Alinsunod sa kahulugan ng dibisyon ng mga tunay na numero, ang sumusunod na kahulugan ay itinatag.
Kahulugan. Upang hatiin ang isang kumplikadong numero na a + bi sa isang kumplikadong numero, ang ibig sabihin ng "+ b" ay upang mahanap ang gayong numero na x + yi, na, kapag pinarami ng isang divisor, ay magbibigay ng dibidendo.
Nakukuha namin ang isang tiyak na tuntunin ng paghahati sa pamamagitan ng pagsulat ng quotient bilang isang fraction at pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction na ito sa pamamagitan ng number conjugate sa denominator: (a + bi): (c + di) =
Halimbawa 1. Hanapin ang quotient (7 - 4i):(3 + 2i).
Ang pagkakaroon ng nakasulat na fraction (7 - 4i)/(3 + 2i), pinalawak namin ito sa pamamagitan ng bilang na 3 - 2i conjugate sa 3 + 2i. Nakukuha namin:
((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.
Halimbawa 1 ng nakaraang talata ay nagbibigay ng tseke.
Halimbawa 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0.56 - 0.92i.
Upang patunayan na ang kanang bahagi ay talagang isang quotient, sapat na upang i-multiply ito sa a" + b". Kumuha kami ng + bi.
Paglutas ng mga Equation gamit ang Mga Complex Variable
variable ng pagdaragdag ng kumplikadong numero
Isaalang-alang muna ang pinakasimpleng quadratic equation na z2 = a, kung saan ang a ay isang binigay na numero, ang z ay isang hindi kilala. Sa hanay ng mga tunay na numero, ang equation na ito ay:
- 1) ay may isang ugat z = 0 kung a = 0;
- 2) ay may dalawang tunay na ugat z1,2 = kung a>0;
- 3) walang tunay na ugat kung a
Sa hanay ng mga kumplikadong numero, ang equation na ito ay palaging may ugat.
Gawain 1. Hanapin ang mga kumplikadong ugat ng equation z2 = a kung:
- 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = -3.
- 1) z2 = -1. Dahil ang i2 = -1, ang equation na ito ay maaaring isulat bilang z2 = i2, o z2 - i2 = 0. Samakatuwid, ang pag-factor sa kaliwang bahagi, makuha natin ang (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - Sinagot ko. z1,2 = i.
- 2) z2 = -25. Dahil sa i2 = -1, binabago namin ang equation na ito:
z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, kung saan ang z1 = 5i, z2 = -5i. Sagot:
3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0
Sagot: z1,2 = i.
Sa pangkalahatan, ang equation z2 = a, kung saan a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.
Gamit ang pagkakapantay-pantay i2 \u003d -1, kaugalian na isulat ang mga square root ng mga negatibong numero tulad ng sumusunod: \u003d i, \u003d 2i, \u003d i.
Kaya, ito ay tinukoy para sa anumang tunay na numero a (positibo, negatibo at zero). Samakatuwid, anumang quadratic equation az2 + bz + c = 0, kung saan ang a, b, c ay mga tunay na numero, at 0, ay may mga ugat. Ang mga ugat na ito ay matatagpuan ayon sa kilalang pormula:
Gawain 2. Lutasin ang equation na z2-4z+13=0. Ayon sa formula na makikita natin: z1,2 = = = 2 3i.
Tandaan na ang mga ugat na matatagpuan sa problemang ito ay conjugate: z1=2+3i at z2=2-3i. Hanapin natin ang kabuuan at produkto ng mga ugat na ito: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.
Ang numero 4 ay ang 2nd coefficient ng equation na z2-4z+13=0, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang numero 13 ay isang libreng termino, iyon ay, sa kasong ito ang Vieta theorem ay wasto. Ito ay wasto para sa anumang quadratic equation: kung ang z1 at z2 ay ang mga ugat ng equation az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .
Gawain 3. Bumuo ng pinababang quadratic equation na may mga real coefficient na may ugat na z1=-1-2i.
Ang pangalawang ugat na z2 ng equation ay ang conjugate ng ibinigay na ugat na z1, iyon ay, z2=-1+2i. Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta nakita natin
P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ang sagot ay z2-2z+5=0.
Kahulugan:
Kumplikadong numero = x – yi ay tinatawag na conjugate number na may kinalaman sa w = x + yi.
Mga halimbawa ng conjugate complex number:
–1 + 5i at -1 - 5 i, 2 – 3i at 2 + 3 i.
Upang hatiin ang dalawang kumplikadong mga numero sa algebraic form, bilang isang panuntunan, ito ay maginhawa upang i-multiply ang numerator at denominator ng isang fraction sa conjugate ng denominator.
Halimbawa 4 Magsagawa ng dibisyon: 
= [multiply ang numerator at denominator ng fraction sa conjugate ng denominator] =
pansinin mo yan 
ay isang expression, hindi isang numero, kaya hindi ito maaaring ituring na isang sagot.
Halimbawa 5 Magpatakbo ng mga aksyon: 
=
=
=
.
Halimbawa 6 Magpatakbo ng mga aksyon: 
= [multiply ang numerator at denominator ng fraction sa mga numerong conjugate sa parehong numero ng denominator] =
Pag-extract ng square root ng complex number sa algebraic form
Kahulugan.
Kumplikadong numero 
ay tinatawag na square root ng isang complex number z, kung 
.
Halimbawa 7 Kalkulahin 
.
Solusyon. Hayaan 
=
x +
yi, pagkatapos
Hiwalay naming lutasin ang biquadratic equation:
Sagot: (-3 + 4 i;
3 ‑ 4i}.
Ang isa pang solusyon ay posible pagkatapos ng pagpapakilala ng trigonometriko na anyo ng kumplikadong numero (tingnan ang p. 14).
Paglutas ng mga linear at quadratic na equation para sa mga kumplikadong numero
Sa larangan ng kumplikadong mga numero, ang parehong mga formula para sa paglutas ng mga linear at quadratic na equation ay totoo tulad ng sa larangan ng mga tunay na numero.
Halimbawa 8 Lutasin ang equation: (-2 - i)z = 3 +i.
Halimbawa 9 Lutasin ang equation: 
.
Solusyon. Gamitin natin ang formula upang mahanap ang mga ugat ng quadratic equation:
Sagot: (-2 + i;
‑2 –i} .
Halimbawa 10 Lutasin ang equation: 
.
Solusyon:
Sagot: (1 - 2 i;
1 –i} .
Halimbawa 11 Lutasin ang equation: 
.
Solusyon:
Compute 
:
Binubuo namin ang sistema sa pamamagitan ng pagtutumbas ng tunay at haka-haka na mga bahagi ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay:
Sagot:(2; i} .
Halimbawa 12 Lutasin ang sistema ng mga equation:
Solusyon. Ipinapahayag namin ang variable mula sa unang equation ng system x sa pamamagitan ng variable y:
I-multiply namin ang numerator at denominator ng fraction sa conjugate ng denominator:
Sa numerator ng fraction, buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad na termino:
Pinapalitan namin ang nakuhang halaga ng variable x sa pangalawang equation ng system:
;
Sagot: (1 + i; i}.
Trigonometric notation ng mga kumplikadong numero
Geometric na representasyon ng mga kumplikadong numero
Kapag pinag-aaralan ang mga katangian ng mga kumplikadong numero, ang kanilang geometric na interpretasyon ay napaka-maginhawa. Dahil ang isang kumplikadong numero ay tinukoy bilang isang pares ng mga tunay na numero, kung gayon ang bawat kumplikadong numero z = a + bi kinakatawan ng isang punto sa eroplano ( x, y) na may mga coordinate x = a at y = b. Ang nasabing eroplano ay tinatawag kumplikadong eroplano, ang abscissa axis ay totoo (Re z), at ang ordinate axis ay ang haka-haka na axis (Im z).
Halimbawa 13 Iguhit sa eroplano ang mga puntos na naaayon sa mga numero:
R 
solusyon. Numero z 1, ang tunay na bahagi ay -2, at ang haka-haka na bahagi ay 0. Samakatuwid, ang imahe ng numero z Ang 1 ay ang punto (-2, 0) (Larawan 1.1).
Numero z 2, ang tunay na bahagi ay 0, at ang haka-haka na bahagi ay 3. Samakatuwid, ang imahe ng numero z Ang 2 ay ang punto (0, 3). Numero z 3 ang tunay na bahagi ay 1 at ang haka-haka ay -4. Samakatuwid, ang imahe ng numero z Ang 3 ay ang tuldok (1, -4).
Numero z 4 ang tunay na bahagi ay 1 at ang haka-haka 1. Samakatuwid, ang imahe ng numero z 4 ang punto (1, 1).
Numero z 5 ang tunay na bahagi ay -3 at ang haka-haka ay -2. Samakatuwid, ang imahe ng numero z Ang 5 ay isang tuldok (-3, -2).
Ang mga conjugate na numero ay kinakatawan ng mga punto sa kumplikadong eroplano, simetriko tungkol sa totoong axis Re z.
