Hayaang maibigay ang ilang pagkakasunud-sunod ng mga renumbered na numero x 1 , x 2 ,..., x n ,.. ., na ipinapahiwatig natin sa madaling sabi o (x n ) . Ang sequence na ito ay maaaring isulat bilang isang function ng numero n: x n =f(n) , o x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..
Ang anumang pagkakasunud-sunod ay tutukuyin kung ang panuntunan para sa pagbuo ng mga miyembro nito ay tinukoy. Ang sequence ay karaniwang ibinibigay ng mga formula tulad ng x n =f(n) o x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) atbp., kung saan .
Halimbawa.Sequence 2, 4, 8, 16, .. . ibinigay ng formula x n =2 n ; geometric progression a 1 , a 2 ,..., a n , .. . maaaring tukuyin ng formula a n =a 1 q n-1 o a n =a n-1 q ; Mga numero ng Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . ay tinukoy ng mga formula x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .
Graph ng Pagkakasunud-sunod ng Numero(x n ) ay nabuo sa pamamagitan ng isang set ng mga puntos M n (n;f(n)) sa nOx plane, i.e. tsart ng pagkakasunud-sunod ng numero binubuo ng mga discrete point.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na pagtaas kung ang kondisyon ng form ay nasiyahan.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na bumababa kung ang kondisyon ng form ay nasiyahan.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na non-increasing kung ang kondisyon ng form ay nasiyahan.
Ang sequence (x n ) ay tinatawag na non-decreasing kung ang sumusunod na kondisyon ay natutugunan: .
Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na monotoniko. Ang natitirang mga sequence ay hindi monotoniko.
Sunod ay tinawag walang katapusang pagkakasunod-sunod anumang bagay na may parehong kalikasan.
Halimbawa.Series ng mga numero - serye ng numero. Ilan sa mga function - functional range.
Ang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng isang serye ay makabuluhan. Sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakasunud-sunod, nakakakuha kami ng isa pang hilera mula sa parehong mga elemento.
Interesado lamang kami dito sa numerical series at sa kabuuan nito, na nakasulat pa rin nang pormal (hindi constructively, not formalized), iyon ay, ang kabuuan ng lahat ng miyembro ng ilang walang katapusang numerical sequence u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., o u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Ang seryeng ito ay maaaring isulat nang siksik bilang
Ang sign ay ang sign na "sigma" o ang sign ng kabuuan, ang sequential summation ng lahat ng elemento u n mula sa lower limit n=1 (ipinahiwatig sa ibaba, ay maaaring maging finite o negative infinity) hanggang sa upper limit (ipinahiwatig sa ang tuktok, ay maaaring maging anumang numero, mas malaki sa o katumbas ng mas mababang limitasyon, pati na rin ang positibong infinity).
Ang mga numerong u n (n=1, 2, .. .) ay tinatawag na mga miyembro ng serye, at u n ang karaniwang miyembro ng serye.
Halimbawa.Sa isang kurso sa matematika ng paaralan, ang isang geometric na walang katapusang pagbaba ng pag-unlad ay binibigyan ng a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .
Halimbawa. Harmonic na serye ng mga numero- serye ng form: . Sa ibaba ay isasaalang-alang natin ito nang mas detalyado.
Ang serye ng numero ay isasaalang-alang na ibinigay, ibig sabihin, ang bawat isa sa mga elemento nito ay natatanging matutukoy kung ang panuntunan para sa paghahanap ng karaniwang miyembro nito ay tinukoy o ilang numeric function natural na argumento 
, o u n =f(n) .
Halimbawa.Kung , ang serye ay ibinigay , o sa compact na notation:
Kung bibigyan maharmonya na serye ng mga numero, kung gayon ang karaniwang termino nito ay maaaring isulat bilang , at ang serye mismo ay maaaring isulat bilang
Ibigay natin ang kahulugan ng isang may hangganan na kabuuan ng isang serye at isang pagkakasunud-sunod ng naturang mga may hangganan na kabuuan.
