Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Tulad ng sinabi ng mga sinaunang pilosopo, "Ang karunungan ay ang pag-ibig sa kaalaman, at ang pag-ibig ang sukatan ng lahat ng bagay." Ang "Measure" sa Latin ay "modulus", kung saan nagmula ang salitang "module". At ngayon ay gagana tayo sa mga equation na naglalaman ng modulus. Umaasa ako na ang lahat ay magiging maayos para sa atin, at sa pagtatapos ng aralin ay magiging mas matalino tayo.

I-download:

Preview:

Pirogova Tatyana Nikolaevna, Taganrog, sekondaryang paaralan No. 10.

Paksa: "Paglutas ng mga Equation na may Modulus at Parameter"

Baitang 10, aralin ng elective course na "Properties of a function".

Lesson plan.

1. Pagganyak.
2. Pag-update ng kaalaman.
3. Paglutas ng linear equation na may modulus sa iba't ibang paraan.
4. Solusyon ng mga equation na naglalaman ng isang module sa ilalim ng isang module.
5. Pananaliksiksa pamamagitan ng pagtukoy sa dependence ng bilang ng mga ugat ng equation

| | x| - a |= in mula sa mga halaga a at b.

1. Pagninilay.

Sa panahon ng mga klase.

Pagganyak. Tulad ng sinabi ng mga sinaunang pilosopo, "Ang karunungan ay ang pag-ibig sa kaalaman, at ang pag-ibig ang sukatan ng lahat ng bagay.""Sukatan" sa Latin -"modulus", kung saan nagmula ang salita"modyul". At ngayon ay gagana tayo sa mga equation na naglalaman ng modulus. Umaasa ako na ang lahat ay magiging maayos para sa atin, at sa pagtatapos ng aralin ay magiging mas matalino tayo.

Pag-update ng kaalaman.Kaya, tandaan natin kung ano ang alam na natin tungkol sa modyul.

• Depinisyon ng module.Ang modulus ng isang tunay na numero ay ang numero mismo, kung ito ay hindi negatibo, at ang kabaligtaran na numero nito, kung ito ay negatibo.

• Ang geometric na kahulugan ng modyul.Real Number Modulus A ay katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong may coordinate A sa linya ng numero.

– isang 0 a

|– isang | = | isang | | isang | x

• Ang geometric na kahulugan ng magnitude difference modulus.Modulus ng pagkakaiba ng magnitude| isang - sa | ay ang distansya sa pagitan ng mga puntos na may mga coordinate a at c sa linya ng numero

Yung. haba ng segment [ a sa]

1) Kung a b 2) Kung a > b

a b b a

S = b - a S = a - b

3) Kung a \u003d b, pagkatapos ay S \u003d a - b \u003d b - a \u003d 0

• Mga pangunahing katangian ng modyul

1. Ang modulus ng isang numero ay isang di-negatibong numero, i.e.| x | ≥ 0 para sa anumang x
2. Ang mga module ng magkasalungat na numero ay pantay, i.e.| x | = |– x | para sa anumang x
3. Ang parisukat ng modulus ay katumbas ng parisukat ng submodule expression, i.e.| x | 2 = x 2 para sa alinmang x

4. Ang modulus ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng mga modulemga kadahilanan, ibig sabihin. | isang b | = | isang | · | b |

5. Kung ang denominator ng isang fraction ay hindi zero, kung gayon ang modulus ng fraction ay katumbas ng quotient ng paghahati ng modulus ng numerator sa modulus ng denominator, i.e. para sa b ≠ 0

6. Para sa pagkakapantay-pantay ng anumang numero a at b ang mga hindi pagkakapantay-pantay:

| | isang | – | b | | ≤ | a+b | ≤ | isang | + | b |

| | isang | – | b | | ≤ | a-b | ≤ | isang | + | b |

• Graph ng module y = | x | - isang tamang anggulo na may vertex sa pinanggalingan, na ang mga gilid ay ang bisectors ng 1st at 2nd quadrants.
• Paano mag-plot ng mga function graph? y = | x –4|, y = | x +3|, y = | x –3|, y = | x | + 1 ,
• y = | x | – 3, y = | x | – 5, y = | x - 3 | + 3, y = | x - 3 | – 2, y = | x + 2 | – 5. y = || x| – isang |

Halimbawa. lutasin ang equation.

Paraan 1. Ang paraan ng pagbubukas ng mga module sa pamamagitan ng mga gaps.

Paraan 2. Direktang pagpapalawak ng module.

Kung ang modulus ng isang numero ay 3, ang numerong iyon ay 3 o -3.

Paraan 3 . Gamit ang geometric na kahulugan ng modyul.

Kinakailangang hanapin sa axis ng numero ang mga halagang x na inalis mula sa 2 sa isang distansya na katumbas ng 3.

Paraan 4. Pag-squaring sa magkabilang panig ng equation.

Ginagamit nito ang module property

At ang katotohanan na ang magkabilang panig ng equation ay hindi negatibo.

Paraan 5. Graphical na solusyon ng equation.

Magpakilala. Bumuo tayo ng mga graph ng mga function At:

Ang abscissas ng mga intersection point ng mga graph ay magbibigay ng mga ugat

2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3
2 -1 0 1 2 3 4 5

Pansariling gawain

lutasin ang mga equation:

| x – 1| = 3 | x – 5| = 3 | x –3| = 3 | x + 3| = 3 | x + 5| = 3

(-2; 4) (2; 8) (0; 6) (-6; 0) (-8;-2)

Ngayon magdagdag ng isa pang module sa mga kundisyon at lutasin ang mga equation:

| | x| – 1| = 3 | | x| -5| = 3 | | x | – 3| = 3 | | x | + 3| = 3 | | x | + 5| = 3

(walang ugat)

Kaya, gaano karaming mga ugat ang maaaring isang equation ng form | | x | – isang |= sa? Ano ang nakasalalay dito?

Pananaliksik sa paksa

«Pagtukoy sa dependence ng bilang ng mga ugat ng equation | | x | – a |= b mula sa a at hanggang »

Magtatrabaho kami sa mga pangkat, gamit ang analytical, graphical at geometric na pamamaraan ng solusyon.

Alamin natin sa ilalim ng kung anong mga kondisyon ang equation na ito ay may 1 ugat, 2 ugat, 3 ugat, 4 ugat at walang ugat.

1 pangkat (ayon sa kahulugan)

2 pangkat (gamit ang geometric na kahulugan ng module)

3 pangkat (gamit ang mga function graph)

A > 0
	1 pangkat	2 pangkat	3 pangkat
walang ugat	V c ≥ 0 c + a	V c ≥ 0 a + b	V c ≥ 0 V A
eksaktong isang ugat	b > 0 at b + a = 0	b > 0 at b + a = 0	c > 0 at c = - a
eksaktong dalawang ugat	b > 0 at b + a > 0 – sa + a	b > 0 at b + a > 0 – sa + a	sa > 0 at sa > | isang |
eksaktong tatlong ugat	c > 0 at - c + a = 0	c > 0 at - c + a = 0	b > 0 at b = a
eksaktong apat na ugat	c > 0 at – c + a > 0	c > 0 at – c + a > 0	sa > 0 at sa A

Ihambing ang mga resulta, gumuhit ng isang pangkalahatang konklusyon at gumuhit ng isang pangkalahatang pamamaraan.

Siyempre, hindi kinakailangan ang pamamaraang ito kabisaduhin . Ang pangunahing pokus ng aming pag-aaral aytingnan ang dependency na ito gamit ang iba't ibang pamamaraan, at ngayon ay hindi na tayo magiging mahirap na ulitin ang ating pangangatwiran kapag nilulutas ang mga naturang equation.

Pagkatapos ng lahat, ang paglutas ng isang gawain na may isang parameter ay palaging nagpapahiwatig ng ilang pananaliksik.

Solusyon ng mga equation na may dalawang module at isang parameter.

1. Maghanap ng mga halaga p, x| - R - 3| = 7 ay may eksaktong isang ugat.

Solusyon: | | x| – (p + 3)| = 7

p +3= -7, p = -10. O geometrically

p + 3 – 7 p + 3 p + 3+7 p + 3+7=0, p = -10

7 7 ayon sa scheme, ang isang equation ng form na ito ay may eksaktong isang ugat, kung c \u003d - a, kung saan c \u003d 7, isang \u003d p +3

2. Maghanap ng mga halaga R, para sa bawat isa kung saan ang equation | | x| - R - 6| = 11 ay may eksaktong dalawang ugat.

Solusyon: | | x| – (p + 6)| = 11 sa geometriko

P + 6 - 11 p + 6 p + 6 + 11 p + 6-11 R p + 6+11>0, p > -17

11 11

ayon sa scheme, ang isang equation ng form na ito ay may eksaktong dalawang ugat, kung sa + a > 0 at - sa + a kung saan ang a = 11, a = p +6. -17 R 5.

3. Maghanap ng mga halaga R, para sa bawat isa kung saan ang equation | | x| - 4 r | = 5 p -9 ay may eksaktong apat na ugat.

Solusyon: ayon sa scheme, ang isang equation ng ganitong uri ay may eksaktong apat na ugat kung

0p -9 p, p > at p

mga. 1 R 9.

Sagot: 1 R 9.

4 . . Maghanap ng mga p value, para sa bawat isa kung saan ang equation | | x| – 2 r | = 5 p Ang +2 ay walang mga ugat. Solusyon: 5 r +2 p +2 =0 at –2 p >0, o 5 p +2 >0 at 5 p +2 R.

R p = –0.4, o p > –0.4 at p . Sagot: p

5. Sa anong mga halaga ng parameter p ang equation | | x –4 | – 3| + 2 r Ang = 0 ay may tatlong ugat. Hanapin ang mga ugat na iyon.

Ibahin natin ang equation sa anyo:

| | x –4 | – 3|= – 2 r.

Ayon sa scheme, ang isang equation ng ganitong uri ay may tatlong ugat,

kung –2 р =3>0,

Yung. p = -1.5.

|| x –4|–3| = 3,

| x –4|=0, x = 4,

|| x –4|=6, x = –2, x =10.

Sagot: sa r = -1.5 ang equation ay may tatlong ugat: x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 4, x 3 \u003d 10.

Pagbubuod ng aralin. Pagninilay.

Sabihin mo sa akin, ano ang itatampok mo sa mga pangunahing salita ng aralin? (module, parameter)

Ano ang ginawa natin ngayong araw? (Kahulugan ng module, geometric na kahulugan ng module ng numero at pagkakaiba ng mga numero, mga katangian ng module, iba't ibang paraan ng paglutas ng mga equation)

Ano ang ginawa natin ngayong araw?

Takdang aralin.

21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 - 4 21 42 = 3025 - 3582< 0.

Sagot: 1; 2.

§6. Paglutas ng mga equation na may mga module at parameter

Isaalang-alang ang ilang mga equation kung saan ang variable na x ay nasa ilalim ng modulus sign. Tandaan mo yan

x , kung x ≥ 0,

x = − x kung x< 0.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation:

a) x - 2 = 3; b) x + 1 − 2x − 3 = 1;

x+2

X=1; d) x 2 −

6; e) 6x 2 −

x+1

x − 1

a) Kung ang modulus ng isang numero ay 3, kung gayon ang numerong ito ay alinman sa 3 o (− 3 ),

ibig sabihin, x − 2 = 3, x = 5 o x − 2 = − 3, x = − 1.

b) Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng isang modyul na

x+1

X + 1, para sa x + 1 ≥ 0,

ibig sabihin, para sa x ≥ − 1 at

x+1

= − x − 1 para sa x< − 1. Выражение

2x − 3

2x − 3 kung x ≥ 3

at katumbas ng − 2 x + 3 kung x< 3 .

x< −1

ang equation

ay katumbas ng

equation

- x -1 -

(− 2 x + 3 ) = 1, na nagpapahiwatig na

x = 5. Ngunit ang bilang 5 ay hindi

natutugunan ang kondisyon x< − 1, следовательно,

sa x< − 1 данное

ang equation ay walang mga solusyon.

−1 ≤ x<

ang equation

ay katumbas ng

equation

x + 1− (2x + 3) = 1, na nagpapahiwatig na x = 1;

numero 1 ay nasiyahan-

walang kundisyon − 1 ≤ x<

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation

x ≥

ang equation

ay katumbas ng

equation

x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, na mayroong solusyon x = 3. At dahil ang bilang 3

natutugunan ang kundisyon x ≥

pagkatapos ito ay isang solusyon sa equation.

x+2

c) Kung ang numerator at denominator ng isang fraction

magkaroon ng pareho

x − 1

mga palatandaan, kung gayon ang bahagi ay positibo, at kung iba, kung gayon ito ay negatibo, i.e.

x+2

x+2

Kung x ≤ − 2, kung x > 1,

x − 1

x − 1

x+2

Kung − 2< x < 1.

−1

Para sa x ≤ − 2

ypre x > 1

ang orihinal na equation ay katumbas ng equation

x+2

X=1, x+2

X (x -1) = x -1, x 2 - x +3 =0.

x − 1

Ang huling equation ay walang mga solusyon.

Sa − 2< x < 1 данное уравнение равносильно уравнению

x+2

X \u003d 1, - x -2 + x 2 - x \u003d x -1, x 2 -3 x -1 \u003d 0.

x − 1

Hanapin natin ang mga ugat ng equation na ito:

x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 .

hindi pagkakapantay-pantay

− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13

Sundin-

Samakatuwid, ang numerong ito ay isang solusyon sa equation.

x ≥ 0 ibinigay

ang equation

ay katumbas ng

equation

x2 - x -6 = 0,

na ang mga ugat ay ang mga numero 3 at - 2. Ang bilang 3

natutugunan ang kundisyon x > 0,

at ang numero - 2 ay hindi nasiyahan dito

batas, samakatuwid, ang numero 3 lamang ang solusyon sa orihinal

x< 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation
		x ≥ − 1 ibinigay	ang equation	ay katumbas ng				equation
6 x 2 − x − 1 = 0, hanapin ang mga ugat nito: x = 1 ±				25 , x = 1 , x				= −1 .
Ang parehong mga ugat ay nakakatugon sa kundisyon x ≥ − 1,					samakatuwid, sila ay
ay mga solusyon ng equation na ito. Sa				x< − 1 данное уравнение
ay katumbas ng equation na 6 x 2 + x + 1 = 0, na walang mga solusyon.
Hayaang ibigay ang mga expression na f (x , a ) at g (x , a ),					nakadepende sa pagbabago
x	at a.	Tapos yung equation	f (x, a) = g(x, a)		tungkol sa pagbabago-

si noah x ang tawag equation na may parameter a. Upang malutas ang isang equation na may isang parameter ay nangangahulugan, para sa anumang tinatanggap na halaga ng parameter, upang mahanap ang lahat ng mga solusyon ng equation na ito.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation para sa lahat ng wastong halaga ng parameter a :

a) palakol 2 - 3 \u003d 4 a 2 - 2 x 2; b) (a - 3) x 2 = a 2 - 9;

c) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.

x 2 =	4a 2 + 3	Pagpapahayag 4 a 2		3 > 0 para sa anumang a ; para sa isang > − 2 mayroon tayo
	isang + 2
mayroon kaming dalawang solusyon: x =			4a 2 + 3	at x = −	4a 2		Kung	isang + 2< 0, то
			isang + 2		isang + 2

expression 4 a 2 + 3< 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2

	Sagot: x = ±	4a 2 + 3	Para sa isang > − 2;	para sa isang ≤ − 2 walang mga solusyon.
		isang + 2
				pagkatapos x 2 = a + 3. Kung a + 3 = 0,
	b) Kung a = 3, kung gayon x. Kung ang isang ≠ 3,
	mga. kung a = − 3,	pagkatapos ang equation ay may natatanging solusyon x = 0.

kung a< − 3, то уравнение не имеет решений. Если a >− 3 at a ≠ 3, pagkatapos ang equation ay may dalawang solusyon: x 1 = a + 3 at x 2 = − a + 3.

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation

a = 1 ang equation na ito ay nasa anyo

4x − 1 = 0,

x=1

ang kanyang solusyon. Sa

a ≠ 1 ang equation na ito ay

parisukat, ang discriminant nito D 1 ay

(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1.

Kung 5 a − 1< 0, т.е. a < 1 ,

kung gayon ang equation na ito ay walang mga solusyon.

Kung a =

kung gayon ang equation ay may natatanging solusyon

a+1

x = −

a − 1

−1

Kung ang isang >

at isang ≠ 1,

pagkatapos ang equation na ito ay may dalawang solusyon:

x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 .

a − 1

−(a +1 ) ±

1 sa

a = 1; x=3

para sa

; x=

5a − 1

a − 1

para sa isang > 1

at isang ≠ 1; para sa< 1

ang equation ay walang mga solusyon.

§7. Solusyon ng mga sistema ng mga equation. Paglutas ng mga problema na bumababa sa mga quadratic equation

Sa seksyong ito, isinasaalang-alang namin ang mga system na naglalaman ng mga equation ng pangalawang degree.

Halimbawa 1. Lutasin ang isang sistema ng mga equation

2x + 3y = 8

xy = 2.

Sa sistemang ito, ang equation na 2 x + 3 y = 8 ay ang equation ng unang degree, at ang equation na xy = 2 ay ang pangalawa. Nalutas namin ang sistemang ito sa pamamagitan ng pamamaraan

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation

pagpapalit. Mula sa unang equation ng system, ipinapahayag namin ang x sa mga tuntunin ng y at pinapalitan ang expression na ito para sa x sa pangalawang equation ng system:

	8 − 3y	4 −
				y 4			y y = 2.

Ang huling equation ay bumababa sa quadratic equation

8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.

Paghahanap ng mga ugat nito:

4 ± 4

4 ± 2

Y=2, y

Mula sa kundisyon x = 4 −

nakukuha namin ang x = 1, x

Sagot: (1;2) at

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema ng mga equation:

x 2 + y 2 \u003d 41,

xy = 20.

I-multiply ang magkabilang panig ng pangalawang equation ng 2 at idagdag sa una

equation ng system:	x 2 + y 2 + 2xy \u003d 41 + 20 2,				(x + y) 2 = 81, kung saan
sumusunod na ang x + y = 9 o x + y = − 9.
Kung x + y = 9 kung gayon	x = 9 − y . Palitan ang expression na ito para sa x in
pangalawang equation ng system:
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0,
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y				4, x=4, x=5.
Mula sa kundisyon x + y = − 9 nakukuha natin ang mga solusyon (− 4; − 5) at (− 5; − 4 ) .
Sagot: (± 4; ± 5), (± 5; ± 4) .
Halimbawa 3. Lutasin ang sistema ng mga equation:
		y=1
	x -
	x − y

Isinulat namin ang pangalawang equation ng system sa form

( x − y )( x + y ) = 5.

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation

Gamit ang equation x − y = 1, nakukuha natin ang: x + y = 5. Sa gayon, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation na katumbas ng ibinigay

	x -	y=1
		y=5.

Idinagdag namin ang mga equation na ito, nakukuha namin: 2 x \u003d 6,		x=3, x=9.
Ang pagpapalit ng halaga x = 9 sa unang equation			mga sistema, pagtanggap
mayroon tayong 3 − y = 1, na nagpapahiwatig na y = 4.
Sagot: (9;4) .	(x + y)(x		Y −4 ) = −4,
Halimbawa 4. Lutasin ang sistema ng mga equation: (x 2 + y 2 ) xy \u003d - 160.
				xy=v;
Ipakilala natin ang mga bagong variable	x + y = u
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v,
u (u −4 ) = −4,
ang sistema ay binawasan sa anyo (u 2 − 2 v ) v = − 160.
Malutas namin ang equation:
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2.
Pinapalitan namin ang halagang ito para sa iyo sa equation:
(u 2 - 2v ) v = - 160, (4 - 2v ) v = - 160, 2v 2 - 4v - 160 = 0,
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1 ± 9, v= 10, v						= −8.
Lutasin namin ang dalawang sistema ng mga equation:
	x + y = 2,
x + y = 2,
	At
xy = 10	xy = − 8.
Niresolba namin ang parehong mga sistema sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit. Para sa unang sistema mayroon kaming:
x= 2 − y, ( 2 − y) y= 10, y2 − 2 y+ 10 = 0.

Ang resultang quadratic equation ay walang mga solusyon. Para sa pangalawang sistema mayroon kaming: x= 2 − y, (2 − y) y= − 8, y2 − 2 y− 8 = 0.

y= 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y1 = 4, y2 = − 2. Pagkataposx1 = − 2 Atx2 = 4. Sagot: (− 2;4 ) At(4; − 2 ) .

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

pinarami ng 3, nakukuha natin:

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation

Halimbawa 5 Lutasin ang sistema ng mga equation:

x 2 + 4 xy = 3,

y 2 + 3 xy = 2.

Mula sa unang equation na pinarami ng 2, ibawas ang pangalawang equation,

2 x 2 − xy − 3 y 2 = 0.

Kung y= 0, pagkatapos at x= 0, ngunit isang pares ng mga numero (0;0 ) ay hindi solusyon sa orihinal na sistema. Hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa resultang equation

pamumuno sa y2 ,

1 ± 5 , x = 2 y At x = − y .

−3

= 0,

y

Kapalit

ibig sabihin

x =

3y

unang equation

9 y2 + 6 y2 = 3, 11y2 = 4, y=

, x=

, x= −

Pinapalitan namin ang halaga x= − y sa unang equation ng system: y2 − 4 y2 = 3, − 3 y2 = 3.

Walang mga solusyon.

Halimbawa 9 Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang sistema ng mga equation

x 2 + ( y − 2 ) 2 = 1,

y = palakol 2 .

ay may kahit isang solusyon.

Ang sistemang ito ay tinatawag na sistemang may parameter. Maaari silang malutas sa analytically, i.e. gamit ang mga formula, o maaari mong gamitin ang tinatawag na graphical na paraan.

Tandaan na ang unang equation ay tumutukoy sa isang bilog na nakasentro sa punto (0;2 ) na may radius 1. Ang pangalawang equation para sa a≠ 0 tumutukoy sa isang parabola na may vertex sa pinanggalingan.

Kung a 2

Sa kaso a), ang parabola ay humipo sa bilog. Mula sa pangalawang equation ng system,

em ano x2 = y/ a,

palitan ang mga halagang ito para sa

x 2

sa unang equation:

1

+(y−2 )

= 1,

+ y

− 4 y+ 4 = 1, y

4 − ay+ 3

= 0.

Sa kaso ng tangency, dahil sa simetrya, mayroong isang natatanging halaga y, kaya ang discriminant ng resultang equation ay dapat

ay 0. Dahil ang ordinate y positibo ang touch point, at dahil

y = 2

− a

nakukuha namin

> 0; D

1 2

4 − a

4 − a

− 12 = 0,

4 − a

> 0

makuha namin: 4

= 2

= 4 −2

a =

4 + 2 3

4 + 2 3

2 +

( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) =

16 − 12 =

4 − 2 3

Kung a> 2 + 2 3 , pagkatapos ay mag-intersect ang parabola sa bilog sa 4 na puntos

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 5, 8 na mga cell. Mathematics. Quadratic equation

Samakatuwid, ang sistema ay may hindi bababa sa isang solusyon kung

a≥ 2 + 2 3 .

Halimbawa 10 Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga digit ng ilang natural na dalawang-digit na numero ay 9 higit sa dalawang beses ang produkto ng mga digit na ito. Pagkatapos hatiin ang dalawang-digit na numerong ito sa kabuuan ng mga digit nito, ang quotient ay 4 at ang natitira ay 3. Hanapin ang dalawang-digit na numerong ito.

Hayaan ang dalawang digit na numero 10 a+ b, saan a At b ay ang mga digit ng numerong ito. Pagkatapos mula sa unang kondisyon ng problema ay nakukuha natin: a2 + b2 = 9 + 2 ab, at mula sa pangalawang kundisyon nakukuha natin: 10 a+ b= 4 (a+ b) + 3.

a 2 + b 2 = 9 + 2 ab ,

Nalutas namin ang sistema ng mga equation: 6 a− 3 b= 3.

Mula sa pangalawang equation ng system na nakuha namin

6a− 3b= 3, 2a− b= 1, b= 2a− 1.

Pinapalitan namin ang halagang ito b sa unang equation ng system:

a2 + ( 2a− 1) 2 = 9 + 2a( 2a− 1) , 5a2 − 4a+ 1 = 9 + 4a2 − 2a,

a2 − 2a− 8 = 0, D1 = 1 + 8 = 9, a= 1 ± 3, a1 = 4, a2 = − 2 < 0, b1 = 7.

Sagot: 47.

Halimbawa 11. Pagkatapos ng paghahalo ng dalawang solusyon, ang isa ay naglalaman ng 48 g at ang iba pang 20 g, ng anhydrous potassium iodide, 200 g ng isang bagong solusyon ay nakuha. Hanapin ang konsentrasyon ng bawat isa sa mga unang solusyon kung ang konsentrasyon ng unang solusyon ay 15% na mas malaki kaysa sa konsentrasyon ng pangalawa.

Tukuyin sa pamamagitan ng x% ay ang konsentrasyon ng pangalawang solusyon, at sa pamamagitan ng (x+ 15 ) % ay ang konsentrasyon ng unang solusyon.

(x+ 15 )%			x %
solusyon ko			II solusyon

Sa unang solusyon, 48 g ay (x+ 15 ) % ng timbang ng buong solusyon,

kaya ang bigat ng solusyon ay x48 + 15 100. Sa pangalawang solusyon, 20 g ng co-

© 2011, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1.3 x - 4 y - 6 z = - 23.

Pinapantay namin ang mga coefficient sa x sa una at pangalawang equation, para dito pinarami namin ang parehong bahagi ng unang equation ng 6, at ang pangalawang equation ng 10, nakukuha namin:

60x - 30 y - 18z = - 54.60x + 40 y - 50z = - 10.

Ibawas namin mula sa pangalawang equation ng nagresultang sistema ang unang equation

nakukuha natin: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

Ibawas ang ikatlong equation na pinarami ng 2 mula sa pangalawang equation ng orihinal na sistema, nakukuha natin ang: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12y + 7z = 45.

Ngayon malulutas namin ang isang bagong sistema ng mga equation:

35y − 16z = 22.12y + 7z = 45.

Sa unang equation ng bagong system, na pinarami ng 7, idinagdag namin ang pangalawang equation, na pinarami ng 16, nakukuha namin:

35 7y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Ngayon ay pinapalitan natin ang y = 2, z = 3 sa unang equation ng orihinal na sistema

mga paksa, makakakuha tayo ng: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Sagot: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Solusyon ng mga system na may parameter at may mga module

ax + 4y = 2a,

Isaalang-alang ang sistema ng mga equation

x + ay = a.

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, 8 na mga cell. Mathematics. Mga sistema ng equation.

Sa sistemang ito, sa katunayan, mayroong tatlong mga variable, katulad: a , x , y . Ang mga hindi alam ay x at y , at ang a ay tinatawag na parameter. Kinakailangang maghanap ng mga solusyon (x , y ) ng sistemang ito para sa bawat halaga ng parameter a .

Ipakita natin kung paano nalulutas ang mga ganitong sistema. Ipahayag natin ang variable na x mula sa pangalawang equation ng system: x = a − ay . Pinapalitan namin ang halagang ito para sa x sa unang equation ng system, nakukuha namin ang:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 − a )(2 + a ) y = a (2 − a ) .

Kung a = 2, pagkatapos ay makuha natin ang equation na 0 y = 0. Anumang numero y ay nakakatugon sa equation na ito, at pagkatapos ay x = 2 − 2 y , ibig sabihin, para sa a = 2, ang pares ng mga numero (2 − 2 y ; y ) ay isang solusyon sa sistema. Dahil maaari kang maging

anumang numero, kung gayon ang sistema para sa a = 2 ay may walang katapusang maraming solusyon.

Kung a = − 2, makuha natin ang equation na 0 y = 8. Ang equation na ito ay walang solusyon.

Kung ngayon ay isang ≠ ± 2,				pagkatapos ay y =		a (2 − a)
						(2 − a )(2 + a )		2 + a
x = a − ay = a −
				2 + a

Sagot: Para sa a = 2, ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon sa anyong (2 − 2 y ; y ), kung saan ang y ay anumang numero;

para sa a = − 2 ang sistema ay walang mga solusyon;
para sa isang ≠ ± 2, ang sistema ay may natatanging solusyon						. ▲
		2 + a		2 + a

Nalutas namin ang sistemang ito at itinatag para sa kung anong mga halaga ng parameter a ang sistema ay may isang solusyon, kapag mayroon itong walang katapusang maraming mga solusyon, at para sa kung anong mga halaga ng parameter a wala itong mga solusyon.

Halimbawa 1. Lutasin ang sistema ng mga equation

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, 8 na mga cell. Mathematics. Mga sistema ng equation.

−3

y − 1

3x − 2y = 5.

Mula sa pangalawang equation ng system, ipinapahayag namin ang x sa mga tuntunin ng y, nakukuha namin

2y + 5

pinapalitan namin ang halagang ito para sa x sa unang equation ng sys-

mga paksa, makukuha natin:

2y+5

−3

y − 1

−3

−1

5 = 0

Pagpapahayag

y = −

y > −

; Kung

−5

= −y

Ang expression na y − 1 = 0,

kung y = 1. Kung

y > 1, pagkatapos

y − 1

Y − 1, at

kung y< 1, то

y − 1

1 − y .

Kung y ≥ 1 kung gayon

y − 1

Y −1 at

makuha namin ang equation:

−3 (y

− 1) = 3,

−3 y

3, −

(2 2 +

5 ) = 3. Ang bilang 2 > 1, kaya ang pares (3;2) ay muling-

sistema.

Hayaan mo na

5 ≤ y<1,

y − 1

− y;

paghahanap

nakukuha namin

ang equation

3y−3

4y + 10

3y=6

13y=8

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, 8 na mga cell. Mathematics. Mga sistema ng equation.

(2y + 5) =

Ngunit mas mababa sa

kaya isang pares ng mga numero

ay ang solusyon sa sistema.

y< −

pagkatapos ay makuha namin ang equation:

3y−3

4y-

3y=6

5y=

28 , y = 28 .

ibig sabihin

kaya walang solusyon.

Kaya, ang sistema ay may dalawang solusyon (3;2) at 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Solusyon ng mga problema sa tulong ng mga sistema ng mga equation

Halimbawa 1. Isang sasakyan ang bumibiyahe mula sa isang lungsod patungo sa isang nayon sa loob ng 2.5 oras. Kung tataas niya ang kanyang bilis ng 20 km / h, pagkatapos ay sa loob ng 2 oras ay sasaklawin niya ang layo na 15 km higit pa kaysa sa distansya mula sa lungsod hanggang sa nayon. Hanapin ang distansyang ito.

Ipahiwatig sa pamamagitan ng S ang distansya sa pagitan ng lungsod at nayon at sa pamamagitan ng V ang bilis ng sasakyan. Pagkatapos, upang mahanap ang S, kumuha tayo ng isang sistema ng dalawang equation

2.5V=S

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, 8 na mga cell. Mathematics. Mga sistema ng equation.

sa pangalawang equation:		S+202	S+15,		S=25	S = 125.

Sagot: 125 km. ▲

Halimbawa 2. Ang kabuuan ng mga digit ng isang dalawang-digit na numero ay 15. Kung ang mga digit na ito ay ipinagpapalit, makakakuha ka ng isang numero na 27 higit pa kaysa sa orihinal. Hanapin ang mga numerong ito.

Hayaan ang ibinigay na numero ab , i.e. ang bilang ng sampu ay a , at ang bilang ng mga yunit ay b . Mula sa unang kondisyon ng problema mayroon tayo: a + b = 15. Kung ibawas natin ang numerong ab mula sa numerong ba, pagkatapos ay makakakuha tayo ng 27, mula dito makuha natin ang pangalawang equation: 10 b + a − (10 a + b ) = 27. x

2010-2011 akademikong taon taon., No. 3, 8 na mga cell. Mathematics. Mga sistema ng equation.

I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 20, makuha natin ang: x + 8 y = 840. Upang mahanap ang x at y, nakakuha tayo ng sistema ng mga equation

Sagot: 40 tonelada, 100 tonelada ▲

Halimbawa 4. Ang isang computer operator, nagtatrabaho kasama ang isang mag-aaral, ay nagpoproseso ng isang gawain sa loob ng 2 oras at 24 minuto. Kung ang operator ay gagana nang 2 oras, at ang mag-aaral sa loob ng 1 oras, kung gayon

natapos ng mga bata ang 2 3 ng lahat ng gawain. Gaano katagal ang aabutin para sa isang operator

ru at ang mag-aaral nang hiwalay upang iproseso ang gawain?

Tukuyin natin ang lahat ng trabaho bilang 1, pagganap ng operator bilang x, at pagganap ng mag-aaral bilang y . Isinasaalang-alang namin iyon

2 oras 24 minuto = 2 5 2 oras = 12 5 oras.

Ito ay sumusunod mula sa unang kondisyon ng problema na (x+y ) 12 5 = 1. Mula sa pangalawang kondisyon ng problema ay sumusunod na 2 x + y = 2 3 . Nakakuha ng isang sistema ng mga equation

(x+y)

2 x + y =

Niresolba namin ang sistemang ito gamit ang paraan ng pagpapalit:

− 2 x ;

−2 x

−x

− 1;

; x=

; y=

© 2010, FZFTSH sa MIPT. Pinagsama ni: Yakovleva Tamara Kharitonovna

slide 2

.

Paglutas ng mga equation na may mga parameter at module, paglalapat ng mga katangian ng mga function sa mga hindi inaasahang sitwasyon at pag-master ng mga geometric na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema. Non-standard equation Ang layunin ng aralin.

slide 3

Ang absolute value o modulus ng numero a ay ang bilang a kung a>0, ang numero -a kung a 0 ׀ a ׀=( 0 kung a=0 -a kung a 0) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay -a 0 . Ang hindi pagkakapantay-pantay ׀ x ׀>a, (kung a>0) ay katumbas ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay - Hindi pagkakapantay-pantay׀ x׀>a, (kung a

slide 4

Upang malutas ang isang equation na may mga parameter ay nangangahulugang ipahiwatig kung anong mga halaga ng mga solusyon sa parameter ang umiiral at kung ano ang mga ito. a) matukoy ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng hindi alam at mga parameter; b) para sa bawat tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter, hanapin ang kaukulang hanay ng mga solusyon sa equation. Pag-uulit ng pinakamahalagang teoretikal na materyal sa mga paksang "Solusyon ng mga equation na may mga parameter"

slide 5

1. Lutasin ang equation ׀ x-2 ׀ =5; Sagot 7;-3 ׀ x-2 ׀ =-5; Ang sagot sa desisyon ay hindi ׀ x-2 ׀ =x+5; ; Ang sagot ay hindi; 1.5 ׀ x-2 ׀ \u003d ׀ x + 5 ׀; Ang sagot ay hindi; -1.5; walang solusyon; -1.5; mga pagsasanay sa bibig.

slide 6

2. Lutasin ang mga equation=1; Sagot. Kung a=0, walang solusyon; kung a=0, x=1/a 1.3. Lutasin ang equation (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; pagkatapos ang equation ay tumatagal sa anyo Ox = 2 at walang solusyon 2) a = 1; nakukuha namin ang Ox = O, at maliwanag na ang x ay anuman. 1 3) kung ang isang \u003d ± 1, kung gayon x \u003d - a-1 Sagot. Kung ang isang \u003d -1, kung gayon ang x ay anuman; kung isang \u003d 1, kung gayon walang solusyon 1 kung isang \u003d ± 1, kung gayon x \u003d - a-1

Slide 7

2. Lutasin ang equation na ׀ x + 3 ׀ + ׀ y -2 ׀ = 4; . 2 3. 4. 1

Slide 8

3 3 2 x y 0 1 Sagot: (-3; 2).

Slide 9

2. Lutasin ang mga equation ax=1;

Sagot. Kung a=0, kung gayon walang solusyon; kung a=0, kung gayon x=1/ a 1.3. Lutasin ang equation (a²-1) x \u003d a + 1. 1) a \u003d 1; pagkatapos ang equation ay tumatagal sa anyo Ox = 2 at walang solusyon 2) a = 1; nakukuha namin ang Ox = O, at maliwanag na ang x ay anuman. 1 3) kung ang isang \u003d ± 1, kung gayon x \u003d - a-1 Sagot. Kung ang isang \u003d -1, kung gayon ang x ay anuman; kung isang \u003d 1, kung gayon walang solusyon 1 kung isang \u003d ± 1, kung gayon x \u003d - a-1

Slide 10

3 Bumuo ng graph ng function

y x Y=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I + 3