Hindi namin pinipili ang math ang kanyang propesyon, at siya ang pumili sa amin.

Ang Russian mathematician na si Yu.I. Manin

Mga Equation ng Modulo

Ang pinakamahirap na problemang lutasin sa matematika ng paaralan ay ang mga equation na naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang equation, kinakailangang malaman ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng modyul. Natural, ang mga mag-aaral ay dapat magkaroon ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation ng ganitong uri.

Mga pangunahing konsepto at katangian

Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero denoted at tinukoy bilang mga sumusunod:

Ang mga simpleng katangian ng modyul ay kinabibilangan ng mga sumusunod na ugnayan:

Tandaan, na ang huling dalawang pag-aari ay nagtataglay para sa anumang kahit na antas.

Gayundin, kung , saan , pagkatapos at

Mas kumplikadong mga katangian ng module, na maaaring epektibong magamit sa paglutas ng mga equation na may mga module, ay nabuo sa pamamagitan ng mga sumusunod na theorems:

Teorama 1.Para sa anumang analytic function at ang hindi pagkakapantay-pantay

Teorama 2. Ang pagkakapantay-pantay ay kapareho ng hindi pagkakapantay-pantay.

Teorama 3. Pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang ang karaniwang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang “Equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign.

Paglutas ng mga Equation gamit ang Modulus

Ang pinakakaraniwang paraan sa matematika ng paaralan para sa paglutas ng mga equation na may modulus ay ang pamamaraan, batay sa pagpapalawak ng modyul. Ang pamamaraang ito ay generic, gayunpaman, sa pangkalahatang kaso, ang paggamit nito ay maaaring humantong sa napakahirap na kalkulasyon. Kaugnay nito, dapat ding magkaroon ng kamalayan ang mga mag-aaral sa iba, mas mahusay na mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation. Sa partikular, kailangang magkaroon ng mga kasanayan sa paglalapat ng mga theorems, ibinigay sa artikulong ito.

Halimbawa 1 Lutasin ang equation. (isa)

Solusyon. Ang equation (1) ay malulutas sa pamamagitan ng "classical" na paraan - ang module expansion method. Upang gawin ito, sinisira namin ang numerical axis tuldok at pagitan at isaalang-alang ang tatlong mga kaso.

1. Kung ang , kung gayon , , , at equation (1) ay may anyong . Sumusunod ito mula rito. Gayunpaman, dito , kaya ang nahanap na halaga ay hindi ang ugat ng equation (1).

2. Kung , pagkatapos ay mula sa equation (1) makuha namin o .

Simula noon ang ugat ng equation (1).

3. Kung , pagkatapos ay ang equation (1) ay kinuha ang form o . Tandaan na .

Sagot: , .

Kapag nilulutas ang mga sumusunod na equation sa isang module, aktibong gagamitin namin ang mga katangian ng mga module upang mapataas ang kahusayan ng paglutas ng mga naturang equation.

Halimbawa 2 lutasin ang equation.

Solusyon. Simula at pagkatapos ito ay sumusunod mula sa equation. Kaugnay nito, , , at ang equation ay nagiging. Mula dito nakukuha natin. gayunpaman, kaya ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 3 lutasin ang equation.

Solusyon. Simula noon . Kung , kung gayon , at ang equation ay nagiging.

Mula dito nakukuha natin.

Halimbawa 4 lutasin ang equation.

Solusyon.Isulat muli natin ang equation sa isang katumbas na anyo. (2)

Ang resultang equation ay nabibilang sa mga equation ng uri.

Isinasaalang-alang ang Theorem 2, maaari nating sabihin na ang equation (2) ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay. Mula dito nakukuha natin.

Sagot: .

Halimbawa 5 Lutasin ang equation.

Solusyon. Ang equation na ito ay may anyo. kaya lang , ayon sa Theorem 3, dito mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay o .

Halimbawa 6 lutasin ang equation.

Solusyon. Ipagpalagay natin na . kasi , pagkatapos ang ibinigay na equation ay tumatagal ng anyo ng isang quadratic equation, (3)

saan . Dahil ang equation (3) ay may isang positibong ugat at , pagkatapos . Mula dito nakakakuha tayo ng dalawang ugat ng orihinal na equation: at .

Halimbawa 7 lutasin ang equation. (4)

Solusyon. Mula noong equationay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation: at , pagkatapos kapag nilutas ang equation (4) ito ay kinakailangan upang isaalang-alang ang dalawang mga kaso.

1. Kung , kung gayon o .

Mula dito nakukuha natin ang , at .

2. Kung , kung gayon o .

Simula noon .

Sagot: , , , .

Halimbawa 8lutasin ang equation . (5)

Solusyon. Simula at , noon . Mula dito at mula sa Eq. (5) sinusundan nito iyon at , i.e. dito mayroon tayong sistema ng mga equation

Gayunpaman, ang sistemang ito ng mga equation ay hindi pare-pareho.

Sagot: walang ugat.

Halimbawa 9 lutasin ang equation. (6)

Solusyon. Kung italaga natin at mula sa equation (6) makuha natin

O kaya . (7)

Dahil ang equation (7) ay may anyo , ang equation na ito ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay . Mula dito nakukuha natin. Mula noon o .

Sagot: .