Ang huling kabuuan ng n unang termino ng serye ay tinatawag nitong n-th partial sum at tinutukoy ng S n :
Ang kabuuan na ito ay matatagpuan ayon sa karaniwang mga tuntunin para sa pagsusuma ng mga numero. Mayroong walang katapusang maraming ganoong mga kabuuan, iyon ay, para sa bawat serye, maaaring isaalang-alang ng isa ang isang serye na binubuo ng mga bahagyang kabuuan: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . o isang pagkakasunud-sunod ng mga bahagyang kabuuan na ginawa para sa seryeng ito: .
Ang pagkakasunud-sunod ay bounded mula sa itaas, kung mayroong tulad ng isang karaniwang bilang M para sa lahat ng mga miyembro ng sequence, na kung saan ay hindi lalampas sa lahat ng mga miyembro ng sequence, iyon ay, kung ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan:
Ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay nililimitahan mula sa ibaba, kung mayroong karaniwang bilang na m para sa lahat ng miyembro ng sequence, na lumalampas sa lahat ng miyembro ng sequence, iyon ay, kung ang kundisyon ay natutugunan:
Limitado ang pagkakasunod-sunod ng mga numero kung mayroong mga numerong m at M na karaniwan sa lahat ng miyembro ng sequence at natutugunan ang kundisyon:
Ang numero a ay tinatawag ang limitasyon ng numerical sequence(x n ), kung mayroong napakaliit na bilang na ang lahat ng miyembro ng sequence, maliban sa ilang limitadong bilang ng mga unang miyembro, ay nahuhulog sa - neighborhood ng number a , iyon ay, sa huli, sila ay nag-condense sa paligid ng punto a . Kaya, lahat ng puntos x i , i=N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. ay dapat mahulog sa pagitan. mga pagkakasunod-sunod. Sa kasong ito, ang numero N 0 ay nakasalalay sa napiling numero, iyon ay, 
(Larawan 7.1).
kanin. 7.1.
Sa matematika, ang pagkakaroon ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat bilang:
Ang katotohanang ito ay isinulat nang maikli bilang 
o , at sabihin na ito ay nagtatagpo sa numerong a . Kung ang pagkakasunud-sunod ay walang limitasyon, kung gayon ito ay tinatawag na divergent.
Direkta itong sumusunod sa kahulugan ng limitasyon: kung itatapon, idaragdag o babaguhin natin ang isang may hangganang bilang ng mga miyembro ng sequence, kung gayon ang convergence ay hindi lalabag (iyon ay, kung ang orihinal na sequence ay nagtatagpo, pagkatapos ay ang binagong sequence ay nagtatagpo) at ang Magiging pantay ang mga limitasyon ng orihinal at mga resultang sequence.
Halimbawa.Ipagpalagay na 
, saan , iyon ay , , 
. Ang katotohanang ito ay madaling napatunayan, ngunit sa ngayon ay tinatanggap namin ito bilang isang napatunayang katotohanan. Pagkatapos,: 
. Hanapin ang halaga ng numero (kung may ganoong numero). Isipin mo 
. Ang sumusunod na kaugnayan ay totoo:
Kaya kung kukuha tayo ng numero 
, pagkatapos ay masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, sa halaga , nakukuha natin ang numero N 0 =99 , ibig sabihin, |x n -1|<0,01
. Чем меньше значение
- тем больше значение
N 0
. Например, если , то N 0 =999
.
Nagbibigay kami ngayon ng dalawang katumbas na kahulugan ng limitasyon ng function: gamit ang limitasyon ng sequence at paggamit ng sulat ng maliliit na kapitbahayan ng argumento at ang halaga ng function. Ang bisa ng isang kahulugan ay nagpapahiwatig ng bisa ng isa pa. Hayaang tukuyin ang function na y=f(x). 
, maliban siguro sa puntong x=x 0 , na siyang limitasyon ng punto ng D(f) . Sa puntong ito, ang function ay maaaring hindi natukoy (undefined) o maaaring may pahinga.
