Hayaang ang T ay isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng isang curvilinear trapezoid na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano at nakatali ng abscissa axis, ang mga tuwid na linya x=a at x=b at ang graph ng isang tuluy-tuloy na function y =f(x) .

Patunayan natin na ito ang katawan ng rebolusyon ay cubable at ang dami nito ay ipinahayag ng formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Una, patunayan natin na regular ang katawan ng rebolusyong ito kung kukunin natin bilang \Pi ang eroplanong Oyz na patayo sa axis ng rebolusyon. Tandaan na ang seksyong matatagpuan sa layong x mula sa eroplanong Oyz ay isang bilog ng radius f(x) at ang lugar nito na S(x) ay \pi f^2(x) (Fig. 46). Samakatuwid, ang function na S(x) ay tuloy-tuloy dahil sa pagpapatuloy ng f(x) . Susunod, kung S(x_1)\leqslant S(x_2), kung gayon ang ibig sabihin nito ay . Ngunit ang mga projection ng mga seksyon papunta sa eroplanong Oyz ay mga bilog ng radii f(x_1) at f(x_2) na may center O , at mula sa f(x_1)\leqslant f(x_2) sumusunod na ang bilog ng radius f(x_1) ay nakapaloob sa bilog ng radius f(x_2) .

Kaya, ang katawan ng pag-ikot ay regular. Samakatuwid, ito ay cubeable at ang dami nito ay kinakalkula ng formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nakatali mula sa ibaba at mula sa itaas ng mga kurba y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , kung gayon

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Ang formula (3) ay maaari ding gamitin upang kalkulahin ang volume ng isang katawan ng rebolusyon sa kaso kapag ang hangganan ng umiikot na pigura ay ibinigay ng mga parametric equation. Sa kasong ito, kailangang gamitin ang pagbabago ng variable sa ilalim ng tiyak na integral sign.

Sa ilang mga kaso, ito ay nagiging maginhawa upang mabulok ang mga katawan ng rebolusyon hindi sa mga tuwid na pabilog na silindro, ngunit sa mga pigura ng ibang uri.

Halimbawa, hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng y-axis. Una, hanapin natin ang volume na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba na may taas na y#, sa base kung saan matatagpuan ang segment . Ang volume na ito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng dalawang tuwid na pabilog na silindro

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ngunit ngayon ay malinaw na ang nais na dami ay tinatantya mula sa itaas at ibaba tulad ng sumusunod:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Mula dito madali itong sumunod formula para sa dami ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Halimbawa 4 Hanapin ang volume ng isang bola na may radius R.

Solusyon. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, isasaalang-alang namin ang isang bilog ng radius R na nakasentro sa pinanggalingan. Ang bilog na ito, na umiikot sa paligid ng axis Ox, ay bumubuo ng bola. Ang equation ng bilog ay x^2+y^2=R^2 , kaya y^2=R^2-x^2 . Dahil sa mahusay na proporsyon ng bilog tungkol sa y-axis, una nating mahanap ang kalahati ng nais na dami

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kaliwa.(\pi\!\kaliwa(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kaliwa(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Samakatuwid, ang dami ng buong globo ay \frac(4)(3)\pi R^3.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang volume ng isang kono na ang taas ay h at ang radius ng base ay r.

Solusyon. Pinipili namin ang isang sistema ng coordinate upang ang axis ng Ox ay tumutugma sa taas h (Larawan 47), at kinukuha namin ang tuktok ng kono bilang pinagmulan. Pagkatapos ang equation ng linyang OA ay maaaring isulat bilang y=\frac(r)(h)\,x .

Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kaliwa.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Halimbawa 6 Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Larawan 48).

Solusyon. Bumuo tayo ng astroid. Isaalang-alang ang kalahati ng itaas na bahagi ng astroid, na matatagpuan sa simetriko tungkol sa y-axis. Gamit ang formula (3) at binabago ang variable sa ilalim ng definite integral sign, makikita natin ang mga limitasyon ng integration para sa bagong variable t.

