hango sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a tinukoy bilang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation ax=b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa ng kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, maaari kang gumanap mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit sa view ng katotohanan na ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms.

Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base: log x at mag-log a y. Pagkatapos ay alisin posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa quotient logarithm theorems isa pang pag-aari ng logarithm ang maaaring makuha. Kilalang-kilala ang log na iyon a 1= 0, samakatuwid,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Kaya mayroong isang pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang magkatumbas na numero sa parehong batayan ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa tanda. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logarithmic expression, solusyon ng mga halimbawa. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang mga problemang nauugnay sa paglutas ng mga logarithms. Ang mga gawain ay nagtataas ng tanong ng paghahanap ng halaga ng expression. Dapat pansinin na ang konsepto ng logarithm ay ginagamit sa maraming mga gawain at napakahalaga na maunawaan ang kahulugan nito. Tulad ng para sa USE, ang logarithm ay ginagamit sa paglutas ng mga equation, sa mga inilapat na problema, at gayundin sa mga gawain na may kaugnayan sa pag-aaral ng mga function.

Narito ang mga halimbawa upang maunawaan ang mismong kahulugan ng logarithm:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Mga katangian ng logarithms na dapat mong laging tandaan:

*Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng quotient (fraction) ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms ng mga salik.

* * *

* Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito.

* * *

*Transition sa bagong base

* * *

Higit pang mga katangian:

* * *

Ang computing logarithms ay malapit na nauugnay sa paggamit ng mga katangian ng mga exponent.

Inilista namin ang ilan sa kanila:

Ang kakanyahan ng pag-aari na ito ay kapag inilipat ang numerator sa denominator at kabaligtaran, ang tanda ng exponent ay nagbabago sa kabaligtaran. Halimbawa:

Bunga ng ari-arian na ito:

* * *

Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay pinarami.

* * *

Tulad ng makikita mo, ang mismong konsepto ng logarithm ay simple. Ang pangunahing bagay ay ang mahusay na kasanayan ay kinakailangan, na nagbibigay ng isang tiyak na kasanayan. Tiyak na ang kaalaman sa mga formula ay obligado. Kung ang kasanayan sa pag-convert ng elementarya na logarithms ay hindi nabuo, kung gayon kapag ang paglutas ng mga simpleng gawain, ang isang tao ay madaling magkamali.

Magsanay, lutasin muna ang pinakasimpleng mga halimbawa mula sa kurso sa matematika, pagkatapos ay lumipat sa mas kumplikado. Sa hinaharap, tiyak na ipapakita ko kung paano nalutas ang mga "pangit" na logarithms, walang mga ganyan sa pagsusulit, ngunit interesado sila, huwag palampasin ito!

Iyon lang! Good luck sa iyo!

Taos-puso, Alexander Krutitskikh

P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.

At ang logarithm ay malapit na nauugnay. At sa katunayan, ay isang mathematical notation ng kahulugan logarithm. Suriin natin nang detalyado kung ano ang logarithm, kung saan ito nanggaling.

Isaalang-alang ang isang algebraic na aksyon - ang pagkalkula ng exponent X ayon sa ibinigay na mga tiyak na halaga degree b at pundasyon a. Ang gawaing ito ay karaniwang paglutas ng equation isang x = b, saan a at b ay ilang binigay na halaga, x - hindi kilalang halaga. Tandaan na ang problemang ito ay hindi palaging may mga solusyon.

Kapag, halimbawa, sa equation isang x = b numeroa positibo, at ang bilang b negatibo, kung gayon ang equation na ito ay walang mga ugat. Pero kung pwede lang a at b ay positibo at isang ≠ 1, kung gayon tiyak na mayroon lamang itong isang kakaiba ugat. Ito ay isang medyo kilalang katotohanan na exponential function graph y = isang x tiyak na sumasalubong sa tuwid y = b at sa isang punto lamang. Ang abscissa ng intersection point at will ang ugat ng equation.

Upang italaga ugat ng equation isang x = b kaugalian na gumamit ng log a b (sinasabi natin: ang logarithm ng numero b sa base a).

Logarithm numero b sa pamamagitan ng dahilan a ito ay exponent, kung saan mo gustong itaas ang numero a para makuha ang numero b at a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Batay sa kahulugan, nakukuha natin pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan :

Mga halimbawa:

Bunga pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay ang mga sumusunod tuntunin.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng dalawa tunay na logarithms nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay logarithmic mga ekspresyon.

Sa katunayan, kapag log a b = log a c, pagkatapos , saan, b = c.

Isaalang-alang kung bakit para sa pagkakakilanlan ng logarithmic kinukuha ang mga paghihigpit a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Unang kundisyon isang ≠ 1.

Ito ay kilala na ang yunit sa anumang degree ay magiging pagkakaisa, at ang pagkakapantay-pantay x = log a b ay maaaring umiral lamang para sa b = 1, ngunit sa parehong oras log 1 1 magiging anuman totoong numero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, tinatanggap ito isang ≠ 1.

Bigyang-katwiran ang pangangailangan ng kondisyon a > 0.

Sa a = 0 sa kahulugan ng logarithm maaari lamang umiral kapag b = 0. At samakatuwid pagkatapos log 0 0 maaaring kahit ano maliban sa zero totoong numero, dahil ang zero sa anumang kapangyarihan maliban sa zero ay zero. Upang maiwasan ang kalabuan na ito, ang kondisyon isang ≠ 0. At kailan a< 0 kailangan nating iwanan ang pag-parse makatwiran at hindi makatwiran mga halaga ng logarithm, dahil degree may makatwiran at hindi makatwiran na tagapagpahiwatig tinukoy lamang para sa mga positibong kadahilanan. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon a > 0.

At ang pangwakas na kondisyon b > 0 ay bunga ng hindi pagkakapantay-pantay a > 0, dahil x = log a b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.

Isa sa mga elemento ng primitive level algebra ay ang logarithm. Ang pangalan ay nagmula sa wikang Griyego mula sa salitang "numero" o "degree" at nangangahulugang ang antas kung saan kinakailangan na itaas ang numero sa base upang mahanap ang panghuling numero.

Mga uri ng logarithms

• log a b ay ang logarithm ng numero b sa base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - decimal logarithm (logarithm base 10, a = 10);
• ln b - natural na logarithm (logarithm base e, a = e).

Paano malutas ang mga logarithms?

Ang logarithm ng numero b sa base a ay isang exponent, na nangangailangan na ang base a ay itaas sa bilang b. Ang resulta ay binibigkas tulad nito: "logarithm ng b sa base ng a". Ang solusyon sa mga problema sa logarithmic ay kailangan mong matukoy ang ibinigay na antas sa pamamagitan ng mga numero sa pamamagitan ng mga tinukoy na numero. Mayroong ilang mga pangunahing panuntunan para sa pagtukoy o paglutas ng logarithm, pati na rin ang pagbabago ng notasyon mismo. Gamit ang mga ito, ang mga logarithmic equation ay nalutas, ang mga derivatives ay natagpuan, ang mga integral ay nalutas, at maraming iba pang mga operasyon ay isinasagawa. Karaniwan, ang solusyon sa logarithm mismo ay ang pinasimpleng notasyon nito. Nasa ibaba ang mga pangunahing formula at katangian:

Para sa anumang a; a > 0; a ≠ 1 at para sa alinmang x ; y > 0.

• a log a b = b ay ang pangunahing logarithmic identity
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , para sa k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - formula para sa paglipat sa isang bagong base
• log a x = 1/log x a

Paano malutas ang mga logarithms - hakbang-hakbang na mga tagubilin para sa paglutas

• Una, isulat ang kinakailangang equation.

Pakitandaan: kung ang batayang logarithm ay 10, kung gayon ang rekord ay paikliin, isang decimal logarithm ay nakuha. Kung mayroong isang natural na numero e, pagkatapos ay isulat namin, binabawasan sa isang natural na logarithm. Nangangahulugan ito na ang resulta ng lahat ng logarithms ay ang kapangyarihan kung saan itinaas ang base number upang makuha ang numero b.

Direkta, ang solusyon ay nakasalalay sa pagkalkula ng antas na ito. Bago malutas ang isang expression na may logarithm, dapat itong gawing simple ayon sa panuntunan, iyon ay, gamit ang mga formula. Mahahanap mo ang mga pangunahing pagkakakilanlan sa pamamagitan ng pagbabalik ng kaunti sa artikulo.

Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga logarithm na may dalawang magkaibang numero ngunit may parehong base, palitan ng isang logarithm na may produkto o dibisyon ng mga numerong b at c, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, maaari mong ilapat ang formula ng paglipat sa isa pang base (tingnan sa itaas).

Kung gumagamit ka ng mga expression upang pasimplehin ang logarithm, mayroong ilang mga limitasyon na dapat malaman. At iyon ay: ang base ng logarithm a ay isang positibong numero lamang, ngunit hindi katumbas ng isa. Ang bilang b, tulad ng a, ay dapat na mas malaki sa zero.

May mga kaso kung kailan, nang pinasimple ang expression, hindi mo magagawang kalkulahin ang logarithm sa numerical form. Ito ay nangyayari na ang gayong pagpapahayag ay hindi makatwiran, dahil maraming mga antas ay hindi makatwiran na mga numero. Sa ilalim ng kundisyong ito, iwanan ang kapangyarihan ng numero bilang isang logarithm.

Ang mga pangunahing katangian ng logarithm, ang graph ng logarithm, ang domain ng kahulugan, ang hanay ng mga halaga, ang mga pangunahing formula, ang pagtaas at pagbaba ay ibinigay. Ang paghahanap ng derivative ng logarithm ay isinasaalang-alang. Pati na rin ang integral, pagpapalawak at representasyon ng serye ng kapangyarihan sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Kahulugan ng logarithm

Logarithm na may base a ay ang y function (x) = log x, baligtad sa exponential function na may base a: x (y) = a y.

Decimal logarithm ay ang logarithm sa base ng numero 10 : log x ≡ log 10 x.

natural na logarithm ay ang logarithm sa base ng e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Ang graph ng logarithm ay nakuha mula sa graph ng exponential function sa pamamagitan ng mirror reflection tungkol sa tuwid na linya y \u003d x. Sa kaliwa ay mga graph ng function na y (x) = log x para sa apat na halaga mga batayan ng logarithm:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Ipinapakita ng graph na para sa isang > 1 monotonically ang pagtaas ng logarithm. Habang tumataas ang x, ang paglago ay bumagal nang malaki. Sa 0 < a < 1 ang logarithm ay monotonically bumababa.

Mga katangian ng logarithm

Domain, hanay ng mga halaga, pataas, pababa

Ang logarithm ay isang monotonic function, kaya wala itong extremums. Ang mga pangunahing katangian ng logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Saklaw ng mga halaga	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotone	tumataas monotonically	bumababa nang monotoniko
Mga zero, y= 0	x= 1	x= 1
Mga punto ng intersection sa y-axis, x = 0	Hindi	Hindi
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Mga pribadong halaga

Ang base 10 logarithm ay tinatawag decimal logarithm at minarkahan ng ganito:

batayang logarithm e tinawag natural na logarithm:

Mga pangunahing formula ng logarithm

Mga katangian ng logarithm na sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Logarithm ay ang mathematical operation ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang mga produkto ng mga salik ay kino-convert sa mga kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay itataas sa kapangyarihan ng expression kung saan ang potentiation ay ginanap. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay na-convert sa mga produkto ng mga kadahilanan.

Katibayan ng mga pangunahing formula para sa logarithms

Ang mga formula na nauugnay sa logarithms ay sumusunod mula sa mga formula para sa exponential function at mula sa kahulugan ng isang inverse function.

Isaalang-alang ang pag-aari ng exponential function
.
Pagkatapos
.
Ilapat ang property ng exponential function
:
.

Patunayan natin ang base change formula.
;
.
Setting c = b , mayroon kaming:

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng base ng logarithm ay ang exponential function na may exponent a.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon

Derivative ng logarithm

Derivative ng logarithm modulo x :
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Upang mahanap ang derivative ng isang logarithm, dapat itong bawasan sa base e.
;
.

integral

Ang integral ng logarithm ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi : .
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
.
Ipahayag natin ang isang kumplikadong numero z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Pagkatapos, gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon tayong:
.
O kaya

Gayunpaman, ang argumento φ hindi malinaw na tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa iba't ibang n.

Samakatuwid, ang logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.