Ordinaryong differential equation ay isang equation na nag-uugnay sa isang independent variable, isang hindi kilalang function ng variable na ito at ang mga derivatives nito (o mga differential) ng iba't ibang order.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay tinatawag na pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na nakapaloob dito.

Bilang karagdagan sa mga ordinaryong, ang mga partial differential equation ay pinag-aralan din. Ito ay mga equation na may kaugnayan sa mga independiyenteng variable, isang hindi kilalang function ng mga variable na ito at ang mga partial derivatives nito na may kinalaman sa parehong mga variable. Ngunit isasaalang-alang lamang namin ordinaryong differential equation at samakatuwid, para sa kapakanan ng kaiklian, aalisin natin ang salitang "karaniwan".

Mga halimbawa ng differential equation:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ang equation (1) ay pang-apat na pagkakasunud-sunod, ang equation (2) ay ikatlong pagkakasunud-sunod, ang mga equation (3) at (4) ay pangalawang pagkakasunud-sunod, ang equation (5) ay ang unang pagkakasunud-sunod.

Differential equation n Ang pagkakasunud-sunod ay hindi kinakailangang maglaman ng isang tahasang function, ang lahat ng mga derivatives nito mula sa una hanggang n-ika-order at malayang baryabol. Maaaring hindi ito tahasang naglalaman ng mga derivative ng ilang partikular na order, function, o independent variable.

Halimbawa, sa equation (1) ay malinaw na walang pangatlo at pangalawang-order na derivatives, pati na rin ang isang function; sa equation (2) - ang second-order derivative at ang function; sa equation (4) - ang independent variable; sa equation (5) - function. Tanging ang equation (3) ay malinaw na naglalaman ng lahat ng mga derivatives, ang function at ang independent variable.

Paglutas ng differential equation bawat function ay tinatawag y = f(x), kapag pinalitan sa equation ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Ang proseso ng paghahanap ng solusyon sa isang differential equation ay tinatawag na nito pagsasama.

Halimbawa 1. Hanapin ang solusyon sa differential equation.

Solusyon. Isulat natin ang equation na ito sa form . Ang solusyon ay upang mahanap ang function mula sa hinango nito. Ang orihinal na function, gaya ng nalalaman mula sa integral calculus, ay isang antiderivative para sa, i.e.

Iyon na iyon solusyon sa differential equation na ito . Nagbabago sa loob nito C, makakakuha tayo ng iba't ibang solusyon. Nalaman namin na mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon sa isang first order differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation n Ang ika-utos ay ang solusyon nito, na tahasang ipinahayag na may paggalang sa hindi kilalang function at naglalaman n independiyenteng mga arbitrary na pare-pareho, ibig sabihin.

Ang solusyon sa differential equation sa Halimbawa 1 ay pangkalahatan.

Bahagyang solusyon ng differential equation ang isang solusyon kung saan ang mga di-makatwirang constant ay binibigyan ng mga tiyak na halaga ng numero ay tinatawag.

Halimbawa 2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation at isang partikular na solusyon para sa .

Solusyon. Isama natin ang magkabilang panig ng equation ng ilang beses na katumbas ng pagkakasunud-sunod ng differential equation.

,

.

Bilang resulta, nakatanggap kami ng pangkalahatang solusyon -

ng isang ibinigay na third order differential equation.

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon. Upang gawin ito, palitan ang kanilang mga halaga sa halip na mga di-makatwirang coefficient at makuha

.

Kung, bilang karagdagan sa differential equation, ang paunang kondisyon ay ibinibigay sa form , kung gayon ang ganitong problema ay tinatawag na Cauchy na problema . Palitan ang mga halaga at sa pangkalahatang solusyon ng equation at hanapin ang halaga ng isang arbitrary na pare-pareho C, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon ng equation para sa nahanap na halaga C. Ito ang solusyon sa problemang Cauchy.

Halimbawa 3. Lutasin ang problemang Cauchy para sa differential equation mula sa Halimbawa 1 na paksa sa .

Solusyon. Palitan natin ang mga halaga mula sa paunang kondisyon sa pangkalahatang solusyon y = 3, x= 1. Nakukuha namin

Isinulat namin ang solusyon sa problemang Cauchy para sa first-order differential equation na ito:

Ang paglutas ng mga differential equation, kahit na ang pinakasimpleng mga equation, ay nangangailangan ng mahusay na integration at derivative na kasanayan, kabilang ang mga kumplikadong function. Ito ay makikita sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 4. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation.

Solusyon. Ang equation ay nakasulat sa isang form na maaari mong agad na isama ang magkabilang panig.

.

Inilapat namin ang paraan ng pagsasama sa pamamagitan ng pagbabago ng variable (pagpapalit). Hayaan mo na.

Kinakailangang kunin dx at ngayon - pansin - ginagawa namin ito ayon sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function, dahil x at mayroong isang kumplikadong pag-andar ("mansanas" ay ang pagkuha ng isang parisukat na ugat o, na kung saan ay ang parehong bagay, pagtaas sa kapangyarihan "isang-kalahati", at "minced meat" ay ang mismong expression sa ilalim ng ugat):

Natagpuan namin ang integral:

Pagbabalik sa variable x, nakukuha natin ang:

.

Ito ang pangkalahatang solusyon sa first degree differential equation na ito.

Hindi lamang mga kasanayan mula sa mga nakaraang seksyon ng mas mataas na matematika ang kakailanganin sa paglutas ng mga differential equation, kundi pati na rin ang mga kasanayan mula sa elementarya, iyon ay, matematika ng paaralan. Tulad ng nabanggit na, sa isang differential equation ng anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang isang malayang variable, iyon ay, isang variable x. Ang kaalaman tungkol sa mga proporsyon mula sa paaralan na hindi nakalimutan (gayunpaman, depende sa kung sino) mula sa paaralan ay makakatulong sa paglutas ng problemang ito. Ito ang susunod na halimbawa.

Sa ilang mga problema ng pisika, hindi posible na magtatag ng direktang koneksyon sa pagitan ng mga dami na naglalarawan sa proseso. Ngunit posibleng makakuha ng pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga derivatives ng mga function na pinag-aaralan. Ito ay kung paano lumitaw ang mga differential equation at ang pangangailangan upang malutas ang mga ito upang makahanap ng hindi kilalang function.

Ang artikulong ito ay inilaan para sa mga nahaharap sa problema ng paglutas ng isang differential equation kung saan ang hindi kilalang function ay isang function ng isang variable. Ang teorya ay nakabalangkas sa paraang walang kaalaman sa mga differential equation, maaari mong makayanan ang iyong gawain.

Ang bawat uri ng differential equation ay nauugnay sa isang paraan ng solusyon na may mga detalyadong paliwanag at solusyon sa mga tipikal na halimbawa at problema. Ang kailangan mo lang gawin ay tukuyin ang uri ng differential equation ng iyong problema, maghanap ng katulad na nasuri na halimbawa at magsagawa ng mga katulad na aksyon.

Upang matagumpay na malutas ang mga differential equation, kakailanganin mo rin ang kakayahang maghanap ng mga hanay ng mga antiderivatives (indefinite integral) ng iba't ibang function. Kung kinakailangan, inirerekomenda namin na sumangguni ka sa seksyon.

Una, isasaalang-alang natin ang mga uri ng ordinaryong differential equation ng unang pagkakasunud-sunod na maaaring malutas nang may paggalang sa derivative, pagkatapos ay magpapatuloy tayo sa pangalawang-order na mga ODE, pagkatapos ay tatalakayin natin ang mga equation na may mas mataas na pagkakasunud-sunod at magtatapos sa mga sistema ng differential equation.

Alalahanin na kung ang y ay isang function ng argumentong x.

First order differential equation.

Ang pinakasimpleng first order differential equation ng form.

Isulat natin ang ilang halimbawa ng naturang remote control .

Differential equation maaaring lutasin na may kinalaman sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng f(x) . Sa kasong ito, dumating tayo sa isang equation na magiging katumbas ng orihinal para sa f(x) ≠ 0. Ang mga halimbawa ng naturang mga ODE ay .

Kung mayroong mga halaga ng argumento x kung saan ang mga function na f(x) at g(x) ay sabay-sabay na nawawala, pagkatapos ay lilitaw ang mga karagdagang solusyon. Mga karagdagang solusyon sa equation ibinigay na x ay anumang mga function na tinukoy para sa mga halaga ng argumento na ito. Kabilang sa mga halimbawa ng naturang differential equation ang:

Mga equation ng pagkakaiba-iba ng pangalawang order.

Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.

Ang LDE na may pare-parehong coefficient ay isang napaka-karaniwang uri ng differential equation. Ang kanilang solusyon ay hindi partikular na mahirap. Una, ang mga ugat ng katangian na equation ay matatagpuan . Para sa magkaibang p at q, tatlong mga kaso ang posible: ang mga ugat ng katangian na equation ay maaaring maging totoo at magkaiba, totoo at magkakasabay. o kumplikadong conjugates. Depende sa mga halaga ng mga ugat ng katangian na equation, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay nakasulat bilang , o , o ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa, isaalang-alang ang isang linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang mga ugat ng katangiang equation nito ay k 1 = -3 at k 2 = 0. Ang mga ugat ay totoo at naiiba, samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng LODE na may pare-parehong mga koepisyent ay may anyo


Linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang pangalawang-order na LDDE na may pare-parehong mga coefficient y ay hinahanap sa anyo ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang LDDE at isang partikular na solusyon sa orihinal na inhomogeneous equation, iyon ay, . Ang nakaraang talata ay nakatuon sa paghahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na differential equation na may pare-parehong coefficient. At ang isang partikular na solusyon ay natutukoy alinman sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent para sa isang tiyak na anyo ng function na f(x) sa kanang bahagi ng orihinal na equation, o sa pamamagitan ng paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant.

Bilang mga halimbawa ng mga second-order na LDDE na may pare-parehong coefficient, nagbibigay kami


Upang maunawaan ang teorya at maging pamilyar sa mga detalyadong solusyon ng mga halimbawa, nag-aalok kami sa iyo sa pahina ng linear na hindi magkakatulad na pangalawang-order na mga equation ng kaugalian na may pare-parehong coefficient.

Linear homogeneous differential equation (LODE) at linear inhomogeneous differential equation (LNDEs) ng pangalawang order.

Ang isang espesyal na kaso ng mga differential equation ng ganitong uri ay ang LODE at LDDE na may pare-parehong coefficient.

Ang pangkalahatang solusyon ng LODE sa isang partikular na segment ay kinakatawan ng isang linear na kumbinasyon ng dalawang linearly independent partial solution y 1 at y 2 ng equation na ito, iyon ay, .

Ang pangunahing kahirapan ay tiyak na nakasalalay sa paghahanap ng mga linearly independent na partial na solusyon sa isang differential equation ng ganitong uri. Karaniwan, ang mga partikular na solusyon ay pinipili mula sa mga sumusunod na sistema ng mga linearly independent na function:


Gayunpaman, ang mga partikular na solusyon ay hindi palaging ipinakita sa form na ito.

Ang isang halimbawa ng LOD ay .

Ang pangkalahatang solusyon ng LDDE ay hinahanap sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang LDDE, at ang partikular na solusyon ng orihinal na differential equation. Napag-usapan lang namin ang tungkol sa paghahanap nito, ngunit maaari itong matukoy gamit ang paraan ng iba't ibang mga arbitrary na constant.

Maaaring magbigay ng isang halimbawa ng LNDU .

Differential equation ng mas matataas na order.

Differential equation na nagbibigay-daan sa pagbawas sa pagkakasunud-sunod.

Pagkakasunud-sunod ng differential equation , na hindi naglalaman ng nais na function at ang mga derivatives nito hanggang k-1 order, ay maaaring bawasan sa n-k sa pamamagitan ng pagpapalit ng .

Sa kasong ito, ang orihinal na differential equation ay babawasan sa . Matapos mahanap ang solusyon nito p(x), nananatili itong bumalik sa kapalit at matukoy ang hindi kilalang function na y.

Halimbawa, ang differential equation pagkatapos ng pagpapalit, ito ay magiging isang equation na may mga separable variable, at ang pagkakasunud-sunod nito ay mababawasan mula sa ikatlo hanggang sa una.

I. Ordinaryong differential equation

1.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang differential equation ay isang equation na nag-uugnay sa isang independent variable x, ang kinakailangang function y at mga derivatives o differentials nito.

Symbolically, ang differential equation ay nakasulat tulad ng sumusunod:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Ang isang differential equation ay tinatawag na ordinaryo kung ang kinakailangang function ay nakasalalay sa isang independent variable.

Paglutas ng differential equation ay tinatawag na function na ginagawang pagkakakilanlan ang equation na ito.

Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay ang pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama sa equation na ito

Mga halimbawa.

1. Isaalang-alang ang isang first order differential equation

Ang solusyon sa equation na ito ay ang function na y = 5 ln x. Sa katunayan, pagpapalit y" sa equation, makukuha natin ang pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang function na y = 5 ln x– ay isang solusyon sa differential equation na ito.

2. Isaalang-alang ang second order differential equation y" - 5y" +6y = 0. Ang function ay ang solusyon sa equation na ito.

Talaga, .

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation, makakakuha tayo ng: , – pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang function ay ang solusyon sa differential equation na ito.

Pagsasama ng mga differential equation ay ang proseso ng paghahanap ng mga solusyon sa mga differential equation.

Pangkalahatang solusyon ng differential equation tinatawag na function ng form , na kinabibilangan ng maraming independiyenteng arbitrary na mga pare-pareho bilang ang pagkakasunud-sunod ng equation.

Bahagyang solusyon ng differential equation ay isang solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon para sa iba't ibang mga numerical na halaga ng mga arbitrary na constant. Ang mga halaga ng mga di-makatwirang constant ay matatagpuan sa ilang mga paunang halaga ng argumento at pag-andar.

Ang graph ng isang partikular na solusyon sa isang differential equation ay tinatawag integral curve.

Mga halimbawa

1. Humanap ng partikular na solusyon sa isang first order differential equation

xdx + ydy = 0, Kung y= 4 sa x = 3.

Solusyon. Ang pagsasama ng magkabilang panig ng equation, nakukuha natin

Magkomento. Ang isang di-makatwirang pare-parehong C na nakuha bilang resulta ng pagsasama ay maaaring katawanin sa anumang anyo na maginhawa para sa karagdagang mga pagbabago. Sa kasong ito, isinasaalang-alang ang canonical equation ng isang bilog, ito ay maginhawa upang kumatawan sa isang di-makatwirang pare-parehong C sa anyo .

- pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Partikular na solusyon ng equation na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kondisyon y = 4 sa x = 3 ay matatagpuan mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga paunang kondisyon sa pangkalahatang solusyon: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Ang pagpapalit ng C=5 sa pangkalahatang solusyon, nakukuha natin x 2 +y 2 = 5 2 .

Ito ay isang partikular na solusyon sa isang differential equation na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon sa ilalim ng ibinigay na mga paunang kondisyon.

2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation

Ang solusyon sa equation na ito ay anumang function ng form , kung saan ang C ay isang arbitrary constant. Sa katunayan, ang pagpapalit sa mga equation, makuha natin ang: , .

Dahil dito, ang differential equation na ito ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, dahil para sa iba't ibang mga halaga ng pare-parehong C, ang pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa iba't ibang mga solusyon sa equation.

Halimbawa, sa pamamagitan ng direktang pagpapalit maaari mong i-verify na ang mga function ay mga solusyon sa equation.

Isang problema kung saan kailangan mong maghanap ng partikular na solusyon sa equation y" = f(x,y) nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon y(x 0) = y 0, ay tinatawag na problemang Cauchy.

Paglutas ng equation y" = f(x,y), nakakatugon sa paunang kondisyon, y(x 0) = y 0, ay tinatawag na solusyon sa problemang Cauchy.

Ang solusyon sa problemang Cauchy ay may simpleng geometric na kahulugan. Sa katunayan, ayon sa mga kahulugan na ito, upang malutas ang problema ng Cauchy y" = f(x,y) Kung ganoon y(x 0) = y 0, ay nangangahulugang hanapin ang integral curve ng equation y" = f(x,y) na dumadaan sa isang naibigay na punto M 0 (x 0,y 0).

II. Mga equation ng kaugalian ng unang order

2.1. Pangunahing Konsepto

Ang isang first order differential equation ay isang equation ng form F(x,y,y") = 0.

Kasama sa first order differential equation ang unang derivative at hindi kasama ang higher order derivatives.

Ang equation y" = f(x,y) ay tinatawag na isang first-order equation na nalutas na may kinalaman sa derivative.

Ang pangkalahatang solusyon ng isang first-order differential equation ay isang function ng form , na naglalaman ng isang arbitrary constant.

Halimbawa. Isaalang-alang ang isang first order differential equation.

Ang solusyon sa equation na ito ay ang function.

Sa katunayan, ang pagpapalit ng equation na ito sa halaga nito, nakukuha natin

yan ay 3x=3x

Samakatuwid, ang function ay isang pangkalahatang solusyon sa equation para sa anumang pare-parehong C.

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa equation na ito na nakakatugon sa paunang kondisyon y(1)=1 Pagpapalit ng mga paunang kondisyon x = 1, y =1 sa pangkalahatang solusyon ng equation, nakukuha natin kung saan C=0.

Kaya, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation na ito ng resultang halaga C=0- pribadong solusyon.

2.2. Differential equation na may mga separable variable

Ang isang differential equation na may separable variable ay isang equation ng form: y"=f(x)g(y) o sa pamamagitan ng differentials, kung saan f(x) At g(y)- tinukoy na mga function.

Para sa mga y, kung saan , ang equation y"=f(x)g(y) ay katumbas ng equation, kung saan ang variable y ay naroroon lamang sa kaliwang bahagi, at ang variable na x ay nasa kanang bahagi lamang. Sabi nila, "sa Eq. y"=f(x)g(y Paghiwalayin natin ang mga variable."

Equation ng form tinatawag na separated variable equation.

Pagsasama ng magkabilang panig ng equation Sa pamamagitan ng x, nakukuha namin G(y) = F(x) + C ay ang pangkalahatang solusyon ng equation, kung saan G(y) At F(x)– ilang mga antiderivative, ayon sa pagkakabanggit, ng mga function at f(x), C di-makatwirang pare-pareho.

Algorithm para sa paglutas ng isang first order differential equation na may mga separable variable

Halimbawa 1

Lutasin ang equation y" = xy

Solusyon. Derivative ng isang function y" palitan ito ng

paghiwalayin natin ang mga variable

Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 2

2yy" = 1- 3x 2, Kung y 0 = 3 sa x 0 = 1

Ito ay isang pinaghiwalay na variable equation. Isipin natin ito sa mga pagkakaiba-iba. Upang gawin ito, muling isulat namin ang equation na ito sa form Mula rito

Ang pagsasama ng magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay, nakita namin

Pagpapalit sa mga paunang halaga x 0 = 1, y 0 = 3 hahanapin natin SA 9=1-1+C, ibig sabihin. C = 9.

Samakatuwid, ang kinakailangang bahagyang integral ay magiging o

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang kurba na dumadaan sa isang punto M(2;-3) at pagkakaroon ng tangent na may isang angular coefficient

Solusyon. Ayon sa kondisyon

Ito ay isang equation na may mga separable variable. Ang paghahati ng mga variable, nakukuha namin:

Pagsasama ng magkabilang panig ng equation, nakukuha natin ang:

Gamit ang mga paunang kondisyon, x = 2 At y = - 3 hahanapin natin C:

Samakatuwid, ang kinakailangang equation ay may anyo

2.3. Mga linear differential equation ng unang order

Ang isang linear differential equation ng unang order ay isang equation ng form y" = f(x)y + g(x)

saan f(x) At g(x)- ilang mga tinukoy na function.

Kung g(x)=0 pagkatapos ang linear differential equation ay tinatawag na homogenous at may anyo: y" = f(x)y

Kung gayon ang equation y" = f(x)y + g(x) ay tinatawag na heterogenous.

Pangkalahatang solusyon ng isang linear homogenous differential equation y" = f(x)y ay ibinigay ng pormula: saan SA– di-makatwirang pare-pareho.

Sa partikular, kung C =0, kung gayon ang solusyon ay y = 0 Kung ang isang linear homogenous equation ay may anyo y" = ky saan k ay ilang pare-pareho, kung gayon ang pangkalahatang solusyon nito ay may anyo: .

Pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation y" = f(x)y + g(x) ay ibinigay ng formula ,

mga. ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na linear homogenous na equation at ang partikular na solusyon ng equation na ito.

Para sa isang linear inhomogeneous equation ng form y" = kx + b,

saan k At b- Ang ilang mga numero at isang partikular na solusyon ay magiging pare-pareho ang pag-andar. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo .

Halimbawa. Lutasin ang equation y" + 2y +3 = 0

Solusyon. Katawanin natin ang equation sa anyo y" = -2y - 3 saan k = -2, b= -3 Ang pangkalahatang solusyon ay ibinibigay ng formula.

Samakatuwid, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

2.4. Paglutas ng mga linear differential equation ng unang order sa pamamagitan ng Bernoulli method

Paghahanap ng Pangkalahatang Solusyon sa isang First Order Linear Differential Equation y" = f(x)y + g(x) bumababa sa paglutas ng dalawang differential equation na may mga pinaghiwalay na variable gamit ang substitution y=uv, Saan u At v- hindi kilalang mga function mula sa x. Ang pamamaraang ito ng solusyon ay tinatawag na pamamaraan ni Bernoulli.

Algorithm para sa paglutas ng isang first order linear differential equation

y" = f(x)y + g(x)

1. Ipasok ang pagpapalit y=uv.

2. Pag-iba-ibahin ang pagkakapantay-pantay na ito y" = u"v + uv"

3. Kapalit y At y" sa equation na ito: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) o u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Pangkatin ang mga tuntunin ng equation upang u alisin ito sa mga bracket:

5. Mula sa bracket, equating ito sa zero, hanapin ang function

Ito ay isang separable equation:

Hatiin natin ang mga variable at makuha ang:

saan . .

6. Palitan ang resultang halaga v sa equation (mula sa hakbang 4):

at hanapin ang function Ito ay isang equation na may mga separable variable:

7. Isulat ang pangkalahatang solusyon sa anyo: , ibig sabihin. .

Halimbawa 1

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa equation y" = -2y +3 = 0 Kung y =1 sa x = 0

Solusyon. Solusyonan natin ito gamit ang substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Pagpapalit y At y" sa equation na ito, nakukuha natin

Sa pamamagitan ng pagpapangkat ng pangalawa at pangatlong termino sa kaliwang bahagi ng equation, inaalis natin ang karaniwang salik u wala sa mga bracket

Itinutumbas namin ang expression sa mga bracket sa zero at, nang malutas ang nagresultang equation, nakita namin ang function v = v(x)

Nakukuha namin ang isang equation na may mga pinaghiwalay na variable. Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation na ito: Hanapin ang function v:

Palitan natin ang resultang halaga v sa equation na nakukuha natin:

Ito ay isang pinaghiwalay na variable equation. Pagsamahin natin ang magkabilang panig ng equation: Hanapin natin ang function u = u(x,c) Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon: Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon sa equation na nakakatugon sa mga paunang kondisyon y = 1 sa x = 0:

III. Mas mataas na pagkakasunud-sunod na kaugalian equation

3.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang second-order differential equation ay isang equation na naglalaman ng derivatives na hindi mas mataas kaysa sa second order. Sa pangkalahatang kaso, ang isang second-order differential equation ay nakasulat bilang: F(x,y,y",y") = 0

Ang pangkalahatang solusyon ng isang second-order differential equation ay isang function ng form , na kinabibilangan ng dalawang arbitrary constants C 1 At C 2.

Ang isang partikular na solusyon sa isang second-order differential equation ay isang solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatang solusyon para sa ilang mga halaga ng arbitrary constants C 1 At C 2.

3.2. Linear homogenous differential equation ng pangalawang order na may pare-pareho ang mga koepisyent.

Linear homogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient tinatawag na equation ng form y" + py" +qy = 0, Saan p At q- pare-pareho ang mga halaga.

Algorithm para sa paglutas ng homogenous na second order differential equation na may pare-parehong coefficient

1. Isulat ang differential equation sa anyo: y" + py" +qy = 0.

2. Lumikha ng katangian nitong equation, na nagsasaad y" sa pamamagitan ng r 2, y" sa pamamagitan ng r, y sa 1: r 2 + pr +q = 0

First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon.
Differential equation na may mga separable variable

Differential equation (DE). Ang dalawang salitang ito ay karaniwang nakakatakot sa karaniwang tao. Ang mga differential equation ay tila isang bagay na nagbabawal at mahirap i-master para sa maraming mga mag-aaral. Uuuuuu... differential equation, paano ako makakaligtas sa lahat ng ito?!

Ang opinyon at saloobing ito ay sa panimula ay mali, dahil sa katunayan DIFFERENTIAL EQUATIONS - SIMPLE ITO AT MASAYA PA. Ano ang kailangan mong malaman at magagawa upang matutunan kung paano lutasin ang mga differential equation? Upang matagumpay na pag-aralan ang mga diffuse, dapat kang maging mahusay sa pagsasama at pagkakaiba. Ang mas mahusay na mga paksa ay pinag-aralan Derivative ng isang function ng isang variable At Indefinite integral, mas magiging madaling maunawaan ang mga differential equation. Sasabihin ko pa, kung mayroon kang higit pa o hindi gaanong disenteng mga kasanayan sa pagsasama, kung gayon ang paksa ay halos pinagkadalubhasaan! Ang mas maraming integral ng iba't ibang uri na maaari mong lutasin, mas mabuti. Bakit? Marami kang kailangang isama. At magkaiba. Gayundin lubos na inirerekomenda matuto kang maghanap.

Sa 95% ng mga kaso, naglalaman ang mga test paper ng 3 uri ng first-order differential equation: mapaghihiwalay na equation na ating titingnan sa araling ito; homogenous equation At linear inhomogeneous equation. Para sa mga nagsisimulang mag-aral ng mga diffuser, ipinapayo ko sa iyo na basahin ang mga aralin sa eksaktong pagkakasunud-sunod na ito, at pagkatapos pag-aralan ang unang dalawang artikulo, hindi masasaktan na pagsamahin ang iyong mga kasanayan sa isang karagdagang workshop - ang mga equation ay bumababa sa homogenous.

Mayroong mas bihirang uri ng mga differential equation: kabuuang differential equation, Bernoulli equation at ilang iba pa. Ang pinakamahalaga sa huling dalawang uri ay ang mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba, dahil bilang karagdagan sa equation na ito ng kaugalian ay isinasaalang-alang ko ang bagong materyal - bahagyang pagsasama.

Kung isa o dalawang araw na lang ang natitira, Iyon para sa napakabilis na paghahanda meron kursong blitz sa pdf format.

Kaya, nakatakda na ang mga palatandaan - tayo:

Una, tandaan natin ang mga karaniwang algebraic equation. Naglalaman ang mga ito ng mga variable at numero. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang ordinaryong equation? Nangangahulugan ito ng paghahanap set ng mga numero, na nakakatugon sa equation na ito. Madaling mapansin na ang equation ng mga bata ay may iisang ugat: . Para lamang sa kasiyahan, suriin natin at palitan ang natagpuang ugat sa ating equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang mga diffuser ay dinisenyo sa halos parehong paraan!

Differential equation unang order sa pangkalahatan naglalaman ng:
1) malayang variable;
2) dependent variable (function);
3) ang unang derivative ng function: .

Sa ilang 1st order equation maaaring walang "x" at/o "y", ngunit hindi ito makabuluhan - mahalaga para pumunta sa control room ay unang hinalaw, at ay walang derivatives ng mas mataas na mga order – , atbp.

Ano ang ibig sabihin? Ang paglutas ng differential equation ay nangangahulugan ng paghahanap set ng lahat ng function, na nakakatugon sa equation na ito. Ang ganitong hanay ng mga function ay madalas na may anyo (– isang arbitrary na pare-pareho), na tinatawag pangkalahatang solusyon ng differential equation.

Halimbawa 1

Lutasin ang differential equation

Buong bala. Kung saan magsisimula solusyon?

Una sa lahat, kailangan mong muling isulat ang derivative sa isang bahagyang naiibang anyo. Naaalala namin ang masalimuot na pagtatalaga, na marami sa inyo ay malamang na tila katawa-tawa at hindi kailangan. Ito ang panuntunan sa mga diffuser!

Sa pangalawang hakbang, tingnan natin kung posible magkahiwalay na variable? Ano ang ibig sabihin ng paghiwalayin ang mga variable? Sa madaling salita, sa kaliwang bahagi kailangan na nating umalis tanging "mga Griyego", A sa kanang bahagi ayusin "X's" lang. Ang paghahati ng mga variable ay isinasagawa gamit ang mga manipulasyon ng "paaralan": inilalagay ang mga ito sa mga bracket, paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, paglilipat ng mga kadahilanan mula sa bahagi patungo sa bahagi ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp.

Mga pagkakaiba at ganap na multiplier at aktibong kalahok sa labanan. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ang mga variable ay madaling paghiwalayin sa pamamagitan ng paghagis ng mga kadahilanan ayon sa tuntunin ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghihiwalay. Sa kaliwang bahagi ay mayroon lamang "Y's", sa kanang bahagi - tanging "X's".

Susunod na yugto - pagsasama ng differential equation. Ito ay simple, naglalagay kami ng mga integral sa magkabilang panig:

Siyempre, kailangan nating kumuha ng mga integral. Sa kasong ito ang mga ito ay tabular:

Tulad ng naaalala natin, ang isang pare-pareho ay itinalaga sa anumang antiderivative. Mayroong dalawang integral dito, ngunit sapat na upang isulat ang pare-pareho nang isang beses (dahil ang constant + constant ay katumbas pa rin ng isa pang constant). Sa karamihan ng mga kaso ito ay inilalagay sa kanang bahagi.

Sa mahigpit na pagsasalita, pagkatapos kunin ang mga integral, ang differential equation ay itinuturing na nalutas. Ang tanging bagay ay ang aming "y" ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng "x", iyon ay, ang solusyon ay ipinakita sa isang implicit anyo. Ang solusyon sa isang differential equation sa implicit form ay tinatawag pangkalahatang integral ng differential equation. Ibig sabihin, ito ay isang pangkalahatang integral.

Ang sagot sa form na ito ay lubos na katanggap-tanggap, ngunit mayroon bang mas mahusay na pagpipilian? Subukan nating makuha karaniwang desisyon.

pakiusap, tandaan ang unang pamamaraan, ito ay napakakaraniwan at kadalasang ginagamit sa mga praktikal na gawain: kung ang isang logarithm ay lilitaw sa kanang bahagi pagkatapos ng pagsasama, kung gayon sa maraming mga kaso (ngunit hindi palaging!) Maipapayo rin na isulat ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm.

Yan ay, SA halip na karaniwang isinusulat ang mga entry .

Bakit kailangan ito? At para mas madaling ipahayag ang "laro". Gamit ang pag-aari ng logarithms . Sa kasong ito:

Ngayon ang mga logarithm at module ay maaaring alisin:

Ang function ay tahasang ipinakita. Ito ang pangkalahatang solusyon.

Sagot: karaniwang desisyon: .

Ang mga sagot sa maraming differential equation ay medyo madaling suriin. Sa aming kaso, ito ay ginagawa nang simple, kinukuha namin ang solusyon na natagpuan at iniiba ito:

Pagkatapos ay pinapalitan natin ang derivative sa orihinal na equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang pangkalahatang solusyon ay nakakatugon sa equation, na kung saan ay kung ano ang kailangang suriin.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng patuloy na magkakaibang mga halaga, maaari kang makakuha ng walang katapusang bilang ng pribadong solusyon differential equation. Malinaw na ang alinman sa mga function , , atbp. natutugunan ang differential equation.

Minsan ang pangkalahatang solusyon ay tinatawag pamilya ng mga tungkulin. Sa halimbawang ito, ang pangkalahatang solusyon ay isang pamilya ng mga linear function, o mas tiyak, isang pamilya ng direktang proporsyonalidad.

Pagkatapos ng masusing pagsusuri sa unang halimbawa, angkop na sagutin ang ilang mga walang muwang na tanong tungkol sa mga differential equation:

1)Sa halimbawang ito, nagawa naming paghiwalayin ang mga variable. Magagawa ba ito palagi? Hindi hindi palagi. At mas madalas, ang mga variable ay hindi maaaring paghiwalayin. Halimbawa, sa homogenous na first order equation, kailangan mo muna itong palitan. Sa iba pang mga uri ng mga equation, halimbawa, sa isang first-order linear inhomogeneous equation, kailangan mong gumamit ng iba't ibang mga diskarte at pamamaraan upang makahanap ng pangkalahatang solusyon. Ang mga equation na may mga mapaghihiwalay na variable, na isinasaalang-alang natin sa unang aralin, ay ang pinakasimpleng uri ng differential equation.

2) Palagi bang posible na isama ang isang differential equation? Hindi hindi palagi. Napakadaling makabuo ng isang "fancy" na equation na hindi maaaring isama; bilang karagdagan, may mga integral na hindi maaaring kunin. Ngunit ang mga naturang DE ay maaaring malutas nang humigit-kumulang gamit ang mga espesyal na pamamaraan. Ginagarantiyahan nina D’Alembert at Cauchy... ...ugh, lurkmore.para magbasa ng marami ngayon, muntik ko nang idagdag ang "mula sa kabilang mundo."

3) Sa halimbawang ito, nakakuha kami ng isang solusyon sa anyo ng isang pangkalahatang integral . Palagi bang posible na makahanap ng isang pangkalahatang solusyon mula sa isang pangkalahatang integral, iyon ay, upang ipahayag ang "y" nang tahasan? Hindi hindi palagi. Halimbawa: . Well, paano mo maipapahayag ang "Greek" dito?! Sa ganitong mga kaso, ang sagot ay dapat na nakasulat bilang isang pangkalahatang integral. Bilang karagdagan, kung minsan posible na makahanap ng isang pangkalahatang solusyon, ngunit ito ay nakasulat na napakahirap at clumsily na mas mahusay na iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral.

4) ...marahil sapat na iyon sa ngayon. Sa unang halimbawa na aming nakatagpo isa pang mahalagang punto, ngunit upang hindi masakop ang mga "dummies" ng isang avalanche ng bagong impormasyon, iiwan ko ito hanggang sa susunod na aralin.

Hindi kami magmamadali. Isa pang simpleng remote control at isa pang tipikal na solusyon:

Halimbawa 2

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon

Solusyon: ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin pribadong solusyon DE na nakakatugon sa isang ibinigay na paunang kondisyon. Ang pormulasyon na ito ng tanong ay tinatawag din Cauchy na problema.

Una naming mahanap ang isang pangkalahatang solusyon. Walang variable na "x" sa equation, ngunit hindi ito dapat malito, ang pangunahing bagay ay mayroon itong unang derivative.

Muli naming isinusulat ang derivative sa kinakailangang form:

Malinaw, ang mga variable ay maaaring paghiwalayin, mga lalaki sa kaliwa, mga babae sa kanan:

Isama natin ang equation:

Nakuha ang pangkalahatang integral. Narito ako ay gumuhit ng isang pare-pareho na may asterisk, ang katotohanan ay sa lalong madaling panahon ito ay magiging isa pang pare-pareho.

Ngayon ay sinusubukan naming baguhin ang pangkalahatang integral sa isang pangkalahatang solusyon (ipahayag ang "y" nang tahasan). Alalahanin natin ang magagandang bagay mula sa paaralan: . Sa kasong ito:

Ang pare-pareho sa tagapagpahiwatig ay mukhang hindi tama, kaya karaniwan itong ibinababa sa lupa. Sa detalye, ganito ang nangyayari. Gamit ang pag-aari ng mga degree, muling isinulat namin ang function tulad ng sumusunod:

Kung ito ay isang pare-pareho, kung gayon ay isang pare-pareho din, baguhin natin ito sa pamamagitan ng titik :

Tandaan ang "pagwawasak" ay isang pare-pareho pangalawang teknik, na kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga differential equation.

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ay: . Ito ay isang magandang pamilya ng mga exponential function.

Sa huling yugto, kailangan mong makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa ibinigay na paunang kondisyon. Ito ay simple din.

Ano ang gawain? Kailangang kunin ganyan ang halaga ng pare-pareho upang ang kondisyon ay nasiyahan.

Maaari itong i-format sa iba't ibang paraan, ngunit ito ay marahil ang pinakamalinaw na paraan. Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang isang zero, at sa halip na "Y" ay pinapalitan namin ang dalawa:



Yan ay,

Standard na bersyon ng disenyo:

Ngayon pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon:
– ito ang partikular na solusyon na kailangan natin.

Sagot: pribadong solusyon:

Suriin natin. Ang pagsuri sa isang pribadong solusyon ay may kasamang dalawang yugto:

Una kailangan mong suriin kung ang partikular na solusyon na natagpuan ay talagang nakakatugon sa paunang kondisyon? Sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang isang zero at tingnan kung ano ang mangyayari:
- oo, sa katunayan, ang isang dalawa ay natanggap, na nangangahulugan na ang paunang kondisyon ay natutugunan.

Ang pangalawang yugto ay pamilyar na. Kinukuha namin ang resultang partikular na solusyon at hanapin ang derivative:

Pinapalitan namin ang orihinal na equation:

– ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Konklusyon: ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Lumipat tayo sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 3

Lutasin ang differential equation

Solusyon: Isinulat namin muli ang derivative sa form na kailangan namin:

Sinusuri namin kung posible bang paghiwalayin ang mga variable? Pwede. Inilipat namin ang pangalawang termino sa kanang bahagi na may pagbabago ng tanda:

At inililipat namin ang mga multiplier ayon sa panuntunan ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghiwalay, isama natin ang parehong bahagi:

Dapat kong babalaan ka, nalalapit na ang araw ng paghuhukom. Kung hindi ka nag-aral ng mabuti hindi tiyak na integral, ay nalutas ang ilang mga halimbawa, pagkatapos ay wala nang mapupuntahan - kailangan mong makabisado ang mga ito ngayon.

Ang integral ng kaliwang bahagi ay madaling mahanap; nakikitungo tayo sa integral ng cotangent gamit ang karaniwang pamamaraan na tiningnan natin sa aralin Pagsasama ng mga function ng trigonometriko noong nakaraang taon:

Sa kanang bahagi mayroon kaming logarithm, at, ayon sa aking unang teknikal na rekomendasyon, ang pare-pareho ay dapat ding isulat sa ilalim ng logarithm.

Ngayon sinusubukan naming gawing simple ang pangkalahatang integral. Dahil mayroon lamang kaming mga logarithms, posible (at kinakailangan) na alisin ang mga ito. Sa pamamagitan ng paggamit mga kilalang katangian"I-pack" namin ang logarithms hangga't maaari. Isusulat ko ito nang detalyado:

Ang packaging ay tapos na sa barbarically tattered:

Posible bang ipahayag ang "laro"? Pwede. Ito ay kinakailangan upang parisukat ang parehong bahagi.

Ngunit hindi mo kailangang gawin ito.

Pangatlong teknikal na tip: kung upang makakuha ng isang pangkalahatang solusyon ito ay kinakailangan upang itaas sa isang kapangyarihan o kumuha ng mga ugat, pagkatapos Sa karamihan ng mga kaso dapat mong iwasan ang mga pagkilos na ito at iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral. Ang katotohanan ay ang pangkalahatang solusyon ay magiging kakila-kilabot lamang - na may malalaking ugat, palatandaan at iba pang basura.

Samakatuwid, isinusulat namin ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral. Itinuturing na magandang kasanayan na ipakita ito sa anyo , iyon ay, sa kanang bahagi, kung maaari, mag-iwan lamang ng isang pare-pareho. Hindi kinakailangan na gawin ito, ngunit palaging kapaki-pakinabang na pasayahin ang propesor ;-)

Sagot: pangkalahatang integral:

! Tandaan: Ang pangkalahatang integral ng anumang equation ay maaaring isulat sa higit sa isang paraan. Kaya, kung ang iyong resulta ay hindi tumutugma sa dating kilalang sagot, hindi ito nangangahulugan na nalutas mo nang mali ang equation.

Ang pangkalahatang integral ay medyo madaling suriin, ang pangunahing bagay ay upang mahanap derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Ibahin natin ang sagot:

I-multiply namin ang parehong termino sa pamamagitan ng:

At hatiin sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na differential equation ay nakuha nang eksakto, na nangangahulugan na ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 4

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon. Magsagawa ng check.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa.

Ipaalala ko sa iyo na ang algorithm ay binubuo ng dalawang yugto:
1) paghahanap ng pangkalahatang solusyon;
2) paghahanap ng kinakailangang partikular na solusyon.

Isinasagawa din ang pagsusuri sa dalawang hakbang (tingnan ang sample sa Halimbawa Blg. 2), kailangan mong:
1) siguraduhin na ang partikular na solusyon na natagpuan ay nakakatugon sa paunang kondisyon;
2) suriin na ang isang partikular na solusyon sa pangkalahatan ay nakakatugon sa kaugalian equation.

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Halimbawa 5

Maghanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation , nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon. Magsagawa ng check.

Solusyon: Una, maghanap tayo ng isang pangkalahatang solusyon. Ang equation na ito ay naglalaman na ng mga yari na kaugalian at, samakatuwid, ang solusyon ay pinasimple. Pinaghiwalay namin ang mga variable:

Isama natin ang equation:

Ang integral sa kaliwa ay tabular, ang integral sa kanan ay kinuha paraan ng pag-subsuming ng isang function sa ilalim ng differential sign:

Nakuha ang pangkalahatang integral; posible bang matagumpay na maipahayag ang pangkalahatang solusyon? Pwede. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig. Dahil ang mga ito ay positibo, ang mga palatandaan ng modulus ay hindi kailangan:

(Sana maintindihan ng lahat ang pagbabago, dapat alam na ang mga ganyan)

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ay:

Maghanap tayo ng isang partikular na solusyon na tumutugma sa ibinigay na paunang kondisyon.
Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "X" ay pinapalitan namin ang zero, at sa halip na "Y" pinapalitan namin ang logarithm ng dalawa:

Mas pamilyar na disenyo:

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon.

Sagot: pribadong solusyon:

Suriin: Una, suriin natin kung natugunan ang paunang kundisyon:
- lahat ay mabuti.

Ngayon suriin natin kung ang nahanap na partikular na solusyon ay nakakatugon sa pagkakaiba-iba ng equation. Paghahanap ng derivative:

Tingnan natin ang orihinal na equation: - ito ay ipinakita sa mga pagkakaiba-iba. Mayroong dalawang paraan upang suriin. Posibleng ipahayag ang pagkakaiba mula sa nahanap na derivative:

Ipalit natin ang nahanap na partikular na solusyon at ang resultang kaugalian sa orihinal na equation :

Ginagamit namin ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugan na ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang pangalawang paraan ng pagsuri ay naka-mirror at mas pamilyar: mula sa equation Ipahayag natin ang derivative, upang gawin ito, hatiin natin ang lahat ng mga piraso sa pamamagitan ng:

At sa nabagong DE ay pinapalitan natin ang nakuhang partial solution at ang nahanap na derivative. Bilang resulta ng mga pagpapasimple, dapat ding makuha ang tamang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 6

Lutasin ang differential equation. Ilahad ang sagot sa anyong pangkalahatang integral.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, kumpletong solusyon at sagutin sa pagtatapos ng aralin.

Anong mga paghihirap ang naghihintay sa paglutas ng mga differential equation na may mga separable variable?

1) Hindi palaging halata (lalo na sa isang "teapot") na ang mga variable ay maaaring paghiwalayin. Isaalang-alang natin ang isang kondisyong halimbawa: . Dito kailangan mong alisin ang mga kadahilanan sa mga bracket: at paghiwalayin ang mga ugat: . Malinaw kung ano ang susunod na gagawin.

2) Mga paghihirap sa pagsasama mismo. Ang mga integral ay madalas na hindi ang pinakasimpleng, at kung may mga bahid sa mga kasanayan sa paghahanap hindi tiyak na integral, pagkatapos ay magiging mahirap sa maraming mga diffuser. Bilang karagdagan, ang lohika na "dahil ang differential equation ay simple, pagkatapos ay hayaan ang mga integral na maging mas kumplikado" ay popular sa mga compiler ng mga koleksyon at mga manwal ng pagsasanay.

3) Mga pagbabagong-anyo na may pare-pareho. Tulad ng napansin ng lahat, ang pare-pareho sa mga differential equation ay maaaring mahawakan nang malaya, at ang ilang pagbabago ay hindi palaging malinaw sa isang baguhan. Tingnan natin ang isa pang kondisyonal na halimbawa: . Maipapayo na i-multiply ang lahat ng termino sa 2: . Ang resultang pare-pareho ay isa ring uri ng pare-pareho, na maaaring tukuyin ng: . Oo, at dahil may logarithm sa kanang bahagi, ipinapayong muling isulat ang pare-pareho sa anyo ng isa pang pare-pareho: .

Ang problema ay madalas na hindi sila nag-abala sa mga index at gumagamit ng parehong titik. Bilang resulta, ang rekord ng desisyon ay tumatagal sa sumusunod na anyo:

Anong uri ng maling pananampalataya? May mga pagkakamali doon! Mahigpit na nagsasalita, oo. Gayunpaman, mula sa isang mahalagang punto ng view, walang mga pagkakamali, dahil bilang isang resulta ng pagbabago ng isang variable na pare-pareho, ang isang variable na pare-pareho ay nakuha pa rin.

O isa pang halimbawa, ipagpalagay na sa kurso ng paglutas ng equation isang pangkalahatang integral ay nakuha. Mukhang pangit ang sagot na ito, kaya ipinapayong baguhin ang tanda ng bawat termino: . Pormal, may isa pang pagkakamali dito - dapat itong nakasulat sa kanan. Ngunit impormal na ipinahihiwatig na ang "minus ce" ay pare-pareho pa rin ( na maaaring madaling magkaroon ng anumang kahulugan!), kaya walang saysay ang paglalagay ng "minus" at maaari mong gamitin ang parehong titik.

Susubukan kong iwasan ang isang walang ingat na diskarte, at magtatalaga pa rin ng iba't ibang mga indeks sa mga constant kapag kino-convert ang mga ito.

Halimbawa 7

Lutasin ang differential equation. Magsagawa ng check.

Solusyon: Ang equation na ito ay nagbibigay-daan para sa paghihiwalay ng mga variable. Pinaghiwalay namin ang mga variable:

Pagsamahin natin:

Hindi kinakailangan na tukuyin ang pare-pareho dito bilang isang logarithm, dahil walang kapaki-pakinabang na darating dito.

Sagot: pangkalahatang integral:

Suriin: Ibahin ang pagkakaiba sa sagot (implicit function):

Inaalis namin ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong termino sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na differential equation ay nakuha, na nangangahulugan na ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 8

Maghanap ng isang partikular na solusyon ng DE.
,

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Ang tanging pahiwatig ay na dito makakakuha ka ng isang pangkalahatang integral, at, mas tama sa pagsasalita, kailangan mong mag-isip upang makahanap ng hindi isang partikular na solusyon, ngunit bahagyang integral. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

6.1. MGA BATAYANG KONSEPTO AT DEPINISYON

Kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema sa matematika at pisika, biology at medisina, kadalasan ay hindi posible na agad na magtatag ng isang functional na relasyon sa anyo ng isang formula na nagkokonekta sa mga variable na naglalarawan sa proseso sa ilalim ng pag-aaral. Kadalasan kailangan mong gumamit ng mga equation na naglalaman, bilang karagdagan sa independiyenteng variable at ang hindi kilalang function, pati na rin ang mga derivatives nito.

Kahulugan. Tinatawag ang isang equation na nagkokonekta sa isang independent variable, isang hindi kilalang function at mga derivatives nito ng iba't ibang order kaugalian.

Ang isang hindi kilalang function ay karaniwang tinutukoy y(x) o simple lang y, at mga derivatives nito - y", y" atbp.

Posible rin ang iba pang mga pagtatalaga, halimbawa: kung y= x(t), pagkatapos x"(t), x""(t)- mga derivatives nito, at t- malayang variable.

Kahulugan. Kung ang isang function ay nakasalalay sa isang variable, kung gayon ang differential equation ay tinatawag na ordinaryo. Pangkalahatang anyo ordinaryong differential equation:

o

Mga pag-andar F At f maaaring hindi naglalaman ng ilang mga argumento, ngunit para ang mga equation ay maging kaugalian, ang pagkakaroon ng isang derivative ay mahalaga.

Kahulugan.Ang pagkakasunud-sunod ng differential equation ay tinatawag na pagkakasunod-sunod ng pinakamataas na derivative na kasama dito.

Halimbawa, x 2 y"- y= 0, y" + kasalanan x Ang = 0 ay mga first order equation, at y"+ 2 y"+ 5 y= x- pangalawang order equation.

Kapag nilulutas ang mga equation ng kaugalian, ginagamit ang operasyon ng pagsasama, na nauugnay sa hitsura ng isang di-makatwirang pare-pareho. Kung inilapat ang pagkilos ng pagsasama n beses, pagkatapos, malinaw naman, ang solusyon ay maglalaman n di-makatwirang mga pare-pareho.

6.2. DIFFERENTIAL EQUATIONS NG UNANG ORDER

Pangkalahatang anyo first order differential equation ay tinutukoy ng expression

Maaaring hindi tahasang naglalaman ang equation x At y, ngunit kinakailangang naglalaman ng y".

Kung ang equation ay maaaring isulat bilang

pagkatapos ay kukuha tayo ng first-order differential equation na naresolba nang may kinalaman sa derivative.

Kahulugan. Ang pangkalahatang solusyon ng first order differential equation (6.3) (o (6.4)) ay ang hanay ng mga solusyon , Saan SA- di-makatwirang pare-pareho.

Ang graph ng solusyon sa isang differential equation ay tinatawag integral curve.

Pagbibigay ng arbitraryong pare-pareho SA iba't ibang mga halaga, maaaring makuha ang mga bahagyang solusyon. Sa ibabaw xOy ang pangkalahatang solusyon ay isang pamilya ng integral curves na tumutugma sa bawat partikular na solusyon.

Kung magtatakda ka ng punto A (x 0 , y 0), kung saan dapat dumaan ang integral curve, kung gayon, bilang panuntunan, mula sa isang hanay ng mga function Maaaring isa-isa ng isa ang isa - isang pribadong solusyon.

Kahulugan.Pribadong desisyon ng isang differential equation ay ang solusyon nito na hindi naglalaman ng mga arbitrary constants.

Kung ay isang pangkalahatang solusyon, pagkatapos ay mula sa kundisyon

makakahanap ka ng pare-pareho SA. Ang kundisyon ay tinatawag paunang kondisyon.

Ang problema sa paghahanap ng isang partikular na solusyon sa differential equation (6.3) o (6.4) na nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon sa tinawag Cauchy na problema. Lagi bang may solusyon ang problemang ito? Ang sagot ay nakapaloob sa sumusunod na teorama.

Ang teorama ni Cauchy(teorama ng pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon). Ipasok ang differential equation y"= f(x,y) function f(x,y) at siya

partial derivative tinukoy at tuloy-tuloy sa ilan

rehiyon D, naglalaman ng isang punto Tapos sa area D umiiral

ang tanging solusyon sa equation na nakakatugon sa paunang kondisyon sa

Ang teorama ni Cauchy ay nagsasaad na sa ilalim ng ilang mga kundisyon ay mayroong isang natatanging integral curve y= f(x), dumadaan sa isang punto Mga punto kung saan hindi natutugunan ang mga kundisyon ng theorem

Ang mga Cauchies ay tinatawag espesyal. Sa mga puntong ito ay masisira f(x, y) o.

Alinman sa ilang integral curve o wala sa isang solong punto.

Kahulugan. Kung ang solusyon (6.3), (6.4) ay matatagpuan sa form f(x, y, C)= 0, hindi pinahihintulutan na may kaugnayan sa y, pagkatapos ito ay tinatawag pangkalahatang integral differential equation.

Ginagarantiyahan lamang ng teorama ni Cauchy na mayroong solusyon. Dahil walang iisang paraan para sa paghahanap ng solusyon, isasaalang-alang lamang namin ang ilang uri ng first-order differential equation na maaaring isama sa mga kuwadratura

Kahulugan. Tinatawag ang differential equation integrable sa quadratures, kung ang paghahanap ng solusyon nito ay bumaba sa pagsasama ng mga function.

6.2.1. First order differential equation na may mga separable variable

Kahulugan. Ang isang first order differential equation ay tinatawag na equation with mapaghihiwalay na mga variable,

Ang kanang bahagi ng equation (6.5) ay ang produkto ng dalawang function, na ang bawat isa ay nakasalalay sa isang variable lamang.

Halimbawa, ang equation ay isang equation na may paghihiwalay

may halong variable
at ang equation

hindi maaaring katawanin sa anyo (6.5).

Isinasaalang-alang na , muli naming isinusulat ang (6.5) sa form

Mula sa equation na ito ay nakakuha tayo ng differential equation na may mga pinaghiwalay na variable, kung saan ang mga differential ay mga function na nakadepende lamang sa kaukulang variable:

Pagsasama ng termino sa pamamagitan ng termino, mayroon kami

kung saan ang C = C 2 - C 1 - arbitrary na pare-pareho. Ang expression (6.6) ay ang pangkalahatang integral ng equation (6.5).

Sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation (6.5) sa, maaari nating mawala ang mga solusyon kung saan, Sa katunayan, kung sa

yun malinaw na isang solusyon sa equation (6.5).

Halimbawa 1. Maghanap ng solusyon sa equation na nakakatugon

kundisyon: y= 6 sa x= 2 (y(2) = 6).

Solusyon. Papalitan namin y" pagkatapos . I-multiply ang magkabilang panig

dx, dahil sa panahon ng karagdagang pagsasama imposibleng umalis dx sa denominator:

at pagkatapos ay hatiin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng makuha natin ang equation,

na maaaring isama. Pagsamahin natin:

Pagkatapos ; potentiating, nakukuha natin ang y = C. (x + 1) - ob-

pangkalahatang solusyon.

Gamit ang paunang data, tinutukoy namin ang isang arbitrary na pare-pareho, pinapalitan ang mga ito sa pangkalahatang solusyon

Sa wakas nakuha namin y= 2(x + 1) ay isang partikular na solusyon. Tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa ng paglutas ng mga equation na may mga separable variable.

Halimbawa 2. Hanapin ang solusyon sa equation

Solusyon. Isinasaalang-alang na , nakukuha namin .

Ang pagsasama ng magkabilang panig ng equation, mayroon tayo

saan

Halimbawa 3. Hanapin ang solusyon sa equation Solusyon. Hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa mga salik na iyon na nakadepende sa isang variable na hindi tumutugma sa variable sa ilalim ng differential sign, i.e. at pagsamahin. Pagkatapos makuha namin

at sa wakas

Halimbawa 4. Hanapin ang solusyon sa equation

Solusyon. Alam kung ano ang makukuha natin. Seksyon

lim variable. Pagkatapos

Pagsasama, nakukuha namin

Magkomento. Sa mga halimbawa 1 at 2, ang kinakailangang function ay y ipinahayag nang tahasan (pangkalahatang solusyon). Sa mga halimbawa 3 at 4 - implicitly (pangkalahatang integral). Sa hinaharap, ang anyo ng desisyon ay hindi tutukuyin.

Halimbawa 5. Hanapin ang solusyon sa equation Solusyon.

Halimbawa 6. Hanapin ang solusyon sa equation , kasiya-siya

kundisyon y(e)= 1.

Solusyon. Isulat natin ang equation sa form

Pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng dx at sa, nakukuha namin

Ang pagsasama ng magkabilang panig ng equation (ang integral sa kanang bahagi ay kinuha ng mga bahagi), nakuha namin

Ngunit ayon sa kondisyon y= 1 sa x= e. Pagkatapos

Palitan natin ang mga nahanap na halaga SA sa pangkalahatang solusyon:

Ang resultang expression ay tinatawag na bahagyang solusyon ng differential equation.

6.2.2. Mga homogenous na differential equation ng unang order

Kahulugan. Tinatawag ang first order differential equation homogenous, kung ito ay mairepresenta sa anyo

Ipakita natin ang isang algorithm para sa paglutas ng isang homogenous na equation.

1. Sa halip y ipakilala natin ang isang bagong functionThen at samakatuwid

2.Sa mga tuntunin ng pag-andar u ang equation (6.7) ay nasa anyo

ibig sabihin, binabawasan ng kapalit ang isang homogenous na equation sa isang equation na may mga separable variable.

3. Paglutas ng equation (6.8), una naming hanapin ang u at pagkatapos y= ux.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation Solusyon. Isulat natin ang equation sa form

Ginagawa namin ang pagpapalit:
Pagkatapos

Papalitan namin

Multiply sa dx: Hatiin sa pamamagitan ng x at sa Pagkatapos

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang magkabilang panig ng equation sa mga kaukulang variable, mayroon tayo

o, pagbalik sa lumang mga variable, sa wakas ay nakuha namin

Halimbawa 2.Lutasin ang equation Solusyon.Hayaan Pagkatapos

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng x2: Buksan natin ang mga bracket at muling ayusin ang mga tuntunin:

Sa paglipat sa mga lumang variable, dumating kami sa huling resulta:

Halimbawa 3.Hanapin ang solusyon sa equation Kung ganoon

Solusyon.Gumaganap ng isang karaniwang kapalit nakukuha namin

o

o

Nangangahulugan ito na ang partikular na solusyon ay may anyo Halimbawa 4. Hanapin ang solusyon sa equation

Solusyon.

Halimbawa 5.Hanapin ang solusyon sa equation Solusyon.

Pansariling gawain

Maghanap ng mga solusyon sa mga differential equation na may mga separable variable (1-9).

Maghanap ng solusyon sa homogenous differential equation (9-18).

6.2.3. Ang ilang mga aplikasyon ng first order differential equation

Problema sa radioactive decay

Ang rate ng pagkabulok ng Ra (radium) sa bawat sandali ng oras ay proporsyonal sa magagamit nitong masa. Hanapin ang batas ng radioactive decay ng Ra kung alam na sa unang sandali ay mayroong Ra at ang kalahating buhay ng Ra ay 1590 taon.

Solusyon. Hayaan sa instant ang misa Ra x= x(t) g, at Pagkatapos ang rate ng pagkabulok Ra ay katumbas ng

Ayon sa mga kondisyon ng problema

saan k

Ang paghihiwalay ng mga variable sa huling equation at pagsasama, nakukuha namin

saan

Para sa pagtukoy C ginagamit namin ang paunang kondisyon: kapag .

Pagkatapos at, samakatuwid,

Salik ng proporsyonalidad k tinutukoy mula sa karagdagang kondisyon:

Meron kami

Mula rito at ang kinakailangang formula

Problema sa bacterial reproduction rate

Ang rate ng pagpaparami ng bakterya ay proporsyonal sa kanilang bilang. Sa simula ay mayroong 100 bacteria. Sa loob ng 3 oras ay dumoble ang kanilang bilang. Hanapin ang pag-asa ng bilang ng mga bakterya sa oras. Ilang beses tataas ang bilang ng bacteria sa loob ng 9 na oras?

Solusyon. Hayaan x- bilang ng mga bakterya sa isang pagkakataon t. Pagkatapos, ayon sa kondisyon,

saan k- koepisyent ng proporsyonalidad.

Mula rito Mula sa kondisyon ay alam na . Ibig sabihin,

Mula sa karagdagang kondisyon . Pagkatapos

Ang function na iyong hinahanap:

Kaya kapag t= 9 x= 800, ibig sabihin, sa loob ng 9 na oras tumaas ang bilang ng bacteria ng 8 beses.

Ang problema ng pagtaas ng dami ng enzyme

Sa isang kultura ng lebadura ng brewer, ang rate ng paglaki ng aktibong enzyme ay proporsyonal sa paunang halaga nito x. Paunang halaga ng enzyme a nadoble sa loob ng isang oras. Maghanap ng dependency

x(t).

Solusyon. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang differential equation ng proseso ay may anyo

mula rito

Pero . Ibig sabihin, C= a at pagkatapos

Ito ay kilala rin na

Kaya naman,

6.3. IKALAWANG ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS

6.3.1. Pangunahing Konsepto

Kahulugan.Pangalawang order differential equation ay tinatawag na ugnayang nag-uugnay sa independiyenteng baryabol, ang gustong function at ang una at pangalawang derivatives nito.

Sa mga espesyal na kaso, ang x ay maaaring nawawala sa equation, sa o y". Gayunpaman, ang isang pangalawang-order na equation ay kinakailangang naglalaman ng y." Sa pangkalahatang kaso, ang isang second-order differential equation ay nakasulat bilang:

o, kung maaari, sa anyo na niresolba nang may kinalaman sa pangalawang derivative:

Tulad ng sa kaso ng isang first-order equation, para sa isang second-order equation ay maaaring magkaroon ng pangkalahatan at partikular na mga solusyon. Ang pangkalahatang solusyon ay:

Paghahanap ng Partikular na Solusyon

sa ilalim ng mga paunang kondisyon - ibinigay

mga numero) ay tinatawag Cauchy na problema. Sa geometriko, nangangahulugan ito na kailangan nating hanapin ang integral curve sa= y(x), pagdaan sa isang naibigay na punto at pagkakaroon ng padaplis sa puntong ito na

nakahanay sa positibong direksyon ng axis baka tinukoy na anggulo. e. (Larawan 6.1). Ang problemang Cauchy ay may natatanging solusyon kung ang kanang bahagi ng equation (6.10), walang tigil

ay hindi tuloy-tuloy at may tuluy-tuloy na partial derivatives na may kinalaman sa eh, eh" sa ilang lugar ng panimulang punto

Upang makahanap ng mga pare-pareho kasama sa isang pribadong solusyon, ang sistema ay dapat malutas

kanin. 6.1. Integral curve