Aikido - ang sagisag ng prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon Ang aming sikolohiya at teknolohiya ay higit na hinihimok ng isang konsepto na napakalapit sa ideya ng hindi bababa sa pagkilos. Patuloy kaming nagsisikap na gawing mas madali ang aming mga buhay. Ang mga computer ngayon ay hindi sapat na mabilis; Kailangan nila

Ang pinaka-pangkalahatang pagbabalangkas ng batas ng paggalaw ng mga mekanikal na sistema ay ibinibigay ng tinatawag na prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos (o prinsipyo ni Hamilton). Ayon sa prinsipyong ito, ang bawat mekanikal na sistema ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang tiyak na pag-andar.

o, sa maikling notasyon, natutugunan ng paggalaw ng system ang sumusunod na kondisyon.

Hayaang sakupin ng system ang ilang mga posisyon sa mga sandali ng oras, na nailalarawan sa pamamagitan ng dalawang hanay ng mga halaga ng coordinate (1) at Pagkatapos sa pagitan ng mga posisyon na ito ay gumagalaw ang system sa paraang ang integral

nagkaroon ng pinakamaliit na posibleng halaga. Ang function na L ay tinatawag na Lagrange function ng system na ito, at ang integral (2.1) ay tinatawag na aksyon.

Ang katotohanan na ang Lagrange function ay naglalaman lamang ng q at q, ngunit hindi mas mataas na mga derivatives, ay isang pagpapahayag ng pahayag sa itaas na ang mekanikal na estado ay ganap na tinutukoy ng mga detalye ng mga coordinate at bilis.

Magpatuloy tayo sa derivation ng differential equation na lumulutas sa problema ng pagtukoy ng minimum ng integral (2.1). Upang gawing simple ang pagsulat ng mga pormula, ipagpalagay muna natin na ang sistema ay may isang antas lamang ng kalayaan, kaya isang function lamang ang dapat tukuyin

Hayaang magkaroon lamang ng function na kung saan may minimum ang S. Nangangahulugan ito na ang S ay tumataas kapag pinalitan ng anumang function ng form

kung saan ang isang function na maliit sa buong agwat ng oras mula hanggang sa (tinatawag itong pagkakaiba-iba ng function dahil sa lahat ng pinaghahambing na mga function (2.2) ay dapat kumuha ng parehong mga halaga, kung gayon ito ay dapat na:

Ang pagbabago sa 5 kapag ang q ay pinalitan ng ay ibinibigay ng pagkakaiba

Ang pagpapalawak ng pagkakaibang ito sa mga kapangyarihan (sa integrand) ay nagsisimula sa mga terminong first-order. Ang isang kinakailangang kondisyon para sa minimality ng S) ay ang hanay ng mga terminong ito ay naglalaho; ito ay tinatawag na unang variation (o karaniwang variation lang) ng integral. Kaya, ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos ay maaaring isulat bilang

o, sa pamamagitan ng pag-iiba-iba:

Pansinin na isinasama namin ang pangalawang termino sa pamamagitan ng mga bahagi at makakuha ng:

Ngunit dahil sa mga kundisyon (2.3), nawala ang unang termino sa expression na ito. Ang nananatili ay ang integral, na dapat ay katumbas ng zero para sa mga arbitrary na halaga ng . Ito ay posible lamang kung ang integrand ay magkaparehong nawawala. Kaya nakuha namin ang equation

Sa pagkakaroon ng ilang antas ng kalayaan, sa prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos, ang iba't ibang mga pag-andar ay dapat mag-iba-iba. Malinaw, pagkatapos ay kukuha tayo ng mga equation ng form

Ito ang mga kinakailangang differential equation; sa mechanics sila ay tinatawag na Lagrange equation. Kung ang Lagrange function ng isang ibinigay na mekanikal na sistema ay kilala, ang mga equation (2.6) ay nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga accelerations, velocities at coordinate, ibig sabihin, kinakatawan nila ang mga equation ng paggalaw ng system.

Mula sa isang matematikal na pananaw, ang mga equation (2.6) ay bumubuo ng isang sistema ng mga s second-order na equation para sa mga hindi kilalang function. Ang pangkalahatang solusyon ng naturang sistema ay naglalaman ng mga di-makatwirang constants. Upang matukoy ang mga ito at sa gayon ay ganap na matukoy ang paggalaw ng isang mekanikal na sistema, kinakailangang malaman ang mga paunang kondisyon na nagpapakilala sa estado ng system sa isang tiyak na punto sa oras, halimbawa, kaalaman sa mga paunang halaga ng lahat ng mga coordinate at mga bilis.

Hayaang ang mekanikal na sistema ay binubuo ng dalawang bahagi A at B, ang bawat isa, na sarado, ay magkakaroon bilang Lagrange function, ayon sa pagkakabanggit, ang mga function ? Pagkatapos, sa limitasyon, kapag ang mga bahagi ay pinaghihiwalay hanggang sa ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga ito ay maaaring mapabayaan, ang Lagrangian function ng buong sistema ay may posibilidad sa limitasyon.

Ang pag-aari na ito ng additivity ng Lagrange function ay nagpapahayag ng katotohanan na ang mga equation ng paggalaw ng bawat isa sa mga hindi nakikipag-ugnayan na mga bahagi ay hindi maaaring maglaman ng mga dami na nauugnay sa ibang mga bahagi ng system.

Ito ay malinaw na ang pagpaparami ng Lagrange function ng isang mekanikal na sistema sa pamamagitan ng isang di-makatwirang pare-pareho ay hindi mismo nakakaapekto sa mga equation ng paggalaw.

Mula dito, tila, maaaring sumunod ang isang makabuluhang kawalan ng katiyakan: ang mga pag-andar ng Lagrange ng iba't ibang mga nakahiwalay na mekanikal na sistema ay maaaring i-multiply sa anumang magkakaibang mga constant. Ang pag-aari ng additivity ay nag-aalis ng kawalan ng katiyakan na ito - pinapayagan lamang nito ang sabay-sabay na pagpaparami ng mga function ng Lagrangian ng lahat ng mga sistema sa pamamagitan ng parehong pare-pareho, na bumababa lamang sa natural na arbitrariness sa pagpili ng mga yunit ng pagsukat ng pisikal na dami na ito; Babalik kami sa isyung ito sa §4.

Ang sumusunod na pangkalahatang puna ay kailangang gawin. Isaalang-alang natin ang dalawang function na naiiba sa bawat isa sa kabuuang derivative ng oras ng anumang function ng mga coordinate at oras.