Kung ang pagkakasunod-sunod ay nagtatagpo sa zero:
pagkatapos ito ay tinatawag na isang infinitesimal sequence. Sinasabi rin na ang karaniwang termino nito ay nasa infinitesimal na dami. Ang mga sequence (84.3) at (84.4) ay infinitesimal.
Kung ilalapat natin ang pagbabalangkas ng konsepto ng limitasyon sa kaso ng isang walang katapusang maliit na pagkakasunod-sunod, ibig sabihin, sa kaso kapag ang limitasyon ay katumbas ng zero, pagkatapos ay dumating tayo sa sumusunod na kahulugan ng isang walang katapusang maliit na pagkakasunud-sunod (katumbas ng ibinigay sa itaas): ang isang pagkakasunud-sunod ay tinatawag na infinitesimal kung para sa anumang ibinigay na mayroong isang bilang na N, na para sa lahat ay magkakaroon ng hindi pagkakapantay-pantay
Bumuo tayo ng ilang kapaki-pakinabang na teorema tungkol sa mga infinitesimal na pagkakasunud-sunod (at patunayan ang una sa mga ito bilang isang halimbawa).
Theorem 1. Ang kabuuan ng dalawa o higit pang infinitesimal sequence ay isang infinitesimal na sequence.
Isinasagawa namin ang patunay para sa kaso ng pagbubuod ng dalawang sequence. Hayaang maging infinitesimal ang mga sequence. Kung ang pagkakasunud-sunod na nakuha sa pamamagitan ng kanilang karagdagan, kung gayon ito ay magiging infinitesimal din. Sa katunayan, hayaan ang isang di-makatwirang positibong numerong e. Dahil sa katotohanang ito ay napakaliit, mayroong isang numerong N kung kaya't ito ay magiging mas mababa sa numero sa . Katulad nito, para sa pangalawang pagkakasunud-sunod, maaaring tukuyin ng isa ang isang (sa pangkalahatan, naiiba) na numero na para sa mayroon tayo Ngayon, kung mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero , pagkatapos ay sabay-sabay.
Ngunit pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari "ang modulus ng kabuuan ay hindi lalampas sa kabuuan ng mga module" (item 74, ari-arian 13), nakita namin
na nagpapatunay sa kinakailangang assertion: ang infinitesimal sequence ay binabasa bilang “ang mas malaki sa dalawang numerong N at .
Theorem 2. Ang produkto ng bounded sequence at sequence converging to zero ay isang sequence converging to zero.
Mula sa teorama na ito, sa partikular, sumusunod na ang produkto ng isang pare-parehong halaga ng isang infinitesimal, tulad ng produkto ng ilang infinitesimal ng bawat isa, ay isang infinitesimal na dami. Sa katunayan, ang palaging halaga ay palaging isang limitadong halaga. Ang parehong naaangkop sa infinitesimal. Samakatuwid, halimbawa, ang produkto ng dalawang infinitesimal ay maaaring bigyang-kahulugan bilang produkto ng isang infinitesimal ng isang may hangganan.
Theorem 3. Ang quotient ng paghahati ng isang sequence na nagtatagpo sa zero sa isang sequence na may non-zero na limitasyon ay isang sequence na converges sa zero.
Ang sumusunod na theorem ay nagpapahintulot sa paggamit ng mga infinitesimal sa mga patunay ng theorems sa mga limitasyon (Theorems 6-8).
Theorem 4. Ang karaniwang termino ng isang sequence na may limitasyon ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng limitasyong ito at isang infinitesimal na dami.
Patunay. Magkaroon ng sequence na ganyan
Mula sa kahulugan ng limitasyon ay sumusunod:
para sa lahat na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay Ipahiwatig at pagkatapos ay makuha namin iyon para sa mga ipinahiwatig na halaga na magiging
ibig sabihin, na mayroong isang infinitesimal na dami. Pero
at ito ay nagpapatunay sa ating teorama.
Verna at baliktarin
Theorem 5. Kung ang isang karaniwang termino ng isang sequence ay naiiba mula sa ilang pare-parehong halaga sa pamamagitan ng isang infinitesimal na halaga, kung gayon ang pare-parehong ito ay ang limitasyon ng sequence na ito.
