Kahulugan.Quadratic Form, naaayon sa simetriko bilinear form sa linear space V , ay tinatawag na function ng isang vector argument .

Hayaang ang isang parisukat na anyo , ay isang simetriko na anyo ng bilinear na naaayon dito. Pagkatapos

kung saan sumusunod na mula sa isang parisukat na anyo ang katumbas na simetriko na anyo ng bilinear ay natatanging tinutukoy din. Kaya, sa pagitan ng simetriko bilinear at quadratic na mga anyo sa isang linear na espasyo V ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag, kaya ang mga parisukat na anyo ay maaaring pag-aralan gamit ang simetriko na mga anyo ng bilinear.

Isipin mo n-dimensional na linear na espasyo. Matrix ng quadratic form sa isang ibinigay na batayan ng isang linear space ay tinatawag na isang matrix ng katumbas na simetriko bilinear form sa parehong batayan. Ang isang quadratic matrix ay palaging simetriko.

Tukuyin ang matrix ng parisukat na anyo sa ilang batayan ng espasyo. Kung, gaya ng dati, ipinapahiwatig namin X ang coordinate column ng vector sa parehong batayan, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay 5.5 makuha namin ang matrix form ng quadratic form:

.

Teorama 5.4. Hayaang ibigay ang dalawang base sa isang linear na espasyo

(5.10)

, (5.11)

at hayaan at maging quadratic matrice sa mga base (5.10) at (5.11), ayon sa pagkakabanggit. Tapos saan T ay ang transition matrix mula sa (5.10) hanggang (5.11).

Ang patunay ay sumusunod mula sa Theorem 5.2 at ang kahulugan ng isang matrix ng isang parisukat na anyo.

Dahil sa ang katunayan na ang transition matrix T ay non-degenerate, kung gayon ang ranggo ng matrix ng quadratic form ay hindi nagbabago kapag pumasa sa isang bagong batayan. Samakatuwid, maaari nating bumalangkas ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan. ranggo ng isang parisukat na anyo na tinukoy sa isang linear na espasyo ay tinatawag na ranggo ng matrix nito sa ilang, at samakatuwid sa anumang batayan ng espasyo (na tinutukoy ng ).

Ngayon isinusulat namin ang quadratic form sa coordinate form. Upang gawin ito, pinalawak namin ang vector sa mga tuntunin ng batayan (5.10): . Kung ay isang matrix ng isang parisukat na anyo sa parehong batayan, kung gayon, alinsunod sa pagkakapantay-pantay (5.4), mayroon tayong

– (5.12)

coordinate form ng isang quadratic form. Isulat natin ang (5.12) nang detalyado para sa n= 3, ibinigay na

Kaya, kung ang isang batayan ay ibinigay sa, kung gayon ang parisukat na anyo sa coordinate notation ay mukhang isang homogenous polynomial ng pangalawang degree sa n mga variable - mga coordinate ng vector sa ibinigay na batayan. Ang polynomial na ito ay tinatawag tingnan parisukat na anyo sa isang ibinigay na batayan. Ngunit sa mga aplikasyon, ang gayong mga polynomial ay madalas na lumabas nang nakapag-iisa, nang walang nakikitang koneksyon sa mga linear na espasyo (halimbawa, ang pangalawang pagkakaiba-iba ng mga pag-andar), kaya bumubuo kami ng isa pang kahulugan ng isang parisukat na anyo.

Kahulugan. parisukat na anyo mula sa n mga variable ay isang homogenous second-degree polynomial sa mga variable na ito, ibig sabihin, isang function ng form (5.12). Ang isang matrix ng isang parisukat na anyo (5.12) ay isang simetriko matrix.

Halimbawa pag-compile ng isang matrix ng isang parisukat na anyo. Hayaan

Makikita mula sa (5.12) at (5.13) na ang coefficient ng at ay tumutugma sa , ibig sabihin, ang mga elemento ng dayagonal ng matrix ng parisukat na anyo ay ang mga coefficient ng mga parisukat. Sa parehong paraan, nakikita natin na kalahati ng koepisyent ng produkto. Kaya, ang quadratic form matrix (5.14) ay ganito ang hitsura:

.

