Ang pagbabago ng isang kumpletong quadratic equation sa isang hindi kumpleto ay ganito ang hitsura (para sa kaso \(b=0\)):

Para sa mga kaso kung kailan \(c=0\) o kapag ang parehong coefficient ay katumbas ng zero, lahat ay magkapareho.

Pakitandaan na ang \(a\) ay hindi katumbas ng zero, hindi ito maaaring katumbas ng zero, dahil sa kasong ito ito ay nagiging:

Solusyon ng hindi kumpletong quadratic equation.

Una sa lahat, kailangan mong maunawaan na ang hindi kumpletong quadratic equation ay pa rin, samakatuwid, maaari itong malutas sa parehong paraan tulad ng karaniwang quadratic (through). Upang gawin ito, idagdag lang namin ang nawawalang bahagi ng equation na may zero coefficient.

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(3x^2-27=0\)
Solusyon :

		Mayroon kaming hindi kumpletong quadratic equation na may coefficient \(b=0\). Iyon ay, maaari nating isulat ang equation sa sumusunod na anyo:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Sa katunayan, narito ang parehong equation tulad ng sa simula, ngunit ngayon maaari itong malutas bilang isang ordinaryong parisukat. Una naming isulat ang mga coefficient.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Hanapin natin ang mga ugat ng equation gamit ang mga formula \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) at \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Isulat ang sagot

Sagot : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Halimbawa : Hanapin ang mga ugat ng equation \(-x^2+x=0\)
Solusyon :

		Muli, isang hindi kumpletong quadratic equation, ngunit ngayon ang coefficient \(c\) ay katumbas ng zero. Isinulat namin ang equation bilang kumpleto.

Kopyevskaya rural secondary school

10 Paraan para Malutas ang Mga Quadratic Equation

Pinuno: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guro sa matematika

s.Kopyevo, 2007

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa sinaunang Babylon

1.2 Paano pinagsama-sama at nalutas ni Diophantus ang mga quadratic equation

1.3 Quadratic equation sa India

1.4 Quadratic equation sa al-Khwarizmi

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII siglo

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Konklusyon

Panitikan

1. Kasaysayan ng pagbuo ng mga quadratic equation

1.1 Quadratic equation sa sinaunang Babylon

Ang pangangailangan upang malutas ang mga equation hindi lamang ng una, kundi pati na rin ng pangalawang degree sa sinaunang panahon ay sanhi ng pangangailangan upang malutas ang mga problema na may kaugnayan sa paghahanap ng mga lugar ng lupa at earthworks ng isang militar na kalikasan, pati na rin ang pag-unlad ng astronomiya at matematika mismo. Ang mga quadratic equation ay nagawang malutas ang mga 2000 BC. e. Babylonians.

Ang paglalapat ng modernong algebraic notation, maaari nating sabihin na sa kanilang mga cuneiform na teksto ay mayroong, bilang karagdagan sa mga hindi kumpleto, tulad, halimbawa, kumpletong quadratic equation:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Ang tuntunin para sa paglutas ng mga equation na ito, na nakasaad sa mga tekstong Babylonian, ay talagang kasabay ng modernong isa, ngunit hindi alam kung paano napunta ang mga Babylonians sa panuntunang ito. Halos lahat ng mga tekstong cuneiform na natagpuan sa ngayon ay nagbibigay lamang ng mga problema sa mga solusyon na nakasaad sa anyo ng mga recipe, na walang indikasyon kung paano sila natagpuan.

Sa kabila ng mataas na antas ng pag-unlad ng algebra sa Babylon, ang mga tekstong cuneiform ay kulang sa konsepto ng negatibong numero at mga pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation.

1.2 Paano pinagsama-sama at nalutas ni Diophantus ang mga quadratic equation.

Ang Diophantus' Arithmetic ay hindi naglalaman ng isang sistematikong paglalahad ng algebra, ngunit naglalaman ito ng isang sistematikong serye ng mga problema, na sinamahan ng mga paliwanag at nalutas sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng mga equation ng iba't ibang antas.

Kapag nag-compile ng mga equation, mahusay na pinipili ni Diophantus ang mga hindi alam upang gawing simple ang solusyon.

Narito, halimbawa, ang isa sa kanyang mga gawain.

Gawain 11."Maghanap ng dalawang numero na alam na ang kanilang kabuuan ay 20 at ang kanilang produkto ay 96"

Nagtatalo si Diophantus bilang mga sumusunod: sumusunod ito mula sa kondisyon ng problema na ang mga nais na numero ay hindi pantay, dahil kung sila ay pantay, kung gayon ang kanilang produkto ay magiging katumbas hindi sa 96, ngunit sa 100. Kaya, ang isa sa kanila ay magiging higit pa sa kalahati ng kanilang kabuuan, ibig sabihin. 10+x, ang isa ay mas maliit, i.e. 10's. Ang pagkakaiba sa pagitan nila 2x .

Kaya ang equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Mula rito x = 2. Isa sa mga gustong numero ay 12 , iba pa 8 . Solusyon x = -2 para sa Diophantus ay hindi umiiral, dahil ang Griyego matematika alam lamang positibong numero.

Kung lutasin natin ang problemang ito sa pamamagitan ng pagpili ng isa sa mga nais na numero bilang hindi alam, pagkatapos ay darating tayo sa solusyon ng equation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Malinaw na pinasimple ni Diophantus ang solusyon sa pamamagitan ng pagpili ng kalahating pagkakaiba ng mga nais na numero bilang hindi alam; nagagawa niyang bawasan ang problema sa paglutas ng hindi kumpletong quadratic equation (1).

1.3 Quadratic equation sa India

Ang mga problema para sa quadratic equation ay matatagpuan na sa astronomical tract na "Aryabhattam", na pinagsama-sama noong 499 ng Indian mathematician at astronomer na si Aryabhatta. Ang isa pang siyentipikong Indian, si Brahmagupta (ika-7 siglo), ay nagbalangkas ng pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation na binawasan sa isang solong canonical form:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Sa equation (1), ang mga coefficient, maliban sa a, maaari ding maging negatibo. Ang pamumuno ni Brahmagupta ay esensyal na tumutugma sa atin.

Sa sinaunang India, ang mga pampublikong kumpetisyon sa paglutas ng mahihirap na problema ay karaniwan. Sa isa sa mga lumang aklat ng India, ang mga sumusunod ay sinasabi tungkol sa gayong mga kompetisyon: “Kung paanong ang araw ay nanggagaling sa mga bituin sa taglay nitong kinang, gayundin ang isang may-aral na tao ay hihigit sa kaluwalhatian ng iba sa mga pampublikong pagpupulong, na nagmumungkahi at naglulutas ng mga problema sa algebraic.” Ang mga gawain ay kadalasang binibihisan sa anyong patula.

Narito ang isa sa mga problema ng sikat na Indian mathematician ng XII century. Bhaskara.

Gawain 13.

"Isang makulit na kawan ng mga unggoy At labindalawa sa mga baging ...

Pagkakain ng lakas, naging masaya. Nagsimula silang tumalon, nakabitin ...

Walong bahagi ng mga ito sa isang parisukat Ilang unggoy ang naroon,

Nagsasaya sa parang. Sabihin mo sa akin, sa kawan na ito?

Ang solusyon ni Bhaskara ay nagpapahiwatig na alam niya ang tungkol sa dalawang halaga ng mga ugat ng quadratic equation (Larawan 3).

Ang equation na tumutugma sa problema 13 ay:

( x /8) 2 + 12 = x

Sumulat si Bhaskara sa ilalim ng pagkukunwari ng:

x 2 - 64x = -768

at, upang makumpleto ang kaliwang bahagi ng equation na ito sa isang parisukat, idinagdag niya ang magkabilang panig 32 2 , pagkuha pagkatapos:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Quadratic equation sa al-Khorezmi

Ang algebraic treatise ni Al-Khorezmi ay nagbibigay ng klasipikasyon ng linear at quadratic equation. Ang may-akda ay naglista ng 6 na uri ng mga equation, na nagpapahayag ng mga ito bilang mga sumusunod:

1) "Ang mga parisukat ay katumbas ng mga ugat", i.e. palakol 2 + c = b X.

2) "Ang mga parisukat ay katumbas ng numero", i.e. palakol 2 = s.

3) "Ang mga ugat ay katumbas ng bilang", i.e. ah = s.

4) "Ang mga parisukat at numero ay katumbas ng mga ugat", i.e. palakol 2 + c = b X.

5) "Ang mga parisukat at ugat ay katumbas ng bilang", i.e. ah 2+ bx = s.

6) "Ang mga ugat at numero ay katumbas ng mga parisukat", i.e. bx + c \u003d ax 2.

Para kay al-Khwarizmi, na umiwas sa paggamit ng mga negatibong numero, ang mga tuntunin ng bawat isa sa mga equation na ito ay mga addend, hindi mga pagbabawas. Sa kasong ito, ang mga equation na walang positibong solusyon ay malinaw na hindi isinasaalang-alang. Binabalangkas ng may-akda ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na ito, gamit ang mga pamamaraan ng al-jabr at al-muqabala. Ang kanyang mga desisyon, siyempre, ay hindi ganap na tumutugma sa atin. Hindi sa banggitin ang katotohanan na ito ay purong retorika, dapat itong tandaan, halimbawa, na kapag nilutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng unang uri

Si al-Khorezmi, tulad ng lahat ng mathematician bago ang ika-17 siglo, ay hindi isinasaalang-alang ang zero na solusyon, marahil dahil hindi ito mahalaga sa mga partikular na praktikal na problema. Kapag nilulutas ang kumpletong mga parisukat na equation, itinakda ni al-Khorezmi ang mga patakaran para sa paglutas, at pagkatapos ay mga geometric na patunay, gamit ang mga partikular na halimbawang numero.

Gawain 14.“Ang parisukat at ang bilang na 21 ay katumbas ng 10 ugat. Hanapin ang ugat" (ipagpalagay na ang ugat ng equation x 2 + 21 = 10x).

Ang solusyon ng may-akda ay ganito: hatiin ang bilang ng mga ugat sa kalahati, makakakuha ka ng 5, i-multiply ang 5 sa sarili nito, ibawas ang 21 sa produkto, 4 ang natitira. Kunin ang ugat ng 4, makakakuha ka ng 2. Ibawas ang 2 sa 5, ikaw makakuha ng 3, ito ang magiging ninanais na ugat. O magdagdag ng 2 hanggang 5, na magbibigay ng 7, ito ay ugat din.

Ang Treatise al - Khorezmi ay ang unang libro na dumating sa amin, kung saan ang pag-uuri ng mga quadratic equation ay sistematikong nakasaad at ibinigay ang mga formula para sa kanilang solusyon.

1.5 Quadratic equation sa Europe XIII - XVII mga siglo

Ang mga formula para sa paglutas ng mga quadratic equation sa modelo ng al - Khorezmi sa Europa ay unang itinakda sa "Book of the Abacus", na isinulat noong 1202 ng Italyano na matematiko na si Leonardo Fibonacci. Ang napakaraming gawaing ito, na sumasalamin sa impluwensya ng matematika, parehong mga bansa ng Islam at Sinaunang Greece, ay nakikilala sa pamamagitan ng parehong pagkakumpleto at kalinawan ng presentasyon. Ang may-akda ay nakapag-iisa na bumuo ng ilang mga bagong algebraic na halimbawa ng paglutas ng problema at siya ang una sa Europa na lumapit sa pagpapakilala ng mga negatibong numero. Ang kanyang libro ay nag-ambag sa pagkalat ng kaalaman sa algebraic hindi lamang sa Italya, kundi pati na rin sa Alemanya, Pransya at iba pang mga bansa sa Europa. Maraming mga gawain mula sa "Aklat ng Abacus" ang pumasa sa halos lahat ng mga aklat-aralin sa Europa noong ika-16 - ika-17 siglo. at bahagyang XVIII.

Ang pangkalahatang tuntunin para sa paglutas ng mga quadratic equation ay binawasan sa isang solong canonical form:

x 2+ bx = kasama,

para sa lahat ng posibleng kumbinasyon ng mga palatandaan ng coefficients b , Sa ay binuo sa Europa lamang noong 1544 ni M. Stiefel.

Ang Vieta ay may pangkalahatang derivation ng formula para sa paglutas ng isang quadratic equation, ngunit ang Vieta ay kumikilala lamang ng mga positibong ugat. Ang mga Italian mathematician na sina Tartaglia, Cardano, Bombelli ay kabilang sa mga una noong ika-16 na siglo. Isaalang-alang, bilang karagdagan sa positibo, at negatibong mga ugat. Sa siglo XVII lamang. Salamat sa gawain ni Girard, Descartes, Newton at iba pang mga siyentipiko, ang paraan upang malutas ang mga quadratic equation ay nagkakaroon ng modernong hitsura.

1.6 Tungkol sa teorama ni Vieta

Ang theorem na nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga coefficient ng isang quadratic equation at ang mga ugat nito, na may pangalang Vieta, ay binuo niya sa unang pagkakataon noong 1591 tulad ng sumusunod: "Kung B + D pinarami ng A - A 2 , katumbas BD, pagkatapos A katumbas AT at pantay D ».

Upang maunawaan ang Vieta, dapat tandaan iyon PERO, tulad ng anumang patinig, para sa kanya ang hindi alam (aming X), ang mga patinig SA, D- coefficients para sa hindi alam. Sa wika ng modernong algebra, ang pormulasyon ni Vieta sa itaas ay nangangahulugang: kung

(isang + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Sa pagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng mga equation sa pamamagitan ng mga pangkalahatang formula na isinulat gamit ang mga simbolo, itinatag ng Viet ang pagkakapareho sa mga paraan ng paglutas ng mga equation. Gayunpaman, ang simbolismo ng Vieta ay malayo pa rin sa modernong anyo nito. Hindi niya nakilala ang mga negatibong numero, at samakatuwid, sa paglutas ng mga equation, isinasaalang-alang lamang niya ang mga kaso kung saan ang lahat ng mga ugat ay positibo.

2. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation

Ang mga quadratic equation ay ang pundasyon kung saan nakasalalay ang maringal na edipisyo ng algebra. Ang mga quadratic equation ay malawakang ginagamit sa paglutas ng trigonometriko, exponential, logarithmic, irrational at transcendental equation at inequalities. Alam nating lahat kung paano lutasin ang mga quadratic equation mula sa paaralan (grade 8) hanggang sa graduation.

Patuloy kaming nag-aaral ng paksa solusyon ng mga equation". Nakilala na natin ang mga linear equation at ngayon ay makikilala natin ang quadratic equation.

Una, tatalakayin natin kung ano ang isang quadratic equation, kung paano ito isinusulat sa pangkalahatang anyo, at magbibigay ng mga kaugnay na kahulugan. Pagkatapos nito, gamit ang mga halimbawa, susuriin namin nang detalyado kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation. Susunod, magpatuloy tayo sa paglutas ng mga kumpletong equation, kunin ang formula para sa mga ugat, kilalanin ang discriminant ng isang quadratic equation, at isaalang-alang ang mga solusyon sa karaniwang mga halimbawa. Sa wakas, sinusubaybayan namin ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang isang quadratic equation? Yung mga tipo nila

Una kailangan mong malinaw na maunawaan kung ano ang isang quadratic equation. Samakatuwid, lohikal na simulan ang pag-uusap tungkol sa mga quadratic equation na may kahulugan ng isang quadratic equation, pati na rin ang mga kahulugan na nauugnay dito. Pagkatapos nito, maaari mong isaalang-alang ang mga pangunahing uri ng quadratic equation: nabawasan at hindi nabawas, pati na rin ang kumpleto at hindi kumpletong mga equation.

Kahulugan at mga halimbawa ng quadratic equation

Kahulugan.

Quadratic equation ay isang equation ng form a x 2 +b x+c=0, kung saan ang x ay isang variable, ang a , b at c ay ilang mga numero, at ang a ay iba sa zero.

Sabihin natin kaagad na ang mga quadratic equation ay madalas na tinatawag na mga equation ng pangalawang degree. Ito ay dahil ang quadratic equation ay algebraic equation ikalawang antas.

Ang tunog na kahulugan ay nagpapahintulot sa amin na magbigay ng mga halimbawa ng mga quadratic equation. Kaya 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, atbp. ay mga quadratic equation.

Kahulugan.

Numero a, b at c ay tinatawag coefficients ng quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, at ang coefficient a ay tinatawag na una, o senior, o coefficient sa x 2, b ay ang pangalawang coefficient, o coefficient sa x, at c ay isang libreng miyembro.

Halimbawa, kunin natin ang isang parisukat na equation ng form na 5 x 2 −2 x−3=0, dito ang nangungunang koepisyent ay 5, ang pangalawang koepisyent ay −2, at ang libreng termino ay −3. Tandaan na kapag ang mga coefficient b at/o c ay negatibo, tulad ng ibinigay na halimbawa, ang maikling anyo ng quadratic equation ng form na 5 x 2 −2 x−3=0 ang ginagamit, hindi 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na kapag ang mga coefficients a at / o b ay katumbas ng 1 o −1, kung gayon ang mga ito ay karaniwang hindi tahasang naroroon sa notasyon ng quadratic equation, na dahil sa mga kakaibang katangian ng notasyon ng naturang . Halimbawa, sa quadratic equation y 2 −y+3=0, ang leading coefficient ay isa, at ang coefficient sa y ay −1.

Mga pinababang at hindi pinababang quadratic equation

Depende sa halaga ng nangungunang koepisyent, ang nabawasan at hindi nabawasang quadratic equation ay nakikilala. Ibigay natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Ang isang quadratic equation kung saan ang leading coefficient ay 1 ay tinatawag pinababang quadratic equation. Kung hindi, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Ayon sa kahulugang ito, ang mga quadratic equation x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, atbp. - nabawasan, sa bawat isa sa kanila ang unang koepisyent ay katumbas ng isa. At 5 x 2 −x−1=0 , atbp. - unreduced quadratic equation, ang kanilang mga nangungunang coefficient ay iba sa 1 .

Mula sa anumang non-reduced quadratic equation, sa pamamagitan ng paghahati sa parehong bahagi nito sa nangungunang coefficient, maaari kang pumunta sa pinababang isa. Ang aksyon na ito ay isang katumbas na pagbabagong-anyo, iyon ay, ang pinababang parisukat na equation na nakuha sa paraang ito ay may parehong mga ugat gaya ng orihinal na hindi pinababang quadratic na equation, o, tulad nito, ay walang mga ugat.

Kumuha tayo ng isang halimbawa kung paano ginaganap ang paglipat mula sa isang hindi nabawas na quadratic equation patungo sa isang pinababang equation.

Halimbawa.

Mula sa equation na 3 x 2 +12 x−7=0, pumunta sa katumbas na pinababang quadratic equation.

Solusyon.

Sapat na para sa amin na isagawa ang paghahati ng parehong bahagi ng orihinal na equation sa pamamagitan ng nangungunang koepisyent 3, ito ay hindi zero, upang maisagawa namin ang pagkilos na ito. Mayroon kaming (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , na kapareho ng (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , at iba pa (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kung saan . Kaya nakuha namin ang pinababang quadratic equation, na katumbas ng orihinal.

Sagot:

Kumpleto at hindi kumpletong quadratic equation

Mayroong kundisyon a≠0 sa kahulugan ng isang quadratic equation. Ang kundisyong ito ay kinakailangan upang ang equation na a x 2 +b x+c=0 ay eksaktong parisukat, dahil sa a=0 ito ay talagang nagiging isang linear na equation ng anyong b x+c=0 .

Tulad ng para sa mga coefficient b at c, maaari silang maging katumbas ng zero, parehong hiwalay at magkasama. Sa mga kasong ito, ang quadratic equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan.

Ang quadratic equation na a x 2 +b x+c=0 ay tinatawag hindi kumpleto, kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient b , c ay katumbas ng zero.

Sa turn nito

Kahulugan.

Kumpletuhin ang quadratic equation ay isang equation kung saan ang lahat ng coefficient ay iba sa zero.

Ang mga pangalang ito ay hindi binigay ng pagkakataon. Magiging malinaw ito sa susunod na talakayan.

Kung ang koepisyent b ay katumbas ng zero, kung gayon ang parisukat na equation ay kumukuha ng anyo a x 2 +0 x+c=0 , at ito ay katumbas ng equation na a x 2 +c=0 . Kung c=0 , iyon ay, ang quadratic equation ay may anyo na a x 2 +b x+0=0 , pagkatapos ay maaari itong muling isulat bilang isang x 2 +b x=0 . At sa b=0 at c=0 makuha natin ang quadratic equation a·x 2 =0. Ang mga resultang equation ay naiiba sa buong quadratic equation dahil ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable na x, o isang libreng termino, o pareho. Samakatuwid ang kanilang pangalan - hindi kumpletong mga quadratic equation.

Kaya ang mga equation na x 2 +x+1=0 at −2 x 2 −5 x+0,2=0 ay mga halimbawa ng kumpletong quadratic equation, at x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ay mga hindi kumpletong quadratic equation.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Ito ay sumusunod mula sa impormasyon ng nakaraang talata na mayroon tatlong uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

• a x 2 =0 , ang mga coefficient b=0 at c=0 ay tumutugma dito;
• a x 2 +c=0 kapag b=0 ;
• at a x 2 +b x=0 kapag c=0 .

Suriin natin sa pagkakasunud-sunod kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation ng bawat isa sa mga uri na ito.

a x 2 \u003d 0

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation kung saan ang mga coefficient b at c ay katumbas ng zero, iyon ay, na may mga equation ng form a x 2 =0. Ang equation na a·x 2 =0 ay katumbas ng equation na x 2 =0, na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang bahagi nito sa isang di-zero na numerong a. Malinaw, ang ugat ng equation x 2 \u003d 0 ay zero, dahil 0 2 \u003d 0. Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na kung saan ay ipinaliwanag, sa katunayan, para sa anumang di-zero na numero p, ang hindi pagkakapantay-pantay na p 2 >0 ay nagaganap, na nagpapahiwatig na para sa p≠0, ang pagkakapantay-pantay na p 2 =0 ay hindi kailanman makakamit.

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 \u003d 0 ay may isang solong ugat x \u003d 0.

Bilang halimbawa, ibinibigay namin ang solusyon ng isang hindi kumpletong quadratic equation −4·x 2 =0. Ito ay katumbas ng equation x 2 \u003d 0, ang tanging ugat nito ay x \u003d 0, samakatuwid, ang orihinal na equation ay may isang solong root zero.

Ang isang maikling solusyon sa kasong ito ay maaaring mailabas tulad ng sumusunod:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Ngayon isaalang-alang kung paano nalutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation, kung saan ang coefficient b ay katumbas ng zero, at c≠0, iyon ay, mga equation ng form a x 2 +c=0. Alam natin na ang paglipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na tanda, pati na rin ang paghahati ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang di-zero na numero, ay nagbibigay ng katumbas na equation. Samakatuwid, ang mga sumusunod na katumbas na pagbabagong-anyo ng hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay maaaring isagawa:

• ilipat ang c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation na a x 2 =−c,
• at hatiin ang parehong bahagi nito sa pamamagitan ng isang , nakukuha natin .

Ang resultang equation ay nagpapahintulot sa amin na gumawa ng mga konklusyon tungkol sa mga ugat nito. Depende sa mga halaga ng a at c, ang halaga ng expression ay maaaring negatibo (halimbawa, kung a=1 at c=2 , pagkatapos ) o positibo, (halimbawa, kung a=−2 at c=6 , pagkatapos ), hindi ito katumbas ng zero , dahil sa kondisyon c≠0 . Hiwalay naming susuriin ang mga kaso at .

Kung , kung gayon ang equation ay walang mga ugat. Ang pahayag na ito ay sumusunod sa katotohanan na ang parisukat ng anumang numero ay isang hindi negatibong numero. Ito ay sumusunod mula dito na kapag , kung gayon para sa anumang bilang p ang pagkakapantay-pantay ay hindi maaaring totoo.

Kung , kung gayon ang sitwasyon na may mga ugat ng equation ay iba. Sa kasong ito, kung naaalala natin, kung gayon ang ugat ng equation ay agad na nagiging halata, ito ay ang numero, dahil. Madaling hulaan na ang numero ay ang ugat din ng equation , sa katunayan, . Ang equation na ito ay walang iba pang mga ugat, na maaaring ipakita, halimbawa, sa pamamagitan ng kontradiksyon. Gawin natin.

Tukuyin natin ang kaka-voice na ugat ng equation bilang x 1 at −x 1 . Ipagpalagay na ang equation ay may isa pang ugat na x 2 na iba sa ipinahiwatig na mga ugat x 1 at −x 1 . Ito ay kilala na ang pagpapalit sa equation sa halip na x ng mga ugat nito ay nagiging equation sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Para sa x 1 at −x 1 mayroon tayo , at para sa x 2 mayroon tayo . Ang mga katangian ng numerical equalities ay nagbibigay-daan sa amin na magsagawa ng term-by-term na pagbabawas ng tunay na numerical equalities, kaya ang pagbabawas ng mga katumbas na bahagi ng equalities ay nagbibigay ng x 1 2 − x 2 2 =0. Ang mga katangian ng mga operasyon na may mga numero ay nagbibigay-daan sa amin na muling isulat ang resultang pagkakapantay-pantay bilang (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Alam natin na ang produkto ng dalawang numero ay katumbas ng zero kung at kung kahit isa sa mga ito ay katumbas ng zero. Samakatuwid, sumusunod mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay na x 1 −x 2 =0 at/o x 1 +x 2 =0 , na pareho, x 2 =x 1 at/o x 2 = −x 1 . Kaya kami ay dumating sa isang kontradiksyon, dahil sa simula sinabi namin na ang ugat ng equation x 2 ay naiiba mula sa x 1 at −x 1 . Ito ay nagpapatunay na ang equation ay walang iba pang mga ugat maliban sa at .

Ibuod natin ang impormasyon sa talatang ito. Ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +c=0 ay katumbas ng equation , na

• walang ugat kung ,
• ay may dalawang ugat at kung .

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ng anyong a·x 2 +c=0 .

Magsimula tayo sa quadratic equation 9 x 2 +7=0 . Pagkatapos ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, ito ay kukuha ng anyong 9·x 2 =−7. Ang paghahati sa magkabilang panig ng resultang equation sa pamamagitan ng 9, dumating tayo sa . Dahil ang isang negatibong numero ay nakuha sa kanang bahagi, ang equation na ito ay walang mga ugat, samakatuwid, ang orihinal na hindi kumpletong quadratic equation 9 x 2 +7=0 ay walang mga ugat.

Lutasin natin ang isa pang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0. Inilipat namin ang siyam sa kanang bahagi: -x 2 \u003d -9. Ngayon hinati namin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng −1, nakukuha namin ang x 2 =9. Ang kanang bahagi ay naglalaman ng isang positibong numero, kung saan namin tapusin na o . Pagkatapos nating isulat ang huling sagot: ang hindi kumpletong quadratic equation −x 2 +9=0 ay may dalawang ugat x=3 o x=−3.

a x 2 +b x=0

Nananatili itong harapin ang solusyon ng huling uri ng hindi kumpletong quadratic equation para sa c=0 . Ang hindi kumpletong quadratic equation ng form na a x 2 +b x=0 ay nagpapahintulot sa iyo na malutas paraan ng factorization. Malinaw, magagawa natin, na matatagpuan sa kaliwang bahagi ng equation, kung saan sapat na upang alisin ang karaniwang salik na x sa mga bracket. Ito ay nagpapahintulot sa amin na lumipat mula sa orihinal na hindi kumpletong quadratic equation patungo sa isang katumbas na equation ng form na x·(a·x+b)=0 . At ang equation na ito ay katumbas ng set ng dalawang equation x=0 at a x+b=0 , ang huli ay linear at may ugat na x=−b/a .

Kaya, ang hindi kumpletong quadratic equation a x 2 +b x=0 ay may dalawang ugat x=0 at x=−b/a.

Upang pagsamahin ang materyal, susuriin namin ang solusyon ng isang tiyak na halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang equation.

Solusyon.

Kinukuha namin ang x sa mga bracket, nagbibigay ito ng equation. Ito ay katumbas ng dalawang equation x=0 at . Nalulutas namin ang nagresultang linear equation: , at pagkatapos hatiin ang halo-halong numero sa isang ordinaryong fraction, nakita namin . Samakatuwid, ang mga ugat ng orihinal na equation ay x=0 at .

Matapos makuha ang kinakailangang pagsasanay, ang mga solusyon ng naturang mga equation ay maaaring maisulat nang maikli:

Sagot:

x=0 , .

Discriminant, formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Upang malutas ang mga quadratic equation, mayroong isang root formula. Isulat natin ang formula ng mga ugat ng quadratic equation: , saan D=b 2 −4 a c- tinatawag na discriminant ng isang quadratic equation. Ang notasyon ay mahalagang nangangahulugan na .

Kapaki-pakinabang na malaman kung paano nakuha ang root formula, at kung paano ito inilapat sa paghahanap ng mga ugat ng quadratic equation. Harapin natin ito.

Derivation ng formula ng mga ugat ng isang quadratic equation

Kailangan nating lutasin ang quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 . Magsagawa tayo ng ilang katumbas na pagbabago:

• Maaari nating hatiin ang parehong bahagi ng equation na ito sa pamamagitan ng isang non-zero number a, bilang isang resulta makuha natin ang pinababang quadratic equation.
• Ngayon pumili ng isang buong parisukat sa kaliwang bahagi nito: . Pagkatapos nito, ang equation ay kukuha ng form .
• Sa yugtong ito, posible na isakatuparan ang paglipat ng huling dalawang termino sa kanang bahagi na may kabaligtaran na tanda, mayroon kaming .
• At ibahin din natin ang ekspresyon sa kanang bahagi: .

Bilang resulta, dumating tayo sa equation , na katumbas ng orihinal na quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 .

Nalutas na natin ang mga equation na katulad ng anyo sa mga nakaraang talata noong sinuri natin. Ito ay nagpapahintulot sa amin na gumuhit ng mga sumusunod na konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation:

• kung , kung gayon ang equation ay walang tunay na solusyon;
• kung , kung gayon ang equation ay may anyo , samakatuwid, , kung saan makikita ang tanging ugat nito;
• kung , pagkatapos o , na kapareho ng o , ibig sabihin, ang equation ay may dalawang ugat.

Kaya, ang presensya o kawalan ng mga ugat ng equation, at samakatuwid ang orihinal na quadratic equation, ay nakasalalay sa tanda ng expression sa kanang bahagi. Sa turn, ang tanda ng expression na ito ay tinutukoy ng tanda ng numerator, dahil ang denominator 4 a 2 ay palaging positibo, iyon ay, ang tanda ng expression b 2 −4 a c . Ang expression na ito b 2 −4 a c ay tinatawag discriminant ng isang quadratic equation at minarkahan ng liham D. Mula dito, ang kakanyahan ng discriminant ay malinaw - sa pamamagitan ng halaga at tanda nito, napagpasyahan kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, at kung gayon, ano ang kanilang numero - isa o dalawa.

Bumalik kami sa equation , muling isulat ito gamit ang notation ng discriminant: . At nagtatapos kami:

• kung D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kung D=0, ang equation na ito ay may iisang ugat;
• sa wakas, kung D>0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat o , na maaaring muling isulat sa anyo o , at pagkatapos palawakin at bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator, makuha natin .

Kaya nakuha namin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, ang hitsura nila ay , kung saan ang discriminant D ay kinakalkula ng formula D=b 2 −4 a c .

Sa kanilang tulong, na may positibong diskriminasyon, maaari mong kalkulahin ang parehong tunay na mga ugat ng isang quadratic equation. Kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, ang parehong mga formula ay nagbibigay ng parehong root value na tumutugma sa tanging solusyon ng quadratic equation. At sa isang negatibong diskriminasyon, kapag sinusubukang gamitin ang formula para sa mga ugat ng isang parisukat na equation, nahaharap tayo sa pagkuha ng square root mula sa isang negatibong numero, na nagdadala sa atin na lampas sa saklaw ng kurikulum ng paaralan. Sa isang negatibong discriminant, ang quadratic equation ay walang tunay na mga ugat, ngunit may isang pares kumplikadong conjugate mga ugat, na makikita gamit ang parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang root formula

Sa pagsasagawa, kapag nilulutas ang isang quadratic equation, maaari mong agad na gamitin ang root formula, kung saan makalkula ang kanilang mga halaga. Ngunit ito ay higit pa tungkol sa paghahanap ng mga kumplikadong ugat.

Gayunpaman, sa isang kurso sa algebra ng paaralan, karaniwang hindi namin pinag-uusapan ang tungkol sa kumplikado, ngunit tungkol sa mga tunay na ugat ng isang quadratic equation. Sa kasong ito, ipinapayong hanapin muna ang discriminant bago gamitin ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation, siguraduhin na ito ay hindi negatibo (kung hindi, maaari nating tapusin na ang equation ay walang tunay na ugat), at pagkatapos nito kalkulahin ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na magsulat algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation. Upang malutas ang quadratic equation a x 2 + b x + c \u003d 0, kailangan mo:

• gamit ang discriminant formula D=b 2 −4 a c kalkulahin ang halaga nito;
• tapusin na ang quadratic equation ay walang tunay na ugat kung ang discriminant ay negatibo;
• kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula kung D=0 ;
• maghanap ng dalawang tunay na ugat ng isang quadratic equation gamit ang root formula kung ang discriminant ay positibo.

Dito lamang natin napapansin na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, ang formula ay maaari ding gamitin, ito ay magbibigay ng parehong halaga bilang .

Maaari kang magpatuloy sa mga halimbawa ng paglalapat ng algorithm para sa paglutas ng mga quadratic equation.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation

Isaalang-alang ang mga solusyon ng tatlong quadratic equation na may positibo, negatibo, at walang diskriminasyon. Ang pagkakaroon ng pakikitungo sa kanilang solusyon, sa pamamagitan ng pagkakatulad ay magiging posible na malutas ang anumang iba pang quadratic equation. Magsimula na tayo.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation x 2 +2 x−6=0 .

Solusyon.

Sa kasong ito, mayroon tayong mga sumusunod na coefficient ng quadratic equation: a=1 , b=2 at c=−6 . Ayon sa algorithm, kailangan mo munang kalkulahin ang discriminant, para dito pinapalitan namin ang ipinahiwatig na a, b at c sa discriminant formula, mayroon kaming D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Dahil ang 28>0, iyon ay, ang discriminant ay mas malaki kaysa sa zero, ang quadratic equation ay may dalawang tunay na ugat. Hanapin natin ang mga ito sa pamamagitan ng pormula ng mga ugat , nakukuha natin , dito maaari nating gawing simple ang mga expression na nakuha sa pamamagitan ng paggawa factoring out ang tanda ng ugat sinusundan ng pagbawas ng fraction:

Sagot:

Lumipat tayo sa susunod na karaniwang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation −4 x 2 +28 x−49=0 .

Solusyon.

Magsisimula tayo sa paghahanap ng discriminant: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay may iisang ugat, na makikita natin bilang , iyon ay,

Sagot:

x=3.5 .

Nananatili itong isaalang-alang ang solusyon ng mga quadratic equation na may negatibong discriminant.

Halimbawa.

Lutasin ang equation 5 y 2 +6 y+2=0 .

Solusyon.

Narito ang mga coefficient ng quadratic equation: a=5 , b=6 at c=2 . Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa discriminant formula, mayroon kami D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Ang discriminant ay negatibo, samakatuwid, ang quadratic equation na ito ay walang tunay na ugat.

Kung kailangan mong tukuyin ang mga kumplikadong ugat, pagkatapos ay ginagamit namin ang kilalang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, at gumanap mga operasyon na may mga kumplikadong numero:

Sagot:

walang tunay na ugat, ang kumplikadong ugat ay: .

Muli, tandaan namin na kung negatibo ang discriminant ng quadratic equation, kadalasang isinulat kaagad ng paaralan ang sagot, kung saan ipinapahiwatig nila na walang tunay na mga ugat, at hindi sila nakakahanap ng mga kumplikadong ugat.

Root formula para sa kahit na pangalawang coefficient

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation , kung saan ang D=b 2 −4 a c ay nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng mas compact na formula na nagbibigay-daan sa iyong lutasin ang mga quadratic equation na may pantay na koepisyent sa x (o sa simpleng coefficient na mukhang 2 n , halimbawa, o 14 ln5=2 7 ln5 ). Ilabas na natin siya.

Sabihin nating kailangan nating lutasin ang isang quadratic equation ng form a x 2 +2 n x + c=0 . Hanapin natin ang mga ugat nito gamit ang formula na alam natin. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang discriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), at pagkatapos ay ginagamit namin ang root formula:

Tukuyin ang expression na n 2 − a c bilang D 1 (kung minsan ito ay tinutukoy na D "). Pagkatapos ay ang formula para sa mga ugat ng itinuturing na quadratic equation na may pangalawang coefficient 2 n ay nagkakaroon ng anyo , kung saan D 1 =n 2 −a c .

Madaling makita na D=4·D 1 , o D 1 =D/4 . Sa madaling salita, ang D 1 ay ang ikaapat na bahagi ng discriminant. Malinaw na ang tanda ng D 1 ay kapareho ng tanda ng D . Iyon ay, ang sign D 1 ay isa ring tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng quadratic equation.

Kaya, upang malutas ang isang quadratic equation na may pangalawang koepisyent 2 n, kailangan mo

• Kalkulahin ang D 1 =n 2 −a·c ;
• Kung D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kung D 1 =0, pagkatapos ay kalkulahin ang tanging ugat ng equation gamit ang formula;
• Kung D 1 >0, pagkatapos ay maghanap ng dalawang tunay na ugat gamit ang formula.

Isaalang-alang ang solusyon ng halimbawa gamit ang root formula na nakuha sa talatang ito.

Halimbawa.

Lutasin ang quadratic equation 5 x 2 −6 x−32=0 .

Solusyon.

Ang pangalawang koepisyent ng equation na ito ay maaaring katawanin bilang 2·(−3) . Iyon ay, maaari mong muling isulat ang orihinal na quadratic equation sa anyong 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , dito a=5 , n=−3 at c=−32 , at kalkulahin ang ikaapat na bahagi ng may diskriminasyon: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Dahil ang halaga nito ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Natagpuan namin ang mga ito gamit ang kaukulang root formula:

Tandaan na posibleng gamitin ang karaniwang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation, ngunit sa kasong ito, mas maraming computational work ang kailangang gawin.

Sagot:

Pagpapasimple ng anyo ng mga quadratic equation

Minsan, bago simulan ang pagkalkula ng mga ugat ng isang quadratic equation gamit ang mga formula, hindi masakit na tanungin ang tanong na: "Posible bang gawing simple ang anyo ng equation na ito"? Sumang-ayon na sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon ay magiging mas madaling lutasin ang quadratic equation 11 x 2 −4 x −6=0 kaysa sa 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Karaniwan, ang isang pagpapasimple ng anyo ng isang quadratic equation ay nakakamit sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig nito sa ilang numero. Halimbawa, sa nakaraang talata, nagawa naming makamit ang pagpapasimple ng equation na 1100 x 2 −400 x −600=0 sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng 100 .

Ang isang katulad na pagbabago ay isinasagawa gamit ang mga quadratic equation, ang mga coefficient nito ay hindi . Sa kasong ito, ang parehong bahagi ng equation ay karaniwang nahahati sa mga ganap na halaga ng mga coefficient nito. Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation na 12 x 2 −42 x+48=0. ganap na mga halaga ng mga coefficient nito: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Hinahati ang parehong bahagi ng orihinal na quadratic equation sa pamamagitan ng 6 , dumating tayo sa katumbas na quadratic equation 2 x 2 −7 x+8=0 .

At ang pagpaparami ng parehong bahagi ng quadratic equation ay karaniwang ginagawa upang maalis ang mga fractional coefficient. Sa kasong ito, ang pagpaparami ay isinasagawa sa mga denominador ng mga coefficient nito. Halimbawa, kung ang parehong bahagi ng isang quadratic equation ay pinarami ng LCM(6, 3, 1)=6 , magkakaroon ito ng mas simpleng anyo x 2 +4 x−18=0 .

Sa pagtatapos ng talatang ito, tandaan namin na halos palaging alisin ang minus sa pinakamataas na koepisyent ng quadratic equation sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan ng lahat ng mga termino, na tumutugma sa pagpaparami (o paghahati) sa parehong bahagi ng −1. Halimbawa, kadalasan mula sa quadratic equation −2·x 2 −3·x+7=0 pumunta sa solusyon 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relasyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation

Ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation ay nagpapahayag ng mga ugat ng isang equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito. Batay sa formula ng mga ugat, maaari kang makakuha ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent.

Ang pinakakilala at naaangkop na mga formula mula sa Vieta theorem ng form at . Sa partikular, para sa ibinigay na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay ang libreng termino. Halimbawa, sa anyo ng quadratic equation 3 x 2 −7 x+22=0, maaari mong agad na sabihin na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7/3, at ang produkto ng mga ugat ay 22/3.

Gamit ang mga nakasulat na formula, maaari kang makakuha ng ilang iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, maaari mong ipahayag ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang quadratic equation sa mga tuntunin ng mga coefficient nito: .

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Isaalang-alang ang quadratic equation:
(1) .
Ang mga ugat ng isang quadratic equation(1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng quadratic equation ay kilala, ang polynomial ng pangalawang degree ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factored):
.

Dagdag pa, ipinapalagay namin na iyon ay mga tunay na numero.
Isipin mo discriminant ng isang quadratic equation:
.
Kung positibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang factorization ng square trinomial ay may anyo:
.
Kung ang discriminant ay zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay mayroong dalawang maramihang (equal) real roots:
.
Factorization:
.
Kung negatibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:
;
.
Narito ang haka-haka na yunit, ;
at ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic na interpretasyon

Kung i-graph natin ang function
,
na isang parabola, kung gayon ang mga punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Kapag , ang graph ay nag-intersect sa abscissa axis (axis) sa dalawang punto.
Kapag , hinawakan ng graph ang x-axis sa isang punto.
Kapag , hindi tumatawid ang graph sa x-axis.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga graph.

Mga Kapaki-pakinabang na Formula na May Kaugnayan sa Quadratic Equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at naglalapat ng mga formula (f.1) at (f.3):




,
saan
; .

Kaya, nakuha namin ang formula para sa polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Mula dito makikita na ang equation

ginanap sa
at .
Iyon ay, at ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

Solusyon

.
Ang paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakukuha natin ang agnas ng square trinomial sa mga salik:

.

Graph ng function na y = 2 x 2 + 7 x + 3 tumatawid sa x-axis sa dalawang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Tinatawid nito ang x-axis (axis) sa dalawang punto:
at .
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Solusyon

Isinulat namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
.
Ang paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na ugat:
;
.

Pagkatapos ang factorization ng trinomial ay may anyo:
.

Graph ng function na y = x 2 - 4 x + 4 hinawakan ang x-axis sa isang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hinahawakan nito ang x-axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay naka-factor nang dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay tinatawag na maramihan. Iyon ay, isinasaalang-alang nila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Solusyon

Isinulat namin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat muli natin ang orihinal na equation (3.1):
.
Ang paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Paghahanap ng discriminant:
.
Ang discriminant ay negatibo, . Samakatuwid, walang tunay na mga ugat.

Makakahanap ka ng mga kumplikadong ugat:
;
;

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hindi ito tumatawid sa abscissa (axis). Samakatuwid, walang tunay na mga ugat.

Sagot

Walang tunay na ugat. Mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Ito ay kilala na ito ay isang partikular na bersyon ng equality ax 2 + in + c \u003d o, kung saan ang a, b at c ay mga tunay na coefficient para sa hindi kilalang x, at kung saan ang a ≠ o, at b at c ay magiging mga zero - sabay-sabay o magkahiwalay. Halimbawa, c = o, v ≠ o o vice versa. Halos naalala namin ang kahulugan ng isang quadratic equation.

Ang trinomial ng ikalawang antas ay katumbas ng zero. Ang unang coefficient nito na a ≠ o, b at c ay maaaring tumagal sa anumang mga halaga. Ang halaga ng variable na x ay magiging kapag, kapag pinapalitan, gagawin itong tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Pag-isipan natin ang mga tunay na ugat, bagama't ang mga solusyon ng equation ay maaari ding maging kumpleto. Nakaugalian na tawagan ang isang equation kung saan wala sa mga coefficient ang katumbas ng o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lutasin natin ang isang halimbawa. 2x2 -9x-5 = oh, nakita namin
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
Ang D ay positibo, kaya may mga ugat, x 1 = (9+√121): 4 = 5, at ang pangalawang x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. Ang pagsuri ay makakatulong na matiyak na tama ang mga ito.

Narito ang isang hakbang-hakbang na solusyon sa quadratic equation

Sa pamamagitan ng discriminant, maaari mong lutasin ang anumang equation, sa kaliwang bahagi kung saan mayroong kilalang square trinomial na may ≠ o. Sa ating halimbawa. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

Isaalang-alang kung ano ang mga hindi kumpletong equation ng ikalawang antas

1. palakol 2 + sa = o. Ang libreng termino, ang coefficient c sa x 0, ay zero dito, sa ≠ o.
   Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng ganitong uri? Alisin natin ang x sa mga bracket. Tandaan kapag ang produkto ng dalawang salik ay zero.
   x(ax+b) = o, ito ay maaaring kapag x = o o kapag ax+b = o.
   Ang paglutas ng ika-2, mayroon kaming x = -v/a.
   Bilang resulta, mayroon kaming mga ugat x 1 \u003d 0, ayon sa mga kalkulasyon x 2 \u003d -b / a.
2. Ngayon ang koepisyent ng x ay o, ngunit ang c ay hindi katumbas ng (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Inilipat namin ang c sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, nakakakuha kami ng x 2 \u003d -c. Ang equation na ito ay mayroon lamang tunay na mga ugat kapag ang -c ay isang positibong numero (c ‹ o),
   Ang x 1 ay katumbas ng √(-c), ayon sa pagkakabanggit, ang x 2 ay -√(-c). Kung hindi, ang equation ay walang mga ugat sa lahat.
3. Ang huling pagpipilian: b \u003d c \u003d o, iyon ay, ax 2 \u003d o. Naturally, ang gayong simpleng equation ay may isang ugat, x = o.

Mga espesyal na kaso

Isinaalang-alang namin kung paano lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation, at ngayon ay kukuha kami ng anumang uri.

• Sa buong quadratic equation, ang pangalawang coefficient ng x ay isang even na numero.
  Hayaan ang k = o,5b. Mayroon kaming mga formula para sa pagkalkula ng discriminant at mga ugat.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, ang mga ugat ay kinakalkula bilang mga sumusunod x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a para sa D › o.
  x = -k/a at D = o.
  Walang mga ugat para sa D ‹ o.
• May mga pinababang quadratic equation, kapag ang coefficient ng x squared ay 1, kadalasang isinusulat ang mga ito x 2 + px + q \u003d o. Ang lahat ng mga formula sa itaas ay nalalapat sa kanila, ngunit ang mga kalkulasyon ay medyo mas simple.
  Halimbawa, x 2 -4x-9 \u003d 0. Kinakalkula namin ang D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Bilang karagdagan, madaling ilapat sa mga ibinigay. Sinasabi nito na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay katumbas ng -p, ang pangalawang koepisyent na may minus (ibig sabihin ang kabaligtaran na tanda), at ang produkto ng parehong mga ugat na ito. ay magiging katumbas ng q, ang libreng termino. Tingnan kung gaano kadaling matukoy nang pasalita ang mga ugat ng equation na ito. Para sa hindi nabawasan (para sa lahat ng mga coefficient na hindi katumbas ng zero), ang theorem na ito ay naaangkop tulad ng sumusunod: ang kabuuan x 1 + x 2 ay katumbas ng -v / a, ang produkto x 1 x 2 ay katumbas ng c / a .

Ang kabuuan ng libreng termino c at ang unang koepisyent a ay katumbas ng koepisyent b. Sa sitwasyong ito, ang equation ay may hindi bababa sa isang ugat (madaling patunayan), ang una ay kinakailangang katumbas ng -1, at ang pangalawa - c / a, kung mayroon ito. Kung paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation, maaari mo itong suriin sa iyong sarili. Napakadali. Ang mga coefficient ay maaaring nasa ilang mga ratios sa kanilang mga sarili

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Ang kabuuan ng lahat ng coefficient ay o.
  Ang mga ugat ng naturang equation ay 1 at c / a. Halimbawa, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Mayroong ilang iba pang mga paraan upang malutas ang iba't ibang mga equation ng ikalawang antas. Narito, halimbawa, ay isang paraan para sa pagkuha ng isang buong parisukat mula sa isang binigay na polynomial. Mayroong ilang mga graphic na paraan. Kapag madalas kang humarap sa mga ganitong halimbawa, matututunan mong "i-click" ang mga ito tulad ng mga buto, dahil ang lahat ng mga pamamaraan ay awtomatikong naiisip.