Malinaw, ang mga numero na may kapangyarihan ay maaaring idagdag tulad ng iba pang mga dami , sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kanila ng isa-isa kasama ng kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng a 3 at b 2 ay isang 3 + b 2 .
Ang kabuuan ng isang 3 - b n at h 5 -d 4 ay isang 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds ang parehong mga kapangyarihan ng parehong mga variable maaaring idagdag o ibawas.

Kaya, ang kabuuan ng 2a 2 at 3a 2 ay 5a 2 .

Malinaw din na kung kukuha tayo ng dalawang parisukat a, o tatlong parisukat a, o limang parisukat a.

Ngunit degree iba't ibang variable at iba't ibang grado magkaparehong mga variable, ay dapat idagdag sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga ito sa kanilang mga palatandaan.

Kaya, ang kabuuan ng isang 2 at isang 3 ay ang kabuuan ng isang 2 + a 3 .

Malinaw na ang parisukat ng a, at ang kubo ng a, ay hindi dalawang beses ang parisukat ng a, ngunit dalawang beses ang kubo ng a.

Ang kabuuan ng a 3 b n at 3a 5 b 6 ay a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pagbabawas Ang mga kapangyarihan ay isinasagawa sa parehong paraan tulad ng karagdagan, maliban na ang mga palatandaan ng subtrahend ay dapat baguhin nang naaayon.

O kaya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Pagpaparami ng kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring i-multiply tulad ng iba pang mga dami sa pamamagitan ng pagsulat ng mga ito nang sunud-sunod, mayroon man o wala ang multiplication sign sa pagitan ng mga ito.

Kaya, ang resulta ng pagpaparami ng isang 3 sa b 2 ay isang 3 b 2 o aaabb.

O kaya:
x -3 ⋅ a m = isang m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Ang resulta sa huling halimbawa ay maaaring i-order sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong mga variable.
Ang expression ay magkakaroon ng anyong: a 5 b 5 y 3 .

Sa pamamagitan ng paghahambing ng ilang mga numero (mga variable) na may mga kapangyarihan, makikita natin na kung alinman sa dalawa sa mga ito ay pinarami, ang resulta ay isang numero (variable) na may kapangyarihan na katumbas ng kabuuan antas ng mga termino.

Kaya, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Narito ang 5 ay ang kapangyarihan ng resulta ng pagpaparami, katumbas ng 2 + 3, ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng mga termino.

Kaya, a n .a m = a m+n .

Para sa a n , ang a ay kinukuha bilang salik na kasing dami ng kapangyarihan ng n;

At ang a m , ay kinukuha bilang isang kadahilanan nang kasing dami ng antas ng m ay katumbas ng;

kaya naman, Ang mga kapangyarihan na may parehong mga base ay maaaring i-multiply sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga exponent.

Kaya, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . At x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O kaya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiply (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Sagot: x 4 - y 4.
Multiply (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ang panuntunang ito ay totoo rin para sa mga numero na ang mga exponent ay - negatibo.

1. Kaya, a -2 .a -3 = a -5 . Ito ay maaaring isulat bilang (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kung ang a + b ay pinarami ng a - b, ang resulta ay isang 2 - b 2: ibig sabihin

Ang resulta ng pagpaparami ng kabuuan o pagkakaiba ng dalawang numero ay katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng kanilang mga parisukat.

Kung ang kabuuan at pagkakaiba ng dalawang numero ay nakataas sa parisukat, ang resulta ay magiging katumbas ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numerong ito sa pang-apat degree.

Kaya, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Dibisyon ng mga kapangyarihan

Ang mga numerong may kapangyarihan ay maaaring hatiin tulad ng ibang mga numero sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa divisor, o sa pamamagitan ng paglalagay sa kanila sa anyo ng isang fraction.

Kaya ang a 3 b 2 na hinati sa b 2 ay isang 3 .

O kaya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ang pagsulat ng 5 na hinati sa 3 ay mukhang $\frac(a^5)(a^3)$. Ngunit ito ay katumbas ng isang 2 . Sa isang serye ng mga numero
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
anumang numero ay maaaring hatiin ng isa pa, at ang exponent ay magiging katumbas ng pagkakaiba mga tagapagpahiwatig ng mahahati na mga numero.

Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponent ay ibinabawas..

Kaya, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ibig sabihin, $\frac(yyy)(yy) = y$.

