Tanong 1. Anong mga anggulo ang tinatawag na magkatabi?
Sagot. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na magkatabi kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang mga panig ng mga anggulong ito ay mga pantulong na kalahating linya.
Sa Figure 31, ang mga anggulo (a 1 b) at (a 2 b) ay magkatabi. Ang mga ito ay may magkatulad na gilid b, at ang mga gilid a 1 at 2 ay karagdagang kalahating linya.

Tanong 2. Patunayan na ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.
Sagot. Teorama 2.1. Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.
Patunay. Hayaang ang anggulo (a 1 b) at anggulo (a 2 b) ay bigyan ng magkatabing mga anggulo (tingnan ang Fig. 31). Ang Ray b ay dumadaan sa pagitan ng mga panig a 1 at a 2 ng isang tuwid na anggulo. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo (a 1 b) at (a 2 b) ay katumbas ng nakabukang anggulo, ibig sabihin, 180°. Q.E.D.

Tanong 3. Patunayan na kung magkapantay ang dalawang anggulo, magkapantay din ang magkatabing mga anggulo.
Sagot.

Mula sa teorama 2.1 Ito ay sumusunod na kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon ang kanilang mga katabing anggulo ay pantay.
Sabihin nating ang mga anggulo (a 1 b) at (c 1 d) ay pantay. Kailangan nating patunayan na ang mga anggulo (a 2 b) at (c 2 d) ay pantay din.
Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°. Ito ay sumusunod mula dito na ang a 1 b + a 2 b = 180° at c 1 d + c 2 d = 180°. Kaya naman, a 2 b = 180° - a 1 b at c 2 d = 180° - c 1 d. Dahil ang mga anggulo (a 1 b) at (c 1 d) ay pantay, nakukuha natin na a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Sa pamamagitan ng pag-aari ng transitivity ng equal sign ito ay sumusunod na a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Tanong 4. Anong anggulo ang tinatawag na right (acute, obtuse)?
Sagot. Ang isang anggulo na katumbas ng 90° ay tinatawag na tamang anggulo.
Ang anggulong mas mababa sa 90° ay tinatawag na acute angle.
Ang anggulo na mas malaki sa 90° at mas mababa sa 180° ay tinatawag na obtuse.

Tanong 5. Patunayan na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo.
Sagot. Mula sa theorem sa kabuuan ng mga katabing anggulo ay sumusunod na ang isang anggulo na katabi ng isang tamang anggulo ay isang tamang anggulo: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Tanong 6. Anong mga anggulo ang tinatawag na patayo?
Sagot. Ang dalawang anggulo ay tinatawag na patayo kung ang mga gilid ng isang anggulo ay komplementaryong kalahating linya ng mga gilid ng isa pa.

Tanong 7. Patunayan na ang mga patayong anggulo ay pantay.
Sagot. Teorama 2.2. Ang mga patayong anggulo ay pantay.
Patunay. Hayaang (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ang ibinigay na mga patayong anggulo (Larawan 34). Ang anggulo (a 1 b 2) ay katabi ng anggulo (a 1 b 1) at sa anggulo (a 2 b 2). Mula dito, gamit ang theorem sa kabuuan ng mga katabing anggulo, napagpasyahan namin na ang bawat isa sa mga anggulo (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ay umaakma sa anggulo (a 1 b 2) hanggang 180°, i.e. ang mga anggulo (a 1 b 1) at (a 2 b 2) ay pantay. Q.E.D.

Tanong 8. Patunayan na kung, kapag nagsalubong ang dalawang linya, tama ang isa sa mga anggulo, tama rin ang tatlo pang anggulo.
Sagot. Ipagpalagay na ang mga linyang AB at CD ay nagsalubong sa isa't isa sa puntong O. Ipagpalagay na ang anggulo ng AOD ay 90°. Dahil ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°, nakukuha natin na AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ang anggulo ng COB ay patayo sa anggulo ng AOD, kaya pantay ang mga ito. Ibig sabihin, anggulo COB = 90°. Ang anggulo ng COA ay patayo sa anggulo ng BOD, kaya sila ay pantay. Ibig sabihin, anggulo BOD = 90°. Kaya, ang lahat ng mga anggulo ay katumbas ng 90°, iyon ay, lahat sila ay mga tamang anggulo. Q.E.D.

Tanong 9. Aling mga linya ang tinatawag na patayo? Anong palatandaan ang ginagamit upang ipahiwatig ang perpendicularity ng mga linya?
Sagot. Dalawang linya ay tinatawag na patayo kung sila ay magsalubong sa tamang mga anggulo.
Ang perpendicularity ng mga linya ay ipinahiwatig ng sign \(\perp\). Ang entry na \(a\perp b\) ay mababasa: "Ang linya a ay patayo sa linya b."

Tanong 10. Patunayan na sa anumang punto sa isang linya maaari kang gumuhit ng isang linya na patayo dito, at isa lamang.
Sagot. Teorama 2.3. Sa bawat linya maaari kang gumuhit ng isang linya na patayo dito, at isa lamang.
Patunay. Hayaan ang isang ibinigay na linya at A ang isang ibinigay na punto dito. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng isang 1 ang isa sa kalahating linya ng tuwid na linya a na may panimulang punto A (Larawan 38). Ibawas natin ang isang anggulo (a 1 b 1) na katumbas ng 90° mula sa kalahating linyang a 1. Pagkatapos ang tuwid na linya na naglalaman ng ray b 1 ay magiging patayo sa tuwid na linya a.

Ipagpalagay natin na may isa pang linya, na dumadaan din sa punto A at patayo sa linya a. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng c 1 ang kalahating linya ng linyang ito na nasa parehong kalahating eroplano na may ray b 1 .
Ang mga anggulo (a 1 b 1) at (a 1 c 1), ang bawat isa ay katumbas ng 90°, ay inilatag sa isang kalahating eroplano mula sa kalahating linya a 1. Ngunit mula sa kalahating linya, isang 1 lamang ang anggulo na katumbas ng 90° ang maaaring ilagay sa isang ibinigay na kalahating eroplano. Samakatuwid, hindi maaaring magkaroon ng isa pang linya na dumadaan sa punto A at patayo sa linya a. Ang teorama ay napatunayan.

Tanong 11. Ano ang patayo sa isang linya?
Sagot. Ang patayo sa isang partikular na linya ay isang segment ng isang linya na patayo sa isang partikular na linya, na may isa sa mga dulo nito sa kanilang intersection point. Ang dulo ng segment na ito ay tinatawag na batayan patayo.

Tanong 12. Ipaliwanag kung ano ang binubuo ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon.
Sagot. Ang paraan ng patunay na ginamit namin sa Theorem 2.3 ay tinatawag na patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ang pamamaraang ito ng patunay ay binubuo ng unang paggawa ng isang palagay na kabaligtaran sa kung ano ang sinasabi ng teorama. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pangangatwiran, pag-asa sa mga axiom at napatunayang teorema, nakarating tayo sa isang konklusyon na sumasalungat sa alinman sa mga kondisyon ng theorem, o isa sa mga axiom, o isang dating napatunayan na theorem. Sa batayan na ito, napagpasyahan namin na ang aming palagay ay hindi tama, at samakatuwid ang pahayag ng teorama ay totoo.

Tanong 13. Ano ang bisector ng isang anggulo?
Sagot. Ang bisector ng isang anggulo ay isang sinag na nagmumula sa tuktok ng anggulo, dumadaan sa pagitan ng mga gilid nito at hinahati ang anggulo sa kalahati.

Kasama sa kursong video na "Kumuha ng A" ang lahat ng mga paksang kinakailangan upang matagumpay na makapasa sa Unified State Exam sa matematika na may 60-65 puntos. Ganap ang lahat ng mga gawain 1-13 ng Profile Unified State Exam sa matematika. Angkop din para sa pagpasa sa Basic Unified State Examination sa matematika. Kung gusto mong makapasa sa Unified State Exam na may 90-100 points, kailangan mong lutasin ang part 1 sa loob ng 30 minuto at walang pagkakamali!

Kurso sa paghahanda para sa Unified State Exam para sa grade 10-11, gayundin para sa mga guro. Lahat ng kailangan mo para malutas ang Part 1 ng Unified State Exam sa matematika (ang unang 12 problema) at Problema 13 (trigonometry). At ito ay higit sa 70 puntos sa Unified State Exam, at hindi magagawa ng isang 100-point na mag-aaral o ng isang mag-aaral sa humanities kung wala sila.

Lahat ng kinakailangang teorya. Mabilis na solusyon, pitfalls at sikreto ng Pinag-isang State Exam. Ang lahat ng kasalukuyang gawain ng bahagi 1 mula sa FIPI Task Bank ay nasuri. Ang kurso ay ganap na sumusunod sa mga kinakailangan ng Unified State Exam 2018.

Ang kurso ay naglalaman ng 5 malalaking paksa, 2.5 oras bawat isa. Ang bawat paksa ay ibinigay mula sa simula, simple at malinaw.

Daan-daang mga gawain ng Pinag-isang State Exam. Mga problema sa salita at teorya ng posibilidad. Simple at madaling matandaan ang mga algorithm para sa paglutas ng mga problema. Geometry. Teorya, sangguniang materyal, pagsusuri ng lahat ng uri ng mga gawain sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri. Stereometry. Mga nakakalito na solusyon, kapaki-pakinabang na cheat sheet, pagbuo ng spatial na imahinasyon. Trigonometry mula sa simula hanggang sa problema 13. Pag-unawa sa halip na pag-cramming. Malinaw na pagpapaliwanag ng mga kumplikadong konsepto. Algebra. Mga ugat, kapangyarihan at logarithms, function at derivative. Isang batayan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema ng Bahagi 2 ng Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

Ang bawat anggulo, depende sa laki nito, ay may sariling pangalan:

Uri ng anggulo	Sukat sa mga degree	Halimbawa
Maanghang	Mas mababa sa 90°
Diretso	Katumbas ng 90°. Sa isang guhit, ang isang tamang anggulo ay karaniwang tinutukoy ng isang simbolo na iginuhit mula sa isang gilid ng anggulo patungo sa isa pa.
Mapurol	Higit sa 90° ngunit mas mababa sa 180°
Pinalawak	Katumbas ng 180° Ang isang tuwid na anggulo ay katumbas ng kabuuan ng dalawang tamang anggulo, at ang isang tamang anggulo ay kalahati ng isang tuwid na anggulo.
Matambok	Higit sa 180° ngunit mas mababa sa 360°
Puno	Katumbas ng 360°

Ang dalawang anggulo ay tinatawag katabi, kung mayroon silang isang panig na magkatulad, at ang iba pang dalawang panig ay bumubuo ng isang tuwid na linya:

Mga anggulo MOP At PON katabi, mula noong sinag OP- ang karaniwang panig, at ang iba pang dalawang panig - OM At NAKA-ON gumawa ng isang tuwid na linya.

Ang karaniwang bahagi ng mga katabing anggulo ay tinatawag pahilig sa tuwid, kung saan ang iba pang dalawang panig ay namamalagi, lamang sa kaso kapag ang mga katabing anggulo ay hindi pantay sa bawat isa. Kung ang mga katabing anggulo ay pantay, ang kanilang karaniwang panig ay magiging patayo.

Ang kabuuan ng mga katabing anggulo ay 180°.

Ang dalawang anggulo ay tinatawag patayo, kung ang mga gilid ng isang anggulo ay umaakma sa mga gilid ng kabilang anggulo sa mga tuwid na linya:

Ang mga anggulo 1 at 3, pati na rin ang mga anggulo 2 at 4, ay patayo.

Ang mga patayong anggulo ay pantay.

Patunayan natin na ang mga patayong anggulo ay pantay:

Ang kabuuan ng ∠1 at ∠2 ay isang tuwid na anggulo. At ang kabuuan ng ∠3 at ∠2 ay isang tuwid na anggulo. Kaya ang dalawang halagang ito ay pantay:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Sa pagkakapantay-pantay na ito, mayroong magkaparehong termino sa kaliwa at kanan - ∠2. Ang pagkakapantay-pantay ay hindi lalabagin kung ang terminong ito sa kaliwa at kanan ay aalisin. Pagkatapos makuha namin ito.

Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya

Theorem 1. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang secant:

ang mga crossed angle ay pantay, o

katumbas ang mga anggulo, o

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon

magkatulad ang mga linya(Larawan 1).

Patunay. Nililimitahan namin ang aming sarili sa pagpapatunay ng kaso 1.

Hayaang ang mga intersecting na linya a at b ay crosswise at ang mga anggulo AB ay pantay. Halimbawa, ∠ 4 = ∠ 6. Patunayan natin na isang || b.

Ipagpalagay na ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Pagkatapos ay bumalandra sila sa isang punto M at, samakatuwid, ang isa sa mga anggulo 4 o 6 ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM. Para sa katiyakan, hayaang ∠ 4 ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM, at ∠ 6 ang panloob. Mula sa theorem sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay sumusunod na ang ∠ 4 ay mas malaki kaysa sa ∠ 6, at ito ay sumasalungat sa kondisyon, na nangangahulugan na ang mga linya a at 6 ay hindi maaaring magsalubong, kaya sila ay parallel.

Bunga 1. Dalawang magkaibang linya sa isang eroplanong patayo sa parehong linya ay magkatulad(Larawan 2).

Magkomento. Ang paraan na pinatunayan lang natin ang kaso 1 ng Theorem 1 ay tinatawag na paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon o pagbabawas sa katarantaduhan. Natanggap ng pamamaraang ito ang unang pangalan dahil sa simula ng argumento ay ginawa ang isang pagpapalagay na taliwas (salungat) sa kailangang patunayan. Ito ay tinatawag na humahantong sa kahangalan dahil sa ang katunayan na, ang pangangatwiran sa batayan ng pagpapalagay na ginawa, tayo ay dumating sa isang walang katotohanan na konklusyon (sa walang katotohanan). Ang pagtanggap ng gayong konklusyon ay nagpipilit sa atin na tanggihan ang palagay na ginawa sa simula at tanggapin ang isa na kailangang patunayan.

Gawain 1. Bumuo ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M at parallel sa isang ibinigay na linya a, hindi dumadaan sa punto M.

Solusyon. Gumuhit kami ng isang tuwid na linya p sa pamamagitan ng puntong M patayo sa tuwid na linya a (Larawan 3).

Pagkatapos ay gumuhit kami ng isang linya b hanggang sa punto M patayo sa linya p. Ang linya b ay parallel sa linya a ayon sa corollary ng Theorem 1.

Ang isang mahalagang konklusyon ay sumusunod mula sa problemang isinasaalang-alang:
sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, palaging posible na gumuhit ng isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang pangunahing pag-aari ng mga parallel na linya ay ang mga sumusunod.

Axiom ng mga parallel na linya. Sa pamamagitan ng isang naibigay na punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na linya, mayroon lamang pumasa sa isang linya na kahanay sa ibinigay na isa.

Isaalang-alang natin ang ilang mga katangian ng mga parallel na linya na sumusunod mula sa axiom na ito.

1) Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, pagkatapos ay nag-intersect din ito sa isa (Fig. 4).

2) Kung ang dalawang magkaibang linya ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel (Fig. 5).

Ang sumusunod na teorama ay totoo rin.

Theorem 2. Kung ang dalawang parallel na linya ay intersected ng isang transversal, kung gayon:

ang mga crosswise na anggulo ay pantay;

ang mga katumbas na anggulo ay pantay;

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°.

Bunga 2. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa(tingnan ang Fig. 2).

Magkomento. Ang Theorem 2 ay tinatawag na kabaligtaran ng Theorem 1. Ang konklusyon ng Theorem 1 ay ang kondisyon ng Theorem 2. At ang kondisyon ng Theorem 1 ay ang pagtatapos ng Theorem 2. Hindi lahat ng theorem ay may kabaligtaran, iyon ay, kung ang isang ibinigay na theorem ay totoo, kung gayon ang inverse theorem ay maaaring mali.

Ipaliwanag natin ito gamit ang halimbawa ng theorem sa mga patayong anggulo. Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ang converse theorem ay magiging: kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon sila ay patayo. At ito, siyempre, ay hindi totoo. Ang dalawang pantay na anggulo ay hindi kailangang patayo.

Halimbawa 1. Dalawang magkatulad na linya ay tinatawid ng isang pangatlo. Ito ay kilala na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang panloob na isang panig na anggulo ay 30°. Hanapin ang mga anggulong ito.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 6 ang kundisyon.

In-edit ni Ivanitskaya V.P. - M.: State educational and pedagogical publishing house ng Ministry of Education ng RSFSR, 1959. - 272 p.
I-download(direktang link) : egnnsholaster1959.djvu Nakaraan 1 .. 11 > .. >> Susunod

Kung ang mga katabing anggulo ay pantay, ang bawat isa sa kanila ay tinatawag na tamang anggulo. Ang kanilang karaniwang panig ay tinatawag na patayo sa linya na nabuo ng iba pang dalawang panig. Maaari din nating sabihin na ang bisector ng isang reverse angle ay patayo sa linya na nabuo sa pamamagitan ng mga gilid nito.

Teorama. Kung ang mga anggulo ay pantay, ang mga katabing anggulo ay pantay.

Hayaan ang (h, k) = ^. (I, m) at hayaang ^ (h!, k) at ^ (/", t) ang katumbas na magkatabing mga anggulo (Larawan 20). Hayaan, higit pa, / ang paggalaw kung saan ang ^ (h, k) ay ipinapakita sa (I, tri). Sa paggalaw na ito, ang pinalawak na ^ (h, K) ay mamamapa sa pinalawak na (I, /"). Kasunod nito na ang ^(h", k) ay imamapa sa ^(V, m), ibig sabihin, ^(h!, k) = ^(V, m).

Teorama. Mayroong isang bisector ng anumang anggulo at, bukod dito, isang natatangi.

Hayaang magkaiba ang ^(A, k) sa pinalawak at hayaang matambok ang panloob na rehiyon nito. I-plot natin ang pantay na mga segment OA at OB sa mga gilid nito mula sa vertex O (Pagguhit 21, a) at ikonekta ang mga punto A at B. Sa isosceles triangle AOB A = ^B (§ 8). Sa pamamagitan ng pagkonekta sa gitnang C ng segment AB sa punto O, nakakakuha tayo ng mga tatsulok na L OS at BOC na pantay sa unang katangian. Samakatuwid, AOC = BOC, at samakatuwid ang ray OS ay isang bisector (h, k).

Kung ang (h, k) ay hindi matambok (sa pagguhit ay hindi nakakulay ang panloob na rehiyon), pagkatapos ay ayon sa naunang

6}
t^

Ayon sa theorem, ang bisector nito ay ang ray m na pantulong sa ray /.

Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACO at BCO ay sumusunod din na ^ ACO = BCO1 ibig sabihin, ang ray CO ay ang panggitnang bahagi ng isang baligtad na anggulo na may mga gilid na CA at CB.

Hayaan ngayon na bigyan ng pinalawak ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

Ang ACB ay ipinapakita sa

(p, q). Ang CO beam ay nakamapa sa t beam. Dahil ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO at ^ACO= = (q, t), pagkatapos ay (p, t) = = ^(q, t), ibig sabihin, t -bisector (p, q ).

Hayaan / maging bisector

Ang (A, A), at Г ay isang arbitrary ray na umuusbong mula sa tuktok ng anggulo at nakahiga sa panloob na rehiyon nito. Kung ang Γ ay nasa panloob na rehiyon ^(A, /), kung gayon ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Samakatuwid, ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Corollary 1. May isa at isa lamang patayo sa isang ibinigay na linya, na nagmumula sa isang naibigay na punto dito at nakahiga sa isang ibinigay na kalahating eroplano na hangganan ng linyang ito.

Corollary 2. Ang mga kalahati ng pantay na anggulo ay pantay sa bawat isa.

Sa katunayan, kung ^(A, A) = ^(A", A"), pagkatapos ay mayroong isang kilusan / kung saan ang isa sa mga ito ay nakamapa sa isa pa. Ayon sa napatunayang teorama, ang kanilang mga bisector / at Γ para sa isang naibigay na galaw ay dapat ding imapa sa isa't isa. Samakatuwid ^(A, /) = ^(A", Г).

Dahil ang lahat ng mga tuwid na anggulo ay pantay, ang isang espesyal na kaso ng Corollary 2 ay ang proposisyon: lahat ng mga tamang anggulo ay pantay sa isa't isa.

Ang mga tuwid na linya a at A na bumubuo ng mga tamang anggulo kapag nagsasalubong ay tinatawag na patayo (a ± b).

Pagninilay mula sa isang tuwid na linya. Hayaan ang tuwid na linya sa isang kasinungalingan sa eroplano a. Ang mga kalahating eroplano na nabuo sa kasong ito ay ilalarawan ng X at p. (Larawan 22). Kunin natin ang ray A sa isang tuwid na linya

umuusbong mula sa punto O. Sa pamamagitan ng pag-aari ng 6 na galaw (§ 7), mayroong isang kakaibang paggalaw na nagmamapa ng ray h sa sarili nito at ang kalahating eroplanong X sa kalahating eroplanong jx. Ang lahat ng mga punto ng sinag na ito, ayon sa pag-aari ng 5 paggalaw, ay nakamapa sa kanilang mga sarili. Ang lahat ng mga punto ng ray k, na pantulong sa direktang ray h, ay nakamapa din sa kanilang mga sarili.

Kaya, sa panahon ng paggalaw na isinasaalang-alang, ang lahat ng mga punto ng linya a ay nakamapa sa kanilang mga sarili. Ito ay madali, higit pa, upang makita iyon

Kumuha tayo ngayon ng isang punto sa labas ng linya a.

Teorama. Sa pamamagitan ng anumang punto na hindi nakahiga sa isang linya ay dumadaan ang isang linya na patayo sa ibinigay na linya.

Patunay. Hayaang ang M ay isang punto na nasa labas ng tuwid na linya a (Larawan 23). Hinahati ng linya a ang eroplanong tinukoy ng linyang ito at

point M, sa dalawang kalahating eroplano: ang kalahating eroplanong X na naglalaman ng puntong M, at ang kalahating eroplanong jx. Kapag naipakita mula sa tuwid na linya a, ang point M ay nakamapa sa point M" ng half-plane jx. Dahil ang mga point M at M" ay nasa magkaibang kalahating eroplano,

ah, tapos straight MM" and Damn 23

bumalandra sa ilan

punto M0, na, kapag ipinapakita, ay nakamapa sa sarili nito. Kasunod nito na ang tuwid na linya na MM" ay nakamapa sa sarili nito, at samakatuwid ang mga anggulo / at 2 na nabuo nito na may tuwid na linya a (tingnan ang Fig. 23) ay nakamapa sa isa't isa.

Ang half-plane jx ay nakamapa sa half-plane X.

Ang paggalaw na isinasaalang-alang ay tinatawag na repleksyon mula sa tuwid na linya a.

Mula sa pagkakaroon ng bisector ng isang reverse angle sumusunod na sa pamamagitan ng anumang punto na nakahiga sa linya a, palaging posible na gumuhit ng isang linya b patayo sa linya a.

Nangangahulugan ito na ang mga anggulong ito ay pantay, at dahil ang mga ito ay, bilang karagdagan, magkatabi, pagkatapos ay MM" ± a. Ngayon hayaan ang isa pang tuwid na linya na iguguhit sa pamamagitan ng M, intersecting line a sa ilang mga punto Af0. Ito ay imamapa sa linyang M "N0, a ^ MN0M0 ay imamapa sa M"N0M0. Kaya, ^ 3 = ^i4. Ngunit sa bisa ng Axiom 1 (§ 2), ang mga puntos na M1 N0 at M" ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, at samakatuwid ang kabuuan ng mga anggulo 3 at 4, i.e. ^ MN0M", ay hindi isang baligtad na anggulo. Kasunod nito na ang mga anggulo 3 at 4 ay iba sa tamang anggulo at ang tuwid na linya na MN0 ay hindi magiging patayo sa tuwid na linya a. Ang straight line MM" kaya ang tanging tuwid na linya na patayo sa a at dumadaan sa puntong M.