Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kailangan para sa matagumpay na pagpasa ng pagsusulit sa matematika ng 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile USE sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic USE sa matematika. Kung gusto mong pumasa sa pagsusulit na may 90-100 puntos, kailangan mong lutasin ang bahagi 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Paghahanda ng kurso para sa pagsusulit para sa mga baitang 10-11, pati na rin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo upang malutas ang bahagi 1 ng pagsusulit sa matematika (ang unang 12 problema) at problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Examination, at hindi magagawa ng isang daang puntos na estudyante o ng isang humanist kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, bitag at sikreto ng pagsusulit. Ang lahat ng nauugnay na gawain ng bahagi 1 mula sa mga gawain ng Bank of FIPI ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng USE-2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain sa pagsusulit. Mga problema sa teksto at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm sa paglutas ng problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa PAGGAMIT. Stereometry. Mga tusong trick para sa paglutas, kapaki-pakinabang na mga cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula - hanggang sa gawain 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Visual na paliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Base para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng ika-2 bahagi ng pagsusulit.

Iminumungkahi ko sa oras na ito na ayusin ang isang bagay tulad ng isang "marathon na nakabatay sa ebidensya" para sa paglutas ng mga problema na inaalok sa mga ika-siyam na baitang sa mga variant ng GIA sa matematika. Ang mga ito ay konektado sa patunay ng simple, ngunit sa parehong oras napaka-kapaki-pakinabang na mga geometric na katotohanan. Ang artikulo ay sadyang hindi nagbibigay ng mga detalyadong solusyon sa mga problema, ilang mga balangkas at tip lamang. Subukang pagtagumpayan ang distansya ng marathon sa iyong sarili, nang walang mga pagkakamali at sa isang set.

Gawain 1. Patunayan na ang mga bisector ng mga katabing anggulo ay patayo.

Ang anggulo α ay tinutukoy ng isang arko, β ng dalawa

Patunay: malinaw sa pigura na α + α + β + β = 2α + 2β = 180 0 (flattened angle), samakatuwid, α + β = 90 0 . Q.E.D.

Gawain 2. Dalawang segment AC At BD bumalandra sa isang punto O, na siyang gitnang punto ng bawat isa sa kanila. Patunayan na ang mga tatsulok ay pantay ACD At CAB.

Ang ABCD, siyempre, ay magiging isang paralelogram, ngunit hindi ito ibinigay sa kondisyon

Patunay: ang mga tatsulok sa gilid ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ( BO = OD- ayon sa kondisyon, AO = OC— ayon sa kondisyon, ∠ DOC = ∠AOB- patayo), iyon ay, ∠ ACD = ∠CAB, at dahil sila ay tumatawid sa ilalim ng mga linya AB, CD at secant AC, Iyon AB parallel DC. Katulad nito, pinatutunayan namin ang paralelismo ng mga linya BC At AD. Kaya, A B C D ay isang paralelogram ayon sa kahulugan. BC = AD, AB = CD(magkapantay ang magkabilang panig ng paralelogram) AC- karaniwan para sa mga tatsulok ACD At CAB, kaya sila ay pantay sa tatlong panig. Q.E.D.

Gawain 3. Patunayan na ang median na iginuhit sa base ng isang isosceles triangle ay ang bisector ng anggulo sa tapat ng base at patayo din sa base.

Ang mga anggulo na nabuo ng median at ang base ay tatawaging "lower", ang median at sides - "itaas"

Patunay: ang mga tatsulok sa gilid sa figure ay pantay-pantay sa tatlong panig, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay, una, ng "itaas" na mga anggulo (napatunayan na ang bisector), at pangalawa, ng "mas mababang" mga anggulo, sa kabuuan bilang katabing pagbibigay ng 180 0 , at samakatuwid ay katumbas sa 90 0 bawat isa (napatunayang perpendicularity). Q.E.D.

Gawain 4. Patunayan na ang mga median na iginuhit sa mga gilid ng isang isosceles triangle ay pantay.

Ang mga tatsulok na nabuo ng mga median, base at lower halves ng mga gilid ng orihinal na tatsulok ay tatawaging "lower"

Patunay: ang mga anggulo sa base ng isang isosceles triangle ay pantay, kaya ang "mas mababang" triangles ay pantay sa dalawang gilid at ang anggulo sa pagitan ng mga ito, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga iginuhit na median. Q.E.D.

Gawain 5. Patunayan na ang mga bisector na iginuhit mula sa mga vertices ng base ng isang isosceles triangle ay pantay.

Ang lahat ng mga anggulo na minarkahan sa figure ay, siyempre, pantay, kahit na sila ay ipinahiwatig ng iba't ibang mga arko.

Patunay: Ang "mas mababang" tatsulok ay isosceles, na sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base nito, ang "panig" na tatsulok ay pantay sa gilid (katumbas mula sa mga particle ng mga bisector na napatunayan sa itaas) at dalawang anggulo (ang una ay pantay sa kondisyon. , ang pangalawa bilang patayo), samakatuwid ang natitirang mga particle ng mga bisector ay pantay din sa bawat isa, na nangangahulugang ang mga bisector mismo ay pantay sa kabuuan. Q.E.D.

Gawain 6. Patunayan na ang haba ng segment ng linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng dalawang gilid ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng ikatlong panig.

Tinatawag namin ang malinis na panig na "mga base", ang mga naka-cross out na gilid - "mga gilid"

Patunay: ang mga gilid ng maliit at malaking tatsulok sa figure ay nauugnay bilang 1: 2, bilang karagdagan, mayroon silang isang karaniwang anggulo, na nangangahulugang magkapareho sila sa pangalawang tampok na may koepisyent ng pagkakapareho ng 1: 2, samakatuwid ang mga base ay nauugnay. bilang 1: 2. Alin ang kinakailangan upang patunayan .

Gawain 7. Patunayan na ang dayagonal ng isang paralelogram ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok.

Isang paralelogram na may dayagonal, marahil ay wala nang idadagdag

Patunay: magkatapat ang magkabilang panig ng paralelogram, ang dayagonal ay karaniwang panig para sa mga tatsulok na ito, kaya pantay ang mga ito sa tatlong panig. Q.E.D.

Gawain 8. Patunayan na ang median ng isang right triangle na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse.

Sa madaling salita, ang median ay iginuhit mula sa tuktok ng tamang anggulo

Patunay: kung ang isang bilog ay inilarawan sa paligid ng isang ibinigay na right-angled na tatsulok, kung gayon ang tamang anggulo ng tatsulok na nakasulat sa bilog na ito ay ilalarawan ng isang kalahating bilog, kaya ang hypotenuse ay ang diameter ng bilog na ito, at ang mga kalahati ng hypotenuse at ang median na ibinigay sa amin sa problema ay magiging radii, kaya lahat sila ay pantay. Q.E.D.

Gawain 9. Patunayan na ang mga segment ng tangents na iginuhit sa bilog mula sa isang punto ay pantay.

Karagdagang konstruksyon: ikonekta ang punto C sa punto O (sa isip)

Patunay: mga sulok B At A mga tuwid na linya (ang radii ng bilog na iginuhit sa swing point ay patayo sa mga tangent), pagkatapos ay mga tamang tatsulok AOC At BOC ay pantay sa hypotenuse (isang karaniwang haka-haka na panig para sa kanila OC) at binti (circle radii OB = OA), ibig sabihin AC = CB. Q.E.D.

Gawain 10. Patunayan na ang diameter na dumadaan sa gitnang punto ng chord ng bilog ay patayo dito.

Ang linya na nagkokonekta sa dalawang punto sa figure ay ang median ng tatsulok na aming isasaalang-alang.

Patunay: sa isang isosceles triangle na nabuo sa pamamagitan ng mga intersection point ng isang chord na may bilog at sa gitna ng bilog na ito, ang itinatanghal na median ay ang taas, na nangangahulugan na ang diameter na naglalaman ng taas na ito ay patayo sa chord. Q.E.D.

Gawain 11. Patunayan na kung ang dalawang bilog ay may isang karaniwang chord, kung gayon ang linya na dumadaan sa gitna ng mga bilog na ito ay patayo sa ibinigay na chord.

Ikinonekta namin sa isip ang lahat ng mga puntos na minarkahan sa figure, tatawagin namin ang intersection point ng pahalang at patayong H.

Patunay: mga tatsulok O 1 AO 2 at O 1 BO 2 ay pantay sa tatlong panig, kaya ∠ HO 2 A = ∠HO 2 B, pagkatapos ay ang mga tatsulok HAO 2 at HBO 2 ay pantay sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila, kaya ∠ AHO 2 = ∠BHO 2 , at ang kabuuan ng dalawang magkaparehong anggulo ay maaaring magbigay ng 180 0 lamang kung ang bawat isa sa kanila ay katumbas ng 90 0 . Q.E.D.

Gawain 12. Patunayan na kung ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng mga haba ng magkabilang panig nito ay pantay.

Inilarawan ang quadrilateral. Tawagin natin itong ABCD. Hayaan ang M, E, X at L na mga punto ng kontak

Patunay: ginagamit namin ang tangent segment theorem (Problema 9). VC = VR, SR = CH, DX = DL At AT = AK. Isama ang mga gilid AB At CD: AB + CD= (AM+ MB) + (DX+ XC) = AL+ MAGING+ DL+ CE= (AL+ LD) + (MAGING+ EU) = AD+ BC. Q.E.D.

Gawain 13. Patunayan na kung ang isang bilog ay maaaring paligiran sa isang may apat na gilid, kung gayon ang mga kabuuan ng mga magkasalungat na anggulo nito ay pantay.

Circumscribed na bilog

Patunay: sa pamamagitan ng inscribed na angle theorem, ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng quadrilateral na ito ay 180 0 , dahil magkasama sila ay batay sa isang buong bilog, ang sukat ng degree na kung saan ay 360 0 . Q.E.D.

Gawain 14. Patunayan na kung ang isang bilog ay maaaring circumscribed malapit sa isang trapezoid, kung gayon ang trapezoid ay isosceles.

Patunay: ang kabuuan ng magkasalungat na anggulo ng isang may apat na gilid na nakasulat sa isang bilog ay α + β = 180 0 (tingnan ang Problema 13), ang kabuuan ng mga anggulo sa gilid na gilid ng trapezoid ay katumbas din ng α + γ \u003d 180 0 (ang mga anggulong ito ay isang panig na may mga parallel na base at isang secant lateral side), mula sa paghahambing ng mga formula na ito ay nakukuha natin iyon β = γ , iyon ay, ang mga anggulo sa base ng naturang trapezoid ay pantay, at ito ay talagang isosceles. Q.E.D.

Gawain 15. parisukat A B C D puntos SA At E- mga midpoint ng mga gilid AB At AD ayon sa pagkakabanggit. Patunayan mo yan KD patayo CE.

Teorama 1 . Ang halaga ng naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng halaga ng gitnang anggulo batay sa parehong arko.

Patunay . Isaalang-alang muna ang nakasulat na anggulo ABC, gilid BC na siyang diameter ng bilog, at ang gitnang anggulo AOC(Larawan 5).

Dahil sa mga segment AO At BO ay ang radii ng bilog, pagkatapos ay ang tatsulok AOB isosceles, at ang anggulo ABO katumbas ng anggulo OAB. Dahil ang anggulo AOC ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok AOB, pagkatapos ay ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, sa kaso kapag ang isa sa mga gilid ng inscribed na anggulo ay dumaan sa gitna ng bilog, ang Theorem 1 ay napatunayan.

Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang gitna ng bilog ay nasa loob ng inscribed na anggulo (Larawan 6).

at ang Theorem 1 ay napatunayan sa kasong ito.

Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang gitna ng bilog ay nasa labas ng nakasulat na anggulo (Larawan 7).

Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay

na kumukumpleto sa patunay ng Theorem 1.

Teorama 2 . Ang halaga ng anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersecting chords ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga halaga ng mga arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 8.

Interesado kami sa anggulo AED E chords AB At CD. Dahil ang anggulo AED- ang panlabas na sulok ng tatsulok KAMA, at ang mga anggulo CDB At ABD

Q.E.D.

Teorama 3 . Ang halaga ng anggulo na nabuo ng mga secant na intersecting sa labas ng bilog ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa mga halaga ng mga arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid ng anggulong ito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 9.

Interesado kami sa anggulo KAMA, nabuo sa pamamagitan ng intersecting sa isang punto E secant AB At CD. Dahil ang anggulo ADC- ang panlabas na sulok ng tatsulok ADE, at ang mga anggulo ADC , DCB At DAB ay nakasulat ang mga anggulo, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay

Q.E.D.

Teorama 4 . Ang halaga ng anggulo na nabuo ng tangent at ang chord na dumadaan sa punto ng contact ay katumbas ng kalahati ng halaga ng arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 10.

Interesado kami sa anggulo BAC nabuo sa pamamagitan ng padaplis AB at chord AC. Dahil ang AD ay ang diameter na dumadaan sa punto ng contact, at ang anggulo ACD ay isang nakasulat na anggulo batay sa diameter, pagkatapos ay ang mga anggulo DAB At DCA- tuwid. Samakatuwid, ang mga pagkakapantay-pantay

Q.E.D.

Teorama 5 . Ang halaga ng anggulo na nabuo ng isang tangent at isang secant ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba sa mga halaga ng mga arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid ng anggulong ito.

Patunay . Isaalang-alang ang Larawan 11.

Interesado kami sa anggulo KAMA nabuo sa pamamagitan ng padaplis AB at secant CD. Tandaan na ang anggulo bdc- ang panlabas na sulok ng tatsulok DBE, at ang mga anggulo bdc At BCD ay nakasulat ang mga anggulo. Bilang karagdagan, ang mga sulok DBE At DCB, sa bisa ng Theorem 4, ay pantay. Samakatuwid, ang mga pagkakapantay-pantay

Pagtuturo

Kung ang mga tatsulok na ABC at DEF ay may gilid AB na katumbas ng gilid DE, at ang mga anggulo na katabi ng gilid AB ay katumbas ng mga anggulo na katabi ng gilid DE, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay itinuturing na pantay.

Kung ang mga tatsulok na ABC ay may mga panig na AB, BC at CD na katumbas ng kanilang mga katumbas na gilid ng tatsulok na DEF, kung gayon ang mga tatsulok na ito ay magkatugma.

tala

Kung nais mong patunayan ang pagkakapantay-pantay sa pagitan ng dalawang tamang tatsulok, maaari itong gawin gamit ang mga sumusunod na palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

Isa sa mga binti at ang hypotenuse;
- sa dalawang kilalang mga binti;
- isa sa mga binti at isang matinding anggulo na katabi nito;
- kasama ang hypotenuse at isa sa mga talamak na anggulo.

Ang mga tatsulok ay acute-angled (kung ang lahat ng mga anggulo nito ay mas mababa sa 90 degrees), obtuse-angled (kung ang isa sa mga anggulo nito ay higit sa 90 degrees), equilateral at isosceles (kung ang dalawang panig nito ay pantay).

Nakatutulong na payo

Bilang karagdagan sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa kanilang mga sarili, ang parehong mga tatsulok ay magkatulad. Ang mga katulad na tatsulok ay yaong kung saan ang mga anggulo ay pantay sa bawat isa, at ang mga gilid ng isang tatsulok ay proporsyonal sa mga gilid ng isa. Kapansin-pansin na kung ang dalawang tatsulok ay magkapareho sa bawat isa, kung gayon hindi nito ginagarantiyahan ang kanilang pagkakapantay-pantay. Kapag hinahati ang magkatulad na panig ng mga tatsulok sa bawat isa, ang tinatawag na koepisyent ng pagkakapareho ay kinakalkula. Gayundin, ang koepisyent na ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghati sa mga lugar ng magkatulad na tatsulok.

Mga Pinagmulan:

• patunayan na ang lugar ng mga tatsulok ay pantay

Ang dalawang tatsulok ay magkapareho kung ang lahat ng mga elemento ng isa ay katumbas ng mga elemento ng isa pa. Ngunit hindi kinakailangang malaman ang lahat ng mga sukat ng mga tatsulok upang tapusin na sila ay pantay. Ito ay sapat na upang magkaroon ng ilang mga hanay ng mga parameter para sa ibinigay na mga numero.

Pagtuturo

Kung alam na ang dalawang panig ng isang tatsulok ay katumbas ng isa at ang mga anggulo sa pagitan ng mga panig na ito ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok na isinasaalang-alang ay magkapareho. Upang patunayan ito, itugma ang mga vertex ng magkapantay na anggulo ng dalawang figure. Ipagpatuloy ang pag-overlay. Mula sa punto na nakuha para sa dalawang tatsulok, idirekta ang isang gilid ng sulok ng superimposed na tatsulok kasama ang kaukulang bahagi ng mas mababang figure. Sa kondisyon, ang dalawang panig na ito ay pantay. Nangangahulugan ito na ang mga dulo ng mga segment ay magkakasabay. Dahil dito, pinagsama ang isa pang pares ng vertices sa mga ibinigay na triangles. Ang mga direksyon ng pangalawang panig ng anggulo kung saan ito nagsimula ay magkakasabay dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulong ito. At dahil ang mga panig na ito ay pantay, ang huling vertex ay magkakapatong. Maaaring gumuhit ng isang tuwid na linya sa pagitan ng dalawang puntos. Samakatuwid, ang ikatlong panig sa dalawang tatsulok ay magkakasabay. Nakatanggap ka ng dalawang ganap na magkatulad na mga numero at ang napatunayang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Kung ang isang gilid at dalawang anggulo na katabi nito sa isang tatsulok ay katumbas ng mga katumbas sa isa pang tatsulok, kung gayon ang dalawang tatsulok na ito ay magkapareho. Upang patunayan ang kawastuhan ng pahayag na ito, ipapatong ang dalawang figure, na inihanay ang mga vertices ng pantay na mga anggulo na may pantay na panig. Dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga anggulo, ang direksyon ng pangalawa at pangatlong panig ay magkakasabay at ang lugar ng kanilang intersection ay natatanging matutukoy, ibig sabihin, ang ikatlong tuktok ng una sa mga tatsulok ay kinakailangang magkasabay sa isang katulad na punto ng pangalawa. Ang pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay napatunayan.