga sequence limit sa matematika. Siyempre, karapat-dapat sila sa kanilang sariling karampatang disenyo. Kaya, oras na upang matutunan ang kahulugan ng mga limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Una, isaalang-alang ang limitasyon para sa isang linear function nang detalyado:

1. Ang lahat ng limitasyon ay dinaglat bilang lim.
2. Ang pagpasok ng limitasyon ay binubuo ng abbreviation lim, ang ilang variable na tumutukoy sa isang tiyak na numero, zero o infinity, pati na rin ang mismong function.

Madaling maunawaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ito ay isang tiyak na numero, kung saan ang lahat ng mga miyembro ng pagkakasunud-sunod ay walang katapusan na lumalapit. Simpleng halimbawa: at x = 4x+1. Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod mismo ay magiging ganito.

5, 9, 13, 17, 21…x...

Kaya, ang sequence na ito ay tataas nang walang katiyakan, na nangangahulugan na ang limitasyon nito ay katumbas ng infinity bilang x→∞, at dapat itong isulat bilang sumusunod:

Kung kukuha tayo ng katulad na pagkakasunud-sunod, ngunit ang x ay may posibilidad na 1, makakakuha tayo ng:

At ang serye ng mga numero ay magiging ganito: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, atbp. Sa bawat oras na kailangan mong palitan ang numero nang higit pa at mas malapit sa isa (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Makikita mula sa seryeng ito na ang limitasyon ng function ay lima.

Mula sa bahaging ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala kung ano ang limitasyon ng isang numerical sequence, ang kahulugan at pamamaraan para sa paglutas ng mga simpleng gawain.

Pangkalahatang notasyon para sa limitasyon ng mga sequence

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa limitasyon ng numerical sequence, ang kahulugan nito at mga halimbawa, maaari tayong magpatuloy sa isang mas kumplikadong paksa. Ganap na lahat ng mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay maaaring buuin ng isang pormula, na karaniwang sinusuri sa unang semestre.

Kaya, ano ang ibig sabihin ng set ng mga titik, module at hindi pagkakapantay-pantay na ito?

Ang ∀ ay isang unibersal na quantifier, na pinapalitan ang mga pariralang "para sa lahat", "para sa lahat", atbp.

Ang ∃ ay isang existant quantifier, sa kasong ito, nangangahulugan ito na mayroong ilang value N na kabilang sa set ng mga natural na numero.

Ang isang mahabang vertical stick na sumusunod sa N ay nangangahulugan na ang ibinigay na set N ay "ganyan". Sa pagsasagawa, maaari itong mangahulugan ng "ganyan", "ganyan", atbp.

Upang pagsama-samahin ang materyal, basahin nang malakas ang formula.

Kawalang-katiyakan at katiyakan ng limitasyon

Ang paraan ng paghahanap ng limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, na tinalakay sa itaas, bagama't simpleng gamitin, ay hindi masyadong makatwiran sa pagsasanay. Subukang hanapin ang limitasyon para sa function na ito:

Kung papalitan natin ang iba't ibang mga halaga ng x (tumataas sa bawat oras: 10, 100, 1000, atbp.), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ∞ sa numerator, ngunit ∞ din sa denominator. Ito ay lumalabas na isang medyo kakaibang bahagi:

Pero ganun ba talaga? Ang pagkalkula ng limitasyon ng numerical sequence sa kasong ito ay tila madaling sapat. Posibleng iwanan ang lahat ng ito, dahil handa na ang sagot, at natanggap ito sa mga makatwirang termino, ngunit may isa pang paraan partikular para sa mga ganitong kaso.

Una, hanapin natin ang pinakamataas na antas sa numerator ng fraction - ito ay 1, dahil ang x ay maaaring katawanin bilang x 1.

Ngayon hanapin natin ang pinakamataas na antas sa denominator. Gayundin 1.

Hatiin ang numerator at ang denominator ng variable sa pinakamataas na antas. Sa kasong ito, hinati namin ang fraction sa x 1.

