Ang araling video na "Trigonometric functions of a numerical argument" ay isang visual na materyal upang matiyak ang kalinawan kapag ipinapaliwanag ang paksa sa aralin. Sa panahon ng demonstrasyon, ang prinsipyo ng pagbuo ng halaga ng trigonometriko function mula sa isang numero ay isinasaalang-alang, ang isang bilang ng mga halimbawa ay inilarawan na nagtuturo kung paano kalkulahin ang mga halaga ng trigonometriko function mula sa isang numero. Sa tulong ng manwal na ito, mas madaling bumuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga nauugnay na problema, upang makamit ang pagsasaulo ng materyal. Ang paggamit ng manwal ay nagdaragdag sa pagiging epektibo ng aralin, nag-aambag sa mabilis na pagkamit ng mga layunin sa pag-aaral.

Ang pamagat ng paksa ay ipinapakita sa simula ng aralin. Pagkatapos ang gawain ay upang mahanap ang kaukulang cosine sa ilang numerical argument. Nabanggit na ang problemang ito ay nalutas nang simple at ito ay malinaw na maipapakita. Ang screen ay nagpapakita ng isang bilog na yunit na nakasentro sa pinanggalingan. Kasabay nito, napansin na ang punto ng intersection ng bilog na may positibong semi-axis ng abscissa axis ay matatagpuan sa puntong A (1; 0). Ang isang halimbawa ng isang punto M ay ibinigay, na kumakatawan sa argumento t=π/3. Ang puntong ito ay minarkahan sa bilog ng yunit, at ang isang patayo sa abscissa axis ay bumaba mula dito. Ang natagpuang abscissa ng punto ay ang cosine cos t. SA kasong ito ang abscissa ng punto ay magiging x=1/2. Samakatuwid cos t=1/2.

Ang pagbubuod ng mga isinasaalang-alang na katotohanan, nabanggit na makatuwirang pag-usapan ang tungkol sa function na s=cos t. Nabanggit na ang mga mag-aaral ay mayroon nang ilang kaalaman tungkol sa function na ito. Ang ilang mga halaga ng cosine cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2 ay kinakalkula. Kaugnay din ng function na ito ay ang mga function s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Ito ay nabanggit na sila ay may isang karaniwang pangalan para sa lahat - trigonometric function.

Ang mga mahahalagang relasyon ay ipinapakita na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa trigonometriko function: ang pangunahing pagkakakilanlan sin 2 t+ cos 2 t=1, ang pagpapahayag ng tangent at cotangent sa mga tuntunin ng sine at cosine tg t=sin t/cos t, kung saan t≠ π/2+πk para sa kϵZ, ctg t= cos t/sin t, kung saan t≠πk para sa kϵZ, pati na rin ang ratio ng tangent sa cotangent tg t ctg t=1 kung saan t≠πk/2 para sa kϵZ.

Dagdag pa, iminungkahi na isaalang-alang ang patunay ng kaugnayan 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t, na may t≠π/2+πk para sa kϵZ. Upang patunayan ang pagkakakilanlan, kinakailangang katawanin ang tg 2 t bilang isang ratio ng sine at cosine, at pagkatapos ay dalhin ang mga termino sa kaliwang bahagi sa isang karaniwang denominator 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Gamit ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan, nakukuha natin ang 1 sa numerator, iyon ay, ang huling expression na 1/ cos 2 t. Q.E.D.

Ang pagkakakilanlan 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t ay napatunayang katulad, na may t≠πk para sa kϵZ. Tulad ng sa nakaraang patunay, ang cotangent ay pinalitan ng katumbas na ratio ng cosine at sine, at ang parehong mga termino sa kaliwang bahagi ay binabawasan sa isang karaniwang denominator 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= ( kasalanan 2 t+cos 2 t)/sin2t. Pagkatapos ilapat ang pangunahing trigonometric identity sa numerator, makakakuha tayo ng 1/ sin 2 t. Ito ang gustong ekspresyon.