Pinipili namin ngayon sa espasyo muli ang dalawang base (5.10) at (5.11) at tukuyin, gaya ng dati, ay ang mga coordinate column ng vector sa mga base (5.10) at (5.11), ayon sa pagkakabanggit. Kapag pumasa mula sa batayan (5.10) hanggang sa batayan (5.11), ang mga coordinate ng vector ay nagbabago ayon sa batas:

nasaan ang transition matrix mula sa (5.10) hanggang (5.11). Tandaan na ang matrix ay di-degenerate. Sinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (5.15) sa anyo ng coordinate:

o sa detalye:

(5.17)

Sa tulong ng pagkakapantay-pantay (5.17) (o (5.16), na pareho), pumasa tayo mula sa mga variable patungo sa mga variable .

Kahulugan. Linear non-degenerate transformation ng mga variable ay isang pagbabagong-anyo ng mga variable na tinukoy ng isang sistema ng equalities (5.16) o (5.17), o isang solong matrix equality (5.15), sa kondisyon na iyon ay isang nonsingular matrix. Matrix T ay tinatawag na matrix ng pagbabagong ito ng mga variable.

Kung sa (5.12) sa halip na mga variable ay pinapalitan natin ang kanilang mga expression sa pamamagitan ng mga variable ayon sa mga formula (5.17), buksan ang mga bracket at magbigay ng mga katulad, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isa pang homogenous polynomial ng pangalawang degree:

.

Sa kasong ito, ang linear na non-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable (5.17) ay sinasabing kunin ang quadratic form sa quadratic form . Ang mga halaga ng mga variable at nauugnay sa kaugnayan (5.15) (o mga relasyon (5.16) o (5.17)) ay tatawagin kaugnay para sa isang ibinigay na linear nondegenerate na pagbabago ng mga variable.

Kahulugan. Ang hanay ng mga variable ay tinatawag hindi mahalaga , kung ang halaga ng hindi bababa sa isa sa mga variable dito ay nonzero. Kung hindi, ang hanay ng mga variable ay tinatawag walang kuwenta .

Lemma 5.2. Sa ilalim ng linear nondegenerate transformation ng mga variable, ang isang maliit na hanay ng mga variable ay tumutugma sa isang trivial set.

Malinaw na sumusunod ito mula sa pagkakapantay-pantay (5.15): kung , pagkatapos at . Sa kabilang banda, gamit ang nonsingularity ng matrix T, muli mula sa (5.15) ay nakuha natin , kung saan malinaw na para sa , gayundin .◄

Bunga. Sa ilalim ng linear nondegenerate transformation ng mga variable, ang isang nontrivial set ng mga variable ay tumutugma sa isang nontrivial set.

Teorama 5.5. Kung ang linear na non-degenerate na pagbabagong-anyo (5.15) ay kinuha ang parisukat na anyo may matrix PERO sa isang parisukat na anyo may matrix PERO", pagkatapos (isa pang pagbabalangkas ng Theorem 5.4).

Bunga. Sa ilalim ng linear non-degenerate transformation ng mga variable, ang determinant ng isang matrix ng isang quadratic form ay hindi nagbabago ng sign.

Magkomento. Hindi tulad ng transition matrix at ang matrix ng isang linear operator, ang matrix ng isang linear nondegenerate transformation ng mga variable ay isinulat hindi sa pamamagitan ng mga column, ngunit sa pamamagitan ng mga row.

Hayaang magbigay ng dalawang linear na di-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable:

Ilapat natin ang mga ito sa pagkakasunud-sunod:

Komposisyon ng linear non-degenerate transformations ng mga variable Ang (5.18) at (5.19) ay ang kanilang sunud-sunod na aplikasyon, ibig sabihin, pagbabago ng mga variable Mula sa (5.20) malinaw na ang komposisyon ng dalawang linear non-degenerate transformations ng mga variable ay isa ring linear na non-degenerate na pagbabago ng mga variable.

Kahulugan. Tinatawag ang mga parisukat na anyo katumbas , kung mayroong isang linear na non-degenerate na pagbabagong-anyo ng mga variable na nagpapalit ng isa sa mga ito sa isa pa.

