Algebra at simula ng mathematical analysis

Differentiation ng exponential at logarithmic function

Compiled by:

guro sa matematika MOU sekundaryang paaralan №203 CHETs

lungsod ng Novosibirsk

Vidutova T.V.

Numero e. Function y=e x, mga katangian nito, graph, pagkita ng kaibhan

1. Bumuo tayo ng mga graph para sa iba't ibang base a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (Option 2) (Option 1) "width="640"

Isaalang-alang ang exponential function y = a x, kung saan ang 1.

Bumuo tayo para sa iba't ibang mga base a mga tsart:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(Pagpipilian 2)

(1 opsyon)

1) Ang lahat ng mga graph ay dumadaan sa punto (0; 1);

2) Ang lahat ng mga graph ay may pahalang na asymptote y = 0

sa X  ∞;

3) Lahat ng mga ito ay nakabukas na may umbok pababa;

4) Lahat sila ay may mga tangent sa lahat ng kanilang mga punto.

Gumuhit ng tangent sa graph ng function y=2 x sa punto X= 0 at sukatin ang anggulo na nabuo ng tangent sa axis X

Sa tulong ng mga eksaktong constructions ng tangents sa mga graph, makikita na kung ang base a exponential function y = a x ang base ay unti-unting tumataas mula 2 hanggang 10, pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng tangent hanggang sa graph ng function sa punto X= 0 at ang x-axis ay unti-unting tumataas mula 35' hanggang 66.5'.

Samakatuwid, mayroong isang batayan a, kung saan ang katumbas na anggulo ay 45'. At ang kahulugang ito a nagtapos sa pagitan ng 2 at 3, dahil sa a= 2 ang anggulo ay 35’, na may a= 3 ito ay katumbas ng 48'.

Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang base na ito ay umiiral, ito ay karaniwang tinutukoy ng titik e.

Determinado na e - isang hindi makatwirang numero, iyon ay, ito ay isang walang katapusang non-periodic decimal fraction:

e = 2.7182818284590… ;

Sa pagsasagawa, karaniwang ipinapalagay na e ≈ 2,7.

Mga katangian ng graph at function y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) pagtaas;

4) hindi limitado mula sa itaas, limitado mula sa ibaba

5) ay walang pinakamalaki o pinakamaliit

mga halaga;

6) tuloy-tuloy;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) matambok pababa;

9) ay naiba-iba.

Function y = e x tinawag tagapagtanghal .

Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na ang function y = e x ay may derivative sa anumang punto X :

(e x ) = e x

(e 5x )" = 5e 5x

(e x-3 )" = e x-3

(e -4x+1 )" = -4e -4x-1

Halimbawa 1 . Gumuhit ng tangent sa graph ng function sa puntong x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Sagot:

Halimbawa 2 .

x = 3.

Halimbawa 3 .

Siyasatin ang isang function para sa isang extremum

x=0 at x=-2

X= -2 - pinakamataas na punto

X= 0 – pinakamababang punto

Kung ang base ng logarithm ay ang numero e, tapos sinasabi nila na binigay natural na logarithm . Para sa mga natural na logarithms, isang espesyal na notasyon ang ipinakilala ln (l - logarithm, n - natural).

Graph at mga katangian ng function na y = ln x

Mga katangian ng function y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) ay hindi kahit na o kakaiba;

3) tumataas ng (0; + ∞);

4) hindi limitado;

5) ay walang pinakamalaki o pinakamaliit na halaga;

6) tuloy-tuloy;

7) E (f) = (- ∞; + ∞);

8) matambok na tuktok;

9) ay naiba-iba.

0 ang formula ng pagkita ng kaibhan na "width="640" ay wasto

Sa kurso ng mathematical analysis, napatunayan na para sa anumang halaga x0 wasto ang formula ng pagkita ng kaibhan

Halimbawa 4:

Kalkulahin ang halaga ng derivative ng isang function sa isang punto x = -1.

Halimbawa:

Mga mapagkukunan sa Internet:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Paksa ng aralin: “Pagkakaiba ng exponential at logarithmic function. Ang antiderivative ng exponential function "sa mga gawain ng UNT

Target : upang paunlarin ang mga kasanayan ng mga mag-aaral sa paglalapat ng teoretikal na kaalaman sa paksang “Differentiation of exponential and logarithmic functions. Isang antiderivative ng isang exponential function" para sa paglutas ng mga problema sa UNT.

Mga gawain

Pang-edukasyon: upang i-systematize ang teoretikal na kaalaman ng mga mag-aaral, upang pagsamahin ang mga kasanayan sa paglutas ng mga problema sa paksang ito.

Pagbuo: bumuo ng memorya, pagmamasid, lohikal na pag-iisip, matematikal na pagsasalita ng mga mag-aaral, atensyon, pagpapahalaga sa sarili at mga kasanayan sa pagpipigil sa sarili.

Pang-edukasyon: isulong:

ang pagbuo ng responsableng saloobin ng mga mag-aaral sa pag-aaral;

pagbuo ng isang napapanatiling interes sa matematika;

paglikha ng positibong intrinsic na motibasyon upang pag-aralan ang matematika.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: pandiwa, biswal, praktikal.

Mga anyo ng trabaho: indibidwal, pangharap, pares.

Sa panahon ng mga klase

Epigraph: "Ang isip ay binubuo hindi lamang sa kaalaman, kundi pati na rin sa kakayahang mag-aplay ng kaalaman sa pagsasanay" Aristotle (slide 2)

I. Pansamahang sandali.

II. Paglutas ng crossword puzzle. (slide 3-21)

Ang 17th-century French mathematician na si Pierre Fermat ay tinukoy ang linyang ito bilang "ang tuwid na linya na pinakamalapit sa curve sa isang maliit na kapitbahayan ng isang punto."

Tangent

Ang function na ibinigay ng formula y = log a x.

logarithmic

Ang function na ibinibigay ng formula y = a X.

Pagpapakita

Sa matematika, ang konseptong ito ay ginagamit kapag hinahanap ang bilis ng paggalaw ng isang materyal na punto at ang slope ng tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto.

Derivative

Ano ang pangalan ng function F (x) para sa function na f (x), kung ang kundisyon F "(x) \u003d f (x) ay nasiyahan para sa anumang punto mula sa interval I.

antiderivative

Ano ang pangalan ng relasyon sa pagitan ng X at Y, kung saan ang bawat elemento ng X ay nauugnay sa isang elemento ng Y.

Derivative ng displacement

Bilis

Isang function na ibinibigay ng formula y \u003d e x.

Exhibitor

Kung ang function na f(x) ay maaaring katawanin bilang f(x)=g(t(x)), kung gayon ang function na ito ay tinatawag na...

III. Pagdidikta sa matematika. (slide 22)

1. Isulat ang formula para sa derivative ng exponential function. ( a x)" = a x ln a

2. Isulat ang formula para sa derivative ng exponent. (e x)" = e x

3. Isulat ang formula para sa derivative ng natural logarithm. (lnx)"=

4. Isulat ang formula para sa derivative ng logarithmic function. (log a x)"=

5. Isulat ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function na f(x) = a X. F(x)=

6. Isulat ang pangkalahatang anyo ng mga antiderivative para sa function na f(x) =, x≠0. F(x)=ln|x|+C

Suriin ang gawain (mga sagot sa slide 23).

IV. Paglutas ng problema UNT (simulator)

A) No. 1,2,3,6,10,36 sa pisara at sa notebook (slide 24)

B) Magtrabaho nang magkapares No. 19.28 (simulator) (slide 25-26)

V. 1. Maghanap ng mga error: (slide 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)= log 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. Presentasyon ng mag-aaral.

Epigraph: "Ang kaalaman ay napakahalagang bagay na hindi nakakahiyang makuha ito sa alinmang pinagmulan" Thomas Aquinas (slide 28)

VII. Takdang-Aralin Blg. 19,20 p.116

VIII. Pagsusulit (reserve task) (slide 29-32)

IX. Buod ng aralin.

"Kung gusto mong lumahok sa malaking buhay, punan ang iyong ulo ng matematika hangga't kaya mo. Pagkatapos ay bibigyan ka niya ng malaking tulong sa buong buhay mo ”M. Kalinin (slide 33)

Hayaan
(1)
ay isang differentiable function ng x . Una, isasaalang-alang natin ito sa hanay ng mga x na halaga kung saan ang y ay kumukuha ng mga positibong halaga: . Sa mga sumusunod, ipapakita namin na ang lahat ng mga resultang nakuha ay naaangkop din para sa mga negatibong halaga ng .

Sa ilang mga kaso, upang mahanap ang derivative ng function (1), ito ay maginhawa upang preliminarily kunin ang logarithm
,
at pagkatapos ay kalkulahin ang derivative. Pagkatapos, ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function,
.
Mula rito
(2) .

Ang derivative ng logarithm ng isang function ay tinatawag na logarithmic derivative:
.

Ang logarithmic derivative ng function na y = f(x) ay ang derivative ng natural na logarithm ng function na ito: (log f(x))′.

Ang kaso ng mga negatibong y value

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang variable ay maaaring kumuha ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Sa kasong ito, kunin ang logarithm ng modulus at hanapin ang derivative nito:
.
Mula rito
(3) .
Iyon ay, sa pangkalahatang kaso, kailangan mong hanapin ang derivative ng logarithm ng modulus ng function.

Ang paghahambing ng (2) at (3) mayroon kaming:
.
Iyon ay, ang pormal na resulta ng pagkalkula ng logarithmic derivative ay hindi nakasalalay sa kung kami ay kumuha ng modulo o hindi. Samakatuwid, kapag kinakalkula ang logarithmic derivative, hindi namin kailangang mag-alala tungkol sa kung anong senyales ang mayroon ang function.

Ang sitwasyong ito ay maaaring linawin sa tulong ng mga kumplikadong numero. Hayaan, para sa ilang mga halaga ng x , maging negatibo: . Kung isasaalang-alang lamang natin ang mga tunay na numero, kung gayon ang pag-andar ay hindi tinukoy. Gayunpaman, kung isasaalang-alang namin ang mga kumplikadong numero, makukuha namin ang sumusunod:
.
Iyon ay, ang mga pag-andar at naiiba sa pamamagitan ng isang kumplikadong pare-pareho:
.
Dahil ang derivative ng isang pare-pareho ay zero, kung gayon
.

Pag-aari ng logarithmic derivative

Mula sa naturang pagsasaalang-alang ito ay sumusunod na ang logarithmic derivative ay hindi nagbabago kung ang function ay pinarami ng isang arbitrary constant :
.
Talaga, nag-aaplay mga katangian ng logarithm, mga formula derivative sum at derivative ng isang pare-pareho, meron kami:

.

Paglalapat ng logarithmic derivative

Maginhawang gamitin ang logarithmic derivative sa mga kaso kung saan ang orihinal na function ay binubuo ng isang produkto ng kapangyarihan o exponential function. Sa kasong ito, pinapalitan ng operasyon ng logarithm ang produkto ng mga function sa kanilang kabuuan. Pinapasimple nito ang pagkalkula ng derivative.

Halimbawa 1

Hanapin ang derivative ng isang function:
.

Solusyon

Kinukuha namin ang logarithm ng orihinal na function:
.

Ibahin ang pagkakaiba sa paggalang sa x .
Sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function.
;
;
;
;
(P1.1) .
I-multiply natin sa:

.

Kaya, natagpuan namin ang logarithmic derivative:
.
Mula dito makikita natin ang derivative ng orihinal na function:
.

Tandaan

Kung nais nating gumamit lamang ng mga tunay na numero, dapat nating kunin ang logarithm ng modulus ng orihinal na function:
.
Pagkatapos
;
.
At nakuha namin ang formula (A1.1). Samakatuwid, ang resulta ay hindi nagbago.

Sagot

Halimbawa 2

Gamit ang logarithmic derivative, hanapin ang derivative ng isang function
.

Solusyon

Logarithm:
(P2.1) .
Magkaiba nang may kinalaman sa x :
;
;

;
;
;
.

I-multiply natin sa:
.
Mula dito nakukuha natin ang logarithmic derivative:
.

Derivative ng orihinal na function:
.

Tandaan

Dito ang orihinal na function ay hindi negatibo: . Ito ay tinukoy sa . Kung hindi namin ipagpalagay na ang logarithm ay maaaring matukoy para sa mga negatibong halaga ng argumento, kung gayon ang formula (A2.1) ay dapat na isulat tulad ng sumusunod:
.
Dahil ang

at
,
hindi ito makakaapekto sa huling resulta.

Sagot

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative
.

Solusyon

Isinasagawa ang differentiation gamit ang logarithmic derivative. Logarithm, ibinigay na:
(P3.1) .

Sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba, nakukuha natin ang logarithmic derivative.
;
;
;
(P3.2) .

Dahil, kung gayon

.

Tandaan

Gawin natin ang mga kalkulasyon nang hindi ipinapalagay na ang logarithm ay maaaring tukuyin para sa mga negatibong halaga ng argumento. Upang gawin ito, kunin ang logarithm ng modulus ng orihinal na function:
.
Pagkatapos sa halip na (A3.1) mayroon kaming:
;

.
Kung ihahambing sa (A3.2) makikita natin na hindi nagbago ang resulta.

Kapag nag-iiba ng exponential power function o masalimuot na fractional expression, madaling gamitin ang logarithmic derivative. Sa artikulong ito, titingnan natin ang mga halimbawa ng aplikasyon nito na may mga detalyadong solusyon.

Ang karagdagang pagtatanghal ay nagpapahiwatig ng kakayahang gamitin ang talahanayan ng mga derivatives, ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at kaalaman sa formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.

Derivation ng formula para sa logarithmic derivative.

Una, dinadala namin ang logarithm sa base e, gawing simple ang anyo ng function gamit ang mga katangian ng logarithm, at pagkatapos ay hanapin ang derivative ng implicitly na ibinigay na function:

Halimbawa, hanapin natin ang derivative ng exponential power function x sa kapangyarihan ng x.

Ang Logarithm ay nagbibigay ng . Ayon sa mga katangian ng logarithm. Ang pagkakaiba sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay humahantong sa resulta:

Sagot: .

Ang parehong halimbawa ay maaaring malutas nang hindi gumagamit ng logarithmic derivative. Maaari kang gumawa ng ilang pagbabago at pumunta mula sa pagkakaiba-iba ng exponential power function hanggang sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang function .

Solusyon.

Sa halimbawang ito, ang function ay isang fraction at ang derivative nito ay makikita gamit ang mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Ngunit dahil sa masalimuot na pagpapahayag, mangangailangan ito ng maraming pagbabago. Sa ganitong mga kaso, mas makatwirang gamitin ang formula para sa logarithmic derivative . Bakit? Maiintindihan mo na ngayon.

Hanapin muna natin. Sa mga pagbabagong-anyo, gagamitin natin ang mga katangian ng logarithm (ang logarithm ng isang fraction ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms, at ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithms, at ang antas ng expression sa ilalim ng ang tanda ng logarithm ay maaari ding kunin bilang isang koepisyent sa harap ng logarithm):

Ang mga pagbabagong ito ay humantong sa amin sa isang medyo simpleng expression, ang hinango nito ay madaling mahanap:

Pinapalitan namin ang resulta na nakuha sa formula para sa logarithmic derivative at makuha ang sagot:

Upang pagsama-samahin ang materyal, nagbibigay kami ng ilang higit pang mga halimbawa nang walang detalyadong mga paliwanag.

Halimbawa.

Hanapin ang derivative ng isang exponential power function