Ang mga integral (2.1) na kinakalkula gamit ang dalawang function na ito ay nauugnay sa kaugnayan

i.e. naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang karagdagang termino na nawawala kapag ang aksyon ay iba-iba, upang ang kundisyon ay tumutugma sa kondisyon at ang anyo ng mga equation ng paggalaw ay nananatiling hindi nagbabago.

Kaya, ang Lagrange function ay tinukoy lamang hanggang sa pagdaragdag ng kabuuang derivative ng anumang function ng mga coordinate at oras.

Sa maikling sinuri namin ang isa sa mga pinaka-kahanga-hangang pisikal na prinsipyo - ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos, at tumigil sa isang halimbawa na tila sumasalungat dito. Sa artikulong ito, titingnan natin ang prinsipyong ito nang mas detalyado at tingnan kung ano ang mangyayari sa halimbawang ito.

Sa pagkakataong ito kakailanganin natin ng kaunti pang matematika. Gayunpaman, muli kong susubukan na ipakita ang pangunahing bahagi ng artikulo sa antas ng elementarya. I-highlight ko ang bahagyang mas mahigpit at kumplikadong mga punto sa kulay; maaari silang laktawan nang hindi nakompromiso ang pangunahing pag-unawa sa artikulo.

Kondisyon sa hangganan

Upang tumpak na ilarawan ang paggalaw nito, bilang panuntunan, tinukoy ang mga paunang kondisyon. Halimbawa, tinukoy na sa unang sandali ng oras ang bola ay nasa isang puntong may coordinate at may bilis . Ang pagkakaroon ng pagtatakda ng mga paunang kondisyon sa form na ito, hindi natin malabo na tinutukoy ang karagdagang paggalaw ng bola - lilipat ito sa isang pare-pareho ang bilis, at ang posisyon nito sa sandali ng oras ay magiging katumbas ng paunang posisyon kasama ang bilis na pinarami ng lumipas na oras. : . Ang pamamaraang ito ng pagtatakda ng mga paunang kundisyon ay napaka natural at madaling maunawaan. Tinukoy namin ang lahat ng kinakailangang impormasyon tungkol sa paggalaw ng bola sa unang sandali ng oras, at pagkatapos ang paggalaw nito ay tinutukoy ng mga batas ni Newton.

Gayunpaman, hindi ito ang tanging paraan upang tukuyin ang paggalaw ng bola. Ang isa pang alternatibong paraan ay ang itakda ang posisyon ng bola sa dalawang magkaibang oras at . Yung. itanong mo yan:

1) sa sandali ng oras ang bola ay nasa isang punto (na may coordinate);
2) sa sandali ng oras ang bola ay nasa punto (na may coordinate ).

Ang pananalitang "nasa punto" ay hindi nangangahulugan na ang bola ay nakapahinga sa punto. Sa sandali ng oras maaari siyang lumipad sa punto. Nangangahulugan ito na ang posisyon nito sa sandali ng oras ay kasabay ng punto. Ang parehong naaangkop sa punto.

Ang dalawang kundisyong ito ay katangi-tanging tumutukoy sa galaw ng bola. Ang paggalaw nito ay madaling kalkulahin. Upang matugunan ang parehong mga kondisyon, ang bilis ng bola ay dapat na malinaw na . Ang posisyon ng bola sa sandali ng oras ay muling magiging katumbas ng paunang posisyon kasama ang bilis na na-multiply sa lumipas na oras:

Mangyaring tandaan na sa mga kondisyon ng problema hindi namin kailangang itakda ang paunang bilis. Ito ay natatanging natukoy mula sa mga kondisyon 1) at 2).

Ang pagtatakda ng mga kondisyon sa pangalawang paraan ay mukhang hindi karaniwan. Maaaring hindi malinaw kung bakit maaaring kailanganin silang tanungin sa form na ito. Gayunpaman, sa prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos, ito ay ang mga kondisyon sa anyo ng 1) at 2) na ginagamit, at hindi sa anyo ng pagtukoy sa paunang posisyon at paunang bilis.

Landas na may pinakamaliit na pagkilos

Halimbawa, maaari nating ilipat ang bola na may parehong bilis na katumbas ng (berdeng tilapon). O maaari nating panatilihin ito sa punto sa kalahati ng oras, at pagkatapos ay ilipat ito sa punto sa dobleng bilis (asul na tilapon). Maaari mo munang ilipat ito sa tapat na direksyon, at pagkatapos ay ilipat ito sa (brown trajectory). Maaari mo itong ilipat pabalik-balik (pulang landas). Sa pangkalahatan, maaari mo itong ilipat kahit anong gusto mo, hangga't natutugunan ang mga kundisyon 1) at 2).

Para sa bawat tulad na tilapon maaari naming iugnay ang isang numero. Sa aming halimbawa, i.e. sa kawalan ng anumang pwersang kumikilos sa bola, ang numerong ito ay katumbas ng kabuuang naipon na kinetic energy sa buong oras ng paggalaw nito sa pagitan ng oras sa pagitan ng at at tinatawag na aksyon.

Sa kasong ito, ang salitang "naipon" na kinetic energy ay hindi nagbibigay ng kahulugan nang napakatumpak. Sa katotohanan, ang kinetic energy ay hindi naipon kahit saan; ang akumulasyon ay ginagamit lamang upang kalkulahin ang aksyon para sa tilapon. Sa matematika mayroong isang napakahusay na konsepto para sa naturang akumulasyon - ang integral:

Ang aksyon ay karaniwang ipinahiwatig ng liham. Ang simbolo ay nangangahulugang kinetic energy. Ang integral na ito ay nangangahulugan na ang aksyon ay katumbas ng naipon na kinetic energy ng bola sa pagitan ng oras mula hanggang.

Sa unang halimbawa (green trajectory) inilipat namin ang bola nang pantay, i.e. na may parehong bilis, na malinaw na dapat ay katumbas ng: m/s. Ang kinetic energy ng bola sa bawat sandali ng oras ay katumbas ng: = 1/2 J. Sa isang segundo, 1/2 J ng kinetic energy ang maiipon. Yung. Ang aksyon para sa naturang trajectory ay katumbas ng: J s.

Ngayon ay hindi natin agad ilipat ang bola mula sa isang punto patungo sa punto, ngunit hawakan ito sa punto ng kalahating segundo, at pagkatapos, sa natitirang oras, pantay na ilipat ito sa punto. Sa unang kalahati ng isang segundo, ang bola ay nakapahinga at ang kinetic energy nito ay zero. Samakatuwid, ang kontribusyon sa pagkilos ng bahaging ito ng tilapon ay zero din. Ang ikalawang kalahati ng isang segundo ay inililipat namin ang bola sa dobleng bilis: m / s. Ang kinetic energy ay magiging katumbas ng = 2 J. Ang kontribusyon ng panahong ito sa pagkilos ay magiging katumbas ng 2 J beses kalahating segundo, i.e. 1 J s. Samakatuwid, ang kabuuang aksyon para sa naturang trajectory ay katumbas ng J s.

Katulad nito, ang anumang iba pang tilapon na may mga kundisyon sa hangganan na 1) at 2) na ibinigay namin ay tumutugma sa isang tiyak na bilang na katumbas ng aksyon para sa tilapon na ito. Sa lahat ng naturang mga tilapon, mayroong isang tilapon na may pinakamaliit na pagkilos. Mapapatunayan na ang trajectory na ito ay ang green trajectory, i.e. pare-parehong paggalaw ng bola. Para sa anumang iba pang tilapon, gaano man ito nakakalito, ang aksyon ay magiging higit sa 1/2.

Sa matematika, ang naturang paghahambing para sa bawat function ng isang tiyak na numero ay tinatawag na functional. Madalas sa pisika at matematika ang mga problemang katulad ng sa atin ay lumitaw, i.e. upang makahanap ng isang function kung saan ang halaga ng isang tiyak na functional ay minimal. Halimbawa, ang isa sa mga problema na nagkaroon ng malaking kahalagahan sa kasaysayan para sa pag-unlad ng matematika ay ang problema ng bachistochrone. Yung. paghahanap ng kurba kung saan ang bola ay pinakamabilis na gumulong. Muli, ang bawat kurba ay maaaring katawanin ng isang function na h(x), at ang bawat function ay maaaring iugnay sa isang numero, sa kasong ito ang oras ng pag-roll ng bola. Muli, ang problema ay bumaba sa paghahanap ng isang function kung saan ang halaga ng functional ay minimal. Ang sangay ng matematika na tumatalakay sa mga ganitong problema ay tinatawag na calculus of variations.

Prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos

Ang unang tilapon ay nakuha mula sa mga batas ng pisika at tumutugma sa tunay na tilapon ng isang libreng bola, kung saan walang puwersang kumikilos at kung saan ang mga kondisyon ng hangganan ay tinukoy sa form 1) at 2).

Ang pangalawang trajectory ay nakuha mula sa matematikal na problema ng paghahanap ng isang tilapon na may ibinigay na mga kundisyon sa hangganan 1) at 2), kung saan ang aksyon ay minimal.

Ang prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon ay nagsasaad na ang dalawang trajectory na ito ay dapat magkasabay. Sa madaling salita, kung alam na ang bola ay gumagalaw sa paraang ang mga kondisyon ng hangganan 1) at 2) ay nasiyahan, kung gayon ito ay kinakailangang lumipat sa isang tilapon kung saan ang aksyon ay minimal kumpara sa anumang iba pang tilapon na may parehong hangganan kundisyon.

Maaaring isaalang-alang ito ng isa na nagkataon lamang. Maraming mga problema kung saan lumilitaw ang mga pare-parehong tilapon at tuwid na linya. Gayunpaman, ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos ay lumalabas na isang napaka-pangkalahatang prinsipyo, na may bisa sa ibang mga sitwasyon, halimbawa, para sa paggalaw ng isang bola sa isang pare-parehong larangan ng gravitational. Upang gawin ito, kailangan mo lamang palitan ang kinetic energy na may pagkakaiba sa pagitan ng kinetic at potensyal na enerhiya. Ang pagkakaibang ito ay tinatawag na Lagrangian o Lagrangian function at ang aksyon ngayon ay nagiging katumbas ng kabuuang naipon na Lagrangian. Sa katunayan, ang Lagrange function ay naglalaman ng lahat ng kinakailangang impormasyon tungkol sa mga dynamic na katangian ng system.

Kung ilulunsad natin ang isang bola sa isang pare-parehong gravitational field sa paraang ito ay pumasa sa isang punto sa isang iglap ng oras at dumating sa isang punto sa isang saglit na oras, kung gayon, ayon sa mga batas ni Newton, ito ay lilipad sa isang parabola. Ang parabola na ito ay magkakasabay sa mga trajectory kung saan ang aksyon ay magiging minimal.

Kaya, para sa isang katawan na gumagalaw sa isang potensyal na field, halimbawa, sa gravitational field ng Earth, ang Lagrange function ay katumbas ng: . Ang kinetic energy ay nakasalalay sa bilis ng katawan, at ang potensyal na enerhiya ay nakasalalay sa posisyon nito, i.e. mga coordinate Sa analytical mechanics, ang buong hanay ng mga coordinate na tumutukoy sa posisyon ng system ay karaniwang tinutukoy ng isang titik. Para sa isang bola na malayang gumagalaw sa isang gravitational field, nangangahulugan ng mga coordinate , at .

Upang ipahiwatig ang rate ng pagbabago ng anumang dami, sa pisika ay madalas na nilalagyan lamang nila ng tuldok ang dami na ito. Halimbawa, tinutukoy nito ang rate ng pagbabago ng coordinate, o, sa madaling salita, ang bilis ng katawan sa direksyon. Gamit ang mga convention na ito, ang bilis ng ating bola sa analytical mechanics ay tinutukoy bilang . Yung. ay kumakatawan sa mga bahagi ng bilis.

Dahil ang Lagrange function ay nakasalalay sa bilis at mga coordinate, at maaari ding tahasang nakasalalay sa oras (tahasang nakasalalay sa oras ay nangangahulugan na ang halaga ay iba sa iba't ibang oras, para sa parehong mga bilis at posisyon ng bola), kung gayon ang aksyon sa pangkalahatan ay nakasulat bilang

Hindi laging minimal

Sa mahigpit na pagsasalita, ang potensyal na enerhiya ay maaaring kunin na hindi katumbas ng zero, ngunit sa anumang numero, dahil ang pagkakaiba sa potensyal na enerhiya sa iba't ibang mga punto sa espasyo ay mahalaga. Gayunpaman, ang pagbabago sa potensyal na halaga ng enerhiya ay hindi nakakaapekto sa paghahanap para sa isang tilapon na may kaunting pagkilos. Para lang sa lahat ng trajectory, magbabago ang value ng action sa parehong numero, at ang trajectory na may minimum na action ay mananatiling trajectory na may minimum na action. Para sa kaginhawahan, para sa aming bola pipiliin namin ang potensyal na enerhiya na katumbas ng zero.

Ang figure ay nagpapakita ng parehong pisikal na posibleng mga tilapon ng paggalaw ng bola. Ang berdeng tilapon ay tumutugma sa isang bola sa pahinga, habang ang asul na tilapon ay tumutugma sa isang bola na tumatalbog mula sa isang spring wall.

Gayunpaman, isa lamang sa kanila ang may kaunting epekto, lalo na ang una! Ang pangalawang tilapon ay may higit na pagkilos. Lumalabas na sa problemang ito mayroong dalawang pisikal na posibleng mga tilapon at isa lamang na may kaunting aksyon. Yung. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos ay hindi gumagana.

Mga nakatigil na puntos

Sa graph ay minarkahan ko ang apat na espesyal na puntos sa berde. Ano ang pagkakatulad ng mga puntong ito? Isipin natin na ang graph ng isang function ay isang tunay na slide kung saan maaaring gumulong ang isang bola. Ang apat na itinalagang mga punto ay espesyal na kung ilalagay mo ang bola nang eksakto sa puntong ito, hindi ito gugulong kahit saan. Sa lahat ng iba pang mga punto, halimbawa, punto E, hindi siya makakatayo at magsisimulang mag-slide pababa. Ang ganitong mga punto ay tinatawag na nakatigil. Ang paghahanap ng mga naturang punto ay isang kapaki-pakinabang na gawain, dahil ang anumang maximum o minimum ng isang function, kung ito ay walang matalim na break, ay dapat na isang nakatigil na punto.

Kung mas tumpak nating inuri-uriin ang mga puntong ito, kung gayon ang punto A ay ang absolute minimum ng function, i.e. ang halaga nito ay mas mababa kaysa sa anumang iba pang halaga ng function. Ang punto B ay hindi maximum o minimum at tinatawag na saddle point. Point C ay tinatawag na lokal na maximum, i.e. ang halaga sa loob nito ay mas malaki kaysa sa mga kalapit na punto ng function. At ang point D ay isang lokal na minimum, i.e. ang halaga sa loob nito ay mas mababa kaysa sa mga kalapit na punto ng function.

Ang paghahanap para sa mga naturang punto ay isinasagawa ng isang sangay ng matematika na tinatawag na mathematical analysis. Kung hindi, kung minsan ay tinatawag itong infinitesimal analysis, dahil maaari itong gumana sa infinitesimal na dami. Mula sa punto ng view ng mathematical analysis, ang mga nakatigil na puntos ay may isang espesyal na pag-aari, salamat sa kung saan sila ay natagpuan. Upang maunawaan kung ano ang property na ito, kailangan nating maunawaan kung ano ang hitsura ng function sa napakaliit na distansya mula sa mga puntong ito. Upang gawin ito, kukuha kami ng isang mikroskopyo at titingnan ito sa aming mga punto. Ipinapakita ng figure kung ano ang hitsura ng function sa paligid ng iba't ibang mga punto sa iba't ibang mga magnification.

Makikita na sa napakataas na pag-magnify (i.e. para sa napakaliit na deviations x) ang mga nakatigil na punto ay eksaktong pareho at ibang-iba sa hindi nakatigil na punto. Madaling maunawaan kung ano ang pagkakaiba na ito - ang graph ng isang function sa isang nakatigil na punto ay nagiging isang mahigpit na pahalang na linya kapag nadagdagan, at sa isang hindi nakatigil na punto ito ay nagiging isang hilig na linya. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang bola na naka-install sa isang nakatigil na punto ay hindi gumulong pababa.

Ang horizontality ng isang function sa isang nakatigil na punto ay maaaring ipahayag nang iba: ang function sa isang nakatigil na punto ay halos hindi nagbabago sa isang napakaliit na pagbabago sa argumento nito, kahit na kumpara sa pagbabago sa argumento mismo. Ang function sa isang hindi nakatigil na punto na may maliit na pagbabago ay nagbabago sa proporsyon sa pagbabago. At kung mas malaki ang slope ng function, mas nagbabago ang function kapag . Sa katunayan, habang tumataas ang function, nagiging parang tangent ito sa graph sa puntong pinag-uusapan.

Sa mahigpit na wikang matematika, ang expression na "isang function ay halos hindi nagbabago sa isang punto na may napakaliit na pagbabago" ay nangangahulugan na ang ratio ng isang pagbabago sa isang function at isang pagbabago sa argumento nito ay may posibilidad na 0 dahil ito ay may posibilidad na 0:

$$display$$\lim_(∆x \to 0) \frac (∆y(x_0))(∆x) = \lim_(x \to 0) \frac (y(x_0+∆x)-y(x_0) )(∆x) = 0$$display$$

Para sa isang hindi nakatigil na punto, ang ratio na ito ay may posibilidad sa isang hindi zero na numero, na katumbas ng tangent ng slope ng function sa puntong ito. Ang parehong numero ay tinatawag na derivative ng function sa isang naibigay na punto. Ipinapakita ng derivative ng isang function kung gaano kabilis nagbabago ang function sa paligid ng isang partikular na punto na may maliit na pagbabago sa argumento nito. Kaya, ang mga nakatigil na puntos ay mga punto kung saan ang derivative ng function ay katumbas ng 0.

Mga nakatigil na tilapon

Muli, sa wikang matematika, ang "medyo naiiba" ay may sumusunod na tiyak na kahulugan. Ipagpalagay natin na mayroon tayong ibinigay na functional para sa mga function na may mga kinakailangang kundisyon sa hangganan 1) at 2), i.e. At . Ipagpalagay natin na ang trajectory ay nakatigil.

Maaari kaming kumuha ng anumang iba pang pag-andar na nangangailangan ng mga zero na halaga sa mga dulo, i.e. = = 0. Kumuha din tayo ng isang variable, na gagawin nating mas maliit at mas maliit. Mula sa dalawang function na ito at sa variable, makakabuo tayo ng ikatlong function, na tutugunan din ang mga kundisyon ng hangganan at. Habang bumababa ito, ang trajectory na naaayon sa function ay magiging mas malapit sa trajectory.

Bukod dito, para sa mga nakatigil na trajectory sa maliit na halaga ng functional para sa mga trajectories ay mag-iiba ng napakaliit mula sa halaga ng functional para kahit na kung ihahambing sa . Yung.

$$display$$\lim_(ε \to 0) \frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=\lim_(ε \to 0) \frac (S(x( t)+εg(t))-S(x(t)))ε = 0$$display$$

Bukod dito, ito ay dapat na totoo para sa anumang tilapon na nakakatugon sa mga kundisyon ng hangganan = = 0.

Ang pagbabago sa functional na may maliit na pagbabago sa function (mas tiyak, ang linear na bahagi ng pagbabago sa functional, proporsyonal sa pagbabago sa function) ay tinatawag na variation ng functional at tinutukoy ng . Ang pangalang "calculus of variations" ay nagmula sa terminong "variation".

Para sa mga nakatigil na trajectory, pagkakaiba-iba ng functional.

Ang isang paraan para sa paghahanap ng mga nakatigil na function (hindi lamang para sa prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos, kundi pati na rin para sa maraming iba pang mga problema) ay natagpuan ng dalawang mathematician - Euler at Lagrange. Lumalabas na ang isang nakatigil na pag-andar, na ang paggana ay ipinahayag ng isang integral na katulad ng integral ng aksyon, ay dapat matugunan ang isang tiyak na equation, na ngayon ay tinatawag na Euler-Lagrange equation.

Nakatigil na prinsipyo

Lumalabas na ang mga totoong katawan ay maaaring hindi kinakailangang gumalaw sa mga tilapon na may pinakamaliit na pagkilos. Maaari silang lumipat sa isang mas malawak na hanay ng mga espesyal na trajectory, katulad ng mga nakatigil na trajectory. Yung. ang tunay na tilapon ng katawan ay laging nakatigil. Samakatuwid, ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos ay mas wastong tinatawag na prinsipyo ng nakatigil na pagkilos. Gayunpaman, ayon sa itinatag na tradisyon, madalas itong tinatawag na prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos, na nagpapahiwatig hindi lamang sa minimality, kundi pati na rin sa stationarity ng trajectories.

Ngayon ay maaari nating isulat ang prinsipyo ng nakatigil na pagkilos sa wikang matematika, tulad ng karaniwang nakasulat sa mga aklat-aralin: .

Narito ang mga ito ay pangkalahatang mga coordinate, i.e. isang set ng mga variable na natatanging tumutukoy sa posisyon ng system.
- rate ng pagbabago ng mga pangkalahatang coordinate.
- Lagrange function, na nakasalalay sa mga pangkalahatang coordinate, ang kanilang mga bilis at, posibleng, oras.
- isang aksyon na nakadepende sa partikular na trajectory ng system (ibig sabihin, sa ).

Ang mga tunay na trajectory ng system ay nakatigil, i.e. para sa kanila ang isang pagkakaiba-iba ng aksyon.

Ang ilang mga kapansin-pansin na kahihinatnan ay sumusunod mula sa prinsipyo ng hindi bababa sa (mas tiyak na nakatigil) na pagkilos, na tatalakayin natin sa susunod na bahagi.

Noong una kong nalaman ang tungkol sa prinsipyong ito, nagkaroon ako ng pakiramdam ng ilang uri ng mistisismo. Tila ang kalikasan ay misteryosong dumaan sa lahat ng posibleng mga landas ng paggalaw ng system at pinipili ang pinakamahusay.

Ngayon gusto kong pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa isa sa mga pinaka-kahanga-hangang prinsipyo ng pisika - ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos.

Background

Kapag naaninag, gumagalaw din ang liwanag sa paraang makapunta mula sa isang punto patungo sa isa pa sa pinakamaikling posibleng paraan. Sa larawan, ang pinakamaikling landas ay ang berdeng landas, kung saan ang anggulo ng saklaw ay katumbas ng anggulo ng pagmuni-muni. Anumang iba pang landas, halimbawa, pula, ay magiging mas mahaba.

Noong 1662, iminungkahi ni Pierre Fermat na ang bilis ng liwanag sa siksik na bagay, tulad ng salamin, ay mas mababa kaysa sa hangin. Bago ito, ang bersyon ni Descartes ay karaniwang tinatanggap, ayon sa kung saan ang bilis ng liwanag sa bagay ay dapat na mas malaki kaysa sa hangin upang makuha ang tamang batas ng repraksyon. Para kay Fermat, ang pag-aakala na ang liwanag ay maaaring gumalaw nang mas mabilis sa isang mas siksik na medium kaysa sa isang rarefied ay tila hindi natural. Samakatuwid, ipinapalagay niya na ang lahat ay eksaktong kabaligtaran at pinatunayan ang isang kamangha-manghang bagay - sa palagay na ito, ang liwanag ay na-refracted sa paraang maabot ang patutunguhan nito sa pinakamababang oras.

Ang lahat ng mga katotohanang ito ay iminungkahi na ang kalikasan ay kumikilos sa ilang makatwirang paraan, ang liwanag at mga katawan ay gumagalaw sa pinakamainam na paraan, na gumugugol ng kaunting pagsisikap hangga't maaari. Ngunit kung anong uri ng mga pagsisikap ang mga ito at kung paano kalkulahin ang mga ito ay nanatiling isang misteryo.

Noong 1744, ipinakilala ni Maupertuis ang konsepto ng "aksyon" at bumalangkas ng prinsipyo kung saan ang tunay na tilapon ng isang particle ay naiiba sa anumang iba dahil ang aksyon para dito ay minimal. Gayunpaman, si Maupertuis mismo ay hindi kailanman nakapagbigay ng malinaw na kahulugan ng kung ano ang halaga ng pagkilos na ito. Ang isang mahigpit na pormulasyon sa matematika ng prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon ay binuo na ng ibang mga mathematician - Euler, Lagrange, at sa wakas ay ibinigay ni William Hamilton:

Libreng katawan

Kaya paano ka dapat magmaneho upang makarating sa iyong patutunguhan sa eksaktong takdang oras at gumamit ng kaunting gasolina hangga't maaari? Malinaw na kailangan mong pumunta sa isang tuwid na linya. Habang tumataas ang distansyang nilakbay, hindi bababa sa gasolina ang mauubos. At pagkatapos ay maaari kang pumili ng iba't ibang mga taktika. Halimbawa, maaari kang mabilis na makarating sa punto nang maaga at umupo lamang at maghintay hanggang sa dumating ang oras. Ang bilis ng pagmamaneho, at samakatuwid ang pagkonsumo ng gasolina sa bawat sandali ng oras, ay magiging mataas, ngunit ang oras ng pagmamaneho ay mababawasan din. Marahil ang pangkalahatang pagkonsumo ng gasolina ay hindi magiging napakahusay. O maaari kang magmaneho nang pantay-pantay, sa parehong bilis, upang, nang hindi nagmamadali, makarating ka nang eksakto sa oras. O magmaneho ng bahagi ng daan nang mabilis, at magbahagi nang mas mabagal. Ano ang pinakamahusay na paraan upang pumunta?

Lumalabas na ang pinakamainam, pinakamatipid na paraan sa pagmamaneho ay ang pagmamaneho sa isang pare-parehong bilis, upang makarating ka sa patutunguhan sa eksaktong takdang oras. Ang anumang iba pang pagpipilian ay kumonsumo ng mas maraming gasolina. Maaari mong suriin ito sa iyong sarili gamit ang ilang mga halimbawa. Ang dahilan ay ang pagkonsumo ng gasolina ay tumataas sa parisukat ng bilis. Samakatuwid, habang tumataas ang bilis, tumataas ang pagkonsumo ng gasolina nang mas mabilis kaysa sa pagbaba ng oras ng pagmamaneho, at tumataas din ang pangkalahatang pagkonsumo ng gasolina.

Kaya, nalaman namin na kung ang isang kotse sa bawat sandali ng oras ay kumonsumo ng gasolina sa proporsyon sa kinetic energy nito, kung gayon ang pinaka-ekonomiko na paraan upang makarating mula sa punto hanggang punto sa eksaktong takdang oras ay ang pagmamaneho nang pantay-pantay at sa isang tuwid na linya, eksakto. ang paraan ng paggalaw ng katawan sa kawalan ng pwersang kumikilos dito.lakas Anumang iba pang paraan ng pagmamaneho ay magreresulta sa mas mataas na pangkalahatang pagkonsumo ng gasolina.

Sa larangan ng grabidad

Ang pagkonsumo ng gasolina sa bawat sandali ng oras ay katumbas ng kinetic energy minus ang potensyal na enerhiya ng kotse (minus potensyal na enerhiya, dahil ang naka-install na aparato ay gumagawa ng gasolina at hindi ito kumonsumo). Ngayon ang aming gawain ng paglipat ng kotse sa pagitan ng mga punto nang mahusay hangga't maaari ay nagiging mas mahirap. Ang pare-parehong paggalaw ng rectilinear ay lumalabas na hindi ang pinaka-epektibo sa kasong ito. Lumalabas na mas pinakamainam na makakuha ng kaunting altitude, manatili doon nang ilang sandali, gumamit ng mas maraming gasolina, at pagkatapos ay bumaba sa point . Sa tamang landas ng paglipad, ang kabuuang produksyon ng gasolina dahil sa pag-akyat ay sasakupin ang mga karagdagang gastos sa gasolina para sa pagtaas ng haba ng landas at pagtaas ng bilis. Kung maingat mong kalkulahin, ang pinakamatipid na paraan para sa isang kotse ay ang paglipad sa isang parabola, sa eksaktong parehong trajectory at sa eksaktong kaparehong bilis ng paglipad ng isang bato sa gravitational field ng Earth.

Lagrange function at prinsipyo ng least action

Isang analogue ng kabuuang halaga ng gasolina na natupok sa buong panahon ng paggalaw, i.e. ang halaga ng Lagrangian na naipon sa buong oras ng paggalaw ay tinatawag na "aksyon".

Ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos ay ang katawan ay gumagalaw sa paraang ang aksyon (na depende sa tilapon ng paggalaw) ay minimal. Kasabay nito, hindi natin dapat kalimutan na ang paunang at pangwakas na mga kondisyon ay tinukoy, i.e. kung saan ang katawan ay nasa sandali ng oras at sa sandali ng oras.

Sa kasong ito, ang katawan ay hindi kinakailangang lumipat sa isang pare-parehong larangan ng gravitational, na isinasaalang-alang namin para sa aming sasakyan. Maaaring isaalang-alang ang ganap na magkakaibang mga sitwasyon. Ang isang katawan ay maaaring mag-oscillate sa isang nababanat na banda, umindayog sa isang pendulum, o lumipad sa paligid ng Araw, sa lahat ng mga kasong ito ay gumagalaw ito sa paraang mabawasan ang "kabuuang pagkonsumo ng gasolina" i.e. aksyon.

Kung ang isang sistema ay binubuo ng ilang mga katawan, kung gayon ang Lagrangian ng naturang sistema ay magiging katumbas ng kabuuang kinetic energy ng lahat ng mga katawan minus ang kabuuang potensyal na enerhiya ng lahat ng mga katawan. At muli, ang lahat ng mga katawan ay kikilos nang magkakasabay upang ang epekto ng buong sistema sa panahon ng naturang paggalaw ay minimal.

Hindi gaanong simple

Halimbawa, kumuha tayo ng bola at ilagay ito sa isang bakanteng espasyo. Sa ilang distansya mula dito maglalagay kami ng nababanat na pader. Sabihin nating gusto nating mapunta ang bola sa parehong lugar pagkatapos ng ilang oras. Sa ilalim ng mga ibinigay na kundisyon, ang bola ay maaaring gumalaw sa dalawang magkaibang paraan. Una, maaari lamang itong manatili sa lugar. Pangalawa, maaari mo itong itulak patungo sa dingding. Ang bola ay lilipad sa dingding, tumalbog ito at babalik. Ito ay malinaw na maaari mong itulak ito sa ganoong bilis na ito ay bumalik sa eksaktong tamang oras.

Paano natin maililigtas ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos upang ito ay maging wasto sa mga ganitong sitwasyon? Pag-uusapan natin ito sa.

Encyclopedic YouTube

• 1 / 5

  Ang matematikal na pananaliksik at pagpapaunlad ng prinsipyo ng Fermat ay isinagawa ni Christiaan Huygens, pagkatapos nito ang paksa ay aktibong tinalakay ng mga pinakamalaking siyentipiko noong ika-17 siglo. Ipinakilala ni Leibniz ang pangunahing konsepto ng aksyon sa pisika noong 1669: "Ang mga pormal na pagkilos ng paggalaw ay proporsyonal ... sa produkto ng dami ng bagay, ang mga distansya kung saan sila gumagalaw, at ang bilis."

  Kaayon ng pagsusuri ng mga batayan ng mekanika, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa pagkakaiba-iba ay binuo. Si Isaac Newton sa kanyang "Mathematical Principles of Natural Philosophy" (1687) ay nagbigay at nilutas ang unang variational na problema: upang mahanap ang isang anyo ng isang katawan ng pag-ikot na gumagalaw sa isang lumalaban na medium kasama ang axis nito kung saan ang paglaban na naranasan ay magiging pinakamababa. Halos sabay-sabay, lumitaw ang iba pang mga problema sa pagkakaiba-iba: ang problema ng brachistochrone (1696), ang anyo ng isang linya ng kadena, atbp.

  Ang mga mapagpasyang kaganapan ay naganap noong 1744. Inilathala ni Leonhard Euler ang unang pangkalahatang gawain sa calculus of variations ("Paraan ng paghahanap ng mga kurba na nagtataglay ng mga katangian ng maximum o minimum"), at Pierre-Louis de Maupertuis, sa kanyang treatise na "The Reconciliation of Various Laws of Nature, Which Hitherto Seemed Hindi magkatugma, "nagbigay ng unang pormulasyon ng prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos: "ang landas na sinusundan ng liwanag ay ang landas kung saan ang dami ng pagkilos ay magiging pinakamaliit." Ipinakita niya ang katuparan ng batas na ito para sa parehong pagmuni-muni at repraksyon ng liwanag. Bilang tugon sa artikulo ni Maupertuis, inilathala ni Euler (sa parehong taon 1744) ang akdang "Sa pagpapasiya ng paggalaw ng mga itinapon na katawan sa isang di-lumalaban na daluyan sa pamamagitan ng pamamaraan ng maxima at minima," at sa gawaing ito ay ibinigay niya kay Maupertuis ' prinsipyo ng isang pangkalahatang mekanikal na katangian: "Dahil ang lahat ng natural na phenomena ay sumusunod sa ilan Kung mayroong anumang batas ng maximum o minimum, kung gayon walang alinlangan na para sa mga hubog na linya na naglalarawan ng mga itinapon na katawan, kapag ang anumang pwersa ay kumilos sa kanila, mayroong ilang pag-aari ng maximum o minimum. Binabalangkas pa ni Euler ang batas na ito: ang trajectory ng isang katawan ay nakakamit ng isang minimum ∫ m v d s (\displaystyle \int mv\ ds). Pagkatapos ay inilapat niya ito, na nagmula sa mga batas ng paggalaw sa isang pare-parehong larangan ng gravitational at sa ilang iba pang mga kaso.

  Noong 1746, si Maupertuis, sa isang bagong akda, ay sumang-ayon sa opinyon ni Euler at ipinahayag ang pinaka-pangkalahatang bersyon ng kanyang prinsipyo: "Kapag ang ilang pagbabago ay nangyari sa kalikasan, ang halaga ng pagkilos na kinakailangan para sa pagbabagong ito ay pinakamaliit na posible. Ang dami ng aksyon ay ang produkto ng masa ng mga katawan sa pamamagitan ng kanilang bilis at ang distansya na kanilang nilalakbay." Sa malawak na talakayan na sumunod, sinuportahan ni Euler ang priyoridad ni Maupertuis at nangatuwiran para sa unibersal na katangian ng bagong batas: "lahat ng dynamics at hydrodynamics ay maaaring ihayag nang may kamangha-manghang kadalian sa pamamagitan ng pamamaraan ng maxima at minima lamang."

  Nagsimula ang isang bagong yugto noong 1760-1761, nang ipakilala ni Joseph Louis Lagrange ang mahigpit na konsepto ng variation ng isang function, binigyan ang calculus ng mga variation ng isang modernong anyo at pinalawak ang prinsipyo ng hindi bababa sa aksyon sa isang arbitrary na sistemang mekanikal (iyon ay, hindi lamang sa libreng materyal na mga puntos). Ito ay minarkahan ang simula ng analytical mechanics. Ang karagdagang paglalahat ng prinsipyo ay isinagawa ni Carl Gustav Jacob Jacobi noong 1837 - itinuring niya ang problema sa geometrically, bilang paghahanap ng mga extremals ng isang variational na problema sa isang configuration space na may non-Euclidean metric. Sa partikular, itinuro ni Jacobi na sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, ang trajectory ng system ay kumakatawan sa isang geodesic na linya sa espasyo ng pagsasaayos.

  Ang diskarte ni Hamilton ay napatunayang unibersal at lubos na epektibo sa mga modelo ng matematika ng physics, lalo na para sa quantum mechanics. Ang heuristic na kapangyarihan nito ay nakumpirma sa paglikha ng General Relativity, nang inilapat ni David Hilbert ang prinsipyo ni Hamilton upang makuha ang mga huling equation ng gravitational field (1915).

  Sa klasikal na mekanika

  Ang prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos ay nagsisilbing pundamental at pamantayang batayan ng Lagrangian at Hamiltonian na mga pormulasyon ng mekanika.

  Una, tingnan natin ang konstruksiyon tulad nito: Lagrangian mechanics. Gamit ang halimbawa ng isang pisikal na sistema na may isang antas ng kalayaan, alalahanin natin na ang aksyon ay isang functional na may kinalaman sa (pangkalahatan) mga coordinate (sa kaso ng isang antas ng kalayaan - isang coordinate), iyon ay, ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng q (t) (\displaystyle q(t)) upang ang bawat naiisip na variant ng function q (t) (\displaystyle q(t)) ang isang tiyak na numero ay inihambing - isang aksyon (sa kahulugang ito ay maaari nating sabihin na ang isang aksyon bilang isang functional ay isang panuntunan na nagbibigay-daan para sa anumang ibinigay na function q (t) (\displaystyle q(t)) kalkulahin ang isang napaka-tiyak na numero - tinatawag ding aksyon). Ang aksyon ay mukhang:

  S [ q ] = ∫ L (q (t) , q ˙ (t) , t) d t , (\displaystyle S[q]=\int (\mathcal (L))(q(t),(\dot ( q))(t),t)dt,)

  saan L (q (t) , q ˙ (t) , t) (\displaystyle (\mathcal (L))(q(t),(\dot (q))(t),t)) ay ang Lagrangian ng system, depende sa pangkalahatang coordinate q (\displaystyle q), ang first time derivative nito q ˙ (\displaystyle (\dot (q))), at gayundin, posibleng, tahasang mula sa panahon t (\displaystyle t). Kung ang sistema ay may higit na antas ng kalayaan n (\displaystyle n), kung gayon ang Lagrangian ay nakasalalay sa isang mas malaking bilang ng mga pangkalahatang coordinate q i (t) , i = 1 , 2 , … , n (\displaystyle q_(i)(t),\ i=1,2,\dots ,n) at ang kanilang mga first time derivatives. Kaya, ang aksyon ay isang scalar functional depende sa trajectory ng katawan.

  Ang katotohanan na ang aksyon ay isang scalar ay ginagawang madaling isulat ito sa anumang pangkalahatang mga coordinate, ang pangunahing bagay ay ang posisyon (configuration) ng system ay hindi malabo na nailalarawan sa kanila (halimbawa, sa halip na mga Cartesian coordinate, ang mga ito ay maaaring polar. mga coordinate, mga distansya sa pagitan ng mga punto ng system, mga anggulo o kanilang mga function, atbp. .d.).

  Maaaring kalkulahin ang aksyon para sa isang ganap na arbitrary na tilapon q (t) (\displaystyle q(t)), gaano man ito ka "wild" at "unnatural". Gayunpaman, sa mga klasikal na mekanika, kabilang sa buong hanay ng mga posibleng trajectory, mayroon lamang isa kung saan ang katawan ay talagang pupunta. Ang prinsipyo ng nakatigil na pagkilos ay tiyak na nagbibigay ng sagot sa tanong kung paano aktwal na gumagalaw ang katawan:

  Nangangahulugan ito na kung ang Lagrangian ng sistema ay ibinigay, pagkatapos ay gamit ang calculus ng mga pagkakaiba-iba maaari naming itatag nang eksakto kung paano ang katawan ay gumagalaw, unang makuha ang mga equation ng paggalaw - ang Euler-Lagrange equation, at pagkatapos ay lutasin ang mga ito. Ito ay nagbibigay-daan hindi lamang upang seryosong gawing pangkalahatan ang pagbabalangkas ng mga mekanika, kundi pati na rin upang piliin ang pinaka-maginhawang mga coordinate para sa bawat partikular na problema, hindi limitado sa mga Cartesian, na maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang para sa pagkuha ng pinakasimpleng at pinakamadaling malutas na mga equation.

  S [ p , q ] = ∫ (∑ i p i d q i − H (q , p , t) d t) = ∫ (∑ i p i q ˙ i − H (q , p , t)) d t , (\displaystyle S=\int (\ malaki ()\sum _(i)p_(i)dq_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)dt(\big))=\int (\big ()\sum _( i)p_(i)(\dot (q))_(i)-(\mathcal (H))(q,p,t)(\big))dt,)

  saan H (q , p , t) ≡ H (q 1 , q 2 , … , q N , p 1 , p 2 , … , p N , t) (\displaystyle (\mathcal (H))(q,p, t)\equiv (\mathcal (H))(q_(1),q_(2),\dots ,q_(N),p_(1),p_(2),\dots ,p_(N),t) )- Hamilton function ng system na ito; q ≡ q 1 , q 2 , … , q N (\displaystyle q\equiv q_(1),q_(2),\dots ,q_(N))- (pangkalahatan) mga coordinate, p ≡ p 1 , p 2 , … , p N (\displaystyle p\equiv p_(1),p_(2),\dots ,p_(N))- ang (pangkalahatan) na mga impulses ay nagsasama-sama dito, na magkakasamang nagpapakilala sa bawat naibigay na sandali sa oras ng pabago-bagong estado ng sistema at, bawat isa ay isang function ng oras, kaya nailalarawan ang ebolusyon (motion) ng system. Sa kasong ito, upang makuha ang mga equation ng paggalaw ng system sa anyo ng mga kanonikal na equation ng Hamilton, kinakailangan na pag-iba-ibahin ang aksyon na nakasulat sa paraang ito nang nakapag-iisa para sa lahat. q i (\displaystyle q_(i)) At p i (\displaystyle p_(i)).

  Dapat pansinin na kung mula sa mga kondisyon ng problema posible sa prinsipyo upang mahanap ang batas ng paggalaw, pagkatapos ito ay awtomatiko Hindi nangangahulugan na posibleng bumuo ng isang functional na tumatagal ng isang nakatigil na halaga sa panahon ng tunay na paggalaw. Ang isang halimbawa ay ang magkasanib na paggalaw ng mga electric charge at monopole - magnetic charge - sa isang electromagnetic field. Ang kanilang mga equation ng paggalaw ay hindi maaaring makuha mula sa prinsipyo ng nakatigil na pagkilos. Katulad nito, ang ilang mga sistema ng Hamiltonian ay may mga equation ng paggalaw na hindi maaaring makuha mula sa prinsipyong ito.

  Mga halimbawa

  Ang mga maliit na halimbawa ay nakakatulong upang suriin ang paggamit ng prinsipyo ng pagpapatakbo sa pamamagitan ng mga equation ng Euler-Lagrange. Libreng butil (mass m at bilis v) sa Euclidean space ay gumagalaw sa isang tuwid na linya. Gamit ang mga equation ng Euler-Lagrange, maaari itong ipakita sa mga polar coordinates bilang mga sumusunod. Sa kawalan ng potensyal, ang Lagrange function ay katumbas lamang ng kinetic energy

  1 2 m v 2 = 1 2 m (x ˙ 2 + y ˙ 2) (\displaystyle (\frac (1)(2))mv^(2)=(\frac (1)(2))m\left( (\tuldok (x))^(2)+(\tuldok (y))^(2)\kanan)) ψ = ∫ [D x ] e (i S [ x ] / ℏ) . (\displaystyle \psi =\int e^(((iS[x])/(\hbar )))\,.)

  Dito ∫ [ D x ] (\displaystyle \int ) ay isang kondisyonal na notasyon para sa walang katapusang multiple functional integration sa lahat ng trajectory x(t), at ℏ (\displaystyle \hbar )- pare-pareho ni Planck. Binibigyang-diin namin na, sa prinsipyo, ang aksyon sa exponential ay lilitaw (o maaaring lumitaw) mismo kapag pinag-aaralan ang evolution operator sa quantum mechanics, ngunit para sa mga system na may eksaktong classical (non-quantum) analogue, ito ay eksaktong katumbas ng karaniwan. klasikal na aksyon.

  Pagsusuri sa matematika ng expression na ito sa klasikal na limitasyon - para sa sapat na malaki S / ℏ (\displaystyle S/\hbar ), iyon ay, na may napakabilis na oscillations ng haka-haka exponential - ay nagpapakita na ang napakaraming karamihan ng lahat ng posibleng trajectory sa integral na ito ay nagkansela sa bawat isa sa limitasyon (pormal sa S / ℏ → ∞ (\displaystyle S/\hbar \rightarrow \infty )). Para sa halos anumang landas mayroong isang landas kung saan ang phase shift ay magiging eksaktong kabaligtaran, at magdaragdag sila ng hanggang zero na kontribusyon. Tanging ang mga trajectory na kung saan ang aksyon ay malapit sa matinding halaga (para sa karamihan ng mga system - sa pinakamaliit) ay hindi nababawasan. Ito ay isang purong mathematical na katotohanan mula sa