Susunod, hanapin natin kung ano ang halaga ng bawat terminong naglalaman ng variable. Sa kasong ito, ang mga fraction ay isinasaalang-alang. Bilang x→∞, ang halaga ng bawat isa sa mga fraction ay may posibilidad na zero. Kapag gumagawa ng isang papel sa pagsulat, ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng mga sumusunod na footnote:

Ang sumusunod na expression ay nakuha:

Siyempre, ang mga fraction na naglalaman ng x ay hindi naging mga zero! Ngunit ang kanilang halaga ay napakaliit na medyo pinahihintulutan na huwag isaalang-alang ito sa mga kalkulasyon. Sa katunayan, ang x ay hindi kailanman magiging katumbas ng 0 sa kasong ito, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ano ang kapitbahayan?

Ipagpalagay natin na ang propesor ay may sa kanyang pagtatapon ng isang kumplikadong pagkakasunud-sunod, na ibinigay, malinaw naman, sa pamamagitan ng isang hindi gaanong kumplikadong formula. Nahanap ng propesor ang sagot, ngunit kasya ba ito? Pagkatapos ng lahat, lahat ng tao ay nagkakamali.

Gumawa si Auguste Cauchy ng isang mahusay na paraan upang patunayan ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod. Ang kanyang pamamaraan ay tinatawag na operasyon ng kapitbahayan.

Ipagpalagay na mayroong ilang punto a, ang kapitbahayan nito sa magkabilang direksyon sa totoong linya ay katumbas ng ε ("epsilon"). Dahil ang huling variable ay distansya, ang halaga nito ay palaging positibo.

Ngayon ay magtakda tayo ng ilang sequence x n at ipagpalagay na ang ikasampung miyembro ng sequence (x 10) ay kasama sa kapitbahayan ng a. Paano isulat ang katotohanang ito sa wikang matematika?

Ipagpalagay na ang x 10 ay nasa kanan ng point a, pagkatapos ay ang distansya x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Ngayon ay oras na upang ipaliwanag sa pagsasanay ang formula na binanggit sa itaas. Makatarungang tawagan ang isang tiyak na numero bilang dulong punto ng isang pagkakasunud-sunod kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ε>0 ay nananatili para sa alinman sa mga limitasyon nito, at ang buong kapitbahayan ay may sariling natural na numerong N, upang ang lahat ng miyembro ng sequence na may mas matataas na numero ay nasa loob ng pagkakasunod-sunod |x n - a|< ε.

Sa gayong kaalaman, madaling malutas ang mga limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod, upang patunayan o pabulaanan ang isang handa na sagot.

Theorems

Ang mga teorema sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang mahalagang bahagi ng teorya, kung wala ang pagsasanay ay imposible. Mayroon lamang apat na pangunahing theorems, na naaalala kung alin, maaari mong makabuluhang mapadali ang proseso ng paglutas o pagpapatunay:

1. Kakaiba ng limitasyon ng isang sequence. Ang anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring magkaroon lamang ng isang limitasyon o wala. Ang parehong halimbawa na may isang pila na maaari lamang magkaroon ng isang dulo.
2. Kung may limitasyon ang isang serye ng mga numero, limitado ang pagkakasunod-sunod ng mga numerong ito.
3. Ang limitasyon ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng mga sequence ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba, produkto) ng kanilang mga limitasyon.
4. Ang quotient na limitasyon ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon kung at kung ang denominator ay hindi mawala.

Patunay ng Pagkakasunod-sunod

Minsan kinakailangan upang malutas ang isang baligtad na problema, upang patunayan ang isang ibinigay na limitasyon ng isang numerical sequence. Tingnan natin ang isang halimbawa.

Patunayan na ang limitasyon ng sequence na ibinigay ng formula ay katumbas ng zero.

Ayon sa tuntunin sa itaas, para sa anumang pagkakasunod-sunod ang hindi pagkakapantay-pantay |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Ipahayag natin ang n sa mga tuntunin ng "epsilon" upang ipakita ang pagkakaroon ng isang tiyak na numero at patunayan ang pagkakaroon ng isang limitasyon ng pagkakasunud-sunod.

