Bernoulli formula- isang pormula sa teorya ng posibilidad na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap A (\displaystyle A) sa mga independiyenteng pagsusulit. Ang Bernoulli formula ay nagbibigay-daan sa iyo upang mapupuksa ang isang malaking bilang ng mga kalkulasyon - pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad - na may sapat na malaking bilang ng mga pagsubok. Pinangalanan pagkatapos ng natitirang Swiss mathematician na si Jacob Bernoulli, na nagmula sa formula na ito.
Encyclopedic YouTube
1 / 3
✪ Teorya ng probabilidad. 22. Bernoulli formula. Pagtugon sa suliranin
✪ Bernoulli formula
✪ 20 Ulitin ang mga pagsubok na Bernoulli Formula
Mga subtitle
Salita
Teorama. Kung ang posibilidad p (\displaystyle p) kaganapan A (\displaystyle A) ay pare-pareho sa bawat pagsubok, pagkatapos ay ang posibilidad P k , n (\displaystyle P_(k,n)) na ang kaganapan A (\displaystyle A) eksaktong dumating k (\displaystyle k) minsan a n (\displaystyle n) ang mga independiyenteng pagsusulit ay katumbas ng: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), saan q = 1 − p (\displaystyle q=1-p).
Patunay
Hayaan itong gaganapin n (\displaystyle n) mga independiyenteng pagsusulit, at alam na bilang resulta ng bawat pagsubok, isang kaganapan A (\displaystyle A) ay may posibilidad P (A) = p (\displaystyle P\kaliwa(A\kanan)=p) at samakatuwid ay hindi nangyayari nang may posibilidad P (A ¯) = 1 − p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Hayaan din, sa kurso ng mga pagsubok sa posibilidad p (\displaystyle p) at q (\displaystyle q) mananatiling hindi nagbabago. Ano ang posibilidad na bilang isang resulta n (\displaystyle n) independiyenteng pagsubok, kaganapan A (\displaystyle A) eksaktong dumating k (\displaystyle k) minsan?
Lumalabas na posibleng tumpak na kalkulahin ang bilang ng mga "matagumpay" na kumbinasyon ng mga resulta ng pagsubok kung saan ang kaganapan A (\displaystyle A) darating k (\displaystyle k) minsan a n (\displaystyle n) mga independiyenteng pagsubok, ay eksaktong bilang mga kumbinasyon ng n (\displaystyle n) sa k (\displaystyle k) :
C n (k) = n! k! (n − k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
Kasabay nito, dahil ang lahat ng mga pagsubok ay independyente at ang kanilang mga kinalabasan ay hindi magkatugma (kaganapan A (\displaystyle A) mangyari man o hindi), kung gayon ang posibilidad na makakuha ng "matagumpay" na kumbinasyon ay eksaktong: .
Sa wakas, upang mahanap ang posibilidad na n (\displaystyle n) independent test event A (\displaystyle A) eksaktong dumating k (\displaystyle k) beses, kailangan mong magdagdag ng mga posibilidad na makuha ang lahat ng "matagumpay" na kumbinasyon. Ang mga posibilidad na makuha ang lahat ng "matagumpay" na kumbinasyon ay pareho at pantay p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), ang bilang ng mga "matagumpay" na kumbinasyon ay C n (k) (\displaystyle C_(n)(k)), kaya nakuha namin sa wakas:
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Ang huling expression ay walang iba kundi ang Bernoulli Formula. Kapaki-pakinabang din na tandaan na, dahil sa pagkakumpleto ng pangkat ng mga kaganapan, ito ay magiging totoo:
∑ k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).
Sa praktikal na aplikasyon ng teorya ng posibilidad, ang isang tao ay madalas na nakakaharap ng mga problema kung saan ang parehong eksperimento o katulad na mga eksperimento ay paulit-ulit nang higit sa isang beses. Bilang resulta ng bawat karanasan, maaaring lumitaw o hindi ang isang kaganapan. PERO, at hindi kami interesado sa resulta ng bawat indibidwal na eksperimento, ngunit kabuuang pagpapakita mga pag-unlad PERO bilang resulta ng isang serye ng mga eksperimento. Halimbawa, kung ang isang pangkat ng mga putok ay nagpaputok sa parehong target, hindi kami interesado sa resulta ng bawat shot, ngunit sa kabuuang bilang ng mga hit. Ang ganitong mga problema ay malulutas nang simple kung ang mga eksperimento ay malaya.
Kahulugan. Ang mga pagsubok na independiyente sa kaganapan A ay yaong kung saan ang posibilidad ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay independiyente sa mga kinalabasan ng iba pang mga pagsubok.
Halimbawa. Ang ilang magkakasunod na guhit ng isang card mula sa deck ay mga independiyenteng eksperimento, sa kondisyon na ang card na iginuhit ay ibabalik sa deck sa bawat oras at ang mga card ay binabasa; kung hindi, sila ay mga karanasang umaasa.
Halimbawa. Ang ilang mga shot ay independiyenteng mga eksperimento lamang kung ang pagpuntirya ay gagawin muli bago ang bawat shot; sa kaso kapag ang pagpuntirya ay isinasagawa nang isang beses bago ang buong pagpapaputok o patuloy na isinasagawa sa kurso ng pagpapaputok (pagpaputok sa isang pagsabog, pambobomba sa isang serye), ang mga pag-shot ay umaasa sa mga eksperimento.
Ang mga independiyenteng pagsusuri ay maaaring isagawa sa ilalim ng pareho o magkaibang mga kondisyon. Sa unang kaso, ang posibilidad ng kaganapan PERO sa lahat ng mga eksperimento ay pareho, sa pangalawang kaso ang posibilidad ng kaganapan PERO iba-iba sa bawat karanasan. Ang unang kaso ay konektado sa maraming mga problema ng teorya ng pagiging maaasahan, teorya ng pagbaril at humahantong sa tinatawag na Bernoulli scheme, na ang mga sumusunod:
1) ang pagkakasunud-sunod ay isinasagawa n mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang bawat isa ay isang kaganapan PERO maaaring lumitaw o hindi;
2) ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan PERO sa bawat pagsubok ay pare-pareho at katumbas ng , pati na rin ang posibilidad na hindi ito mangyari 
.
Bernoulli's formula para sa paghahanap ng posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap Isang k minsan a n mga independiyenteng pagsubok, kung saan ang bawat isa ay isang kaganapan PERO lilitaw na may posibilidad p:
. (1)
Puna 1. Sa pagtaas n at k ang aplikasyon ng Bernoulli formula ay nauugnay sa computational na mga paghihirap, kaya ang formula (1) ay pangunahing ginagamit kung k hindi hihigit sa 5 at n hindi maganda.
Puna 2. Dahil sa katotohanan na ang mga probabilidad sa anyo ay mga miyembro ng binomial expansion, ang probability distribution ng form (1) ay tinatawag na binomial pamamahagi.
Halimbawa. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.8. Hanapin ang posibilidad ng limang hit na may anim na shot.
Solusyon. Simula noon 
, bukod sa at . Gamit ang Bernoulli formula, nakukuha natin ang:
Halimbawa. Apat na independyenteng mga putok ang pinaputok sa parehong target mula sa iba't ibang distansya. Ang mga probabilidad ng hit para sa mga shot na ito ay ayon sa pagkakabanggit:
Hanapin ang mga probabilidad ng wala, isa, dalawa, tatlo, at apat na hit:
Solusyon. Binubuo namin ang pagbuo ng function:
Halimbawa. Limang independyenteng mga putok ang pinaputok sa isang target na may posibilidad na matamaan na 0.2. Tatlong hit ay sapat na upang sirain ang target. Hanapin ang posibilidad na ang target ay masisira.
Solusyon. Ang posibilidad ng pagkasira ng target ay kinakalkula ng formula:
Halimbawa. Sampung independyenteng mga putok ang ipinutok sa target, ang posibilidad na tamaan ito ng isang putok ay 0.1. Ang isang hit ay sapat na upang tamaan ang target. Hanapin ang posibilidad na matamaan ang target.
Solusyon. Ang posibilidad ng hindi bababa sa isang hit ay kinakalkula ng formula:
3. Lokal na Moivre-Laplace theorem
Sa mga aplikasyon, madalas na kinakailangan upang kalkulahin ang mga probabilidad ng iba't ibang mga kaganapan na nauugnay sa bilang ng mga paglitaw ng kaganapan sa n mga pagsubok ng Bernoulli scheme sa malalaking halaga n. Sa kasong ito, nagiging mahirap ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng formula (1). Ang mga paghihirap ay tumataas kapag ang isa ay kailangang magdagdag ng mga posibilidad na ito. Ang mga paghihirap sa mga kalkulasyon ay lumitaw din para sa maliliit na halaga p o q.
Nakuha ni Laplace ang isang mahalagang tinatayang formula para sa posibilidad ng isang kaganapan na magaganap PERO eksakto m beses, kung ay isang sapat na malaking bilang, iyon ay, kapag .
Local de Moivre–Laplace theorem. Kung ang probabilidad p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho at iba sa zero at isa, , ang halaga ay nakatali nang pantay sa m at n, pagkatapos ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapang A eksaktong m beses sa n independiyenteng mga pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng
Hayaang magsagawa ng n pagsubok na may kinalaman sa kaganapan A. Ipakilala natin ang mga sumusunod na kaganapan: Аk -- naganap ang kaganapan А sa panahon ng k-th test, $ k=1,2,\dots , n$. Kung gayon ang $\bar(A)_(k) $ ay ang kabaligtaran na kaganapan (ang kaganapan A ay hindi naganap sa panahon ng k-th test, $k=1,2,\dots , n$).
Ano ang peer at independent trials
Kahulugan
Ang mga pagsusulit ay tinatawag sa parehong uri na may kinalaman sa kaganapan A kung ang mga probabilidad ng mga kaganapan $A1, A2, \dots , An$ ay pareho: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (ibig sabihin, ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa isang pagsubok ay pare-pareho sa lahat ng pagsubok).
Malinaw, sa kasong ito, ang mga probabilidad ng magkasalungat na kaganapan ay nag-tutugma din: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(( A) _(n))$.
Kahulugan
Ang mga pagsubok ay tinatawag na independyente kaugnay ng kaganapan A kung ang mga kaganapang $A1, A2, \dots , An$ ay independyente.
Sa kasong ito
Sa kasong ito, pinapanatili ang pagkakapantay-pantay kapag ang anumang kaganapan Ak ay pinalitan ng $\bar(A)_(k) $.
Hayaang magsagawa ng serye ng n katulad na independiyenteng pagsubok na may kinalaman sa kaganapan A. Dala namin ang notasyon: p - ang posibilidad ng kaganapan A sa isang pagsubok; q ay ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan. Kaya P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ para sa anumang k at p+q=1.
Ang posibilidad na sa isang serye ng n pagsubok na kaganapan A ay magaganap nang eksakto k beses (0 ≤ k ≤ n) ay kinakalkula ng formula:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Ang pagkakapantay-pantay (1) ay tinatawag na Bernoulli formula.
Ang posibilidad na sa isang serye ng n independiyenteng pagsubok ng parehong uri ng kaganapan A ay magaganap nang hindi bababa sa k1 beses at hindi hihigit sa k2 beses ay kinakalkula ng formula:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Ang paggamit ng Bernoulli formula para sa malalaking halaga ng n ay humahantong sa masalimuot na mga kalkulasyon, kaya sa mga kasong ito ay mas mahusay na gumamit ng iba pang mga formula - mga asymptotic.
Paglalahat ng iskema ng Bernoulli
Isaalang-alang ang isang generalization ng Bernoulli scheme. Kung sa isang serye ng n independiyenteng pagsubok, ang bawat isa ay may m pairwise na hindi tugma at posibleng mga resulta Ak na may kaukulang probabilities Рk= рk(Аk). Pagkatapos ang polynomial distribution formula ay wasto:
Halimbawa 1
Ang posibilidad na magkaroon ng trangkaso sa panahon ng isang epidemya ay 0.4. Hanapin ang posibilidad na sa 6 na empleyado ng kumpanya ay magkasakit
- eksaktong 4 na empleyado;
- hindi hihigit sa 4 na empleyado.
Solusyon. 1) Malinaw, upang malutas ang problemang ito, ang Bernoulli formula ay naaangkop, kung saan n=6; k=4; p=0.4; q=1-p=0.6. Sa paglalapat ng formula (1), makukuha natin ang: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.
Upang malutas ang problemang ito, ang formula (2) ay naaangkop, kung saan ang k1=0 at k2=4. Meron kami:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ approx 0.959.) \end(array)\]
Dapat pansinin na ang gawaing ito ay mas madaling malutas gamit ang kabaligtaran na kaganapan - higit sa 4 na empleyado ang nagkasakit. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang formula (7) sa mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan, nakukuha namin ang:
Sagot: $\ $0.959.
Halimbawa 2
Ang isang urn ay naglalaman ng 20 puti at 10 itim na bola. 4 na bola ang inilabas, at ang bawat bola na inilabas ay ibinalik sa urn bago ang susunod na ibunot at ang mga bola sa urn ay pinaghalo. Hanapin ang posibilidad na sa apat na bola na iginuhit ay magkakaroon ng 2 puting bola sa Figure 1.
Larawan 1.
Solusyon. Hayaan ang kaganapan A na -- isang puting bola ang iguguhit. Pagkatapos ang mga probabilidad $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Ayon sa Bernoulli formula, ang kinakailangang probabilidad ay $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \kanan)^(2) =\frac(8)(27) $.
Sagot: $\frac(8)(27) $.
Halimbawa 3
Tukuyin ang posibilidad na ang isang pamilya na may 5 anak ay magkakaroon ng hindi hihigit sa 3 babae. Ang mga posibilidad na magkaroon ng isang lalaki at isang babae ay ipinapalagay na pareho.
Solusyon. Probabilidad ng pagkakaroon ng isang babae $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probability ng pagkakaroon ng isang lalaki. Walang hihigit sa tatlong babae sa isang pamilya, na nangangahulugang isa, o dalawa, o tatlong babae ang ipinanganak, o lahat ng lalaki sa pamilya.
Hanapin ang mga probabilidad na walang mga babae sa pamilya, isa, dalawa o tatlong babae ang ipinanganak: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Samakatuwid, ang kinakailangang probabilidad ay $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Sagot: $\frac(13)(16)$.
Halimbawa 4
Ang unang shooter na may isang shot ay maaaring tumama sa nangungunang sampung na may posibilidad na 0.6, ang siyam na may posibilidad na 0.3, at ang walo na may posibilidad na 0.1. Ano ang posibilidad na, sa 10 putok, tatama siya ng sampu anim na beses, siyam na tatlong beses, at walong walong beses?
n mga eksperimento ay isinagawa ayon sa Bernoulli scheme na may posibilidad na magtagumpay p. Hayaang X ang bilang ng mga tagumpay. Ang random variable X ay may saklaw (0,1,2,...,n). Ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: , kung saan ang C m n ay ang bilang ng mga kumbinasyon mula n hanggang m . 
Ang serye ng pamamahagi ay may anyo:
| x | 0 | 1 | ... | m | n |
| p | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p n |
Pagtatalaga ng serbisyo. Ang isang online na calculator ay ginagamit upang bumuo binomial na serye ng pamamahagi at pagkalkula ng lahat ng katangian ng serye: mathematical expectation, variance at standard deviation. Ang isang ulat na may desisyon ay iginuhit sa Word format (halimbawa).
Video na pagtuturo
Bernoulli test scheme
Mga numerical na katangian ng isang random na variable na ibinahagi ayon sa binomial na batas
Ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable X, na ibinahagi ayon sa binomial na batas.M[X]=np
Ang pagpapakalat ng isang random na variable X, na ibinahagi ayon sa binomial na batas.
D[X]=npq
Halimbawa #1. Maaaring may depekto ang produkto na may posibilidad na p = 0.3 bawat isa. Tatlong item ang pinili mula sa isang batch. Ang X ay ang bilang ng mga may sira na bahagi sa mga napili. Hanapin (ilagay ang lahat ng sagot sa anyo ng mga decimal fraction): a) serye ng pamamahagi X; b) function ng pamamahagi F(x) .
Solusyon. Ang random na variable X ay may saklaw (0,1,2,3).
Hanapin natin ang serye ng pamamahagi X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44
P 3 (3) = p n = 0.3 3 = 0.027
| x i | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Ang mathematical expectation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
Pagsusuri: m = ∑ x i p i .
Pag-asa sa matematika M[X].
M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
Ang dispersion ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
Pagsusuri: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersion D[X].
D[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 - 0.9 2 = 0.63
Standard deviation σ(x).
Distribution function F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3))) = 1
- Ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang pagsubok ay 0.6. 5 pagsubok ang ginawa. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable X - ang bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan.
- Buuin ang batas ng pamamahagi ng random variable X ng bilang ng mga hit na may apat na shot, kung ang posibilidad na matamaan ang target ng isang shot ay 0.8.
- Ang isang barya ay ihahagis ng 7 beses. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga paglitaw ng coat of arms. Tandaan: dito ang posibilidad ng paglitaw ng coat of arms ay p = 1/2 (dahil ang barya ay may dalawang panig).
Halimbawa #2. Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa isang pagsubok ay 0.6. Ang paglalapat ng teorama ni Bernoulli, tukuyin ang bilang ng mga independiyenteng pagsubok, simula kung saan ang posibilidad ng paglihis ng dalas ng isang kaganapan mula sa posibilidad nito sa ganap na halaga ay mas mababa sa 0.1 , higit sa 0.97 . (Sagot: 801)
Halimbawa #3. Ang mga mag-aaral ay nagsasagawa ng mga pagsusulit sa klase ng computer science. Ang gawain ay binubuo ng tatlong gawain. Upang makakuha ng magandang marka, kailangan mong hanapin ang mga tamang sagot sa hindi bababa sa dalawang problema. Ang bawat problema ay may 5 sagot, kung saan isa lamang ang tama. Ang mag-aaral ay pipili ng sagot nang random. Ano ang posibilidad na makakuha siya ng magandang grado?
Solusyon. Probabilidad na masagot ng tama ang tanong: p=1/5=0.2; n=3.
Ang mga data na ito ay dapat na maipasok sa calculator. Tingnan ang P(2)+P(3) para sa sagot.
Halimbawa #4. Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target sa isang shot ay (m+n)/(m+n+2) . n + 4 na putok ang pinaputok. Hanapin ang posibilidad na makaligtaan niya nang hindi hihigit sa dalawang beses.
Tandaan. Ang posibilidad na hindi siya makalampas ng hindi hihigit sa dalawang beses ay kinabibilangan ng mga sumusunod na kaganapan: hindi kailanman makaligtaan ang P(4), makaligtaan ng isang beses P(3), makaligtaan ng dalawang beses P(2).
Halimbawa numero 5. Tukuyin ang probability distribution ng bilang ng nabigong sasakyang panghimpapawid kung 4 na sasakyang panghimpapawid ang lumipad. Ang posibilidad ng hindi mabigo na operasyon ng sasakyang panghimpapawid Р=0.99. Ang bilang ng mga sasakyang panghimpapawid na nabigo sa bawat sortie ay ipinamamahagi ayon sa binomial na batas.
Kung maraming pagsubok ang ginawa, at ang posibilidad ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay hindi nakasalalay sa mga resulta ng iba pang mga pagsubok, kung gayon ang mga naturang pagsubok ay tinatawag na independyente kaugnay ng kaganapan A .
Sa iba't ibang mga independiyenteng pagsubok, ang kaganapan A ay maaaring magkaroon ng alinman sa magkaibang mga probabilidad o parehong posibilidad. Isasaalang-alang lamang namin ang mga independiyenteng pagsubok kung saan ang kaganapan A ay may parehong posibilidad.
Sa ibaba ay ginagamit namin ang konsepto kumplikado mga pangyayari, pag-unawa dito kumbinasyon ng ilang magkakahiwalay na kaganapan, na tinatawag na simple lang .
Hayaan itong mabuo n mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan maaaring mangyari o hindi mangyari ang A. Sumang-ayon tayo na ipagpalagay na ang posibilidad ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pareho, ibig sabihin, ito ay katumbas ng R . Samakatuwid, ang posibilidad ng hindi paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho din at katumbas ng q = 1 - p .
Itakda natin sa ating sarili ang gawain ng pagkalkula ng posibilidad na n mga pagsubok, eksaktong magaganap ang kaganapan A k beses at, samakatuwid, ay hindi maisasakatuparan n-k minsan. Mahalagang bigyang-diin na hindi kinakailangan na eksaktong mauulit ang kaganapang A k beses sa isang tiyak na pagkakasunod-sunod.
Halimbawa, kung pinag-uusapan natin ang paglitaw ng isang kaganapan PERO tatlong beses sa apat na pagsubok, posible ang mga sumusunod na kumplikadong kaganapan: AAA, AAA, AAA, AAA. Pagre-record AAA nangangahulugan na sa una, pangalawa at pangatlong pagsubok ang kaganapan PERO dumating, ngunit sa ikaapat na pagsubok ay hindi ito lumitaw, i.e. kabaligtaran ang nangyari NGUNIT; ibang mga entry ay may katumbas na kahulugan.
Ipahiwatig ang nais na posibilidad R p (k) . Halimbawa, ang simbolo R 5 (3) nangangahulugang ang posibilidad na sa limang pagsubok ang kaganapan ay magaganap nang eksaktong 3 beses at, samakatuwid, ay hindi magaganap nang 2 beses.
Ang problema ay maaaring malutas gamit ang tinatawag na Bernoulli formula.
Pinagmulan ng Bernoulli formula. Ang posibilidad ng isang tambalang kaganapan na binubuo sa katotohanan na sa P kaganapan sa pagsubok PERO darating k minsan at hindi darating n - k beses, ayon sa teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan ay katumbas ng p k q n - k . Maaaring mayroong kasing dami ng mga masalimuot na kaganapan gaya ng mga kumbinasyon ng P mga elemento sa pamamagitan ng k mga elemento, i.e. C n k .
Simula ng mga masalimuot na pangyayaring ito hindi magkatugma, pagkatapos ayon sa theorem ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan ang gustong probabilidad ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng kumplikadong pangyayari. Dahil ang mga probabilidad ng lahat ng kumplikadong kaganapang ito ay pareho, ang nais na posibilidad (ng pangyayari k mga oras ng kaganapan PERO sa P mga pagsubok) ay katumbas ng posibilidad ng isang kumplikadong kaganapan, na pinarami ng kanilang numero:
Ang resultang formula ay tinatawag Bernoulli formula .
Halimbawa 1. Ang posibilidad na ang pagkonsumo ng kuryente sa isang araw ay hindi lalampas sa itinatag na pamantayan ay katumbas ng p = 0.75 . Hanapin ang posibilidad na sa susunod na 6 na araw ang konsumo ng kuryente sa loob ng 4 na araw ay hindi lalampas sa pamantayan.
Solusyon. Ang posibilidad ng normal na pagkonsumo ng kuryente sa bawat 6 na araw ay pare-pareho at katumbas ng p = 0.75 . Samakatuwid, ang posibilidad ng labis na paggasta ng kuryente araw-araw ay pare-pareho at katumbas ng q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25.
Ang nais na posibilidad ayon sa Bernoulli formula ay katumbas ng:
