Ang mga kaliwang bahagi ng mga differential equation ng form ay kung minsan ay ang kabuuang mga pagkakaiba ng ilang mga function. Kung ang isang function ay muling itinayo mula sa kabuuang pagkakaiba nito, makikita ang pangkalahatang integral ng differential equation. Sa artikulong ito, ilalarawan namin ang isang paraan para sa pagpapanumbalik ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito; ibibigay namin ang teoretikal na materyal na may mga halimbawa at mga gawain na may detalyadong paglalarawan ng solusyon.
Ang kaliwang bahagi ng differential equation ay ang kabuuang differential ng ilang function U(x, y) = 0 kung ang kundisyon ay nasiyahan.
Dahil ang kabuuang pagkakaiba ng function na U(x, y) = 0 ay 
, kung gayon, kung nasiyahan ang kundisyon, maaari nating igiit iyon 
. Dahil dito, 
.
Mula sa unang equation ng system na mayroon tayo 
. Ang function ay matatagpuan gamit ang pangalawang equation ng system: 
Hahanapin nito ang nais na function U(x, y) = 0 .
Isaalang-alang ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon.
Sa halimbawang ito. Natutugunan ang kundisyon dahil 
samakatuwid, ang kaliwang bahagi ng orihinal na differential equation ay ang kabuuang differential ng ilang function U(x, y) = 0 . Ang aming gawain ay hanapin ang function na ito.
kasi 
ay ang kabuuang pagkakaiba ng function na U(x, y) = 0 , pagkatapos 
. Isinasama namin ang unang equation ng system na may paggalang sa x at pinagkaiba ang resulta na nakuha patungkol sa y 
. Sa kabilang banda, mula sa pangalawang equation ng system na mayroon tayo . Dahil dito, 
kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.
Sa ganitong paraan, 
at ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation ay 
.
May isa pang paraan para sa paghahanap ng isang function sa pamamagitan ng kabuuang pagkakaiba nito. Binubuo ito sa pagkuha curvilinear integral mula sa isang nakapirming punto (x 0 , y 0) hanggang sa isang punto na may variable na coordinate (x, y): 
. Sa kasong ito, ang halaga ng integral ay hindi nakasalalay sa landas ng pagsasama. Maginhawang kunin bilang integration path ang isang putol na linya na ang mga link ay parallel sa mga coordinate axes.
Tingnan natin ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation 
.
Solusyon.
Suriin natin ang kondisyon: 
Kaya, ang kaliwang bahagi ng differential equation ay ang kabuuang differential ng ilang function U(x, y) = 0 . Hanapin natin ang function na ito sa pamamagitan ng pagkalkula ng curvilinear integral mula sa punto (1; 1) hanggang (x, y) . Bilang landas ng pagsasama, kumukuha kami ng putol na linya: ang unang seksyon ng polyline ay dadaan sa tuwid na linya y = 1 mula sa punto (1, 1) hanggang (x, 1) , ang pangalawang seksyon ng landas ay kukuha ng isang tuwid na bahagi ng linya mula sa punto (x, 1) hanggang (x, y) . 
Sa paksang ito, isasaalang-alang namin ang isang paraan para sa pagbawi ng isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito, magbigay ng mga halimbawa ng mga problema na may kumpletong pagsusuri ng solusyon.
Nangyayari na ang mga differential equation (DE) ng form na P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 ay maaaring maglaman ng kabuuang pagkakaiba ng ilang mga function sa kaliwang bahagi. Pagkatapos ay mahahanap natin ang pangkalahatang integral ng DE kung una nating ibabalik ang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito.
Halimbawa 1
Isaalang-alang ang equation na P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 . Ang talaan ng kaliwang bahagi nito ay naglalaman ng pagkakaiba ng ilang function U(x, y) = 0. Para dito, dapat matugunan ang kundisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.
