TEMA 3
	konsepto ng pagpapaandar ng pamamahagi
	inaasahan at pagkakaiba sa matematika
	pare-pareho (parihaba) pamamahagi
	normal (Gaussian) na pamamahagi
	Pamamahagi
	t- Pamamahagi ng mag-aaral
	F- pamamahagi
	distribusyon ng kabuuan ng dalawang random na independent variable
	halimbawa: pamamahagi ng kabuuan ng dalawang independyente pantay na ipinamamahagi na dami
	random variable na pagbabago
	halimbawa: pamamahagi ng isang harmonic wave na may random na yugto
	Central limit theorem
	mga sandali ng isang random na variable at ang kanilang mga katangian
LAYUNIN NG CYCLE LECTURES:		I-ULAT ANG INITIAL NA IMPORMASYON TUNGKOL SA PINAKAMAHALAGANG MGA FUNCTION SA DISTRIBUTION AT KANILANG MGA ARI-ARIAN

MGA TUNGKONG PAMAMAHAGI

Hayaan x(k) ay ilang random variable. Pagkatapos para sa anumang nakapirming halaga x isang random na kaganapan x(k) x tinukoy bilang set ng lahat ng posibleng resulta k ganyan x(k) x. Sa mga tuntunin ng orihinal na sukat ng probabilidad na ibinigay sa sample space, function ng pamamahagiP(x) tinukoy bilang ang posibilidad na itinalaga sa isang hanay ng mga puntos k x(k) x. Tandaan na ang hanay ng mga puntos k nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay x(k) x, ay isang subset ng hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay x(k) . Pormal

Obvious naman yun

Kung ang saklaw ng mga halaga ng random na variable ay tuloy-tuloy, na ipinapalagay sa ibaba, kung gayon density ng probabilidad(one-dimensional) p(x) ay natutukoy sa pamamagitan ng pagkakaiba sa kaugnayan

(4)

Dahil dito,

(6)

Upang maisaalang-alang ang mga discrete na kaso, kinakailangan na aminin ang pagkakaroon ng mga function ng delta sa komposisyon ng density ng probabilidad.

INAASAHANG HALAGA

Hayaan ang random variable x(k) kumukuha ng mga halaga mula sa hanay mula -  hanggang + . ibig sabihin(kung hindi, inaasahang halaga o inaasahang halaga) x(k) ay kinakalkula gamit ang kaukulang passage sa limitasyon sa kabuuan ng mga produkto ng mga halaga x(k) sa posibilidad na mangyari ang mga kaganapang ito:

(8)

saan E- mathematical na inaasahan ng expression sa mga square bracket ayon sa index k. Ang mathematical na inaasahan ng isang tunay na single-valued na tuluy-tuloy na function ay tinukoy nang katulad g(x) mula sa isang random na variable x(k)

(9)

saan p(x)- probability density ng isang random variable x(k). Sa partikular, ang pagkuha g(x)=x, nakukuha namin ibig sabihin ng square x(k) :

(10)

Pagpapakalatx(k) tinukoy bilang mean square ng pagkakaiba x(k) at ang average na halaga nito,

ibig sabihin, sa kasong ito g(x)= at

Sa pamamagitan ng kahulugan, karaniwang lihis random variable x(k), denoted , ay ang positibong halaga ng square root ng variance. Ang karaniwang paglihis ay sinusukat sa parehong mga yunit bilang ang ibig sabihin.

PINAKAMAHALAGANG MGA TUNGKONG PAMAMAHAGI

UNIFORM (RECTANGULAR) DISTRIBUTION.

Ipagpalagay natin na ang eksperimento ay binubuo sa isang random na pagpili ng isang punto mula sa pagitan [ a,b] , kasama ang mga endpoint nito. Sa halimbawang ito, bilang ang halaga ng isang random na variable x(k) maaari mong kunin ang numeric na halaga ng napiling punto. Ang kaukulang function ng pamamahagi ay may form

Samakatuwid, ang probability density ay ibinibigay ng formula

Sa halimbawang ito, ang pagkalkula ng mean at variance gamit ang mga formula (9) at (11) ay nagbibigay

NORMAL (GAUSSIAN) DISTRIBUTION

, - arithmetic mean, - RMS.

Ang halaga ng z na tumutugma sa probabilidad P(z)=1-, i.e.

CHI - SQUARE DISTRIBUTION

Hayaan - n independiyenteng random na mga variable, ang bawat isa ay may normal na distribusyon na may zero mean at unit variance.

Chi-squared random variable na may n degree ng kalayaan.

density ng probabilidad.

DF: 100 - porsyento ng mga puntos - ang mga pamamahagi ay tinutukoy ng , ibig sabihin.

mean at variance ay pantay

t - PAGHAHATI NG MAG-AARAL

y, z ay mga independiyenteng random na variable; y - may - distribusyon, z - normal na ipinamamahagi na may zero mean at unit variance.

halaga - mayroon t- Pamamahagi ng mag-aaral na may n antas ng kalayaan

DF: 100 - percentage point t - ipinahiwatig ang pamamahagi

Ang ibig sabihin at pagkakaiba ay pantay

F - PAHAGI

Mga independiyenteng random na variable; may - pamamahagi na may mga antas ng kalayaan; pamamahagi na may mga antas ng kalayaan. Random na halaga:

,

Ang F ay isang distributed random variable na may at mga antas ng kalayaan.

,

DF: 100 - porsyento ng punto:

Ang ibig sabihin at pagkakaiba ay pantay:

DISTRIBUTION NG HALAGA

DALAWANG RANDOM NA VARIABLE

Hayaan x(k) at y(k) ay mga random na variable na mayroong joint probability density p(x,y). Hanapin ang probability density ng kabuuan ng mga random na variable

Sa isang nakapirming x meron kami y=z–x. kaya lang

Sa isang nakapirming z mga halaga x patakbuhin ang pagitan mula – hanggang +. kaya lang

(37)

kung saan makikita na upang makalkula ang nais na densidad ng kabuuan, dapat malaman ng isa ang orihinal na pinagsamang probability density. Kung ang x(k) at y(k) ay mga independiyenteng random na variable na may mga densidad at, ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos at

(38)

HALIMBAWA: ANG SUM NG DALAWANG INDEPENDENT, UNIFORMLY DISTRIBUTED RANDOM VARIABLE.

Hayaang ang dalawang random na independiyenteng variable ay may densidad ng anyo

Sa ibang mga kaso Hanapin natin ang probability density p(z) ng kanilang kabuuan z= x+ y.

Probability Density para sa ibig sabihin, para sa Dahil dito, x mas mababa sa z. Bilang karagdagan, ay hindi katumbas ng zero para sa Sa pamamagitan ng formula (38), nakita namin iyon

Ilustrasyon:

Ang probability density ng kabuuan ng dalawang independiyenteng, pare-parehong ibinahagi ng mga random na variable.

RANDOM CONVERSION

MGA HALAGA

Hayaan x(t)- random na variable na may probability density p(x), bumitaw g(x) ay isang single-valued na tunay na tuluy-tuloy na function ng x. Isaalang-alang muna ang kaso kapag ang inverse function x(g) ay isa ring pinahahalagahan na tuluy-tuloy na function ng g. Probability Density p(g), naaayon sa isang random na variable g(x(k)) = g(k), maaaring matukoy mula sa probability density p(x) random variable x(k) at derivative dg/dx sa ilalim ng pagpapalagay na ang derivative ay umiiral at iba sa zero, ibig sabihin:

(12)

Samakatuwid, sa limitasyon dg/dx#0

(13)

Gamit ang formula na ito, sumusunod sa kanang bahagi nito sa halip na isang variable x palitan ang naaangkop na halaga g.

Isaalang-alang ngayon ang kaso kapag ang inverse function x(g) ay pwede n-pinapahalagahang tungkulin ng g, saan n ay isang integer at lahat ng mga halaga ay pantay na maaaring mangyari. Pagkatapos

(14)

HALIMBAWA:

DISTRIBUTION NG HARMONIC FUNCTION.

Harmonic function na may nakapirming amplitude X at dalas f magiging random variable kung ang anggulo ng paunang bahagi nito  =  (k)- random na halaga. Sa partikular, hayaan t naayos at pantay t o, at hayaan ang harmonic random variable na magkaroon ng form

Magpanggap na tayo  (k) ay may pare-parehong probability density p( ) mabait

Hanapin ang probability density p(x) random variable x(k).

Sa halimbawang ito, ang direktang pag-andar x( ) hindi malabo, at ang kabaligtaran na pag-andar  (x) malabo.

Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang mahanap ang batas sa pamamahagi para sa kabuuan ng mga random na variable.

Magkaroon ng sistema (X b X 2) dalawang tuloy-tuloy na s. sa. at ang kanilang kabuuan

Hanapin natin ang density ng pamamahagi c. sa. U. Alinsunod sa pangkalahatang solusyon ng nakaraang talata, makikita natin ang rehiyon ng eroplano kung saan x + x 2 (Larawan 9.4.1):

Ang pagkakaiba sa ekspresyong ito na may paggalang sa y, nakakakuha tayo ng isang ap. random variable Y \u003d X + X 2:

Dahil ang function na φ (x b x 2) = Xj + x 2 ay simetriko sa mga argumento nito, kung gayon

Kung kasama. sa. X at X 2 ay independyente, pagkatapos ay ang mga formula (9.4.2) at (9.4.3) ay kunin ang form:

Sa kaso kapag nagsasarili c. sa. x x at X 2, pag-usapan ang komposisyon ng mga batas sa pamamahagi. Gumawa komposisyon dalawang batas sa pamamahagi - nangangahulugan ito ng paghahanap ng batas sa pamamahagi para sa kabuuan ng dalawang independyente c. c., ibinahagi ayon sa mga batas na ito. Ang simbolikong notasyon ay ginagamit upang italaga ang komposisyon ng mga batas sa pamamahagi

na mahalagang tinutukoy ng mga formula (9.4.4) o (9.4.5).

Halimbawa 1. Ang gawain ng dalawang teknikal na aparato (TD) ay isinasaalang-alang. Una, gumagana ang TU pagkatapos ng pagkabigo nito (pagkabigo) ay kasama sa pagpapatakbo ng TU 2. Uptime TU TU TU 2 - x x at X 2 - ay independyente at ipinamahagi ayon sa mga exponential na batas na may mga parameter na A,1 at X 2 . Samakatuwid, ang oras Y walang problema na operasyon ng TU, na binubuo ng TU! at TU 2 ay matutukoy ng formula

Kinakailangang maghanap ng p.r. random variable Y, ibig sabihin, ang komposisyon ng dalawang exponential na batas na may mga parameter at X 2 .

Solusyon. Sa pamamagitan ng formula (9.4.4) nakukuha natin ang (y > 0)

Kung mayroong komposisyon ng dalawang exponential na batas na may parehong mga parameter (?c = X 2 = Y), pagkatapos ay sa expression (9.4.8) isang kawalan ng katiyakan ng uri 0/0 ay nakuha, pagpapalawak kung saan, makuha namin:

Kung ihahambing ang expression na ito sa expression (6.4.8), kumbinsido kami na ang komposisyon ng dalawang magkaparehong exponential na batas (?c = X 2 = x) ay ang pangalawang-order na batas ng Erlang (9.4.9). Kapag bumubuo ng dalawang exponential na batas na may magkakaibang mga parameter x x at makakuha ng A-2 second-order generalised Erlang law (9.4.8). ?

Suliranin 1. Ang batas ng pamamahagi ng pagkakaiba ng dalawang s. sa. System na may. sa. (X at X 2) ay may magkasanib na r.p./(x x x 2). Maghanap ng p.r. kanilang pagkakaiba Y=X - X 2 .

Solusyon. Para sa sistemang may sa. (X b - X 2) atbp. ay magiging / (x b - x 2), ibig sabihin, pinalitan namin ang pagkakaiba ng kabuuan. Samakatuwid, a.r. Ang random variable na U ay magkakaroon ng form (tingnan ang (9.4.2), (9.4.3)):

Kung ang Sa. sa. X x iX 2 independyente, kung gayon

Halimbawa 2. Humanap ng f.r. ang pagkakaiba ng dalawang independent exponentially distributed s. sa. may mga parameter x x at X 2 .

Solusyon. Ayon sa formula (9.4.11) nakukuha natin

kanin. 9.4.2 kanin. 9.4.3

Ang Figure 9.4.2 ay nagpapakita ng isang p. g(y). Kung isasaalang-alang natin ang pagkakaiba ng dalawang independiyenteng exponentially distributed s. sa. na may parehong mga parameter (A-i= X 2 = PERO,), pagkatapos g(y) \u003d / 2 - pamilyar na

Batas ni Laplace (Larawan 9.4.3). ?

Halimbawa 3. Hanapin ang batas sa pamamahagi para sa kabuuan ng dalawang magkahiwalay c. sa. X at X 2, ipinamahagi ayon sa batas ng Poisson na may mga parameter isang x at a 2 .

Solusyon. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,

Samakatuwid, s. sa. Y= X x + X 2 ibinahagi ayon sa batas ng Poisson na may parameter a x2) - a x + a 2. ?

Halimbawa 4. Hanapin ang batas sa pamamahagi para sa kabuuan ng dalawang magkahiwalay c. sa. x x at X 2, ibinahagi ayon sa binomial na batas na may mga parameter p x ri p 2 , p ayon sa pagkakabanggit.

Solusyon. Imagine with. sa. x x bilang:

saan X 1) - tagapagpahiwatig ng kaganapan PERO wu "ang karanasan:

Saklaw ng pamamahagi na may. sa. Ang X,- ay may anyo

Gagawa kami ng katulad na representasyon para sa s. sa. X 2: kung saan X] 2) - tagapagpahiwatig ng kaganapan PERO sa y"-th na karanasan:

Dahil dito,

nasaan si X? 1)+(2) kung ang tagapagpahiwatig ng kaganapan PERO:

Kaya, ipinakita namin iyon sa. Dami ng biyenan (u + n 2) mga tagapagpahiwatig ng kaganapan PERO, kung saan ito sumusunod na s. sa. ^ibinahagi ayon sa binomial na batas na may mga parameter ( n x + n 2), p.

Tandaan na kung ang mga probabilidad R sa iba't ibang serye ng mga eksperimento ay naiiba, pagkatapos ay bilang isang resulta ng pagdaragdag ng dalawang independiyenteng s. c., ibinahagi ayon sa binomial na batas, lumalabas na c. c., ibinahagi hindi ayon sa binomial na batas. ?

Ang mga halimbawa 3 at 4 ay madaling gawing pangkalahatan sa isang arbitrary na bilang ng mga termino. Kapag binubuo ang mga batas ni Poisson na may mga parameter a b a 2 , ..., isang t Ang batas ni Poisson ay muling nakuha gamit ang parameter a (t) \u003d a x + a 2 + ... + at t.

Kapag bumubuo ng mga binomial na batas na may mga parameter (n r); (i 2, R) , (n t, p) muli nating makuha ang binomial na batas na may mga parameter (“(“), R), saan n (t) \u003d u + n 2 + ... + atbp.

Napatunayan namin ang mahahalagang katangian ng batas ni Poisson at ng binomial na batas: ang "pag-aari ng katatagan". Ang batas sa pamamahagi ay tinatawag napapanatiling, kung ang komposisyon ng dalawang batas ng parehong uri ay nagreresulta sa isang batas ng parehong uri (ang mga parameter lamang ng batas na ito ay naiiba). Sa Subsection 9.7 ipapakita namin na ang normal na batas ay may parehong stability property.

Ang isang napakahalagang object ng probability theory ay ang kabuuan ng mga independent random variable. Ito ay ang pag-aaral ng distribusyon ng mga kabuuan ng mga independiyenteng random na variable na naglatag ng pundasyon para sa pagbuo ng mga analytical na pamamaraan ng probability theory.

Pamamahagi ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable

Sa seksyong ito, kukuha tayo ng pangkalahatang formula na nagbibigay-daan sa amin na kalkulahin ang distribution function ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable, at isaalang-alang ang ilang mga halimbawa.

Pamamahagi ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na variable. Convolution formula

mga independiyenteng random na variable na may mga function ng pamamahagi

ayon sa pagkakabanggit

Pagkatapos ay ang distribution function F kabuuan ng mga random na variable

maaaring kalkulahin gamit ang sumusunod na formula ( convolution formula)

Upang patunayan ito, ginagamit namin ang teorama ni Fubini.

Ang ikalawang bahagi ng pormula ay napatunayang katulad.

Distribution density ng kabuuan ng dalawang independent random variable

Kung ang mga distribusyon ng parehong mga random na variable ay may mga densidad, kung gayon ang density ng kabuuan ng mga random na variable na ito ay maaaring kalkulahin ng formula

Kung ang distribusyon ng isang random na variable (o ) ay may density, kung gayon ang density ng kabuuan ng mga random na variable na ito ay maaaring kalkulahin ng formula

Upang patunayan ang mga pahayag na ito, sapat na ang paggamit ng kahulugan ng density.

Maramihang mga convolutions

Ang pagkalkula ng kabuuan ng isang may hangganang bilang ng mga independiyenteng random na variable ay isinasagawa gamit ang sequential application ng convolution formula. Pag-andar ng pamamahagi ng kabuuan k independent identically distributed random variables na may distribution function F

tinawag k–fold convolution ng distribution function F at ipinapahiwatig

Mga halimbawa ng pagkalkula ng distribusyon ng mga kabuuan ng mga independiyenteng random na variable

Sa talatang ito, ang mga halimbawa ng mga sitwasyon ay ibinigay, kapag nagsusuma ng mga random na variable, ang anyo ng pamamahagi ay napanatili. Ang mga patunay ay mga pagsasanay sa pagbubuo at pagkalkula ng mga integral.

Mga kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Normal na pamamahagi

Mga kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Binomial distribution

Mga kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Poisson distribution

Mga kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Pamamahagi ng gamma

Proseso ng Poisson

isang pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng magkaparehong distributed na mga random na variable na mayroong exponential distribution na may parameter

Random na pagkakasunud-sunod ng mga puntos

sa non-negatibong semi-axis ay tinatawag Proseso ng Poisson (punto)..

Kalkulahin natin ang pamamahagi ng bilang ng mga puntos

Proseso ng Poisson sa pagitan (0,t)

katumbas, kaya

Ngunit ang pamamahagi ng random variable

ay isang Erlang distribution ng order k, kaya

Kaya, ang pamamahagi ng bilang ng mga punto ng proseso ng Poisson sa pagitan (o,t) ay isang Poisson distribution na may parameter.

Ang proseso ng Poisson ay ginagamit upang gayahin ang mga sandali ng paglitaw ng mga random na kaganapan - ang proseso ng radioactive decay, ang mga sandali ng pagtanggap ng mga tawag sa palitan ng telepono, ang mga sandali ng paglitaw ng mga customer sa sistema ng serbisyo, ang mga sandali ng pagkabigo ng kagamitan.

Gamitin natin ang pangkalahatang pamamaraan sa itaas upang malutas ang isang problema, ibig sabihin, upang mahanap ang batas ng pamamahagi para sa kabuuan ng dalawang random na variable. Mayroong sistema ng dalawang random na variable (X,Y) na may density ng distribution f(x,y).

Isaalang-alang ang kabuuan ng mga random na variable X at Y: at hanapin ang batas ng pamamahagi ng halagang Z. Upang gawin ito, bumuo kami ng isang linya sa xOy plane, ang equation kung saan (Larawan 6.3.1). Ito ay isang tuwid na linya na pinuputol ang mga segment na katumbas ng z sa mga palakol. Diretso hinahati ang xy plane sa dalawang bahagi; sa kanan at sa itaas ; kaliwa at ibaba

Ang Rehiyon D sa kasong ito ay ang ibabang kaliwang bahagi ng xOy plane, na may shade sa Fig. 6.3.1. Ayon sa formula (6.3.2) mayroon tayong:

Ito ang pangkalahatang formula para sa density ng pamamahagi ng kabuuan ng dalawang random na variable.

Para sa mga kadahilanan ng simetrya ng problema na may paggalang sa X at Y, maaari tayong sumulat ng isa pang bersyon ng parehong formula:

Kinakailangang gumawa ng komposisyon ng mga batas na ito, ibig sabihin, upang mahanap ang batas ng pamamahagi ng dami: .

Inilapat namin ang pangkalahatang formula para sa komposisyon ng mga batas sa pamamahagi:

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa formula na naranasan na natin

at ito ay walang iba kundi isang normal na batas na may dispersion center

Ang parehong konklusyon ay maaaring maabot nang mas madali sa tulong ng sumusunod na husay na pangangatwiran.

Nang hindi binubuksan ang mga bracket at hindi nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo sa integrand (6.3.3), agad nating naiisip na ang exponent ay isang square trinomial na may kinalaman sa x ng form

kung saan ang halaga ng z ay hindi kasama sa coefficient A, kasama ito sa coefficient B sa unang degree, at ang coefficient C ay kasama sa square. Sa pag-iisip nito at paglalapat ng formula (6.3.4), napagpasyahan namin na ang g(z) ay isang exponential function, ang exponent nito ay isang square trinomial na may paggalang sa z, at ang density ng pamamahagi; ng ganitong uri ay tumutugma sa normal na batas. Kaya, kami; dumating tayo sa isang puro husay na konklusyon: ang batas ng pamamahagi ng z ay dapat na normal. Upang mahanap ang mga parameter ng batas na ito - at - gamitin ang theorem ng pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika at ang theorem ng pagdaragdag ng mga pagkakaiba. Ayon sa karagdagan theorem ng matematikal na mga inaasahan . Ayon sa variance addition theorem o kung saan sumusunod ang formula (6.3.7).

Ang pagpasa mula sa root-mean-square deviations hanggang sa mga probable deviations na proporsyonal sa kanila, nakukuha natin ang:
.

Kaya, nakarating tayo sa sumusunod na panuntunan: kapag binubuo ang mga normal na batas, isang normal na batas ang muling makukuha, at ang mga inaasahan at pagkakaiba sa matematika (o mga squared probable deviations) ay nabubuod.

Ang panuntunan sa komposisyon para sa mga normal na batas ay maaaring gawing pangkalahatan sa kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng random na variable.

Kung mayroong n independiyenteng random na variable: napapailalim sa mga normal na batas na may mga dispersion center at standard deviations , ang halaga ay napapailalim din sa normal na batas na may mga parameter

Kung ang sistema ng mga random na variable (X, Y) ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas, ngunit ang mga dami ng X, Y ay nakasalalay, kung gayon madali itong patunayan, tulad ng dati, batay sa pangkalahatang formula (6.3.1), na ang batas ng pamamahagi ng dami ay isa ring normal na batas. Ang mga scattering center ay nagdaragdag pa rin ng algebraically, ngunit para sa mga karaniwang deviations ang panuntunan ay nagiging mas kumplikado: , kung saan, ang r ay ang koepisyent ng ugnayan ng mga halaga ng X at Y.

Kapag nagdaragdag ng ilang dependent random variable na sa kabuuan ng mga ito ay sumusunod sa normal na batas, ang batas ng pamamahagi ng kabuuan ay lumalabas na normal din sa mga parameter

kung saan ang koepisyent ng ugnayan ng mga dami X i , X j , at ang pagsusuma ay umaabot sa lahat ng magkakaibang magkapares na kumbinasyon ng mga dami .

Nakita natin ang isang napakahalagang pag-aari ng normal na batas: kapag pinagsama-sama ang mga normal na batas, ang isa ay muling makakakuha ng isang normal na batas. Ito ang tinatawag na "stability property". Ang isang batas sa pamamahagi ay sinasabing matatag kung, sa pamamagitan ng pagbuo ng dalawang batas ng ganitong uri, ang isang batas ng parehong uri ay muling nakuha. Ipinakita namin sa itaas na ang normal na batas ay matatag. Napakakaunting mga batas sa pamamahagi ang may pag-aari ng katatagan. Ang batas ng pare-parehong density ay hindi matatag: kapag bumubuo ng dalawang batas ng pare-parehong density sa mga seksyon mula 0 hanggang 1, nakuha namin ang batas ni Simpson.

Ang katatagan ng isang normal na batas ay isa sa mga mahahalagang kondisyon para sa malawak na aplikasyon nito sa pagsasagawa. Gayunpaman, ang pag-aari ng katatagan, bilang karagdagan sa normal, ay mayroon din ng ilang iba pang mga batas sa pamamahagi. Ang isang tampok ng normal na batas ay kapag ang isang sapat na malaking bilang ng mga praktikal na arbitrary na batas sa pamamahagi ay binubuo, ang kabuuang batas ay lumalabas na arbitraryong malapit sa normal, anuman ang mga batas sa pamamahagi ng mga termino. Ito ay maaaring ilarawan, halimbawa, sa pamamagitan ng pagbubuo ng komposisyon ng tatlong batas ng pare-parehong density sa mga seksyon mula 0 hanggang 1. Ang resultang batas sa pamamahagi g(z) ay ipinapakita sa fig. 6.3.1. Tulad ng makikita mula sa pagguhit, ang graph ng function na g(z) ay halos kapareho sa graph ng normal na batas.

Hayaang magkaroon ng sistema ng dalawang random na variable X at Y, na kilala ang pinagsamang pamamahagi. Ang gawain ay upang mahanap ang pamamahagi ng isang random na variable. Bilang mga halimbawa ng SV Z maaari kang magdala ng kita mula sa dalawang negosyo; ang bilang ng mga botante na bumoto sa isang tiyak na paraan mula sa dalawang magkaibang presinto; ang kabuuan ng mga puntos sa dalawang dice.

1. Ang kaso ng dalawang DSV. Anuman ang mga halaga na kinuha ng mga discrete CV (sa anyo ng isang finite decimal fraction, na may iba't ibang hakbang), ang sitwasyon ay halos palaging mababawasan sa sumusunod na partikular na kaso. Dami X at Y maaari lamang kumuha ng mga halaga ng integer, i.e. saan . Kung sa una ay mga decimal fraction ang mga ito, maaari silang gawing integer sa pamamagitan ng pagpaparami ng 10 k. At ang mga nawawalang halaga sa pagitan ng mga mataas at mababa ay maaaring italaga ng mga zero na probabilidad. Hayaang malaman ang joint probability distribution. Pagkatapos, kung binibilangan natin ang mga row at column ng matrix ayon sa mga patakaran: , kung gayon ang posibilidad ng kabuuan ay:

Ang mga elemento ng matrix ay idinagdag sa isa sa mga diagonal.

2. Ang kaso ng dalawang NSW. Hayaang malaman ang joint distribution density. Pagkatapos ang density ng pamamahagi ng kabuuan:

Kung ang X at Y malaya, ibig sabihin. , pagkatapos

Halimbawa 1 X , Y– independyente, pantay na ipinamahagi SW:

Hanapin natin ang density ng pamamahagi ng random variable .

Obvious naman yun ,

SW Z maaaring kumuha ng mga halaga sa pagitan ( c+d; a+b), ngunit hindi para sa lahat x. sa labas ng agwat na ito. Sa coordinate plane ( x, z) ang hanay ng mga posibleng halaga ng dami z ay isang paralelogram na may mga gilid x=Sa; x=a; z=x+d; z=x+b. Sa formula para sa mga limitasyon ng pagsasama ay magiging c at a. Gayunpaman, dahil sa ang katunayan na sa kapalit y=z-x, para sa ilang halaga z function . Halimbawa, kung c , pagkatapos ay sa z=x+c at anuman x Magkakaroon: . Samakatuwid, ang pagkalkula ng integral ay dapat na isagawa nang hiwalay para sa iba't ibang lugar ng pagbabago sa halaga z, sa bawat isa kung saan ang mga limitasyon ng pagsasama ay magkakaiba, ngunit para sa lahat x at z. Gagawin namin ito para sa espesyal na kaso kung kailan a+d< b+c . Isaalang-alang natin ang tatlong magkakaibang rehiyon ng pagbabago sa dami z at para sa bawat isa sa kanila ay makikita natin.

1) c+d ≤ z ≤ a+d. Pagkatapos

2) a+d ≤ z ≤ b+c. Pagkatapos

3) b+c ≤ z ≤ a+b. Pagkatapos

Ang pamamahagi na ito ay tinatawag na batas ni Simpson. Ang mga figure 8, 9 ay nagpapakita ng mga graph ng SW distribution density sa Sa=0, d=0.