Kung x=a\cos^3t=0 , kung gayon t=\frac(\pi)(2) , at kung x=a\cos^3t=a , kung gayon t=0 . Given na y^2=a^2\sin^6t at dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, nakukuha namin:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Ang dami ng buong katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng astroid ay magiging \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Halimbawa 7 Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng y-axis ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng abscissa axis at ang unang arko ng cycloid \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Solusyon. Gumagamit kami ng formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, at palitan ang variable sa ilalim ng integral sign, na isinasaalang-alang na ang unang arc ng cycloid ay nabuo kapag ang variable t ay nagbabago mula 0 hanggang 2\pi . Sa ganitong paraan,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kaliwa(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(nakahanay)

Naka-disable ang Javascript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!

Paggamit ng Integrals upang Maghanap ng mga Dami ng Solids ng Rebolusyon

Ang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang ng matematika ay dahil sa ang katunayan na walang

Ang tiyak na kaalaman sa matematika ay nagpapahirap na maunawaan ang mga prinsipyo ng aparato at ang paggamit ng modernong teknolohiya. Ang bawat tao sa kanyang buhay ay kailangang magsagawa ng medyo kumplikadong mga kalkulasyon, gumamit ng karaniwang ginagamit na kagamitan, hanapin ang mga kinakailangang formula sa mga sangguniang libro, at bumuo ng mga simpleng algorithm para sa paglutas ng mga problema. Sa modernong lipunan, parami nang parami ang mga specialty na nangangailangan ng mataas na antas ng edukasyon ay nauugnay sa direktang aplikasyon ng matematika. Kaya, para sa isang mag-aaral, ang matematika ay nagiging isang propesyonal na makabuluhang paksa. Ang nangungunang papel ay nabibilang sa matematika sa pagbuo ng algorithmic na pag-iisip, nagdudulot ito ng kakayahang kumilos ayon sa isang naibigay na algorithm at magdisenyo ng mga bagong algorithm.

Sa pag-aaral ng paksa ng paggamit ng integral upang kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon, iminumungkahi ko na isaalang-alang ng mga mag-aaral sa mga opsyonal na klase ang paksang: "Mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang mga integral." Narito ang ilang mga alituntunin para sa pagharap sa paksang ito:

1. Ang lugar ng isang patag na pigura.

Mula sa kurso ng algebra, alam natin na ang mga praktikal na problema ay humantong sa konsepto ng isang tiyak na integral..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Upang mahanap ang volume ng isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid sa paligid ng axis ng Ox, na nalilimitahan ng isang putol na linya y=f(x), ang axis ng Ox, mga tuwid na linya x=a at x=b, kinakalkula namin sa pamamagitan ng formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Ang dami ng silindro.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Nakukuha ang cone sa pamamagitan ng pag-ikot ng right-angled triangle ABC(C=90) sa paligid ng Ox axis kung saan nakahiga ang leg AC.

Ang Segment AB ay nasa linyang y=kx+c, kung saan https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Hayaan ang a=0, b=H (H ang taas ng cone), pagkatapos ay Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Ang dami ng pinutol na kono.

Ang pinutol na kono ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihabang trapezoid ABCD (CDOx) sa paligid ng axis ng Ox.

Ang segment AB ay nasa linyang y=kx+c, kung saan , c=r.

Dahil ang linya ay dumadaan sa puntong A (0; r).

Kaya, ang tuwid na linya ay mukhang https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Hayaan ang a=0, b=H (H ang taas ng pinutol na kono), pagkatapos ay https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Ang dami ng bola.

Ang bola ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog na may sentro (0;0) sa paligid ng x-axis. Ang kalahating bilog na matatagpuan sa itaas ng x-axis ay ibinibigay ng equation

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Dami ng mga katawan ng rebolusyon. Paunang pag-aralan ang kabanata XII, p°p° 197, 198, ayon sa aklat-aralin ni G. M. Fikhtengol'ts* Suriin nang detalyado ang mga halimbawang ibinigay sa p° 198.

508. Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng ellipse Sa paligid ng x-axis.

Sa ganitong paraan,

530. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis Ox ng arko ng sinusoid y \u003d sin x mula sa punto X \u003d 0 hanggang sa punto X \u003d Ito.

531. Kalkulahin ang ibabaw na lugar ng isang kono na may taas h at radius r.

532. Kalkulahin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng

pag-ikot ng astroid x3 -) - y* - a3 sa paligid ng x-axis.

533. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pagbabaligtad ng loop ng curve 18 y-x(6-x)r sa paligid ng x-axis.