Ang kabuuang pagkakaiba ng function na U (x , y) = 0 ay may anyo d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Isinasaalang-alang ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, nakukuha namin ang:
P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y
∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)
Sa pamamagitan ng pagbabago ng unang equation mula sa nagresultang sistema ng mga equation, makakakuha tayo ng:
U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)
Mahahanap natin ang function na φ (y) mula sa pangalawang equation ng dating nakuhang sistema:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y
Kaya natagpuan namin ang nais na function U (x, y) = 0.
Halimbawa 2
Hanapin para sa DE (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 ang pangkalahatang solusyon.
Solusyon
P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y
Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan:
∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y
Ang aming kondisyon ay natutugunan.
Batay sa mga kalkulasyon, maaari nating tapusin na ang kaliwang bahagi ng orihinal na DE ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function U (x , y) = 0 . Kailangan nating hanapin ang function na ito.
Dahil ang (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ay ang kabuuang pagkakaiba ng function na U (x, y) = 0, kung gayon
∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y
Isinasama namin ang unang equation ng system na may paggalang sa x:
U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)
Ngayon ay pinag-iiba namin ang resulta na may paggalang sa y:
∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)
Ang pagbabago ng pangalawang equation ng system, nakukuha natin: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Ibig sabihin nito ay
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C
kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.
Nakukuha namin ang: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C. Ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation ay x 3 3 - x y 2 + C = 0 .
Suriin natin ang isa pang paraan para sa paghahanap ng isang function mula sa isang kilalang kabuuang kaugalian. Kabilang dito ang paggamit ng isang curvilinear integral mula sa isang nakapirming punto (x 0, y 0) hanggang sa isang punto na may variable na coordinate (x, y):
U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C
Sa ganitong mga kaso, ang halaga ng integral ay hindi nakasalalay sa anumang paraan sa landas ng pagsasama. Maaari tayong kumuha ng putol na linya bilang isang integration path, na ang mga link ay parallel sa coordinate axes.
Halimbawa 3
Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .
Solusyon
Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan:
∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y
Lumalabas na ang kaliwang bahagi ng differential equation ay kinakatawan ng kabuuang differential ng ilang function U (x, y) = 0. Upang mahanap ang function na ito, kinakailangan upang kalkulahin ang curvilinear integral mula sa punto (1 ; 1) dati (x, y). Dalhin natin bilang isang integration path ang isang putol na linya, na ang mga seksyon ay dadaan sa isang tuwid na linya y=1 mula sa punto (1 , 1) hanggang (x , 1) , at pagkatapos mula sa punto (x , 1) hanggang (x , y):
∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2
Nakuha namin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ng form x y - x y 2 + C = 0 .
Halimbawa 4
Tukuyin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .
Solusyon
Suriin natin kung ang kondisyon ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ay nasiyahan.
Dahil ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , ang kundisyon ay hindi masisiyahan. Nangangahulugan ito na ang kaliwang bahagi ng differential equation ay hindi ang kabuuang differential ng function. Ito ay isang separable differential equation at iba pang mga solusyon ay angkop para sa paglutas nito.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Kahulugan: Equation ng form
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)
kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function ng dalawang variable, ay tinatawag na equation sa kabuuang differentials.
Tukuyin ang function na ito ng dalawang variable ng F(x,y). Pagkatapos ang equation (9) ay maaaring muling isulat bilang dF(x,y) = 0, at ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon F(x,y) = C.
Hayaang magbigay ng equation ng form (9). Upang malaman kung ito ay isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba, kailangan mong suriin kung ang expression ay
P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)
ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function ng dalawang variable. Upang gawin ito, kinakailangan upang suriin ang katuparan ng pagkakapantay-pantay
Ipagpalagay natin na para sa isang naibigay na expression (10) ang pagkakapantay-pantay (11) ay nasiyahan sa ilang simpleng konektadong domain (S) at, samakatuwid, ang expression (10) ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function F(x,y) sa (S) .
