Differential tinatawag na equation ng form

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

kung saan ang kaliwang bahagi ay ang kabuuang pagkakaiba ng anumang function ng dalawang variable.

Tukuyin natin ang hindi kilalang pag-andar ng dalawang variable (ito ang kailangang matagpuan kapag nilulutas ang mga equation sa kabuuang pagkakaiba) sa pamamagitan ng F at babalikan natin ito sa lalong madaling panahon.

Ang unang bagay na dapat mong bigyang pansin ay dapat mayroong isang zero sa kanang bahagi ng equation, at ang sign na nagkokonekta sa dalawang termino sa kaliwang bahagi ay dapat na isang plus.

Pangalawa, kailangang obserbahan ang ilang pagkakapantay-pantay, na nagpapatunay na ang differential equation na ito ay isang equation sa kabuuang differentials. Ang tseke na ito ay isang ipinag-uutos na bahagi ng algorithm para sa paglutas ng mga equation sa kabuuang mga pagkakaiba (ito ay nasa ikalawang talata ng araling ito), kaya ang proseso ng paghahanap ng isang function F medyo labor-intensive at mahalagang siguraduhin sa unang yugto na hindi tayo magsasayang ng oras.

Kaya, ang hindi kilalang function na kailangang matagpuan ay tinutukoy ng F. Ang kabuuan ng mga bahagyang pagkakaiba para sa lahat ng mga independiyenteng variable ay nagbibigay ng kabuuang pagkakaiba. Samakatuwid, kung ang equation ay isang kabuuang differential equation, ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuan ng partial differentials. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng kahulugan

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Alalahanin natin ang formula para sa pagkalkula ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable:

Ang paglutas ng huling dalawang pagkakapantay-pantay, maaari nating isulat

.

Iniiba namin ang unang pagkakapantay-pantay na may paggalang sa variable na "y", ang pangalawa - na may paggalang sa variable na "x":

.

na isang kundisyon para sa isang naibigay na differential equation upang maging tunay na total differential equation.

Algorithm para sa paglutas ng mga differential equation sa kabuuang differentials

Hakbang 1. Siguraduhin na ang equation ay isang kabuuang differential equation. Para sa pagpapahayag ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function F(x, y) ay kailangan at sapat upang . Sa madaling salita, kailangan mong kunin ang partial derivative na may kinalaman sa x at ang partial derivative na may kinalaman sa y isa pang termino at, kung ang mga derivatives na ito ay pantay, kung gayon ang equation ay isang kabuuang differential equation.

Hakbang 2. Isulat ang isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama ang unang equation ng system - sa pamamagitan ng x (y F:

,
y.

Ang isang alternatibong opsyon (kung mas madaling mahanap ang integral sa ganitong paraan) ay ang pagsamahin ang pangalawang equation ng system - sa pamamagitan ng y (x nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Sa ganitong paraan naibalik din ang function F:

,
kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng X.

Hakbang 4. Ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) ay pinag-iba ng y(sa kahalili - ayon sa x) at katumbas ng pangalawang equation ng system:

,

at sa isang alternatibong bersyon - sa unang equation ng system:

.

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin (alternatibo)

Hakbang 5. Ang resulta ng hakbang 4 ay ang pagsama-samahin at hanapin (sa kahalili, hanapin ).

Hakbang 6. Palitan ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C madalas na isinusulat pagkatapos ng equal sign - sa kanang bahagi ng equation. Kaya nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa differential equation sa kabuuang differentials. Ito, tulad ng nabanggit na, ay may anyo F(x, y) = C.

Mga halimbawa ng mga solusyon sa differential equation sa kabuuang differentials

Halimbawa 1.

Hakbang 1. equation sa kabuuang pagkakaiba x isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa y ibang termino
equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2. F:

Hakbang 3. Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng y.

Hakbang 4. y

.

.

Hakbang 5.

Hakbang 6. F. Arbitrary na pare-pareho C :
.

