Sa araling ito, pag-aaralan natin ang iba't ibang opsyon para sa interaksyon ng isang bilog at isang tuwid na linya. Naaalala namin ang mga kahulugan na malawakang ginagamit sa kasong ito. Ang isang tuwid na linya ay isang hindi matukoy na axiomatic geometric figure, na isang tuwid na tuwid na linya na walang simula o wakas. Ang bilog ay isang hanay ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa isang karaniwang sentro (circle center) na konektado ng isang karaniwang kurba. Sa madaling salita, ang isang bilog ay isang regular na closed curve na nagbabalangkas sa maximum na posibleng lugar.
Sa mahigpit na pagsasalita, mayroong tatlong mga pagpipilian para sa kamag-anak na posisyon ng bilog at linya. Sa unang kaso, ang tuwid na linya ay ganap na namamalagi sa labas ng ibinigay na bilog, hindi nagsasalubong o humahawak dito kahit saan. Kung ang linya ay humipo nang eksakto sa isang tiyak na punto mula sa hanay sa bilog, ang linyang ito ay tinatawag na isang tangent na may paggalang sa ibinigay na bilog.
Ang tangent ay may isang mahalagang katangian. Ang radius na iginuhit sa punto ng contact ay patayo sa mismong linya. Ang video ay nagpapakita ng isang bilog na may gitnang O, linya A at padaplis na punto K. Dahil ang puntong ito ay nasa isahan, ang linya A ay padaplis sa bilog na ito. At ang anggulo sa K, na nabuo ng radius at anumang bahagi ng linya, ay tama - katumbas ng 90 degrees. Nararapat din na tandaan ang isang mahalagang tampok - ang padaplis ay mayroon lamang isang punto ng pakikipag-ugnay. Imposibleng gumuhit ng isang tuwid na linya upang mahawakan nito ang dalawang punto sa bilog na tangent.
Kung ang aming linya A ay dumaan sa buong bilog, na nakakaapekto sa panloob na rehiyon nito, kung gayon ito na ang ikatlong espesyal na kaso ng pakikipag-ugnayan ng mga figure na ito. Sa kasong ito, ang tuwid na linya ay mahigpit na dumadaan sa dalawang punto sa bilog - sabihin, B at C. Ito ay tinatawag na secant ng bilog. Ang secant ay palaging dumadaan lamang sa alinmang dalawang puntos mula sa set sa curve. Dahil maraming mga punto sa isang bilog, posible na gumuhit ng walang katapusang bilang ng mga secant (pati na rin ang mga tangent) para sa isang partikular na bilog.
Ang panloob na bahagi ng secant line, sa katunayan ang segment BC, ay ang chord para sa bilog. Kung ang secant ay dumadaan sa gitna ng bilog, kung gayon ang panloob na bahagi nito ay kinakatawan ng pinakamalaking chord - ang diameter. Sa kasong ito, ang mga intersection point B at C ay nasa pinakamalayong distansya mula sa isa't isa (ayon sa diameter property). Madaling maunawaan na ang kabaligtaran na espesyal na kaso ay isang secant na bumubuo ng isang chord na may isang infinitesimal na halaga, sa katunayan, ito ay isang tangent.
Sa mga problema, madalas na matatagpuan ang isang segment P - ito ay nag-uugnay sa pinakamaikling landas sa isang angkop na punto sa isang tuwid na linya at ang gitna ng bilog mismo. Sa madaling salita, ang P ay ang segment na TO, kung saan ang T ay isang punto sa linyang BC. Ang segment na ito ay patayo sa linya, ang pagpapatuloy nito sa bilog mismo ay ang radius nito. Ang linear na halaga ng segment na ito ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng cosine ng anggulo na nabuo ng radius at ng secant line, na may vertex sa punto ng seksyon.
Alalahanin ang isang mahalagang kahulugan - ang kahulugan ng isang bilog]
Kahulugan:
Ang bilog na nakasentro sa punto O at radius R ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano na nasa layo na R mula sa punto O.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang hanay ay tinatawag na bilog. lahat mga puntos na nakakatugon sa inilarawang kondisyon. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Ang mga punto A, B, C, D ng parisukat ay katumbas ng layo mula sa punto E, ngunit hindi sila bilog (Larawan 1).
kanin. 1. Ilustrasyon halimbawa
Sa kasong ito, ang pigura ay isang bilog, dahil lahat ito ay isang hanay ng mga puntos na katumbas ng distansya mula sa gitna.
