(mula sa Greek λόγος - "salita", "relasyon" at ἀριθμός - "numero") na mga numero b sa pamamagitan ng dahilan a(log α b) ay tinatawag na ganoong numero c, at b= isang c, ibig sabihin, log α b=c at b=ac ay katumbas. Makatuwiran ang logarithm kung a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Sa ibang salita logarithm numero b sa pamamagitan ng dahilan a binabalangkas bilang isang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x= log α b, ay katumbas ng paglutas ng equation a x =b.

Halimbawa:

log 2 8 = 3 dahil 8=2 3 .

Tandaan namin na ang ipinahiwatig na pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang agad na matukoy halaga ng logarithm kapag ang numero sa ilalim ng sign ng logarithm ay isang tiyak na kapangyarihan ng base. Sa katunayan, ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible upang bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa antas ng bilang.

Ang pagkalkula ng logarithm ay tinutukoy logarithm. Ang Logarithm ay ang matematikal na operasyon ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithm, ang mga produkto ng mga kadahilanan ay binago sa kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang mathematical operation na kabaligtaran sa logarithm. Kapag potentiating, ang ibinigay na base ay itataas sa kapangyarihan ng expression kung saan ang potentiation ay ginanap. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa produkto ng mga kadahilanan.

Kadalasan, ang mga totoong logarithm na may mga base 2 (binary), e Euler number e ≈ 2.718 (natural logarithm) at 10 (decimal) ay ginagamit.

Sa yugtong ito, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang mga sample ng logarithms log 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

At ang mga entry lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 ay walang katuturan, dahil sa una sa kanila isang negatibong numero ang inilalagay sa ilalim ng tanda ng logarithm, sa pangalawa - isang negatibong numero sa ang base, at sa pangatlo - at isang negatibong numero sa ilalim ng tanda ng logarithm at unit sa base.

Mga kondisyon para sa pagtukoy ng logarithm.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang nang hiwalay sa mga kondisyon a > 0, a ≠ 1, b > 0. kahulugan ng logarithm. Isaalang-alang natin kung bakit kinukuha ang mga paghihigpit na ito. Makakatulong ito sa amin sa pagkakapantay-pantay ng form na x = log α b, na tinatawag na pangunahing logarithmic identity, na direktang sumusunod sa kahulugan ng logarithm na ibinigay sa itaas.

Kunin ang kundisyon a≠1. Dahil ang isa ay katumbas ng isa sa anumang kapangyarihan, kung gayon ang pagkakapantay-pantay x=log α b maaari lamang umiral kapag b=1, ngunit ang log 1 1 ay magiging anumang tunay na numero. Upang maalis ang kalabuan na ito, kukunin namin a≠1.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon a>0. Sa a=0 ayon sa pagbabalangkas ng logarithm, maaari lamang umiral kapag b=0. At pagkatapos ay naaayon log 0 0 maaaring maging anumang di-zero na tunay na numero, dahil ang zero sa anumang di-zero na kapangyarihan ay zero. Upang maalis ang kalabuan na ito, ang kondisyon a≠0. At kailan a<0 kailangan nating tanggihan ang pagsusuri ng makatwiran at hindi makatwiran na mga halaga ng logarithm, dahil ang exponent na may rational at irrational exponent ay tinukoy lamang para sa mga hindi negatibong base. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang kondisyon a>0.

At ang huling kondisyon b>0 sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay a>0, dahil x=log α b, at ang halaga ng degree na may positibong base a laging positibo.

Mga tampok ng logarithms.

Logarithms nailalarawan sa pamamagitan ng katangi-tangi mga tampok, na humantong sa kanilang malawakang paggamit upang lubos na mapadali ang maingat na pagkalkula. Sa paglipat "sa mundo ng logarithms", ang multiplikasyon ay binago sa isang mas madaling karagdagan, paghahati sa pagbabawas, at pagtaas sa isang kapangyarihan at pagkuha ng ugat ay binago sa multiplikasyon at paghahati ng isang exponent, ayon sa pagkakabanggit.

Ang pagbabalangkas ng mga logarithms at isang talahanayan ng kanilang mga halaga (para sa mga function ng trigonometric) ay unang nai-publish noong 1614 ng Scottish mathematician na si John Napier. Ang mga logarithmic table, na pinalaki at idinetalye ng ibang mga siyentipiko, ay malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng siyentipiko at inhinyero, at nanatiling may kaugnayan hanggang sa magsimulang gumamit ng mga electronic calculator at computer.

Sa pag-unlad ng lipunan, ang pagiging kumplikado ng produksyon, nabuo din ang matematika. Paggalaw mula simple hanggang kumplikado. Mula sa karaniwang paraan ng accounting ng karagdagan at pagbabawas, sa kanilang paulit-ulit na pag-uulit, dumating sila sa konsepto ng multiplikasyon at paghahati. Ang pagbabawas ng multiply repeated operation ay naging konsepto ng exponentiation. Ang mga unang talahanayan ng pag-asa ng mga numero sa base at ang bilang ng exponentiation ay pinagsama-sama noong ika-8 siglo ng Indian mathematician na si Varasena. Mula sa kanila, maaari mong bilangin ang oras ng paglitaw ng mga logarithms.

Makasaysayang balangkas

Ang muling pagkabuhay ng Europa noong ika-16 na siglo ay nagpasigla din sa pag-unlad ng mekanika. T nangangailangan ng malaking halaga ng pagtutuos nauugnay sa multiplikasyon at paghahati ng mga multi-digit na numero. Ang mga sinaunang mesa ay gumawa ng isang mahusay na serbisyo. Ginawa nilang posible na palitan ang mga kumplikadong operasyon ng mas simple - karagdagan at pagbabawas. Ang isang malaking hakbang pasulong ay ang gawain ng mathematician na si Michael Stiefel, na inilathala noong 1544, kung saan napagtanto niya ang ideya ng maraming mathematician. Ginawa nitong posible na gumamit ng mga talahanayan hindi lamang para sa mga degree sa anyo ng mga pangunahing numero, kundi pati na rin para sa mga di-makatwirang makatuwiran.

Noong 1614, unang ipinakilala ng Scotsman na si John Napier ang mga ideyang ito, ang bagong terminong "logarithm ng isang numero." Ang mga bagong kumplikadong talahanayan ay pinagsama-sama para sa pagkalkula ng logarithms ng mga sine at cosine, pati na rin ang mga tangent. Ito ay lubhang nabawasan ang gawain ng mga astronomo.

Nagsimulang lumitaw ang mga bagong talahanayan, na matagumpay na ginamit ng mga siyentipiko sa loob ng tatlong siglo. Maraming oras ang lumipas bago nakuha ng bagong operasyon sa algebra ang tapos na anyo nito. Ang logarithm ay tinukoy at ang mga katangian nito ay pinag-aralan.

Noong ika-20 siglo lamang, sa pagdating ng calculator at computer, iniwan ng sangkatauhan ang mga sinaunang talahanayan na matagumpay na gumana sa buong ika-13 siglo.

Ngayon ay tinatawag natin ang logarithm ng b upang ibase ang isang numerong x, na siyang kapangyarihan ng a, upang makuha ang numerong b. Ito ay isinulat bilang isang formula: x = log a(b).

Halimbawa, ang log 3(9) ay magiging katumbas ng 2. Ito ay malinaw kung susundin mo ang kahulugan. Kung itataas natin ang 3 sa kapangyarihan ng 2, makakakuha tayo ng 9.

Kaya, ang binabalangkas na kahulugan ay naglalagay lamang ng isang paghihigpit, ang mga numerong a at b ay dapat na totoo.

Mga uri ng logarithms

Ang klasikal na kahulugan ay tinatawag na tunay na logarithm at talagang isang solusyon sa equation na a x = b. Ang opsyon a = 1 ay borderline at walang interes. Tandaan: 1 sa anumang kapangyarihan ay 1.

Tunay na halaga ng logarithm tinukoy lamang kung ang base at ang argumento ay mas malaki sa 0, at ang base ay hindi dapat katumbas ng 1.

Espesyal na lugar sa larangan ng matematika maglaro ng logarithms, na papangalanan depende sa halaga ng kanilang base:

Mga tuntunin at paghihigpit

Ang pangunahing katangian ng logarithms ay ang panuntunan: ang logarithm ng isang produkto ay katumbas ng logarithmic sum. log abp = log a(b) + log a(p).

Bilang isang variant ng pahayag na ito, ito ay magiging: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), ang quotient function ay katumbas ng pagkakaiba ng mga function.

Madaling makita mula sa nakaraang dalawang panuntunan na: log a(b p) = p * log a(b).

Kasama sa iba pang mga ari-arian ang:

Magkomento. Huwag gumawa ng isang karaniwang pagkakamali - ang logarithm ng kabuuan ay hindi katumbas ng kabuuan ng logarithms.

Para sa maraming mga siglo, ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ay isang medyo matagal na gawain. Ginamit ng mga mathematician ang kilalang pormula ng teorya ng logarithmic ng pagpapalawak sa isang polynomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kung saan ang n ay isang natural na bilang na higit sa 1, na tumutukoy sa katumpakan ng pagkalkula.

Ang mga logarithm sa iba pang mga base ay kinakalkula gamit ang theorem sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa at ang ari-arian ng logarithm ng produkto.

Dahil ang pamamaraang ito ay napakahirap at kapag nilulutas ang mga praktikal na problema mahirap ipatupad, gumamit sila ng mga pre-compiled table ng logarithms, na lubos na nagpabilis sa buong gawain.

Sa ilang mga kaso, ginamit ang mga espesyal na pinagsama-samang mga graph ng logarithms, na nagbigay ng mas kaunting katumpakan, ngunit makabuluhang pinabilis ang paghahanap para sa nais na halaga. Ang curve ng function na y = log a(x), na binuo sa ilang mga punto, ay nagbibigay-daan sa paggamit ng karaniwang ruler upang mahanap ang mga halaga ng function sa anumang iba pang punto. Sa mahabang panahon, ginamit ng mga inhinyero ang tinatawag na graph paper para sa mga layuning ito.

Noong ika-17 siglo, lumitaw ang unang auxiliary analog computing na kondisyon, na noong ika-19 na siglo ay nakakuha ng tapos na anyo. Ang pinakamatagumpay na device ay tinatawag na slide rule. Sa kabila ng pagiging simple ng aparato, ang hitsura nito ay makabuluhang pinabilis ang proseso ng lahat ng mga kalkulasyon ng engineering, at ito ay mahirap na mag-overestimate. Sa kasalukuyan, kakaunti ang mga taong pamilyar sa device na ito.

Ang pagdating ng mga calculator at computer ay naging walang saysay na gumamit ng anumang iba pang mga aparato.

Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay

Ang mga sumusunod na formula ay ginagamit upang malutas ang iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay gamit ang logarithms:

• Paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Bilang resulta ng nakaraang bersyon: log a(b) = 1 / log b(a).

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay, kapaki-pakinabang na malaman:

• Magiging positibo lamang ang halaga ng logarithm kung ang base at argumento ay parehong mas malaki o mas mababa sa isa; kung hindi bababa sa isang kundisyon ang nilabag, ang halaga ng logarithm ay magiging negatibo.
• Kung ang logarithm function ay inilapat sa kanan at kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, at ang base ng logarithm ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili; kung hindi, ito ay nagbabago.

Mga halimbawa ng gawain

Isaalang-alang ang ilang mga opsyon para sa paggamit ng logarithms at ang kanilang mga katangian. Mga halimbawa sa paglutas ng mga equation:

Isaalang-alang ang opsyon ng paglalagay ng logarithm sa antas:

• Gawain 3. Kalkulahin ang 25^log 5(3). Solusyon: sa mga kondisyon ng problema, ang notasyon ay katulad ng sumusunod (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Isulat natin ito sa ibang paraan: 5^log 5(3*2), o ang parisukat ng isang numero bilang function argument ay maaaring isulat bilang square ng function mismo (5^log 5(3))^2. Gamit ang mga katangian ng logarithms, ang expression na ito ay 3^2. Sagot: bilang isang resulta ng pagkalkula ay makakakuha tayo ng 9.

Praktikal na paggamit

Ang pagiging isang purong kasangkapang pangmatematika, tila malayo sa totoong buhay na ang logarithm ay biglang naging napakahalaga sa paglalarawan ng mga bagay sa totoong mundo. Mahirap maghanap ng agham kung saan hindi ito ginagamit. Ito ay ganap na nalalapat hindi lamang sa natural, kundi pati na rin sa mga larangan ng kaalaman sa humanidades.

Logarithmic dependencies

Narito ang ilang halimbawa ng mga numerical na dependencies:

Mechanics at physics

Sa kasaysayan, ang mga mekanika at pisika ay palaging binuo gamit ang mga pamamaraan ng pananaliksik sa matematika at sa parehong oras ay nagsisilbing isang insentibo para sa pagbuo ng matematika, kabilang ang mga logarithms. Ang teorya ng karamihan sa mga batas ng pisika ay nakasulat sa wika ng matematika. Nagbibigay lamang kami ng dalawang halimbawa ng paglalarawan ng mga pisikal na batas gamit ang logarithm.

Posible upang malutas ang problema ng pagkalkula ng isang kumplikadong dami tulad ng bilis ng isang rocket gamit ang pormula ng Tsiolkovsky, na naglatag ng pundasyon para sa teorya ng paggalugad sa kalawakan:

V = I * ln(M1/M2), kung saan

• Ang V ay ang huling bilis ng sasakyang panghimpapawid.
• Ako ang tiyak na salpok ng makina.
• Ang M 1 ay ang inisyal na masa ng rocket.
• M 2 - pangwakas na masa.

Isa pang mahalagang halimbawa- ito ang paggamit sa formula ng isa pang mahusay na siyentipiko, si Max Planck, na nagsisilbing pagsusuri sa estado ng ekwilibriyo sa thermodynamics.

S = k * ln (Ω), kung saan

• Ang S ay isang thermodynamic na katangian.
• k ay ang Boltzmann constant.
• Ang Ω ay ang istatistikal na timbang ng iba't ibang estado.

Chemistry

Hindi gaanong halata ang paggamit ng mga formula sa kimika na naglalaman ng ratio ng logarithms. Narito ang dalawang halimbawa lamang:

• Ang Nernst equation, ang kondisyon ng redox potential ng medium na may kaugnayan sa aktibidad ng mga substance at ang equilibrium constant.
• Ang pagkalkula ng mga pare-pareho tulad ng autoprolysis index at ang kaasiman ng solusyon ay hindi rin kumpleto kung wala ang ating function.

Sikolohiya at biyolohiya

At ito ay ganap na hindi maintindihan kung ano ang kinalaman ng sikolohiya dito. Ito ay lumalabas na ang lakas ng pandamdam ay mahusay na inilarawan ng function na ito bilang ang kabaligtaran na ratio ng halaga ng stimulus intensity sa mas mababang halaga ng intensity.

Matapos ang mga halimbawa sa itaas, hindi na nakakagulat na ang tema ng logarithms ay malawakang ginagamit din sa biology. Ang buong volume ay maaaring isulat tungkol sa mga biyolohikal na anyo na naaayon sa logarithmic spirals.

Ibang lugar

Tila imposible ang pagkakaroon ng mundo nang walang koneksyon sa tungkuling ito, at ito ang namamahala sa lahat ng batas. Lalo na kapag ang mga batas ng kalikasan ay konektado sa isang geometric na pag-unlad. Ito ay nagkakahalaga ng pagsangguni sa website ng MatProfi, at mayroong maraming tulad na mga halimbawa sa mga sumusunod na lugar ng aktibidad:

Ang listahan ay maaaring walang katapusan. Ang pagkakaroon ng mastered ang mga pangunahing batas ng function na ito, maaari mong plunge sa mundo ng walang katapusang karunungan.

Isa sa mga elemento ng primitive level algebra ay ang logarithm. Ang pangalan ay nagmula sa wikang Griyego mula sa salitang "numero" o "degree" at nangangahulugang ang antas kung saan kinakailangan na itaas ang numero sa base upang mahanap ang panghuling numero.

Mga uri ng logarithms

• log a b ay ang logarithm ng numero b sa base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - decimal logarithm (logarithm base 10, a = 10);
• ln b - natural na logarithm (logarithm base e, a = e).

Paano malutas ang mga logarithms?

Ang logarithm ng numero b sa base a ay isang exponent, na nangangailangan na ang base a ay itaas sa bilang b. Ang resulta ay binibigkas tulad nito: "logarithm ng b sa base ng a". Ang solusyon sa mga problema sa logarithmic ay kailangan mong matukoy ang ibinigay na antas sa pamamagitan ng mga numero sa pamamagitan ng mga tinukoy na numero. Mayroong ilang mga pangunahing panuntunan para sa pagtukoy o paglutas ng logarithm, pati na rin ang pagbabago ng notasyon mismo. Gamit ang mga ito, ang mga logarithmic equation ay nalutas, ang mga derivatives ay natagpuan, ang mga integral ay nalutas, at maraming iba pang mga operasyon ay isinasagawa. Karaniwan, ang solusyon sa logarithm mismo ay ang pinasimpleng notasyon nito. Nasa ibaba ang mga pangunahing formula at katangian:

Para sa anumang a; a > 0; a ≠ 1 at para sa alinmang x ; y > 0.

• a log a b = b ay ang pangunahing logarithmic identity
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , para sa k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - formula para sa paglipat sa isang bagong base
• log a x = 1/log x a

Paano malutas ang mga logarithms - hakbang-hakbang na mga tagubilin para sa paglutas

• Una, isulat ang kinakailangang equation.

Pakitandaan: kung ang batayang logarithm ay 10, kung gayon ang rekord ay paikliin, isang decimal logarithm ay nakuha. Kung mayroong isang natural na numero e, pagkatapos ay isulat namin, binabawasan sa isang natural na logarithm. Nangangahulugan ito na ang resulta ng lahat ng logarithms ay ang kapangyarihan kung saan itinaas ang base number upang makuha ang numero b.

Direkta, ang solusyon ay nakasalalay sa pagkalkula ng antas na ito. Bago malutas ang isang expression na may logarithm, dapat itong gawing simple ayon sa panuntunan, iyon ay, gamit ang mga formula. Mahahanap mo ang mga pangunahing pagkakakilanlan sa pamamagitan ng pagbabalik ng kaunti sa artikulo.

Kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga logarithm na may dalawang magkaibang numero ngunit may parehong base, palitan ng isang logarithm na may produkto o dibisyon ng mga numerong b at c, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, maaari mong ilapat ang formula ng paglipat sa isa pang base (tingnan sa itaas).

Kung gumagamit ka ng mga expression upang pasimplehin ang logarithm, mayroong ilang mga limitasyon na dapat malaman. At iyon ay: ang base ng logarithm a ay isang positibong numero lamang, ngunit hindi katumbas ng isa. Ang bilang b, tulad ng a, ay dapat na mas malaki sa zero.

May mga kaso kung kailan, nang pinasimple ang expression, hindi mo magagawang kalkulahin ang logarithm sa numerical form. Ito ay nangyayari na ang gayong pagpapahayag ay hindi makatwiran, dahil maraming mga antas ay hindi makatwiran na mga numero. Sa ilalim ng kundisyong ito, iwanan ang kapangyarihan ng numero bilang isang logarithm.

Ang logarithm ng isang numero N sa pamamagitan ng dahilan a ay tinatawag na exponent X , kung saan kailangan mong itaas a para makuha ang numero N

Provided na
,
,

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm na
, ibig sabihin.
- ang pagkakapantay-pantay na ito ay ang pangunahing logarithmic identity.

Ang mga logarithm hanggang base 10 ay tinatawag na decimal logarithms. sa halip na
magsulat
.

base logarithms e ay tinatawag na natural at denoted
.

Mga pangunahing katangian ng logarithms.

Ang logarithm ng pagkakaisa para sa anumang base ay zero

Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik.

3) Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms

Salik
ay tinatawag na modulus ng paglipat mula sa logarithms sa base a sa logarithms sa base b .

Gamit ang mga katangian 2-5, madalas na posible na bawasan ang logarithm ng isang kumplikadong expression sa resulta ng mga simpleng operasyon ng arithmetic sa logarithms.

Halimbawa,

Ang ganitong mga pagbabago sa logarithm ay tinatawag na logarithms. Ang mga pagbabagong katumbas ng logarithms ay tinatawag na potentiation.

Kabanata 2. Mga Elemento ng mas mataas na matematika.

1. Mga limitasyon

limitasyon ng pag-andar
ay isang may hangganang bilang A kung, kapag nagsusumikap xx 0 para sa bawat paunang natukoy
, may numero
na sa lalong madaling panahon
, pagkatapos
.

Ang isang function na may limitasyon ay naiiba mula dito sa pamamagitan ng isang napakaliit na halaga:
, kung saan - b.m.w., ibig sabihin.
.

Halimbawa. Isaalang-alang ang function
.

Kapag nagsusumikap
, function y napupunta sa zero:

1.1. Mga pangunahing teorema tungkol sa mga limitasyon.

Ang limitasyon ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-parehong halaga na ito

.

Ang limitasyon ng kabuuan (difference) ng isang may hangganang bilang ng mga function ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga limitasyon ng mga function na ito.

Ang limitasyon ng isang produkto ng isang may hangganan na bilang ng mga function ay katumbas ng produkto ng mga limitasyon ng mga function na ito.

Ang limitasyon ng quotient ng dalawang function ay katumbas ng quotient ng mga limitasyon ng mga function na ito kung ang limitasyon ng denominator ay hindi katumbas ng zero.

Kapansin-pansin na mga Limitasyon

,
, saan

1.2. Limitahan ang Mga Halimbawa ng Pagkalkula

Gayunpaman, hindi lahat ng mga limitasyon ay kinakalkula nang ganoon kadali. Mas madalas, ang pagkalkula ng limitasyon ay binabawasan sa pagsisiwalat ng uri ng kawalan ng katiyakan: o .

.

2. Derivative ng isang function

Magkaroon tayo ng function
, tuloy-tuloy sa segment
.

Pangangatwiran nakakuha ng kaunting tulong
. Pagkatapos ang function ay dagdagan
.

Halaga ng argumento tumutugma sa halaga ng function
.

Halaga ng argumento
tumutugma sa halaga ng function.

Dahil dito, .

Hanapin natin ang limitasyon ng kaugnayang ito sa
. Kung umiiral ang limitasyong ito, ito ay tinatawag na derivative ng ibinigay na function.

Kahulugan ng 3derivative ng isang ibinigay na function
sa pamamagitan ng argumento ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, kapag ang pagtaas ng argumento ay arbitraryong nagiging zero.

Derivative ng function
ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod:

; ; ; .

Depinisyon 4Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ng isang function ay tinatawag pagkakaiba-iba.

2.1. Ang mekanikal na kahulugan ng derivative.

Isaalang-alang ang rectilinear motion ng ilang matibay na katawan o materyal na punto.

Hayaan sa isang punto ng oras gumagalaw na punto
ay nasa malayo mula sa panimulang posisyon
.

Pagkaraan ng ilang yugto ng panahon
lumipat siya ng distansya
. Saloobin =- average na bilis ng isang materyal na punto
. Hanapin natin ang limitasyon ng ratio na ito, na isinasaalang-alang iyon
.

Dahil dito, ang pagpapasiya ng madalian na bilis ng isang materyal na punto ay nabawasan sa paghahanap ng hinango ng landas na may paggalang sa oras.

2.2. Geometric na halaga ng derivative

Ipagpalagay na mayroon tayong graphically na tinukoy na ilang function
.

kanin. 1. Ang geometric na kahulugan ng derivative

Kung ang
, pagkatapos ay ang punto
, ay lilipat sa kurba, papalapit sa punto
.

Dahil dito
, ibig sabihin. ang halaga ng hinalaw na ibinigay ang halaga ng argumento numerical na katumbas ng tangent ng anggulo na nabuo ng tangent sa isang naibigay na punto na may positibong direksyon ng axis
.

2.3. Talaan ng mga pangunahing formula ng pagkakaiba-iba.

Pag-andar ng kapangyarihan

Exponential function

logarithmic function

trigonometriko function

Inverse trigonometriko function

2.4. Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba.

Hinango ng

Derivative ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga function

Derivative ng produkto ng dalawang function

Ang derivative ng quotient ng dalawang function

2.5. Derivative ng isang kumplikadong function.

Hayaan ang function
tulad na ito ay maaaring kinakatawan bilang

at
, kung saan ang variable ay isang intermediate argument, kung gayon

Ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng ibinigay na function na may paggalang sa intermediate argument sa pamamagitan ng derivative ng intermediate argument na may paggalang sa x.

Halimbawa1.

Halimbawa2.

3. Function differential.

Hayaan na
, naiba sa ilang pagitan
bumitaw sa ang function na ito ay may derivative

,

pagkatapos ay maaari kang magsulat

(1),

saan - isang napakaliit na dami,

dahil sa

Pagpaparami ng lahat ng tuntunin ng pagkakapantay-pantay (1) sa
meron kami:

saan
- b.m.v. mas mataas na pagkakasunud-sunod.

Halaga
ay tinatawag na differential ng function
at ipinapahiwatig

.

3.1. Ang geometric na halaga ng kaugalian.

Hayaan ang function
.

Fig.2. Ang geometric na kahulugan ng kaugalian.

.

Malinaw, ang pagkakaiba ng pag-andar
ay katumbas ng pagtaas ng ordinate ng tangent sa ibinigay na punto.

3.2. Mga derivatives at differentials ng iba't ibang mga order.

Kung meron
, pagkatapos
ay tinatawag na unang derivative.

Ang derivative ng unang derivative ay tinatawag na second order derivative at nakasulat
.

Derivative ng nth order ng function
ay tinatawag na derivative ng (n-1) order at nakasulat:

.

Ang differential ng differential ng isang function ay tinatawag na second differential o ang second order differential.

.

.

3.3 Paglutas ng mga biyolohikal na suliranin gamit ang pagkakaiba-iba.

Gawain 1. Ipinakita ng mga pag-aaral na ang paglaki ng isang kolonya ng mga mikroorganismo ay sumusunod sa batas
, saan N – bilang ng mga mikroorganismo (sa libu-libo), t - oras (araw).

b) Tataas o bababa ba ang populasyon ng kolonya sa panahong ito?

Sagot. Ang kolonya ay lalago sa laki.

Gawain 2. Ang tubig sa lawa ay pana-panahong sinusuri upang makontrol ang nilalaman ng pathogenic bacteria. Sa pamamagitan ng t araw pagkatapos ng pagsubok, ang konsentrasyon ng bakterya ay tinutukoy ng ratio

.

Kailan darating ang pinakamababang konsentrasyon ng bakterya sa lawa at posibleng lumangoy dito?

Solusyon Ang isang function ay umabot sa max o min kapag ang derivative nito ay zero.

,

Tukuyin natin ang max o min sa loob ng 6 na araw. Upang gawin ito, kinukuha namin ang pangalawang derivative.

Sagot: Pagkatapos ng 6 na araw magkakaroon ng pinakamababang konsentrasyon ng bacteria.

Kahulugan ng logarithm

Ang logarithm ng numero b sa base a ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang a upang makakuha ng b.

Ang dami e sa matematika, kaugalian na tukuyin ang limitasyon kung saan ang expression ay may gawi

Numero e ay hindi makatwiran na numero- isang numero na hindi katumbas ng isa, hindi ito maaaring eksaktong ipahayag alinman sa kabuuan o bilang isang fraction makatwiran numero.

Sulat e- ang unang titik ng salitang Latin exonere- upang ipagmalaki, kaya ang pangalan sa matematika exponential- exponential function.

Numero e malawakang ginagamit sa matematika, at sa lahat ng agham, sa isang paraan o iba pa gamit ang mga kalkulasyon ng matematika para sa kanilang mga pangangailangan.

Logarithms. Mga katangian ng logarithms

Kahulugan: Ang batayang logarithm ng isang positibong numero b ay ang exponent c kung saan ang numero a ay dapat na itaas upang makuha ang numerong b.

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

7) Formula para sa paglipat sa isang bagong base:

lna = log e a, e ≈ 2.718…

Mga gawain at pagsusulit sa paksang "Logarithms. Mga katangian ng logarithms»

• Logarithms - Mga mahahalagang paksa para sa pag-uulit ng pagsusulit sa matematika

Upang matagumpay na makumpleto ang mga gawain sa paksang ito, dapat mong malaman ang kahulugan ng logarithm, ang mga katangian ng logarithms, ang pangunahing logarithmic identity, ang mga kahulugan ng decimal at natural na logarithms. Ang mga pangunahing uri ng mga gawain sa paksang ito ay mga gawain para sa pagkalkula at pag-convert ng mga logarithmic na expression. Isaalang-alang natin ang kanilang solusyon sa mga sumusunod na halimbawa.

Solusyon: Gamit ang mga katangian ng logarithms, nakukuha namin

Solusyon: gamit ang mga katangian ng degree, nakukuha namin

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Mga katangian ng logarithms, formulations at proofs.

Ang logarithms ay may ilang mga katangian na katangian. Sa artikulong ito, susuriin natin ang pangunahing mga katangian ng logarithms. Dito ibinibigay namin ang kanilang mga formulation, isulat ang mga katangian ng logarithms sa anyo ng mga formula, nagpapakita ng mga halimbawa ng kanilang aplikasyon, at nagbibigay din ng mga patunay ng mga katangian ng logarithms.

Pag-navigate sa pahina.

Mga pangunahing katangian ng logarithms, formula

Para sa kadalian ng pag-alala at paggamit, ipinakita namin pangunahing katangian ng logarithms bilang isang listahan ng mga formula. Sa susunod na seksyon, ibibigay namin ang kanilang mga pormulasyon, mga patunay, mga halimbawa ng paggamit, at mga kinakailangang paliwanag.

Unit log property: log a 1=0 para sa anumang a>0 , a≠1 .

Ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base: log a a=1 para sa a>0 , a≠1 .

Base degree logarithm property: log a a p =p , kung saan ang a>0 , a≠1 at p ay anumang tunay na numero.

Ang logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
at ang ari-arian ng logarithm ng produkto ng n positibong numero: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .

Pribadong logarithm property: , kung saan ang a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logarithm ng kapangyarihan ng isang numero: log a b p =p log a |b| , kung saan ang a>0 , a≠1 , b at p ay mga numero na ang antas ng b p ay may katuturan at b p >0 .

Bunga: , kung saan ang a>0 , a≠1 , n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, b>0 .

Corollary 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Bunga 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p at q ay mga tunay na numero, q≠0 , sa partikular, para sa b=a mayroon tayo .

Mga pahayag at patunay ng mga ari-arian

Dumaan kami sa pagbabalangkas at patunay ng mga naitala na katangian ng logarithms. Ang lahat ng mga katangian ng logarithms ay napatunayan sa batayan ng kahulugan ng logarithm at ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan na sumusunod mula dito, pati na rin ang mga katangian ng degree.

Magsimula tayo sa katangian ng logarithm ng pagkakaisa. Ang pagbabalangkas nito ay ang mga sumusunod: ang logarithm ng pagkakaisa ay katumbas ng zero, iyon ay, log a 1=0 para sa alinmang a>0 , a≠1 . Ang patunay ay diretso: dahil ang isang 0 =1 para sa anumang a na nakakatugon sa mga kundisyon sa itaas a>0 at a≠1 , pagkatapos ay ang napatunayang equality log a 1=0 ay agad na sumusunod mula sa kahulugan ng logarithm.

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng aplikasyon ng itinuturing na ari-arian: log 3 1=0 , lg1=0 at .

Lumipat tayo sa susunod na pag-aari: ang logarithm ng isang numero na katumbas ng base ay katumbas ng isa, yan ay, log a a=1 para sa a>0 , a≠1 . Sa katunayan, dahil a 1 =a para sa anumang a , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm log a a=1 .

Ang mga halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithms ay log 5 5=1 , log 5.6 5.6 at lne=1 .

Ang logarithm ng kapangyarihan ng isang numero na katumbas ng base ng logarithm ay katumbas ng exponent. Ang pag-aari na ito ng logarithm ay tumutugma sa isang formula ng form log a a p =p, kung saan ang a>0 , a≠1 at p ay anumang tunay na numero. Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan ng logarithm. Tandaan na pinapayagan ka nitong agad na tukuyin ang halaga ng logarithm, kung posible na kumatawan sa numero sa ilalim ng sign ng logarithm bilang isang antas ng base, pag-uusapan natin ang higit pa tungkol dito sa artikulong pagkalkula ng logarithm.

Halimbawa, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 at .

Logarithm ng produkto ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng produkto ng logarithms ng mga numerong ito: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Patunayan natin ang pag-aari ng logarithm ng produkto. Dahil sa mga katangian ng degree a log a x + log a y =a log a x a log a y , at dahil sa pamamagitan ng pangunahing logarithmic identity isang log a x =x at isang log a y =y , pagkatapos ay isang log a x a log a y =x y . Kaya, ang isang log a x+log a y =x y , kung saan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay ay sinusundan ng kahulugan ng logarithm.

Magpakita tayo ng mga halimbawa ng paggamit ng property ng logarithm ng produkto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 at .

Ang product logarithm property ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng isang finite number n ng positive numbers x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng pamamaraan ng matematikal na induction.

Halimbawa, ang natural na logarithm ng isang produkto ay maaaring palitan ng kabuuan ng tatlong natural na logarithm ng mga numero 4 , e , at .

Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero Ang x at y ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng mga numerong ito. Ang property ng quotient logarithm ay tumutugma sa isang formula ng form , kung saan ang a>0 , a≠1 , x at y ay ilang positibong numero. Ang bisa ng formula na ito ay pinatunayan tulad ng formula para sa logarithm ng produkto: since , pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm .

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito ng logarithm: .

Lumipat tayo sa ari-arian ng logarithm ng degree. Ang logarithm ng isang degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng modulus ng base ng degree na ito. Isinulat namin ang pag-aari na ito ng logarithm ng degree sa anyo ng isang formula: log a b p =p log a |b|, kung saan ang a>0 , a≠1 , b at p ay mga numero na ang antas ng b p ay may katuturan at b p >0 .

Pinatunayan muna namin ang property na ito para sa positive b . Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na kumatawan sa numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay b p =(a log a b) p , at ang nagresultang expression, dahil sa power property, ay katumbas ng isang p log a b . Kaya dumating kami sa pagkakapantay-pantay b p =a p log a b , mula sa kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng logarithm, napagpasyahan namin na log a b p =p log a b .

Ito ay nananatiling patunayan ang ari-arian na ito para sa negatibong b . Dito napapansin natin na ang expression na log a b p para sa negatibong b ay may katuturan lamang para sa kahit na mga exponent p (dahil ang halaga ng degree b p ay dapat na mas malaki kaysa sa zero, kung hindi, ang logarithm ay hindi magkakaroon ng kahulugan), at sa kasong ito b p =|b| p . Pagkatapos b p ==b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , saan mag-log a b p =p mag-log a |b| .

Halimbawa, at ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Ito ay sumusunod mula sa nakaraang ari-arian ari-arian ng logarithm mula sa ugat: ang logarithm ng ugat ng nth degree ay katumbas ng produkto ng fraction 1/n at ang logarithm ng root expression, iyon ay, kung saan ang a>0, a≠1, n ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, b>0.

Ang patunay ay batay sa isang pagkakapantay-pantay (tingnan ang kahulugan ng exponent na may fractional exponent), na wasto para sa anumang positive b , at ang property ng logarithm ng degree: .

Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng property na ito: .

Ngayon patunayan natin conversion formula sa bagong base ng logarithm mabait . Upang gawin ito, sapat na upang patunayan ang bisa ng equality log c b=log a b log c a . Ang pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan ay nagbibigay-daan sa amin na katawanin ang numero b bilang isang log a b , pagkatapos ay log c b=log c a log a b . Nananatili itong gamitin ang ari-arian ng logarithm ng degree: log c a log a b = log a b log c a . Kaya, ang equality log c b=log a b log c a ay napatunayan, na nangangahulugan na ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay napatunayan din. .

Magpakita tayo ng ilang halimbawa ng paglalapat ng katangiang ito ng logarithms: at .

Ang pormula para sa paglipat sa isang bagong base ay nagbibigay-daan sa iyo na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga logarithms na may "maginhawa" na base. Halimbawa, maaari itong magamit upang lumipat sa natural o decimal logarithms upang makalkula mo ang halaga ng logarithm mula sa isang talahanayan ng logarithm. Ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm ay nagpapahintulot din sa ilang mga kaso na mahanap ang halaga ng isang naibigay na logarithm, kapag ang mga halaga ng ilang logarithm sa iba pang mga base ay kilala.

Ang isang espesyal na kaso ng formula ng paglipat sa isang bagong base ng logarithm para sa c=b ng form ay madalas na ginagamit. Ipinapakita nito na ang log a b at log b a ay magkabaligtaran na mga numero. Halimbawa, .

Madalas ding ginagamit ang formula, na maginhawa kapag naghahanap ng mga halaga ng logarithm. Upang kumpirmahin ang aming mga salita, ipapakita namin kung paano kinakalkula ang halaga ng logarithm ng form gamit ito. Meron kami . Upang patunayan ang formula, sapat na ang paggamit ng pormula ng paglipat sa bagong base ng logarithm a: .

Ito ay nananatiling patunayan ang mga katangian ng paghahambing ng logarithms.

Gamitin natin ang kabaligtaran na pamamaraan. Ipagpalagay na para sa isang 1 >1 , a 2 >1 at a 1 2 at para sa 0 1 log a 1 b≤log a 2 b ay totoo. Sa pamamagitan ng mga katangian ng logarithms, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring muling isulat bilang at ayon sa pagkakabanggit, at mula sa kanila ay sumusunod na log b a 1 ≤log b a 2 at log b a 1 ≥log b a 2, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga pagkakapantay-pantay b log b a 1 ≥b log b a 2 at b log b a 1 ≥b log b a 2 ay dapat masiyahan, iyon ay, a 1 ≥a 2 . Kaya, nakarating kami sa isang kontradiksyon sa kondisyon a 1 2 . Kinukumpleto nito ang patunay.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

• Mga materyales para sa aralin
• I-download ang lahat ng mga formula

Ang mga logarithms, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga patakarang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at log a y . Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay naiiba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa - at tingnan:

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol na iyon - ang mga katulad na expression sa lahat ng kaseryosohan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

[caption ng figure]

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meron kami:

[caption ng figure]

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay sumagip. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

[caption ng figure]

Sa partikular, kung ilalagay natin c = x , nakukuha natin:

[caption ng figure]

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponents. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

[caption ng figure]

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Isang gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[caption ng figure]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[caption ng figure]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

1. n = log a a n

2. Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

   Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na pangunahing logarithmic identity.

   Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itataas sa gayong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama iyan: ito ang parehong numero a . Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

   Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

   [caption ng figure]

   Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kunin lamang ang parisukat ng base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

   [caption ng figure]

   Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

   Logarithmic unit at logarithmic zero

   Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

   1. log a a = 1 ay ang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
   2. log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Ang base a ay maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay isa - ang logarithm ay zero! Dahil ang isang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

   Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito - at lutasin ang mga problema.

   Logarithm. Mga katangian ng logarithm (pagdaragdag at pagbabawas).

   Mga katangian ng logarithm sundin mula sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a tinukoy bilang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).

   Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation ax=b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa ng kapangyarihan ng isang numero.

   Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, maaari kang gumanap karagdagan, mga pagpapatakbo ng pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit sa pagtingin sa katotohanan na ang mga logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag na pangunahing katangian.

   Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms.

   Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base: log x at mag-log a y. Pagkatapos ay alisin posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

   Sa nakikita natin, kabuuan ng logarithms katumbas ng logarithm ng produkto, at pagkakaiba logarithms- ang logarithm ng quotient. At ito ay totoo kung ang mga numero a, X at sa positibo at isang ≠ 1.

   Mahalagang tandaan na ang pangunahing aspeto sa mga formula na ito ay ang parehong mga base. Kung ang mga base ay naiiba sa bawat isa, ang mga patakarang ito ay hindi nalalapat!

   Ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms na may parehong mga base ay binabasa hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin ang kabaligtaran. Bilang resulta, mayroon kaming mga theorems para sa logarithm ng produkto at ang logarithm ng quotient.

   Logarithm ng produkto dalawang positibong numero ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga logarithms ; paraphrasing ito teorama, makuha namin ang mga sumusunod, kung ang mga numero a, x at sa positibo at isang ≠ 1, pagkatapos:

   Logarithm ng quotient ng dalawang positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor. Sa madaling salita, kung ang mga numero a, X at sa positibo at isang ≠ 1, pagkatapos:

   Inilapat namin ang mga theorems sa itaas upang malutas mga halimbawa:

   Kung mga numero x at sa ay negatibo, kung gayon formula ng logarithm ng produkto nagiging walang kabuluhan. Kaya, ipinagbabawal na magsulat:

   dahil ang mga expression na log 2 (-8) at log 2 (-4) ay hindi tinukoy sa lahat (ang logarithmic function sa= log 2 X tinukoy lamang para sa mga positibong halaga ng argumento X).

   Teorama ng produkto ay naaangkop hindi lamang para sa dalawa, kundi pati na rin para sa isang walang limitasyong bilang ng mga kadahilanan. Nangangahulugan ito na para sa bawat natural k at anumang positibong numero x 1 , x 2 , . . . ,x n may pagkakakilanlan:

   Mula sa quotient logarithm theorems isa pang pag-aari ng logarithm ang maaaring makuha. Kilalang-kilala ang log na iyon a 1= 0, samakatuwid,

   Kaya mayroong isang pagkakapantay-pantay:

   Logarithms ng dalawang magkatumbas na numero sa parehong batayan ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa tanda. Kaya:

   Logarithm. Mga katangian ng logarithms

   Logarithm. Mga katangian ng logarithms

   Isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay. Ipaalam sa amin ang mga halaga at at gusto naming mahanap ang halaga ng .

   Ibig sabihin, naghahanap kami ng exponent kung saan kailangan mong i-cock para makuha ang .

   Hayaan ang variable ay maaaring kumuha ng anumang tunay na halaga, pagkatapos ay ang mga sumusunod na paghihigpit ay ipapataw sa mga variable: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Kung alam natin ang mga halaga ng at , at nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng hindi alam, kung gayon para sa layuning ito ay ipinakilala ang isang operasyon sa matematika, na tinatawag na logarithm.

   Upang mahanap ang halaga na ating kinukuha logarithm ng isang numero sa pundasyon :

   Ang logarithm ng isang numero sa base ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas upang makakuha ng .

   Yan ay pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   ay mahalagang isang matematikal na notasyon mga kahulugan ng logarithm.

   Ang mathematical operation logarithm ay ang kabaligtaran ng exponentiation, kaya mga katangian ng logarithms ay malapit na nauugnay sa mga katangian ng degree.

   Inilista namin ang pangunahing mga katangian ng logarithms:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ pamagat=”d1″/>

   4.

   5.

   Ang sumusunod na pangkat ng mga katangian ay nagbibigay-daan sa iyo na kumatawan sa exponent ng expression sa ilalim ng sign ng logarithm, o nakatayo sa base ng logarithm bilang isang coefficient bago ang sign ng logarithm:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Ang susunod na pangkat ng mga formula ay nagpapahintulot sa iyo na pumunta mula sa isang logarithm na may isang ibinigay na base patungo sa isang logarithm na may isang arbitrary na base, at tinatawag na mga formula ng paglipat sa isang bagong base:

   10.

   12. (corollary mula sa property 11)

   

   Ang sumusunod na tatlong katangian ay hindi lubos na kilala, ngunit kadalasang ginagamit ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation, o kapag pinapasimple ang mga expression na naglalaman ng logarithms:

   13.

   14.

   15.

   Mga espesyal na kaso:

   — decimal logarithm

   — natural na logarithm

   Kapag pinasimple ang mga expression na naglalaman ng logarithms, inilalapat ang isang pangkalahatang diskarte:

   1. Kinakatawan namin ang mga decimal fraction sa anyo ng mga ordinaryong.

   2. Kinakatawan namin ang mga magkahalong numero bilang mga hindi wastong fraction.

   3. Ang mga numero sa base ng logarithm at sa ilalim ng sign ng logarithm ay nabubulok sa prime factor.

   4. Sinusubukan naming dalhin ang lahat ng logarithms sa parehong base.

   5. Ilapat ang mga katangian ng logarithms.

   Tingnan natin ang mga halimbawa ng pagpapasimple ng mga expression na naglalaman ng logarithms.

   Halimbawa 1

   Kalkulahin:

   Pasimplehin natin ang lahat ng mga exponent: ang ating gawain ay dalhin ang mga ito sa logarithms, na ang base ay kapareho ng bilang ng base ng exponent.

   ==(sa pamamagitan ng property 7)=(sa pamamagitan ng property 6) =

   Palitan ang mga indicator na nakuha namin sa orihinal na expression. Nakukuha namin:

   Sagot: 5.25

   Halimbawa 2 Kalkulahin:

   

   Dinadala namin ang lahat ng logarithms sa base 6 (sa kasong ito, ang logarithms mula sa denominator ng fraction ay "lilipat" sa numerator):

   I-decompose natin ang mga numero sa ilalim ng sign ng logarithm sa prime factor:

   Ilapat ang mga katangian 4 at 6:

   Ipinakilala namin ang kapalit

   Nakukuha namin:

   Sagot: 1

   Logarithm . Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan.

   Mga katangian ng logarithms. Decimal logarithm. natural na logarithm.

   logarithm positibong numero N sa base (b > 0, b 1) ay tinatawag na exponent x kung saan kailangan mong itaas ang b upang makakuha ng N .

   Ang entry na ito ay katumbas ng sumusunod: b x = N .

   MGA HALIMBAWA: log 3 81 = 4 since 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3 dahil (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Ang kahulugan sa itaas ng logarithm ay maaaring isulat bilang isang pagkakakilanlan:

   

   Mga pangunahing katangian ng logarithms.

   2) log 1 = 0 dahil b 0 = 1 .

   3) Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng logarithm ng mga salik:

   4) Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor:

   5) Ang logarithm ng degree ay katumbas ng produkto ng exponent at ang logarithm ng base nito:

   Ang kahihinatnan ng ari-arian na ito ay ang mga sumusunod: ugat ng log katumbas ng logarithm ng root number na hinati sa kapangyarihan ng root:

   

   6) Kung ang base ng logarithm ay isang degree, kung gayon ang halaga ang reciprocal ng exponent ay maaaring alisin sa rhyme log sign:

   

   Ang huling dalawang katangian ay maaaring pagsamahin sa isa:

   

   7) Ang formula para sa transition modulus (i.e. ang paglipat mula sa isang base ng logarithm patungo sa isa pang base):

   

   Sa isang partikular na kaso, kapag N = a meron kami:

   

   Decimal logarithm tinawag batayang logarithm 10. Ito ay tinutukoy lg, i.e. log 10 N= log N. Logarithms ng mga numero 10, 100, 1000, . p ay 1, 2, 3, …, ayon sa pagkakabanggit, i.e. may napakaraming positibo

   units, kung gaano karaming mga zero ang nasa logarithm number pagkatapos ng isa. Logarithms ng mga numero 0.1, 0.01, 0.001, . p ay –1, –2, –3, …, ayon sa pagkakabanggit, i.e. magkaroon ng kasing daming negatibo gaya ng may mga zero sa logarithm number bago ang isa (kabilang ang mga zero integer). Ang logarithms ng natitirang mga numero ay may fractional na bahagi na tinatawag mantissa. Ang integer na bahagi ng logarithm ay tinatawag katangian. Para sa mga praktikal na aplikasyon, ang decimal logarithms ay pinaka-maginhawa.

   natural na logarithm tinawag batayang logarithm e. Ito ay tinutukoy ng ln, i.e. log e N=ln N. Numero e ay hindi makatwiran, ang tinatayang halaga nito ay 2.718281828. Ito ang limitasyon kung saan ang bilang (1 + 1 / n) n na may walang limitasyong pagtaas n(cm. unang kahanga-hangang limitasyon sa pahina ng Mga Limitasyon sa Pagkakasunud-sunod ng Numero).
   Kakaibang tila, ang mga natural na logarithms ay naging napaka-maginhawa kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga operasyon na may kaugnayan sa pagsusuri ng mga pag-andar. Pagkalkula ng mga base logarithms e mas mabilis kaysa sa anumang iba pang batayan.

• Ano ang kailangan mo ngayon upang mag-ampon ng isang bata sa Russia? Ang pag-ampon sa Russia, bilang karagdagan sa isang responsableng personal na desisyon, ay nagsasangkot ng ilang mga pamamaraan para sa pagpapatunay ng estado ng mga kandidato. Ang mahigpit na pagpili sa yugto ng paghahanda ay nag-aambag sa higit […]
• Walang bayad ang impormasyon ng TIN o OGRN mula sa rehistro ng buwis sa buong Russia - online Sa Unified Portal of Tax Services, impormasyon sa pagpaparehistro ng estado ng mga legal na entity, indibidwal na negosyante, [...]
• Parusa para sa pagmamaneho nang walang mga dokumento (lisensya sa pagmamaneho, insurance, STS) Minsan, dahil sa pagkalimot, ang mga driver ay nasa likod ng manibela nang walang lisensya at tumatanggap ng multa para sa pagmamaneho nang walang mga dokumento. Alalahanin na ang isang motoristang nagmamanehong kasama niya ay […]
• Bulaklak para sa mga lalaki. Anong uri ng mga bulaklak ang maaari mong ibigay sa isang lalaki? Anong mga bulaklak ang maaaring ibigay sa isang lalaki? Walang gaanong "lalaki" na bulaklak, ngunit may mga ibinibigay sa mga lalaki. Isang maliit na listahan ng mga bulaklak sa harap mo: Chrysanthemums. Rosas. Mga carnation. […]
• Ang isang memo ay isang espesyal na anyo ng isang dokumento na ginagamit sa panloob na kapaligiran ng isang negosyo at nagsisilbi upang mabilis na malutas ang mga kasalukuyang problema sa produksyon. Karaniwan ang dokumentong ito ay iginuhit para sa layunin ng paggawa ng ilang […]
• Kailan at paano makukuha ang pinondohan na bahagi ng pensiyon sa Sberbank? Ang Sberbank ay isang kasosyong bangko ng pondo ng pensiyon ng estado. Sa batayan nito, ang mga mamamayan na nagbigay ng pinondohan na pensiyon ay maaaring ilipat ang pinondohan […]
• Mga allowance ng bata sa Ulyanovsk at rehiyon ng Ulyanovsk sa 2018 Bilang karagdagan, ang mga programang inaprubahan ng pederal na batas ay tumatakbo sa lahat ng mga rehiyon. Tingnan natin kung sino at anong mga benepisyo ang maaasahan. Bilang mga awtoridad sa rehiyon […]
• Detalyadong gabay sa kung paano gumawa ng kapangyarihan ng abugado upang kumatawan sa mga interes ng isang indibidwal sa korte Sa isang sibil o arbitrasyon na kaso, sa isang administratibo o kriminal na kaso, ang mga interes ng parehong nagsasakdal at nasasakdal ay maaaring katawanin ng isang abogado: […]