Halimbawa 10lutasin ang equation. (8)

Solusyon.Ayon sa Theorem 1, maaari tayong sumulat

(9)

Isinasaalang-alang ang equation (8), napagpasyahan namin na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay (9) ay nagiging mga pagkakapantay-pantay, i.e. mayroong isang sistema ng mga equation

Gayunpaman, sa pamamagitan ng Theorem 3, ang sistema sa itaas ng mga equation ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay.

(10)

Paglutas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) nakukuha natin . Dahil ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay (10) ay katumbas ng equation (8), ang orihinal na equation ay may iisang ugat .

Sagot: .

Halimbawa 11. lutasin ang equation. (11)

Solusyon. Hayaan at , pagkatapos ay ang equation (11) ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay .

Mula dito sinusundan iyon at . Kaya, dito mayroon tayong sistema ng hindi pagkakapantay-pantay

Ang solusyon sa sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay ay at .

Sagot: , .

Halimbawa 12.lutasin ang equation. (12)

Solusyon. Ang equation (12) ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng sunud-sunod na pagpapalawak ng mga module. Upang gawin ito, isaalang-alang ang ilang mga kaso.

1. Kung , kung gayon .

1.1. Kung , pagkatapos at , .

1.2. Kung , kung gayon . gayunpaman, kaya sa kasong ito ang equation (12) ay walang mga ugat.

2. Kung , kung gayon .

2.1. Kung , pagkatapos at , .

2.2. Kung , kung gayon at .

Sagot: , , , , .

Halimbawa 13lutasin ang equation. (13)

Solusyon. Dahil ang kaliwang bahagi ng equation (13) ay hindi negatibo, kung gayon at . Kaugnay nito, , at equation (13)

tumatagal ang form o .

Ito ay kilala na ang equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation at , paglutas na nakukuha natin, . kasi , pagkatapos ang equation (13) ay may isang ugat.

Sagot: .

Halimbawa 14 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (14)

Solusyon. Mula noon at , pagkatapos at . Samakatuwid, mula sa sistema ng mga equation (14) nakakakuha tayo ng apat na sistema ng mga equation:

Ang mga ugat ng mga sistema ng equation sa itaas ay ang mga ugat ng sistema ng mga equation (14).

Sagot: ,, , , , , , .

Halimbawa 15 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (15)

Solusyon. Simula noon . Kaugnay nito, mula sa sistema ng mga equation (15) nakakakuha tayo ng dalawang sistema ng mga equation

Ang mga ugat ng unang sistema ng mga equation ay at , at mula sa pangalawang sistema ng mga equation ay nakuha natin at .

Sagot: , , , .

Halimbawa 16 Lutasin ang isang sistema ng mga equation (16)

Solusyon. Ito ay sumusunod mula sa unang equation ng system (16) na .

Simula noon . Isaalang-alang ang pangalawang equation ng system. Dahil ang, tapos , at ang equation ay nagiging, , o .

Kung papalitan natin ang halagasa unang equation ng system (16), pagkatapos , o .

Sagot: , .

Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa solusyon ng mga equation, naglalaman ng mga variable sa ilalim ng module sign, maaari kang magpayo ng mga tutorial mula sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.

1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: mga gawain ng mas kumplikado. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: hindi karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. - M .: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

May tanong ka ba?

Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.

Tochilkina Julia

Ang papel ay nagpapakita ng iba't ibang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus.

I-download:

Preview:

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

"Secondary school No. 59"

Mga Equation ng Modulo

Abstract na gawain

Ginanap mag-aaral sa ika-9 na baitang

MBOU "Secondary School No. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Superbisor

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

guro sa matematika

MBOU "Secondary School No. 59", Barnaul

Barnaul 2015

Panimula

Ako ay nasa ika-siyam na baitang. Ngayong akademikong taon kailangan kong makapasa sa huling sertipikasyon para sa kurso ng pangunahing paaralan. Upang maghanda para sa pagsusulit, bumili kami ng isang koleksyon ng D. A. Maltsev Mathematics. Baitang 9 Sa pagtingin sa koleksyon, nakita ko ang mga equation na naglalaman ng hindi lamang isa, kundi pati na rin ang ilang mga module. Ipinaliwanag sa akin ng guro at sa aking mga kaklase na ang mga naturang equation ay tinatawag na "nested modules" equation. Ang pangalang ito ay tila hindi pangkaraniwan para sa amin, at ang solusyon sa unang tingin, sa halip ay kumplikado. Ito ay kung paano lumitaw ang paksa para sa aking trabaho na "Equation with a modulus". Napagpasyahan kong pag-aralan ang paksang ito nang mas malalim, lalo na't ito ay magiging kapaki-pakinabang para sa akin kapag pumasa sa mga pagsusulit sa pagtatapos ng taon ng pag-aaral at sa palagay ko ay kakailanganin ko ito sa mga baitang 10 at 11. Ang lahat ng nasa itaas ay tumutukoy sa kaugnayan ng paksang aking pinili.

Layunin :

1. Isaalang-alang ang iba't ibang paraan para sa paglutas ng mga equation na may modulus.
2. Matutong lutasin ang mga equation na naglalaman ng sign ng absolute value gamit ang iba't ibang pamamaraan

Upang magtrabaho sa paksa, ang mga sumusunod na gawain ay binuo:

Mga gawain:

1. Upang pag-aralan ang teoretikal na materyal sa paksang "Ang modulus ng isang tunay na numero."
2. Isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at pagsama-samahin ang kaalaman na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema.
3. Ilapat ang nakuhang kaalaman sa paglutas ng iba't ibang equation na naglalaman ng sign ng modulus sa mataas na paaralan

Layunin ng pag-aaral:mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus

Paksa ng pag-aaral:modulo equation

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

Teoretikal : pag-aaral ng panitikan sa paksa ng pananaliksik;

Internet - impormasyon.