Ang solusyon ng mga halimbawa ay isinasaalang-alang, kung saan inilalapat ang nakuhang kaalaman. Sa unang gawain, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng gastos, tgt, ctgt, kung ang sine ng numero sint=4/5 ay kilala, at ang t ay kabilang sa pagitan π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Susunod, isinasaalang-alang namin ang solusyon ng isang katulad na problema kung saan ang tangent tgt=-8/15 ay kilala, at ang argumento ay limitado sa mga halaga 3π/2

Upang mahanap ang halaga ng sine, ginagamit namin ang kahulugan ng tangent tgt = sint / cost. Mula dito makikita natin ang sint= tgt cost=(-8/15)(15/17)=-8/17. Alam na ang cotangent ay ang kabaligtaran na pag-andar ng tangent, makikita natin ang ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Ang aralin sa video na "Trigonometric functions of a numerical argument" ay ginagamit upang mapataas ang pagiging epektibo ng isang aralin sa matematika sa paaralan. Sa kurso ng pag-aaral ng distansya, ang materyal na ito ay maaaring gamitin bilang isang visual aid para sa pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng problema, kung saan mayroong mga trigonometriko na pag-andar ng isang numero. Upang makuha ang mga kasanayang ito, maaaring irekomenda ang mag-aaral na independiyenteng isaalang-alang ang visual na materyal.

INTERPRETASYON NG TEKSTO:

Ang paksa ng aralin ay "Trigonometric functions of a numerical argument."

Anumang tunay na numero t ay maaaring iugnay sa isang natatanging tinukoy na numero cos t. Upang gawin ito, dapat mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1) sa coordinate plane, ayusin ang numero ng bilog upang ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinagmulan, at ang panimulang punto A ng bilog ay tumama sa punto (1; 0);

2) maghanap ng punto sa bilog na tumutugma sa numerong t;

3) hanapin ang abscissa ng puntong ito. Ito ay cos t.

Samakatuwid, pag-uusapan natin ang tungkol sa function na s \u003d cos t (es ay katumbas ng cosine ng te), kung saan ang t ay anumang tunay na numero. Mayroon na kaming ilang ideya tungkol sa pagpapaandar na ito:

• natutunan kung paano kalkulahin ang ilang mga halaga, halimbawa, cos 0=1, cos = 0, cos =, atbp. (ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, ang cosine ng pi ng dalawa ay katumbas ng zero, ang cosine ng pi ng tatlo ay katumbas ng isang segundo, at iba pa).
• at dahil ang mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ay magkakaugnay, nakakuha kami ng ilang ideya tungkol sa tatlong higit pang mga function: s= sint; s=tgt; s=ctgt. (es ay katumbas ng sine ng te, es ay katumbas ng tangent ng te, es ay katumbas ng cotangent ng te)

Ang lahat ng mga function na ito ay tinatawag na trigonometric function ng numerical argument t.

Mula sa mga kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent, sumusunod ang ilang relasyon:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine squared te plus cosine squared te ay katumbas ng isa)

2) tgt = sa t ≠ + πk, kϵZ

3) ctgt = sa t ≠ πk, kϵZ (ang cotangent ng te ay katumbas ng ratio ng cosine ng te sa sine ng te kapag ang te ay hindi katumbas ng peak ng ka, na kabilang sa z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 para sa t ≠ , kϵZ

Pinatunayan namin ang dalawang mas mahalagang mga formula:

Ang isang plus ang tangent square ng te ay katumbas ng ratio ng isa sa cosine square ng te kapag ang te ay hindi katumbas ng pi ng dalawang plus pi.

Patunay. Ang expression unit plus tangent square te, babawasan natin sa isang common denominator cosine square te. Nakukuha namin sa numerator ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine ng te at ang sine ng te, na katumbas ng isa. At ang denominator ay nananatiling parisukat ng cosine te.

Ang kabuuan ng pagkakaisa at ang parisukat ng cotangent te ay katumbas ng ratio ng pagkakaisa sa parisukat ng sine ng te kapag ang te ay hindi katumbas ng peak.

Patunay. Ang expression na pagkakaisa kasama ang cotangent squared te, sa katulad na paraan, binabawasan namin sa isang karaniwang denominator at inilalapat ang unang kaugnayan.

Isaalang-alang ang mga halimbawa.

HALIMBAWA 1. Hanapin ang gastos, tgt, ctgt kung sint = at< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Solusyon. Mula sa unang kaugnayan, nakita namin ang cosine square te katumbas ng isa minus ang sine square te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t.

Kaya, cos 2 t = 1 -() 2 = (ang cosine ng square ng te ay katumbas ng siyam na dalawampu't lima), iyon ay, cost = (ang cosine ng te ay katumbas ng tatlong fifths) o cost = - ( ang cosine ng te ay katumbas ng minus three fifths). Sa pamamagitan ng kondisyon, ang argumentong t ay kabilang sa ikalawang quarter, at sa loob nito ay cos t< 0 (косинус тэ отрицательный).

Kaya ang cosine te ay katumbas ng minus three-fifths, cost = - .

Kalkulahin ang tangent te:

tgt = = ׃ (-)= - ;(ang tangent ng te ay katumbas ng ratio ng sine ng te sa cosine ng te, na nangangahulugang apat na ikalima hanggang minus tatlong ikalima at katumbas ng minus apat na ikatlo)

Alinsunod dito, kinakalkula namin (ang cotangent ng numero te, dahil ang cotangent ng te ay katumbas ng ratio ng cosine ng te sa sine ng te,) ctgt = = - .

(ang cotangent ng te ay minus three fourths).

Sagot: gastos = - , tgt= - ; ctgt = - . (Ang sagot ay pupunan habang nagpapasya ka)

HALIMBAWA 2. Nabatid na tgt = - at< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Solusyon. Ginagamit namin ang ratio na ito, pinapalitan ang halaga sa formula na ito, nakukuha namin:

1 + (-) 2 \u003d (isa sa bawat cosine square ng te ay katumbas ng kabuuan ng isa at ang square minus walong labinlimang). Mula dito makikita natin ang cos 2 t =

(ang cosine square ng te ay dalawang daan at dalawampu't limang dalawang daan at walumpu't siyam). So cost = (cosine te equals fifteenths) o

gastos = . Sa pamamagitan ng kundisyon, ang argument t ay kabilang sa ikaapat na quarter, kung saan ang gastos>0. Samakatuwid, ang gastos = .(cosenus te ay labinlimang ikalabimpito)

Hanapin ang halaga ng argument sinus te. Dahil mula sa ratio (ipakita ang ratio tgt = sa t ≠ + πk, kϵZ) ang sine ng te ay katumbas ng produkto ng tangent ng te sa pamamagitan ng cosine ng te, pagkatapos ay pinapalitan ang halaga ng argument na te..ang tangent ng te ay katumbas ng minus walong labinlimang .. ayon sa kundisyon, at ang cosine ng te ay katumbas ng nalutas na mas maaga, nakukuha natin

sint = tgt ∙ gastos = (-) ∙ = - , (ang sine ng te ay katumbas ng minus walong labing pito)

ctgt == - . (dahil ang cotangent ng te ay ang kapalit ng tangent, nangangahulugan ito na ang cotangent ng te ay minus labinlimang ikalabing walong)

Trigonometric function ng isang numerical argument.

Trigonometric function ng isang numeric argumentt ay mga function ng form y= cos t,
y= sint, y= tg t, y=ctgt.

Gamit ang mga formula na ito, sa pamamagitan ng kilalang halaga ng isang trigonometriko function, maaari mong mahanap ang hindi kilalang mga halaga ng iba pang mga trigonometriko function.

Mga paliwanag.

1) Kunin ang formula cos 2 t + sin 2 t = 1 at gamitin ito upang makakuha ng bagong formula.

Upang gawin ito, hinati namin ang parehong bahagi ng formula sa pamamagitan ng cos 2 t (para sa t ≠ 0, iyon ay, t ≠ π/2 + π k). Kaya:

cos 2 t kasalanan 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Ang unang termino ay katumbas ng 1. Alam natin na ang ratio ng sine sa conisus ay ang tangent, na nangangahulugan na ang pangalawang termino ay katumbas ng tg 2 t. Bilang resulta, nakakakuha kami ng bagong (at kilala na sa iyo) na formula:

2) Ngayon hinati natin ang cos 2 t + sin 2 t = 1 sa sin 2 t (para sa t ≠ π k):

cos 2 t kasalanan 2 t 1
--- + --- = ---, kung saan t ≠ π k + π k, k- integer
kasalanan 2 t kasalanan 2 t kasalanan 2 t

Ang ratio ng cosine sa sine ay ang cotangent. Ibig sabihin:

Ang pag-alam sa mga elementarya na pundasyon ng matematika at natutunan ang mga pangunahing pormula ng trigonometrya, madali mong makukuha ang karamihan sa iba pang mga trigonometric na pagkakakilanlan sa iyong sarili. At ito ay mas mabuti kaysa sa pagsasaulo lamang ng mga ito: kung ano ang natutunan ng puso ay mabilis na nakalimutan, at kung ano ang naiintindihan ay naaalala sa mahabang panahon, kung hindi magpakailanman. Halimbawa, hindi kinakailangang kabisaduhin kung ano ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng padaplis. Nakalimutan - madali mong matandaan kung alam mo ang pinakasimpleng bagay: ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine. Bilang karagdagan, maglapat ng simpleng panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator - at makuha ang resulta:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Ito ay kasingdali ng paghahanap ng kabuuan ng pagkakaisa at ang parisukat ng cotangent, pati na rin ang marami pang ibang pagkakakilanlan.

Trigonometric function ng angular argument.

Sa mga functionsa = cost, sa = kasalanant, sa = tgt, sa = ctgt variablet ay maaaring higit pa sa isang numerong argumento. Maaari rin itong ituring na sukatan ng isang anggulo - iyon ay, isang angular na argumento.

Sa tulong ng isang numerical circle at isang coordinate system, madali mong mahahanap ang sine, cosine, tangent, cotangent ng anumang anggulo. Para dito, dapat matugunan ang dalawang mahahalagang kondisyon:
1) ang vertex ng sulok ay dapat na ang sentro ng bilog, na kung saan ay din ang sentro ng coordinate axis;

2) ang isa sa mga gilid ng anggulo ay dapat na positibong axis beam x.

Sa kasong ito, ang ordinate ng punto kung saan ang bilog at ang pangalawang bahagi ng anggulo ay nagsalubong ay ang sine ng anggulong ito, at ang abscissa ng puntong ito ay ang cosine ng ibinigay na anggulo.

Paliwanag. Gumuhit tayo ng isang anggulo, ang isang gilid nito ay isang positibong sinag ng axis x, at ang pangalawang panig ay lumalabas mula sa pinanggalingan ng coordinate axis (at mula sa gitna ng bilog) sa isang anggulo na 30º (tingnan ang figure). Pagkatapos ang punto ng intersection ng pangalawang panig na may bilog ay tumutugma sa π/6. Alam natin ang ordinate at abscissa ng puntong ito. Sila ang cosine at sine ng ating anggulo:

√3 1
--; --
2 2

At alam mo ang sine at cosine ng isang anggulo, madali mong mahahanap ang tangent at cotangent nito.

Kaya, ang isang bilog na numero na matatagpuan sa isang sistema ng coordinate ay isang maginhawang paraan upang mahanap ang sine, cosine, tangent, o cotangent ng isang anggulo.

Ngunit mayroong isang mas madaling paraan. Posible na hindi gumuhit ng isang bilog at isang sistema ng coordinate. Maaari kang gumamit ng simple at maginhawang mga formula:

Halimbawa: hanapin ang sine at cosine ng isang anggulo na katumbas ng 60º.

Solusyon:

π 60 π √3
kasalanan 60º = kasalanan --- = kasalanan -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Paliwanag: nalaman namin na ang sine at cosine ng anggulo 60º ay tumutugma sa mga halaga ng punto ng bilog na π / 3. Dagdag pa, hinahanap lang namin ang mga halaga ng puntong ito sa talahanayan - at sa gayon ay malulutas ang aming halimbawa. Ang talahanayan ng mga sine at cosine ng mga pangunahing punto ng numerical na bilog ay nasa nakaraang seksyon at sa pahina ng "Mga Talahanayan."

Aralin at presentasyon sa paksa: "Trigonometric function ng isang numerical argument, kahulugan, pagkakakilanlan"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 10
Algebraic na problema sa mga parameter, grade 9–11
Software environment "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ano ang ating pag-aaralan:
1. Kahulugan ng isang numeric na argumento.
2. Mga pangunahing pormula.
3. Mga pagkakakilanlan ng trigonometric.
4. Mga halimbawa at gawain para sa malayang solusyon.

Kahulugan ng trigonometric function ng isang numeric na argumento

Guys, alam natin kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent.
Tingnan natin kung posible na mahanap ang mga halaga ng iba pang mga trigonometric function sa pamamagitan ng mga halaga ng ilang mga trigonometric function?
Tukuyin natin ang trigonometric function ng isang numerical element bilang: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.

Tandaan natin ang mga pangunahing formula:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. By the way, ano ang pangalan ng formula na ito?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, para sa $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, para sa $t≠πk$.

Gumawa tayo ng mga bagong formula.

Mga pagkakakilanlan ng trigonometric

Alam natin ang pangunahing trigonometric identity: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Guys, hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakakilanlan sa $cos^2(t)$.
Nakukuha namin ang: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
Ibahin natin ang: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Nakukuha namin ang pagkakakilanlan: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, na may $t≠\frac(π)(2)+πk$.

Ngayon hinati namin ang magkabilang panig ng pagkakakilanlan sa pamamagitan ng $sin^2(t)$.
Nakukuha natin ang: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Ibahin natin ang: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Nakakuha kami ng bagong pagkakakilanlan na dapat tandaan:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, para sa $t≠πk$.

Nakakuha kami ng dalawang bagong formula. Alalahanin mo sila.
Ang mga formula na ito ay ginagamit kung, sa pamamagitan ng ilang kilalang halaga ng isang trigonometric function, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng isa pang function.

Paglutas ng mga halimbawa para sa trigonometric function ng isang numerical argument

Halimbawa 1

$cos(t) =\frac(5)(7)$, hanapin ang $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ para sa lahat ng t.

Solusyon:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Pagkatapos ay $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Halimbawa 2

$tg(t) = \frac(5)(12)$, hanapin ang $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, para sa lahat ng $0

Solusyon:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Pagkatapos ay $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Nakukuha namin na $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Pagkatapos ay $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, ngunit $0 Ang cosine sa unang kuwadrante ay positibo. Pagkatapos ay $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Nakukuha namin ang: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, hanapin ang $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, para sa lahat ng $\frac(π)(2) 2. $сtg(t) =\frac(3)(4)$, hanapin ang $sin(t)$; $cos(t)$; $tg(t)$, para sa lahat ng $π 3. $sin(t) = \frac(5)(7)$, hanapin ang $cos(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ para sa lahat ng $t$.
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, hanapin ang $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ para sa lahat ng $t$.

Sa araling ito, makikilala natin ang trigonometriko na pag-andar ng isang numerical na argumento. Alalahanin muna natin ang kahulugan ng isang function sa pangkalahatan at sa bilog ng numero. Susunod, alalahanin kung ano ang linya ng mga sine, ang linya ng mga cosine, ang linya ng mga tangent at ang linya ng mga cotangent. Nakukuha namin ang formula para sa pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan at iba pang mga pangunahing formula na nag-uugnay ng mga function ng trigonometriko sa isa't isa. Susunod, isinasaalang-alang namin ang ilang mga katangian ng trigonometric function: mga palatandaan ng mga function sa quarters at ang pag-aari ng kahit at kakaibang trigonometriko function.

Paksa: Trigonometric functions

Aralin: Trigonometric function ng isang numeric argument

1. Paksa ng aralin, panimula

Isinasaalang-alang namin trigonometriko function

2. Paalala: kahulugan ng trigonometriko function

Ang anumang function ay isang batas ayon sa kung saan ang bawat value ng independent variable ay tumutugma sa isang value ng dependent variable - ang function.

Nagtakda kami ng numero upang tumugma dito ituro sa isang bilog na may dalawang coordinate - isang punto (Larawan 1).

Ang segment sa x-axis mula -1 hanggang 1 ay tinatawag na linya ng mga cosine.

Ang segment sa y-axis mula -1 hanggang 1 ay tinatawag na linya ng mga sine.

Mula dito sundin ang mga katangian ng sine at cosine:

Ang linya ng tangents ay parallel sa y-axis at dumadaan sa punto

Linya mga cotangent ay parallel sa x-axis at dumadaan sa punto

3. Pangunahing mga formula ng trigonometriko

Isaalang-alang ang mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan.

Unit circle equation.

pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan.

relasyon sa pagitan ng tangent at cotangent.

Bumuo tayo ng formula na may kaugnayan sa tangent at cosine.

Mayroong katulad na formula para sa cotangent at sine.

