Sa materyal na ito, susuriin namin kung paano tama ang pagdadala ng mga fraction sa isang bagong denominator, kung ano ang karagdagang kadahilanan at kung paano ito mahahanap. Pagkatapos nito, binubuo namin ang pangunahing panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction sa mga bagong denominator at ilarawan ito sa mga halimbawa ng mga problema.
Ang konsepto ng pagbabawas ng isang fraction sa ibang denominator
Alalahanin ang pangunahing katangian ng isang fraction. Ayon sa kanya, ang ordinaryong fraction a b (kung saan ang a at b ay anumang numero) ay may walang katapusang bilang ng mga fraction na katumbas nito. Ang ganitong mga fraction ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa parehong bilang na m (natural). Sa madaling salita, ang lahat ng ordinaryong fraction ay maaaring palitan ng iba sa anyong a m b m . Ito ang pagbawas ng orihinal na halaga sa isang fraction na may nais na denominator.
Maaari kang magdala ng fraction sa ibang denominator sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator nito sa anumang natural na numero. Ang pangunahing kondisyon ay ang multiplier ay dapat na pareho para sa parehong bahagi ng fraction. Ang resulta ay isang fraction na katumbas ng orihinal.
Ilarawan natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa 1
I-convert ang fraction 11 25 sa isang bagong denominator.
Solusyon
Kumuha ng di-makatwirang natural na numero 4 at i-multiply ang parehong bahagi ng orihinal na bahagi nito. Isinasaalang-alang namin: 11 4 \u003d 44 at 25 4 \u003d 100. Ang resulta ay isang fraction ng 44,100.
Ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring isulat sa form na ito: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100
Lumalabas na ang anumang fraction ay maaaring bawasan sa isang malaking bilang ng iba't ibang denominator. Sa halip na apat, maaari tayong kumuha ng isa pang natural na numero at makakuha ng isa pang fraction na katumbas ng orihinal.
Ngunit hindi anumang numero ang maaaring maging denominator ng isang bagong fraction. Kaya, para sa a b ang denominator ay maaari lamang maglaman ng mga numero b · m na multiple ng b . Alalahanin ang mga pangunahing konsepto ng dibisyon - multiple at divisors. Kung ang numero ay hindi multiple ng b, ngunit hindi ito maaaring maging divisor ng isang bagong fraction. Ipaliwanag natin ang ating ideya sa isang halimbawa ng paglutas ng problema.
Halimbawa 2
Kalkulahin kung posible na bawasan ang fraction 5 9 sa mga denominator na 54 at 21.
Solusyon
Ang 54 ay isang multiple ng siyam, na siyang denominator ng bagong fraction (i.e. 54 ay maaaring hatiin ng 9). Samakatuwid, posible ang gayong pagbabawas. At hindi natin mahahati ang 21 sa 9, kaya hindi maaaring gawin ang naturang aksyon para sa fraction na ito.
Ang konsepto ng karagdagang multiplier
Bumalangkas tayo kung ano ang karagdagang salik.
Kahulugan 1
Karagdagang multiplier ay isang natural na numero kung saan ang parehong bahagi ng isang fraction ay pinarami upang dalhin ito sa isang bagong denominator.
Yung. kapag ginawa namin ang pagkilos na ito sa isang fraction, kumukuha kami ng karagdagang multiplier para dito. Halimbawa, upang bawasan ang fraction 7 10 sa anyo 21 30, kailangan namin ng karagdagang salik 3 . At makakakuha ka ng fraction 15 40 sa 3 8 gamit ang multiplier 5.
Alinsunod dito, kung alam natin ang denominator kung saan dapat bawasan ang fraction, maaari nating kalkulahin ang isang karagdagang kadahilanan para dito. Alamin natin kung paano ito gagawin.
Mayroon kaming fraction a b , na maaaring bawasan sa ilang denominator c ; kalkulahin ang karagdagang kadahilanan m . Kailangan nating i-multiply ang denominator ng orihinal na fraction sa m. Nakukuha namin ang b · m , at ayon sa kondisyon ng problema b · m = c . Alalahanin kung paano nauugnay ang pagpaparami at paghahati. Ang koneksyon na ito ay magdadala sa atin sa sumusunod na konklusyon: ang karagdagang salik ay walang iba kundi ang quotient ng paghahati ng c sa b, sa madaling salita, m = c: b.
Kaya, upang makahanap ng karagdagang kadahilanan, kailangan nating hatiin ang kinakailangang denominator sa orihinal.
Halimbawa 3
Hanapin ang karagdagang salik kung saan dinala ang fraction 17 4 sa denominator 124 .
Solusyon
Gamit ang panuntunan sa itaas, hinahati lang natin ang 124 sa denominator ng orihinal na fraction, apat.
Isinasaalang-alang namin: 124: 4 \u003d 31.
Ang ganitong uri ng pagkalkula ay madalas na kinakailangan kapag binabawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.
Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction sa isang tinukoy na denominator
Lumipat tayo sa kahulugan ng pangunahing panuntunan, kung saan maaari kang magdala ng mga fraction sa tinukoy na denominator. Kaya,
Kahulugan 2
Upang magdala ng isang fraction sa tinukoy na denominator, kailangan mo:
- tumukoy ng karagdagang multiplier;
- i-multiply nito ang numerator at ang denominator ng orihinal na fraction.
Paano ilapat ang panuntunang ito sa pagsasanay? Magbigay tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng problema.
Halimbawa 4
Isagawa ang pagbabawas ng fraction 7 16 sa denominator 336 .
Solusyon
Magsimula tayo sa pagkalkula ng karagdagang multiplier. Hatiin: 336: 16 = 21.
Pina-multiply namin ang natanggap na sagot sa parehong bahagi ng orihinal na fraction: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. Kaya dinala namin ang orihinal na fraction sa nais na denominator 336.
Sagot: 7 16 = 147 336.
Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Noong una, gusto kong isama ang mga karaniwang pamamaraan ng denominator sa talata ng "Pagdaragdag at Pagbabawas ng mga Fraction." Ngunit napakaraming impormasyon, at napakalaki ng kahalagahan nito (pagkatapos ng lahat, hindi lamang mga numerical fraction ang may mga karaniwang denominador), na mas mabuting pag-aralan ang isyung ito nang hiwalay.
Kaya't sabihin nating mayroon tayong dalawang fraction na may magkaibang denominator. At gusto naming tiyakin na ang mga denominator ay magiging pareho. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay sumagip, na, hayaan mong ipaalala ko sa iyo, ay ganito ang tunog:
Ang isang fraction ay hindi nagbabago kung ang numerator at denominator nito ay i-multiply sa parehong di-zero na numero.
Kaya, kung pipiliin mo nang tama ang mga kadahilanan, ang mga denominador ng mga fraction ay magiging pantay - ang prosesong ito ay tinatawag na pagbawas sa isang karaniwang denominator. At ang nais na mga numero, "pag-level" ng mga denominador, ay tinatawag na karagdagang mga kadahilanan.
Bakit kailangan mong magdala ng mga fraction sa isang common denominator? Narito ang ilang mga dahilan:
- Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Walang ibang paraan upang maisagawa ang operasyong ito;
- Paghahambing ng fraction. Minsan ang pagbawas sa isang karaniwang denominator ay lubos na nagpapadali sa gawaing ito;
- Paglutas ng mga problema sa pagbabahagi at porsyento. Ang mga porsyento ay, sa katunayan, mga ordinaryong expression na naglalaman ng mga fraction.
Mayroong maraming mga paraan upang makahanap ng mga numero na ginagawang pantay ang mga denominator kapag pinarami. Tatlo lamang sa kanila ang isasaalang-alang namin - sa pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng pagiging kumplikado at, sa isang kahulugan, kahusayan.
Multiplikasyon "criss-cross"
Ang pinakasimpleng at pinaka-maaasahang paraan, na ginagarantiyahan na ipantay ang mga denominador. Kami ay kikilos "sa unahan": pinaparami namin ang unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction, at ang pangalawa sa denominator ng una. Bilang resulta, ang mga denominador ng parehong mga fraction ay magiging katumbas ng produkto ng mga orihinal na denominator. Tingnan mo:
Bilang karagdagang mga salik, isaalang-alang ang mga denominador ng mga kalapit na fraction. Nakukuha namin:
Oo, ganoon kasimple. Kung nagsisimula ka pa lamang mag-aral ng mga fraction, mas mainam na gamitin ang pamamaraang ito - sa ganitong paraan masisiguro mo ang iyong sarili laban sa maraming pagkakamali at garantisadong makuha ang resulta.
Ang tanging disbentaha ng pamamaraang ito ay kailangan mong magbilang ng marami, dahil ang mga denominador ay pinarami "sa unahan", at bilang isang resulta, napakalaking mga numero ay maaaring makuha. Iyan ang presyo ng pagiging maaasahan.
Karaniwang paraan ng divisor
Ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang lubos na mabawasan ang mga kalkulasyon, ngunit, sa kasamaang-palad, ito ay bihirang ginagamit. Ang pamamaraan ay ang mga sumusunod:
- Tingnan ang mga denominator bago ka pumunta sa "thru" (i.e., "criss-cross"). Marahil ang isa sa kanila (ang isa na mas malaki) ay nahahati sa isa pa.
- Ang bilang na nagreresulta mula sa naturang dibisyon ay magiging karagdagang salik para sa isang fraction na may mas maliit na denominator.
- Kasabay nito, ang isang fraction na may malaking denominator ay hindi kailangang i-multiply sa anumang bagay - ito ang mga matitipid. Kasabay nito, ang posibilidad ng pagkakamali ay nabawasan nang husto.
Isang gawain. Maghanap ng mga halaga ng expression:
Tandaan na 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Dahil sa parehong mga kaso ang isang denominator ay nahahati ng isa nang walang natitira, ginagamit namin ang paraan ng mga karaniwang kadahilanan. Meron kami:
Tandaan na ang pangalawang bahagi ay hindi pinarami ng anuman. Sa katunayan, pinutol namin ang halaga ng mga kalkulasyon sa kalahati!
Sa pamamagitan ng paraan, kinuha ko ang mga fraction sa halimbawang ito para sa isang dahilan. Kung interesado ka, subukang bilangin ang mga ito gamit ang paraan ng criss-cross. Pagkatapos ng pagbabawas, ang mga sagot ay magiging pareho, ngunit magkakaroon ng higit pang trabaho.
Ito ang lakas ng paraan ng mga karaniwang divisors, ngunit, muli, maaari lamang itong ilapat kapag ang isa sa mga denominador ay hinati ng isa nang walang natitira. Na medyo bihirang mangyari.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang pamamaraan
Kapag binabawasan namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, mahalagang sinusubukan naming makahanap ng isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga denominator. Pagkatapos ay dinadala namin ang mga denominador ng parehong mga fraction sa numerong ito.
Mayroong maraming mga naturang numero, at ang pinakamaliit sa mga ito ay hindi kinakailangang katumbas ng direktang produkto ng mga denominador ng orihinal na mga fraction, gaya ng ipinapalagay sa "cross-wise" na pamamaraan.
Halimbawa, para sa mga denominador 8 at 12, ang bilang na 24 ay angkop, dahil 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Ang bilang na ito ay mas mababa kaysa sa produkto 8 12 = 96 .
Ang pinakamaliit na bilang na nahahati ng bawat isa sa mga denominador ay tinatawag na kanilang least common multiple (LCM).
Notasyon: Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng a at b ay tinutukoy ng LCM(a ; b ) . Halimbawa, LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Kung namamahala ka upang mahanap ang naturang numero, ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon ay magiging minimal. Tingnan ang mga halimbawa:
Isang gawain. Maghanap ng mga halaga ng expression:
Tandaan na 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Ang mga kadahilanan 2 at 3 ay coprime (walang mga karaniwang divisors maliban sa 1), at ang kadahilanan 117 ay karaniwan. Samakatuwid LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.
Katulad nito, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Ang mga kadahilanan 3 at 4 ay medyo prime, at ang kadahilanan 5 ay karaniwan. Samakatuwid LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Ngayon, dalhin natin ang mga fraction sa mga common denominator:
Pansinin kung gaano naging kapaki-pakinabang ang factorization ng mga orihinal na denominator:
- Sa pagkakaroon ng natagpuan ang parehong mga kadahilanan, agad naming naabot ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, na, sa pangkalahatan, ay isang hindi maliit na problema;
- Mula sa nagresultang pagpapalawak, maaari mong malaman kung aling mga salik ang "nawawala" para sa bawat isa sa mga praksyon. Halimbawa, 234 3 \u003d 702, samakatuwid, para sa unang bahagi, ang karagdagang kadahilanan ay 3.
Upang pahalagahan kung gaano kalaki ang ibinibigay ng isang panalo na hindi gaanong karaniwang multiple na pamamaraan, subukang kalkulahin ang parehong mga halimbawa gamit ang paraan ng criss-cross. Siyempre, walang calculator. I think after that comments will be redundant.
Huwag isipin na ang mga kumplikadong fraction ay hindi magiging sa totoong mga halimbawa. Nagkikita sila sa lahat ng oras, at ang mga gawain sa itaas ay hindi ang limitasyon!
Ang problema lang ay kung paano mahahanap ang NOC na ito. Minsan ang lahat ay matatagpuan sa loob ng ilang segundo, literal na "sa pamamagitan ng mata", ngunit sa pangkalahatan ito ay isang kumplikadong problema sa computational na nangangailangan ng hiwalay na pagsasaalang-alang. Dito ay hindi natin ito tatapusin.
Upang dalhin ang mga fraction sa pinakamababang common denominator, kailangan mong: 1) hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito, ito ang magiging least common denominator. 2) maghanap ng karagdagang salik para sa bawat isa sa mga fraction, kung saan hinahati natin ang bagong denominator sa denominator ng bawat fraction. 3) paramihin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.
Mga halimbawa. Bawasan ang mga sumusunod na fraction sa pinakamababang common denominator.
Nahanap namin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator: LCM(5; 4) = 20, dahil ang 20 ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa parehong 5 at 4. Nakikita namin para sa 1st fraction ang karagdagang salik 4 (20). : 5=4). Para sa 2nd fraction, ang karagdagang multiplier ay 5 (20 : 4=5). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 4, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 20 ).
Ang pinakamababang common denominator ng mga fraction na ito ay 8, dahil ang 8 ay nahahati sa 4 at mismo. Walang karagdagang multiplier sa 1st fraction (o masasabi nating katumbas ito ng isa), sa 2nd fraction ang karagdagang multiplier ay 2 (8 : 4=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 8 ).
Ang mga fraction na ito ay hindi mababawasan.
Binabawasan namin ng 4 ang 1st fraction, at binabawasan namin ng 2 ang 2nd fraction. ( tingnan ang mga halimbawa sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction: Sitemap → 5.4.2. Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga ordinaryong fraction). Hanapin ang LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ang karagdagang multiplier para sa 1st fraction ay 5 (80 : 16=5). Ang karagdagang multiplier para sa 2nd fraction ay 4 (80 : 20=4). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 5, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 4. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 80 ).
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng NOC(5 ; 6 at 15) = LCM(5 ; 6 at 15)=30. Ang karagdagang multiplier sa 1st fraction ay 6 (30 : 5=6), ang karagdagang multiplier sa 2nd fraction ay 5 (30 : 6=5), ang karagdagang multiplier sa 3rd fraction ay 2 (30 : 15=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 6, ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5, ang numerator at denominator ng 3rd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 30 ).
Pahina 1 ng 1 1
Ang denominator ng isang arithmetic fraction a / b ay ang bilang b, na nagpapakita ng laki ng mga fraction ng isang yunit na bumubuo sa fraction. Ang denominator ng isang algebraic fraction na A / B ay isang algebraic na expression B. Upang maisagawa ang mga pagpapatakbo ng arithmetic na may mga fraction, dapat silang bawasan sa pinakamaliit na common denominator.
Kakailanganin mong
- Upang gumana sa mga algebraic fraction kapag naghahanap ng hindi bababa sa karaniwang denominator, kailangan mong malaman ang mga paraan ng factoring polynomials.
Pagtuturo
Isaalang-alang ang pagbawas sa hindi bababa sa karaniwang denominator ng dalawang arithmetic fraction n/m at s/t, kung saan ang n, m, s, t ay mga integer. Malinaw na ang dalawang fraction na ito ay maaaring bawasan sa anumang denominator na mahahati ng m at t. Ngunit sinusubukan nilang dalhin sa pinakamababang karaniwang denominador. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominador m at t ng mga ibinigay na fraction. Ang hindi bababa sa maramihang (LCM) ng mga numero ay ang pinakamaliit na nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang sabay-sabay. Yung. sa aming kaso, ito ay kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero m at t. Tinutukoy bilang LCM (m, t). Dagdag pa, ang mga praksiyon ay pinarami ng mga katumbas na: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Hanapin natin ang least common denominator ng tatlong fraction: 4/5, 7/8, 11/14. Una, pinalawak namin ang mga denominator 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Susunod, kinakalkula namin ang LCM (5, 8, 14), pagpaparami ng lahat ng numerong kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Tandaan na kung ang salik ay nangyayari sa pagpapalawak ng ilang mga numero (factor 2 sa pagpapalawak ng mga denominator 8 at 14), pagkatapos ay kunin natin ang salik sa isang mas mataas na antas (2^3 sa aming kaso).
Kaya, natanggap ang heneral. Ito ay katumbas ng 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Dito natin nakukuha ang mga numero kung saan ang mga fraction na may katumbas na denominator ay dapat na i-multiply upang dalhin ang mga ito sa pinakamababang karaniwang denominator. Nakukuha namin ang 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Ang pagbabawas sa pinakamaliit na karaniwang denominator ng mga algebraic fraction ay ginagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad sa arithmetic. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang problema sa isang halimbawa. Hayaang ibigay ang dalawang fraction (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) at (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). I-factorize natin ang parehong denominator. Tandaan na ang denominator ng unang fraction ay isang perpektong parisukat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Para sa