Pagsusuri impormasyong nakuha sa pag-aaral ng panitikan; mga resulta na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng mga equation sa modulus sa iba't ibang paraan.

Paghahambing mga paraan ng paglutas ng mga equation, ang paksa ng rasyonalidad ng kanilang paggamit sa paglutas ng iba't ibang mga equation na may isang module.

"Nagsisimula tayong mag-isip kapag may nabangga tayo." Paul Valerie.

1. Mga konsepto at kahulugan.

Ang konsepto ng "modulus" ay malawakang ginagamit sa maraming mga seksyon ng kurso sa matematika ng paaralan, halimbawa, sa pag-aaral ng ganap at kamag-anak na mga pagkakamali ng isang tinatayang numero; sa geometry at physics, ang mga konsepto ng isang vector at ang haba nito (vector modulus) ay pinag-aaralan. Ang konsepto ng isang module ay ginagamit sa mga kurso ng mas mataas na matematika, pisika at teknikal na agham na pinag-aralan sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon.

Ang salitang "module" ay nagmula sa salitang Latin na "modulus", na nangangahulugang "sukat" sa pagsasalin. Ang salitang ito ay may maraming kahulugan at ginagamit hindi lamang sa matematika, pisika at teknolohiya, kundi pati na rin sa arkitektura, programming at iba pang eksaktong agham.

Ito ay pinaniniwalaan na ang termino ay iminungkahi na gamitin ni Kots, isang estudyante ng Newton. Ang module sign ay ipinakilala noong ika-19 na siglo ni Weierstrass.

Sa arkitektura, ang isang module ay ang paunang yunit ng sukat na itinatag para sa isang partikular na istraktura ng arkitektura.

Sa engineering, ito ay isang terminong ginamit sa iba't ibang larangan ng teknolohiya, na nagsisilbing tukuyin ang iba't ibang mga coefficient at dami, halimbawa, ang modulus ng elasticity, ang modulus ng engagement ...

Sa matematika, ang isang modulus ay may ilang mga kahulugan, ngunit ituturing ko ito bilang ganap na halaga ng isang numero.

Depinisyon1: Modulus (ganap na halaga) ng isang tunay na numero a ang numero mismo ay tinatawag na kung a ≥0, o ang kabaligtaran na numero - Paano kung a ang modulus ng zero ay zero.

Kapag nilulutas ang mga equation sa isang module, maginhawang gamitin ang mga katangian ng module.

Isaalang-alang ang mga patunay ng 5,6,7 katangian.

Pahayag 5. Pagkakapantay-pantay │ ay totoo kung av ≥ 0.

Patunay. Sa katunayan, pagkatapos i-square ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin, │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ hanggang │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², mula sa kung saan │ av │ = av

At ang huling pagkakapantay-pantay ay magiging totoo para sa av ≥0.

Pahayag 6. Pagkakapantay-pantay │ a-c │=│ a │+│ c │ ay totoo kapag av ≤0.

Patunay. Upang patunayan ito, sapat na ito sa pagkakapantay-pantay

│ a + in │=│ a │+│ in │ palitan in ng - in, pagkatapos ay a (- in) ≥0, kung saan av ≤0.

Pahayag 7. Pagkakapantay-pantay │ a │+│ in │= a + in ginanap sa a ≥0 at b ≥0.

Patunay . Isinasaalang-alang ang apat na kaso a ≥0 at b ≥0; a ≥0 at b a sa ≥0; a sa a ≥0 at b ≥0.

(a-c) sa ≥0.

Geometric na interpretasyon

|a| ay ang distansya sa linya ng coordinate mula sa punto na may coordinate a , sa pinanggalingan ng mga coordinate.

|-a| |a|

A 0 a x

Geometric na interpretasyon ng kahulugan |a| malinaw na nagpapatunay na |-a|=|a|

Kung ang 0, pagkatapos ay sa linya ng coordinate mayroong dalawang puntos a at -a, katumbas ng distansya mula sa zero, na ang mga module ay pantay.

Kung a=0, pagkatapos ay sa coordinate line |a| kinakatawan ng punto 0.

Kahulugan 2: Ang equation na may modulus ay isang equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng absolute value sign (sa ilalim ng modulus sign). Halimbawa: |x +3|=1

Kahulugan 3: Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng mga ugat nito, o pagpapatunay na walang mga ugat.

2. Mga paraan ng solusyon

Mula sa kahulugan at katangian ng modyul, ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may module ay sumusunod:

1. "Pagpapalawak" ng isang module (i.e. gamit ang isang kahulugan);
2. Gamit ang geometric na kahulugan ng module (property 2);
3. Paraan ng graphical na solusyon;
4. Paggamit ng mga katumbas na pagbabagong-anyo (mga katangian 4.6);
5. Variable substitution (gumagamit ito ng property 5).
6. paraan ng pagitan.