Kung ikinonekta natin ang alinmang dalawang punto ng bilog, makakakuha tayo ng chord. Ang chord na dumadaan sa gitna ay tinatawag na diameter.
MB - chord; AB - diameter; MnB - arc, ito ay kinontrata ng chord MB;
Ang sulok ay tinatawag na sentral.
Ang punto O ay ang sentro ng bilog.
kanin. 2. Ilustrasyon halimbawa
Kaya, naalala namin kung ano ang isang bilog at ang mga pangunahing elemento nito. Ngayon ay magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa kamag-anak na posisyon ng bilog at linya.
Ibinigay ang isang bilog na may sentro O at radius r. Ang linya P, ang distansya mula sa gitna hanggang sa linya, iyon ay, ang patayo na OM, ay katumbas ng d.
Ipinapalagay namin na ang punto O ay hindi namamalagi sa linya P.
Dahil sa isang bilog at isang tuwid na linya, kailangan nating hanapin ang bilang ng mga karaniwang puntos.
Kaso 1 - ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa kaysa sa radius ng bilog:
Sa unang kaso, kapag ang distansya d ay mas mababa sa radius ng bilog r, ang punto M ay nasa loob ng bilog. Mula sa puntong ito ay magtabi kami ng dalawang mga segment - MA at MB, ang haba nito ay magiging. Alam namin ang mga halaga ng r at d, ang d ay mas mababa sa r, na nangangahulugang umiiral ang expression at umiiral ang mga puntong A at B. Ang dalawang puntong ito ay nasa isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagtatayo. Tingnan natin kung nakahiga sila sa isang bilog. Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng OA at OB gamit ang Pythagorean theorem:
kanin. 3. Ilustrasyon ng Case 1
Ang distansya mula sa gitna hanggang sa dalawang punto ay katumbas ng radius ng bilog, kaya napatunayan namin na ang mga puntong A at B ay kabilang sa bilog.
Kaya, ang mga puntos na A at B ay nabibilang sa linya sa pamamagitan ng pagtatayo, nabibilang sila sa bilog sa pamamagitan ng kung ano ang napatunayan - ang bilog at ang linya ay may dalawang karaniwang puntos. Patunayan natin na walang ibang mga punto (Fig. 4).
kanin. 4. Ilustrasyon para sa patunay
Upang gawin ito, kumuha ng isang di-makatwirang punto C sa isang tuwid na linya at ipagpalagay na ito ay namamalagi sa isang bilog - ang distansya ng OS = r. Sa kasong ito, ang tatsulok ay isosceles at ang median na ON nito, na hindi tumutugma sa segment na OM, ay ang taas. Nakakuha kami ng kontradiksyon: dalawang patayo ang ibinaba mula sa puntong O hanggang sa linya.
Kaya, sa linya P walang iba pang karaniwang mga punto sa bilog. Napatunayan namin na sa kaso kapag ang distansya d ay mas mababa sa radius r ng bilog, ang linya at ang bilog ay may dalawang karaniwang punto lamang.
Kaso dalawa - ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay katumbas ng radius ng bilog (Larawan 5):
kanin. 5. Ilustrasyon ng Case 2
Alalahanin na ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo, sa kasong ito, ang OH ay ang patayo. Dahil, ayon sa kondisyon, ang haba ng OH ay katumbas ng radius ng bilog, kung gayon ang punto H ay kabilang sa bilog, kaya ang punto H ay karaniwan sa linya at bilog.
Patunayan natin na walang ibang karaniwang mga punto. Sa kabaligtaran: ipagpalagay na ang punto C sa linya ay kabilang sa bilog. Sa kasong ito, ang distansya ng OC ay r, at pagkatapos ay ang OC ay OH. Ngunit sa isang tamang tatsulok, ang hypotenuse OS ay mas malaki kaysa sa leg OH. Nagkaroon tayo ng kontradiksyon. Kaya, mali ang palagay at walang punto maliban sa H na karaniwan sa linya at bilog. Napatunayan namin na sa kasong ito ang karaniwang punto ay natatangi.