Sa yugtong ito, mahalagang alalahanin na ang "epsilon" at "en" ay mga positibong numero at hindi katumbas ng zero. Ngayon ay maaari mong ipagpatuloy ang karagdagang pagbabago gamit ang kaalaman tungkol sa mga hindi pagkakapantay-pantay na nakuha sa mataas na paaralan.

Saan lumalabas na n > -3 + 1/ε. Dahil ito ay nagkakahalaga ng pag-alala na pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero, ang resulta ay maaaring bilugan sa pamamagitan ng paglalagay nito sa mga square bracket. Kaya, napatunayan na para sa anumang halaga ng "epsilon" na kapitbahayan ng punto a = 0, ang isang halaga ay natagpuan na ang paunang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan. Mula dito maaari nating ligtas na igiit na ang numero a ay ang limitasyon ng ibinigay na pagkakasunud-sunod. Q.E.D.

Sa ganitong maginhawang paraan, maaari mong patunayan ang limitasyon ng isang numerical sequence, gaano man ito kakomplikado sa unang tingin. Ang pangunahing bagay ay hindi mag-panic sa paningin ng gawain.

O baka naman wala siya?

Ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangan sa pagsasanay. Madaling makahanap ng mga ganitong serye ng mga numero na talagang walang katapusan. Halimbawa, ang parehong flasher x n = (-1) n . malinaw na ang isang sequence na binubuo lamang ng dalawang digit na paulit-ulit na paikot ay hindi maaaring magkaroon ng limitasyon.

Ang parehong kuwento ay paulit-ulit na may mga pagkakasunud-sunod na binubuo ng isang solong numero, fractional, pagkakaroon sa kurso ng mga kalkulasyon ng isang kawalan ng katiyakan ng anumang pagkakasunud-sunod (0/0, ∞/∞, ∞/0, atbp.). Gayunpaman, dapat tandaan na ang maling pagkalkula ay nagaganap din. Kung minsan, ang muling pagsuri sa sarili mong solusyon ay makakatulong sa iyong mahanap ang limitasyon ng mga paghalili.

monotonikong pagkakasunud-sunod

Sa itaas, isinasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng mga pagkakasunud-sunod, mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at ngayon subukan nating kumuha ng isang mas tiyak na kaso at tawagan itong isang "monotone sequence".

Depinisyon: makatarungang tawagan ang anumang pagkakasunod-sunod na monotonically na tumataas kung natutugunan nito ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Kasama ng dalawang kundisyong ito, mayroon ding mga katulad na hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Alinsunod dito, x n ≤ x n +1 (hindi bumababa na pagkakasunud-sunod) at x n ≥ x n +1 (hindi tumataas na pagkakasunud-sunod).

Ngunit mas madaling maunawaan ito sa mga halimbawa.

Ang pagkakasunud-sunod na ibinigay ng formula x n \u003d 2 + n ay bumubuo ng mga sumusunod na serye ng mga numero: 4, 5, 6, atbp. Ito ay isang monotonically pagtaas ng pagkakasunod-sunod.

At kung kukuha tayo ng x n \u003d 1 / n, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang serye: 1/3, ¼, 1/5, atbp. Ito ay isang monotonically decreasing sequence.

Limitasyon ng convergent at bounded sequence

Ang bounded sequence ay isang sequence na may limitasyon. Ang convergent sequence ay isang serye ng mga numero na may infinitesimal na limitasyon.

Kaya, ang limitasyon ng isang bounded sequence ay anumang tunay o kumplikadong numero. Tandaan na maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon.

Ang limitasyon ng isang convergent sequence ay isang infinitesimal na dami (real o complex). Kung gumuhit ka ng isang diagram ng pagkakasunud-sunod, pagkatapos ay sa isang tiyak na punto, ito ay, bilang ito ay, magtatagpo, ay may posibilidad na maging isang tiyak na halaga. Kaya ang pangalan - convergent sequence.

Monotonic sequence limit

Ang ganitong pagkakasunod-sunod ay maaaring may limitasyon o wala. Una, ito ay kapaki-pakinabang upang maunawaan kung kailan ito, mula dito maaari kang magsimula kapag nagpapatunay ng kawalan ng limitasyon.

Kabilang sa mga monotonic sequence, ang convergent at divergent ay nakikilala. Convergent - ito ay isang sequence na nabuo ng set x at may real o complex na limitasyon sa set na ito. Divergent - isang sequence na walang limitasyon sa set nito (ni real or complex).

Bukod dito, ang pagkakasunud-sunod ay nagtatagpo kung ang itaas at mas mababang mga limitasyon ay nagtatagpo sa isang geometric na representasyon.

Ang limitasyon ng isang convergent sequence sa maraming pagkakataon ay maaaring katumbas ng zero, dahil ang anumang infinitesimal na sequence ay may alam na limitasyon (zero).

Alinmang convergent sequence ang kukunin mo, lahat sila ay may hangganan, ngunit malayo sa lahat ng bounded sequence ay nagtatagpo.

Ang kabuuan, pagkakaiba, produkto ng dalawang convergent sequence ay isa ring convergent sequence. Gayunpaman, ang quotient ay maaari ding magtagpo kung ito ay tinukoy!

Iba't ibang aksyon na may limitasyon

Ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay parehong makabuluhan (sa karamihan ng mga kaso) na halaga ng mga numero at numero: 1, 2, 15, 24, 362, atbp. Lumalabas na ang ilang mga operasyon ay maaaring isagawa nang may mga limitasyon.

Una, tulad ng mga digit at numero, ang mga limitasyon ng anumang sequence ay maaaring idagdag at ibawas. Batay sa ikatlong teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng kabuuan ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga limitasyon.

Pangalawa, batay sa ikaapat na teorama sa mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo: ang limitasyon ng produkto ng ika-n na bilang ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng produkto ng kanilang mga limitasyon. Ang parehong ay totoo para sa paghahati: ang limitasyon ng quotient ng dalawang sequence ay katumbas ng quotient ng kanilang mga limitasyon, sa kondisyon na ang limitasyon ay hindi katumbas ng zero. Pagkatapos ng lahat, kung ang limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay katumbas ng zero, kung gayon ang paghahati sa pamamagitan ng zero ay lalabas, na imposible.

Mga Katangian ng Sequence Value

Mukhang nasuri na sa ilang detalye ang limitasyon ng numerical sequence, ngunit ang mga pariralang tulad ng "walang hanggan maliit" at "walang hanggan na malaki" na mga numero ay binanggit nang higit sa isang beses. Malinaw, kung mayroong isang sequence 1/x, kung saan ang x→∞, kung gayon ang naturang fraction ay walang hanggan maliit, at kung ang parehong sequence, ngunit ang limitasyon ay may posibilidad na zero (x→0), kung gayon ang fraction ay magiging isang walang katapusang malaking halaga. . At ang mga naturang halaga ay may sariling mga katangian. Ang mga katangian ng limitasyon ng isang sequence na may di-makatwirang maliit o malalaking halaga ay ang mga sumusunod:

1. Ang kabuuan ng anumang bilang ng arbitraryong maliliit na dami ay magiging maliit din.
2. Ang kabuuan ng anumang bilang ng malalaking halaga ay magiging isang walang katapusang malaking halaga.
3. Ang produkto ng di-makatwirang maliit na dami ay walang katapusang maliit.
4. Ang produkto ng di-makatwirang malalaking numero ay isang walang katapusang malaking dami.
5. Kung ang orihinal na pagkakasunod-sunod ay may posibilidad sa isang walang katapusang numero, kung gayon ang kapalit nito ay magiging infinitesimal at malamang na zero.

Sa katunayan, ang pagkalkula ng limitasyon ng isang sequence ay hindi isang mahirap na gawain kung alam mo ang isang simpleng algorithm. Ngunit ang mga limitasyon ng mga pagkakasunud-sunod ay isang paksa na nangangailangan ng pinakamataas na atensyon at tiyaga. Siyempre, sapat na upang maunawaan lamang ang kakanyahan ng solusyon ng gayong mga ekspresyon. Simula sa maliit, sa paglipas ng panahon, maaabot mo ang malalaking taas.