Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (grade 9), isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga numerical sequence, na kinabibilangan ng mga progression - geometric at arithmetic. Sa artikulong ito, isasaalang-alang natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.
Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika?
Upang maunawaan ito, kinakailangang magbigay ng kahulugan ng pag-unlad na isinasaalang-alang, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na higit pang gagamitin sa paglutas ng mga problema.
Ang aritmetika o algebraic na pag-unlad ay isang set ng mga nakaayos na rational na numero, na ang bawat miyembro ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng ilang pare-parehong halaga. Ang halagang ito ay tinatawag na pagkakaiba. Iyon ay, alam mo ang sinumang miyembro ng isang nakaayos na serye ng mga numero at ang pagkakaiba, maaari mong ibalik ang buong pag-unlad ng aritmetika.
Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang susunod na pagkakasunud-sunod ng mga numero ay isang pag-unlad ng aritmetika: 4, 8, 12, 16, ..., dahil ang pagkakaiba sa kasong ito ay 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ngunit ang hanay ng mga numero 3, 5, 8, 12, 17 ay hindi na maiuugnay sa itinuturing na uri ng pag-unlad, dahil ang pagkakaiba para dito ay hindi isang pare-parehong halaga (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Mga mahahalagang formula
Ibinibigay na namin ngayon ang mga pangunahing formula na kakailanganin upang malutas ang mga problema gamit ang isang pag-unlad ng arithmetic. Hayaan ang isang n tukuyin ang ika-na miyembro ng sequence, kung saan ang n ay isang integer. Ang pagkakaiba ay tinutukoy ng letrang Latin na d. Kung gayon ang mga sumusunod na expression ay totoo:
- Upang matukoy ang halaga ng nth term, ang formula ay angkop: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Upang matukoy ang kabuuan ng unang n termino: S n = (a n + a 1)*n/2.
Upang maunawaan ang anumang mga halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon sa ika-9 na baitang, sapat na tandaan ang dalawang formula na ito, dahil ang anumang mga problema ng uri na isinasaalang-alang ay binuo sa kanilang paggamit. Gayundin, huwag kalimutan na ang pagkakaiba sa pag-unlad ay tinutukoy ng formula: d = a n - a n-1 .
Halimbawa #1: Paghahanap ng Hindi Kilalang Miyembro
Nagbibigay kami ng isang simpleng halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika at ang mga formula na dapat gamitin upang malutas.
Hayaang ibigay ang pagkakasunod-sunod na 10, 8, 6, 4, ..., kailangan na makahanap ng limang termino dito.
Ito ay sumusunod na mula sa mga kondisyon ng problema na ang unang 4 na termino ay kilala. Ang ikalima ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:
- Kalkulahin muna natin ang pagkakaiba. Mayroon kaming: d = 8 - 10 = -2. Katulad nito, ang isa ay maaaring tumagal ng anumang dalawang iba pang termino na nakatayo sa tabi ng isa't isa. Halimbawa, d = 4 - 6 = -2. Dahil alam na d \u003d a n - a n-1, pagkatapos ay d \u003d a 5 - a 4, mula sa kung saan kami makakakuha ng: a 5 \u003d a 4 + d. Pinapalitan namin ang mga kilalang halaga: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Ang pangalawang pamamaraan ay nangangailangan din ng kaalaman sa pagkakaiba ng pag-unlad na pinag-uusapan, kaya kailangan mo munang matukoy ito, tulad ng ipinapakita sa itaas (d = -2). Alam na ang unang termino a 1 = 10, ginagamit namin ang formula para sa n bilang ng sequence. Mayroon kaming: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Ang pagpapalit ng n = 5 sa huling expression, makukuha natin ang: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga solusyon ay humahantong sa parehong resulta. Tandaan na sa halimbawang ito ang pagkakaiba d ng pag-unlad ay negatibo. Ang ganitong mga pagkakasunud-sunod ay tinatawag na pagbaba dahil ang bawat sunud-sunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna.
Halimbawa #2: pagkakaiba sa pag-unlad
Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain, magbigay ng isang halimbawa kung paano
Ito ay kilala na sa ilang mga ang 1st term ay katumbas ng 6, at ang 7th term ay katumbas ng 18. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang pagkakaiba at ibalik ang sequence na ito sa 7th term.
Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Pinapalitan namin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon kami: 18 \u003d 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito, madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) / 6 = 2. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay nasagot.
Upang maibalik ang sequence sa ika-7 miyembro, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 at 7 = 18.
Halimbawa #3: paggawa ng progreso
Lalo pa nating gawing kumplikado ang kalagayan ng problema. Ngayon ay kailangan mong sagutin ang tanong kung paano makahanap ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maaari nating ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinigay, halimbawa, 4 at 5. Kinakailangang gumawa ng algebraic progression upang ang tatlo pang termino ay magkasya sa pagitan ng mga ito.
Bago simulan ang paglutas ng problemang ito, kinakailangan upang maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 \u003d -4 at isang 5 \u003d 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy kami sa isang gawain na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term, ginagamit namin ang formula, nakukuha namin: isang 5 \u003d isang 1 + 4 * d. Mula sa: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Dito, ang pagkakaiba ay hindi isang integer na halaga, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.
Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang miyembro ng progression. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, isang 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0,0 na kasabay ng kalagayan ng problema.
Halimbawa #4: Ang unang miyembro ng progression
Patuloy kaming nagbibigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap mula sa kung anong numero ang sequence na ito ay nagsisimula.
Ang mga formula na ginamit hanggang ngayon ay may kaalaman sa isang 1 at d. Walang nalalaman tungkol sa mga numerong ito sa kondisyon ng problema. Gayunpaman, isulat natin ang mga expression para sa bawat termino kung saan mayroon tayong impormasyon: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakakuha kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.
Ang tinukoy na sistema ay pinakamadaling lutasin kung nagpapahayag ka ng 1 sa bawat equation, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ang equating mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 decimal na lugar lamang ang ibinigay).
Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1 . Halimbawa, una: isang 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.
Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na miyembro ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: isang 43 \u003d isang 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Ang isang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.
Halimbawa #5: Sum
Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?
Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, maaaring malutas ang problemang ito, iyon ay, sunud-sunod na pagdaragdag ng lahat ng mga numero, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay malulutas sa isip kung bibigyan mo ng pansin na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Nakakagulat na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian", dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, na nasa edad na 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang isip sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung magdadagdag ka ng mga pares ng mga numero na matatagpuan sa mga gilid ng sequence, palagi kang nakakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100 / 2), kung gayon upang makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.
Halimbawa #6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m
Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang mga sumusunod: binigyan ng isang serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14.
Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi sapat na matrabaho. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.
Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng isang algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Dahil n > m, halatang kasama sa 2 sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito, at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), pagkatapos ay makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.
Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman ng expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago mo simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekumenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang gusto mong hanapin, at pagkatapos lamang magpatuloy sa solusyon.
Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng aritmetika na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang gawain sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).
Kung may mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika, nalaman. Kapag naisip mo na, hindi na ito mahirap.
Ang matematika ay may sariling kagandahan, tulad ng pagpipinta at tula.
Russian scientist, mekaniko N.E. Zhukovsky
Ang mga karaniwang gawain sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika ay mga gawaing nauugnay sa konsepto ng isang pag-unlad ng aritmetika. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, kinakailangan na malaman ang mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang mga kasanayan sa kanilang aplikasyon.
Alalahanin muna natin ang mga pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika at ipakita ang pinakamahalagang mga formula, nauugnay sa konseptong ito.
Kahulugan. Numeric na pagkakasunud-sunod, kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng parehong bilang, tinatawag na arithmetic progression. Kasabay nito, ang bilangay tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.
Para sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang mga formula ay wasto
, (1)
saan . Ang pormula (1) ay tinatawag na pormula ng karaniwang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, at ang pormula (2) ay ang pangunahing pag-aari ng isang pag-unlad ng aritmetika: ang bawat miyembro ng pag-unlad ay nag-tutugma sa mean ng aritmetika ng mga kalapit na miyembro nito at .
Tandaan na ito ay tiyak na dahil sa pag-aari na ito na ang pag-unlad na isinasaalang-alang ay tinatawag na "aritmetika".
Ang mga pormula (1) at (2) sa itaas ay buod tulad ng sumusunod:
(3)
Upang kalkulahin ang kabuuan una mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetikakaraniwang ginagamit ang formula
(5) saan at .
Kung isasaalang-alang natin ang formula (1), kung gayon ang formula (5) ay nagpapahiwatig
Kung italaga natin
saan . Dahil ang , kung gayon ang mga formula (7) at (8) ay isang paglalahat ng mga katumbas na formula (5) at (6).
Sa partikular, mula sa formula (5) ito ay sumusunod, Ano
Kabilang sa hindi gaanong kilala sa karamihan ng mga mag-aaral ay ang pag-aari ng isang pag-unlad ng aritmetika, na binuo sa pamamagitan ng sumusunod na teorama.
Teorama. Kung , kung gayon
Patunay. Kung , kung gayon
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa , gamit ang theorem, maaari itong ipakita na
Lumipat tayo sa pagsasaalang-alang ng mga tipikal na halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Arithmetic progression".
Halimbawa 1 Hayaan at . Hanapin ang .
Solusyon. Sa paglalapat ng formula (6), nakukuha natin ang . Simula at , noon o .
Halimbawa 2 Hayaan ng tatlong beses na higit pa, at kapag hinahati sa kusyente, lumalabas na 2 at ang natitira ay 8. Tukuyin at.
Solusyon. Ang sistema ng mga equation ay sumusunod mula sa kondisyon ng halimbawa
Dahil , , at , pagkatapos ay mula sa sistema ng mga equation (10) makuha natin
Ang solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay at .
Halimbawa 3 Hanapin kung at .
Solusyon. Ayon sa formula (5), mayroon tayong o . Gayunpaman, gamit ang ari-arian (9), nakukuha namin ang .
Dahil at , pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay sumusunod ang equation o .
Halimbawa 4 Hanapin kung .
Solusyon.Sa pamamagitan ng formula (5) mayroon tayo
Gayunpaman, gamit ang teorama, maaaring magsulat ang isa
Mula dito at mula sa formula (11) nakukuha natin ang .
Halimbawa 5. Ibinigay: . Hanapin ang .
Solusyon. Simula noon . Gayunpaman, samakatuwid.
Halimbawa 6 Hayaan , at . Hanapin ang .
Solusyon. Gamit ang formula (9), nakukuha natin ang . Samakatuwid, kung , pagkatapos o .
Simula at pagkatapos dito mayroon kaming isang sistema ng mga equation
Paglutas ng alin, nakukuha natin at .
Natural na ugat ng equation ay .
Halimbawa 7 Hanapin kung at .
Solusyon. Dahil ayon sa formula (3) mayroon tayo na , kung gayon ang sistema ng mga equation ay sumusunod mula sa kondisyon ng problema
Kung papalitan natin ang expressionsa pangalawang equation ng system, pagkatapos ay makuha natin o .
Ang mga ugat ng quadratic equation ay at .
Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.
1. Hayaan , kung gayon . Simula at , noon .
Sa kasong ito, ayon sa formula (6), mayroon tayo
2. Kung , pagkatapos , at
Sagot: at.
Halimbawa 8 Ito ay kilala na at Hanapin ang .
Solusyon. Isinasaalang-alang ang formula (5) at ang kondisyon ng halimbawa, isinulat namin at .
Ito ay nagpapahiwatig ng sistema ng mga equation
Kung i-multiply natin ang unang equation ng system sa 2, at pagkatapos ay idagdag ito sa pangalawang equation, makukuha natin
Ayon sa formula (9), mayroon tayo. Kaugnay nito, mula sa (12) ito ay sumusunod o .
Simula at , noon .
Sagot: .
Halimbawa 9 Hanapin kung at .
Solusyon. Dahil , at ayon sa kondisyon , pagkatapos o .
Mula sa formula (5) ito ay kilala, Ano . Simula noon .
Dahil dito, dito mayroon tayong sistema ng mga linear equation
Mula dito nakukuha natin at . Isinasaalang-alang ang formula (8), isinusulat namin ang .
Halimbawa 10 Lutasin ang equation.
Solusyon. Ito ay sumusunod mula sa ibinigay na equation na . Ipagpalagay natin na , , at . Sa kasong ito.
Ayon sa formula (1), maaari tayong sumulat o .
Dahil , ang equation (13) ay may natatanging angkop na ugat .
Halimbawa 11. Hanapin ang maximum na halaga na ibinigay na at .
Solusyon. Dahil , pagkatapos ay bumababa ang itinuturing na pag-unlad ng aritmetika. Sa pagsasaalang-alang na ito, ang expression ay tumatagal ng isang maximum na halaga kapag ito ay ang bilang ng minimum na positibong miyembro ng progression.
Gumagamit kami ng formula (1) at ang katotohanan, alin at . Pagkatapos makuha namin iyon o .
Dahil , pagkatapos o . Gayunpaman, sa hindi pagkakapantay-pantay na itopinakamalaking natural na numero, kaya naman .
Kung ang mga halaga, at pinapalitan sa formula (6), pagkatapos ay makuha namin .
Sagot: .
Halimbawa 12. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na natural na mga numero na, kapag hinati sa 6, ay may natitirang 5.
Solusyon. Tukuyin sa pamamagitan ng set ng lahat ng dalawang-valued na natural na numero, i.e. . Susunod, bumuo kami ng isang subset na binubuo ng mga elementong iyon (mga numero) ng set na, kapag hinati sa numero 6, ay nagbibigay ng natitirang 5.
Madaling i-install, Ano . Obviously, na ang mga elemento ng setbumuo ng isang pag-unlad ng aritmetika, kung saan at .
Upang matukoy ang cardinality (bilang ng mga elemento) ng set, ipinapalagay namin na . Since and , then formula (1) implies or . Isinasaalang-alang ang formula (5), nakukuha namin ang .
Ang mga halimbawa sa itaas ng paglutas ng mga problema ay hindi maaaring sabihin na kumpleto. Ang artikulong ito ay isinulat batay sa isang pagsusuri ng mga modernong pamamaraan para sa paglutas ng mga tipikal na problema sa isang partikular na paksa. Para sa isang mas malalim na pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema na may kaugnayan sa pag-unlad ng aritmetika, ipinapayong sumangguni sa listahan ng mga inirerekomendang literatura.
1. Koleksyon ng mga gawain sa matematika para sa mga aplikante sa mga teknikal na unibersidad / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Mundo at Edukasyon, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: karagdagang mga seksyon ng kurikulum ng paaralan. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medynsky M.M. Isang kumpletong kurso ng elementarya na matematika sa mga gawain at pagsasanay. Aklat 2: Mga Pagkakasunud-sunod ng Numero at Pag-unlad. – M.: Editus, 2015. - 208 p.
May tanong ka ba?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Ano ang kakanyahan ng formula?
Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman SA NUMERO NIYA" n" .
Siyempre, kailangan mong malaman ang unang termino a 1 at pagkakaiba sa pag-unlad d, mabuti, kung wala ang mga parameter na ito, hindi mo maisusulat ang isang partikular na pag-unlad.
Hindi sapat na kabisaduhin (o dayain) ang formula na ito. Kinakailangang i-assimilate ang kakanyahan nito at ilapat ang formula sa iba't ibang problema. Oo, at huwag kalimutan sa tamang oras, oo ...) Paano huwag kalimutan- Hindi ko alam. Pero paano maalala Kung kinakailangan, bibigyan kita ng pahiwatig. Para sa mga nakakabisado ng aralin hanggang sa wakas.)
Kaya, harapin natin ang formula ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.
Ano ang isang pormula sa pangkalahatan - iniisip natin.) Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika, isang numero ng miyembro, isang pagkakaiba sa pag-unlad - ay malinaw na nakasaad sa nakaraang aralin. Tingnan mo kung hindi mo pa nababasa. Simple lang ang lahat doon. Ito ay nananatiling upang malaman kung ano ika-1 miyembro.
Ang pag-unlad sa pangkalahatan ay maaaring isulat bilang isang serye ng mga numero:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- nagsasaad ng unang termino ng isang pag-unlad ng aritmetika, a 3- ikatlong miyembro a 4- pang-apat, at iba pa. Kung interesado tayo sa ikalimang termino, sabihin nating nakikipagtulungan tayo isang 5, kung isang daan at dalawampu - mula sa isang 120.