Kaso 3 - ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas malaki kaysa sa radius ng bilog:
Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo. Gumuhit kami ng isang patayo mula sa punto O hanggang sa tuwid na linya P, nakukuha namin ang punto H, na hindi nakahiga sa bilog, dahil ang OH ay, sa pamamagitan ng kondisyon, mas malaki kaysa sa radius ng bilog. Patunayan natin na ang anumang iba pang punto ng linya ay hindi namamalagi sa bilog. Ito ay malinaw na nakikita mula sa kanang tatsulok, na ang hypotenuse OM ay mas malaki kaysa sa binti OH, at samakatuwid ay mas malaki kaysa sa radius ng bilog, kaya ang puntong M ay hindi kabilang sa bilog, tulad ng anumang iba pang punto sa linya. Napatunayan namin na sa kasong ito ang bilog at ang linya ay walang mga karaniwang puntos (Larawan 6).
kanin. 6. Ilustrasyon ng Case 3
Isipin mo teorama . Ipagpalagay na ang linyang AB ay may dalawang puntos na magkapareho sa bilog (Larawan 7).
kanin. 7. Paglalarawan para sa teorama
Mayroon kaming chord AB. Point H, ayon sa kondisyon, ay ang gitna ng chord AB at namamalagi sa diameter CD.
Kinakailangan na patunayan na sa kasong ito ang dimeter ay patayo sa chord.
Patunay:
Isaalang-alang ang isang isosceles triangle OAB, ito ay isosceles, dahil .
Ang punto H, ayon sa kondisyon, ay ang gitna ng chord, na nangangahulugang ang gitna ng median AB ng isang isosceles triangle. Alam natin na ang median ng isang isosceles triangle ay patayo sa base nito, na nangangahulugang ito ang taas: samakatuwid, sa gayon, napatunayan na ang diameter na dumadaan sa gitna ng chord ay patayo dito.
patas at converse theorem : kung ang diameter ay patayo sa chord, pagkatapos ay dumadaan ito sa gitnang punto nito.
Ibinigay ang isang bilog na may gitnang O, ang diameter nito CD at chord AB. Ito ay kilala na ang diameter ay patayo sa chord, ito ay kinakailangan upang patunayan na ito ay dumadaan sa gitna nito (Larawan 8).
kanin. 8. Paglalarawan para sa teorama
Patunay:
Isaalang-alang ang isang isosceles triangle OAB, ito ay isosceles, dahil . Ang OH, ayon sa kondisyon, ay ang taas ng tatsulok, dahil ang diameter ay patayo sa chord. Ang taas sa isang isosceles triangle ay isang median din, kaya ang AH = HB, na nangangahulugang ang punto H ay ang midpoint ng chord AB, na nangangahulugan na ito ay pinatunayan na ang diameter na patayo sa chord ay dumadaan sa midpoint nito.
Ang direkta at kabaligtaran na teorama ay maaaring pangkalahatan bilang mga sumusunod.
Teorama:
Ang diameter ay patayo sa isang chord kung at kung ito ay dumaan lamang sa gitnang punto nito.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang lahat ng mga kaso ng mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang bilog. Sa susunod na aralin, isasaalang-alang natin ang padaplis sa isang bilog.
Bibliograpiya
- Aleksandrov A.D. atbp. Geometry Grade 8. - M.: Edukasyon, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometry 8. - M.: Enlightenment, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometry baitang 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Takdang aralin
Gawain 1. Hanapin ang mga haba ng dalawang segment ng chord, kung saan hinahati ito ng diameter ng bilog, kung ang haba ng chord ay 16 cm, at ang diameter ay patayo dito.
Gawain 2. Ipahiwatig ang bilang ng mga karaniwang punto ng isang tuwid na linya at isang bilog kung:
a) ang distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa gitna ng bilog ay 6 cm, at ang radius ng bilog ay 6.05 cm;
b) ang distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa gitna ng bilog ay 6.05 cm, at ang radius ng bilog ay 6 cm;
c) ang distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa gitna ng bilog ay 8 cm, at ang radius ng bilog ay 16 cm.
Gawain 3. Hanapin ang haba ng chord kung ang diameter ay patayo dito, at ang isa sa mga segment na pinutol ng diameter mula dito ay 2 cm.
Bilog- isang geometric figure na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na matatagpuan sa isang naibigay na distansya mula sa isang naibigay na punto.
Ang puntong ito (O) ay tinatawag sentro ng bilog.
Radius ng bilog ay isang segment ng linya na nag-uugnay sa gitna sa isang punto sa bilog. Ang lahat ng radii ay may parehong haba (sa kahulugan).
Chord Isang segment ng linya na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang bilog. Ang chord na dumadaan sa gitna ng bilog ay tinatawag diameter. Ang gitna ng isang bilog ay ang midpoint ng anumang diameter.
Anumang dalawang punto sa bilog ay hatiin ito sa dalawang bahagi. Ang bawat isa sa mga bahaging ito ay tinatawag pabilog na arko. Ang arko ay tinatawag kalahating bilog kung ang segment na nagdudugtong sa mga dulo nito ay isang diameter.
Ang haba ng kalahating bilog ng yunit ay tinutukoy ng π
.
Ang kabuuan ng mga sukat ng antas ng dalawang pabilog na arko na may mga karaniwang dulo ay 360º.
Tinatawag ang bahagi ng eroplanong napapaligiran ng bilog sa paligid.
pabilog na sektor- isang bahagi ng isang bilog na may hangganan ng isang arko at dalawang radii na nagdudugtong sa mga dulo ng arko sa gitna ng bilog. Ang arko na nagbubuklod sa sektor ay tinatawag arko ng sektor.
Dalawang bilog na may isang karaniwang sentro ay tinatawag konsentriko.
Dalawang bilog na nagsasalubong sa tamang mga anggulo ay tinatawag orthogonal.
Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang bilog
- Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa sa radius ng bilog ( d), pagkatapos ay ang linya at ang bilog ay may dalawang karaniwang punto. Sa kasong ito, ang linya ay tinatawag secant kaugnay ng bilog.
- Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya ay katumbas ng radius ng bilog, kung gayon ang linya at ang bilog ay may isang karaniwang punto lamang. Ang ganitong linya ay tinatawag padaplis sa bilog, at ang kanilang karaniwang punto ay tinatawag punto ng contact sa pagitan ng isang linya at isang bilog.
- Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya ay mas malaki kaysa sa radius ng bilog, kung gayon ang linya at ang bilog walang mga karaniwang puntos .
Mga anggulo sa gitna at nakasulat
Gitnang sulok ay ang anggulo na may vertex sa gitna ng bilog.
Nakasulat na anggulo Isang anggulo na ang vertex ay nasa bilog at ang mga gilid ay nagsalubong sa bilog.
Inscribed angle theorem
Ang isang naka-inscribe na anggulo ay sinusukat ng kalahati ng arko na naharang nito.
- Bunga 1.
Ang mga naka-inscribe na anggulo na nagsa-subtender sa parehong arko ay pantay. - Bunga 2.
Ang isang naka-inscribe na anggulo na nag-intersect sa kalahating bilog ay isang tamang anggulo.
Theorem sa produkto ng mga segment ng intersecting chord.
Kung ang dalawang chord ng isang bilog ay nagsalubong, kung gayon ang produkto ng mga segment ng isang chord ay katumbas ng produkto ng mga segment ng isa pang chord.
Mga Pangunahing Formula
- Circumference:
- Haba ng arko:
- diameter:
- Haba ng arko:
saan α - sukat ng antas ng haba ng isang arko ng isang bilog)
- Lugar ng isang bilog:
- Lugar ng pabilog na sektor:
Circle equation
- Sa isang rectangular coordinate system, ang equation para sa isang bilog na radius r nakasentro sa isang punto C(x o; y o) ay may anyo:
- Ang equation para sa isang bilog ng radius r na nakasentro sa pinanggalingan ay:
Layunin ng didactic: pagbuo ng bagong kaalaman.
Mga layunin ng aralin.
Mga Tutorial:
- upang makabuo ng mga konsepto sa matematika: isang padaplis sa isang bilog, ang relatibong posisyon ng isang tuwid na linya at isang bilog, upang makamit ang pag-unawa at pagpaparami ng mga mag-aaral ng mga konseptong ito sa pamamagitan ng pagpapatupad ng praktikal na gawaing pananaliksik.
Pagtitipid sa kalusugan:
- paglikha ng isang kanais-nais na sikolohikal na klima sa silid-aralan;
Pagbuo:
- upang bumuo ng nagbibigay-malay na interes ng mga mag-aaral, ang kakayahang ipaliwanag, gawing pangkalahatan ang mga resulta, ihambing, ihambing, gumawa ng mga konklusyon.
Pang-edukasyon:
- edukasyon sa pamamagitan ng matematika ng kultura ng personalidad.
