Kahulugan 7.2. Ang locus ng mga punto sa isang eroplano kung saan ang pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya sa dalawang nakapirming punto ay isang pare-pareho ay tinatawag hyperbole.

Puna 7.2. Sa pagsasalita tungkol sa pagkakaiba sa mga distansya, ang ibig nilang sabihin ay ang isang mas maliit na distansya ay ibinabawas mula sa isang mas malaki. Nangangahulugan ito na sa katunayan, para sa isang hyperbola, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa alinman sa mga punto nito hanggang sa dalawang nakapirming punto ay pare-pareho. #

Ang kahulugan ng hyperbola ay katulad ng kahulugan ellipse. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga ito ay para lamang sa isang hyperbola ang pagkakaiba ng mga distansya sa mga nakapirming puntos ay pare-pareho, at para sa isang ellipse - ang kabuuan ng parehong mga distansya. Samakatuwid, natural na ang mga kurba na ito ay may magkatulad na katangian sa mga katangian at sa terminolohiya na ginamit.

Ang mga nakapirming puntos sa kahulugan ng isang hyperbola (tinutukoy namin ang mga ito sa pamamagitan ng F 1 at F 2) ay tinatawag foci ng hyperbole. Ang distansya sa pagitan nila (tinutukoy namin ito ng 2s) ay tinatawag Focal length, at ang mga segment na F 1 M at F 2 M, na nagkokonekta sa isang di-makatwirang punto M sa hyperbola kasama ang foci nito, - focal radii.

Ang anyo ng hyperbola ay ganap na tinutukoy ng focal length |F 1 F 2 | = 2с at ang halaga ng pare-parehong halaga 2а, katumbas ng pagkakaiba ng focal radii, at ang posisyon nito sa eroplano - ang posisyon ng foci F 1 at F 2 .

Mula sa kahulugan ng isang hyperbola, sumusunod na, tulad ng isang ellipse, ito ay simetriko tungkol sa isang tuwid na linya na dumadaan sa foci, pati na rin tungkol sa isang tuwid na linya na naghahati sa segment na F 1 F 2 sa kalahati at patayo dito ( Larawan 7.7). Ang una sa mga axes ng simetrya ay tinatawag ang tunay na axis ng hyperbola, at ang pangalawa - siya imaginary axis. Ang pare-pareho na kasangkot sa kahulugan ng isang hyperbola ay tinatawag ang tunay na semiaxis ng hyperbola.

Ang gitna ng segment na F 1 F 2 na nagkokonekta sa foci ng hyperbola ay nasa intersection ng mga axes ng symmetry nito at samakatuwid ay ang sentro ng symmetry ng hyperbola, na tinatawag na ang sentro ng hyperbola.

Para sa isang hyperbola, ang tunay na axis 2a ay dapat na hindi hihigit sa focal distance 2c, dahil para sa tatsulok F 1 MF 2 (tingnan ang Fig. 7.7) ang hindi pagkakapantay-pantay ||F 1 M| - |F 2 M| | ≤ |F 1 F 2 |. Ang pagkakapantay-pantay na a = c ay humahawak lamang para sa mga puntong M na nasa totoong axis ng simetriya ng hyperbola sa labas ng pagitan F 1 F 2 . Ibinasura ang lumalalang kaso na ito, higit pa nating ipinapalagay na a

Hyperbola equation. Isaalang-alang natin ang ilang hyperbola sa eroplano na may foci sa mga puntong F 1 at F 2 at ang tunay na axis 2a. Hayaang 2c ang focal length, 2c = |F 1 F 2 | > 2a. Ayon sa Puna 7.2, ang hyperbola ay binubuo ng mga puntong M(x; y) kung saan | |F 1 M| - - |F 2 M| | = 2a. Pumili tayo rectangular coordinate system Oxy upang ang sentro ng hyperbola ay nasa pinanggalingan, at ang foci ay matatagpuan sa abscissa(Larawan 7.8). Ang ganitong sistema ng coordinate para sa itinuturing na hyperbola ay tinatawag kanonikal, at ang kaukulang mga variable - kanonikal.

Sa canonical coordinate system, ang foci ng hyperbola ay mayroon mga coordinate F 1 (c; 0) at F 2 (-c; 0). Gamit ang formula ng distansya sa pagitan ng dalawang puntos, isinusulat namin ang kundisyon ||F 1 M| - |F 2 M|| = 2a sa mga coordinate |√((x - c) 2 + y 2) - √((x + c) 2 + y 2)| \u003d 2a, kung saan ang (x; y) ay ang mga coordinate ng point M. Upang gawing simple ang equation na ito, inaalis natin ang modulus sign: √ ((x - c) 2 + y 2) - √ ((x + c) ) 2 + y 2) \u003d ±2a, ilipat ang pangalawang radical sa kanang bahagi at parisukat ito: (x - c) 2 + y 2 \u003d (x + c) 2 + y 2 ± 4a √ ((x + c) 2 + y 2) + 4a 2 . Pagkatapos ng pagpapasimple, makukuha natin -εx - a \u003d ± √ ((x + c) 2 + y 2), o

√((x + c) 2 + y 2) = |εx + a| (7.7)

kung saan ε = c/a. Kami ay parisukat sa pangalawang pagkakataon at muli ay nagdadala ng magkatulad na mga termino: (ε 2 - 1) x 2 - y 2 \u003d c 2 - a 2, o, binigyan ng pagkakapantay-pantay ε \u003d c / a at setting b 2 \u003d c 2 - isang 2,

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1 (7.8)

Ang halaga b > 0 ay tinatawag haka-haka na semiaxis ng hyperbola.

Kaya, itinatag namin na ang anumang punto sa isang hyperbola na may foci F 1 (c; 0) at F 2 (-c; 0) at isang tunay na semi-axis ay nakakatugon sa equation (7.8). Ngunit dapat din nating ipakita na ang mga coordinate ng mga puntos sa labas ng hyperbola ay hindi nakakatugon sa equation na ito. Upang gawin ito, isinasaalang-alang namin ang pamilya ng lahat ng hyperbola na may ibinigay na foci F 1 at F 2 . Ang pamilyang ito ng hyperbolas ay may mga karaniwang axes ng simetriya. Malinaw mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang na ang bawat punto ng eroplano (maliban sa mga puntong nakahiga sa totoong axis ng simetriya sa labas ng pagitan ng F1F2 at ang mga puntong nakahiga sa haka-haka na axis ng symmetry) ay kabilang sa ilang hyperbola ng pamilya, at isa lamang , dahil ang pagkakaiba sa mga distansya mula sa punto hanggang sa foci F 1 at F 2 ay nagbabago mula sa hyperbole patungo sa hyperbole. Hayaan ang mga coordinate ng puntong M(x; y) na matugunan ang equation (7.8), at hayaang ang punto mismo ay kabilang sa hyperbola ng pamilya na may ilang halaga ã ng tunay na semiaxis. Pagkatapos, tulad ng ipinakita namin, ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation Samakatuwid, isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam

ay may kahit isang solusyon. Sa pamamagitan ng direktang pag-verify, tinitiyak namin na para sa ã ≠ a ito ay imposible. Sa katunayan, inaalis, halimbawa, ang x mula sa unang equation:

pagkatapos ng mga pagbabago, nakukuha namin ang equation

na, para sa ã ≠ a, ay walang mga solusyon, dahil . Kaya, ang (7.8) ay isang equation ng isang hyperbola na may tunay na semi-axis a > 0 at isang haka-haka na semi-axis b = √ (с 2 - a 2) > 0. Ito ay tinatawag ang canonical equation ng hyperbola.

Uri ng hyperbola. Sa anyo nito, ang hyperbola (7.8) ay kapansin-pansing naiiba sa ellipse. Isinasaalang-alang ang pagkakaroon ng dalawang axes ng symmetry ng hyperbola, sapat na upang mabuo ang bahagi nito na nasa unang quarter ng canonical coordinate system. Sa unang quarter, i.e. para sa x ≥ 0, y ≥ 0, ang kanonikal na equation ng hyperbola ay katangi-tanging nalutas na may kinalaman sa y:

y \u003d b / a √ (x 2 - a 2). (7.9)

Ang pag-aaral ng function na ito y(x) ay nagbibigay ng mga sumusunod na resulta.

Ang domain ng function ay (x: x ≥ a) at sa domain na ito ito ay tuluy-tuloy bilang isang kumplikadong function, at sa puntong x = a ito ay tuloy-tuloy sa kanan. Ang tanging zero ng function ay ang punto x = a.

Hanapin natin ang derivative ng function na y (x): y "(x) \u003d bx / a √ (x 2 - a 2). Mula dito napagpasyahan namin na para sa x> a ang function ay monotonically tumataas. Bilang karagdagan, , na nangangahulugan na sa puntong x = a ng intersection ng graph ng function na may x-axis ay mayroong vertical tangent. Ang function na y(x) ay may pangalawang derivative y" = -ab(x 2 - a 2) -3/2 para sa x> a, at ang derivative na ito ay negatibo. Samakatuwid, ang graph ng function ay convex paitaas, at doon ay walang mga inflection point.

Ang function na ito ay may pahilig na asymptote, na sumusunod mula sa pagkakaroon ng dalawang limitasyon:

Ang oblique asymptote ay inilalarawan ng equation na y = (b/a)x.

Ang pag-aaral ng function (7.9) ay nagpapahintulot sa amin na bumuo ng graph nito (Larawan 7.9), na tumutugma sa bahagi ng hyperbola (7.8) na nilalaman sa unang quarter.

Dahil ang hyperbola ay simetriko tungkol sa mga axes nito, ang buong curve ay may anyo na ipinapakita sa Fig. 7.10. Ang hyperbola ay binubuo ng dalawang simetriko na sanga na matatagpuan sa magkaibang

gilid ng haka-haka na axis ng simetriya nito. Ang mga sanga na ito ay hindi nakatali sa magkabilang panig, at ang mga linyang y = ±(b/a)x ay sabay-sabay na mga asymptotes ng parehong kanan at kaliwang sanga ng hyperbola.

Ang mga axes ng symmetry ng hyperbola ay naiiba dahil ang tunay na isa ay nag-intersect sa hyperbola, at ang haka-haka, bilang ang locus ng mga punto na magkapareho ang layo mula sa foci, ay hindi nagsalubong (kung kaya't ito ay tinatawag na haka-haka). Dalawang punto ng intersection ng totoong axis ng symmetry na may hyperbola ay tinatawag na vertices ng hyperbola (points A (a; 0) at B (-a; 0) sa Fig. 7.10).

Ang pagtatayo ng hyperbola kasama ang tunay na (2a) at haka-haka (2b) na mga palakol nito ay dapat magsimula sa isang parihaba na nakasentro sa pinanggalingan at mga gilid na 2a at 2b na kahanay, ayon sa pagkakabanggit, sa tunay at haka-haka na mga palakol ng simetriya ng hyperbola (Larawan 7.11). ). Ang mga asymptotes ng hyperbola ay mga pagpapatuloy ng mga diagonal ng parihaba na ito, at ang mga vertices ng hyperbola ay ang mga punto ng intersection ng mga gilid ng rectangle na may tunay na axis ng symmetry. Tandaan na ang parihaba at ang posisyon nito sa eroplano ay natatanging tumutukoy sa hugis at posisyon ng hyperbola. Tinutukoy ng ratio b/a ng mga gilid ng rectangle ang antas ng compression ng hyperbola, ngunit sa halip na ang parameter na ito, ang eccentricity ng hyperbola ay karaniwang ginagamit. Ang eccentricity ng isang hyperbola tinatawag na ratio ng focal length nito sa totoong axis. Ang eccentricity ay tinutukoy ng ε. Para sa hyperbola na inilarawan ng equation (7.8), ε = c/a. Tandaan na kung ellipse eccentricity maaaring kumuha ng mga halaga mula sa kalahating pagitan)