Quadratic na mga anyo

parisukat na anyo f(x 1, x 2,..., x n) ng n variable ay tinatawag na sum, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f(x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ang matrix A, na binubuo ng mga coefficient na ito, ay tinatawag na quadratic form matrix. Ito'y palaging simetriko matrix (ibig sabihin, isang simetriko ng matrix tungkol sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay may anyong f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng isang parisukat na anyo. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient sa mga parisukat ng mga variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng kalahati ng kaukulang mga coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-degenerate matrix ng order n. Pagkatapos ay ang parisukat na anyo
f(X) \u003d X T AX \u003d (CY) T A (CY) \u003d (Y T C T) A (CY) \u003d Y T (C T AC) Y.

Kaya, sa ilalim ng isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng parisukat na anyo ay tumatagal ng anyo: A * = C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang quadratic form f(y 1, y 2) na nakuha mula sa quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Mayroon itong canonical view) kung ang lahat ng coefficient nito a ij = 0 para sa i ≠ j, i.e.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(ang patunay ay hindi ibinigay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, bawasan natin sa canonical form ang quadratic form
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, piliin muna ang buong parisukat para sa variable na x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pipiliin namin ang buong parisukat para sa variable x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 =
\u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 at y 3 \u003d x 3 ay nagdadala ng quadratic form na ito sa canonical form f (y 1 , y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi malinaw na tinukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo sa iba't ibang paraan). Gayunpaman, ang mga canonical form na nakuha sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan ay may ilang mga karaniwang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa kung paano binabawasan ang anyo sa form na ito (halimbawa, sa isinasaalang-alang na halimbawa ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang ari-arian na ito ay tinatawag na ang batas ng inertia ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable x 2:
f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d - 3(x 2 2 -
- 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 =
\u003d -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \ u003d f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 \u003d - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 \u003d (2/3) x 1 + (1/6 ) x 3 at y 3 = x 1 . Dito, isang positibong koepisyent 2 sa y 3 at dalawang negatibong koepisyent (-3) sa y 1 at y 2 (at gamit ang isa pang pamamaraan, nakakuha kami ng positibong koepisyent 2 sa y 1 at dalawang negatibong koepisyent - (-5) sa y 2 at (-1 /20) para sa y 3).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng isang parisukat na anyo, na tinatawag na ang ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga non-zero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag positibo (negatibo) tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay-sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, i.e. f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin.
f(X)< 0).

Halimbawa, ang quadratic form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 ay positive definite, dahil ay ang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang sign-definiteness ng isang quadratic form, kaya isa sa mga sumusunod na theorems ang ginagamit para dito (binubalangkas namin ang mga ito nang walang mga patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (pamantayan ni Sylvester). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng pangunahing menor de edad ng matris ng form na ito ay positibo.

Major (sulok) menor Ang k-th order ng matrix A ng n-th order ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na parisukat na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang first-order na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, sinusuri namin ang quadratic form f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa sign-definiteness.

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 \u003d (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 - 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Ang pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matrix A D 1 = a 11 = 2 > 0. Ang pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa Sylvester criterion, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang quadratic form para sa sign-definiteness, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng parisukat na anyo А = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 \u003d (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 \u003d l 2 + 5l + 2 \u003d 0; D \u003d 25 - 8 \u003d 17;
. Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

parisukat na anyo f(x 1, x 2,..., x n) ng n variable ay tinatawag na sum, ang bawat termino ay alinman sa parisukat ng isa sa mga variable, o produkto ng dalawang magkaibang variable, na kinuha gamit ang isang tiyak na koepisyent: f(x 1, x 2, ...,х n) = (a ij =a ji).

Ang matrix A, na binubuo ng mga coefficient na ito, ay tinatawag na quadratic form matrix. Ito'y palaging simetriko matrix (i.e. isang matrix na simetriko na may paggalang sa pangunahing dayagonal, a ij = a ji).

Sa matrix notation, ang quadratic form ay may anyong f(X) = X T AX, kung saan

Sa totoo lang

Halimbawa, isulat natin ang quadratic form sa matrix form.

Upang gawin ito, nakahanap kami ng isang matrix ng isang parisukat na anyo. Ang mga elemento ng dayagonal nito ay katumbas ng mga coefficient sa mga parisukat ng mga variable, at ang natitirang mga elemento ay katumbas ng kalahati ng kaukulang mga coefficient ng quadratic form. kaya lang

Hayaang makuha ang matrix-column ng mga variable X sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation ng matrix-column Y, i.e. X = CY, kung saan ang C ay isang non-degenerate matrix ng order n. Pagkatapos ay ang quadratic form f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Kaya, sa isang non-degenerate linear transformation C, ang matrix ng parisukat na anyo ay tumatagal ng anyo: A * =C T AC.