Anong error ang malamang na mangyari dito? Ang pinakakaraniwang pagkakamali ay ang pagkuha ng isang bahagyang integral sa isa sa mga variable para sa karaniwang integral ng isang produkto ng mga function at subukang pagsamahin sa pamamagitan ng mga bahagi o isang kapalit na variable, at gayundin na kunin ang partial derivative ng dalawang salik bilang derivative ng isang produkto ng mga function at hanapin ang derivative gamit ang kaukulang formula.

Dapat itong alalahanin: kapag kinakalkula ang isang bahagyang integral na may paggalang sa isa sa mga variable, ang isa ay pare-pareho at tinanggal mula sa tanda ng integral, at kapag kinakalkula ang bahagyang derivative na may paggalang sa isa sa mga variable, ang isa pa. ay isa ring pare-pareho at ang derivative ng expression ay matatagpuan bilang derivative ng variable na "kumikilos" na pinarami ng pare-pareho.

Among mga equation sa kabuuang pagkakaiba Karaniwang makahanap ng mga halimbawa na may exponential function. Ito ang susunod na halimbawa. Kapansin-pansin din ang katotohanan na ang solusyon nito ay gumagamit ng alternatibong opsyon.

Halimbawa 2. Lutasin ang differential equation

.

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa x isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa y ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2. Sumulat tayo ng isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama natin ang pangalawang equation ng system - sa pamamagitan ng y (x nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng X.

Hakbang 4. Pinag-iiba namin ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) na may kinalaman sa X

at katumbas ng unang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5. Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:
.

Hakbang 6. Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang kabuuan paglutas ng differential equation sa kabuuang differentials :
.

Sa sumusunod na halimbawa bumalik kami mula sa isang alternatibong opsyon sa pangunahing isa.

Halimbawa 3. Lutasin ang differential equation

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Hakbang 2. Sumulat tayo ng isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama natin ang unang equation ng system - Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng y.

Hakbang 4. Pinag-iiba namin ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) na may kinalaman sa y

at katumbas ng pangalawang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5. Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:

Hakbang 6. Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang kabuuan paglutas ng differential equation sa kabuuang differentials :
.

Halimbawa 4. Lutasin ang differential equation

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay isang kabuuang differential equation.

Hakbang 2. Sumulat tayo ng isang sistema ng mga partial differential equation na bumubuo sa function F:

Hakbang 3. Isama natin ang unang equation ng system - Sa pamamagitan ng x (y nananatiling pare-pareho at inalis sa integral sign). Kaya ibinabalik namin ang pag-andar F:

kung saan ay isang hindi pa kilalang function ng y.

Hakbang 4. Pinag-iiba namin ang resulta ng hakbang 3 (ang natagpuang pangkalahatang integral) na may kinalaman sa y

at katumbas ng pangalawang equation ng system:

Mula sa nagresultang equation natutukoy namin:
.

Hakbang 5. Isinasama namin ang resulta ng hakbang 4 at hanapin:

Hakbang 6. Pinapalitan namin ang resulta ng hakbang 5 sa resulta ng hakbang 3 - sa function na naibalik sa pamamagitan ng bahagyang pagsasama F. Arbitrary na pare-pareho C isulat pagkatapos ng equal sign. Kaya nakuha namin ang kabuuan paglutas ng differential equation sa kabuuang differentials :
.

Halimbawa 5. Lutasin ang differential equation

.

Hakbang 1. Siguraduhin natin na ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba . Upang gawin ito, nakita namin ang bahagyang derivative na may kinalaman sa y isang termino sa kaliwang bahagi ng expression

at ang partial derivative na may kinalaman sa x ibang termino
. Ang mga derivatives na ito ay pantay, na nangangahulugang ang equation ay equation sa kabuuang pagkakaiba .

Pahayag ng problema sa two-dimensional na kaso

Muling pagbuo ng isang function ng ilang variable mula sa kabuuang differential nito

9.1. Pahayag ng problema sa two-dimensional na kaso. 72

9.2. Paglalarawan ng solusyon. 72

Ito ay isa sa mga aplikasyon ng isang curvilinear integral ng pangalawang uri.

Ang expression para sa kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable ay ibinigay:

Hanapin ang function.

1. Dahil hindi lahat ng expression ng form ay isang kumpletong pagkakaiba ng ilang function U(x,y), pagkatapos ay kinakailangan upang suriin ang kawastuhan ng pahayag ng problema, iyon ay, upang suriin ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kabuuang kaugalian, na para sa isang function ng 2 mga variable ay may form . Ang kundisyong ito ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga pahayag (2) at (3) sa teorama ng nakaraang seksyon. Kung ang ipinahiwatig na kondisyon ay natutugunan, kung gayon ang problema ay may solusyon, iyon ay, isang function U(x,y) ay maaaring maibalik; kung ang kondisyon ay hindi natutugunan, kung gayon ang problema ay walang solusyon, iyon ay, ang pag-andar ay hindi maibabalik.

2. Makakahanap ka ng function mula sa kabuuang pagkakaiba nito, halimbawa, gamit ang isang curvilinear integral ng pangalawang uri, na kinakalkula ito mula sa isang linya na nagkokonekta sa isang nakapirming punto ( x 0 ,y 0) at variable point ( x;y) (kanin. 18):

Kaya, ito ay nakuha na ang curvilinear integral ng pangalawang uri ng kabuuang kaugalian dU(x,y) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng function U(x,y) sa dulo at simulang mga punto ng linya ng pagsasama.

Alam na ang resultang ito ngayon, kailangan nating palitan dU sa curvilinear integral expression at kalkulahin ang integral kasama ang putol na linya ( ACB), dahil sa kalayaan nito mula sa hugis ng linya ng pagsasama:

sa ( A.C.): sa ( NE) :

(1)

Kaya, ang isang formula ay nakuha sa tulong kung saan ang isang function ng 2 variable ay naibalik mula sa kabuuang pagkakaiba nito.

3. Posibleng ibalik ang isang function mula sa kabuuang pagkakaiba nito hanggang sa isang pare-parehong termino, dahil d(U+ const) = dU. Samakatuwid, bilang isang resulta ng paglutas ng problema, nakakakuha kami ng isang hanay ng mga function na naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang pare-parehong termino.

Mga halimbawa (muling pagbuo ng isang function ng dalawang variable mula sa kabuuang pagkakaiba nito)

1. Hanapin U(x,y), Kung dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Sinusuri namin ang kundisyon para sa kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable:

Ang kumpletong kundisyon ng kaugalian ay nasiyahan, na nangangahulugang ang pag-andar U(x,y) ay maaaring maibalik.

Suriin: – totoo.

Sagot: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Maghanap ng isang function tulad na

Sinusuri namin ang kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa kumpletong pagkakaiba ng isang function ng tatlong variable: , , , kung ang expression ay ibinigay.

Sa problemang nireresolba

lahat ng mga kondisyon para sa isang kumpletong kaugalian ay nasiyahan, samakatuwid, ang pag-andar ay maaaring maibalik (ang problema ay nabalangkas nang tama).

Ibabalik namin ang function gamit ang isang curvilinear integral ng pangalawang uri, kinakalkula ito kasama ang isang tiyak na linya na nagkokonekta sa isang nakapirming punto at isang variable na punto, dahil

(ang pagkakapantay-pantay na ito ay hinango sa parehong paraan tulad ng sa dalawang-dimensional na kaso).

Sa kabilang banda, ang isang curvilinear integral ng pangalawang uri mula sa isang kabuuang kaugalian ay hindi nakasalalay sa hugis ng linya ng pagsasama, kaya pinakamadaling kalkulahin ito sa isang putol na linya na binubuo ng mga segment na kahanay sa mga coordinate axes. Sa kasong ito, bilang isang nakapirming punto, maaari ka lamang kumuha ng isang punto na may mga tiyak na numerical coordinate, na sinusubaybayan lamang na sa puntong ito at sa buong linya ng pagsasama ay nasiyahan ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang curvilinear integral (iyon ay, upang ang mga function , at tuloy-tuloy). Isinasaalang-alang ang pangungusap na ito, sa problemang ito maaari nating kunin, halimbawa, ang puntong M 0 bilang isang nakapirming punto. Pagkatapos sa bawat isa sa mga link ng sirang linya ay magkakaroon tayo

10.2. Pagkalkula ng integral sa ibabaw ng unang uri. 79

10.3. Ang ilang mga aplikasyon ng integral sa ibabaw ng unang uri. 81

Ipinapakita kung paano makilala ang isang differential equation sa kabuuang differentials. Ang mga pamamaraan para sa paglutas nito ay ibinigay. Ang isang halimbawa ng paglutas ng isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba sa dalawang paraan ay ibinigay.

Nilalaman

Panimula

Ang isang first order differential equation sa kabuuang differentials ay isang equation ng form:
(1) ,
kung saan ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function na U (x, y) mula sa mga variable x, y:
.
Kung saan .

Kung ang ganitong function U ay natagpuan (x, y), pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo:
dU (x, y) = 0.
Ang pangkalahatang integral nito ay:
U (x, y) = C,
kung saan ang C ay isang pare-pareho.

Kung ang isang first order differential equation ay nakasulat sa mga tuntunin ng derivative nito:
,
pagkatapos ito ay madaling dalhin ito sa hugis (1) . Upang gawin ito, i-multiply ang equation sa dx. Tapos . Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang equation na ipinahayag sa mga tuntunin ng mga pagkakaiba:
(1) .

Property ng isang differential equation sa kabuuang differentials

Upang ang equation (1) ay isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba, ito ay kinakailangan at sapat para sa kaugnayan na magkaroon ng:
(2) .

Patunay

Ipinapalagay pa namin na ang lahat ng mga function na ginamit sa patunay ay tinukoy at may kaukulang mga derivative sa ilang hanay ng mga halaga ng mga variable na x at y. Punto x 0 , y 0 kabilang din sa lugar na ito.

Patunayan natin ang pangangailangan ng kondisyon (2).
Hayaan ang kaliwang bahagi ng equation (1) ay ang pagkakaiba ng ilang function na U (x, y):
.
Pagkatapos
;
.
Dahil ang pangalawang derivative ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod ng pagkita ng kaibhan, kung gayon
;
.
Kasunod nito iyon. Kondisyon ng pangangailangan (2) napatunayan.

Patunayan natin ang kasapatan ng kondisyon (2).
Hayaang masiyahan ang kundisyon (2) :
(2) .
Ipakita natin na posibleng makahanap ng ganoong function na U (x, y) na ang pagkakaiba nito ay:
.
Nangangahulugan ito na mayroong ganoong function na U (x, y), na nakakatugon sa mga equation:
(3) ;
(4) .
Maghanap tayo ng ganoong function. Isama natin ang equation (3) sa pamamagitan ng x mula sa x 0 sa x, sa pag-aakalang ang y ay isang pare-pareho:
;
;
(5) .
Nag-iiba tayo nang may kinalaman sa y, sa pag-aakala na ang x ay pare-pareho at nalalapat (2) :

.
Ang equation (4) ipapatupad kung
.
Isama ang higit sa y mula sa y 0 kay y:
;
;
.
Palitan sa (5) :
(6) .
Kaya, nakahanap kami ng isang function na ang pagkakaiba
.
Ang sapat ay napatunayan.

Sa formula (6) , U (x 0 , y 0) ay isang pare-pareho - ang halaga ng function na U (x, y) sa punto x 0 , y 0. Maaari itong italaga ng anumang halaga.

Paano makilala ang isang differential equation sa kabuuang differentials

Isaalang-alang ang differential equation:
(1) .
Upang matukoy kung ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba, kailangan mong suriin ang kundisyon (2) :
(2) .
Kung ito ay humahawak, kung gayon ang equation na ito ay nasa kabuuang mga pagkakaiba. Kung hindi, hindi ito isang kabuuang equation ng kaugalian.

Halimbawa

Suriin kung ang equation ay nasa kabuuang pagkakaiba:
.

Dito
, .
Nag-iiba tayo nang may kinalaman sa y, isinasaalang-alang ang x pare-pareho:


.
Magkaiba tayo


.
Dahil ang:
,
pagkatapos ang ibinigay na equation ay nasa kabuuang pagkakaiba.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga differential equation sa kabuuang differentials

Sequential differential extraction method

Ang pinakasimpleng paraan para sa paglutas ng isang equation sa kabuuang mga pagkakaiba ay ang paraan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng kaugalian. Upang gawin ito, gumagamit kami ng mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakasulat sa anyo ng kaugalian:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Sa mga formula na ito, ang u at v ay mga arbitrary na expression na binubuo ng anumang kumbinasyon ng mga variable.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation:
.

Dati nalaman namin na ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba. Ibahin natin ito:
(P1) .
Lutasin namin ang equation sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghihiwalay ng differential.
;
;
;
;

.
Palitan sa (P1):
;
.

Sunud-sunod na paraan ng pagsasama

Sa pamamaraang ito hinahanap namin ang function na U (x, y), na nagbibigay-kasiyahan sa mga equation:
(3) ;
(4) .

Pagsamahin natin ang equation (3) sa x, isinasaalang-alang ang y pare-pareho:
.
Dito φ (y)- isang arbitrary na function ng y na kailangang matukoy. Ito ay ang pare-pareho ng pagsasama. Palitan sa equation (4) :
.
Mula rito:
.
Pagsasama, nakita namin ang φ (y) at, kaya, U (x, y).

Halimbawa 2

Lutasin ang equation sa kabuuang differentials:
.

Dati nalaman namin na ang equation na ito ay nasa kabuuang pagkakaiba. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:
, .
Naghahanap ng Function U (x, y), ang pagkakaiba nito ay ang kaliwang bahagi ng equation:
.
Pagkatapos:
(3) ;
(4) .
Isama natin ang equation (3) sa x, isinasaalang-alang ang y pare-pareho:
(P2)
.
Magkaiba nang may paggalang sa y:

.
Palitan natin (4) :
;
.
Pagsamahin natin:
.
Palitan natin (P2):

.
Pangkalahatang integral ng equation:
U (x, y) = const.
Pinagsasama namin ang dalawang constants sa isa.

Paraan ng pagsasama sa isang kurba

Function U na tinukoy ng kaugnayan:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsasama ng equation na ito sa kahabaan ng curve na nagkokonekta sa mga puntos (x 0 , y 0) At (x, y):
(7) .
Dahil ang
(8) ,
kung gayon ang integral ay nakasalalay lamang sa mga coordinate ng inisyal (x 0 , y 0) at pangwakas (x, y) puntos at hindi nakadepende sa hugis ng kurba. Mula sa (7) At (8) nakita namin:
(9) .
Dito x 0 at y 0 - permanente. Samakatuwid U (x 0 , y 0)- pare-pareho din.

Ang isang halimbawa ng naturang kahulugan ng U ay nakuha sa patunay:
(6) .
Dito, ang pagsasama ay unang ginanap sa isang segment na kahanay sa y axis mula sa punto (x 0 , y 0 ) sa punto (x 0 , y). Pagkatapos ay isinasagawa ang pagsasama kasama ang isang segment na kahanay sa x axis mula sa punto (x 0 , y) sa punto (x, y) .

Sa pangkalahatan, kailangan mong kumatawan sa equation ng isang curve na nagkokonekta sa mga punto (x 0 , y 0 ) At (x, y) sa parametric form:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
at pagsamahin sa ibabaw ng t 1 mula sa t 0 sa t.

Ang pinakamadaling paraan upang maisagawa ang pagsasama ay sa isang segment na nagkokonekta sa mga punto (x 0 , y 0 ) At (x, y). Sa kasong ito:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Pagkatapos ng pagpapalit, nakukuha natin ang integral sa t ng 0 dati 1 .
Ang pamamaraang ito, gayunpaman, ay humahantong sa medyo masalimuot na mga kalkulasyon.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.

Maaaring mangyari na ang kaliwang bahagi ng differential equation

ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function:

at samakatuwid, ang equation (7) ay nasa anyo na .

Kung ang function ay isang solusyon sa equation (7), kung gayon , at, samakatuwid,

kung saan ang isang pare-pareho, at kabaligtaran, kung ang ilang function ay nagiging isang pagkakakilanlan ang finite equation (8), kung gayon, ang pag-iiba ng resultang pagkakakilanlan, makuha natin ang , at samakatuwid, , kung saan ang isang arbitrary na pare-pareho, ay ang pangkalahatang integral ng orihinal equation.

Kung ang mga paunang halaga ay ibinigay, kung gayon ang pare-pareho ay tinutukoy mula sa (8) at

ay ang gustong partial integral. Kung sa punto , ang equation (9) ay tinukoy bilang isang implicit function ng .

Upang ang kaliwang bahagi ng equation (7) ay maging isang kumpletong kaugalian ng ilang function , ito ay kinakailangan at sapat na

Kung ang kundisyong ito na tinukoy ni Euler ay nasiyahan, ang equation (7) ay madaling maisama. Talaga, . Sa kabila, . Kaya naman,

Kapag kinakalkula ang integral, ang dami ay itinuturing na pare-pareho, samakatuwid ito ay isang arbitrary na function ng . Upang matukoy ang function, iniiba namin ang nahanap na function na may kinalaman sa at, dahil , nakuha namin

Mula sa equation na ito natutukoy natin at, sa pamamagitan ng pagsasama, hanapin ang .

Tulad ng nalalaman mula sa kurso ng mathematical analysis, mas simple ang pagtukoy ng isang function sa pamamagitan ng kabuuang differential nito, na kumukuha ng curvilinear integral ng pagitan ng isang tiyak na takdang punto at isang punto na may variable na coordinate sa anumang landas:

Kadalasan, bilang isang integration path, ito ay maginhawa upang kumuha ng isang putol na linya na binubuo ng dalawang mga link parallel sa coordinate axes; sa kasong ito

Halimbawa. .

Ang kaliwang bahagi ng equation ay ang kabuuang pagkakaiba ng ilang function, dahil

Samakatuwid, ang pangkalahatang integral ay may anyo

Ang isa pang paraan para sa pagtukoy ng isang function ay maaaring gamitin:

Pinipili namin, halimbawa, ang pinagmulan ng mga coordinate bilang panimulang punto, at isang putol na linya bilang landas ng pagsasama. Pagkatapos

at ang pangkalahatang integral ay may anyo

Na tumutugma sa nakaraang resulta, na humahantong sa isang karaniwang denominator.

Sa ilang mga kaso, kapag ang kaliwang bahagi ng equation (7) ay hindi isang kumpletong kaugalian, madaling pumili ng isang function, pagkatapos ng multiply kung saan ang kaliwang bahagi ng equation (7) ay nagiging isang kumpletong pagkakaiba. Ang function na ito ay tinatawag integrating factor. Tandaan na ang multiplikasyon sa pamamagitan ng isang integrating factor ay maaaring humantong sa paglitaw ng mga hindi kinakailangang bahagyang solusyon na nagiging zero ang salik na ito.

Halimbawa. .

Malinaw, pagkatapos ng multiplikasyon sa isang kadahilanan, ang kaliwang bahagi ay nagiging isang kabuuang pagkakaiba. Sa katunayan, pagkatapos ng multiply sa makakakuha tayo

o, pagsasama-sama, . Ang multiply sa 2 at potentiating, mayroon tayong .

Siyempre, ang kadahilanan ng pagsasama ay hindi palaging pinipili nang napakadali. Sa pangkalahatang kaso, upang mahanap ang integrating factor, kinakailangan na pumili ng hindi bababa sa isang bahagyang solusyon ng equation sa mga partial derivatives, o sa pinalawak na anyo, na hindi kaparehong zero

na, pagkatapos hatiin at ilipat ang ilang termino sa ibang bahagi ng pagkakapantay-pantay, ay binabawasan sa anyo

Sa pangkalahatang kaso, ang pagsasama ng partial differential equation na ito ay hindi nangangahulugang isang mas simpleng gawain kaysa sa pagsasama ng orihinal na equation, ngunit sa ilang mga kaso ang pagpili ng isang partikular na solusyon sa equation (11) ay hindi mahirap.

Bilang karagdagan, kung isasaalang-alang na ang integrating factor ay isang function ng isang argumento lamang (halimbawa, ito ay isang function ng only o only , o isang function ng only , o only , atbp.), ang isa ay madaling maisama ang equation (11) at ipahiwatig ang mga kondisyon kung saan umiiral ang isang integrating factor ng uri na isinasaalang-alang. Tinutukoy nito ang mga klase ng equation kung saan madaling mahanap ang integrating factor.

Halimbawa, hanapin natin ang mga kondisyon kung saan ang equation ay mayroong integrating factor na nakadepende lamang sa , i.e. . Sa kasong ito, pinapasimple at ginagawa ng equation (11) ang anyo , kung saan, kung isasaalang-alang bilang isang tuluy-tuloy na function ng , nakukuha natin

Kung ay isang function lamang ng , pagkatapos ay isang integrating factor depende lamang sa , umiiral at katumbas ng (12), kung hindi, isang integrating factor ng form ay hindi umiiral.

Ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang integrating factor na depende lamang sa ay nasiyahan, halimbawa, para sa isang linear equation o . Sa katunayan, at samakatuwid . Ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng pagsasama-sama ng mga kadahilanan ng anyo, atbp., ay matatagpuan sa isang ganap na katulad na paraan.

Halimbawa. Ang equation ba ay may integrating factor ng form ?

Tukuyin natin ang . Ang equation (11) sa ay tumatagal ng anyo , kung saan o

Para sa pagkakaroon ng integrating factor ng isang partikular na uri, ito ay kinakailangan at, sa ilalim ng pagpapalagay ng continuity, sapat na ito ay isang function lamang . Sa kasong ito, samakatuwid, ang integrating factor ay umiiral at katumbas ng (13). Kapag natanggap namin. Ang pagpaparami ng orihinal na equation sa pamamagitan ng , binabawasan namin ito sa anyo

Pagsasama, nakukuha namin , at pagkatapos ng potentiation magkakaroon kami ng , o sa polar coordinates - isang pamilya ng logarithmic spirals.

Halimbawa. Hanapin ang hugis ng isang salamin na sumasalamin parallel sa isang ibinigay na direksyon ang lahat ng mga sinag na nagmumula sa isang tiyak na punto.

Ilagay natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa isang naibigay na punto at idirekta ang abscissa axis parallel sa direksyon na tinukoy sa mga kondisyon ng problema. Hayaang mahulog ang sinag sa salamin sa puntong iyon. Isaalang-alang natin ang isang seksyon ng salamin sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa abscissa axis at ang punto. Gumuhit tayo ng tangent sa seksyon ng ibabaw ng salamin na isinasaalang - alang sa punto . Dahil ang anggulo ng saklaw ng sinag ay katumbas ng anggulo ng pagmuni-muni, ang tatsulok ay isosceles. Kaya naman,

Ang resultang homogenous equation ay madaling isinama sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable, ngunit mas madali, napalaya mula sa irrationality sa denominator, na muling isulat ito sa anyo . Ang equation na ito ay may halatang integrating factor , , , (pamilya ng mga parabola).

Ang problemang ito ay maaaring malutas nang mas simple sa mga coordinate at , kung saan , at ang equation para sa seksyon ng mga kinakailangang ibabaw ay tumatagal ng anyo .

Posibleng patunayan ang pagkakaroon ng isang integrating factor, o, kung ano ang parehong bagay, ang pagkakaroon ng isang nonzero na solusyon sa partial differential equation (11) sa ilang domain kung ang mga function at may tuluy-tuloy na derivatives at hindi bababa sa isa sa mga ito hindi nawawala ang mga function. Samakatuwid, ang paraan ng pagsasanib na kadahilanan ay maaaring ituring bilang isang pangkalahatang pamamaraan para sa pagsasama ng mga equation ng anyo , gayunpaman, dahil sa kahirapan sa paghahanap ng salik ng pagsasanib, ang pamamaraang ito ay kadalasang ginagamit sa mga kaso kung saan ang integrating factor ay halata.