Isaalang-alang ang sumusunod na paraan ng paghahanap ng antiderivative na ito. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang function F(x,y) tulad na
kung saan ang function (y) ay tutukuyin sa ibaba. Mula sa pormula (12) ay sinusundan iyon
sa lahat ng mga punto sa lugar (S). Ngayon pipiliin namin ang function (y) upang maganap ang pagkakapantay-pantay
Upang gawin ito, muling isinulat namin ang pagkakapantay-pantay (14) na kailangan namin, pinapalitan sa halip na F(x, y) ang pagpapahayag nito ayon sa formula (12):
Pag-iba-ibahin natin ang paggalang sa y sa ilalim ng integral sign (maaari itong gawin dahil P(x, y) at tuluy-tuloy na function ng dalawang variable):
Dahil sa pamamagitan ng (11) , kung gayon, pinapalitan ng sa ilalim ng integral sign sa (16), mayroon tayong:
Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang higit sa y, makikita natin ang function (y) mismo, na itinayo sa paraang nananatili ang pagkakapantay-pantay (14). Gamit ang mga pagkakapantay-pantay (13) at (14), makikita natin iyon
sa lugar (S). (labing walo)
Halimbawa 5. Suriin kung ang ibinigay na differential equation ay isang equation sa kabuuang differentials at lutasin ito.
Ito ay isang differential equation sa kabuuang differentials. Sa katunayan, denoting, tinitiyak namin na
at ito ay kinakailangan at sapat na kondisyon para sa pagpapahayag
P(x,y)dx+Q(x,y)dy
ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function na U(x,y). Bukod dito, ang mga tuluy-tuloy na pag-andar sa R.
Samakatuwid, upang maisama ang isang naibigay na differential equation, kinakailangan upang makahanap ng isang function kung saan ang kaliwang bahagi ng differential equation ay isang kabuuang differential. Hayaan ang U(x,y) na maging ganoong function, kung gayon
Pagsasama ng kaliwa at kanang bahagi sa ibabaw ng x, nakukuha natin ang:
Upang mahanap u(y), ginagamit namin ang katotohanan na
Ang pagpapalit ng nahanap na halaga ng u(y) sa (*), sa wakas ay nakuha namin ang function na U(x, y):
Ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation ay may anyo
Mga pangunahing uri ng differential equation ng unang pagkakasunod-sunod (ipinagpatuloy).
Linear differential equation
Kahulugan: Ang first-order linear equation ay isang equation ng form
y" + P(x)y = f(x), (21)
kung saan ang P(x) at f(x) ay tuluy-tuloy na function.
Ang pangalan ng equation ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang derivative y "ay isang linear function ng y, iyon ay, kung muling isusulat natin ang equation (21) bilang y" = - P (x) + f (x), kung gayon ang tama side ay naglalaman ng y lamang sa unang antas.
Kung f(x) = 0, ang equation
yґ+ P(x) y = 0 (22)
ay tinatawag na linear homogenous equation. Malinaw, ang isang homogenous na linear equation ay isang equation na may mga separable variable:
y" + P(x)y = 0; ,
Kung f(x) ? 0, pagkatapos ay ang equation
yґ+ P(x) y = f(x) (23)
ay tinatawag na linear inhomogeneous equation.
Sa pangkalahatan, ang mga variable sa equation (21) ay hindi maaaring paghiwalayin.
Ang equation (21) ay nalulutas sa mga sumusunod: maghahanap tayo ng solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function na U(x) at V(x):
Hanapin natin ang derivative:
y" = U"V + UV" (25)
at palitan ang mga expression na ito sa equation (1):
U"V + UV" + P(x)UV = f(x).
Ipangkat natin ang mga termino sa kaliwang bahagi:
U "V + U \u003d f (x). (26)
Magpataw tayo ng kundisyon sa isa sa mga salik (24), ibig sabihin, ipagpalagay na ang function na V(x) ay tulad na ginagawa nito ang expression sa mga square bracket sa (26) sa magkaparehong zero, i.e. na ito ay isang solusyon sa differential equation
V" + P(x)V = 0. (27)
Ito ay isang equation na may mga separable variable, makikita natin ang V (x) mula dito:
Ngayon, hanapin natin ang isang function na U(x) na para sa nahanap na function na V(x), ang produktong U V ay isang solusyon sa Eq. (26). Para dito, ang U(x) ay dapat na isang solusyon sa equation
Ito ay isang separable variable equation, kaya
Ang pagpapalit ng mga nahanap na function (28) at (30) sa formula (4), makuha natin ang pangkalahatang solusyon ng equation (21):
Kaya, ang isinasaalang-alang na pamamaraan (ang Bernoulli method) ay binabawasan ang solusyon ng linear equation (21) sa solusyon ng dalawang equation na may mga separable variable.
Halimbawa 6. Hanapin ang pangkalahatang integral ng equation.
Ang equation na ito ay hindi linear na may kinalaman sa y at y", ngunit ito ay lumalabas na linear kung kukunin natin ang x bilang nais na function at y bilang argumento. Sa katunayan, ang pagpasa sa, makuha natin
Upang malutas ang nagresultang equation, ginagamit namin ang paraan ng pagpapalit (Bernoulli). Maghahanap tayo ng solusyon sa equation sa anyong x(y)=U(y)V(y), pagkatapos. Nakukuha namin ang equation:
Pinipili namin ang function na V(y) upang iyon. Pagkatapos
Ang pagkakaroon ng karaniwang form na $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang differential ng ilang function $F Ang \left( x,y\right)$ ay tinatawag na equation sa kabuuang differentials.
Ang kabuuang differential equation ay maaaring palaging muling isulat bilang $dF\left(x,y\right)=0$, kung saan ang $F\left(x,y\right)$ ay isang function na ang $dF\left(x, y) \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Isinasama namin ang magkabilang panig ng equation $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; ang integral ng zero na kanang bahagi ay katumbas ng isang arbitraryong pare-parehong $C$. Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng equation na ito sa implicit form ay may anyong $F\left(x,y\right)=C$.
Para ang isang ibinigay na differential equation ay isang equation sa kabuuang differentials, ito ay kinakailangan at sapat na ang kondisyon na $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ ay matugunan . Kung nasiyahan ang kundisyong ito, mayroong isang function na $F\left(x,y\right)$ kung saan maaari naming isulat: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, kung saan nakakuha tayo ng dalawang relasyon: $\ frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ at $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$.
Isinasama namin ang unang ugnayang $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ sa $x$ at makakuha ng $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kung saan ang $U\left(y\right)$ ay isang arbitrary na function ng $y$.
Piliin natin ito upang ang pangalawang ugnayan na $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ay nasiyahan. Upang gawin ito, iniiba namin ang resultang kaugnayan para sa $F\left(x,y\right)$ na may paggalang sa $y$ at itinutumbas ang resulta sa $Q\left(x,y\right)$. Nakukuha namin ang: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\kanan)$.
Ang susunod na solusyon ay:
- mula sa huling pagkakapantay-pantay ay makikita natin ang $U"\left(y\right)$;
- isama ang $U"\left(y\right)$ at hanapin ang $U\left(y\right)$;
- palitan ang $U\left(y\right)$ sa $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ at sa wakas nakuha namin ang function na $F\left(x,y\right)$.
Natagpuan namin ang pagkakaiba:
Isinasama namin ang $U"\left(y\right)$ sa $y$ at hanapin ang $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.
Hanapin ang resulta: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.
Isinulat namin ang pangkalahatang solusyon bilang $F\left(x,y\right)=C$, namely:
Humanap ng partikular na solusyon $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kung saan $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:
Ang isang partikular na solusyon ay may anyo: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.
Kahulugan 8.4. Differential equation ng form
saan 
ay tinatawag na total differential equation.
Tandaan na ang kaliwang bahagi ng naturang equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function 
.
Sa pangkalahatang kaso, ang equation (8.4) ay maaaring katawanin bilang
Sa halip na equation (8.5), maaaring isaalang-alang ng isa ang equation
,
na ang solusyon ay ang pangkalahatang integral ng equation (8.4). Kaya, upang malutas ang equation (8.4) ito ay kinakailangan upang mahanap ang function 
. Alinsunod sa kahulugan ng equation (8.4), mayroon tayo
(8.6)
Function 
hahanapin natin, bilang isang function na nakakatugon sa isa sa mga kundisyong ito (8.6):
saan 
ay isang arbitrary na function na independiyente sa 
.