At a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ibig sabihin, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O kaya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Ang panuntunan ay may bisa din para sa mga numerong may negatibo mga halaga ng degree.
Ang resulta ng paghahati ng isang -5 sa isang -3 ay isang -2 .
Gayundin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ito ay kinakailangan upang makabisado ang multiplikasyon at paghahati ng mga kapangyarihan nang napakahusay, dahil ang mga naturang operasyon ay napakalawak na ginagamit sa algebra.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction na naglalaman ng mga numerong may kapangyarihan

1. Bawasan ang mga exponents sa $\frac(5a^4)(3a^2)$ Sagot: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Bawasan ang mga exponent sa $\frac(6x^6)(3x^5)$. Sagot: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Bawasan ang mga exponent na a 2 / a 3 at a -3 / a -4 at dalhin sa isang common denominator.
a 2 .a -4 ay isang -2 unang numerator.
a 3 .a -3 ay isang 0 = 1, ang pangalawang numerator.
a 3 .a -4 ay a -1 , ang karaniwang numerator.
Pagkatapos ng pagpapasimple: a -2 /a -1 at 1/a -1 .

4. Bawasan ang mga exponents 2a 4 /5a 3 at 2 /a 4 at dalhin sa isang common denominator.
Sagot: 2a 3 / 5a 7 at 5a 5 / 5a 7 o 2a 3 / 5a 2 at 5/5a 2.

5. I-multiply ang (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. I-multiply ang (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. I-multiply ang b 4 /a -2 sa h -3 /x at a n /y -3 .

8. Hatiin ang isang 4 /y 3 sa isang 3 /y 2 . Sagot: a/y.

9. Hatiin ang (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Uri ng aralin: aral ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman

Mga layunin:

• pang-edukasyon- ulitin ang kahulugan ng degree, ang mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga degree, pagtaas ng isang degree sa isang degree, pagsama-samahin ang kakayahang malutas ang mga halimbawa na naglalaman ng mga degree,
• umuunlad- pagbuo ng lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral, interes sa materyal na pinag-aaralan,
• nagtuturo- pagpapaunlad ng isang responsableng saloobin sa pag-aaral, isang kultura ng komunikasyon, isang pakiramdam ng kolektibismo.

Kagamitan: computer, multimedia projector, interactive na whiteboard, “Degrees” presentation para sa oral counting, task card, handout.

Plano ng aralin:

1. Oras ng pag-aayos.
2. Pag-uulit ng mga patakaran
3. Berbal na pagbibilang.
4. Sanggunian sa kasaysayan.
5. Trabaho sa pisara.
6. Fizkultminutka.
7. Magtrabaho sa interactive na whiteboard.
8. Pansariling gawain.
9. Takdang aralin.
10. Pagbubuod ng aralin.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali

Paglalahad ng paksa at layunin ng aralin.

Sa nakaraang mga aralin, natuklasan mo ang kahanga-hangang mundo ng mga degree, natutunan mo kung paano magparami at hatiin ang mga degree, at itaas ang mga ito sa isang kapangyarihan. Ngayon kailangan nating pagsamahin ang nakuhang kaalaman sa pamamagitan ng paglutas ng mga halimbawa.

II. Pag-uulit ng mga patakaran(pasalita)

1. Ibigay ang kahulugan ng degree na may natural na indicator? (sa pamamagitan ng kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent na higit sa 1 ay tinatawag na produkto n multiplier, ang bawat isa ay katumbas ng a.)
2. Paano paramihin ang dalawang kapangyarihan? (Upang i-multiply ang mga kapangyarihan na may parehong base, dapat mong iwanan ang base nang pareho at idagdag ang mga exponent.)
3. Paano hatiin ang degree sa degree? (Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong base, dapat mong iwanan ang base nang pareho at ibawas ang mga exponent.)
4. Paano itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan? (Upang itaas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, kailangan mong itaas ang bawat kadahilanan sa kapangyarihang iyon)
5. Paano itaas ang isang degree sa isang degree? (Upang itaas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, kailangan mong iwanan ang base nang pareho, at i-multiply ang mga exponent)

III. Berbal na pagbibilang(sa pamamagitan ng multimedia)

IV. Sanggunian sa kasaysayan

Ang lahat ng mga problema ay mula sa papyrus ng Ahmes, na isinulat noong mga 1650 BC. e. na may kaugnayan sa pagsasagawa ng konstruksiyon, delimitasyon ng mga plot ng lupa, atbp. Ang mga gawain ay pinagsama-sama ayon sa paksa. Para sa karamihan, ito ay mga gawain para sa paghahanap ng mga lugar ng isang tatsulok, quadrilaterals at isang bilog, iba't ibang mga operasyon na may mga integer at fraction, proporsyonal na dibisyon, paghahanap ng mga ratio, mayroon ding pagtaas sa iba't ibang mga degree, paglutas ng mga equation ng una at pangalawang degree. na may isang hindi kilala.

Walang anumang paliwanag o ebidensya. Ang nais na resulta ay direktang ibinibigay, o isang maikling algorithm para sa pagkalkula nito ay ibinigay. Ang pamamaraang ito ng pagtatanghal, tipikal ng agham ng mga bansa sa sinaunang Silangan, ay nagmumungkahi na ang matematika doon ay nabuo sa pamamagitan ng mga generalization at haka-haka na hindi bumubuo ng anumang pangkalahatang teorya. Gayunpaman, mayroong isang bilang ng mga katibayan sa papyrus na ang mga Egyptian mathematician ay nakakuha ng mga ugat at itaas sa isang kapangyarihan, lutasin ang mga equation, at kahit na nagtataglay ng mga simulain ng algebra.

V. Gawain sa pisara

Hanapin ang halaga ng expression sa isang makatwirang paraan:

Kalkulahin ang halaga ng expression:

VI. Minuto ng pisikal na edukasyon

1. para sa mata
2. para sa leeg
3. para sa mga kamay
4. para sa torso
5. para sa mga binti

VII. Pagtugon sa suliranin(na may interactive na whiteboard display)

Positibong numero ba ang ugat ng equation?

a) 3x + (-0.1) 7 = (-0.496) 4 (x > 0)

b) (10.381) 5 = (-0.012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Pansariling gawain

IX. Takdang aralin

X. Pagbubuod ng aralin

Pagsusuri ng mga resulta, anunsyo ng mga marka.

Ilalapat natin ang kaalamang natamo tungkol sa mga degree sa paglutas ng mga equation, mga problema sa high school, at madalas din itong matatagpuan sa pagsusulit.

Isaalang-alang natin ang paksa ng pagbabago ng mga expression na may mga kapangyarihan, ngunit tatalakayin muna natin ang isang bilang ng mga pagbabagong maaaring isagawa sa anumang mga expression, kabilang ang mga kapangyarihan. Matututunan natin kung paano magbukas ng mga bracket, magbigay ng mga katulad na termino, magtrabaho kasama ang base at exponent, gamitin ang mga katangian ng mga degree.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ano ang Power Expressions?

Sa kurso sa paaralan, kakaunti ang gumagamit ng pariralang "mga expression ng kapangyarihan", ngunit ang terminong ito ay patuloy na matatagpuan sa mga koleksyon para sa paghahanda para sa pagsusulit. Sa karamihan ng mga kaso, ang parirala ay nagsasaad ng mga expression na naglalaman ng mga degree sa kanilang mga entry. Ito ang ating sasalamin sa ating depinisyon.

Kahulugan 1

Pagpapahayag ng kapangyarihan ay isang expression na naglalaman ng mga degree.

Nagbibigay kami ng ilang halimbawa ng mga expression ng kapangyarihan, na nagsisimula sa isang degree na may natural na exponent at nagtatapos sa isang degree na may totoong exponent.

Ang pinakasimpleng mga expression ng kapangyarihan ay maaaring ituring na mga kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Pati na rin ang mga kapangyarihang may zero exponent: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . At mga kapangyarihan na may negatibong integer na kapangyarihan: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Medyo mas mahirap magtrabaho sa isang degree na may mga rational at irrational exponents: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Ang indicator ay maaaring isang variable na 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o isang logarithm x 2 l g x − 5 x l g x.

Hinarap namin ang tanong kung ano ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan. Ngayon tingnan natin ang kanilang pagbabago.

Ang mga pangunahing uri ng mga pagbabagong-anyo ng mga pagpapahayag ng kapangyarihan

Una sa lahat, isasaalang-alang natin ang mga pangunahing pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga expression na maaaring isagawa gamit ang mga power expression.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang Halaga ng Power Expression 2 3 (4 2 − 12).

Solusyon

Isasagawa namin ang lahat ng pagbabago bilang pagsunod sa pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Sa kasong ito, magsisimula kami sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga aksyon sa mga bracket: papalitan namin ang degree ng isang digital na halaga at kalkulahin ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang numero. Meron kami 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ito ay nananatiling para sa amin upang palitan ang degree 2 3 Kahulugan nito 8 at kalkulahin ang produkto 8 4 = 32. Narito ang aming sagot.

Sagot: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Halimbawa 2

Pasimplehin ang pagpapahayag gamit ang mga kapangyarihan 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Solusyon

Ang expression na ibinigay sa amin sa kondisyon ng problema ay naglalaman ng mga katulad na termino, na maaari naming dalhin: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Sagot: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Halimbawa 3

Magpahayag ng expression na may kapangyarihan na 9 - b 3 · π - 1 2 bilang isang produkto.

Solusyon

Katawanin natin ang numero 9 bilang isang kapangyarihan 3 2 at ilapat ang pinaikling pormula ng pagpaparami:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Sagot: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

At ngayon ay lumipat tayo sa pagsusuri ng magkatulad na mga pagbabagong maaaring mailapat partikular sa mga expression ng kapangyarihan.

Paggawa gamit ang base at exponent

Ang antas sa base o exponent ay maaaring may mga numero, variable, at ilang expression. Halimbawa, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 at . Mahirap magtrabaho sa mga ganitong talaan. Mas madaling palitan ang expression sa base ng degree o ang expression sa exponent na may magkaparehong expression.

Ang mga pagbabagong-anyo ng antas at ang tagapagpahiwatig ay isinasagawa alinsunod sa mga patakaran na kilala sa amin nang hiwalay sa bawat isa. Ang pinakamahalagang bagay ay bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo, ang isang expression ay nakuha na kapareho ng orihinal.

Ang layunin ng mga pagbabagong-anyo ay upang gawing simple ang orihinal na pagpapahayag o makakuha ng solusyon sa problema. Halimbawa, sa halimbawang ibinigay namin sa itaas, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 maaari kang magsagawa ng mga operasyon upang pumunta sa antas 4 , 1 1 , 3 . Pagbukas ng mga bracket, maaari tayong magdala ng mga katulad na termino sa base ng degree (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) at makakuha ng power expression ng isang mas simpleng anyo isang 2 (x + 1).

Paggamit ng Power Properties

Ang mga katangian ng mga degree, na nakasulat bilang mga pagkakapantay-pantay, ay isa sa mga pangunahing tool para sa pagbabago ng mga expression na may mga degree. Ipinakita namin dito ang mga pangunahing, isinasaalang-alang iyon a at b ay anumang positibong numero, at r at s- di-makatwirang tunay na mga numero:

Kahulugan 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Sa mga kaso kung saan tayo ay nakikitungo sa natural, integer, positive exponents, ang mga paghihigpit sa mga numerong a at b ay maaaring hindi gaanong mahigpit. Kaya, halimbawa, kung isasaalang-alang natin ang pagkakapantay-pantay a m a n = a m + n, saan m at n ay mga natural na numero, kung gayon ito ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a, parehong positibo at negatibo, pati na rin para sa a = 0.

Maaari mong ilapat ang mga katangian ng mga degree nang walang mga paghihigpit sa mga kaso kung saan ang mga base ng mga degree ay positibo o naglalaman ng mga variable na ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay tulad na ang mga base ay kumukuha lamang ng mga positibong halaga dito. Sa katunayan, sa loob ng balangkas ng kurikulum ng paaralan sa matematika, ang gawain ng mag-aaral ay piliin ang naaangkop na pag-aari at ilapat ito nang tama.

Kapag naghahanda para sa pagpasok sa mga unibersidad, maaaring may mga gawain kung saan ang hindi tumpak na aplikasyon ng mga ari-arian ay hahantong sa pagpapaliit ng ODZ at iba pang mga paghihirap sa solusyon. Sa seksyong ito, isasaalang-alang lamang namin ang dalawang ganoong mga kaso. Higit pang impormasyon sa paksa ay matatagpuan sa paksang "Pagbabago ng mga expression gamit ang mga katangian ng exponent".

Halimbawa 4

Kinakatawan ang ekspresyon a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 bilang isang degree na may batayan a.

Solusyon

Upang magsimula, ginagamit namin ang exponentiation property at binabago ang pangalawang factor gamit ito (a 2) − 3. Pagkatapos ay ginagamit namin ang mga katangian ng pagpaparami at paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − , − 5 − (− 5 − ) = a 2 .

Sagot: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Ang pagbabagong-anyo ng mga expression ng kapangyarihan ayon sa pag-aari ng mga degree ay maaaring gawin pareho mula kaliwa hanggang kanan, at sa magkasalungat na daan.

Halimbawa 5

Hanapin ang halaga ng power expression 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Solusyon

Kung ilalapat natin ang pagkakapantay-pantay (a b) r = a r b r, mula kanan pakaliwa, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang produkto ng form 3 7 1 3 21 2 3 at pagkatapos ay 21 1 3 21 2 3 . Idagdag natin ang mga exponent kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

May isa pang paraan upang gumawa ng mga pagbabago:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Sagot: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Halimbawa 6

Binigyan ng power expression a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, magpasok ng bagong variable t = a 0 , 5.

Solusyon

Isipin ang antas isang 1, 5 paano isang 0 , 5 3. Paggamit ng degree na ari-arian sa isang degree (a r) s = a r s mula kanan pakaliwa at kunin ang (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5-6 . Sa resultang expression, madali mong maipakilala ang isang bagong variable t = a 0 , 5: kunin t 3 − t − 6.

Sagot: t 3 − t − 6 .

Pag-convert ng mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan

Karaniwan kaming nakikitungo sa dalawang variant ng power expression na may mga fraction: ang expression ay isang fraction na may degree o naglalaman ng ganoong fraction. Ang lahat ng pangunahing pagbabago ng fraction ay naaangkop sa mga naturang expression nang walang mga paghihigpit. Maaari silang bawasan, dalhin sa isang bagong denominator, magtrabaho nang hiwalay sa numerator at denominator. Ilarawan natin ito sa mga halimbawa.

Halimbawa 7

Pasimplehin ang power expression 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Solusyon

Nakikitungo kami sa isang fraction, kaya magsasagawa kami ng mga pagbabago sa parehong numerator at denominator:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Maglagay ng minus sa harap ng fraction para baguhin ang sign ng denominator: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Sagot: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ang mga fraction na naglalaman ng mga kapangyarihan ay binabawasan sa isang bagong denominator sa parehong paraan tulad ng mga rational fraction. Upang gawin ito, kailangan mong maghanap ng karagdagang kadahilanan at i-multiply ang numerator at denominator ng fraction dito. Kinakailangang pumili ng karagdagang salik sa paraang hindi ito nawawala para sa anumang mga halaga ng mga variable mula sa mga variable ng ODZ para sa orihinal na expression.

Halimbawa 8

Dalhin ang mga fraction sa isang bagong denominator: a) a + 1 a 0, 7 sa denominator a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 sa denominator x + 8 y 1 2 .

Solusyon

a) Pinipili namin ang isang kadahilanan na magbibigay-daan sa amin upang mabawasan sa isang bagong denominator. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , samakatuwid, bilang isang karagdagang kadahilanan, kinukuha namin isang 0, 3. Kasama sa hanay ng mga tinatanggap na halaga ng variable a ang hanay ng lahat ng positibong tunay na numero. Sa lugar na ito, ang degree isang 0, 3 hindi napupunta sa zero.

I-multiply natin ang numerator at denominator ng isang fraction sa isang 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Bigyang-pansin ang denominator:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

I-multiply ang expression na ito sa x 1 3 + 2 · y 1 6 , nakukuha natin ang kabuuan ng mga cube x 1 3 at 2 · y 1 6 , i.e. x + 8 · y 1 2 . Ito ang ating bagong denominator, kung saan kailangan nating dalhin ang orihinal na fraction.

Kaya nakakita kami ng karagdagang salik x 1 3 + 2 · y 1 6 . Sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng mga variable x at y ang expression na x 1 3 + 2 y 1 6 ay hindi nawawala, kaya maaari nating i-multiply ang numerator at denominator ng fraction dito:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Sagot: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Halimbawa 9

Bawasan ang fraction: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Solusyon

a) Gamitin ang greatest common denominator (GCD) kung saan maaaring bawasan ang numerator at denominator. Para sa mga numerong 30 at 45, ito ay 15 . Pwede rin bawasan natin x 0 , 5 + 1 at sa x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Nakukuha namin:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Dito hindi halata ang pagkakaroon ng magkatulad na mga kadahilanan. Kakailanganin mong magsagawa ng ilang pagbabago upang makuha ang parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator. Upang gawin ito, pinalawak namin ang denominator gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Sagot: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Kasama sa mga pangunahing operasyon na may mga fraction ang pagbabawas sa isang bagong denominator at pagbabawas ng mga fraction. Ang parehong mga aksyon ay isinasagawa bilang pagsunod sa ilang mga patakaran. Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga fraction, ang mga fraction ay unang binabawasan sa isang karaniwang denominator, pagkatapos kung saan ang mga aksyon (pagdaragdag o pagbabawas) ay ginanap sa mga numerator. Ang denominator ay nananatiling pareho. Ang resulta ng ating mga aksyon ay isang bagong fraction, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominator.

Halimbawa 10

Gawin ang mga hakbang x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Solusyon

Magsimula tayo sa pagbabawas ng mga fraction na nasa bracket. Dalhin natin sila sa isang common denominator:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Ibawas natin ang mga numerator:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Ngayon kami ay nagpaparami ng mga fraction:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Bawasan natin ng isang degree x 1 2, makakakuha tayo ng 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Bukod pa rito, maaari mong pasimplehin ang power expression sa denominator gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: mga parisukat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Sagot: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Halimbawa 11

Pasimplehin ang power expression x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Solusyon

Maaari nating bawasan ang fraction sa pamamagitan ng (x 2 , 7 + 1) 2. Nakukuha namin ang isang fraction x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ipagpatuloy natin ang mga pagbabagong-anyo ng x powers x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Ngayon ay maaari mong gamitin ang power division property na may parehong mga base: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Nagpapasa kami mula sa huling produkto sa fraction x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Sagot: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Sa karamihan ng mga kaso, mas madaling ilipat ang mga multiplier na may mga negatibong exponent mula sa numerator patungo sa denominator at vice versa sa pamamagitan ng pagpapalit ng sign ng exponent. Pinapasimple ng pagkilos na ito ang karagdagang desisyon. Magbigay tayo ng halimbawa: ang power expression (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ay maaaring palitan ng x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pag-convert ng mga expression na may mga ugat at kapangyarihan

Sa mga gawain, may mga power expression na naglalaman hindi lamang ng mga degree na may mga fractional exponent, kundi pati na rin sa mga ugat. Ito ay kanais-nais na bawasan ang gayong mga ekspresyon lamang sa mga ugat o lamang sa mga kapangyarihan. Mas mainam ang paglipat sa mga degree, dahil mas madaling gamitin ang mga ito. Ang ganitong paglipat ay lalong kapaki-pakinabang kapag ang DPV ng mga variable para sa orihinal na expression ay nagpapahintulot sa iyo na palitan ang mga ugat ng mga kapangyarihan nang hindi kinakailangang i-access ang modulus o hatiin ang DPV sa ilang mga pagitan.

Halimbawa 12

Ipahayag ang expression na x 1 9 x x 3 6 bilang isang kapangyarihan.

Solusyon

Wastong saklaw ng isang variable x ay tinutukoy ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay x ≥ 0 at x · x 3 ≥ 0 , na tumutukoy sa set [ 0 , + ∞) .

Sa set na ito, may karapatan tayong lumipat mula sa ugat patungo sa mga kapangyarihan:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Gamit ang mga katangian ng mga degree, pinapasimple namin ang nagresultang pagpapahayag ng kapangyarihan.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Sagot: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pag-convert ng mga kapangyarihan na may mga variable sa exponent

Ang mga pagbabagong ito ay medyo simple gawin kung tama mong gamitin ang mga katangian ng degree. Halimbawa, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Maaari naming palitan ang produkto ng antas, kung saan matatagpuan ang kabuuan ng ilang variable at isang numero. Sa kaliwang bahagi, maaari itong gawin sa una at huling mga termino sa kaliwang bahagi ng expression:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Ngayon, hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 7 2 x. Ang expression na ito sa ODZ ng variable na x ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Bawasan natin ang mga praksiyon na may mga kapangyarihan, makuha natin ang: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Sa wakas, ang ratio ng mga kapangyarihan na may parehong exponents ay pinapalitan ng mga kapangyarihan ng mga ratio, na humahantong sa equation 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , na katumbas ng 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Ipinakilala namin ang isang bagong variable t = 5 7 x , na binabawasan ang solusyon ng orihinal na exponential equation sa solusyon ng quadratic equation 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Pag-convert ng mga expression na may mga kapangyarihan at logarithms

Ang mga expression na naglalaman ng mga kapangyarihan at logarithms ay matatagpuan din sa mga problema. Ang mga halimbawa ng naturang mga expression ay: 1 4 1 - 5 log 2 3 o log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Ang pagbabagong-anyo ng naturang mga expression ay isinasagawa gamit ang mga diskarte na tinalakay sa itaas at ang mga katangian ng logarithms, na sinuri namin nang detalyado sa paksang "Pagbabago ng logarithmic expression".