Isinasaalang-alang namin ngayon ang mga patakaran para sa pagpasa sa limitasyon na nabuo sa sumusunod na tatlong theorems.
Theorem 6. Ang limitasyon ng kabuuan ng dalawa o higit pang mga sequence na may limitasyon ay katumbas ng kabuuan ng mga limitasyong ito:
Patunay. Hayaang magkaroon ng mga pagkakasunod-sunod na ganoon
Pagkatapos, batay sa Theorem 4, maaari nating isulat:
kung saan ang ilang infinitesimal sequence. Idagdag natin ang huling dalawang pagkakapantay-pantay:
Ang halaga bilang kabuuan ng dalawang constants a at b ay pare-pareho, at bilang kabuuan ng dalawang infinitesimal sequence, ayon sa Theorem 1, mayroong infinitesimal sequence. Mula dito at sa Theorem 5 ay napagpasyahan natin na
at ito ay dapat patunayan.
Ang patunay na naisakatuparan natin ngayon ay madaling gawing pangkalahatan sa kaso ng isang algebraic na kabuuan ng anumang bilang ng mga ibinigay na sequence.
Hayaan ang presyo ng ilang asset sa kasalukuyang sandali ng oras r ay katumbas ng S(T) . Ang presyo ng ehersisyo ng isang opsyon sa pagtawag sa asset na ito na may expiration time T ay katumbas ng K. Kalkulahin natin ang presyo ng opsyong ito sa oras na t. Hatiin ang agwat ng oras [r, T] sa n yugto ng parehong haba (T - t)/n. Ang pagkalkula ng presyo ng opsyon sa tawag ay isinasagawa sa loob ng balangkas ng modelo ng pagpepresyo ng n-period na binomial na opsyon, at pagkatapos ay makikita ang limitasyon nito sa n -> oo.
Kaya, ang presyo ng opsyon sa n-period na binomial na modelo ay tinutukoy ng formula (3.12). Ayon sa depinisyon, ang jo ay may kaugaliang In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) bilang m i —» oo. Ayon sa Moivre-Laplace integral formula
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
kung saan Ф(х) = ^ dt - normal distribution function.
Gamit ang kahulugan (3.16) ng mga numero at ad, nakuha namin iyon bilang η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
saan
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Ang nahanap na formula (3.17) para sa presyo ng call option ay tinatawag na Black-Scholes formula.
Ang patunay ng formula (3.17) ay gumagamit ng pagpapalawak ng exponent sa serye
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Ang pagpapalit at at d mula sa formula (3.17) sa pagkakapantay-pantay (3.8), na tumutukoy sa mga numerong р id, nakukuha natin ang:
erAt - ate/Sh-
R
Ang pagpapalawak ng mga exponential sa isang serye ayon sa formula (3.18) at pagpapabaya sa mga terminong maliit kumpara sa At, nakukuha namin
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t= 1 I ~ t=
2al/M 2al/M
Kung walang kawalan ng katiyakan sa presyo sa merkado, kung gayon ang presyo ng asset na S ay natutugunan ang equation
AS = fiSAt, (2.1)
kung saan ang At ay sapat na maliit. Bilang Sa -> 0 equation (2.1) ay nagiging kaugalian
S" = /J.S.
Tinutukoy ng solusyon nito na S(T) = S(0)emT ang presyo ng S(T) ng asset sa oras na T.
Gayunpaman, sa pagsasagawa, palaging may kawalan ng katiyakan tungkol sa presyo ng isang asset. Upang ilarawan ang kawalan ng katiyakan, isinasaalang-alang ang mga function ng oras, na mga random na variable para sa bawat halaga ng argumento. Tinutukoy ng property na ito ang isang random na proseso.
Ang isang random na proseso w(t) ay tinatawag na Wiener kung r(0) = 0 at ang mga random na variable w(t\ + s) - w(t\) at w(t2 + s) - w(t2) ay may normal na distribution na may zero na inaasahan at may pagkakaiba-iba na katumbas ng s at independyente para sa anumang t\, t2, s na bumubuo ng mga hindi magkakapatong na pagitan (ti,ti + s) at (t2,t2 + s).
Ang graph ng proseso ng Wiener ay maaaring makuha, halimbawa, tulad ng sumusunod. Inaayos namin ang ilang numero h > 0 at tinutukoy ang isang pamilya ng mga random na variable Wh(t) minsan t = 0, h, 2h,.... Itakda ang Wh(0) = 0. Pagkakaiba AWh = Wh((k+l) h) - Ang Wh(kh) ay isang random na variable at ibinibigay ng talahanayan: AWh -6 6 P 1/2 1/2 coin. Pagkatapos ang matematikal na inaasahan ng random variable na AWh ay M(AI//1) = 0, at ang variance D(AWh) = S2. Ang numerong d ay itinakda katumbas ng Vh upang ang variance ~D(AWh) ay katumbas ng h.
Lumalabas na ang proseso ng Wiener na w(t) ay nakuha mula sa pamilya ng mga random na variable na Wh(t) bilang h -> 0. Ang pagpasa sa mismong limitasyon ay medyo mahirap at hindi isinasaalang-alang dito. Samakatuwid, ang graph ng pamilyang Wh (t) para sa maliit na h ay isang magandang pagtatantya ng proseso ng Wiener. Halimbawa, para sa isang visual na representasyon ng proseso ng Wiener sa isang segment, sapat na itong kumuha ng h = 0.01.
Sa pinakasimpleng kaso, kapag /x = 0, iyon ay, ang stock market ay hindi lumalaki at hindi bumababa sa karaniwan, ipinapalagay na
AS = aS Aw,
kung saan ang w(t) ay isang proseso ng Wiener at ang isang > 0 ay ilang positibong numero. Ang katotohanan na ang mga pagtaas ng presyo ng asset ay proporsyonal sa presyo ay nagpapahayag ng natural na palagay na ang kawalan ng katiyakan ng expression (S(t + At) - S(t))/S(t) ay hindi nakadepende sa S. Nangangahulugan ito na ang mamumuhunan ay pare-parehong hindi sigurado kung alin ang makakakuha ka ng bahagi ng kita sa presyo ng asset na $20 at sa presyo ng asset na $100.
Ang modelo ng pag-uugali sa presyo ng asset ay karaniwang tinutukoy ng equation
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Ang coefficient a, na isang yunit ng kawalan ng katiyakan, ay tinatawag na pagkasumpungin.
2.2.
Higit pa sa paksa ng Limit transition:
- Ang paglipat sa isang ekonomiya ng merkado ay nauugnay sa paglipat sa isang sistema ng modernong pamamahala, ang pangunahing bagay kung saan ay ang organisasyon (enterprise), at sa loob nito - ang manggagawa, ang manggagawa.
- Paglilimita sa halaga (paglilimita sa halaga ng isang pang-ekonomiyang tagapagpahiwatig)
Ang quantum mechanics ay naglalaman ng classical bilang isang limiting case. Ang tanong ay lumitaw kung paano isinasagawa ang pagpasa sa limitasyon.
Sa quantum mechanics, ang isang electron ay inilalarawan ng isang wave function na tumutukoy sa iba't ibang halaga ng coordinate nito; ang tanging alam natin sa ngayon tungkol sa function na ito ay isang solusyon ng ilang linear partial differential equation. Sa klasikal na mekanika, gayunpaman, ang isang elektron ay itinuturing bilang isang materyal na particle na gumagalaw sa isang tilapon na ganap na tinutukoy ng mga equation ng paggalaw. Ang isang relasyon na kahalintulad sa ilang kahulugan sa relasyon sa pagitan ng quantum at klasikal na mekanika ay nagaganap sa electrodynamics sa pagitan ng wave at geometric optics. Sa wave optics, ang mga electromagnetic wave ay inilalarawan ng mga vector ng electric at magnetic field na nakakatugon sa isang tiyak na sistema ng mga linear differential equation (mga equation ni Maxwell). Sa geometric na optika, ang pagpapalaganap ng liwanag kasama ang ilang mga tilapon - sinag ay isinasaalang-alang.
Ang ganitong pagkakatulad ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang pagpasa sa limitasyon mula sa quantum mechanics hanggang sa klasikal na mekanika ay nangyayari nang katulad sa paglipat mula sa alon patungo sa geometric na optika.
Alalahanin natin kung paano ang huling transisyon na ito ay isinasagawa sa matematika (tingnan ang II, § 53). Hayaan at maging isa sa mga bahagi ng field sa isang electromagnetic wave. Maaari itong kinakatawan bilang at - na may tunay na amplitude a at phase (ang huli ay tinatawag na eikonal sa geometric optics). Ang paglilimita ng kaso ng geometric na optika ay tumutugma sa maliliit na wavelength, na mathematically na ipinahayag ng isang malaking halaga ng pagbabago sa maliliit na distansya; nangangahulugan ito, sa partikular, na ang bahagi ay maaaring ituring na malaki sa ganap na halaga nito.
Alinsunod dito, nagpapatuloy kami mula sa pagpapalagay na ang paglilimita ng kaso ng klasikal na mekanika ay tumutugma sa quantum mechanics sa mga function ng wave ng form , kung saan ang a ay isang dahan-dahang pagbabago ng function, at tumatagal ng malalaking halaga. Tulad ng nalalaman, sa mekanika ang tilapon ng mga particle ay maaaring matukoy mula sa variational na prinsipyo, ayon sa kung saan ang tinatawag na aksyon 5 ng isang mekanikal na sistema ay dapat na minimal (prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos). Sa geometric na optika, ang landas ng mga sinag ay tinutukoy ng tinatawag na prinsipyo ng Fermat, ayon sa kung saan ang "haba ng optikal na landas" ng sinag, ibig sabihin, ang pagkakaiba sa pagitan ng mga yugto nito sa dulo at sa simula ng landas, dapat minimal.
Batay sa pagkakatulad na ito, maaari nating igiit na ang yugto ng pag-andar ng alon sa klasikal na paglilimita ng kaso ay dapat na proporsyonal sa mekanikal na pagkilos S ng pisikal na sistemang isinasaalang-alang, ibig sabihin, dapat itong . Ang proportionality coefficient ay tinatawag na Plant constant at tinutukoy ng titik . Ito ay may sukat ng pagkilos (dahil ito ay walang sukat) at katumbas ng
Kaya, ang wave function ng isang "halos klasikal" (o, gaya ng sinasabi nila, semiclassical) pisikal na sistema ay may anyo
Ang pare-pareho ng Planck ay gumaganap ng isang pangunahing papel sa lahat ng quantum phenomena. Tinutukoy ng kamag-anak na halaga nito (kumpara sa iba pang mga dami ng parehong dimensyon) ang "degree of quantumness" ng ito o ang pisikal na sistemang iyon. Ang paglipat mula sa quantum patungo sa klasikal na mekanika ay tumutugma sa isang malaking yugto at maaaring pormal na inilarawan bilang isang paglipat sa limitasyon (tulad ng paglipat mula sa alon patungo sa geometric na optika ay tumutugma sa paglipat sa limitasyon ng zero wavelength,
Nilinaw namin ang paglilimita sa anyo ng pag-andar ng alon, ngunit nananatili pa rin ang tanong kung paano ito nauugnay sa klasikal na paggalaw sa isang tilapon. Sa pangkalahatang kaso, ang paggalaw na inilarawan ng pag-andar ng alon ay hindi nagiging paggalaw sa isang tiyak na tilapon. Ang koneksyon nito sa klasikal na paggalaw ay nakasalalay sa katotohanan na kung sa ilang mga unang sandali ang pag-andar ng alon, at kasama nito ang posibilidad na pamamahagi ng mga coordinate, ay ibinigay, kung gayon sa hinaharap ang pamamahagi na ito ay "kikilos" ayon sa nararapat sa mga batas ng klasikal na mekanika (para sa higit pang mga detalye, tingnan ang dulo ng § 17).
Upang makakuha ng paggalaw sa isang tiyak na tilapon, kinakailangan na magsimula mula sa isang wave function ng isang espesyal na anyo, na kapansin-pansing naiiba mula sa zero lamang sa isang napakaliit na seksyon ng espasyo (ang tinatawag na wave packet), ang mga sukat ng seksyong ito maaaring maging zero kasama ng d. Pagkatapos ay maaari itong maitalo na sa semiclassical na kaso ang wave packet ay lilipat sa espasyo kasama ang klasikal na tilapon ng particle.
Sa wakas, ang mga quantum mechanical operator sa limitasyon ay dapat na bawasan lamang sa multiplikasyon ng kaukulang pisikal na dami.
Ang ilang mga function na f ay may posibilidad sa bilang A bilang x ay may kaugaliang sa punto x0 kapag ang pagkakaiba f(x) - A ay arbitraryong maliit. Sa madaling salita, ang expression |f(x) –A| nagiging mas mababa kaysa sa anumang nakatalagang fixed number h > 0, habang bumababa ang modulus ng argument increment |∆x|.
Limitahan ang paglipat
Ang paghahanap ng numerong ito A mula sa function na f ay tinatawag pagpasa sa limitasyon. Sa kurso ng paaralan, ang pagpasa sa limitasyon ay magaganap sa dalawang pangunahing kaso.
1. Pagpasa sa limitasyon na may kinalaman sa ∆f/∆x kapag hinahanap ang derivative.
2. Kapag tinutukoy ang pagpapatuloy ng isang function.
Pagpapatuloy ng pag-andar
Ang isang function ay tinatawag na tuloy-tuloy sa x0 kung ang f(x) ay nagiging f(x0) habang ang x ay nasa x0. Sa kasong ito: f(x) – A = f(x) – f(x0) = ∆f.
Nangangahulugan ito na |∆f| magiging maliit para sa maliit |∆x|. Sa mga salita, ang maliliit na pagbabago sa argument ay tumutugma sa maliliit na pagbabago sa halaga ng function.
Ang mga function na matatagpuan sa isang kurso sa matematika ng paaralan, halimbawa, isang linear function, isang quadratic function, isang power function, at iba pa, ay tuluy-tuloy sa bawat punto sa lugar kung saan sila tinukoy. Para sa mga function na ito, ang mga graph ay inilalarawan bilang tuluy-tuloy na mga hubog na linya.
Ang katotohanang ito ay ang batayan ng paraan ng pagbuo ng isang graph ng isang function "sa pamamagitan ng mga puntos", na karaniwan naming ginagamit. Ngunit bago gamitin ito, kinakailangan upang malaman kung ang function na isinasaalang-alang ay talagang tuluy-tuloy. Para sa mga simpleng kaso, maaari itong gawin batay sa kahulugan ng pagpapatuloy na ibinigay namin sa itaas.
Halimbawa: patunayan namin na ang isang linear function ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng totoong linya y = k*x + b.
Sa pamamagitan ng kahulugan, kailangan nating ipakita na |∆f| nagiging mas mababa sa anumang naitalagang numero h>0, para sa maliit na |∆x|
|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ ∆x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.
Kung kukuha tayo ng |∆x| >h/|k| para sa k hindi katumbas ng zero, pagkatapos |∆f| ay magiging mas mababa sa anumang h>0, na dapat patunayan.
Paglilimita ng mga panuntunan
Kapag ginagamit ang pagpapatakbo ng paglipat ng limitasyon, ang isa ay dapat na magabayan ng mga sumusunod na patakaran.
1. Kung ang function f ay tuloy-tuloy sa puntong x0, kung gayon ang ∆f ay nagiging zero habang ang ∆x ay nagiging zero.
2. Kung ang function na f ay may derivative sa puntong x0, kung gayon ang ∆f/∆x ay may posibilidad na f’(x0) dahil ang ∆x ay nagiging zero.
3. Hayaang ang f(x) ay nasa A, ang g(x) ay nasa B habang ang x ay nasa x0. Pagkatapos:
f(x) + g(x) ay may posibilidad na A + B;