4. Parity ng trigonometriko function

Pinag-aaralan namin ang mga function ng trigonometriko para sa parity.

kakaiba ang function.

pantay ang function.

Ilarawan natin ang mga katangiang ito sa isang bilog na numero:

Halimbawa 1. Hanapin

Solusyon (Larawan 2).

Patunayan natin ang magkatulad na katangian para sa tangent at cotangent:

Ang Tangent ay isang kakaibang function.

patunayan ang iyong sarili.

5. Mga palatandaan ng trigonometriko function sa quarters

Isaalang-alang ang mga palatandaan ng trigonometric function sa quarters:

Mga palatandaan ng sine at cosine (Larawan 3).

Gayunpaman, posible na matukoy ang mga palatandaan ng sine at cosine nang walang mga figure na ito.

Halimbawa, kailangan mong matukoy ang palatandaan. Tinutukoy namin kung saang quarter matatagpuan ang sulok sa pangalawa. Ang sine ay ang projection papunta sa y-axis, sa pangalawang kuwadrante, ibig sabihin

Tulad ng mga cosine. Tukuyin natin ang sign Ang anggulo ay nasa ikatlong quarter, ang cosine ay ang projection papunta sa x-axis, sa ikatlong quarter, kaya

Mga palatandaan ng tangent at cotangent (Larawan 4).

Maaari mong suriin ang mga palatandaan ng mga function sa iba't ibang quarters kasama ang mga linya ng tangents at cotangents. Halimbawa, kumuha ng isang anggulo na nakahiga sa ikatlong quarter. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng punto sa bilog na naaayon sa anggulong ito at ang pinagmulan hanggang sa ito ay magsalubong sa tangent axis. Ang halaga ng tangent para sa naturang anggulo, pati na rin para sa anggulo ng unang quarter, ay magiging positibo. Katulad nito, para sa mga anggulo ng ikalawa at ikaapat na quarter, ang tangent ay magiging negatibo (Larawan 5).

6. Konklusyon, konklusyon

Isinaalang-alang namin ang mga function na trigonometriko, naalala ang kanilang mga kahulugan, naalala na natutugunan nila ang mga kinakailangan ng pagiging natatangi, at nakakuha ng mga pangunahing pagkakakilanlan at katangian. Sa susunod na aralin, malulutas natin ang ilang problema.

Bibliograpiya

1. Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Teksbuk para sa mga institusyong pang-edukasyon (antas ng profile), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra at ang simula ng pagsusuri, grade 10 (sa dalawang bahagi). Task book para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra at mathematical analysis para sa grade 10 (textbook para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika). - M .: Education, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Malalim na pag-aaral ng algebra at mathematical analysis.-M.: Education, 1997.

5. Isang koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad (sa ilalim ng editorship ng M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Mga gawain sa algebra at simula ng pagsusuri (isang manwal para sa mga mag-aaral sa mga baitang 10-11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon). - M .: Edukasyon, 2003.

8. A. P. Karp, Koleksyon ng mga Problema sa Algebra at Prinsipyo ng Pagsusuri: Proc. allowance para sa 10-11 cell. na may malalim pag-aaral matematika.-M.: Edukasyon, 2006.

Takdang aralin

Algebra at ang Simula ng Pagsusuri, Baitang 10 (sa dalawang bahagi). Task book para sa mga institusyong pang-edukasyon (profile level), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 14.1 - 14.5, 14.8.

Mga karagdagang mapagkukunan sa web

1. Matematika.

2. Mga Problema sa Internet portal. ru.

3. Portal na pang-edukasyon para sa paghahanda sa pagsusulit.

Anuman ang tunay na numerong t ay kinuha, ito ay maaaring magtalaga ng isang natatanging tinukoy na bilang na sin t. Totoo, ang panuntunan sa pagsusulatan ay medyo kumplikado; tulad ng nakita natin sa itaas, ito ay binubuo ng mga sumusunod.

Upang mahanap ang halaga ng sin t sa pamamagitan ng numerong t, kailangan mo:

1) iposisyon ang numero ng bilog sa coordinate plane upang ang gitna ng bilog ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, at ang panimulang punto ng A ng bilog ay tumama sa punto (1; 0);

2) humanap ng punto sa bilog na katumbas ng numerong t;

3) hanapin ang ordinate ng puntong ito.

Ang ordinate na ito ay sin t.

Sa katunayan, pinag-uusapan natin ang function na u = sin t, kung saan ang t ay anumang tunay na numero.

Ang lahat ng mga function na ito ay tinatawag trigonometriko function ng numerical argument t.

Kumain buong linya mga relasyon na may kaugnayan sa mga halaga ng iba't ibang mga function ng trigonometriko, nakuha na namin ang ilan sa mga ugnayang ito:

sin 2 t + cos 2 t = 1

Mula sa huling dalawang formula, madaling makakuha ng ugnayang nagkokonekta sa tg t at ctg t:

Ang lahat ng mga formula na ito ay ginagamit sa mga kasong iyon kapag, alam ang halaga ng anumang trigonometriko function, kinakailangan upang kalkulahin ang mga halaga ng natitirang trigonometriko function.

Ang mga terminong "sine", "cosine", "tangent" at "cotangent" ay talagang pamilyar, gayunpaman, ginamit pa rin ang mga ito sa isang bahagyang naiibang interpretasyon: sa geometry at physics, itinuturing nilang sine, cosine, tangent at cotangent. g l a(ngunit hindi

mga numero, tulad ng nangyari sa mga naunang talata).

Ito ay kilala mula sa geometry na ang sine (cosine) ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng binti ng isang right triangle sa hypotenuse nito, at ang tangent (cotangent) ng isang anggulo ay ang ratio ng mga binti ng isang right triangle. Ang ibang diskarte sa mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay binuo sa mga nakaraang talata. Sa katunayan, ang mga pamamaraang ito ay magkakaugnay.

Kumuha tayo ng isang anggulo na may sukat na degree b o at ayusin ito sa modelong "numerical circle sa isang rectangular coordinate system" tulad ng ipinapakita sa Fig. 14

sulok na tuktok na tugma sa gitna

mga bilog (na may pinagmulan ng coordinate system),

at isang gilid ng sulok ay tugma sa

positibong sinag ng x-axis. Punto

intersection ng kabilang panig ng anggulo na may

ang bilog ay lalagyan ng letrang M. Ordina-

Figure 14 b o , at ang abscissa ng puntong ito ay ang cosine ng anggulo b o .

Upang mahanap ang sine o cosine ng anggulo b o ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang gawin ang mga napaka kumplikadong constructions sa bawat oras.

Sapat na tandaan na ang arc AM ay ang parehong bahagi ng haba ng numerical na bilog bilang ang anggulo b o ay mula sa anggulo ng 360°. Kung ang haba ng arko AM ay tinutukoy ng letrang t, pagkatapos ay makukuha natin:

kaya,

Halimbawa,

Ito ay pinaniniwalaan na ang 30 ° ay isang degree na sukat ng isang anggulo, at isang radian na sukat ng parehong anggulo: 30 ° = rad. Sa lahat:

Sa partikular, natutuwa ako mula sa kung saan, sa turn, kami kumukuha.

Kaya ano ang 1 radian? Mayroong iba't ibang mga sukat ng haba ng segment: sentimetro, metro, yarda, atbp. Mayroon ding iba't ibang mga hakbang upang ipahiwatig ang magnitude ng mga anggulo. Isinasaalang-alang namin ang mga gitnang anggulo ng bilog ng yunit. Ang anggulo ng 1° ay isang gitnang anggulo batay sa isang arko na bahagi ng isang bilog. Ang isang anggulo ng 1 radian ay isang gitnang anggulo batay sa isang arko ng haba 1, i.e. sa isang arko na ang haba ay katumbas ng radius ng bilog. Mula sa formula, nakuha namin ang 1 rad \u003d 57.3 °.

Isinasaalang-alang ang function na u = sin t (o anumang iba pang trigonometriko function), maaari nating isaalang-alang ang independent variable t bilang isang numerical argument, tulad ng nangyari sa mga nakaraang talata, ngunit maaari rin nating isaalang-alang ang variable na ito bilang sukatan ng anggulo, i.e. angular na argumento. Samakatuwid, ang pagsasalita ng isang trigonometriko function, sa isang tiyak na kahulugan ay walang malasakit na isaalang-alang ito bilang isang function ng isang numerical o angular na argumento.