Sa matematika, ang isa sa mga parameter na naglalarawan sa posisyon ng isang linya sa Cartesian coordinate plane ay ang angular coefficient ng linyang ito. Ang parameter na ito ay nagpapakilala sa slope ng tuwid na linya sa abscissa axis. Upang maunawaan kung paano hanapin ang slope, alalahanin muna ang pangkalahatang anyo ng equation ng isang tuwid na linya sa XY coordinate system.

Sa pangkalahatan, ang anumang linya ay maaaring katawanin ng expression na ax+by=c, kung saan ang a, b at c ay mga arbitrary na tunay na numero, ngunit isang 2 + b 2 ≠ 0.

Gamit ang mga simpleng pagbabagong-anyo, ang gayong equation ay maaaring dalhin sa anyong y=kx+d, kung saan ang k at d ay mga tunay na numero. Ang bilang na k ay ang slope, at ang equation ng isang linya ng ganitong uri ay tinatawag na equation na may slope. Ito ay lumiliko na upang mahanap ang slope, kailangan mo lamang bawasan ang orihinal na equation sa form na ipinahiwatig sa itaas. Para sa mas kumpletong pag-unawa, isaalang-alang ang isang partikular na halimbawa:

Problema: Hanapin ang slope ng linya na ibinigay ng equation na 36x - 18y = 108

Solusyon: Ibahin natin ang orihinal na equation.

Sagot: Ang kinakailangang slope ng linyang ito ay 2.

Kung, sa panahon ng pagbabagong-anyo ng equation, nakatanggap kami ng isang expression tulad ng x = const at bilang isang resulta hindi namin maaaring katawanin ang y bilang isang function ng x, pagkatapos ay nakikitungo kami sa isang tuwid na linya na kahanay ng X axis. Ang angular coefficient ng naturang ang isang tuwid na linya ay katumbas ng infinity.

Para sa mga linyang ipinahayag ng isang equation tulad ng y = const, ang slope ay zero. Ito ay tipikal para sa mga tuwid na linya parallel sa abscissa axis. Halimbawa:

Problema: Hanapin ang slope ng linya na ibinigay ng equation na 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solusyon: Dalhin natin ang orihinal na equation sa pangkalahatang anyo nito

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Imposibleng ipahayag ang y mula sa resultang expression, samakatuwid ang angular coefficient ng linyang ito ay katumbas ng infinity, at ang linya mismo ay magiging parallel sa Y axis.

Geometric na kahulugan

Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang larawan:

Sa figure makikita natin ang isang graph ng isang function tulad ng y = kx. Upang gawing simple, kunin natin ang coefficient c = 0. Sa tatsulok na OAB, ang ratio ng side BA sa AO ay magiging katumbas ng angular coefficient k. Kasabay nito, ang ratio na BA/AO ay ang padaplis ng talamak na anggulo α sa kanang tatsulok na OAB. Lumalabas na ang angular coefficient ng tuwid na linya ay katumbas ng tangent ng anggulo na ginagawa ng tuwid na linya na ito gamit ang abscissa axis ng coordinate grid.

Ang paglutas ng problema kung paano hanapin ang angular coefficient ng isang tuwid na linya, nakita namin ang tangent ng anggulo sa pagitan nito at ng X axis ng coordinate grid. Mga boundary case, kapag ang linyang pinag-uusapan ay parallel sa coordinate axes, kumpirmahin ang nasa itaas. Sa katunayan, para sa isang tuwid na linya na inilarawan ng equation y=const, ang anggulo sa pagitan nito at ng abscissa axis ay zero. Ang tangent ng zero angle ay zero din at ang slope ay zero din.

Para sa mga tuwid na linya na patayo sa x-axis at inilarawan ng equation na x=const, ang anggulo sa pagitan nila at ng X-axis ay 90 degrees. Ang tangent ng isang tamang anggulo ay katumbas ng infinity, at ang angular coefficient ng magkatulad na tuwid na linya ay katumbas din ng infinity, na nagpapatunay kung ano ang nakasulat sa itaas.

Tangent slope

Ang isang karaniwang gawain na madalas na nakatagpo sa pagsasanay ay upang mahanap ang slope ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang tiyak na punto. Ang isang tangent ay isang tuwid na linya, samakatuwid ang konsepto ng slope ay naaangkop din dito.

Upang malaman kung paano hanapin ang slope ng isang tangent, kakailanganin nating alalahanin ang konsepto ng derivative. Ang derivative ng anumang function sa isang tiyak na punto ay isang pare-pareho ayon sa numero na katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo sa pagitan ng tangent sa tinukoy na punto sa graph ng function na ito at ang abscissa axis. Lumalabas na upang matukoy ang angular coefficient ng tangent sa puntong x 0, kailangan nating kalkulahin ang halaga ng derivative ng orihinal na function sa puntong ito k = f"(x 0). Tingnan natin ang halimbawa:

Problema: Hanapin ang slope ng line tangent sa function na y = 12x 2 + 2xe x sa x = 0.1.

Solusyon: Hanapin ang derivative ng orihinal na function sa pangkalahatang anyo

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Sagot: Ang kinakailangang slope sa puntong x = 0.1 ay 4.831

Ang paksang "Ang angular coefficient ng isang tangent bilang tangent ng anggulo ng pagkahilig" ay binibigyan ng ilang mga gawain sa pagsusulit sa sertipikasyon. Depende sa kanilang kondisyon, ang nagtapos ay maaaring kailanganin na magbigay ng alinman sa isang buong sagot o isang maikling sagot. Kapag naghahanda na kumuha ng Unified State Examination sa matematika, dapat talagang ulitin ng mag-aaral ang mga gawain na nangangailangan ng pagkalkula ng slope ng isang tangent.

Tutulungan ka ng Shkolkovo educational portal na gawin ito. Inihanda at ipinakita ng aming mga espesyalista ang teoretikal at praktikal na materyal sa pinakamadaling paraan na posible. Ang pagkakaroon ng pamilyar dito, ang mga nagtapos sa anumang antas ng pagsasanay ay magagawang matagumpay na malutas ang mga problema na may kaugnayan sa mga derivatives kung saan kinakailangan upang mahanap ang tangent ng tangent angle.

Mga pangunahing sandali

Upang mahanap ang tama at makatwirang solusyon sa mga naturang gawain sa Unified State Exam, kailangang tandaan ang pangunahing kahulugan: ang derivative ay kumakatawan sa rate ng pagbabago ng isang function; ito ay katumbas ng tangent ng tangent angle na iginuhit sa graph ng function sa isang tiyak na punto. Parehong mahalaga na kumpletuhin ang pagguhit. Ito ay magbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang tamang solusyon sa PAGGAMIT ng mga problema sa hinalaw, kung saan kailangan mong kalkulahin ang tangent ng tangent angle. Para sa kalinawan, pinakamahusay na i-plot ang graph sa OXY plane.

Kung pamilyar ka na sa pangunahing materyal sa paksa ng mga derivatives at handa ka nang simulan ang paglutas ng mga problema sa pagkalkula ng tangent ng tangent angle, katulad ng mga gawain sa Unified State Examination, magagawa mo ito online. Para sa bawat gawain, halimbawa, ang mga problema sa paksang "Kaugnayan ng isang derivative sa bilis at acceleration ng isang katawan," isinulat namin ang tamang sagot at algorithm ng solusyon. Kasabay nito, maaaring magsanay ang mga mag-aaral sa pagsasagawa ng mga gawain na may iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Kung kinakailangan, ang ehersisyo ay maaaring i-save sa seksyong "Mga Paborito" upang matalakay mo ang solusyon sa guro sa ibang pagkakataon.

Matutong kumuha ng mga derivatives ng mga function. Tinutukoy ng derivative ang rate ng pagbabago ng isang function sa isang tiyak na punto na nasa graph ng function na ito. Sa kasong ito, ang graph ay maaaring maging tuwid o kurbadong linya. Iyon ay, ang derivative ay nagpapakilala sa rate ng pagbabago ng isang function sa isang tiyak na punto ng oras. Alalahanin ang mga pangkalahatang tuntunin kung saan kinukuha ang mga derivative, at pagkatapos lamang magpatuloy sa susunod na hakbang.

• Basahin ang artikulo.
• Paano kunin ang pinakasimpleng derivatives, halimbawa, ang derivative ng isang exponential equation, ay inilarawan. Ang mga kalkulasyon na ipinakita sa mga sumusunod na hakbang ay ibabatay sa mga pamamaraang inilarawan doon.

Alamin na makilala ang mga problema kung saan dapat kalkulahin ang slope sa pamamagitan ng derivative ng isang function. Hindi palaging hinihiling sa iyo ng mga problema na hanapin ang slope o derivative ng isang function. Halimbawa, maaaring hilingin sa iyong hanapin ang rate ng pagbabago ng isang function sa puntong A(x,y). Maaari ka ring hilingin na hanapin ang slope ng tangent sa puntong A(x,y). Sa parehong mga kaso, kinakailangan na kunin ang derivative ng function.

Kunin ang derivative ng function na ibinigay sa iyo. Hindi na kailangang bumuo ng graph dito - kailangan mo lang ng equation ng function. Sa aming halimbawa, kunin ang derivative ng function f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Kunin ang derivative ayon sa mga pamamaraan na nakabalangkas sa artikulong binanggit sa itaas:

Palitan ang mga coordinate ng puntong ibinigay sa iyo sa nahanap na derivative upang kalkulahin ang slope. Ang derivative ng isang function ay katumbas ng slope sa isang tiyak na punto. Sa madaling salita, ang f"(x) ay ang slope ng function sa anumang punto (x,f(x)). Sa aming halimbawa:

Kung maaari, suriin ang iyong sagot sa isang graph. Tandaan na ang slope ay hindi maaaring kalkulahin sa bawat punto. Ang differential calculus ay tumatalakay sa mga kumplikadong function at kumplikadong mga graph kung saan ang slope ay hindi maaaring kalkulahin sa bawat punto, at sa ilang mga kaso ang mga punto ay hindi namamalagi sa mga graph. Kung maaari, gumamit ng graphing calculator upang suriin kung tama ang slope ng function na ibinigay sa iyo. Kung hindi, gumuhit ng tangent sa graph sa puntong ibinigay sa iyo at isipin kung ang slope value na iyong nakita ay tumutugma sa nakikita mo sa graph.

• Ang tangent ay magkakaroon ng parehong slope gaya ng graph ng function sa isang tiyak na punto. Upang gumuhit ng tangent sa isang partikular na punto, lumipat pakaliwa/pakanan sa X axis (sa aming halimbawa, 22 values ​​pakanan), at pagkatapos ay pataas ng isa sa Y axis. Markahan ang punto, at pagkatapos ay ikonekta ito sa puntong ibinigay sa iyo. Sa aming halimbawa, ikonekta ang mga puntos na may mga coordinate (4,2) at (26,3).

Katumbas ng numero sa tangent ng anggulo (bumubuo ng pinakamaliit na pag-ikot mula sa Ox axis hanggang sa Oy axis) sa pagitan ng positibong direksyon ng abscissa axis at ng ibinigay na tuwid na linya.

Ang tangent ng isang anggulo ay maaaring kalkulahin bilang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. k ay palaging katumbas ng , iyon ay, ang derivative ng equation ng isang tuwid na linya na may kinalaman sa x.

Para sa mga positibong halaga ng slope k at zero shift coefficient b ang tuwid na linya ay nasa una at ikatlong kuwadrante (kung saan x At y parehong positibo at negatibo). Kasabay nito, ang malalaking halaga ng angular coefficient k ang isang mas matarik na tuwid na linya ay tumutugma, at ang isang patag na linya ay tumutugma sa mga mas maliit.

Tuwid at patayo kung , at parallel kung .

Mga Tala

Wikimedia Foundation. 2010.

Tingnan kung ano ang "Angular coefficient ng isang tuwid na linya" sa iba pang mga diksyunaryo:

slope (direkta)- - Mga paksa industriya ng langis at gas EN slope... Gabay ng Teknikal na Tagasalin

- (matematika) na numero k sa equation ng isang tuwid na linya sa eroplano y = kx+b (tingnan ang Analytical geometry), na nagpapakilala sa slope ng tuwid na linya na nauugnay sa x-axis. Sa rectangular coordinate system ng U.K. k = tan φ, kung saan ang φ ay ang anggulo sa pagitan ng ... ... Great Soviet Encyclopedia

Isang sangay ng geometry na nag-aaral ng pinakasimpleng geometric na bagay gamit ang elementary algebra batay sa coordinate method. Ang paglikha ng analytical geometry ay karaniwang iniuugnay kay R. Descartes, na binalangkas ang mga pundasyon nito sa huling kabanata ng kanyang... ... Collier's Encyclopedia

Ang pagsukat ng oras ng reaksyon (RT) ay marahil ang pinaka-kagalang-galang na paksa sa empirical psychology. Nagmula ito sa larangan ng astronomiya, noong 1823, sa pagsukat ng mga indibidwal na pagkakaiba sa bilis ng pang-unawa ng isang bituin na tumatawid sa linya ng teleskopyo. Ang mga… Sikolohikal na Encyclopedia

Isang sangay ng matematika na nagbibigay ng mga pamamaraan para sa quantitative na pag-aaral ng iba't ibang proseso ng pagbabago; tumatalakay sa pag-aaral ng rate ng pagbabago (differential calculus) at ang pagpapasiya ng mga haba ng mga kurba, mga lugar at dami ng mga numero na nililimitahan ng mga curved contours at ... Collier's Encyclopedia

Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Direktang (mga kahulugan). Ang tuwid na linya ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry, iyon ay, wala itong eksaktong unibersal na kahulugan. Sa isang sistematikong presentasyon ng geometry, ang isang tuwid na linya ay karaniwang kinukuha bilang isa... ... Wikipedia

Larawan ng mga tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system Ang tuwid na linya ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry. Sa isang sistematikong pagtatanghal ng geometry, ang isang tuwid na linya ay karaniwang kinukuha bilang isa sa mga paunang konsepto, na hindi direktang tinukoy lamang... ... Wikipedia

Larawan ng mga tuwid na linya sa isang rectangular coordinate system Ang tuwid na linya ay isa sa mga pangunahing konsepto ng geometry. Sa isang sistematikong pagtatanghal ng geometry, ang isang tuwid na linya ay karaniwang kinukuha bilang isa sa mga paunang konsepto, na hindi direktang tinukoy lamang... ... Wikipedia

Hindi dapat malito sa terminong "Ellipsis". Ellipse at ang foci nito Ellipse (sinaunang Greek ἔλλειψις kakulangan, sa kahulugan ng kakulangan ng eccentricity hanggang 1) ang locus ng mga punto M ng Euclidean plane kung saan ang kabuuan ng mga distansya mula sa dalawang ibinigay na mga punto ay F1... ... Wikipedia

Pagpapatuloy ng paksa, ang equation ng isang linya sa isang eroplano ay batay sa pag-aaral ng isang tuwid na linya mula sa mga aralin sa algebra. Ang artikulong ito ay nagbibigay ng pangkalahatang impormasyon sa paksa ng equation ng isang tuwid na linya na may slope. Isaalang-alang natin ang mga kahulugan, kunin ang mismong equation, at tukuyin ang koneksyon sa iba pang mga uri ng equation. Ang lahat ay tatalakayin gamit ang mga halimbawa ng paglutas ng problema.

Bago isulat ang naturang equation, kinakailangang tukuyin ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa O x axis kasama ang kanilang angular coefficient. Ipagpalagay natin na ang isang Cartesian coordinate system O x sa eroplano ay ibinigay.

Kahulugan 1

Ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa O x axis, na matatagpuan sa Cartesian coordinate system O x y sa eroplano, ito ang anggulo na sinusukat mula sa positibong direksyon O x hanggang sa tuwid na linya pakaliwa.

Kapag ang linya ay parallel sa O x o nag-tutugma dito, ang anggulo ng pagkahilig ay 0. Pagkatapos ang anggulo ng pagkahilig ng ibinigay na tuwid na linya α ay tinukoy sa pagitan [ 0 , π) .

Kahulugan 2

Direktang slope ay ang padaplis ng anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya.

Ang karaniwang pagtatalaga ay k. Mula sa kahulugan nalaman natin na k = t g α . Kapag ang linya ay parallel sa Ox, sinasabi nila na ang slope ay hindi umiiral, dahil ito ay napupunta sa infinity.

Positibo ang slope kapag tumaas ang graph ng function at vice versa. Ang figure ay nagpapakita ng iba't ibang mga pagkakaiba-iba sa lokasyon ng tamang anggulo na nauugnay sa coordinate system na may halaga ng coefficient.

Upang mahanap ang anggulong ito, kinakailangang ilapat ang kahulugan ng angular coefficient at kalkulahin ang tangent ng anggulo ng pagkahilig sa eroplano.

Solusyon

Mula sa kondisyon na mayroon tayo na α = 120°. Sa pamamagitan ng kahulugan, dapat kalkulahin ang slope. Hanapin natin ito mula sa formula k = t g α = 120 = - 3.

Sagot: k = - 3 .

Kung ang angular coefficient ay kilala, at ito ay kinakailangan upang mahanap ang anggulo ng pagkahilig sa abscissa axis, pagkatapos ay ang halaga ng angular coefficient ay dapat na kinuha sa account. Kung k > 0, kung gayon ang tamang anggulo ay talamak at makikita ng formula α = a r c t g k. Kung k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Halimbawa 2

Tukuyin ang anggulo ng pagkahilig ng ibinigay na tuwid na linya sa O x na may isang angular na koepisyent na 3.

Solusyon

Mula sa kondisyon na mayroon tayo na ang angular coefficient ay positibo, na nangangahulugan na ang anggulo ng pagkahilig sa O x ay mas mababa sa 90 degrees. Ginagawa ang mga kalkulasyon gamit ang formula α = a r c t g k = a r c t g 3.

Sagot: α = a r c t g 3 .

Halimbawa 3

Hanapin ang anggulo ng inclination ng tuwid na linya sa O x axis kung ang slope = - 1 3.

Solusyon

Kung kukunin natin ang letrang k bilang pagtatalaga ng angular coefficient, kung gayon ang α ay ang anggulo ng pagkahilig sa isang naibigay na tuwid na linya sa positibong direksyon O x. Kaya k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Sagot: 5 π 6 .

Ang isang equation ng anyong y = k x + b, kung saan ang k ay ang slope at ang b ay ilang tunay na numero, ay tinatawag na equation ng isang linya na may slope. Ang equation ay tipikal para sa anumang tuwid na linya na hindi parallel sa O y axis.

Kung isasaalang-alang natin nang detalyado ang isang tuwid na linya sa isang eroplano sa isang nakapirming sistema ng coordinate, na tinukoy ng isang equation na may isang angular coefficient na may anyo na y = k x + b. Sa kasong ito, nangangahulugan ito na ang equation ay tumutugma sa mga coordinate ng anumang punto sa linya. Kung papalitan natin ang mga coordinate ng point M, M 1 (x 1, y 1) sa equation na y = k x + b, kung gayon sa kasong ito ang linya ay dadaan sa puntong ito, kung hindi man ang punto ay hindi kabilang sa linya.

Halimbawa 4

Isang tuwid na linya na may slope y = 1 3 x - 1 ay ibinigay. Kalkulahin kung ang mga puntos na M 1 (3, 0) at M 2 (2, - 2) ay nabibilang sa ibinigay na linya.

Solusyon

Kinakailangang palitan ang mga coordinate ng point M 1 (3, 0) sa ibinigay na equation, pagkatapos ay makuha natin ang 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Ang pagkakapantay-pantay ay totoo, na nangangahulugang ang punto ay kabilang sa linya.

Kung papalitan natin ang mga coordinate ng point M 2 (2, - 2), makakakuha tayo ng hindi tamang pagkakapantay-pantay ng form - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Maaari nating tapusin na ang puntong M 2 ay hindi kabilang sa linya.

Sagot: Ang M 1 ay kabilang sa linya, ngunit ang M 2 ay hindi.

Alam na ang linya ay tinukoy ng equation na y = k · x + b, na dumadaan sa M 1 (0, b), sa pagpapalit ay nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay ng form b = k · 0 + b ⇔ b = b. Mula dito maaari nating tapusin na ang equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient y = k x + b sa eroplano ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto 0, b. Ito ay bumubuo ng isang anggulo α na may positibong direksyon ng O x axis, kung saan k = t g α.

Isaalang-alang natin, bilang isang halimbawa, ang isang tuwid na linya na tinukoy gamit ang isang angular coefficient na tinukoy sa form na y = 3 x - 1. Nakuha namin na ang tuwid na linya ay dadaan sa punto na may coordinate 0, - 1 na may slope na α = a r c t g 3 = π 3 radians sa positibong direksyon ng O x axis. Ipinapakita nito na ang coefficient ay 3.

Equation ng isang tuwid na linya na may slope na dumadaan sa isang naibigay na punto

Ito ay kinakailangan upang malutas ang isang problema kung saan ito ay kinakailangan upang makuha ang equation ng isang tuwid na linya na may isang naibigay na slope na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1).

Ang pagkakapantay-pantay na y 1 = k · x + b ay maaaring ituring na wasto, dahil ang linya ay dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1). Upang alisin ang numero b, kinakailangan upang ibawas ang equation na may slope mula sa kaliwa at kanang bahagi. Ito ay sumusunod mula dito na y - y 1 = k · (x - x 1) . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na equation ng isang tuwid na linya na may ibinigay na slope k, na dumadaan sa mga coordinate ng punto M 1 (x 1, y 1).

Halimbawa 5

Sumulat ng isang equation para sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 na may mga coordinate (4, - 1), na may isang angular coefficient na katumbas ng - 2.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon mayroon tayong x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Mula dito ang equation ng linya ay isusulat tulad ng sumusunod: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Sagot: y = - 2 x + 7 .

Halimbawa 6

Isulat ang equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient na dumadaan sa punto M 1 na may mga coordinate (3, 5), parallel sa tuwid na linya y = 2 x - 2.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon tayong magkatulad na mga linya na may magkaparehong mga anggulo ng pagkahilig, na nangangahulugan na ang mga angular coefficient ay pantay. Upang mahanap ang slope mula sa equation na ito, kailangan mong tandaan ang pangunahing formula nito na y = 2 x - 2, sumusunod ito na k = 2. Lumilikha kami ng isang equation na may slope coefficient at makakuha ng:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Sagot: y = 2 x - 1 .

Transition mula sa isang straight line equation na may slope papunta sa iba pang uri ng straight line equation at pabalik

Ang equation na ito ay hindi palaging naaangkop para sa paglutas ng mga problema, dahil hindi ito masyadong maginhawang nakasulat. Upang gawin ito, kailangan mong ipakita ito sa ibang anyo. Halimbawa, ang isang equation ng form na y = k x + b ay hindi nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng isang tuwid na linya o ang mga coordinate ng isang normal na vector. Upang gawin ito, kailangan mong matutunang kumatawan gamit ang mga equation ng ibang uri.

Makukuha natin ang canonical equation ng isang linya sa isang eroplano gamit ang equation ng isang linya na may angle coefficient. Nakukuha natin ang x - x 1 a x = y - y 1 a y . Kinakailangang ilipat ang terminong b sa kaliwang bahagi at hatiin sa pagpapahayag ng nagresultang hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang equation ng form na y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Ang equation ng isang linya na may slope ay naging canonical equation ng linyang ito.

Halimbawa 7

Dalhin ang equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient y = - 3 x + 12 sa canonical form.

Solusyon

Kalkulahin at ipakita natin ito sa anyo ng isang canonical equation ng isang tuwid na linya. Nakukuha namin ang isang equation ng form:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Sagot: x 1 = y - 12 - 3.

Ang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya ay pinakamadaling makuha mula sa y = k · x + b, ngunit para dito kinakailangan na gumawa ng mga pagbabagong-anyo: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Ang isang paglipat ay ginawa mula sa pangkalahatang equation ng linya patungo sa mga equation ng ibang uri.

Halimbawa 8

Ibinigay ang isang tuwid na linyang equation ng anyong y = 1 7 x - 2 . Alamin kung ang vector na may mga coordinate a → = (- 1, 7) ay isang normal na line vector?

Solusyon

Upang malutas ito ay kinakailangan upang lumipat sa isa pang anyo ng equation na ito, para dito isinulat namin:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Ang mga coefficient sa harap ng mga variable ay ang mga coordinate ng normal na vector ng linya. Isulat natin ito ng ganito: n → = 1 7, - 1, kaya 1 7 x - y - 2 = 0. Malinaw na ang vector a → = (- 1, 7) ay collinear sa vector n → = 1 7, - 1, dahil mayroon tayong patas na ugnayan a → = - 7 · n →. Kasunod nito na ang orihinal na vector a → = - 1, 7 ay isang normal na vector ng linya 1 7 x - y - 2 = 0, na nangangahulugang ito ay itinuturing na isang normal na vector para sa linyang y = 1 7 x - 2.

Sagot: Ay

Solusyonan natin ang baligtad na problema ng isang ito.

Kinakailangang lumipat mula sa pangkalahatang anyo ng equation na A x + B y + C = 0, kung saan B ≠ 0, sa isang equation na may isang angular coefficient. Upang gawin ito, lutasin namin ang equation para sa y. Nakukuha natin ang A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Ang resulta ay isang equation na may slope na katumbas ng - A B .

Halimbawa 9

Ang isang straight line equation ng form na 2 3 x - 4 y + 1 = 0 ay ibinigay. Kunin ang equation ng isang ibinigay na linya na may isang angular coefficient.

Solusyon

Batay sa kondisyon, kinakailangan upang malutas para sa y, pagkatapos ay makuha namin ang isang equation ng form:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Sagot: y = 1 6 x + 1 4 .

Ang isang equation ng anyong x a + y b = 1 ay nalulutas sa katulad na paraan, na tinatawag na equation ng isang tuwid na linya sa mga segment, o canonical ng anyong x - x 1 a x = y - y 1 a y. Kailangan nating lutasin ito para sa y, pagkatapos lamang makuha natin ang isang equation na may slope:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Ang canonical equation ay maaaring bawasan sa isang form na may isang angular coefficient. Para dito:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Halimbawa 10

Mayroong isang tuwid na linya na ibinigay ng equation x 2 + y - 3 = 1. Bawasan sa anyo ng isang equation na may isang angular coefficient.

Solusyon.

Batay sa kondisyon, ito ay kinakailangan upang ibahin ang anyo, pagkatapos ay makuha namin ang isang equation ng form na _formula_. Ang magkabilang panig ng equation ay dapat na i-multiply sa - 3 upang makuha ang kinakailangang slope equation. Pagbabago, nakukuha namin:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Sagot: y = 3 2 x - 3 .

Halimbawa 11

Bawasan ang straight line equation ng anyong x - 2 2 = y + 1 5 sa isang anyo na may angular na koepisyent.

Solusyon

Kinakailangang kalkulahin ang expression na x - 2 2 = y + 1 5 bilang isang proporsyon. Nakukuha natin na 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Ngayon ay kailangan mong ganap na paganahin ito, upang gawin ito:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Sagot: y = 5 2 x - 6 .

Upang malutas ang mga naturang problema, ang mga parametric equation ng linya ng anyong x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ay dapat bawasan sa canonical equation ng linya, pagkatapos lamang nito ay maaaring magpatuloy ang isa sa equation na may ang slope coefficient.

Halimbawa 12

Hanapin ang slope ng linya kung ito ay ibinigay ng parametric equation x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Solusyon

Kinakailangang lumipat mula sa parametric view patungo sa slope. Upang gawin ito, nakita namin ang canonical equation mula sa ibinigay na parametric one:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Ngayon ay kinakailangan upang malutas ang pagkakapantay-pantay na ito na may paggalang sa y upang makuha ang equation ng isang tuwid na linya na may isang angular coefficient. Upang gawin ito, isulat natin ito sa ganitong paraan:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Ito ay sumusunod na ang slope ng linya ay 2. Ito ay nakasulat bilang k = 2.

Sagot: k = 2.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter