Ang unang pahayag ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga ugat ng equation na ito ay katumbas ng halaga ng koepisyent ng variable x (sa kasong ito ito ay b), ngunit may kabaligtaran na tanda. Biswal, ganito ang hitsura: x1 + x2 = −b.
Ang pangalawang pahayag ay hindi na konektado sa kabuuan, ngunit sa produkto ng parehong dalawang ugat. Ang produktong ito ay equated sa isang libreng koepisyent, i.e. c. O, x1 * x2 = c. Ang parehong mga halimbawang ito ay nalutas sa system.
Ang teorama ni Vieta ay lubos na pinasimple ang solusyon, ngunit may isang limitasyon. Ang isang quadratic equation na ang mga ugat ay matatagpuan gamit ang pamamaraang ito ay dapat bawasan. Sa equation sa itaas para sa coefficient a, ang bago ang x2 ay katumbas ng isa. Ang anumang equation ay maaaring bawasan sa isang katulad na anyo sa pamamagitan ng paghahati ng expression sa unang koepisyent, ngunit ang operasyong ito ay hindi palaging makatuwiran.
Katibayan ng teorama
Upang magsimula, dapat nating tandaan kung paano, ayon sa tradisyon, kaugalian na hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation. Ang una at pangalawang ugat ay matatagpuan, katulad ng: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Sa pangkalahatan ay nahahati ng 2a, ngunit, tulad ng nabanggit na, ang teorama ay maaari lamang ilapat kapag a=1.Ito ay kilala mula sa Vieta's theorem na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may minus sign. Nangangahulugan ito na ang x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Ang parehong ay totoo para sa produkto ng hindi kilalang mga ugat: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Sa turn, D = b2-4c (muli, may a=1). Lumalabas na ang resulta ay: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Mula sa simpleng patunay sa itaas, isang konklusyon lamang ang mabubuo: Ang teorama ni Vieta ay ganap na nakumpirma.
Pangalawang pagbabalangkas at patunay
May ibang interpretasyon ang theorem ni Vieta. Upang maging mas tumpak, ito ay hindi isang interpretasyon, ngunit isang salita. Ang katotohanan ay kung ang parehong mga kondisyon ay natutugunan tulad ng sa unang kaso: mayroong dalawang magkaibang tunay na ugat, kung gayon ang teorama ay maaaring isulat sa ibang pormula.Ang pagkakapantay-pantay na ito ay ganito ang hitsura: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Kung ang function na P(x) ay nag-intersect sa dalawang puntos na x1 at x2, maaari itong isulat bilang P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Sa kaso kung ang P ay may pangalawang antas, at ito mismo ang hitsura ng orihinal na expression, kung gayon ang R ay isang pangunahing numero, ibig sabihin ay 1. Ang pahayag na ito ay totoo sa kadahilanang kung hindi man ay hindi mananatili ang pagkakapantay-pantay. Ang coefficient x2 kapag binubuksan ang mga bracket ay hindi dapat higit sa isa, at ang expression ay dapat manatiling parisukat.
Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit upang subukan ang mga natagpuang ugat. Kung nahanap mo ang mga ugat, maaari mong gamitin ang mga formula na \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) upang kalkulahin ang mga value \(p\ ) at \(q\ ). At kung sila ay magiging pareho sa orihinal na equation, kung gayon ang mga ugat ay matatagpuan nang tama.
Halimbawa, gamitin natin ang , lutasin ang equation \(x^2+x-56=0\) at kunin ang mga ugat: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Suriin natin kung nagkamali tayo sa proseso ng paglutas. Sa aming kaso, \(p=1\), at \(q=-56\). Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon tayong:
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
Ang parehong mga pahayag ay nagtagpo, na nangangahulugan na nalutas namin nang tama ang equation.
Ang pagsusulit na ito ay maaaring gawin nang pasalita. Aabutin ng 5 segundo at ililigtas ka sa mga hangal na pagkakamali.
Inverse Vieta theorem
Kung ang \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), kung gayon ang \(x_1\) at \(x_2\) ay ang mga ugat ng quadratic equation \ (x^ 2+px+q=0\).
O sa simpleng paraan: kung mayroon kang equation ng form na \(x^2+px+q=0\), pagkatapos ay sa pamamagitan ng paglutas ng system \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) makikita mo ang mga ugat nito.
Salamat sa theorem na ito, mabilis mong mahahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation, lalo na kung ang mga ugat na ito ay . Ang kasanayang ito ay mahalaga dahil nakakatipid ito ng maraming oras.
Halimbawa . Lutasin ang equation \(x^2-5x+6=0\).
Solusyon
: Gamit ang inverse Vieta theorem, nakuha namin na ang mga ugat ay nakakatugon sa mga kondisyon: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tingnan ang pangalawang equation ng \(x_1 \cdot x_2=6\) system. Sa anong dalawa maaaring mabulok ang numerong \(6\)? Sa \(2\) at \(3\), \(6\) at \(1\) o \(-2\) at \(-3\), at \(-6\) at \(- isa\). At kung aling pares ang pipiliin, sasabihin ng unang equation ng system: \(x_1+x_2=5\). Ang \(2\) at \(3\) ay magkatulad, dahil \(2+3=5\).
Sagot
: \(x_1=2\), \(x_2=3\).
Mga halimbawa
. Gamit ang inverse ng Vieta's theorem, hanapin ang mga ugat ng quadratic equation:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).
Solusyon
:
a) \(x^2-15x+14=0\) - sa anong mga salik nabubulok ang \(14\)? \(2\) at \(7\), \(-2\) at \(-7\), \(-1\) at \(-14\), \(1\) at \(14\ ). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(15\)? Sagot: \(1\) at \(14\).
b) \(x^2+3x-4=0\) - sa anong mga kadahilanan nabubulok ang \(-4\)? \(-2\) at \(2\), \(4\) at \(-1\), \(1\) at \(-4\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(-3\)? Sagot: \(1\) at \(-4\).
c) \(x^2+9x+20=0\) – sa anong mga salik nabubulok ang \(20\)? \(4\) at \(5\), \(-4\) at \(-5\), \(2\) at \(10\), \(-2\) at \(-10\ ), \(-20\) at \(-1\), \(20\) at \(1\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag hanggang sa \(-9\)? Sagot: \(-4\) at \(-5\).
d) \(x^2-88x+780=0\) - sa anong mga kadahilanan nabubulok ang \(780\)? \(390\) at \(2\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Hindi. Ano ang iba pang multiplier na mayroon ang \(780\)? \(78\) at \(10\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Oo. Sagot: \(78\) at \(10\).
Hindi kinakailangang i-decompose ang huling termino sa lahat ng posibleng salik (tulad ng sa huling halimbawa). Maaari mong suriin kaagad kung ang kanilang kabuuan ay nagbibigay ng \(-p\).
Mahalaga! Ang theorem ng Vieta at ang converse theorem ay gumagana lamang sa , iyon ay, isa na ang coefficient sa harap ng \(x^2\) ay katumbas ng isa. Kung sa una ay mayroon tayong hindi pinababang equation, kung gayon maaari natin itong bawasan sa pamamagitan lamang ng paghahati sa koepisyent sa harap ng \ (x ^ 2 \).
Halimbawa, hayaan ang equation na \(2x^2-4x-6=0\) at gusto naming gamitin ang isa sa mga theorems ng Vieta. Ngunit hindi natin magagawa, dahil ang coefficient bago ang \(x^2\) ay katumbas ng \(2\). Alisin natin ito sa pamamagitan ng paghahati sa buong equation sa \(2\).
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)
handa na. Ngayon ay maaari nating gamitin ang parehong theorems.
Mga sagot sa mga madalas itanong
Tanong:
Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, maaari mong malutas ang anuman?
Sagot:
Sa kasamaang palad hindi. Kung walang mga integer sa equation o ang equation ay walang mga ugat, kung gayon ang teorama ni Vieta ay hindi makakatulong. Sa kasong ito, kailangan mong gamitin may diskriminasyon
. Sa kabutihang palad, 80% ng mga equation sa kurso sa matematika ng paaralan ay may mga integer na solusyon.
Bago magpatuloy sa teorama ni Vieta, ipinakilala namin ang isang kahulugan. Quadratic equation ng form x² + px + q= 0 ay tinatawag na nabawasan. Sa equation na ito, ang nangungunang coefficient ay katumbas ng isa. Halimbawa, ang equation x² - 3 x- 4 = 0 ay nabawasan. Anumang quadratic equation ng form palakol² + b x + c= 0 ay maaaring gawing bawasan, para dito hinahati natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng a≠ 0. Halimbawa, Equation 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 na hinati sa 4 ay binabawasan sa anyo: x² + x- 3/4 = 0. Nakukuha namin ang formula para sa mga ugat ng pinababang quadratic equation, para dito ginagamit namin ang formula para sa mga ugat ng isang pangkalahatang quadratic equation: palakol² + bx + c = 0
Pinababang Equation x² + px + q= 0 coincides sa isang pangkalahatang equation kung saan a = 1, b = p, c = q. Samakatuwid, para sa ibinigay na quadratic equation, ang formula ay tumatagal ng anyo: 
ang huling expression ay tinatawag na formula ng mga ugat ng pinababang quadratic equation, lalo na maginhawang gamitin ang formula na ito kapag R- kahit na numero. Halimbawa, lutasin natin ang equation x² - 14 x — 15 = 0
Bilang tugon, isinusulat namin ang equation na may dalawang ugat.
Para sa isang pinababang quadratic equation na may positibo, ang sumusunod na theorem ay humahawak.
Ang teorama ni Vieta
Kung ang x 1 at x 2 - mga ugat ng equation x² + px + q= 0, kung gayon ang mga formula ay wasto:
x 1 + x 2 = — R
x 1 * x 2 \u003d q, ibig sabihin, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.
Batay sa formula ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation, mayroon tayong:
Pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang: x 1 + x 2 = —R.
Ang pagpaparami ng mga pagkakapantay-pantay na ito, gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha natin:
Tandaan na ang Vieta theorem ay may bisa din kapag ang discriminant ay zero, kung ipagpalagay natin na sa kasong ito ang quadratic equation ay may dalawang magkaparehong ugat: x 1 = x 2 = — R/2.
Hindi paglutas ng mga equation x² - 13 x+ 30 = 0 hanapin ang kabuuan at produkto ng mga ugat nito x 1 at x 2. equation na ito D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, upang mailapat mo ang Vieta theorem: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa. Isa sa mga ugat ng equation x² — px- 12 = 0 ay x 1 = 4. Maghanap ng coefficient R at pangalawang ugat x 2 ng equation na ito. Ayon sa teorama ni Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. kasi x 1 = 4 tapos 4 x 2 = - 12, kung saan x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Bilang tugon, isinulat namin ang pangalawang ugat x 2 = - 3, koepisyent p = - 1.
Hindi paglutas ng mga equation x² + 2 x- 4 = 0 hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat nito. Hayaan x 1 at x 2 ang mga ugat ng equation. Ayon sa teorama ni Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. kasi x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, pagkatapos x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
Hanapin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng equation 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Ang equation na ito ay may dalawang magkaibang ugat, dahil ang discriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Upang malutas ang equation, ginagamit namin ang Vieta theorem. Ang theorem na ito ay napatunayan para sa pinababang quadratic equation. Kaya't hatiin natin ang equation na ito sa 3.
Samakatuwid, ang kabuuan ng mga ugat ay -4/3, at ang kanilang produkto ay -5/3.
Sa pangkalahatan, ang mga ugat ng equation palakol² + b x + c Ang = 0 ay nauugnay sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Upang makuha ang mga formula na ito, sapat na upang hatiin ang magkabilang panig ng quadratic equation na ito sa a ≠ 0 at ilapat ang teorama ni Vieta sa nagresultang pinababang quadratic equation. Isaalang-alang ang isang halimbawa, kailangan mong bumuo ng isang ibinigay na quadratic equation, ang mga ugat nito x 1 = 3, x 2 = 4. kasi x 1 = 3, x 2 = 4 ay ang mga ugat ng quadratic equation x² + px + q= 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng Vieta theorem R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Bilang tugon, sumulat kami x² - 7 x+ 12 = 0. Ang sumusunod na theorem ay ginagamit sa paglutas ng ilang problema.
Theorem inverse to Vieta's theorem
Kung mga numero R, q, x 1 , x 2 ang ganyan x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, pagkatapos x 1 at x2 ay ang mga ugat ng equation x² + px + q= 0. Palitan sa kaliwang bahagi x² + px + q sa halip na R pagpapahayag - ( x 1 + x 2), ngunit sa halip q- trabaho x 1 * x 2 . Nakukuha namin: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Kaya, kung ang mga numero R, q, x 1 at x 2 ay nauugnay sa mga relasyon na ito, pagkatapos ay para sa lahat X pagkakapantay-pantay x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), mula sa kung saan ito ay sumusunod na x 1 at x 2 - mga ugat ng equation x² + px + q= 0. Gamit ang theorem converse sa Vieta's theorem, minsan posible na mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagpili. Isaalang-alang ang isang halimbawa, x² - 5 x+ 6 = 0. Dito R = — 5, q= 6. Pumili ng dalawang numero x 1 at x 2 kaya x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Pansinin na ang 6 = 2 * 3, at 2 + 3 = 5, sa pamamagitan ng theorem ay sumasalungat sa Vieta's theorem, nakuha natin na x 1 = 2, x 2 = 3 - mga ugat ng equation x² - 5 x + 6 = 0.
Sa pagitan ng mga ugat at mga coefficient ng quadratic equation, bilang karagdagan sa mga root formula, may iba pang kapaki-pakinabang na mga relasyon na ibinibigay ng Ang teorama ni Vieta. Sa artikulong ito, magbibigay kami ng pormulasyon at patunay ng teorama ni Vieta para sa isang quadratic equation. Susunod, isinasaalang-alang namin ang isang theorem converse sa Vieta's theorem. Pagkatapos nito, susuriin namin ang mga solusyon sa mga pinaka-katangiang halimbawa. Sa wakas, isinulat namin ang mga formula ng Vieta na tumutukoy sa koneksyon sa pagitan ng mga tunay na ugat algebraic equation degree n at mga coefficient nito.
Pag-navigate sa pahina.
Ang teorama, pagbabalangkas, patunay ni Vieta
Mula sa mga formula ng mga ugat ng quadratic equation a x 2 +b x+c=0 ng form , kung saan D=b 2 −4 a c , ang mga relasyon x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Ang mga resultang ito ay nakumpirma Ang teorama ni Vieta:
Teorama.
Kung ang Ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation a x 2 +b x+c=0, kung gayon ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficient b at a, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng ang mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficient c at a, iyon ay, .
Patunay.
Patutunayan natin ang Vieta theorem ayon sa sumusunod na pamamaraan: bubuuin natin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation gamit ang mga kilalang root formula, pagkatapos ay babaguhin natin ang mga resultang expression, at siguraduhin na sila ay katumbas ng −b /a at c/a, ayon sa pagkakabanggit.
Magsimula tayo sa kabuuan ng mga ugat, buuin ito. Ngayon dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, mayroon kami. Sa numerator ng resultang fraction , pagkatapos nito : . Sa wakas, pagkatapos ng 2, makuha namin. Pinatutunayan nito ang unang kaugnayan ng teorama ni Vieta para sa kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation. Lumipat tayo sa pangalawa.
Binubuo namin ang produkto ng mga ugat ng quadratic equation:. Ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga fraction, ang huling produkto ay maaaring isulat bilang. Ngayon, pinarami namin ang bracket sa pamamagitan ng bracket sa numerator, ngunit mas mabilis na i-collapse ang produktong ito sa pamamagitan ng pagkakaiba ng formula ng mga parisukat, Kaya . Pagkatapos, sa pag-alala, ginagawa namin ang susunod na paglipat. At dahil ang formula D=b 2 −4 a·c ay tumutugma sa discriminant ng quadratic equation, kung gayon ang b 2 −4·a·c ay maaaring palitan sa huling fraction sa halip na D, makuha natin . Pagkatapos buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino, dumating tayo sa fraction , at ang pagbabawas nito ng 4·a ay nagbibigay ng . Pinatutunayan nito ang pangalawang kaugnayan ng teorama ni Vieta para sa produkto ng mga ugat.
Kung aalisin natin ang mga paliwanag, ang patunay ng Vieta theorem ay magkakaroon ng isang maigsi na anyo:
,
.
Nananatili lamang na tandaan na kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang quadratic equation ay may isang ugat. Gayunpaman, kung ipagpalagay natin na ang equation sa kasong ito ay may dalawang magkatulad na ugat, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay mula sa Vieta theorem ay hawak din. Sa katunayan, para sa D=0 ang ugat ng quadratic equation ay , pagkatapos at , at dahil D=0 , iyon ay, b 2 −4·a·c=0 , kung saan b 2 =4·a·c , pagkatapos .
Sa pagsasagawa, ang theorem ng Vieta ay kadalasang ginagamit kaugnay ng pinababang quadratic equation (na may pinakamataas na coefficient na katumbas ng 1 ) ng anyong x 2 +p·x+q=0 . Minsan ito ay binabalangkas para sa mga quadratic equation na ganito lang ang uri, na hindi nililimitahan ang generality, dahil ang anumang quadratic equation ay maaaring palitan ng katumbas na equation sa pamamagitan ng paghahati sa parehong mga bahagi nito sa isang non-zero number a. Narito ang kaukulang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta:
Teorama.
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + p x + q \u003d 0 ay katumbas ng koepisyent sa x, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay isang libreng termino, iyon ay, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Theorem inverse to Vieta's theorem
Ang pangalawang pormulasyon ng Vieta theorem, na ibinigay sa nakaraang talata, ay nagpapahiwatig na kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0, kung gayon ang mga ugnayang x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Sa kabilang banda, mula sa mga nakasulat na relasyon x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, sumusunod na ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation x 2 +p x+q=0. Sa madaling salita, totoo ang assertion converse sa theorem ni Vieta. Binubalangkas namin ito sa anyo ng isang teorama, at patunayan ito.
Teorama.
Kung ang mga numerong x 1 at x 2 ay tulad ng x 1 +x 2 =−p at x 1 x 2 =q, kung gayon ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0 .
Patunay.
Pagkatapos palitan ang mga coefficients p at q sa equation x 2 +p x+q=0 ng kanilang expression sa pamamagitan ng x 1 at x 2, ito ay na-convert sa isang katumbas na equation.
Pinapalitan namin ang numerong x 1 sa halip na x sa nagresultang equation, mayroon kaming pagkakapantay-pantay x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, na para sa alinmang x 1 at x 2 ay ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0, dahil x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Samakatuwid, ang x 1 ay ang ugat ng equation x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, na nangangahulugan na ang x 1 ay ang ugat ng katumbas na equation x 2 +p x+q=0 .
Kung sa equation x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 palitan ang numerong x 2 sa halip na x, pagkatapos ay makuha natin ang pagkakapantay-pantay x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Ito ang tamang equation dahil x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Samakatuwid, ang x 2 ay ang ugat din ng equation x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, at samakatuwid ang mga equation x 2 +p x+q=0 .
Kinukumpleto nito ang patunay ng theorem converse sa theorem ni Vieta.
Mga halimbawa ng paggamit ng teorama ni Vieta
Oras na para pag-usapan ang praktikal na aplikasyon ng theorem ng Vieta at ang inverse theorem nito. Sa subsection na ito, susuriin namin ang mga solusyon ng ilan sa mga pinakakaraniwang halimbawa.
Magsisimula tayo sa pamamagitan ng paglalapat ng theorem converse sa Vieta's theorem. Maginhawang gamitin ito upang suriin kung ang ibinigay na dalawang numero ay ang mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation. Sa kasong ito, ang kanilang kabuuan at pagkakaiba ay kinakalkula, pagkatapos nito ay nasuri ang bisa ng mga relasyon. Kung pareho sa mga relasyon na ito ay nasiyahan, at pagkatapos, sa pamamagitan ng kabutihan ng teorama na makipag-usap sa Vieta's teorama, ito ay concluded na ang mga numero ay ang mga ugat ng equation. Kung ang hindi bababa sa isa sa mga relasyon ay hindi nasiyahan, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi ang mga ugat ng quadratic equation. Ang diskarte na ito ay maaaring gamitin kapag nilulutas ang mga quadratic equation upang suriin ang mga natagpuang ugat.
Halimbawa.
Alin sa mga pares ng mga numero 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2), o 3) ang isang pares ng mga ugat ng quadratic equation 4 x 2 −16 x+9=0?
Solusyon.
Ang mga coefficient ng ibinigay na quadratic equation 4 x 2 −16 x+9=0 ay a=4 , b=−16 , c=9 . Ayon sa teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay dapat na katumbas ng −b/a, iyon ay, 16/4=4, at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng c/a, iyon ay, 9 /4.
Ngayon kalkulahin natin ang kabuuan at produkto ng mga numero sa bawat isa sa tatlong ibinigay na mga pares, at ihambing ang mga ito sa mga halagang nakuha lamang.
Sa unang kaso, mayroon tayong x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Ang resultang halaga ay naiiba sa 4, kaya ang karagdagang pag-verify ay hindi maaaring isagawa, ngunit sa pamamagitan ng teorama, ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta, maaari nating agad na tapusin na ang unang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation.
Lumipat tayo sa pangalawang kaso. Dito, iyon ay, ang unang kondisyon ay nasiyahan. Sinusuri namin ang pangalawang kundisyon: , iba ang resultang halaga sa 9/4 . Samakatuwid, ang pangalawang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng isang quadratic equation.
Ang huling kaso ay nananatili. Dito at . Ang parehong mga kondisyon ay natutugunan, kaya ang mga numerong ito na x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation.
Sagot:
Ang theorem, ang reverse ng Vieta's theorem, ay maaaring gamitin sa pagsasanay upang piliin ang mga ugat ng isang quadratic equation. Karaniwan, ang mga integer na ugat ng ibinigay na mga quadratic equation na may mga integer coefficient ay pinipili, dahil sa ibang mga kaso ito ay medyo mahirap gawin. Kasabay nito, ginagamit nila ang katotohanan na kung ang kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng pangalawang koepisyent ng quadratic equation, na kinuha gamit ang isang minus sign, at ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng libreng termino, kung gayon ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito. Harapin natin ito ng isang halimbawa.
Kunin natin ang quadratic equation x 2 −5 x+6=0 . Upang ang mga numerong x 1 at x 2 ay maging mga ugat ng equation na ito, dapat masiyahan ang dalawang equalities x 1 +x 2 \u003d 5 at x 1 x 2 \u003d 6. Ito ay nananatiling pumili ng gayong mga numero. Sa kasong ito, ito ay medyo simple na gawin: ang mga naturang numero ay 2 at 3, dahil 2+3=5 at 2 3=6 . Kaya, ang 2 at 3 ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito.
Ang theorem, ang reverse ng Vieta's theorem, ay lalong madaling gamitin sa paghahanap ng pangalawang ugat ng pinababang quadratic equation, kapag ang isa sa mga ugat ay kilala na o halata na. Sa kasong ito, ang pangalawang ugat ay matatagpuan mula sa alinman sa mga relasyon.
Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation 512 x 2 −509 x−3=0 . Dito madaling makita na ang yunit ay ang ugat ng equation, dahil ang kabuuan ng mga coefficient ng quadratic equation na ito ay zero. Kaya x 1 =1 . Ang pangalawang ugat na x 2 ay matatagpuan, halimbawa, mula sa kaugnayan x 1 x 2 =c/a. Mayroon kaming 1 x 2 =−3/512 , kung saan ang x 2 =−3/512 . Kaya't tinukoy namin ang parehong mga ugat ng quadratic equation: 1 at −3/512.
Malinaw na ang pagpili ng mga ugat ay kapaki-pakinabang lamang sa mga pinakasimpleng kaso. Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang mga ugat, maaari mong ilapat ang mga formula ng mga ugat ng quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant.
Ang isa pang praktikal na aplikasyon ng theorem, ang kabaligtaran ng Vieta's theorem, ay ang compilation ng quadratic equation para sa mga ibinigay na roots x 1 at x 2. Upang gawin ito, sapat na upang kalkulahin ang kabuuan ng mga ugat, na nagbibigay ng koepisyent ng x na may kabaligtaran na tanda ng ibinigay na quadratic equation, at ang produkto ng mga ugat, na nagbibigay ng libreng termino.
Halimbawa.
Sumulat ng isang quadratic equation na ang mga ugat ay ang mga numero −11 at 23.
Solusyon.
Ipahiwatig ang x 1 =−11 at x 2 =23 . Kinakalkula namin ang kabuuan at produkto ng mga numerong ito: x 1 + x 2 \u003d 12 at x 1 x 2 \u003d −253. Samakatuwid, ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation na may pangalawang coefficient -12 at ang libreng termino -253. Ibig sabihin, x 2 −12·x−253=0 ang gustong equation.
Sagot:
x 2 −12 x−253=0 .
Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga gawain na may kaugnayan sa mga palatandaan ng mga ugat ng quadratic equation. Paano nauugnay ang teorama ni Vieta sa mga palatandaan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0 ? Narito ang dalawang nauugnay na pahayag:
- Kung ang intercept q ay isang positibong numero at kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang alinman sa mga ito ay parehong positibo o pareho ay negatibo.
- Kung ang libreng termino q ay isang negatibong numero at kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang mga palatandaan ay iba, sa madaling salita, ang isang ugat ay positibo at ang isa ay negatibo.
Ang mga pahayag na ito ay sumusunod mula sa formula x 1 x 2 =q, pati na rin ang mga patakaran para sa pagpaparami ng positibo, negatibong mga numero at mga numero na may iba't ibang mga palatandaan. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon.
Halimbawa.
R ay positibo. Ayon sa discriminant formula, makikita natin ang D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , ang halaga ng expression na r 2 +8 ay positibo para sa anumang tunay na r , kaya D>0 para sa anumang tunay na r . Samakatuwid, ang orihinal na quadratic equation ay may dalawang ugat para sa anumang tunay na halaga ng parameter r.
Ngayon alamin natin kung kailan ang mga ugat ay may iba't ibang palatandaan. Kung ang mga palatandaan ng mga ugat ay naiiba, kung gayon ang kanilang produkto ay negatibo, at sa pamamagitan ng Vieta theorem, ang produkto ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng libreng termino. Samakatuwid, kami ay interesado sa mga halagang iyon ng r kung saan ang libreng termino r−1 ay negatibo. Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng r na interesado sa amin, kailangan namin lutasin ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay r−1<0 , откуда находим r<1 .
Sagot:
sa r<1 .
Mga formula ng Vieta
Sa itaas, napag-usapan namin ang tungkol sa teorama ni Vieta para sa isang quadratic equation at sinuri ang mga ugnayang iginiit nito. Ngunit may mga formula na nag-uugnay sa mga tunay na ugat at coefficient hindi lamang ng mga quadratic equation, kundi pati na rin ng cubic equation, quadruple equation, at sa pangkalahatan, algebraic equation degree n. Tinawag sila Mga formula ng Vieta.
Isinulat namin ang mga formula ng Vieta para sa isang algebraic equation ng degree n ng form, habang ipinapalagay namin na mayroon itong n tunay na mga ugat x 1, x 2, ..., x n (kabilang sa mga ito ay maaaring pareho): 
Makakuha ng Vieta formula ay nagbibigay-daan polynomial factorization theorem, pati na rin ang kahulugan ng equal polynomials sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng lahat ng kaukulang coefficient nito. Kaya ang polynomial at ang pagpapalawak nito sa mga linear na kadahilanan ng anyo ay pantay. Binuksan ang mga bracket sa huling produkto at tinutumbasan ang kaukulang coefficient, nakukuha namin ang mga formula ng Vieta.
Sa partikular, para sa n=2 mayroon na tayong pamilyar na mga formula ng Vieta para sa quadratic equation .
Para sa isang cubic equation, ang mga formula ng Vieta ay may anyo 
Nananatili lamang na tandaan na sa kaliwang bahagi ng mga formula ng Vieta ay mayroong tinatawag na elementarya simetriko polynomial.
Bibliograpiya.
- Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - M.: Enlightenment, 2010.- 368 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Ang isa sa mga pamamaraan para sa paglutas ng isang quadratic equation ay ang aplikasyon Mga formula ng VIETA, na ipinangalan sa FRANCOIS VIETE.
Siya ay isang sikat na abogado, at nagsilbi noong ika-16 na siglo kasama ang haring Pranses. Sa kanyang libreng oras nag-aral siya ng astronomy at matematika. Nagtatag siya ng koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation.
Mga kalamangan ng formula:
1 . Sa pamamagitan ng paglalapat ng formula, mabilis mong mahahanap ang solusyon. Dahil hindi mo kailangang ipasok ang pangalawang koepisyent sa parisukat, pagkatapos ay ibawas ang 4ac mula dito, hanapin ang discriminant, palitan ang halaga nito sa formula para sa paghahanap ng mga ugat.
2 . Kung walang solusyon, maaari mong matukoy ang mga palatandaan ng mga ugat, kunin ang mga halaga ng mga ugat.
3 . Ang pagkakaroon ng malutas ang sistema ng dalawang talaan, hindi mahirap hanapin ang mga ugat mismo. Sa itaas na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng halaga ng pangalawang koepisyent na may minus sign. Ang produkto ng mga ugat sa itaas na quadratic equation ay katumbas ng halaga ng ikatlong koepisyent.
4 . Ayon sa ibinigay na mga ugat, sumulat ng isang quadratic equation, iyon ay, lutasin ang kabaligtaran na problema. Halimbawa, ang paraang ito ay ginagamit sa paglutas ng mga problema sa theoretical mechanics.
5 . Ito ay maginhawa upang ilapat ang formula kapag ang nangungunang koepisyent ay katumbas ng isa.
Bahid:
1
. Ang formula ay hindi pangkalahatan.
Vieta's theorem Grade 8
Formula
Kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation x 2 + px + q \u003d 0, kung gayon:
Mga halimbawa
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ang mga ugat ng equation x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Inverse theorem
Formula
Kung ang mga numero x 1 , x 2 , p, q ay konektado ng mga kondisyon:
Pagkatapos ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng equation na x 2 + px + q = 0.
Halimbawa
Gumawa tayo ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga ugat nito:
X 1 \u003d 2 -? 3 at x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Ang nais na equation ay may anyo: x 2 - 4x + 1 = 0.