Function 
ay tinukoy upang ang pangalawang kondisyon ng pagpapahayag (8.6) ay nasiyahan
(8.7)
Mula sa expression (8.7) natutukoy ang function 
. Pagpapalit nito sa ekspresyong para sa 
at makuha ang pangkalahatang integral ng orihinal na equation.
Suliranin 8.3. Pagsamahin ang Equation
Dito 
.
Samakatuwid, ang equation na ito ay kabilang sa uri ng differential equation sa kabuuang differentials. Function 
maghahanap tayo sa form
.
Sa kabilang kamay,
.
Sa ilang mga kaso, ang kondisyon 
maaaring hindi maisagawa.
Pagkatapos ang mga naturang equation ay binabawasan sa uri na isinasaalang-alang sa pamamagitan ng pagpaparami ng tinatawag na integrating factor, na, sa pangkalahatang kaso, ay isang function ng lamang 
o 
.
Kung ang ilang equation ay may integrating factor na nakasalalay lamang sa 
, pagkatapos ito ay tinutukoy ng formula
nasaan ang ratio 
dapat ay isang function lamang 
.
Katulad nito, isang integrating factor depende lamang sa 
, ay tinutukoy ng formula
nasaan ang ratio 
dapat ay isang function lamang 
.
Ang kawalan sa mga ratio sa itaas, sa unang kaso, ng variable 
, at sa pangalawa - isang variable 
, ay isang tanda ng pagkakaroon ng isang integrating factor para sa isang ibinigay na equation.
Suliranin 8.4. Dalhin ang equation na ito sa isang equation sa kabuuang differentials.
.
Isaalang-alang ang relasyon:
.
Paksa 8.2. Linear differential equation
Kahulugan 8.5. Differential equation 
ay tinatawag na linear kung ito ay linear na may paggalang sa nais na function 
, ang hinango nito 
at hindi naglalaman ng produkto ng ninanais na function at ang hinango nito.
Ang pangkalahatang anyo ng isang linear differential equation ay kinakatawan ng sumusunod na relasyon:
(8.8)
Kung may kaugnayan (8.8) ang kanang bahagi 
, kung gayon ang gayong equation ay tinatawag na linear homogenous. Sa kaso kung saan ang kanang bahagi 
, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na linear inhomogeneous.
Ipakita natin na ang equation (8.8) ay maaaring isama sa mga quadrature.
Sa unang yugto, isinasaalang-alang namin ang isang linear homogenous na equation.
Ang nasabing equation ay isang equation na may mga separable variable. Talaga,
;
/
Tinutukoy ng huling kaugnayan ang pangkalahatang solusyon ng linear homogenous equation.
Upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear inhomogeneous equation, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng derivative ng isang pare-pareho ay ginagamit. Ang ideya ng pamamaraan ay ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation sa parehong anyo bilang ang solusyon ng kaukulang homogeneous equation, gayunpaman, isang arbitrary na pare-pareho. 
pinalitan ng ilang function 
para malaman. Kaya mayroon kaming:
(8.9)
Pinapalitan sa kaugnayan (8.8) ang mga ekspresyong katumbas ng 
at 
, nakukuha namin
Ang pagpapalit ng huling expression sa kaugnayan (8.9), ang isa ay nakakakuha ng pangkalahatang integral ng isang linear na hindi homogenous na equation.
Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay tinutukoy ng dalawang quadratures: isang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous equation at isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous equation.
Suliranin 8.5. Isama ang Equation 
Kaya, ang orihinal na equation ay kabilang sa uri ng linear inhomogeneous differential equation.
Sa unang yugto, nakita namin ang pangkalahatang solusyon ng linear homogenous equation.
;
Sa ikalawang yugto, tinutukoy namin ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation, na hinahanap sa anyo
,
saan 
ay ang function na dapat tukuyin.
Kaya mayroon kaming:
Pagpapalit ng mga ratios para sa 
at 
sa orihinal na linear inhomogeneous equation na nakuha natin:
;
;
.
Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay magiging ganito:
.