534. Hanapin ang ibabaw ng torus na ginawa ng pag-ikot ng bilog X2 - j - (y-3)2 = 4 sa paligid ng x-axis.

535. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog X = isang gastos, y = asint sa paligid ng Ox axis.

536. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng loop ng curve x = 9t2, y = St - 9t3 sa paligid ng axis Ox.

537. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng arko ng curve x = e * sint, y = el cost sa paligid ng axis Ox

mula t = 0 hanggang t = -.

538. Ipakita na ang ibabaw na ginawa ng pag-ikot ng arko ng cycloid x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) sa paligid ng axis Oy, ay katumbas ng 16 u2 o2.

539. Hanapin ang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

540. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng lemniscate sa paligid ng polar axis.

Karagdagang Gawain para sa Kabanata IV

Mga lugar ng mga figure ng eroplano

541. Hanapin ang buong lugar ng isang rehiyon na napapaligiran ng isang kurba At axis Oh.

542. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng kurba

At axis Oh.

543. Hanapin ang bahagi ng lugar ng rehiyon na matatagpuan sa unang kuwadrante at hangganan ng kurba

l coordinate axes.

544. Hanapin ang lugar ng lugar na nakapaloob sa loob

mga loop:

545. Hanapin ang lugar ng rehiyon na napapaligiran ng isang loop ng curve:

546. Hanapin ang lugar ng lugar na nasa loob ng loop:

547. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng kurba

At axis Oh.

548. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng kurba

At axis Oh.

549. Hanapin ang lugar ng rehiyon na hangganan ng axis ng Oxr

tuwid at kurba

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon
gamit ang isang tiyak na integral?

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus, sa tulong ng isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng rebolusyon, ang haba ng isang arko, ang surface area ng brotation at marami pa. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring maging maasahin sa mabuti!

Isipin ang ilang flat figure sa coordinate plane. Kinakatawan? ... I wonder who presented what ... =))) Nakahanap na kami ng area nito. Ngunit, bilang karagdagan, ang figure na ito ay maaari ding paikutin, at paikutin sa dalawang paraan:

- sa paligid ng x-axis;
- sa paligid ng y-axis.

Sa artikulong ito, tatalakayin ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili, nagiging sanhi ito ng pinakamalaking paghihirap, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus, babalik ako sa ang problema ng paghahanap ng lugar ng isang figure, at sasabihin sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Kahit na hindi gaanong bonus dahil ang materyal ay umaangkop nang maayos sa tema.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

flat figure sa paligid ng isang axis

Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na nalilimitahan ng mga linya sa paligid ng axis.

Solusyon: Tulad ng problema sa lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa eroplano ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , , habang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis . Kung paano gumawa ng isang drawing na mas makatwiran at mas mabilis ay makikita sa mga pahina Mga Graph at Properties ng Elementary Function at . Isa itong paalala ng Tsino at hindi ako tumitigil sa puntong ito.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang nais na flat figure ay may kulay na asul, at ito ay ang figure na ito na umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, tulad ng isang bahagyang hugis-itlog na flying saucer ay nakuha, na simetriko tungkol sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay may isang mathematical na pangalan, ngunit ito ay masyadong tamad upang tukuyin ang isang bagay sa reference na libro, kaya magpatuloy kami.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin ng formula:

Sa formula, dapat mayroong isang numero bago ang integral. Nangyari ito - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "be", sa palagay ko, ay madaling hulaan mula sa nakumpletong pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay bounded ng parabola graph mula sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay maaaring minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang integrand sa formula ay naka-squad: , kaya ang integral ay palaging hindi negatibo, na medyo lohikal.

Kalkulahin ang dami ng katawan ng rebolusyon gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa sagot, kinakailangan upang ipahiwatig ang sukat - mga yunit ng kubiko. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit eksaktong kubiko mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may mga cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming maliliit na berdeng lalaki ang kasya sa iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Hanapin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nakatali ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Solusyon: Gumuhit ng flat figure sa drawing, bounded by lines , , , , habang hindi nakakalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang tulad ng surreal donut na may apat na sulok ay nakuha.

Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa dami ng katawan.

Una, tingnan natin ang pigura na nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami ng pinutol na kono na ito bilang .

