Ang mga sumusunod na pamamaraan ay kadalasang ginagamit upang mahanap ang sentro ng grabidad ng isang katawan o pigura:

· paraan ng simetrya;

· paraan ng paghahati;

· negatibong pamamaraan ng masa.

Tingnan natin ang mga pamamaraan na ginamit sa bawat isa sa mga nakalistang pamamaraan.

Paraan ng simetrya

Isipin natin ang isang homogenous na katawan na may isang eroplano ng simetrya. Pumili tayo ng isang coordinate system na ang mga axes x At z humiga sa eroplano ng mahusay na proporsyon (tingnan ang Larawan 1).

Sa kasong ito, ang bawat elementary particle sa pamamagitan ng gravity G i may abscissa y i = +a tumutugma sa parehong elementarya na particle na may abscissa y i = -a , Pagkatapos:

y C = Σ(G i x i)/ΣG i = 0.

Kaya ang konklusyon: kung ang isang homogenous na katawan ay may isang eroplano ng simetrya, kung gayon ang sentro ng grabidad ng katawan ay namamalagi sa eroplanong ito.

Ang mga sumusunod na proposisyon ay maaaring mapatunayan nang katulad:

· Kung ang isang homogenous na katawan ay may axis ng symmetry, kung gayon ang sentro ng grabidad ng katawan ay nasa axis na ito;

· Kung ang isang homogenous na katawan ay may dalawang axes ng symmetry, kung gayon ang sentro ng grabidad ng katawan ay nasa punto ng kanilang intersection;

· Ang sentro ng grabidad ng isang homogenous na katawan ng pag-ikot ay namamalagi sa axis ng pag-ikot.

Paraan ng paghahati

Ang pamamaraang ito ay binubuo sa paghahati ng katawan sa pinakamaliit na bilang ng mga bahagi, ang mga puwersa ng gravity at ang posisyon ng mga sentro ng grabidad na kung saan ay kilala, pagkatapos kung saan ang mga naunang ibinigay na mga formula ay ginagamit upang matukoy ang pangkalahatang sentro ng grabidad ng katawan.

Sabihin nating nabasag natin ang katawan ng gravity G sa tatlong bahagi G" , G"" , G""" , abscissas ng mga sentro ng grabidad ng mga bahaging ito x" C , x"" C , x""" C kilala.
Formula para sa pagtukoy ng abscissa ng sentro ng grabidad ng buong katawan:

x C = Σ(G i x i)/ΣG i.

Isulat muli natin ito sa sumusunod na anyo:

x C ΣG i = Σ(G i x i) o Gx C = Σ(G i x i) .

Isinulat namin ang huling pagkakapantay-pantay para sa bawat isa sa tatlong bahagi ng katawan nang hiwalay:

G"x" C = Σ(G"x" i), G""x"" C = Σ(G"" i x"" i), G"""x""" C = Σ(G""" ako x""" i).

Ang pagdaragdag ng kaliwa at kanang bahagi ng tatlong pagkakapantay-pantay na ito, makukuha natin:

G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C = Σ(G" i x" i) + Σ(G""x"" i) + Σ(G""" i x """ i) = Σ(G i x i).

Ngunit ang kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay ay ang produkto Gx C , dahil

Gx C = Σ(G i x i),

Kaya naman, x C = (G"x" C + G"x"" C + G"""x""" C)/G , na kung ano ang kailangang patunayan.
Ang mga coordinate ng sentro ng grabidad sa mga coordinate axes ay tinutukoy nang katulad y At z :

y C = (G"y" C + G""y"" C + G"""y""" C)/G ,
z C = (G"z" C + G""z"" C + G"""z""" C)/G .

Ang mga resultang formula ay katulad ng mga formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad, na nagmula sa itaas. Samakatuwid, hindi posible na palitan ang mga puwersa ng grabidad ng elementarya na mga particle sa orihinal na mga formula G i , at ang mga puwersa ng grabidad ng mga huling bahagi; sa ilalim ng mga coordinate x i ,y i ,z i maunawaan ang mga coordinate ng mga sentro ng grabidad ng mga bahagi kung saan nahahati ang katawan.

Negatibong pamamaraan ng masa

Ang pamamaraang ito ay batay sa katotohanan na ang isang katawan na may mga libreng cavity ay itinuturing na solid, at ang mass ng mga libreng cavity ay itinuturing na negatibo. Ang anyo ng mga formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad ng katawan ay hindi nagbabago.

Kaya, kapag tinutukoy ang sentro ng grabidad ng isang katawan na may mga libreng cavity, ang paraan ng paghahati ay dapat gamitin, ngunit isaalang-alang ang masa ng mga cavity na negatibo.

Mga praktikal na pamamaraan para sa pagtukoy ng sentro ng grabidad ng mga katawan

Sa pagsasagawa, upang matukoy ang sentro ng grabidad ng mga patag na katawan ng kumplikadong hugis, madalas silang ginagamit paraan ng pabitin , na binubuo sa pagsasabit ng patag na katawan sa isang sinulid mula sa ilang punto. Ang isang linya ay iginuhit sa kahabaan ng thread, at ang katawan ay sinuspinde mula sa isa pang punto na hindi matatagpuan sa nagresultang linya.
Pagkatapos ay gumuhit muli ng isang linya sa kahabaan ng thread.
Ang intersection point ng dalawang linya ang magiging sentro ng gravity ng flat body.

Ang isa pang paraan ng pagtukoy sa sentro ng grabidad na ginamit sa pagsasanay ay tinatawag paraan ng pagtimbang . Ang pamamaraang ito ay kadalasang ginagamit upang matukoy ang sentro ng grabidad ng malalaking makina at produkto - mga kotse, eroplano, mga traktor na may gulong, atbp., na may isang kumplikadong volumetric na hugis at suporta sa punto sa lupa.
Ang pamamaraan ay binubuo sa paglalapat ng mga kondisyon ng ekwilibriyo, batay sa katotohanan na ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng pwersa na kumikilos sa isang nakatigil na katawan ay katumbas ng zero.
Sa pagsasagawa, ito ay ginagawa sa pamamagitan ng pagtimbang ng isa sa mga suporta ng makina (ang likuran o harap na mga gulong ay naka-mount sa mga kaliskis), habang ang mga pagbabasa ng mga kaliskis ay, sa katunayan, ang reaksyon ng suporta, na isinasaalang-alang kapag gumuhit. itaas ang equation ng equilibrium na may kaugnayan sa pangalawang punto ng suporta (na matatagpuan sa labas ng mga kaliskis).
Batay sa kilalang masa (ayon sa pagkakabanggit, timbang) ng katawan, ang pagbabasa ng mga kaliskis sa isa sa mga punto ng suporta, at ang distansya sa pagitan ng mga punto ng suporta, maaari mong matukoy ang distansya mula sa isa sa mga punto ng suporta sa eroplano kung saan ang sentro ng grabidad ay matatagpuan.
Upang mahanap sa paraang ito ang linya (axis) kung saan matatagpuan ang sentro ng grabidad ng makina, kinakailangan na magsagawa ng dalawang pagtimbang ayon sa prinsipyong nakabalangkas sa itaas para sa paraan ng pagbitin (tingnan ang Fig. 1a).

Tanong 12

Sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan.

MOMENT OF INERTIA- isang dami na nagpapakilala sa pamamahagi ng mga masa sa katawan at, kasama ng masa, isang sukatan ng pagkawalang-kilos ng katawan kapag hindi gumagalaw. paggalaw. Sa mechanics, mayroong M. at. axial at centrifugal. Osev M. at. Ang katawan na may kaugnayan sa z-axis ay tinatawag. dami na tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

saan m i- masa ng mga punto ng katawan, h i- ang kanilang mga distansya mula sa z axis, r - mass density, V- dami ng katawan. Magnitude ako z ay isang sukatan ng inertia ng isang katawan sa panahon ng pag-ikot nito sa paligid ng isang axis (tingnan ang Rotational motion ) . Axial M. at. maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng isang linear na dami r z, na tinatawag. radius ng gyration na may kaugnayan sa z axis, ayon sa f-le ako z = M r 2 z, saan M- masa ng katawan. Dimensyon M. at.- L 2 M; mga yunit ng pagsukat - kg. m 2.

Centrifugal M. at. may kaugnayan sa hugis-parihaba na sistema. mga palakol x, y, z, natupad sa punto TUNGKOL SA, tinawag mga dami na tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

o ang kaukulang mga integral ng volume. Ang mga dami na ito ay mga katangian ng dynamic. kawalan ng balanse ng katawan. Halimbawa, kapag umiikot ang isang katawan sa paligid ng z axis mula sa mga halaga ako xz At ako yz Ang mga puwersa ng presyon sa mga bearings kung saan ang ehe ay naayos ay nakasalalay.

M. at. kamag-anak sa parallel axes z at z" ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan (Huygens' theorem)

kung saan ang z" ay ang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, d- distansya sa pagitan ng mga palakol.

M. at. kaugnay sa anumang pagdaan sa pinanggalingan TUNGKOL SA mga palakol Ol na may direksyon cosine a, b, g ay matatagpuan ayon sa formula

Alam ang anim na dami I x , I y , I z , I xy , I yz , I zx, maaari mong sunud-sunod, gamit ang mga formula (4) at (3), kalkulahin ang buong hanay ng M. at. mga katawan na may kaugnayan sa anumang mga palakol. Tinutukoy ng anim na dami na ito ang tinatawag na. tensor ng pagkawalang-galaw ng katawan. Sa bawat punto ng katawan maaari kang gumuhit ng 3 tulad na magkaparehong patayo na mga palakol, na tinatawag. Ch. axes of inertia, kung saan ako xy = ako yz= Izx= 0. Pagkatapos M. at. Ang mga katawan na may kaugnayan sa anumang axis ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pag-alam sa Ch. axis ng pagkawalang-galaw at M. at. kaugnay sa mga palakol na ito.

Bago mahanap ang sentro ng grabidad ng mga simpleng figure, tulad ng mga may isang hugis-parihaba, bilog, spherical o cylindrical, pati na rin ang parisukat na hugis, kailangan mong malaman kung saan matatagpuan ang sentro ng simetrya ng isang partikular na pigura. Dahil sa mga kasong ito, ang sentro ng grabidad ay mag-tutugma sa sentro ng simetrya.

Ang sentro ng grabidad ng isang homogenous rod ay matatagpuan sa geometric center nito. Kung kailangan mong matukoy ang sentro ng grabidad ng isang bilog na disk ng isang homogenous na istraktura, pagkatapos ay hanapin muna ang punto ng intersection ng mga diameter ng bilog. Ito ang magiging sentro ng grabidad ng katawan na ito. Isinasaalang-alang ang mga figure tulad ng isang bola, isang hoop at isang pare-parehong parihabang parallelepiped, maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang sentro ng grabidad ng hoop ay nasa gitna ng pigura, ngunit sa labas ng mga punto nito, ang sentro ng grabidad ng bola ay ang geometric na sentro ng globo, at sa huling kaso, ang sentro ng grabidad ay itinuturing na mga intersection diagonal ng isang parihabang parallelepiped.

Sentro ng grabidad ng mga hindi magkakatulad na katawan

Upang mahanap ang mga coordinate ng sentro ng grabidad, pati na rin ang sentro ng grabidad ng isang hindi magkakatulad na katawan mismo, kinakailangan upang malaman kung aling bahagi ng isang naibigay na katawan ang punto ay matatagpuan kung saan ang lahat ng mga puwersa ng gravitational ay nagsalubong, na kumikilos sa ang pigura kung ito ay nakatalikod. Sa pagsasagawa, upang makahanap ng ganoong punto, ang katawan ay nasuspinde sa isang thread, unti-unting binabago ang mga punto ng attachment ng thread sa katawan. Sa kaso kapag ang katawan ay nasa balanse, ang sentro ng grabidad ng katawan ay nakahiga sa isang linya na tumutugma sa linya ng sinulid. Kung hindi, ang gravity ay nagiging sanhi ng paggalaw ng katawan.

Kumuha ng lapis at isang ruler, gumuhit ng mga patayong tuwid na linya na biswal na tumutugma sa mga direksyon ng thread (mga thread na nakakabit sa iba't ibang mga punto ng katawan). Kung ang hugis ng katawan ay medyo kumplikado, pagkatapos ay gumuhit ng ilang mga linya na magsalubong sa isang punto. Ito ang magiging sentro ng grabidad para sa katawan kung saan mo ginawa ang eksperimento.

Triangle center of gravity

Upang mahanap ang sentro ng grabidad ng isang tatsulok, kailangan mong gumuhit ng isang tatsulok - isang figure na binubuo ng tatlong mga segment na konektado sa bawat isa sa tatlong puntos. Bago mahanap ang sentro ng grabidad ng pigura, kailangan mong gumamit ng ruler upang sukatin ang haba ng isang gilid ng tatsulok. Maglagay ng marka sa gitna ng gilid, pagkatapos ay ikonekta ang kabaligtaran na vertex at ang gitna ng segment na may linya na tinatawag na median. Ulitin ang parehong algorithm sa pangalawang bahagi ng tatsulok, at pagkatapos ay sa pangatlo. Ang resulta ng iyong trabaho ay tatlong median na magsalubong sa isang punto, na magiging sentro ng grabidad ng tatsulok.

Kung nahaharap ka sa isang gawain tungkol sa kung paano hanapin ang sentro ng grabidad ng isang katawan sa hugis ng isang equilateral triangle, pagkatapos ay kailangan mong gumuhit ng taas mula sa bawat vertex gamit ang isang hugis-parihaba na pinuno. Ang sentro ng grabidad sa isang equilateral triangle ay nasa intersection ng mga altitude, median at bisectors, dahil ang parehong mga segment ay sabay-sabay na altitude, median at bisectors.

Mga coordinate ng sentro ng grabidad ng tatsulok

Bago mahanap ang sentro ng grabidad ng tatsulok at ang mga coordinate nito, tingnan natin ang figure mismo. Ito ay isang homogenous na triangular plate, na may mga vertex A, B, C at, nang naaayon, mga coordinate: para sa vertex A - x1 at y1; para sa vertex B - x2 at y2; para sa vertex C - x3 at y3. Kapag naghahanap ng mga coordinate ng sentro ng grabidad, hindi namin isasaalang-alang ang kapal ng tatsulok na plato. Ang figure ay malinaw na nagpapakita na ang sentro ng grabidad ng tatsulok ay ipinahiwatig ng titik E - upang mahanap ito, gumuhit kami ng tatlong median, sa intersection kung saan inilagay namin ang point E. Mayroon itong sariling mga coordinate: xE at yE.

Ang isang dulo ng median na iginuhit mula sa vertex A hanggang sa segment B ay may mga coordinate x 1 , y 1 (ito ay point A), at ang pangalawang coordinate ng median ay nakuha batay sa katotohanan na ang point D (ang pangalawang dulo ng median) ay nasa gitna ng segment BC. Ang mga dulo ng segment na ito ay may mga coordinate na kilala sa amin: B(x 2, y 2) at C(x 3, y 3). Ang mga coordinate ng point D ay tinutukoy ng xD at yD. Batay sa mga sumusunod na formula:

x=(X1+X2)/2; y=(U1+U2)/2

Tukuyin ang mga coordinate ng gitna ng segment. Nakukuha namin ang sumusunod na resulta:

xd=(X2+X3)/2; уd=(У2+У3)/2;

D *((X2+X3)/2, (U2+U3)/2).

Alam namin kung anong mga coordinate ang karaniwang para sa mga dulo ng segment AD. Alam din natin ang mga coordinate ng point E, iyon ay, ang sentro ng gravity ng triangular plate. Alam din natin na ang center of gravity ay matatagpuan sa gitna ng segment AD. Ngayon, gamit ang mga formula at data na kilala sa amin, mahahanap namin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad.

Kaya, mahahanap natin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng tatsulok, o sa halip, ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng tatsulok na plato, dahil hindi natin alam ang kapal nito. Ang mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng homogenous coordinates ng vertices ng triangular plate.

Parihaba. Dahil ang isang parihaba ay may dalawang axes ng symmetry, ang sentro ng grabidad nito ay nasa intersection ng mga axes ng symmetry, i.e. sa punto ng intersection ng mga diagonal ng parihaba.

Tatsulok. Ang sentro ng grabidad ay nasa punto ng intersection ng mga median nito. Mula sa geometry ay kilala na ang mga median ng isang tatsulok ay bumalandra sa isang punto at nahahati sa isang ratio na 1:2 mula sa base.

Bilog. Dahil ang isang bilog ay may dalawang axes ng symmetry, ang sentro ng grabidad nito ay nasa intersection ng mga axes ng simetriya.

kalahating bilog. Ang kalahating bilog ay may isang axis ng symmetry, pagkatapos ay ang sentro ng grabidad ay nasa axis na ito. Ang isa pang coordinate ng sentro ng grabidad ay kinakalkula ng formula: .

Maraming mga elemento ng istruktura ang ginawa mula sa mga karaniwang pinagsamang produkto - anggulo, I-beam, channel at iba pa. Ang lahat ng mga sukat, pati na rin ang mga geometric na katangian ng mga pinagsamang profile, ay mga tabular na data na matatagpuan sa reference na panitikan sa mga talahanayan ng normal na assortment (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Halimbawa 1. Tukuyin ang posisyon ng center of gravity ng figure na ipinapakita sa figure.

Solusyon:

Pinipili namin ang mga coordinate axes upang ang Ox axis ay tumatakbo sa pinakaibaba na kabuuang dimensyon, at ang Oy axis ay napupunta sa pinakakaliwang kabuuang dimensyon.

Hinahati namin ang isang kumplikadong figure sa isang minimum na bilang ng mga simpleng figure:

parihaba 20x10;

tatsulok 15x10;

bilog R=3 cm.

Kinakalkula namin ang lugar ng bawat simpleng figure at ang mga coordinate nito ng sentro ng grabidad. Ang mga resulta ng pagkalkula ay ipinasok sa talahanayan

Figure No.	Lugar ng figure A,	Mga coordinate ng sentro ng grabidad

Sagot: C(14.5; 4.5)

Halimbawa 2 . Tukuyin ang mga coordinate ng center of gravity ng isang composite section na binubuo ng isang sheet at rolled sections.

Solusyon.

Pinipili namin ang mga coordinate axes tulad ng ipinapakita sa figure.

Italaga natin ang mga numero sa pamamagitan ng mga numero at isulat ang kinakailangang data mula sa talahanayan:

Figure No.	Lugar ng figure A,	Mga coordinate ng sentro ng grabidad

Kinakalkula namin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng figure gamit ang mga formula:

Sagot: C(0; 10)

Laboratory work No. 1 "Pagpapasiya ng sentro ng grabidad ng pinagsama-samang mga flat figure"

Target: Tukuyin ang center of gravity ng isang ibinigay na flat complex figure gamit ang mga eksperimental at analytical na pamamaraan at ihambing ang kanilang mga resulta.

Order sa trabaho

Iguhit ang iyong flat figure sa iyong mga notebook sa laki, na nagpapahiwatig ng mga coordinate axes.

Tukuyin ang sentro ng grabidad nang analytical.

1. Hatiin ang figure sa pinakamababang bilang ng mga figure na ang mga sentro ng grabidad ay alam natin kung paano matukoy.

   Ipahiwatig ang mga numero ng lugar at mga coordinate ng center of gravity ng bawat figure.

   Kalkulahin ang mga coordinate ng center of gravity ng bawat figure.

   Kalkulahin ang lugar ng bawat figure.

   Kalkulahin ang mga coordinate ng center of gravity ng buong figure gamit ang mga formula (ang posisyon ng center of gravity ay naka-plot sa pagguhit ng figure):

Ang pag-install para sa pag-eksperimento sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad gamit ang hanging method ay binubuo ng isang vertical stand 1 (tingnan ang figure) kung saan nakakabit ang karayom 2 . Flat figure 3 Gawa sa karton, na madaling mabutas. Butas A At SA butas sa random na matatagpuan na mga punto (mas mabuti sa pinakamalayo na distansya mula sa isa't isa). Ang isang flat figure ay sinuspinde sa isang karayom, una sa isang punto A , at pagkatapos ay sa punto SA . Gamit ang isang plumb line 4 , na naka-attach sa parehong karayom, gumuhit ng isang patayong linya sa figure na may isang lapis na naaayon sa thread ng linya ng tubo. Sentro ng grabidad SA ang figure ay matatagpuan sa intersection point ng mga patayong linya na iginuhit kapag nakabitin ang figure sa mga punto A At SA .

6.1. Pangkalahatang Impormasyon

Sentro ng Parallel Forces
Isaalang-alang natin ang dalawang magkatulad na puwersa na nakadirekta sa isang direksyon, at , inilapat sa katawan sa mga punto A 1 at A 2 (Larawan 6.1). Ang sistemang ito ng mga puwersa ay may resulta, ang linya ng pagkilos na dumadaan sa isang tiyak na punto SA. Posisyon ng punto SA ay matatagpuan gamit ang Varignon's theorem:

Kung i-on mo ang pwersa at malapit sa mga puntos A 1 at A 2 sa isang direksyon at sa parehong anggulo, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang bagong sistema ng parallel salas na may parehong mga module. Sa kasong ito, ang kanilang resulta ay dadaan din sa punto SA. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng parallel forces.
Isaalang-alang natin ang isang sistema ng parallel at magkatulad na direksyon na pwersa na inilapat sa isang solidong katawan sa mga punto. Ang sistemang ito ay may resulta.
Kung ang bawat puwersa ng system ay pinaikot malapit sa mga punto ng kanilang aplikasyon sa parehong direksyon at sa parehong anggulo, pagkatapos ay makukuha ang mga bagong sistema ng magkaparehong direksyon parallel forces na may parehong mga module at mga punto ng aplikasyon. Ang resulta ng naturang mga sistema ay magkakaroon ng parehong modulus R, ngunit sa bawat pagkakataon ay ibang direksyon. Natiklop ang aking lakas F 1 at F 2 nakita namin na ang kanilang resulta R 1, na palaging dadaan sa punto SA 1, ang posisyon nito ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay . Natitiklop pa R 1 at F 3, makikita natin ang resulta nito, na palaging dadaan sa punto SA 2 nakahiga sa isang tuwid na linya A 3 SA 2. Matapos makumpleto ang proseso ng pagdaragdag ng mga puwersa hanggang sa wakas, makakarating tayo sa konklusyon na ang resulta ng lahat ng pwersa ay talagang palaging dadaan sa parehong punto SA, na ang posisyong nauugnay sa mga puntos ay hindi magbabago.
Dot SA, kung saan ang linya ng pagkilos ng resultang sistema ng mga kahanay na puwersa ay pumasa para sa anumang pag-ikot ng mga puwersang ito malapit sa mga punto ng kanilang aplikasyon sa parehong direksyon sa parehong anggulo ay tinatawag na sentro ng parallel na puwersa (Fig. 6.2).

Fig.6.2

Alamin natin ang mga coordinate ng sentro ng magkatulad na pwersa. Dahil ang posisyon ng punto SA kamag-anak sa katawan ay hindi nagbabago, kung gayon ang mga coordinate nito ay hindi nakasalalay sa pagpili ng coordinate system. Iikot natin ang lahat ng pwersa sa kanilang aplikasyon upang sila ay maging parallel sa axis OU at ilapat ang teorema ng Varignon sa mga rotated forces. kasi R" ay ang resulta ng mga puwersang ito, kung gayon, ayon sa teorama ni Varignon, mayroon tayo , dahil , , nakukuha namin

Mula dito makikita natin ang coordinate ng sentro ng magkatulad na pwersa zc:

Upang matukoy ang mga coordinate xc Gumawa tayo ng isang expression para sa sandali ng mga puwersa tungkol sa axis Oz.

Upang matukoy ang mga coordinate yc iikot natin ang lahat ng pwersa para maging parallel sila sa axis Oz.

Ang posisyon ng sentro ng magkatulad na puwersa na nauugnay sa pinagmulan (Larawan 6.2) ay maaaring matukoy ng radius vector nito:

6.2. Sentro ng grabidad ng isang matibay na katawan

Sentro ng grabidad ng isang matibay na katawan ay isang punto na palaging nauugnay sa katawan na ito SA, kung saan ang linya ng pagkilos ng mga resultang pwersa ng grabidad ng isang partikular na katawan ay dumadaan, para sa anumang posisyon ng katawan sa kalawakan.
Ang sentro ng grabidad ay ginagamit sa pag-aaral ng katatagan ng mga posisyon ng balanse ng mga katawan at tuluy-tuloy na media sa ilalim ng impluwensya ng grabidad at sa ilang iba pang mga kaso, lalo na: sa lakas ng mga materyales at sa mga mekanika ng istruktura - kapag ginagamit ang panuntunan ng Vereshchagin.
Mayroong dalawang paraan upang matukoy ang sentro ng grabidad ng isang katawan: analytical at eksperimental. Ang analytical na pamamaraan para sa pagtukoy ng sentro ng grabidad ay direktang sumusunod mula sa konsepto ng sentro ng parallel na pwersa.
Ang mga coordinate ng sentro ng grabidad, bilang sentro ng magkatulad na puwersa, ay tinutukoy ng mga formula:

saan R- buong timbang ng katawan; pk- bigat ng mga particle ng katawan; xk, yk, zk- mga coordinate ng mga particle ng katawan.
Para sa isang homogenous na katawan, ang bigat ng buong katawan at anumang bahagi nito ay proporsyonal sa lakas ng tunog P=Vγ, pk =vk γ, Saan γ - timbang bawat dami ng yunit, V- dami ng katawan. Pagpapalit ng mga expression P, pk sa formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad at, pagbabawas ng isang karaniwang kadahilanan γ , nakukuha namin ang:

Dot SA, na ang mga coordinate ay tinutukoy ng mga resultang formula, ay tinatawag sentro ng grabidad ng volume.
Kung ang katawan ay isang manipis na homogenous na plato, kung gayon ang sentro ng grabidad ay tinutukoy ng mga formula:

saan S- lugar ng buong plato; sk- lugar ng bahagi nito; xk, yk- mga coordinate ng sentro ng grabidad ng mga bahagi ng plato.
Dot SA sa kasong ito ito ay tinatawag na sentro ng gravity area.
Ang mga numerator ng mga expression na tumutukoy sa mga coordinate ng sentro ng grabidad ng mga numero ng eroplano ay tinatawag na may mga static na sandali ng lugar kamag-anak sa mga palakol sa At X:

Pagkatapos ang sentro ng grabidad ng lugar ay maaaring matukoy ng mga formula:

Para sa mga katawan na ang haba ay maraming beses na mas malaki kaysa sa mga cross-sectional na sukat, tukuyin ang sentro ng gravity ng linya. Ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng linya ay tinutukoy ng mga formula:

saan L- haba ng linya; lk- ang haba ng mga bahagi nito; xk, yk, zk- coordinate ng sentro ng grabidad ng mga bahagi ng linya.

6.3. Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga coordinate ng mga sentro ng grabidad ng mga katawan

Batay sa mga formula na nakuha, posible na magmungkahi ng mga praktikal na pamamaraan para sa pagtukoy ng mga sentro ng grabidad ng mga katawan.
1. Simetrya. Kung ang isang katawan ay may sentro ng mahusay na proporsyon, kung gayon ang sentro ng grabidad ay nasa gitna ng mahusay na proporsyon.
Kung ang katawan ay may isang eroplano ng mahusay na proporsyon. Halimbawa, ang XOU plane, pagkatapos ang sentro ng grabidad ay nasa eroplanong ito.
2. Naghahati. Para sa mga katawan na binubuo ng mga katawan ng simpleng hugis, ginagamit ang paraan ng paghahati. Ang katawan ay nahahati sa mga bahagi, ang sentro ng grabidad na kung saan ay tinutukoy ng paraan ng mahusay na proporsyon. Ang sentro ng grabidad ng buong katawan ay tinutukoy ng mga formula para sa sentro ng grabidad ng dami (lugar).

Halimbawa. Tukuyin ang sentro ng grabidad ng plato na ipinapakita sa figure sa ibaba (Larawan 6.3). Ang plato ay maaaring hatiin sa mga parihaba sa iba't ibang paraan at ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng bawat parihaba at ang kanilang lugar ay maaaring matukoy.

Fig.6.3

Sagot: xc=17.0cm; yc=18.0cm.

3. Dagdag. Ang pamamaraang ito ay isang espesyal na kaso ng paraan ng pagkahati. Ito ay ginagamit kapag ang katawan ay may mga ginupit, hiwa, atbp., kung ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng katawan na walang ginupit ay nalalaman.

Halimbawa. Tukuyin ang sentro ng grabidad ng isang pabilog na plato na may cutout radius r = 0,6 R(Larawan 6.4).

Larawan.6.4

Ang isang bilog na plato ay may sentro ng simetrya. Ilagay natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng plato. Plate area na walang cutout, cutout area. Square plate na may ginupit; .
Ang plato na may ginupit ay may axis ng simetrya О1 x, samakatuwid, yc=0.

4. Pagsasama. Kung ang katawan ay hindi nahahati sa isang may hangganan na bilang ng mga bahagi, ang mga posisyon ng mga sentro ng grabidad na kung saan ay kilala, ang katawan ay nahahati sa mga di-makatwirang maliliit na volume, kung saan ang pormula gamit ang paraan ng paghahati ay kumukuha ng anyo: .
Pagkatapos ay pumunta sila sa limitasyon, na nagdidirekta sa mga volume ng elementarya sa zero, i.e. pagkontrata ng mga volume sa mga puntos. Ang mga kabuuan ay pinalitan ng mga integral na pinalawak sa buong dami ng katawan, pagkatapos ay ang mga formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad ng lakas ng tunog ay nasa anyo:

Mga formula para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang lugar:

Ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng lugar ay dapat matukoy kapag pinag-aaralan ang balanse ng mga plato, kapag kinakalkula ang Mohr integral sa structural mechanics.

Halimbawa. Tukuyin ang sentro ng grabidad ng isang pabilog na arko ng radius R may gitnang anggulo AOB= 2α (Larawan 6.5).

kanin. 6.5

Ang arko ng isang bilog ay simetriko sa axis Oh, samakatuwid, ang sentro ng grabidad ng arko ay nasa axis Oh, yс = 0.
Ayon sa formula para sa sentro ng grabidad ng isang linya:

6.Eksperimental na paraan. Ang mga sentro ng grabidad ng mga hindi magkakatulad na katawan ng kumplikadong pagsasaayos ay maaaring matukoy sa eksperimento: sa pamamagitan ng paraan ng pagbitin at pagtimbang. Ang unang paraan ay ang pagsuspinde ng katawan sa isang cable sa iba't ibang mga punto. Ang direksyon ng cable kung saan nakasuspinde ang katawan ay magbibigay ng direksyon ng gravity. Tinutukoy ng punto ng intersection ng mga direksyong ito ang sentro ng grabidad ng katawan.
Ang pamamaraan ng pagtimbang ay nagsasangkot ng unang pagtukoy sa bigat ng isang katawan, tulad ng isang kotse. Pagkatapos ang presyon ng rear axle ng sasakyan sa suporta ay tinutukoy sa mga kaliskis. Sa pamamagitan ng pagguhit ng isang equation ng equilibrium na may kaugnayan sa isang punto, halimbawa, ang axis ng mga gulong sa harap, maaari mong kalkulahin ang distansya mula sa axis na ito hanggang sa sentro ng gravity ng kotse (Larawan 6.6).

Fig.6.6

Minsan, kapag nilulutas ang mga problema, kinakailangan na sabay na gumamit ng iba't ibang mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga coordinate ng sentro ng grabidad.

6.4. Mga sentro ng gravity ng ilang simpleng geometric na figure

Upang matukoy ang mga sentro ng grabidad ng mga katawan ng mga madalas na nagaganap na mga hugis (tatsulok, pabilog na arko, sektor, segment), maginhawang gumamit ng reference na data (Talahanayan 6.1).

Talahanayan 6.1

Mga coordinate ng sentro ng grabidad ng ilang mga homogenous na katawan

№	Pangalan ng pigura	Pagguhit
	Arc ng isang bilog: ang sentro ng grabidad ng isang arko ng isang pare-parehong bilog ay nasa axis ng symmetry (coordinate uc=0). R- radius ng bilog.
	Homogeneous na pabilog na sektor uc=0). kung saan ang α ay kalahati ng gitnang anggulo; R- radius ng bilog.
	Segment: ang sentro ng grabidad ay matatagpuan sa axis ng symmetry (coordinate uc=0). kung saan ang α ay kalahati ng gitnang anggulo; R- radius ng bilog.
	kalahating bilog:
	Tatsulok: ang sentro ng grabidad ng isang homogenous na tatsulok ay nasa punto ng intersection ng mga median nito. saan x1, y1, x2, y2, x3, y3- mga coordinate ng triangle vertices
	Kono: ang sentro ng grabidad ng isang pare-parehong pabilog na kono ay nasa taas nito at matatagpuan sa layo na 1/4 ng taas mula sa base ng kono.

Paano mahahanap ang sentro ng grabidad

May-akda: Kumuha tayo ng katawan na may di-makatwirang hugis. Posible bang isabit ito sa isang sinulid upang matapos itong ibitin ay mapanatili nito ang posisyon nito (i.e. hindi nagsisimulang lumiko) kapag anuman paunang oryentasyon (Larawan 27.1)?

Sa madaling salita, mayroon bang punto na nauugnay kung saan ang kabuuan ng mga sandali ng grabidad na kumikilos sa iba't ibang bahagi ng katawan ay magiging katumbas ng zero sa anuman oryentasyon ng katawan sa kalawakan?

Reader: Opo, sa tingin ko. Ang puntong ito ay tinatawag na sentro ng grabidad ng katawan.

Patunay. Para sa pagiging simple, isaalang-alang natin ang isang katawan sa anyo ng isang patag na plato ng di-makatwirang hugis, arbitraryong nakatuon sa espasyo (Larawan 27.2). Kunin natin ang coordinate system X 0sa na may simula sa gitna ng mass - point SA, Pagkatapos x C = 0, sa C = 0.

Isipin natin ang katawan na ito bilang isang koleksyon ng isang malaking bilang ng mga point mass m i, ang posisyon ng bawat isa ay tinukoy ng radius vector.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang sentro ng masa ay , at ang coordinate x C = .

Since sa coordinate system namin pinagtibay x C= 0, pagkatapos . I-multiply natin itong pagkakapantay-pantay g at nakukuha namin

Tulad ng makikita mula sa Fig. 27.2, | x i| - ito ang balikat ng kapangyarihan. At kung x i> 0, pagkatapos ay ang sandali ng puwersa M i> 0, at kung x j < 0, то M j < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i ang sandali ng puwersa ay magiging pantay M i = m i gx i . Pagkatapos ang equality (1) ay katumbas ng equality , kung saan M i- sandali ng grabidad. Nangangahulugan ito na sa isang arbitrary na oryentasyon ng katawan, ang kabuuan ng mga sandali ng gravity na kumikilos sa katawan ay magiging katumbas ng zero na may kaugnayan sa sentro ng masa nito.

Upang ang katawan na ating isinasaalang-alang ay nasa ekwilibriyo, kinakailangang mag-apply dito sa punto SA puwersa T = mg, nakadirekta patayo pataas. Ang sandali ng puwersang ito na may kaugnayan sa punto SA katumbas ng zero.

Dahil ang aming pangangatwiran ay hindi nakadepende sa anumang paraan sa kung paano eksaktong nakatuon ang katawan sa kalawakan, pinatunayan namin na ang sentro ng grabidad ay tumutugma sa sentro ng masa, na siyang kailangan nating patunayan.

Suliranin 27.1. Hanapin ang sentro ng grabidad ng isang walang timbang na baras ng haba l, sa mga dulo kung saan ang dalawang puntong masa ay naayos T 1 at T 2 .

T 1 T 2 l	Solusyon. Hindi natin hahanapin ang sentro ng grabidad, ngunit ang sentro ng masa (dahil ang mga ito ay magkaparehong bagay). Ipakilala natin ang axis X(Larawan 27.3). kanin. 27.3
x C =?

Sagot: sa layo mula sa masa T 1 .

TIGIL! Magpasya para sa iyong sarili: B1–B3.

Pahayag 1 . Kung ang isang homogenous na flat body ay may axis ng symmetry, ang center of gravity ay nasa axis na ito.

Sa katunayan, para sa anumang punto ng masa m i, na matatagpuan sa kanan ng symmetry axis, mayroong parehong point mass na matatagpuan simetrikal na nauugnay sa una (Larawan 27.4). Sa kasong ito, ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa .

Dahil ang buong katawan ay maaaring katawanin bilang nahahati sa magkatulad na mga pares ng mga puntos, ang kabuuang sandali ng gravity na nauugnay sa anumang punto na nakahiga sa axis ng symmetry ay katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang sentro ng grabidad ng katawan ay matatagpuan sa axis na ito. . Ito ay humahantong sa isang mahalagang konklusyon: kung ang isang katawan ay may ilang mga palakol ng simetrya, kung gayon ang sentro ng grabidad ay nasa intersection ng mga ax na ito.(Larawan 27.5).

kanin. 27.5

Pahayag 2. Kung ang dalawang katawan ay may masa T 1 at T 2 ay konektado sa isa, pagkatapos ay ang sentro ng grabidad ng naturang katawan ay namamalagi sa isang tuwid na linya ng segment na kumukonekta sa mga sentro ng grabidad ng una at pangalawang katawan (Larawan 27.6).

kanin. 27.6 kanin. 27.7

Patunay. Iposisyon natin ang pinagsama-samang katawan upang ang segment na nagkokonekta sa mga sentro ng grabidad ng mga katawan ay patayo. Pagkatapos ay ang kabuuan ng mga sandali ng grabidad ng unang katawan na may kaugnayan sa punto SA Ang 1 ay katumbas ng zero, at ang kabuuan ng mga sandali ng grabidad ng pangalawang katawan na nauugnay sa punto SA 2 ay katumbas ng zero (Larawan 27.7).

pansinin mo yan balikat gravity ng anumang point mass t i ang parehong may kinalaman sa anumang punto na nakahiga sa segment SA 1 SA 2, at samakatuwid ang sandali ng gravity na may kaugnayan sa anumang puntong nakahiga sa segment SA 1 SA 2, pareho. Dahil dito, ang puwersa ng gravitational ng buong katawan ay zero na may kaugnayan sa anumang punto sa segment SA 1 SA 2. Kaya, ang sentro ng grabidad ng pinagsama-samang katawan ay namamalagi sa segment SA 1 SA 2 .

Isang mahalagang praktikal na konklusyon ang sumusunod mula sa Pahayag 2, na malinaw na nabuo sa anyo ng mga tagubilin.

Mga tagubilin,

kung paano hanapin ang sentro ng grabidad ng isang solidong katawan kung ito ay masira

sa mga bahagi, ang mga posisyon ng mga sentro ng grabidad ng bawat isa ay kilala

1. Ang bawat bahagi ay dapat palitan ng masa na matatagpuan sa gitna ng grabidad ng bahaging iyon.

2. Hanapin sentro ng masa(at ito ay kapareho ng sentro ng grabidad) ng nagresultang sistema ng mga masa ng punto, na pumipili ng isang maginhawang sistema ng coordinate X 0sa, ayon sa mga formula:

Sa katunayan, ayusin natin ang composite body upang ang segment SA 1 SA 2 ay pahalang, at isabit ito sa mga thread sa mga punto SA 1 at SA 2 (Larawan 27.8, A). Malinaw na ang katawan ay nasa ekwilibriyo. At ang balanseng ito ay hindi maaabala kung papalitan natin ang bawat katawan ng mga point mass T 1 at T 2 (Larawan 27.8, b).

kanin. 27.8

TIGIL! Magpasya para sa iyong sarili: C3.

Suliranin 27.2. Ang mga bola ng masa ay inilalagay sa dalawang vertices ng isang equilateral triangle T bawat. Ang isang bola ng mass 2 ay inilalagay sa ikatlong tuktok T(Larawan 27.9, A). Tatsulok na gilid A. Tukuyin ang sentro ng grabidad ng sistemang ito.

T 2T A	kanin. 27.9
x C = ? sa C = ?

Solusyon. Ipakilala natin ang coordinate system X 0sa(Larawan 27.9, b). Pagkatapos

,

.

Sagot: x C = A/2; ; ang sentro ng grabidad ay nasa kalahating taas AD.