Nalutas ko ang isang medyo malaking bilang ng mga halimbawa, ngunit sa aking trabaho ay ipinakita ko sa iyong pansin ang ilan lamang, sa palagay ko, ang mga tipikal na halimbawa na nalutas sa iba't ibang paraan, dahil ang iba ay duplicate ang bawat isa at upang maunawaan kung paano malutas ang mga equation na may isang modulus, hindi na kailangang isaalang-alang ang lahat ng nalutas na mga halimbawa.

SOLUSYON NG EQUATIONS | f(x)| = a

Isaalang-alang ang equation | f(x)| = a, at R

Ang isang equation ng ganitong uri ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagtukoy sa modulus:

Kung ang a kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

Kung a= 0, kung gayon ang equation ay katumbas ng f(x)=0.

Kung a>0, kung gayon ang equation ay katumbas ng set

Halimbawa. Lutasin ang equation |3x+2|=4.

Solusyon.

|3x+2|=4, pagkatapos ay 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

Sagot: -2;2/3.

SOLUSYON NG EQUATIONS GAMIT ANG GEOMERIC PROPERTIES NG MODULE.

Halimbawa 1 Lutasin ang equation na /x-1/+/x-3/=6.

Solusyon.

Upang malutas ang equation na ito ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng naturang mga punto sa numerical axis na Ox, para sa bawat isa kung saan ang kabuuan ng mga distansya mula dito hanggang sa mga puntos na may mga coordinate 1 at 3 ay katumbas ng 6.

Wala sa mga punto sa segmentay hindi nakakatugon sa kundisyong ito, dahil ang kabuuan ng mga tinukoy na distansya ay 2. Sa labas ng segment na ito, mayroong dalawang puntos: 5 at -1.

1 1 3 5

Sagot: -1;5

Halimbawa 2 Lutasin ang equation |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Solusyon.

Ipahiwatig ang x 2 + x-5 \u003d a, pagkatapos ay / a / + / a-4 //=10. Maghanap tayo ng mga punto sa axis ng Ox para sa bawat isa sa kanila ang kabuuan ng mga distansya sa mga puntos na may mga coordinate 0 at 4 ay katumbas ng 10. Ang kundisyong ito ay nasiyahan ng -4 at 7.

3 0 4 7

Kaya x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Sagot: -4; -2; isa; 3.

SOLUSYON NG EQUATIONS | f(x)| = | g(x)|.

1. Mula noong | a |=|b |, kung a=b, pagkatapos ay isang equation ng form | f(x)| = | g(x )| ay katumbas ng isang pinagsama-samang

Halimbawa1.

Lutasin ang equation | x–2| = |3 - x |.

Solusyon.

Ang equation na ito ay katumbas ng dalawang equation:

x - 2 \u003d 3 - x (1) at x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - hindi tama

X = 2.5 ang equation ay walang mga solusyon.

Sagot: 2.5.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Solusyon.

Dahil ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo, kung gayonAng pag-squaring ay ang katumbas na pagbabagong-anyo:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 o 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Sagot: -3; 3; 11/3.

SOLUSYON NG EQUATIONS NG VIEW | f(x)| = g(x).

Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga equation na ito at| f(x)| = a na ang kanang bahagi ay isa ring variable. At maaari itong maging positibo at negatibo. Samakatuwid, kailangan mong tiyakin na ito ay hindi negatibo, dahil ang modulus ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero (property№1 )

1 paraan

Solusyon sa equation | f(x)| = g(x ) ay nabawasan sa hanay ng mga solusyon sa mga equationat pagsuri sa bisa ng hindi pagkakapantay-pantay g(x )>0 para sa mga nahanap na halaga ng hindi alam.

2 paraan (ayon sa kahulugan ng module)

Mula noong | f(x)| = g (x) kung f (x) = 0; | f(x)| = - f(x) kung f(x)

Halimbawa.

Lutasin ang Equation |3 x –10| = x - 2.

Solusyon.

Ang equation na ito ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang sistema:

O t e t: 3; apat.

SOLUSYON NG EQUATIONS NG FORM |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Ang solusyon ng mga equation ng ganitong uri ay batay sa kahulugan ng modyul. Para sa bawat function f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) kinakailangang hanapin ang domain ng kahulugan, ang mga zero nito at mga discontinuity point, na hinahati ang pangkalahatang domain ng kahulugan sa mga pagitan, kung saan ang bawat isa ay ang mga function f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) panatilihin ang kanilang tanda. Dagdag pa, gamit ang kahulugan ng modyul, para sa bawat isa sa mga nahanap na lugar ay nakakakuha tayo ng isang equation na dapat malutas sa isang naibigay na pagitan. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na "paraan ng pagitan»

Halimbawa.

Lutasin ang equation |x-2|-3|x+4|=1.

Solusyon.

Hanapin natin ang mga punto kung saan ang mga expression ng submodule ay katumbas ng zero

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Hatiin natin ang linya ng numero sa pagitan ng x

Ang solusyon ng equation ay nabawasan sa solusyon ng tatlong sistema:

Sagot: -15, -1.8.

GRAPHIC NA PARAAN PARA SA PAGLUTAS NG MGA EQUATION NA NILALAMAN MODULE SIGN.

Ang graphical na paraan ng paglutas ng mga equation ay tinatayang, dahil ang katumpakan ay nakasalalay sa napiling segment ng yunit, ang kapal ng lapis, ang mga anggulo kung saan ang mga linya ay nagsalubong, atbp. Ngunit binibigyang-daan ka ng pamamaraang ito na tantyahin kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ang isang partikular na equation.

Halimbawa. Lutasin nang grapiko ang equation |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Solusyon. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function sa isang coordinate system

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| at y=9.

Upang bumuo ng isang graph, kinakailangang isaalang-alang ang function na ito sa bawat pagitan (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞)

Sagot: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Ginamit din namin ang paraan ng mga katumbas na pagbabago sa paglutas ng mga equation | f(x)| = | g(x)|.

EQUATIONS NA MAY "COMPLEX MODULE"

Ang isa pang uri ng mga equation ay ang mga equation na may "kumplikadong" modulus. Kasama sa mga naturang equation ang mga equation na mayroong "mga module sa loob ng isang module". Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang iba't ibang mga pamamaraan.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Solusyon.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng modyul, mayroon tayong:

Lutasin natin ang unang equation.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Lutasin natin ang pangalawang equation.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 at | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

Halimbawa 2

Lutasin ang equation |2 – |x + 1|| = 3.

Solusyon.

Lutasin natin ang equation sa pamamagitan ng paglalagay ng bagong variable.

Hayaan | x + 1| = y , pagkatapos |2 – y | = 3, samakatuwid

Gawin natin ang reverse substitution:

(1) | x + 1| = -1 - walang solusyon.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; apat.

Halimbawa3 .

Ilang ugat ang ginagawa ng equation | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Solusyon. Lutasin natin ang equation gamit ang equivalence schemes.

Equation | 2 | x | -6 | = 5 -x ay katumbas ng system:

Ang modulus ay ang ganap na halaga ng expression. Upang kahit papaano ay magtalaga ng isang module, kaugalian na gumamit ng mga tuwid na bracket. Ang value na nakapaloob sa even bracket ay ang value na kinuhang modulo. Ang proseso ng paglutas ng anumang module ay binubuo sa pagbubukas ng mga parehong direktang bracket, na tinatawag na modular bracket sa mathematical na wika. Ang kanilang pagsisiwalat ay nangyayari ayon sa isang tiyak na bilang ng mga patakaran. Gayundin, sa pagkakasunud-sunod ng paglutas ng mga module, mayroon ding mga hanay ng mga halaga ng mga expression na iyon na nasa mga bracket ng module. Sa karamihan ng mga kaso, ang module ay pinalawak sa paraang ang expression na submodule ay nakakakuha ng parehong positibo at negatibong mga halaga, kasama ang halagang zero. Kung magsisimula tayo mula sa mga naitatag na katangian ng modyul, pagkatapos ay sa proseso ang iba't ibang mga equation o hindi pagkakapantay-pantay mula sa orihinal na expression ay pinagsama-sama, na pagkatapos ay kailangang malutas. Alamin natin kung paano lutasin ang mga module.

Proseso ng Solusyon

Ang solusyon ng modyul ay nagsisimula sa pagsulat ng orihinal na equation sa modyul. Upang masagot ang tanong kung paano malutas ang mga equation na may isang modulus, kailangan mong buksan ito nang buo. Upang malutas ang naturang equation, ang module ay pinalawak. Dapat isaalang-alang ang lahat ng modular expression. Kinakailangan upang matukoy kung anong mga halaga ng hindi kilalang dami ang kasama sa komposisyon nito, ang modular na expression sa mga bracket ay nawawala. Upang magawa ito, sapat na upang i-equate ang expression sa modular bracket sa zero, at pagkatapos ay kalkulahin ang solusyon ng resultang equation. Ang mga halagang natagpuan ay dapat na maitala. Sa parehong paraan, kailangan mo ring matukoy ang halaga ng lahat ng hindi kilalang variable para sa lahat ng mga module sa equation na ito. Susunod, ito ay kinakailangan upang harapin ang kahulugan at pagsasaalang-alang ng lahat ng mga kaso ng pagkakaroon ng mga variable sa mga expression kapag sila ay naiiba mula sa halaga ng zero. Upang gawin ito, kailangan mong isulat ang ilang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay na naaayon sa lahat ng mga module sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay dapat na binubuo sa paraang saklaw ng mga ito ang lahat ng magagamit at posibleng mga halaga para sa variable na matatagpuan sa linya ng numero. Pagkatapos ay kailangan mong gumuhit para sa visualization ng parehong linya ng numero, kung saan ilalagay ang lahat ng nakuha na mga halaga sa hinaharap.

Halos lahat ay maaari nang gawin online. Ang module ay walang pagbubukod sa mga patakaran. Maaari mo itong lutasin online sa isa sa maraming modernong mapagkukunan. Ang lahat ng mga halaga ng variable na nasa zero module ay magiging isang espesyal na hadlang na gagamitin sa proseso ng paglutas ng modular equation. Sa orihinal na equation, kinakailangan na palawakin ang lahat ng magagamit na mga modular bracket, habang binabago ang tanda ng expression upang ang mga halaga ng nais na variable ay nag-tutugma sa mga halagang iyon na nakikita sa linya ng numero. Ang resultang equation ay dapat malutas. Ang halaga ng variable, na makukuha sa kurso ng paglutas ng equation, ay dapat suriin laban sa paghihigpit na itinakda ng module mismo. Kung ang halaga ng variable ay ganap na nakakatugon sa kondisyon, kung gayon ito ay tama. Ang lahat ng mga ugat na makukuha sa kurso ng paglutas ng equation, ngunit hindi magkasya sa mga hadlang, ay dapat na itapon.

Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito lutasin ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa mga module. Programa para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang proseso ng pagkuha ng resulta.

Ang program na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school bilang paghahanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang State Exam, para sa mga magulang na kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ang iyong araling-bahay sa matematika o algebra sa lalong madaling panahon? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

|x| o abs(x) - module x

Maglagay ng equation o hindi pagkakapantay-pantay sa moduli

Lutasin ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module

Sa pangunahing kurso ng algebra ng paaralan, maaari mong matugunan ang pinakasimpleng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module. Upang malutas ang mga ito, maaari kang maglapat ng geometric na pamamaraan batay sa katotohanan na ang \(|x-a| \) ay ang distansya sa linya ng numero sa pagitan ng mga puntong x at a: \(|x-a| = \rho (x;\; a ) \). Halimbawa, upang malutas ang equation \(|x-3|=2 \), kailangan mong maghanap ng mga puntos sa linya ng numero na nasa layo na 2 mula sa punto 3. Mayroong dalawang ganoong mga punto: \(x_1=1 \) at \(x_2=5 \) .

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay \(|2x+7|

Ngunit ang pangunahing paraan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga module ay nauugnay sa tinatawag na "module expansion by definition":
kung \(a \geq 0 \), kung gayon \(|a|=a \);
kung \(a Bilang panuntunan, ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may mga module ay bumababa sa isang set ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na hindi naglalaman ng sign ng module.

Bilang karagdagan sa kahulugan sa itaas, ang mga sumusunod na pahayag ay ginagamit:
1) Kung \(c > 0 \), kung gayon ang equation \(|f(x)|=c \) ay katumbas ng set ng mga equation: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\kanan.\)
2) Kung \(c > 0 \), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \(|f(x)| 3) Kung \(c \geq 0 \), kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay \(|f(x)| > c \) ay katumbas ng hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Kung ang parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay \(f(x) HALIMBAWA 1. Lutasin ang equation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Kung \(x-1 \geq 0 \), kung gayon ang \(|x-1| = x-1 \) at ang ibinigay na equation ay magiging
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Kung \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Kaya, ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang hiwalay sa bawat isa sa dalawang ipinahiwatig na mga kaso.
1) Hayaan \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x \geq 1 \). Mula sa equation na \(x^2 +2x -8 = 0 \) nakita namin ang \(x_1=2, \; x_2=-4\). Ang kundisyon \(x \geq 1 \) ay natutugunan lamang ng halagang \(x_1=2\).
2) Hayaan \(x-1 Sagot: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

HALIMBAWA 2. Lutasin ang equation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

Unang paraan(pagpapalawak ng module ayon sa kahulugan).
Sa pagtatalo tulad ng sa Halimbawa 1, napagpasyahan namin na ang ibinigay na equation ay dapat isaalang-alang nang hiwalay sa ilalim ng dalawang kundisyon: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7

1) Kung \(x^2-6x+7 \geq 0 \), kung gayon ang \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) at ang ibinigay na equation ay magiging \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Ang paglutas ng quadratic equation na ito, nakukuha natin ang: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Alamin natin kung ang value na \(x_1=6 \) ay nakakatugon sa kundisyon \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Upang gawin ito, pinapalitan namin ang ipinahiwatig na halaga sa quadratic inequality. Nakukuha namin ang: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. Ang \(7 \geq 0 \) ay ang tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang \(x_1=6 \) ay ang ugat ng ibinigay na equation.
Alamin natin kung ang value na \(x_2=\frac(5)(3) \) ay nakakatugon sa kundisyon \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Upang gawin ito, pinapalitan namin ang ipinahiwatig na halaga sa quadratic inequality. Nakukuha namin ang: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. Ang \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ay isang di-wastong hindi pagkakapantay-pantay. Kaya ang \(x_2=\frac(5)(3) \) ay hindi ugat ng ibinigay na equation.

2) Kung ang \(x^2-6x+7 Ang value na \(x_3=3\) ay nakakatugon sa kundisyon \(x^2-6x+7 Ang value na \(x_4=\frac(4)(3) \) ay hindi masiyahan ang kundisyon \ (x^2-6x+7 Kaya, ang ibinigay na equation ay may dalawang ugat: \(x=6, \; x=3 \).

Ang pangalawang paraan. Dahil sa isang equation \(|f(x)| = h(x) \), pagkatapos ay para sa \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\kanan. \)
Pareho sa mga equation na ito ay nalutas sa itaas (sa unang paraan ng paglutas ng ibinigay na equation), ang kanilang mga ugat ay ang mga sumusunod: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3) \). Ang kundisyon \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) ng apat na halagang ito ay natutugunan lamang ng dalawa: 6 at 3. Samakatuwid, ang ibinigay na equation ay may dalawang ugat: \(x=6, \; x=3 \ ).

Pangatlong paraan(graphic).
1) I-plot natin ang function na \(y = |x^2-6x+7| \). Una, bumuo tayo ng parabola \(y = x^2-6x+7\). Mayroon kaming \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Ang graph ng function \(y = (x-3)^2-2 \) ay maaaring makuha mula sa graph ng function \(y = x^2 \) sa pamamagitan ng paglilipat nito ng 3 scale units sa kanan (sa x-axis) at 2 scale units pababa ( kasama ang y-axis). Ang tuwid na linya x=3 ay ang axis ng parabola kung saan tayo interesado. Bilang mga control point para sa mas tumpak na pag-plot, madaling kunin ang punto (3; -2) - ang tuktok ng parabola, ang punto (0; 7) at ang punto (6; 7) na simetriko dito kaugnay ng axis ng parabola.
Upang buuin ngayon ang graph ng function na \(y = |x^2-6x+7| \), kailangan mong iwanang hindi nagbabago ang mga bahagi ng ginawang parabola na hindi nasa ibaba ng x-axis, at i-mirror ang bahagi ng parabola na nasa ibaba ng x-axis tungkol sa x-axis.
2) I-plot natin ang linear function na \(y = \frac(5x-9)(3) \). Maginhawang kumuha ng mga puntos (0; –3) at (3; 2) bilang mga control point.

Mahalaga na ang puntong x = 1.8 ng intersection ng tuwid na linya na may abscissa axis ay matatagpuan sa kanan ng kaliwang intersection point ng parabola na may abscissa axis - ito ang punto \(x=3-\sqrt (2) \) (dahil \(3-\sqrt(2 ) 3) Sa paghusga sa pagguhit, ang mga graph ay nagsalubong sa dalawang punto - A (3; 2) at B (6; 7). Pinapalitan ang abscissas ng mga puntong ito x \u003d 3 at x \u003d 6 sa ibinigay na equation, tinitiyak namin na ang parehong isa pang halaga ay nagbibigay ng tamang numerical equality.Kaya, nakumpirma ang aming hypothesis - ang equation ay may dalawang ugat: x \u003d 3 at x \u003d 6. Sagot: 3; 6.

Magkomento. Ang graphical na pamamaraan, para sa lahat ng kagandahan nito, ay hindi masyadong maaasahan. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay nagtrabaho lamang dahil ang mga ugat ng equation ay mga integer.

HALIMBAWA 3. Lutasin ang equation \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Unang paraan
Ang expression na 2x–4 ay nagiging 0 sa puntong x = 2, at ang expression na x + 3 sa puntong x = –3. Hinahati ng dalawang puntong ito ang linya ng numero sa tatlong pagitan: \(x

Isaalang-alang ang unang pagitan: \((-\infty; \; -3) \).
Kung x Isaalang-alang ang pangalawang pagitan: \([-3; \; 2) \).
Kung \(-3 \leq x Isaalang-alang ang ikatlong pagitan: \( Sagot: ang haba ng puwang ay 6.№3 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang bilang ng mga integer na solusyon: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Sagot: 4 buong solusyon.№4 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang pinakamalaking ugat:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

Sagot: x = 3.

Mga Pagsasanay: №12. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang buong ugat: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang bilang ng mga integer na solusyon: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang isang integer na hindi ugat ng equation:

Seksyon 5. Mga equation ng form │F(x)│= │G(x)│

Dahil ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo, ang solusyon ay nagsasangkot ng pagsasaalang-alang sa dalawang kaso: ang mga submodular na expression ay pantay o kabaligtaran sa sign. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay katumbas ng kumbinasyon ng dalawang equation: │ F(x)│= │ G(x)│
Mga halimbawa: №1. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang buong ugat: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Sagot: integer root x = 4.№2. Lutasin ang equation: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Sagot: x = 2.№3 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang produkto ng mga ugat:




Ang mga ugat ng equation 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 Sagot: ang produkto ng mga ugat ay 0.25. Mga Pagsasanay: №15 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang buong solusyon: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang mas maliit na ugat: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Lutasin ang equation, sa sagot isulat ang kabuuan ng mga ugat:

Seksyon 6. Mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi karaniwang equation

Sa seksyong ito, isinasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng hindi karaniwang mga equation, sa solusyon kung saan ang ganap na halaga ng expression ay ipinahayag sa pamamagitan ng kahulugan. Mga halimbawa:

№1. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga ugat: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Sagot: ang kabuuan ng mga ugat ay 1 №2. . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang mas maliit na ugat: x 2 - 4x
- 5 = 0
Sagot: mas maliit na ugat x = - 5. №3. Lutasin ang equation:

Sagot: x = -1. Mga Pagsasanay: №18. Lutasin ang equation at isulat ang kabuuan ng mga ugat: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Lutasin ang equation: x 2 - 3x \u003d

№20. Lutasin ang equation:

Seksyon 7. Mga equation ng form na │F(x)│+│G(x)│=0

Madaling makita na sa kaliwang bahagi ng isang equation ng ganitong uri, ang kabuuan ng mga di-negatibong dami. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay may solusyon kung at kung ang parehong termino ay magkasabay na katumbas ng zero. Ang equation ay katumbas ng sistema ng mga equation: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Mga halimbawa: №1 . Lutasin ang equation:
Sagot: x = 2. №2. Lutasin ang equation: Sagot: x = 1. Mga Pagsasanay: №21. Lutasin ang equation: №22 . Lutasin ang equation, sa sagot isulat ang kabuuan ng mga ugat: №23 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang bilang ng mga solusyon:

Seksyon 8. Mga equation ng form

Upang malutas ang mga equation ng ganitong uri, ginagamit ang paraan ng mga pagitan. Kung ito ay malulutas sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpapalawak ng mga module, pagkatapos ay makukuha natin n mga hanay ng mga sistema, na napakahirap at hindi maginhawa. Isaalang-alang ang algorithm ng paraan ng pagitan: 1). Maghanap ng mga Variable Value X, kung saan ang bawat module ay katumbas ng zero (zero ng mga expression ng submodule):
2). Ang mga nahanap na halaga ay minarkahan sa isang linya ng numero, na nahahati sa mga agwat (ang bilang ng mga agwat, ayon sa pagkakabanggit, ay katumbas ng n+1 ) 3). Tukuyin kung anong senyales ang makikita sa bawat module sa bawat nakuhang pagitan (kapag gumagawa ng solusyon, maaari kang gumamit ng linya ng numero, na minarkahan ang mga palatandaan dito) 4). Ang orihinal na equation ay katumbas ng set n+1 system, sa bawat isa kung saan ang pagiging kasapi ng variable ay ipinahiwatig X isa sa mga pagitan. Mga halimbawa: №1 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang pinakamalaking ugat:
isa). Hanapin natin ang mga zero ng mga expression ng submodule: x = 2; x = -3 2). Minarkahan namin ang mga nahanap na halaga sa linya ng numero at tinutukoy kung anong senyales ang ipinapakita ng bawat module sa nakuha na mga agwat:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- walang solusyon Ang equation ay may dalawang ugat. Sagot: ang pinakamalaking ugat ay x = 2. №2. Lutasin ang equation, isulat ang buong ugat sa sagot:
isa). Hanapin natin ang mga zero ng mga expression ng submodule: x = 1.5; x = - 1 2). Minarkahan namin ang mga nahanap na halaga sa linya ng numero at tinutukoy kung anong senyales ang ipinahayag ng bawat module sa nakuha na mga pagitan: x + 1 x + 1 x + 1 - +
-1 1.5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
Ang huling sistema ay walang mga solusyon, samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat. Kapag nilulutas ang equation, dapat mong bigyang pansin ang "-" sign sa harap ng pangalawang module. Sagot: integer root x = 7. №3. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga ugat: 1). Hanapin natin ang mga zero ng mga expression ng submodule: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Minarkahan namin ang mga nahanap na halaga sa linya ng numero at tinutukoy kung anong senyales ang ipinahayag ng bawat module sa nakuha na mga pagitan: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Ang equation ay may dalawang ugat x = 0 at 2. Sagot: ang kabuuan ng mga ugat ay 2. №4 . Lutasin ang equation: 1). Hanapin natin ang mga zero ng mga expression ng submodule: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Tukuyin natin ang sign kung saan pinalawak ang bawat module sa mga nakuhang pagitan. 3).
Pinagsasama namin ang mga solusyon ng unang tatlong sistema. Sagot: ; x = 5.
Mga Pagsasanay: №24. Lutasin ang equation:
№25. Lutasin ang equation, sa sagot isulat ang kabuuan ng mga ugat: №26. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang mas maliit na ugat: №27. Lutasin ang equation, ibigay ang mas malaking ugat sa iyong sagot:

Seksyon 9. Mga Equation na Naglalaman ng Maramihang Mga Module

Ang mga equation na naglalaman ng maramihang mga module ay nagpapalagay ng mga ganap na halaga sa mga expression ng submodule. Ang pangunahing prinsipyo ng paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay ang sunud-sunod na pagsisiwalat ng mga module, na nagsisimula sa "panlabas". Sa kurso ng solusyon, ang mga pamamaraan na tinalakay sa mga seksyon No. 1, No. 3 ay ginagamit.

Mga halimbawa: №1. Lutasin ang equation:
Sagot: x = 1; - labing-isa. №2. Lutasin ang equation:
Sagot: x = 0; apat; - apat. №3. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang produkto ng mga ugat:
Sagot: Ang produkto ng mga ugat ay 8. №4. Lutasin ang equation:
Tukuyin ang mga equation ng populasyon (1) at (2) at isaalang-alang ang solusyon ng bawat isa sa kanila nang hiwalay para sa kaginhawahan ng disenyo. Dahil ang parehong mga equation ay naglalaman ng higit sa isang module, mas maginhawang magsagawa ng katumbas na paglipat sa mga hanay ng mga system. (1)

(2)


Sagot:
Mga Pagsasanay: №36. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga ugat: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Lutasin ang equation, kung mayroong higit sa isang ugat, sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga ugat: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Lutasin ang equation: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang bilang ng mga ugat para sa: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang bilang ng mga ugat:

Seksyon 3. Logarithmic equation.

Bago lutasin ang mga sumusunod na equation, kinakailangang suriin ang mga katangian ng logarithms at ang logarithmic function. Mga halimbawa: №1. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang produkto ng mga ugat: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Case 1: kung x ≥ - 1, pagkatapos ay log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – natutugunan ang kundisyon x ≥ - 1 2 kaso: kung x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – natutugunan ang kundisyon x - 1
Sagot: Ang produkto ng mga ugat ay 15.
№2. Lutasin ang equation, sa sagot ay ipahiwatig ang kabuuan ng mga ugat: lg
O.D.Z.

Sagot: ang kabuuan ng mga ugat ay 0.5.
№3. Lutasin ang equation: log 5
O.D.Z.

Sagot: x = 9. №4. Lutasin ang equation: │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Gamitin natin ang formula para sa paglipat sa ibang base. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Hanapin natin ang mga zero ng mga expression ng submodule: x = 25; x \u003d Hinahati ng mga numerong ito ang lugar ng mga pinahihintulutang halaga sa tatlong agwat, kaya ang equation ay katumbas ng kabuuan ng tatlong sistema.
Sagot :)