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang figure na ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula para sa paghahanap ng volume ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigurang nakabilog sa berde ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Ang dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay kadalasang ginagawang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo at pag-usapan ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Kawili-wiling geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao sa kanyang buong buhay ay umiinom ng isang likido na may dami ng isang silid na 18 metro kuwadrado, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Tandaan na lahat ng bagay ay nangyayari sa banda , sa madaling salita, ang mga nakahanda na limitasyon sa pagsasama ay talagang ibinibigay. Tamang gumuhit ng mga graph ng trigonometriko function, ipapaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph: kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis ng dalawang beses. Ito ay kanais-nais na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables upang mas tumpak na makumpleto ang pagguhit. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis ay medyo madalas na bisita sa mga pagsubok. Sa pagpasa ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan - sa pamamagitan ng pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo kung paano hanapin ang pinaka kumikitang solusyon. Mayroon din itong praktikal na kahulugan! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon ay epektibo na kaming mga tagapamahala at pinamamahalaan namin ang aming mga kawani nang mahusay." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Inirerekomenda ko ito para sa lahat na basahin, kahit na kumpletong dummies. Bukod dito, ang assimilated na materyal ng ikalawang talata ay magiging napakahalagang tulong sa pagkalkula ng mga dobleng integral..

Given a flat figure bounded by lines , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.
2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang talata, siguraduhing basahin muna ang una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Isagawa natin ang pagguhit:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola, na "namamalagi sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na isinasaalang-alang sa aralin. Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:
- sa segment ;
- sa segment.

kaya naman:

Ano ang mali sa karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, mayroong dalawang integral. Pangalawa, ang mga ugat sa ilalim ng mga integral, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, bukod dito, ang isa ay maaaring malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi nakamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay mas malungkot, kinuha ko lang ang "mas mahusay" na mga pag-andar para sa gawain.

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito sa paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano pumasa sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, harapin natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa ilalim na sangay:

Sa isang tuwid na linya, ang lahat ay mas madali:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Bukod dito, sa segment, ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lamang, at wala nang iba pa.

! Tandaan: Dapat itakda ang mga limitasyon sa pagsasama sa kahabaan ng axis mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment , samakatuwid:

Bigyang-pansin kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng takdang-aralin ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang pagsasama ay ginanap nang tama.

Sagot:

2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng katawan ng rebolusyon, isasama natin ang axis. Una kailangan nating lumipat sa mga inverse function. Nagawa na ito at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng katawan ng rebolusyon ay dapat makita bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Tukuyin natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang pigura, na bilog sa berde, sa paligid ng axis at ipahiwatig ito sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng rebolusyon.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Paano ito naiiba sa pormula ng nakaraang talata? Sa mga titik lamang.

At narito ang bentahe ng pagsasama na binanggit ko kanina, ito ay mas madaling mahanap kaysa sa paunang itaas ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Tandaan na kung ang parehong flat figure ay pinaikot sa paligid ng axis, pagkatapos ay isang ganap na naiibang katawan ng rebolusyon ay lalabas, ng isang naiiba, natural, dami.

Ibinigay ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya, at isang axis.

1) Pumunta sa mga inverse function at hanapin ang lugar ng isang flat figure na nalilimitahan ng mga linyang ito sa pamamagitan ng pagsasama sa variable .
2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang mga nagnanais ay maaari ring mahanap ang lugar ng figure sa "karaniwan" na paraan, sa gayon ay nakumpleto ang pagsubok ng punto 1). Ngunit kung, ulitin ko, paikutin mo ang isang flat figure sa paligid ng axis, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang ganap na naiibang katawan ng pag-ikot na may ibang dami, sa pamamagitan ng paraan, ang tamang sagot (para rin sa mga gustong malutas).

Ang kumpletong solusyon ng dalawang iminungkahing aytem ng gawain sa pagtatapos ng aralin.

Oh, at huwag kalimutang ikiling ang iyong ulo sa kanan upang maunawaan ang mga katawan ng pag-ikot at sa loob ng pagsasama!

Gusto ko, noon pa, na tapusin ang artikulo, ngunit ngayon nagdala sila ng isang kawili-wiling halimbawa para lamang sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis. sariwa:

Kalkulahin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nakatali ng mga kurba at .

Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:

Sa daan, nakikilala natin ang mga graph ng ilang iba pang mga function. Ang ganitong kawili-wiling graph ng isang pantay na function ....