Paano tukuyin sa pangkalahatan anuman miyembro ng isang arithmetic progression, s anuman numero? Napakasimple! Ganito:
isang n
Iyon na iyon n-th miyembro ng isang arithmetic progression. Sa ilalim ng letrang n lahat ng bilang ng mga miyembro ay nakatago nang sabay-sabay: 1, 2, 3, 4, at iba pa.
At ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Isipin na lang, sa halip na isang numero, nagsulat sila ng isang liham ...
Ang notasyong ito ay nagbibigay sa amin ng isang mahusay na tool para sa pagtatrabaho sa mga pag-unlad ng aritmetika. Gamit ang notasyon isang n, mabilis nating mahahanap anuman miyembro anuman pag-unlad ng aritmetika. At isang grupo ng mga gawain upang malutas sa pagpapatuloy. Makikita mo pa.
Sa formula ng ika-na miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ang unang miyembro ng arithmetic progression;
n- numero ng miyembro.
Iniuugnay ng formula ang mga pangunahing parameter ng anumang pag-unlad: a n ; isang 1; d at n. Sa paligid ng mga parameter na ito, ang lahat ng mga puzzle ay umiikot sa pagpapatuloy.
Ang nth term formula ay maaari ding gamitin upang magsulat ng isang tiyak na pag-unlad. Halimbawa, sa problema masasabi na ang pag-unlad ay ibinibigay ng kondisyon:
a n = 5 + (n-1) 2.
Ang ganitong problema ay maaaring kahit na malito ... Walang serye, walang pagkakaiba ... Ngunit, paghahambing ng kondisyon sa formula, madaling malaman na sa pag-unlad na ito isang 1 \u003d 5, at d \u003d 2.
At maaari itong maging mas galit!) Kung gagawin natin ang parehong kondisyon: a n = 5 + (n-1) 2, oo, buksan ang mga bracket at bigyan ang mga katulad nito? Kumuha kami ng bagong formula:
isang = 3 + 2n.
ito Tanging hindi pangkalahatan, ngunit para sa isang tiyak na pag-unlad. Dito nakasalalay ang patibong. Iniisip ng ilang tao na ang unang termino ay tatlo. Bagaman sa katotohanan ang unang miyembro ay isang limang ... Medyo mas mababa kami ay gagana sa tulad ng isang binagong formula.
Sa mga gawain para sa pag-unlad, mayroong isa pang notasyon - isang n+1. Ito ay, nahulaan mo, ang "n plus ang unang" termino ng pag-unlad. Ang kahulugan nito ay simple at hindi nakakapinsala.) Ito ay isang miyembro ng pag-unlad, ang bilang nito ay mas malaki kaysa sa bilang n ng isa. Halimbawa, kung sa ilang problema ay kinukuha natin isang n ikalimang termino, pagkatapos isang n+1 magiging ikaanim na miyembro. atbp.
Kadalasan ang pagtatalaga isang n+1 nangyayari sa recursive formula. Huwag matakot sa kakila-kilabot na salitang ito!) Ito ay isang paraan lamang ng pagpapahayag ng termino ng isang pag-unlad ng aritmetika sa pamamagitan ng nauna. Ipagpalagay na binigyan tayo ng isang pag-unlad ng aritmetika sa form na ito, gamit ang paulit-ulit na formula:
isang n+1 = isang n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Ang ikaapat - hanggang sa ikatlo, ang ikalima - hanggang sa ikaapat, at iba pa. At kung paano magbilang kaagad, sabihin ang ikadalawampung termino, isang 20? Pero hindi pwede!) Habang hindi alam ang ika-19 na termino, hindi mabibilang ang ika-20. Ito ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng recursive formula at ang formula ng ika-n term. Gumagana lamang ang recursive sa pamamagitan ng dati termino, at ang pormula ng ika-n termino - sa pamamagitan ng ang una at nagpapahintulot kaagad maghanap ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Hindi binibilang ang buong serye ng mga numero sa pagkakasunud-sunod.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang isang recursive na formula ay madaling gawing regular. Bilangin ang isang pares ng magkakasunod na termino, kalkulahin ang pagkakaiba d, hanapin, kung kinakailangan, ang unang termino a 1, isulat ang formula sa karaniwang anyo, at gawin ito. Sa GIA, madalas na matatagpuan ang mga ganitong gawain.
Application ng formula ng n-th na miyembro ng isang arithmetic progression.
Una, tingnan natin ang direktang aplikasyon ng formula. Sa pagtatapos ng nakaraang aralin ay nagkaroon ng problema:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
Ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula, batay lamang sa kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika. Idagdag, oo idagdag ... Isang oras o dalawa.)
At ayon sa formula, ang solusyon ay tatagal ng mas mababa sa isang minuto. You can time it.) We decide.
Ang mga kundisyon ay nagbibigay ng lahat ng data para sa paggamit ng formula: isang 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ito ay nananatiling upang makita kung ano n. Walang problema! Kailangan nating maghanap isang 121. Dito kami sumulat:
Mangyaring bigyang-pansin! Sa halip na isang index n lumitaw ang isang tiyak na numero: 121. Na medyo lohikal.) Interesado kami sa miyembro ng pag-unlad ng aritmetika bilang isang daan dalawampu't isa. Ito ang magiging atin n. Ito ang kahulugang ito n= 121 papalitan pa natin ang formula, sa mga bracket. Palitan ang lahat ng mga numero sa formula at kalkulahin:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Hanggang dito na lang. Kung gaano kabilis mahahanap ng isa ang limang daan at ikasampung miyembro, at ang libo at pangatlo, kahit sino. Inilagay namin sa halip n ang nais na numero sa index ng titik " a" at sa mga bracket, at isinasaalang-alang namin.
Hayaan akong ipaalala sa iyo ang kakanyahan: ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap anuman termino ng isang pag-unlad ng aritmetika SA NUMERO NIYA" n" .
Mas matalinong lutasin natin ang problema. Sabihin nating mayroon tayong sumusunod na problema:
Hanapin ang unang termino ng arithmetic progression (a n) kung a 17 =-2; d=-0.5.
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, imumungkahi ko ang unang hakbang. Isulat ang formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic! Oo Oo. Magsulat ng kamay, sa iyong kuwaderno:
| a n = a 1 + (n-1)d |
At ngayon, tinitingnan ang mga titik ng formula, naiintindihan namin kung anong data ang mayroon kami at kung ano ang nawawala? Available d=-0.5, may ikalabing pitong miyembro ... Lahat? Kung sa tingin mo iyon lang, hindi mo malulutas ang problema, oo ...
May number din kami n! Sa kondisyon isang 17 =-2 nakatago dalawang pagpipilian. Ito ay parehong halaga ng ikalabing pitong miyembro (-2) at ang bilang nito (17). Yung. n=17. Ang "maliit na bagay" na ito ay madalas na dumaan sa ulo, at kung wala ito, (nang walang "maliit na bagay", hindi ang ulo!) Ang problema ay hindi malulutas. Bagaman ... at walang ulo din.)
Ngayon ay maaari lamang nating palitan ang ating data sa formula:
isang 17 \u003d isang 1 + (17-1) (-0.5)
oo, isang 17 alam namin na -2. Okay, ilagay natin ito sa:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Iyon, sa esensya, ay lahat. Ito ay nananatiling ipahayag ang unang termino ng pag-unlad ng aritmetika mula sa formula, at kalkulahin. Makukuha mo ang sagot: a 1 = 6.
Ang ganitong pamamaraan - pagsulat ng isang formula at simpleng pagpapalit ng kilalang data - ay nakakatulong nang malaki sa mga simpleng gawain. Well, kailangan mo, siyempre, makapagpahayag ng isang variable mula sa isang formula, ngunit ano ang gagawin!? Kung wala ang kasanayang ito, ang matematika ay hindi maaaring pag-aralan sa lahat ...
Isa pang tanyag na problema:
Hanapin ang pagkakaiba ng arithmetic progression (a n) kung a 1 =2; a 15 =12.
Anong gagawin natin? Magugulat ka, sinusulat namin ang formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Isaalang-alang ang alam natin: a 1 =2; a 15 =12; at (espesyal na highlight!) n=15. Huwag mag-atubiling palitan sa formula:
12=2 + (15-1)d
Gawin natin ang aritmetika.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ito ang tamang sagot.
Kaya, mga gawain isang n, isang 1 at d nagpasya. Ito ay nananatiling matutunan kung paano hanapin ang numero:
Ang bilang na 99 ay isang miyembro ng isang arithmetic progression (a n), kung saan a 1 =12; d=3. Hanapin ang numero ng miyembrong ito.
Pinapalitan namin ang mga kilalang dami sa formula ng ika-n na termino:
a n = 12 + (n-1) 3
Sa unang sulyap, mayroong dalawang hindi kilalang dami dito: a n at n. Pero isang n ay ilang miyembro ng progression na may numero n... At ang miyembrong ito ng pag-unlad ay kilala natin! It's 99. Hindi namin alam ang number niya. n, kaya kailangan ding mahanap ang numerong ito. Palitan ang termino ng pag-usad 99 sa formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Nagpapahayag kami mula sa formula n, sa tingin namin. Nakukuha namin ang sagot: n=30.
At ngayon ay isang problema sa parehong paksa, ngunit mas malikhain):
Tukuyin kung ang bilang na 117 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Isulat natin muli ang formula. Ano, walang mga pagpipilian? Hm... Bakit kailangan natin ng mata?) Nakikita ba natin ang unang miyembro ng progression? Nakikita namin. Ito ay -3.6. Maaari mong ligtas na magsulat: isang 1 \u003d -3.6. Pagkakaiba d maaaring matukoy mula sa serye? Madali kung alam mo kung ano ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Oo, ginawa namin ang pinakasimpleng bagay. Ito ay nananatiling humarap sa isang hindi kilalang numero n at isang hindi maintindihan na numero 117. Sa nakaraang problema, hindi bababa sa ito ay kilala na ito ay ang termino ng pag-unlad na ibinigay. Ngunit dito hindi natin alam na ... How to be!? Well, how to be, how to be... I-on ang iyong mga creative na kakayahan!)
Kami kunwari na ang 117 ay, pagkatapos ng lahat, isang miyembro ng ating pag-unlad. Sa unknown number n. At, tulad ng sa nakaraang problema, subukan nating hanapin ang numerong ito. Yung. isinusulat namin ang formula (oo-oo!)) at palitan ang aming mga numero:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Muli naming ipinapahayag mula sa formulan, binibilang namin at nakukuha namin:
Oops! Ang dami pala fractional! Isang daan at isa't kalahati. At mga fractional na numero sa mga progressions Hindi maaaring. Anong konklusyon ang gagawin natin? Oo! Numero 117 ay hindi miyembro ng ating pag-unlad. Ito ay nasa pagitan ng ika-101 at ika-102 na miyembro. Kung ang numero ay naging natural, i.e. positive integer, kung gayon ang numero ay magiging miyembro ng progression na may nakitang numero. At sa aming kaso, ang sagot sa problema ay: hindi.
Gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:
isang n \u003d -4 + 6.8n
Hanapin ang una at ikasampung termino ng progression.
Dito nakatakda ang pag-unlad sa isang hindi pangkaraniwang paraan. Ilang uri ng formula ... Nangyayari ito.) Gayunpaman, ang formula na ito (tulad ng isinulat ko sa itaas) - din ang formula ng n-th miyembro ng isang arithmetic progression! Pinapayagan din niya hanapin ang sinumang miyembro ng progression ayon sa numero nito.
Hinahanap namin ang unang miyembro. Ang nag-iisip. na ang unang termino ay minus apat, ay fatally nagkakamali!) Dahil ang formula sa problema ay binago. Ang unang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic dito nakatago. Wala, hahanapin natin ngayon.)
Tulad ng sa mga nakaraang gawain, pinapalitan namin n=1 sa formula na ito:
isang 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Dito! Ang unang termino ay 2.8, hindi -4!
Katulad nito, hinahanap namin ang ikasampung termino:
isang 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Hanggang dito na lang.
At ngayon, para sa mga nakabasa hanggang sa mga linyang ito, ang ipinangakong bonus.)
Ipagpalagay, sa isang mahirap na sitwasyon ng labanan ng GIA o ang Pinag-isang Estado na Pagsusulit, nakalimutan mo ang kapaki-pakinabang na pormula ng n-th miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. May pumapasok sa isip, ngunit sa paanuman ay hindi tiyak ... Kung n doon, o n+1, o n-1... Paano maging!?
Kalmado! Ang formula na ito ay madaling makuha. Hindi masyadong mahigpit, ngunit tiyak na sapat para sa kumpiyansa at tamang desisyon!) Para sa konklusyon, sapat na upang matandaan ang elementarya na kahulugan ng pag-unlad ng aritmetika at magkaroon ng ilang minuto ng oras. Kailangan mo lang gumuhit ng larawan. Para sa kaliwanagan.
Gumuhit kami ng isang numerical axis at markahan ang una dito. pangalawa, pangatlo, atbp. mga miyembro. At tandaan ang pagkakaiba d sa pagitan ng mga miyembro. Ganito:
Tinitingnan namin ang larawan at iniisip: ano ang katumbas ng ikalawang termino? Pangalawa isa d:
a 2 =a 1 + 1 d
Ano ang ikatlong termino? Pangatlo termino ay katumbas ng unang termino plus dalawa d.
a 3 =a 1 + 2 d
Nakuha mo ba? Hindi ako naglalagay ng ilang mga salita sa bold para sa wala. Okay, isang hakbang pa.)
Ano ang ikaapat na termino? Pang-apat termino ay katumbas ng unang termino plus tatlo d.
a 4 =a 1 + 3 d
Panahon na upang mapagtanto na ang bilang ng mga puwang, i.e. d, palagi mas mababa ng isa sa numero ng miyembrong hinahanap mo n. Ibig sabihin, hanggang sa bilang n, bilang ng mga puwang magiging n-1. Kaya, ang formula ay magiging (walang mga pagpipilian!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Sa pangkalahatan, ang mga visual na larawan ay nakakatulong sa paglutas ng maraming problema sa matematika. Huwag pabayaan ang mga larawan. Ngunit kung mahirap gumuhit ng isang larawan, kung gayon ... isang pormula lamang!) Bilang karagdagan, ang formula ng nth term ay nagbibigay-daan sa iyo upang ikonekta ang buong malakas na arsenal ng matematika sa solusyon - mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema, atbp. Hindi ka maaaring maglagay ng larawan sa isang equation...
Mga gawain para sa malayang desisyon.
Para sa warm-up:
1. Sa arithmetic progression (a n) a 2 =3; isang 5 \u003d 5.1. Maghanap ng 3.
Hint: ayon sa larawan, ang problema ay nalutas sa loob ng 20 segundo ... Ayon sa formula, ito ay nagiging mas mahirap. Ngunit para sa mastering ang formula, ito ay mas kapaki-pakinabang.) Sa Seksyon 555, ang problemang ito ay malulutas pareho ng larawan at ng formula. Pakiramdaman ang pagkakaiba!)
At hindi na ito isang warm-up.)
2. Sa arithmetic progression (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Humanap ng 3 .
Ano, pag-aatubili na gumuhit ng larawan?) Pa! Mas maganda sa formula, oo...
3. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon:isang 1 \u003d -5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang isang daan at dalawampu't limang termino ng pag-unlad na ito.
Sa gawaing ito, ang pag-unlad ay ibinibigay sa isang paulit-ulit na paraan. Ngunit ang pagbibilang hanggang sa isang daan at dalawampu't limang termino... Hindi lahat ay makakagawa ng ganoong gawain.) Ngunit ang pormula ng ika-10 termino ay nasa kapangyarihan ng lahat!
4. Dahil sa pag-unlad ng arithmetic (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Hanapin ang bilang ng pinakamaliit na positibong termino ng progression.
5. Ayon sa kondisyon ng gawain 4, hanapin ang kabuuan ng pinakamaliit na positibo at pinakamalaking negatibong miyembro ng pag-unlad.
6. Ang produkto ng ikalima at ikalabindalawang termino ng pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika ay -2.5, at ang kabuuan ng ikatlo at ikalabing-isang termino ay zero. Maghanap ng 14 .
Hindi ang pinakamadaling gawain, oo ...) Dito ang paraan "sa mga daliri" ay hindi gagana. Kailangan mong magsulat ng mga formula at lutasin ang mga equation.
Mga sagot (magulo):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Nangyari? Maayos!)
Hindi ba gumagana ang lahat? Nangyayari ito. Sa pamamagitan ng paraan, sa huling gawain mayroong isang banayad na punto. Ang pagiging maasikaso kapag binabasa ang problema ay kinakailangan. At lohika.
Ang solusyon sa lahat ng mga problemang ito ay tinalakay nang detalyado sa Seksyon 555. At ang elemento ng pantasya para sa ikaapat, at ang banayad na sandali para sa ikaanim, at pangkalahatang mga diskarte para sa paglutas ng anumang mga problema para sa formula ng ika-10 termino - lahat ay pininturahan. Nirerekomenda ko.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika.
Ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng bagay. Parehong sa kahulugan at sa formula. Ngunit mayroong lahat ng uri ng mga gawain sa paksang ito. Mula elementary hanggang medyo solid.
Una, harapin natin ang kahulugan at pormula ng kabuuan. At pagkatapos ay magdedesisyon tayo. Para sa iyong sariling kasiyahan.) Ang kahulugan ng kabuuan ay kasing simple ng lowing. Upang mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, kailangan mo lamang na maingat na idagdag ang lahat ng mga miyembro nito. Kung kakaunti ang mga terminong ito, maaari kang magdagdag nang walang anumang mga formula. Ngunit kung marami, o marami ... nakakainis ang karagdagan.) Sa kasong ito, nakakatipid ang formula.
Ang sum formula ay simple:
Alamin natin kung anong uri ng mga titik ang kasama sa formula. Ito ay lilinaw ng marami.
S n ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Resulta ng karagdagan lahat mga miyembro, kasama ang una sa huli. Ito ay mahalaga. Idagdag nang eksakto lahat mga miyembro sa isang hilera, walang gaps at jumps. At, eksakto, simula sa una. Sa mga problema tulad ng paghahanap ng kabuuan ng ikatlo at ikawalong termino, o ang kabuuan ng mga terminong lima hanggang ikadalawampu, ang direktang paggamit ng pormula ay magiging disappointing.)
a 1 - ang una miyembro ng progreso. Ang lahat ay malinaw dito, ito ay simple una numero ng hilera.
isang n- huli miyembro ng progreso. Ang huling numero ng row. Hindi masyadong pamilyar na pangalan, ngunit, kapag inilapat sa halaga, ito ay napaka-angkop. Pagkatapos ay makikita mo para sa iyong sarili.
n ay ang numero ng huling miyembro. Mahalagang maunawaan na sa formula ang numerong ito tumutugma sa bilang ng mga idinagdag na termino.
Tukuyin natin ang konsepto huli miyembro isang n. Pagpuno ng tanong: anong uri ng miyembro ang gagawin huling, kung ibibigay walang katapusan pag-unlad ng aritmetika?
Para sa isang tiwala na sagot, kailangan mong maunawaan ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ... basahin nang mabuti ang takdang-aralin!)
Sa gawain ng paghahanap ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang huling termino ay palaging lilitaw (direkta o hindi direkta), na dapat ay limitado. Kung hindi, isang may hangganan, tiyak na halaga wala lang. Para sa solusyon, hindi mahalaga kung anong uri ng pag-unlad ang ibinigay: may hangganan o walang katapusan. Hindi mahalaga kung paano ito ibinigay: sa pamamagitan ng isang serye ng mga numero, o sa pamamagitan ng formula ng ika-na miyembro.
Ang pinakamahalagang bagay ay upang maunawaan na ang formula ay gumagana mula sa unang termino ng pag-unlad hanggang sa terminong may numero n. Sa totoo lang, ganito ang buong pangalan ng formula: ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang bilang ng mga pinakaunang miyembro na ito, i.e. n, ay tinutukoy lamang ng gawain. Sa gawain, ang lahat ng mahalagang impormasyong ito ay madalas na naka-encrypt, oo ... Ngunit wala, sa mga halimbawa sa ibaba ay ibubunyag namin ang mga lihim na ito.)
Mga halimbawa ng mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.
Una sa lahat, kapaki-pakinabang na impormasyon:
Ang pangunahing kahirapan sa mga gawain para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang tamang pagpapasiya ng mga elemento ng formula.
Ini-encrypt ng mga may-akda ng mga takdang-aralin ang mismong mga elementong ito na may walang hangganang imahinasyon.) Ang pangunahing bagay dito ay huwag matakot. Ang pag-unawa sa kakanyahan ng mga elemento, sapat na upang maunawaan ang mga ito. Tingnan natin ang ilang mga halimbawa nang detalyado. Magsimula tayo sa isang gawain batay sa isang tunay na GIA.
1. Ang arithmetic progression ay ibinibigay ng kondisyon: a n = 2n-3.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 10 termino.
Magaling. Madali.) Upang matukoy ang halaga ayon sa pormula, ano ang kailangan nating malaman? Unang miyembro a 1, huling termino isang n, oo ang bilang ng huling termino n.
Kung saan makukuha ang huling numero ng miyembro n? Oo, sa parehong lugar, sa kondisyon! Sinasabi nito na hanapin ang kabuuan unang 10 miyembro. Aba, anong numero ito huling, ikasampung miyembro?) Hindi ka maniniwala, ang kanyang numero ay ikasampu!) Samakatuwid, sa halip na isang n papalitan natin sa formula isang 10, ngunit sa halip n- sampu. Muli, ang bilang ng huling miyembro ay kapareho ng bilang ng mga miyembro.
Ito ay nananatiling upang matukoy a 1 at isang 10. Ito ay madaling kalkulahin sa pamamagitan ng formula ng nth term, na ibinigay sa pahayag ng problema. Hindi alam kung paano gawin ito? Bisitahin ang nakaraang aralin, nang wala ito - wala.
a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5
isang 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
S n = S 10.
Nalaman namin ang kahulugan ng lahat ng elemento ng formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic. Ito ay nananatiling palitan ang mga ito, at bilangin:
Hanggang dito na lang. Sagot: 75.
Isa pang gawain batay sa GIA. Medyo mas kumplikado:
2. Dahil sa pag-unlad ng aritmetika (a n), ang pagkakaiba nito ay 3.7; isang 1 \u003d 2.3. Hanapin ang kabuuan ng unang 15 termino.
Agad naming isinulat ang sum formula:
Ang formula na ito ay nagpapahintulot sa amin na mahanap ang halaga ng sinumang miyembro sa pamamagitan ng numero nito. Naghahanap kami ng isang simpleng kapalit:
isang 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
Ito ay nananatiling palitan ang lahat ng mga elemento sa formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic at kalkulahin ang sagot:
Sagot: 423.
Sa pamamagitan ng paraan, kung sa sum formula sa halip ng isang n palitan lamang ang formula ng ika-n na termino, makukuha natin:
Nagbibigay kami ng mga katulad, nakakakuha kami ng bagong formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang pag-unlad ng arithmetic:
 |
Tulad ng nakikita mo, ang ika-1 na termino ay hindi kinakailangan dito. isang n. Sa ilang mga gawain, ang formula na ito ay nakakatulong nang malaki, oo ... Maaalala mo ang formula na ito. At maaari mo lamang itong bawiin sa tamang oras, tulad ng dito. Pagkatapos ng lahat, ang pormula para sa kabuuan at ang pormula para sa ika-n na termino ay dapat tandaan sa lahat ng paraan.)
Ngayon ang gawain sa anyo ng isang maikling pag-encrypt):
3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong dalawang-digit na numero na mga multiple ng tatlo.
Paano! Walang unang miyembro, walang huli, walang pag-unlad... Paano mabuhay!?
Kailangan mong mag-isip gamit ang iyong ulo at bunutin mula sa kondisyon ang lahat ng mga elemento ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ano ang dalawang-digit na numero - alam natin. Binubuo ang mga ito ng dalawang numero.) What two-digit number will una? 10, siguro.) huling bagay dalawang digit na numero? 99, siyempre! Susundan siya ng mga tatlong-digit ...
Multiples of three... Hm... Ito ang mga numero na pantay na nahahati ng tatlo, narito! Ang sampu ay hindi nahahati sa tatlo, 11 ay hindi nahahati... 12... ay nahahati! Kaya, may umuusbong. Maaari ka nang magsulat ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Magiging arithmetic progression ba ang seryeng ito? Syempre! Ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna nang mahigpit na tatlo. Kung 2, o 4, ay idinagdag sa termino, sabihin, ang resulta, i.e. ang isang bagong numero ay hindi na mahahati sa 3. Maaari mong agad na matukoy ang pagkakaiba ng pag-unlad ng arithmetic sa heap: d = 3. Kapaki-pakinabang!)
Kaya, maaari naming ligtas na isulat ang ilang mga parameter ng pag-unlad:
Ano ang magiging numero n huling miyembro? Ang sinumang mag-aakalang 99 ay maling nagkakamali ... Mga Numero - palagi silang magkakasunod, at ang aming mga miyembro ay tumalon sa nangungunang tatlo. Hindi sila magkatugma.
Mayroong dalawang solusyon dito. Ang isang paraan ay para sa sobrang masipag. Maaari mong ipinta ang pag-unlad, ang buong serye ng mga numero, at bilangin ang bilang ng mga termino gamit ang iyong daliri.) Ang pangalawang paraan ay para sa maalalahanin. Kailangan mong tandaan ang pormula para sa ika-n na termino. Kung ang formula ay inilapat sa aming problema, makuha namin na ang 99 ay ang ika-tatlumpung miyembro ng pag-unlad. Yung. n = 30.
Tinitingnan namin ang formula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic:
Tumingin kami at nagagalak.) Inilabas namin ang lahat ng kailangan para sa pagkalkula ng halaga mula sa kondisyon ng problema:
a 1= 12.
isang 30= 99.
S n = S 30.
Ang natitira ay elementarya arithmetic. Palitan ang mga numero sa formula at kalkulahin:
Sagot: 1665
Isa pang uri ng mga sikat na puzzle:
4. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa ikadalawampu hanggang tatlumpu't apat.
Tinitingnan namin ang sum formula at ... kami ay nabalisa.) Ang formula, hayaan mo akong ipaalala sa iyo, kinakalkula ang kabuuan mula sa una miyembro. At sa problema kailangan mong kalkulahin ang kabuuan mula noong ikadalawampu... Hindi gagana ang formula.
Maaari mong, siyempre, ipinta ang buong pag-unlad nang sunud-sunod, at ilagay ang mga miyembro mula 20 hanggang 34. Ngunit ...
May mas eleganteng solusyon. Hatiin natin ang ating serye sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay mula sa unang termino hanggang sa ikalabinsiyam. Ang ikalawang bahagi - dalawampu't tatlumpu't apat. Malinaw na kung kalkulahin natin ang kabuuan ng mga tuntunin ng unang bahagi S 1-19, idagdag natin ito sa kabuuan ng mga miyembro ng ikalawang bahagi S 20-34, nakukuha natin ang kabuuan ng pag-unlad mula sa unang termino hanggang sa tatlumpu't apat S 1-34. Ganito:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ito ay nagpapakita na upang mahanap ang kabuuan S 20-34 maaaring gawin sa pamamagitan ng simpleng pagbabawas
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Ang parehong mga kabuuan sa kanang bahagi ay isinasaalang-alang mula sa una miyembro, i.e. ang karaniwang sum formula ay lubos na naaangkop sa kanila. Nagsisimula na ba tayo?
Kinukuha namin ang mga parameter ng pag-unlad mula sa kondisyon ng gawain:
d = 1.5.
a 1= -21,5.
Upang kalkulahin ang mga kabuuan ng unang 19 at ang unang 34 na termino, kakailanganin natin ang ika-19 at ika-34 na termino. Binibilang namin ang mga ito ayon sa pormula ng nth term, tulad ng sa problema 2:
isang 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
isang 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
Walang natira. Ibawas ang kabuuan ng 19 na termino mula sa kabuuan ng 34 na termino:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
Sagot: 262.5
Isang mahalagang tala! Mayroong isang napaka-kapaki-pakinabang na tampok sa paglutas ng problemang ito. Sa halip na direktang pagkalkula kung ano ang kailangan mo (S 20-34), binilang namin kung ano, tila, ay hindi kailangan - S 1-19. At pagkatapos ay nagpasiya sila S 20-34, itinatapon ang hindi kailangan mula sa buong resulta. Ang ganitong "pagkukunwari sa mga tainga" ay kadalasang nagliligtas sa masasamang palaisipan.)
Sa araling ito, sinuri namin ang mga problema kung saan sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Well, kailangan mong malaman ang ilang mga formula.)
Praktikal na payo:
Kapag nilulutas ang anumang problema para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, inirerekumenda ko kaagad na isulat ang dalawang pangunahing formula mula sa paksang ito.
Formula ng nth term:
Ang mga formula na ito ay agad na magsasabi sa iyo kung ano ang hahanapin, kung saang direksyon mag-iisip upang malutas ang problema. Tumutulong.
At ngayon ang mga gawain para sa independiyenteng solusyon.
5. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng dalawang-digit na numero na hindi nahahati sa tatlo.
Cool?) Nakatago ang pahiwatig sa tala sa problema 4. Well, makakatulong ang problema 3.
6. Ang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng kondisyon: a 1 =-5.5; isang n+1 = isang n +0.5. Hanapin ang kabuuan ng unang 24 na termino.
Hindi karaniwan?) Ito ay isang paulit-ulit na formula. Maaari mong basahin ang tungkol dito sa nakaraang aralin. Huwag pansinin ang link, ang mga ganitong palaisipan ay madalas na matatagpuan sa GIA.
7. Nag-ipon ng pera si Vasya para sa Holiday. Hanggang 4550 rubles! At nagpasya akong bigyan ang pinakamamahal na tao (ang aking sarili) ng ilang araw ng kaligayahan). Mamuhay nang maganda nang hindi itinatanggi ang iyong sarili. Gumastos ng 500 rubles sa unang araw, at gumastos ng 50 rubles nang higit pa sa bawat kasunod na araw kaysa sa nakaraang araw! Hanggang sa maubos ang pera. Ilang araw ng kaligayahan mayroon si Vasya?
Mahirap ba?) Makakatulong ang karagdagang pormula mula sa gawain 2.
Mga sagot (magulo): 7, 3240, 6.
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
Pansin!
May mga karagdagang
materyal sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga malakas na "hindi masyadong..."
At para sa mga "sobra...")
Ang pag-unlad ng arithmetic ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay mas malaki (o mas kaunti) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong halaga.
Ang paksang ito ay kadalasang mahirap at hindi maintindihan. Ang mga index ng titik, ang ika-1 miyembro ng progression, ang pagkakaiba ng progression - lahat ng ito ay nakakalito, oo ... Alamin natin ang kahulugan ng arithmetic progression at lahat ay gagana kaagad.)
Ang konsepto ng pag-unlad ng aritmetika.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang napakasimple at malinaw na konsepto. Pagdududa? Walang kabuluhan.) Tingnan mo ang iyong sarili.
Magsusulat ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Maaari mo bang pahabain ang linyang ito? Anong mga numero ang susunod, pagkatapos ng lima? Lahat ... uh ..., sa madaling salita, malalaman ng lahat na ang mga numero 6, 7, 8, 9, atbp.
Gawin nating kumplikado ang gawain. Nagbibigay ako ng hindi natapos na serye ng mga numero:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Maaari mong makuha ang pattern, pahabain ang serye, at pangalanan ikapito numero ng hilera?
Kung naisip mo na ang numerong ito ay 20 - binabati kita! Hindi mo lang naramdaman mga pangunahing punto ng pag-unlad ng aritmetika, ngunit matagumpay ding nagamit ang mga ito sa negosyo! Kung hindi mo maintindihan, basahin mo.
Ngayon, isalin natin ang mga pangunahing punto mula sa mga sensasyon sa matematika.)
Unang mahalagang punto.
Ang pag-unlad ng aritmetika ay tumatalakay sa mga serye ng mga numero. Ito ay nakalilito sa una. Nakasanayan na namin ang paglutas ng mga equation, pagbuo ng mga graph at lahat ng iyon ... At pagkatapos ay pahabain ang serye, hanapin ang bilang ng serye ...
ayos lang. Ito ay lamang na ang mga pag-unlad ay ang unang kakilala sa isang bagong sangay ng matematika. Ang seksyon ay tinatawag na "Serye" at gumagana sa mga serye ng mga numero at expression. Masanay ka na.)
Pangalawang pangunahing punto.
Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang anumang numero ay naiiba sa nauna sa parehong halaga.
Sa unang halimbawa, ang pagkakaibang ito ay isa. Anuman ang bilang na kunin mo, ito ay higit pa ng isa kaysa sa nauna. Sa pangalawa - tatlo. Ang anumang numero ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa nauna. Sa totoo lang, ito ang sandaling ito na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na mahuli ang pattern at kalkulahin ang kasunod na mga numero.
Pangatlong pangunahing punto.
Ang sandaling ito ay hindi kapansin-pansin, oo ... Ngunit napaka, napakahalaga. Narito siya: bawat progression number ay nasa lugar nito. Mayroong unang numero, mayroong ikapito, mayroong apatnapu't lima, at iba pa. Kung malito mo sila nang biglaan, mawawala ang pattern. Mawawala din ang arithmetic progression. Ito ay isang serye lamang ng mga numero.
Iyon ang buong punto.
Siyempre, lalabas ang mga bagong termino at notasyon sa bagong paksa. Kailangan nilang malaman. Kung hindi, hindi mo maiintindihan ang gawain. Halimbawa, kailangan mong magpasya tulad ng:
Isulat ang unang anim na termino ng arithmetic progression (a n) kung a 2 = 5, d = -2.5.
Nakaka-inspire ba ito?) Mga liham, ilang mga index... At ang gawain, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi maaaring maging mas madali. Kailangan mo lamang na maunawaan ang kahulugan ng mga termino at notasyon. Ngayon ay pag-uusapan natin ang bagay na ito at babalik sa gawain.
Mga tuntunin at pagtatalaga.
Arithmetic progression ay isang serye ng mga numero kung saan ang bawat numero ay iba sa nauna sa parehong halaga.
Ang halagang ito ay tinatawag . Haharapin natin ang konseptong ito nang mas detalyado.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika ay ang halaga kung saan ang anumang numero ng pag-unlad higit pa ang nauna.
Isang mahalagang punto. Mangyaring bigyang-pansin ang salita "higit pa". Sa matematika, nangangahulugan ito na ang bawat numero ng pag-unlad ay nakuha pagdaragdag ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression sa nakaraang numero.
Upang makalkula, sabihin natin pangalawa mga numero ng hilera, ito ay kinakailangan upang una numero idagdag ang mismong pagkakaibang ito ng isang pag-unlad ng aritmetika. Para sa pagkalkula panglima- kailangan ang pagkakaiba idagdag sa pang-apat mabuti, atbp.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika maaaring positibo pagkatapos ang bawat numero ng serye ay magiging totoo higit pa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag dumarami. Halimbawa:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Narito ang bawat numero pagdaragdag positibong numero, +5 sa nauna.
Ang pagkakaiba ay maaaring negatibo pagkatapos ay ang bawat numero sa serye ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Ang pag-unlad na ito ay tinatawag na (hindi ka maniniwala!) bumababa.
Halimbawa:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Dito nakuha din ang bawat numero pagdaragdag sa dati, ngunit negatibong numero na, -5.
Sa pamamagitan ng paraan, kapag nagtatrabaho sa isang pag-unlad, ito ay lubhang kapaki-pakinabang upang agad na matukoy ang kalikasan nito - kung ito ay tumataas o bumababa. Malaki ang naitutulong upang mahanap ang iyong mga paniniwala sa desisyon, upang matukoy ang iyong mga pagkakamali at itama ang mga ito bago maging huli ang lahat.
Pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika karaniwang tinutukoy ng titik d.
Paano hanapin d? Napakasimple. Ito ay kinakailangan upang ibawas mula sa anumang bilang ng mga serye dati numero. Ibawas. Sa pamamagitan ng paraan, ang resulta ng pagbabawas ay tinatawag na "pagkakaiba".)
Tukuyin natin, halimbawa, d para sa pagtaas ng pag-unlad ng aritmetika:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kinukuha namin ang anumang numero ng row na gusto namin, halimbawa, 11. Ibawas dito ang dating numero mga. walo:
Ito ang tamang sagot. Para sa pag-unlad ng arithmetic na ito, ang pagkakaiba ay tatlo.
Maaari mo lamang kunin anumang bilang ng mga pag-unlad, kasi para sa isang tiyak na pag-unlad d-palaging pareho. Kahit saan sa simula ng row, kahit sa gitna, kahit saan. Hindi mo maaaring kunin lamang ang pinakaunang numero. Dahil lang sa pinakaunang numero walang nauna.)
Sa pamamagitan ng paraan, alam iyon d=3, ang paghahanap ng ikapitong numero ng pag-unlad na ito ay napakasimple. Nagdaragdag kami ng 3 sa ikalimang numero - nakukuha namin ang ikaanim, ito ay magiging 17. Nagdaragdag kami ng tatlo sa ikaanim na numero, nakuha namin ang ikapitong numero - dalawampu't.
Tukuyin natin d para sa isang bumababang pag-unlad ng aritmetika:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ipinaaalala ko sa iyo na, anuman ang mga palatandaan, upang matukoy d kailangan mula sa anumang numero tanggalin ang nauna. Pinipili namin ang anumang bilang ng pag-unlad, halimbawa -7. Ang dati niyang numero ay -2. Pagkatapos:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Ang pagkakaiba ng isang arithmetic progression ay maaaring maging anumang numero: integer, fractional, irrational, any.
Iba pang mga termino at pagtatalaga.
Ang bawat numero sa serye ay tinatawag miyembro ng isang arithmetic progression.
Ang bawat miyembro ng pag-unlad may number niya. Ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, nang walang anumang mga trick. Una, pangalawa, pangatlo, pang-apat, atbp. Halimbawa, sa progression 2, 5, 8, 11, 14, ... dalawa ang unang miyembro, lima ang pangalawa, labing-isa ang pang-apat, well, naiintindihan mo ...) Mangyaring malinaw na maunawaan - ang mga numero mismo maaaring maging ganap na anuman, buo, fractional, negatibo, anuman, ngunit pagnunumero- mahigpit sa pagkakasunud-sunod!
Paano magsulat ng isang pag-unlad sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat numero sa serye ay nakasulat bilang isang titik. Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, bilang panuntunan, ginagamit ang titik a. Ang numero ng miyembro ay ipinahiwatig ng index sa kanang ibaba. Ang mga miyembro ay isinusulat na pinaghihiwalay ng mga kuwit (o semicolon), tulad nito:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 ay ang unang numero a 3- pangatlo, atbp. Walang nakakalito. Maaari mong isulat ang seryeng ito nang maikli tulad nito: (isang n).
May mga pag-unlad may hangganan at walang katapusan.
panghuli ang pag-unlad ay may limitadong bilang ng mga miyembro. Lima, tatlumpu't walo, anuman. Ngunit ito ay isang may hangganang numero.
Walang katapusang progression - may walang katapusang bilang ng mga miyembro, gaya ng maaari mong hulaan.)
Maaari kang magsulat ng panghuling pag-unlad sa pamamagitan ng seryeng tulad nito, lahat ng miyembro at isang tuldok sa dulo:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
O tulad nito, kung maraming miyembro:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Sa isang maikling entry, kailangan mong ipahiwatig din ang bilang ng mga miyembro. Halimbawa (para sa dalawampung miyembro), tulad nito:
(a n), n = 20
Ang isang walang katapusang pag-unlad ay maaaring makilala ng ellipsis sa dulo ng hilera, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito.
Ngayon ay maaari mo nang lutasin ang mga gawain. Ang mga gawain ay simple, para lamang sa pag-unawa sa kahulugan ng pag-unlad ng arithmetic.
Mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-unlad ng aritmetika.
Tingnan natin ang gawain sa itaas:
1. Isulat ang unang anim na miyembro ng arithmetic progression (a n), kung a 2 = 5, d = -2.5.
Isinasalin namin ang gawain sa naiintindihang wika. Dahil sa walang katapusang pag-unlad ng aritmetika. Ang pangalawang bilang ng pag-unlad na ito ay kilala: a 2 = 5. Kilalang pagkakaiba sa pag-unlad: d = -2.5. Kailangan nating hanapin ang una, ikatlo, ikaapat, ikalima at ikaanim na miyembro ng pag-unlad na ito.
Para sa kalinawan, magsusulat ako ng isang serye ayon sa kondisyon ng problema. Ang unang anim na miyembro, kung saan ang pangalawang miyembro ay lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....
a 3 = a 2 + d
Pinapalitan namin sa expression a 2 = 5 at d=-2.5. Huwag kalimutan ang minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Ang ikatlong termino ay mas mababa kaysa sa pangalawa. Ang lahat ay lohikal. Kung ang bilang ay mas malaki kaysa sa nauna negatibo halaga, kaya ang numero mismo ay magiging mas mababa kaysa sa nauna. Bumababa ang progreso. Okay, isaalang-alang natin ito.) Isinasaalang-alang namin ang ikaapat na miyembro ng aming serye:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
isang 5 = a 4 + d
isang 5=0+(-2,5)= - 2,5
isang 6 = isang 5 + d
isang 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Kaya, ang mga termino mula sa ikatlo hanggang sa ikaanim ay nakalkula. Nagresulta ito sa isang serye:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Ito ay nananatiling hanapin ang unang termino a 1 ayon sa kilalang pangalawa. Ito ay isang hakbang sa kabilang direksyon, sa kaliwa.) Kaya, ang pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika d hindi dapat idagdag sa a 2, a alisin:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hanggang dito na lang. Tugon sa gawain:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Sa pagpasa, tandaan ko na nalutas namin ang gawaing ito paulit-ulit paraan. Ang kakila-kilabot na salitang ito ay nangangahulugang, tanging, ang paghahanap para sa isang miyembro ng pag-unlad sa pamamagitan ng nakaraang (katabing) numero. Tatalakayin sa ibang pagkakataon ang iba pang mga paraan upang gumana sa pag-unlad.
Isang mahalagang konklusyon ang maaaring makuha mula sa simpleng gawaing ito.
Tandaan:
Kung alam natin ang kahit isang miyembro at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap natin ang sinumang miyembro ng pag-unlad na ito.
Tandaan? Ang simpleng konklusyon na ito ay nagpapahintulot sa amin na malutas ang karamihan sa mga problema ng kurso sa paaralan sa paksang ito. Ang lahat ng mga gawain ay umiikot sa tatlong pangunahing mga parameter: miyembro ng isang aritmetika progression, pagkakaiba ng isang progression, bilang ng isang miyembro ng isang progression. Lahat.
Siyempre, ang lahat ng nakaraang algebra ay hindi kinansela.) Ang mga hindi pagkakapantay-pantay, mga equation, at iba pang mga bagay ay nakakabit sa pag-unlad. Pero ayon sa pag-unlad- lahat ay umiikot sa tatlong parameter.
Halimbawa, isaalang-alang ang ilang mga tanyag na gawain sa paksang ito.
2. Isulat ang huling pag-unlad ng arithmetic bilang isang serye kung n=5, d=0.4, at isang 1=3.6.
Simple lang ang lahat dito. Lahat binigay na. Kailangan mong tandaan kung paano kinakalkula, binibilang, at isinulat ang mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika. Maipapayo na huwag laktawan ang mga salita sa kondisyon ng gawain: "pangwakas" at " n=5". Upang hindi na mabilang hanggang sa ganap kang asul ang mukha.) Mayroon lamang 5 (limang) miyembro sa pag-unlad na ito:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
isang 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Ito ay nananatiling isulat ang sagot:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Isa pang gawain:
3. Tukuyin kung ang numero 7 ay magiging miyembro ng isang arithmetic progression (a n) kung isang 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hmm... Sinong nakakaalam? Paano tukuyin ang isang bagay?
Paano-paano ... Oo, isulat ang pag-unlad sa anyo ng isang serye at tingnan kung magkakaroon ng pito o wala! Naniniwala kami:
isang 2 \u003d isang 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
isang 3 \u003d isang 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ngayon ay malinaw na nakikita na kami ay pito lamang nakalusot sa pagitan ng 6.5 at 7.7! Ang pito ay hindi nakapasok sa aming serye ng mga numero, at, samakatuwid, ang pito ay hindi magiging miyembro ng ibinigay na pag-unlad.
Sagot: hindi.
At narito ang isang gawain batay sa isang tunay na bersyon ng GIA:
4. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; labinlimang; X; 9; 6; ...
Narito ang isang serye na walang katapusan at simula. Walang numero ng miyembro, walang pagkakaiba d. ayos lang. Upang malutas ang problema, sapat na upang maunawaan ang kahulugan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Tingnan natin at tingnan kung ano ang magagawa natin para malaman mula sa linyang ito? Ano ang mga parameter ng tatlong pangunahing mga?
Mga numero ng miyembro? Walang kahit isang numero dito.
Ngunit mayroong tatlong numero at - pansin! - salita "magkasunod" nasa kondisyon. Nangangahulugan ito na ang mga numero ay mahigpit na nakaayos, walang mga puwang. Dalawa ba sa row na ito? kapitbahay mga kilalang numero? Oo meron! Ito ay 9 at 6. Para makalkula natin ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic! Ibawas namin sa anim dati numero, i.e. siyam:
May natitira pang mga bakanteng espasyo. Anong numero ang magiging nauna para sa x? labinlima. Kaya ang x ay madaling mahanap sa pamamagitan ng simpleng karagdagan. Sa 15 idagdag ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika:
Iyon lang. Sagot: x=12
Kami mismo ang nagresolba ng mga sumusunod na problema. Tandaan: ang mga puzzle na ito ay hindi para sa mga formula. Purely para sa pag-unawa sa kahulugan ng isang arithmetic progression.) Nagsusulat lang kami ng isang serye ng mga numero-titik, tingnan at isipin.
5. Hanapin ang unang positive term ng arithmetic progression kung a 5 = -3; d = 1.1.
6. Ito ay kilala na ang numero 5.5 ay isang miyembro ng arithmetic progression (a n), kung saan a 1 = 1.6; d = 1.3. Tukuyin ang bilang n ng terminong ito.
7. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 4; isang 5 \u003d 15.1. Maghanap ng 3.
8. Ilang magkakasunod na miyembro ng arithmetic progression ang nakasulat:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Hanapin ang termino ng progression, na tinutukoy ng titik x.
9. Nagsimulang gumalaw ang tren mula sa istasyon, unti-unting tumataas ang bilis nito ng 30 metro kada minuto. Ano ang magiging bilis ng tren sa loob ng limang minuto? Ibigay ang iyong sagot sa km/h.
10. Ito ay kilala na sa isang arithmetic progression isang 2 = 5; a 6 = -5. Maghanap ng 1.
Mga sagot (magulo): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; apat.
Nagtagumpay ang lahat? Kahanga-hanga! Maaari mong matutunan ang pag-unlad ng aritmetika sa mas mataas na antas sa mga sumusunod na aralin.
Hindi ba naging maayos ang lahat? Walang problema. Sa Espesyal na Seksyon 555, ang lahat ng mga problemang ito ay pinaghiwa-hiwalay.) At, siyempre, ang isang simpleng praktikal na pamamaraan ay inilarawan na agad na nagha-highlight sa solusyon ng naturang mga gawain nang malinaw, malinaw, tulad ng sa iyong palad!
Sa pamamagitan ng paraan, sa palaisipan tungkol sa tren mayroong dalawang mga problema kung saan ang mga tao ay madalas na natitisod. Isa - puro sa pamamagitan ng pag-unlad, at ang pangalawa - karaniwan sa anumang mga gawain sa matematika, at physics din. Isa itong pagsasalin ng mga sukat mula sa isa't isa. Ipinapakita nito kung paano dapat lutasin ang mga problemang ito.
Sa araling ito, sinuri namin ang elementarya na kahulugan ng isang pag-unlad ng arithmetic at ang mga pangunahing parameter nito. Ito ay sapat na upang malutas ang halos lahat ng mga problema sa paksang ito. Idagdag d sa mga numero, magsulat ng isang serye, ang lahat ay magpapasya.
Ang solusyon sa daliri ay mahusay na gumagana para sa napakaikling piraso ng serye, tulad ng sa mga halimbawa sa araling ito. Kung mas mahaba ang serye, magiging mas kumplikado ang mga kalkulasyon. Halimbawa, kung sa problema 9 sa tanong, palitan "limang minuto" sa "tatlumpu't limang minuto" lalala ang problema.)
At mayroon ding mga gawain na simple sa kakanyahan, ngunit lubos na walang katotohanan sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon, halimbawa:
Binigyan ng aritmetika na pag-unlad (a n). Maghanap ng 121 kung ang isang 1 =3 at d=1/6.
At ano, dadagdagan natin ng 1/6 ng marami, maraming beses?! Posible bang magpakamatay!?
Maaari mo.) Kung hindi mo alam ang isang simpleng pormula kung saan maaari mong malutas ang mga naturang gawain sa isang minuto. Ang pormula na ito ay nasa susunod na aralin. At ang problema ay nalutas doon. Sa isang minuto.)
Kung gusto mo ang site na ito...
Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)
Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Pag-aaral - nang may interes!)
maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.