Mga anyo ng pag-aaral:
- nilalaman - pag-uusap, praktikal na gawain;
- sa organisasyon ng mga aktibidad - indibidwal, pangharap.
Lesson plan
| Mga bloke | Mga yugto ng aralin |
| 1 bloke | Oras ng pag-aayos. Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal sa pamamagitan ng pag-uulit at pag-update ng mga pangunahing kaalaman. |
| 2 bloke | Pagtatakda ng layunin. |
| 3 bloke | Panimula sa bagong materyal. Praktikal na gawaing pananaliksik. |
| 4 na bloke | Pagsasama-sama ng bagong materyal sa pamamagitan ng paglutas ng problema |
| 5 bloke | Pagninilay. Pagpapatupad ng trabaho ayon sa natapos na pagguhit. |
| 6 na bloke | Pagbubuod ng aralin. Pagtatakda ng takdang-aralin. |
Kagamitan:
- computer, screen, projector;
- Handout.
Mga Mapagkukunang Pang-edukasyon:
1. Matematika. Textbook para sa grade 6 na institusyong pang-edukasyon; / G.V. Dorofeev, M., Enlightenment, 2009
2. Markova V.I. Mga tampok ng pagtuturo ng geometry sa konteksto ng pagpapatupad ng pamantayang pang-edukasyon ng estado: mga alituntunin, Kirov, 2010
3. Atanasyan L.S. Textbook "Geometry 7-9".
Sa panahon ng mga klase
| 1. Pansamahang sandali. Paghahanda para sa pag-aaral ng bagong materyal sa pamamagitan ng pag-uulit at pag-update ng mga pangunahing kaalaman. |
Pagbati ng mga mag-aaral. Nagsasaad ng paksa ng aralin. Nalaman kung anong mga asosasyon ang lumitaw sa salitang "bilog" |
Isulat ang petsa at paksa ng aralin sa iyong kuwaderno. Sagutin ang tanong ng guro. |
| 2. Pagtatakda ng layunin ng aralin | Binubuod ang mga layunin na binuo ng mga mag-aaral, itinatakda ang mga layunin ng aralin | Bumuo ng mga layunin ng aralin. |
| 3. Pagkilala sa bagong materyal. | Nag-aayos ng isang pag-uusap, nagtatanong sa mga modelo upang ipakita kung paano matatagpuan ang isang bilog at isang tuwid na linya. Ayusin ang praktikal na gawain. Nag-aayos ng gawain gamit ang aklat-aralin. |
Sagutin ang mga tanong ng guro. Magsagawa ng praktikal na gawain, gumawa ng konklusyon. Nagtatrabaho sila sa aklat-aralin, maghanap ng konklusyon at ihambing ito sa kanilang sarili. |
| 4. Pangunahing pag-unawa, pagsasama-sama sa pamamagitan ng paglutas ng problema. | Nag-aayos ng trabaho ayon sa mga yari na guhit. Magtrabaho gamit ang aklat-aralin: p. 103 No. 498, No. 499. Pagtugon sa suliranin |
Oral na lutasin ang mga problema at magkomento sa solusyon. Magsagawa ng paglutas ng problema at komento. |
| 5. Pagninilay. Pagpapatupad ng trabaho ayon sa natapos na pagguhit | Nagtuturo sa gawaing dapat gawin. | Kumpletuhin ang gawain sa kanilang sarili. Pagsusulit sa sarili. Summing up. |
| 6. Pagbubuod. Pagtatakda ng takdang-aralin | Inaanyayahan ang mga mag-aaral na suriin ang cluster na pinagsama-sama sa simula ng aralin, upang pinuhin ito na isinasaalang-alang ang kaalaman na nakuha. | Summing up. Ang mga mag-aaral ay bumaling sa mga layunin na itinakda, pag-aralan ang mga resulta: kung ano ang kanilang natutunan bago, kung ano ang kanilang natutunan sa aralin |
1. Pansamahang sandali. Pag-update ng kaalaman.
Isasabi ng guro ang paksa ng aralin. Nalaman kung anong mga asosasyon ang lumitaw sa salitang "bilog".
Ano ang diameter ng bilog kung ang radius ay 2.4 cm?
Ano ang radius kung ang diameter ay 6.8 cm?
2. Pagtatakda ng layunin.
Itinakda ng mga mag-aaral ang kanilang mga layunin para sa aralin, ibubuod ng guro ang mga ito at itinakda ang mga layunin ng aralin.
Ang isang programa ng mga aktibidad sa aralin ay iginuhit.
3. Pagkilala sa bagong materyal.
1) Paggawa gamit ang mga modelo: "Ipakita sa mga modelo kung paano matatagpuan ang isang tuwid na linya at isang bilog sa isang eroplano."
Gaano karaming mga puntos ang mayroon sila sa karaniwan?
2) Pagpapatupad ng praktikal na gawaing pananaliksik.
Target. Itakda ang property ng relatibong posisyon ng linya at ng bilog.
Kagamitan: isang bilog na iginuhit sa isang piraso ng papel at isang stick bilang isang tuwid na linya, isang ruler.
- Sa figure (sa isang sheet ng papel), itakda ang kamag-anak na posisyon ng bilog at ang tuwid na linya.
- Sukatin ang radius ng bilog R at ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya d.
- Itala ang mga resulta ng pag-aaral sa isang talahanayan.
| Larawan | Mutual arrangement | Bilang ng mga karaniwang puntos | Circle radius R | Distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya d | Paghambingin ang R at d |
4. Gumawa ng konklusyon tungkol sa relatibong posisyon ng tuwid na linya at ng bilog, depende sa ratio ng R at d.
Konklusyon: Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya ay katumbas ng radius, kung gayon ang linya ay humipo sa bilog at may isang karaniwang punto sa bilog. Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya ay mas malaki kaysa sa radius, kung gayon ang bilog at ang linya ay walang mga karaniwang puntos. Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya ay mas mababa sa radius, ang linya ay nag-intersect sa bilog at may dalawang karaniwang punto kasama nito.
5. Pangunahing pag-unawa, pagsasama-sama sa pamamagitan ng paglutas ng problema.
1) Mga takdang-aralin sa aklat-aralin: Blg. 498, Blg. 499.
2) Tukuyin ang relatibong posisyon ng linya at bilog kung:
- 1. R=16cm, d=12cm
- 2. R=5cm, d=4.2cm
- 3. R=7.2dm, d=3.7dm
- 4. R=8 cm, d=1.2dm
- 5. R=5cm, d=50mm
a) ang isang linya at isang bilog ay walang mga karaniwang puntos;
b) ang linya ay padaplis sa bilog;
c) ang isang linya ay bumabagtas sa isang bilog.
- d ay ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya, ang R ay ang radius ng bilog.
3) Ano ang masasabi tungkol sa kamag-anak na posisyon ng linya at ng bilog, kung ang diameter ng bilog ay 10.3 cm, at ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya ay 4.15 cm; 2 dm; 103 mm; 5.15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Given a circle with center O at point A. Nasaan ang point A kung ang radius ng bilog ay 7 cm, at ang haba ng segment OA ay: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.
6. Pagninilay
Ano ang natutunan mo sa aralin?
Anong tuntunin ang naitatag?
Kumpletuhin ang mga sumusunod na gawain sa mga kard:
Gumuhit ng linya sa bawat dalawang punto. Gaano karaming mga karaniwang puntos ang mayroon ang bawat linya sa bilog.
Ang linyang ______ at ang bilog ay walang mga karaniwang puntos.
Ang linyang ______ at ang bilog ay may isang ___________ na punto lamang.
Ang mga linyang ______, _______, ________, _______ at ang bilog ay may dalawang karaniwang punto.
7. Pagbubuod. Pagtatakda ng takdang-aralin:
1) pag-aralan ang cluster na pinagsama-sama sa simula ng aralin, pinuhin ito na isinasaalang-alang ang kaalaman na nakuha;
2) aklat-aralin: Blg. 500;
3) punan ang talahanayan (sa mga card).
| Radius ng bilog | 4 cm | 6.2 cm | 3.5 cm | 1.8 cm | ||
| Distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa linya | 7 cm | 5.12 cm | 3.5 cm | 9.3 cm | 8.25 m | |
| Konklusyon tungkol sa kamag-anak na posisyon ng bilog at linya | Diretso tumatawid sa bilog |
Diretso hinawakan ang bilog |
Diretso hindi tumatawid sa bilog |
Alalahanin ang isang mahalagang kahulugan - ang kahulugan ng isang bilog]
Kahulugan:
Ang bilog na nakasentro sa punto O at radius R ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano na nasa layo na R mula sa punto O.
Bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang hanay ay tinatawag na bilog. lahat mga puntos na nakakatugon sa inilarawang kondisyon. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Ang mga punto A, B, C, D ng parisukat ay katumbas ng layo mula sa punto E, ngunit hindi sila bilog (Larawan 1).
kanin. 1. Ilustrasyon halimbawa
Sa kasong ito, ang pigura ay isang bilog, dahil lahat ito ay isang hanay ng mga puntos na katumbas ng distansya mula sa gitna.
Kung ikinonekta natin ang alinmang dalawang punto ng bilog, makakakuha tayo ng chord. Ang chord na dumadaan sa gitna ay tinatawag na diameter.
MB - chord; AB - diameter; MnB - arc, ito ay kinontrata ng chord MB;
Ang sulok ay tinatawag na sentral.
Ang punto O ay ang sentro ng bilog.
kanin. 2. Ilustrasyon halimbawa
Kaya, naalala namin kung ano ang isang bilog at ang mga pangunahing elemento nito. Ngayon ay magpatuloy tayo sa pagsasaalang-alang sa kamag-anak na posisyon ng bilog at linya.
Ibinigay ang isang bilog na may sentro O at radius r. Ang linya P, ang distansya mula sa gitna hanggang sa linya, iyon ay, ang patayo na OM, ay katumbas ng d.
Ipinapalagay namin na ang punto O ay hindi namamalagi sa linya P.
Dahil sa isang bilog at isang tuwid na linya, kailangan nating hanapin ang bilang ng mga karaniwang puntos.
Kaso 1 - ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa kaysa sa radius ng bilog:
Sa unang kaso, kapag ang distansya d ay mas mababa sa radius ng bilog r, ang punto M ay nasa loob ng bilog. Mula sa puntong ito ay magtabi kami ng dalawang mga segment - MA at MB, ang haba nito ay magiging. Alam namin ang mga halaga ng r at d, ang d ay mas mababa sa r, na nangangahulugang umiiral ang expression at umiiral ang mga puntong A at B. Ang dalawang puntong ito ay nasa isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagtatayo. Tingnan natin kung nakahiga sila sa isang bilog. Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng OA at OB gamit ang Pythagorean theorem:
kanin. 3. Ilustrasyon ng Case 1
Ang distansya mula sa gitna hanggang sa dalawang punto ay katumbas ng radius ng bilog, kaya napatunayan namin na ang mga puntong A at B ay kabilang sa bilog.
Kaya, ang mga puntos na A at B ay nabibilang sa linya sa pamamagitan ng pagtatayo, nabibilang sila sa bilog sa pamamagitan ng kung ano ang napatunayan - ang bilog at ang linya ay may dalawang karaniwang puntos. Patunayan natin na walang ibang mga punto (Fig. 4).
kanin. 4. Ilustrasyon para sa patunay
Upang gawin ito, kumuha ng isang di-makatwirang punto C sa isang tuwid na linya at ipagpalagay na ito ay namamalagi sa isang bilog - ang distansya ng OS = r. Sa kasong ito, ang tatsulok ay isosceles at ang median na ON nito, na hindi tumutugma sa segment na OM, ay ang taas. Nakakuha kami ng kontradiksyon: dalawang patayo ang ibinaba mula sa puntong O hanggang sa linya.
Kaya, sa linya P walang iba pang karaniwang mga punto sa bilog. Napatunayan namin na sa kaso kapag ang distansya d ay mas mababa sa radius r ng bilog, ang linya at ang bilog ay may dalawang karaniwang punto lamang.
Kaso dalawa - ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay katumbas ng radius ng bilog (Larawan 5):
kanin. 5. Ilustrasyon ng Case 2
Alalahanin na ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo, sa kasong ito, ang OH ay ang patayo. Dahil, ayon sa kondisyon, ang haba ng OH ay katumbas ng radius ng bilog, kung gayon ang punto H ay kabilang sa bilog, kaya ang punto H ay karaniwan sa linya at bilog.
Patunayan natin na walang ibang karaniwang mga punto. Sa kabaligtaran: ipagpalagay na ang punto C sa linya ay kabilang sa bilog. Sa kasong ito, ang distansya ng OC ay r, at pagkatapos ay ang OC ay OH. Ngunit sa isang tamang tatsulok, ang hypotenuse OS ay mas malaki kaysa sa leg OH. Nagkaroon tayo ng kontradiksyon. Kaya, mali ang palagay at walang punto maliban sa H na karaniwan sa linya at bilog. Napatunayan namin na sa kasong ito ang karaniwang punto ay natatangi.
Kaso 3 - ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas malaki kaysa sa radius ng bilog:
Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo. Gumuhit kami ng isang patayo mula sa punto O hanggang sa tuwid na linya P, nakukuha namin ang punto H, na hindi nakahiga sa bilog, dahil ang OH ay, sa pamamagitan ng kondisyon, mas malaki kaysa sa radius ng bilog. Patunayan natin na ang anumang iba pang punto ng linya ay hindi namamalagi sa bilog. Ito ay malinaw na nakikita mula sa kanang tatsulok, na ang hypotenuse OM ay mas malaki kaysa sa binti OH, at samakatuwid ay mas malaki kaysa sa radius ng bilog, kaya ang puntong M ay hindi kabilang sa bilog, tulad ng anumang iba pang punto sa linya. Napatunayan namin na sa kasong ito ang bilog at ang linya ay walang mga karaniwang puntos (Larawan 6).
kanin. 6. Ilustrasyon ng Case 3
Isipin mo teorama . Ipagpalagay na ang linyang AB ay may dalawang puntos na magkapareho sa bilog (Larawan 7).
kanin. 7. Paglalarawan para sa teorama
Mayroon kaming chord AB. Point H, ayon sa kondisyon, ay ang gitna ng chord AB at namamalagi sa diameter CD.
Kinakailangan na patunayan na sa kasong ito ang dimeter ay patayo sa chord.
Patunay:
Isaalang-alang ang isang isosceles triangle OAB, ito ay isosceles, dahil .
Ang punto H, ayon sa kondisyon, ay ang gitna ng chord, na nangangahulugang ang gitna ng median AB ng isang isosceles triangle. Alam natin na ang median ng isang isosceles triangle ay patayo sa base nito, na nangangahulugang ito ang taas: samakatuwid, sa gayon, napatunayan na ang diameter na dumadaan sa gitna ng chord ay patayo dito.
patas at converse theorem : kung ang diameter ay patayo sa chord, pagkatapos ay dumadaan ito sa gitnang punto nito.
Ibinigay ang isang bilog na may gitnang O, ang diameter nito CD at chord AB. Ito ay kilala na ang diameter ay patayo sa chord, ito ay kinakailangan upang patunayan na ito ay dumadaan sa gitna nito (Larawan 8).
kanin. 8. Paglalarawan para sa teorama
Patunay:
Isaalang-alang ang isang isosceles triangle OAB, ito ay isosceles, dahil . Ang OH, ayon sa kondisyon, ay ang taas ng tatsulok, dahil ang diameter ay patayo sa chord. Ang taas sa isang isosceles triangle ay isang median din, kaya ang AH = HB, na nangangahulugang ang punto H ay ang midpoint ng chord AB, na nangangahulugan na ito ay pinatunayan na ang diameter na patayo sa chord ay dumadaan sa midpoint nito.
Ang direkta at kabaligtaran na teorama ay maaaring pangkalahatan bilang mga sumusunod.
Teorama:
Ang diameter ay patayo sa isang chord kung at kung ito ay dumaan lamang sa gitnang punto nito.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang lahat ng mga kaso ng mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang bilog. Sa susunod na aralin, isasaalang-alang natin ang padaplis sa isang bilog.
Bibliograpiya
- Aleksandrov A.D. atbp. Geometry Grade 8. - M.: Edukasyon, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometry 8. - M.: Enlightenment, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometry baitang 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru ().
Takdang aralin
Gawain 1. Hanapin ang mga haba ng dalawang segment ng chord, kung saan hinahati ito ng diameter ng bilog, kung ang haba ng chord ay 16 cm, at ang diameter ay patayo dito.
Gawain 2. Ipahiwatig ang bilang ng mga karaniwang punto ng isang tuwid na linya at isang bilog kung:
a) ang distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa gitna ng bilog ay 6 cm, at ang radius ng bilog ay 6.05 cm;
b) ang distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa gitna ng bilog ay 6.05 cm, at ang radius ng bilog ay 6 cm;
c) ang distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa gitna ng bilog ay 8 cm, at ang radius ng bilog ay 16 cm.
Gawain 3. Hanapin ang haba ng chord kung ang diameter ay patayo dito, at ang isa sa mga segment na pinutol ng diameter mula dito ay 2 cm.