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Mga formula ng kapangyarihan ginagamit sa proseso ng pagbabawas at pagpapasimple ng mga kumplikadong expression, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Numero c ay n-ika-kapangyarihan ng isang numero a kailan:

Mga operasyon na may mga degree.

1. Ang pagpaparami ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdaragdag:

isang ma n = a m + n .

2. Sa paghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay ibinabawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga salik ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga salik na ito:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Ang antas ng isang fraction ay katumbas ng ratio ng mga antas ng dibidendo at ang divisor:

(a/b) n = a n / b n .

5. Pagtaas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami:

(am) n = a m n .

Ang bawat formula sa itaas ay tama sa mga direksyon mula kaliwa hanggang kanan at vice versa.

Halimbawa. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Mga operasyon na may mga ugat.

1. Ang ugat ng produkto ng ilang salik ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga salik na ito:

2. Ang ugat ng ratio ay katumbas ng ratio ng dibidendo at ang divisor ng mga ugat:

3. Kapag itinaas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang numero ng ugat sa kapangyarihang ito:

4. Kung taasan natin ang antas ng ugat sa n sabay taas sa n Ang kapangyarihan ay isang numero ng ugat, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

5. Kung babawasan natin ang antas ng ugat sa n sabay na ugat n ika degree mula sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng ugat ay hindi magbabago:

Degree na may negatibong exponent. Ang antas ng isang numero na may hindi positibo (integer) na exponent ay tinukoy bilang isa na hinati sa antas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga ng hindi positibong exponent:

Formula isang m:a n = a m - n maaaring gamitin hindi lamang para sa m> n, ngunit din sa m< n.

Halimbawa. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Sa formula isang m:a n = a m - n naging patas sa m=n, kailangan mo ang pagkakaroon ng zero degree.

Degree na may zero exponent. Ang kapangyarihan ng anumang hindi zero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degree na may fractional exponent. Upang itaas ang isang tunay na numero a sa isang antas m/n, kailangan mong kunin ang ugat n ika-degree ng m ika kapangyarihan ng numerong ito a.

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o sa Unified State Examination at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Mag-ingat ka. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Kapag nagpaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero nang mag-isa upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung parisukat ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang bilang, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung mapapansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming mga cube na may sukat na isang metro sa isang metro ang papasok sa iyong pool.

Ituro mo lang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Sila ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, di ba?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami sa sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga degree. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay pinarami ng sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay nakababagot, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Ito ay napaka-simple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Well at sa pangkalahatang pananaw para gawing pangkalahatan at mas matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang exponent "" ay binabasa bilang "sa antas" at isinusulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabing: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang tukuyin ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

1. Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:
2. Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:
3. Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay ang pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilang multiplier ang kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Solusyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?

Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang namin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot na tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay pinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpabago ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito rin doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa kanyang sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?

Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay hindi makatwiran.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At ito ay lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ang mga ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang tanging positibong base exponent na may fractional exponent.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwiran na numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, parang, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsimulang dumami, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid ang resulta ay isang tiyak na "blangko ng numero" , ibig sabihin ang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

• — base ng degree;
• - exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong mga beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay integer negatibo numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

• - natural na numero;
• ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Para mas madaling malutas ang mga problema, subukan nating unawain: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Solusyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat magkaroon ng parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat kong isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Lumalabas na ang expression ay pinarami ng isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat index degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, natatandaan namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong balangkasin ang mga simpleng panuntunang ito:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ​​ang lahat ay hindi rin nakakatakot na tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung natatandaan mo iyon, ito ay nagiging malinaw na, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpabago ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling panuntunan:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwirang tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "imahe", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugan na ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may isang integer negatibong tagapagpahiwatig - ito ay parang isang tiyak na "reverse na proseso" ay naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwirang exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, ang agham ay madalas na gumagamit ng isang degree na may isang kumplikadong exponent, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1)

2)

3)

Mga sagot:

1. Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .
2. Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

• Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.
• Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.
• Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!