Halimbawa, hanapin natin ang quadratic form f(y 1, y 2) na nakuha mula sa quadratic form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 sa pamamagitan ng linear transformation.

Ang quadratic form ay tinatawag kanonikal(Mayroon itong canonical view), kung ang lahat ng mga coefficient nito ay a ij \u003d 0 sa i≠j, ibig sabihin, f (x 1, x 2,..., x n) \u003d a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + ... + a nn x n 2 = .

Ang matrix nito ay dayagonal.

Teorama(ang patunay ay hindi ibinigay dito). Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang isang non-degenerate linear transformation.

Halimbawa, dalhin natin sa canonical form ang quadratic form f (x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Upang gawin ito, piliin muna ang buong parisukat para sa variable na x 1:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d 2 (x 1 + x 2) ) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Ngayon pipiliin namin ang buong parisukat para sa variable x 2:

f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 - 2 * x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2 ) - (5/100) x 3 2 \u003d \u003d 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Pagkatapos ang non-degenerate linear transformation y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x 2 - (1/10) x 3 at y 3 \u003d x 3 ay nagdadala ng quadratic form na ito sa canonical form f (y 1 , y 2, y 3) \u003d 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tandaan na ang kanonikal na anyo ng isang parisukat na anyo ay hindi malinaw na tinukoy (ang parehong parisukat na anyo ay maaaring bawasan sa kanonikal na anyo sa iba't ibang paraan1). Gayunpaman, ang mga canonical form na nakuha sa pamamagitan ng iba't ibang mga pamamaraan ay may ilang mga karaniwang katangian. Sa partikular, ang bilang ng mga termino na may positibong (negatibong) coefficient ng isang parisukat na anyo ay hindi nakasalalay sa kung paano binabawasan ang anyo sa form na ito (halimbawa, sa isinasaalang-alang na halimbawa ay palaging may dalawang negatibo at isang positibong koepisyent). Ang ari-arian na ito ay tinatawag na ang batas ng inertia ng mga parisukat na anyo.

I-verify natin ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng parehong quadratic form sa canonical form sa ibang paraan. Simulan natin ang pagbabago sa variable na x 2: f (x 1, x 2, x 3) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 \u003d -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 \u003d -3 (x 2 2 - - 2 * x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 \u003d f (y 1, y 2, y 3) \u003d - 3y 1 2 - -3y 2 2 + 2y 3 2, kung saan y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 - (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1 /6) x 3 at y 3 = x 1 . Narito ang isang positibong koepisyent 2 sa y 3 at dalawang negatibong koepisyent (-3) sa y 1 at y 2 ).

Dapat ding tandaan na ang ranggo ng isang matrix ng isang parisukat na anyo, na tinatawag na ang ranggo ng parisukat na anyo, ay katumbas ng bilang ng mga non-zero coefficient ng canonical form at hindi nagbabago sa ilalim ng mga linear na pagbabago.

Ang parisukat na anyo f(X) ay tinatawag positibo(negatibo)tiyak, kung para sa lahat ng mga halaga ng mga variable na hindi sabay na katumbas ng zero, ito ay positibo, ibig sabihin, f(X) > 0 (negatibo, ibig sabihin, f(X)< 0).

Halimbawa, ang quadratic form f 1 (X) \u003d x 1 2 + x 2 2 ay positive definite, dahil ay ang kabuuan ng mga parisukat, at ang parisukat na anyo f 2 (X) \u003d -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ay negatibong tiyak, dahil kumakatawan ito ay maaaring katawanin bilang f 2 (X) \u003d - (x 1 - x 2) 2.

Sa karamihan ng mga praktikal na sitwasyon, medyo mas mahirap itatag ang sign-definiteness ng isang quadratic form, kaya isa sa mga sumusunod na theorems ang ginagamit para dito (binubalangkas namin ang mga ito nang walang mga patunay).

Teorama. Ang isang parisukat na anyo ay positibo (negatibo) na tiyak kung at kung ang lahat ng eigenvalues ​​ng matrix nito ay positibo (negatibo).

Theorem (pamantayan ni Sylvester). Ang isang parisukat na anyo ay positibong tiyak kung at kung ang lahat ng pangunahing menor de edad ng matris ng form na ito ay positibo.

Major (sulok) menor Ang k-th order ng An-th order matrix ay tinatawag na determinant ng matrix, na binubuo ng mga unang k row at column ng matrix A ().

Tandaan na para sa mga negatibong tiyak na quadratic na anyo, ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, at ang unang-sunod na menor ay dapat na negatibo.

Halimbawa, sinusuri namin ang quadratic form f (x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para sa sign-definiteness.

= (2 -)* *(3 -) - 4 = (6 - 2- 3+ 2) - 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 - 8 = 17; . Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Paraan 2. Ang pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matrix A  1 = a 11 = 2 > 0. Ang pangunahing menor ng pangalawang pagkakasunud-sunod  2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Samakatuwid, ayon sa Sylvester criterion , ang parisukat na anyo ay positibong tiyak.

Sinusuri namin ang isa pang quadratic form para sa sign-definiteness, f (x 1, x 2) \u003d -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng parisukat na anyo А = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Samakatuwid, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak.

Paraan 2. Ang pangunahing menor de edad ng unang pagkakasunud-sunod ng matrix A  1 \u003d a 11 \u003d \u003d -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Samakatuwid, ayon sa Sylvester criterion, ang parisukat na anyo ay negatibong tiyak (ang mga palatandaan ng pangunahing mga menor de edad ay kahalili, simula sa minus).

At bilang isa pang halimbawa, sinusuri namin ang quadratic form f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 para sa sign-definiteness.

Paraan 1. Bumuo tayo ng isang matrix ng parisukat na anyo А = . Ang katangiang equation ay magkakaroon ng anyo = (2 -)* *(-3 -) - 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) - 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Ang isa sa mga numerong ito ay negatibo at ang isa ay positibo. Ang mga palatandaan ng eigenvalues ​​ay iba. Samakatuwid, ang isang parisukat na anyo ay hindi maaaring maging negatibo o positibong tiyak, i.e. ang quadratic form na ito ay hindi sign-definite (maaari itong kumuha ng mga halaga ng anumang sign).

Paraan 2. Ang pangunahing menor ng unang pagkakasunud-sunod ng matrix A  1 = a 11 = 2 > 0. Ang pangunahing menor ng pangalawang order  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Ang itinuturing na paraan ng pagbabawas ng quadratic na anyo sa canonical na anyo ay maginhawang gamitin kapag ang mga non-zero coefficient ay nangyayari sa ilalim ng mga parisukat ng mga variable. Kung wala sila doon, posible pa ring isagawa ang conversion, ngunit kailangan mong gumamit ng iba pang mga trick. Halimbawa, hayaan ang f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

\u003d (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2; 4x 1 x 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2; f (x 1, x 2) \u003d 2x 1 x 2 \u003d (1/2) * * (x 1 + x 2 ) 2 - (1/2) * (x 1 - x 2) 2 \u003d f (y 1, y 2) \u003d (1/2) y 1 2 - (1/2) y 2 2, kung saan y 1 \u003d x 1 + x 2, ay 2 \u003d x 1 - x 2.

Mga hugis parisukat.
Kahalagahan ng mga form. Ang pamantayan ni Sylvester

Ang pang-uri na "parisukat" ay agad na nagpapahiwatig na ang isang bagay dito ay konektado sa isang parisukat (ikalawang antas), at sa lalong madaling panahon malalaman natin ang "isang bagay" na ito at kung ano ang isang anyo. Lumabas agad :)

Maligayang pagdating sa aking bagong aralin, at bilang isang agarang warm-up, titingnan natin ang hugis na may guhit linear. Linear na anyo mga variable tinawag homogenous 1st degree polynomial:

- ilang partikular na numero * (pinagpapalagay namin na kahit isa sa kanila ay iba sa zero), at mga variable na maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga.

* Sa paksang ito, isasaalang-alang lamang natin tunay na mga numero .

Nakatagpo na natin ang katagang "homogeneous" sa aralin tungkol sa homogenous na sistema ng mga linear equation , at sa kasong ito ito ay nagpapahiwatig na ang polynomial ay walang idinagdag na pare - pareho .

Halimbawa: – linear na anyo ng dalawang variable

Ngayon ang hugis ay parisukat. parisukat na anyo mga variable tinawag homogenous 2nd degree polynomial, bawat termino kung saan naglalaman ng alinman sa parisukat ng variable o doble produkto ng mga variable. Kaya, halimbawa, ang parisukat na anyo ng dalawang variable ay may sumusunod na anyo:

Pansin! Ito ay isang karaniwang entry, at hindi mo kailangang baguhin ang anumang bagay dito! Sa kabila ng "kakila-kilabot" na hitsura, ang lahat ay simple dito - ang mga dobleng subscript ng mga constant ay nagpapahiwatig kung aling mga variable ang kasama sa isa o ibang termino:
– ang terminong ito ay naglalaman ng produkto at (parisukat);
- narito ang gawain;
- at narito ang gawain.

- Inaasahan ko kaagad ang isang malaking pagkakamali kapag nawala nila ang "minus" ng koepisyent, hindi napagtatanto na tumutukoy ito sa terminong:

Minsan mayroong isang "paaralan" na bersyon ng disenyo sa espiritu, ngunit kung minsan lamang. Sa pamamagitan ng paraan, tandaan na ang mga constants dito ay hindi nagsasabi sa amin ng anuman, at samakatuwid ay mas mahirap matandaan ang "madaling notasyon". Lalo na kapag mas maraming variable.

At ang quadratic form ng tatlong variable ay naglalaman na ng anim na termino:

... bakit inilalagay ang "dalawang" multiplier sa "halo-halong" termino? Ito ay maginhawa, at malapit nang maging malinaw kung bakit.

Gayunpaman, isusulat namin ang pangkalahatang formula, ito ay maginhawa upang ayusin ito sa isang "sheet":

- maingat na pag-aralan ang bawat linya - walang mali doon!

Ang parisukat na anyo ay naglalaman ng mga termino na may mga parisukat na variable at mga termino sa kanilang mga pares na produkto (cm. kombinatoryal na pormula ng mga kumbinasyon ) . Wala nang iba pa - walang "lonely x" at walang idinagdag na pare-pareho (pagkatapos ay hindi ka makakakuha ng isang parisukat na anyo, ngunit magkakaiba 2nd degree polynomial).

Matrix notation ng isang quadratic form

Depende sa mga halaga, ang isinasaalang-alang na form ay maaaring magkaroon ng parehong positibo at negatibong mga halaga, at pareho ang naaangkop sa anumang linear na anyo - kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient nito ay hindi zero, maaari itong maging positibo o negatibo (depende sa mga halaga).

Ang form na ito ay tinatawag na papalit-palit. At kung ang lahat ay transparent sa linear form, kung gayon ang mga bagay ay mas kawili-wili sa quadratic form:

Ito ay lubos na malinaw na ang form na ito ay maaaring tumagal sa mga halaga ng anumang palatandaan, kaya, ang quadratic form ay maaari ding alternating.

Maaaring hindi ito:

– palagi, maliban kung pareho ang pareho sa zero.

- para sa sinuman vector maliban sa zero.

At sa pangkalahatan, kung para sa alinman hindi zero vector , , pagkatapos ay tinatawag ang quadratic form positibong tiyak; kung - pagkatapos negatibong tiyak.

At magiging maayos ang lahat, ngunit ang katiyakan ng parisukat na anyo ay makikita lamang sa mga simpleng halimbawa, at ang kakayahang makita na ito ay nawala nang may kaunting komplikasyon:
– ?

Maaaring ipagpalagay ng isa na ang form ay positibong tinukoy, ngunit ito ba talaga? Biglang may mga halaga kung saan ito ay mas mababa sa zero?

Sa account na ito, doon teorama: Kung lahat eigenvalues Ang mga matrice ng quadratic form ay positibo * , pagkatapos ito ay positibong tinukoy. Kung ang lahat ay negatibo, kung gayon ito ay negatibo.

* Ito ay pinatunayan sa teorya na ang lahat ng eigenvalues ​​ng isang tunay na simetriko matrix wasto

Isulat natin ang matrix ng form sa itaas:
at mula sa equation hanapin natin siya eigenvalues :

Malutas namin ang magandang matanda quadratic equation :

, kaya ang form ay positibong tinukoy, i.e. para sa anumang mga hindi-zero na halaga, ito ay mas malaki sa zero.

Ang itinuturing na pamamaraan ay tila gumagana, ngunit mayroong isang malaking PERO. Para na sa "tatlo sa tatlong" matrix, ang paghahanap ng mga eigenvalues ​​ay isang mahaba at hindi kasiya-siyang gawain; na may mataas na posibilidad na makakuha ka ng isang polynomial ng 3rd degree na may hindi makatwiran na mga ugat.

Paano maging? May mas madaling paraan!

Ang pamantayan ni Sylvester

Hindi, hindi Sylvester Stallone :) Una, ipaalala ko sa iyo kung ano angular na menor de edad matrice. ito mga determinant na "lumago" mula sa itaas na kaliwang sulok:

at ang huli ay eksaktong katumbas ng determinant ng matrix.

Ngayon, sa katunayan, pamantayan:

1) Quadratic form na tinukoy positibo kung at kung ang LAHAT ng mga angular na menor de edad nito ay mas malaki sa zero: .

2) Quadratic form na tinukoy negatibo kung at tanging kung ang mga angular na menor nito ay kahalili sa sign, habang ang 1st minor ay mas mababa sa zero: , , kung ay kahit o , kung ay kakaiba.

Kung hindi bababa sa isang angular na menor de edad ang may kabaligtaran na tanda, pagkatapos ay ang form pag-alternate ng sign. Kung ang mga angular na menor de edad ay nasa "iyan" na senyales, ngunit mayroong mga zero sa kanila, kung gayon ito ay isang espesyal na kaso, na susuriin ko sa ibang pagkakataon, pagkatapos nating mapuntahan ang mas karaniwang mga halimbawa.

Suriin natin ang angular minors ng matrix :

At ito ay agad na nagsasabi sa amin na ang form ay hindi negatibong tinutukoy.

Konklusyon: lahat ng anggulong menor de edad ay mas malaki sa zero, kaya ang hugis positibong tinukoy.

Mayroon bang pagkakaiba sa pamamaraan ng eigenvalue? ;)

Sinusulat namin ang shape matrix mula sa Halimbawa 1:

ang unang angular minor nito, at ang pangalawa , kung saan sumusunod na ang form ay sign-alternating, i.e. depende sa mga halaga ng , maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Gayunpaman, ito ay napakalinaw.

Kunin ang form at ang matrix nito mula sa Halimbawa 2:

dito sa lahat ng walang insight hindi maintindihan. Ngunit sa pamantayan ng Sylvester, wala kaming pakialam:
, samakatuwid ang form ay tiyak na hindi negatibo.

, at tiyak na hindi positibo. (dahil lahat ng anggulong minor ay dapat positive).

Konklusyon: ang hugis ay papalit-palit.

Mga halimbawa ng warm-up para sa self-solving:

Halimbawa 4

Siyasatin ang mga quadratic form para sa sign-definiteness

a)

Sa mga halimbawang ito, ang lahat ay maayos (tingnan ang dulo ng aralin), ngunit sa katunayan, upang makumpleto ang ganoong gawain Maaaring hindi sapat ang pamantayan ni Sylvester.

Ang punto ay mayroong mga "hangganan" na mga kaso, ibig sabihin: kung para sa alinman hindi zero vector , pagkatapos ay tinukoy ang hugis hindi negatibo, kung - pagkatapos hindi positibo. Ang mga form na ito ay may hindi zero mga vector kung saan .

Dito maaari kang magdala ng tulad ng isang "button accordion":

Nagha-highlight buong parisukat , nakita namin agad hindi negatibiti form: , bukod dito, ito ay katumbas ng zero para sa anumang vector na may pantay na mga coordinate, halimbawa: .

Halimbawa ng "salamin". hindi positibo tiyak na anyo:

at isang mas maliit na halimbawa:
– dito ang form ay katumbas ng zero para sa anumang vector , kung saan ay isang arbitrary na numero.

Paano ibunyag ang hindi negatibo o hindi positibo ng isang form?

Para dito kailangan natin ang konsepto pangunahing menor de edad matrice. Ang pangunahing minor ay isang minor na binubuo ng mga elemento na nasa intersection ng mga row at column na may parehong mga numero. Kaya, ang matrix ay may dalawang pangunahing menor de edad ng 1st order:
(ang elemento ay nasa intersection ng 1st row at 1st column);
(ang elemento ay nasa intersection ng 2nd row at 2nd column),

at isang major 2nd order minor:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd row at 1st, 2nd column.

Matrix "tatlo sa tatlo" Mayroong pitong pangunahing menor de edad, at narito kailangan mong iwagayway ang iyong biceps:
- tatlong menor de edad ng 1st order,
tatlong menor de edad ng 2nd order:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd row at 1st, 2nd column;
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 3rd row at 1st, 3rd column;
- binubuo ng mga elemento ng 2nd, 3rd row at 2nd, 3rd column,
at isang 3rd order minor:
- binubuo ng mga elemento ng 1st, 2nd, 3rd row at 1st, 2nd at 3rd column.
Mag-ehersisyo para sa pag-unawa: isulat ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ng matrix .
Sinusuri namin sa pagtatapos ng aralin at magpatuloy.

Pamantayan ng Schwarzenegger:

1) Non-zero* quadratic form na tinukoy hindi negatibo kung at kung LAHAT ng mga pangunahing menor de edad nito hindi negatibo(mas malaki sa o katumbas ng zero).

* Ang zero (degenerate) quadratic form ay may lahat ng coefficient na katumbas ng zero.

2) Nonzero quadratic form na may tinukoy na matrix hindi positibo kung at kung ito lang:
– mga pangunahing menor de edad ng 1st order hindi positibo(mas mababa sa o katumbas ng zero);
ay mga pangunahing menor de edad ng 2nd order hindi negatibo;
– mga pangunahing menor de edad ng ika-3 order hindi positibo(nagsimula na ang paghahalili);
…
– major minor ng ika-utos hindi positibo, kung kakaiba o hindi negatibo, kung pantay.

Kung hindi bababa sa isang menor de edad ang nasa kabaligtaran ng tanda, kung gayon ang form ay sign-alternating.

Tingnan natin kung paano gumagana ang criterion sa mga halimbawa sa itaas:

Gumawa tayo ng shape matrix, at una sa lahat kalkulahin natin ang mga angular na menor de edad - paano kung ito ay positibo o negatibong tinukoy?

Ang nakuha na mga halaga ay hindi nakakatugon sa Sylvester criterion, gayunpaman, ang pangalawang menor de edad hindi negatibo, at ginagawa nitong kinakailangan upang suriin ang ika-2 criterion (sa kaso ng 2nd criterion, hindi ito awtomatikong matutupad, ibig sabihin, ang isang konklusyon ay agad na ginawa tungkol sa paghahalili ng form).

Mga pangunahing menor de edad ng 1st order:
- ay positibo
2nd order major minor:
- hindi negatibo.

Kaya, LAHAT ng major minors ay non-negative, kaya ang form hindi negatibo.

Isulat natin ang form matrix , para sa kung saan, malinaw naman, ang Sylvester criterion ay hindi nasiyahan. Ngunit hindi rin kami nakatanggap ng magkasalungat na mga palatandaan (dahil ang parehong angular na menor de edad ay katumbas ng zero). Samakatuwid, sinusuri namin ang katuparan ng criterion ng non-negativity / non-positiveness. Mga pangunahing menor de edad ng 1st order:
- hindi positibo
2nd order major minor:
- hindi negatibo.

Kaya, ayon sa pamantayan ng Schwarzenegger (punto 2), ang form ay tinutukoy na hindi positibo.

Ngayon, ganap na armado, susuriin namin ang isang mas nakakaaliw na problema:

Halimbawa 5

Suriin ang quadratic form para sa sign-definiteness

Ang form na ito ay pinalamutian ng order na "alpha", na maaaring katumbas ng anumang tunay na numero. Ngunit ito ay magiging mas masaya magpasya.

Una, isulat natin ang form matrix, marahil, marami na ang umangkop na gawin ito nang pasalita: sa pangunahing dayagonal inilalagay namin ang mga coefficient sa mga parisukat, at sa mga simetriko na lugar - ang kalahating coefficient ng kaukulang "halo" na mga produkto:

Kalkulahin natin ang mga angular na menor de edad:

Palalawakin ko ang ikatlong determinant sa ika-3 linya: