Direkta at kabaligtaran na pagbabago ng cosine. Fourier transform Fourier integral Complex form ng integral Fourier transform Cosine at sine transforms Amplitude at phase spectra Application properties

I. Nagbabagong anyo si Fourier.

Kahulugan 1. Function

tinawag Fourier na pagbabago mga function.

Ang integral dito ay nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing halaga

at pinaniniwalaang umiiral.

Kung ay isang ganap na pinagsama-samang function sa ℝ, pagkatapos, dahil para sa , ang Fourier transform (1) ay may katuturan para sa anumang ganoong function, at ang integral (1) ay ganap na nagtatagpo at pantay na may paggalang sa buong linya ℝ.

Kahulugan 2. Kung ang ay ang Fourier transform ng function
, pagkatapos ay ang nauugnay na integral

Nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing kahulugan, ay tinatawag Fourier integral ng function .

Halimbawa 1 Hanapin ang Fourier Transform ng isang Function

Ang ibinigay na function ay ganap na maisasama sa , sa katunayan,

Kahulugan 3. Nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing halaga ng mga integral

Pinangalanan nang naaayon cosine- at sine Fourier transform function .

Ipagpalagay , , , nakuha namin, sa bahagi, ang kaugnayan na pamilyar sa amin mula sa seryeng Fourier

Tulad ng makikita mula sa mga relasyon (3), (4),

Ang mga formula (5), (6) ay nagpapakita na ang Fourier transform ay ganap na tinukoy sa buong linya kung ang mga ito ay kilala lamang para sa mga hindi negatibong halaga ng argumento.

Halimbawa 2 Hanapin ang cosine - at sine - Fourier transform ng isang function

Tulad ng ipinapakita sa Halimbawa 1, ang ibinigay na function ay ganap na maisasama sa .

Hanapin natin ang cosine nito - Fourier transform ayon sa formula (3):

Katulad nito, hindi mahirap hanapin ang sine - Fourier transform ng function f(x) sa pamamagitan ng formula (4):

Gamit ang Mga Halimbawa 1 at 2, madaling i-verify sa pamamagitan ng direktang pagpapalit para sa f(x) relasyon (5) ay nasiyahan.

Kung ang function ay real-valued, ang mga formula (5), (6) sa kasong ito ay nagpapahiwatig

Dahil sa kasong ito at ay tunay na mga function sa R, na kung saan ay maliwanag mula sa kanilang mga kahulugan (3), (4). Gayunpaman, pagkakapantay-pantay (7) sa ilalim ng kondisyon ay nakuha din nang direkta mula sa kahulugan (1) ng Fourier transform, kung isasaalang-alang natin na ang tanda ng conjugation ay maaaring ilagay sa ilalim ng integral sign. Ang huling obserbasyon ay nagbibigay-daan sa amin upang tapusin na ang anumang function ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay

Kapaki-pakinabang din na tandaan na kung ay isang tunay at pantay na function, ibig sabihin, , pagkatapos

kung ay isang tunay at kakaibang function, ibig sabihin, , pagkatapos

At kung ay isang purong haka-haka na function, i.e. . , pagkatapos

Tandaan na kung ito ay isang real-valued function, ang Fourier integral ay maaari ding isulat sa form

saan

Halimbawa 3
(nagpapalagay )

dahil alam natin ang halaga ng integral na Dirichlet

Ang function na isinasaalang-alang sa halimbawa ay hindi ganap na pinagsama-sama at ang Fourier transform nito ay may mga discontinuities. Ang katotohanan na ang Fourier transform ng ganap na pinagsama-samang mga function ay walang mga discontinuities ay ipinapakita ng mga sumusunod

Lemma 1. Kung ang function locally integrable at absolutely integrable on , pagkatapos

a) ang Fourier transform nito tinukoy para sa anumang halaga

Alalahanin na kung ay isang tunay o kumplikadong pinahahalagahan na function na tinukoy sa isang bukas na hanay, pagkatapos ay ang function tinawag locally integrable sa, kung mayroon man tuldok ay may isang kapitbahayan kung saan ang function ay integrable. Sa partikular, kung , ang kondisyon ng lokal na pagkakaisa ng function ay malinaw na katumbas ng katotohanang iyon para sa anumang segment.

Halimbawa 4 Hanapin ang Fourier transform ng function :

Ang pagkakaiba-iba ng huling integral na may paggalang sa parameter at pagkatapos ay pagsasama-sama ng mga bahagi, nakita namin iyon

Ibig sabihin, , kung saan ang isang pare-pareho, na, gamit ang Euler-Poisson integral, makikita natin mula sa kaugnayan

Kaya, natagpuan namin na , at sa parehong oras ay nagpakita na , at .

Kahulugan 4. Sinasabi nila na ang pag-andar , na tinukoy sa isang butas na kapitbahayan ng punto , natutugunan ang mga kundisyon ng Dini sa punto kung

a) ang parehong isang panig na mga limitasyon ay umiiral sa punto

b) parehong integral

sumasang-ayon nang lubusan.

Ganap na tagpo ng integral nangangahulugan ng ganap na tagpo ng integral kahit man lang para sa ilang halaga ng .

Sapat na mga kundisyon para sa representability ng isang function ng isang Fourier integral.

Teorama 1.Kung ganap na maisasama sa at lokal na pira-pirasong tuluy-tuloy na pag-andar nasiyahan sa punto Dini kundisyon, pagkatapos ay ang Fourier integral nito ay nagtatagpo sa puntong ito, at sa halaga

katumbas ng kalahati ng kabuuan ng kaliwa at kanang mga limitasyon ng mga halaga ng function sa puntong ito.

Bunga 1.Kung ang function tuloy-tuloy, mayroon sa bawat punto may hangganang one-sided derivatives at ganap na maisasama sa , pagkatapos ay lilitaw ito bilang kasama ang integral na Fourier nito

saan Fourier na pagbabago ng isang function .

Ang representasyon ng isang function ng Fourier integral ay maaaring muling isulat bilang:

Magkomento. Ang mga kundisyon sa function na nabuo sa Theorem 1 at Corollary 1 ay sapat ngunit hindi kinakailangan para sa posibilidad ng naturang representasyon.

Halimbawa 5 Katawan ang function bilang isang Fourier integral kung

Ang function na ito ay kakaiba at tuloy-tuloy sa ℝ, maliban sa mga puntos na , , .

Dahil sa kakaiba at pagiging totoo ng function, mayroon kaming:

at mula sa pagkakapantay-pantay (5) at (10) sinusundan iyon

Sa mga punto ng pagpapatuloy ng function na mayroon kami:

Ngunit ang pag-andar ay kakaiba, kaya

dahil ang integral ay kinakalkula sa kahulugan ng pangunahing halaga.

Ang function ay kahit na, kaya

kung , . Para sa , ang pagkakapantay-pantay

Sa pag-aakalang , mula dito makikita natin

Kung ilalagay natin ang huling expression para sa , kung gayon

Sa pag-aakalang dito, nahanap namin

Kung ang isang real-valued function ay piecewise na tuloy-tuloy sa alinmang segment ng totoong linya, ganap na pinagsama-sama at may hangganan na one-sided derivatives sa bawat punto, pagkatapos ay sa mga punto ng continuity ng function na ito ay kinakatawan bilang ang Fourier integral

at sa mga discontinuity point ng function, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1) ay dapat palitan ng

Kung ang tuluy-tuloy na ganap na pinagsama-samang pag-andar sa bawat punto ay may may hangganang one-sided derivatives sa bawat punto, kung gayon sa kaso kapag ang function na ito ay pantay, ang pagkakapantay-pantay

at sa kaso kung kailan isang kakaibang function, ang pagkakapantay-pantay

Halimbawa 5'. Katawan ang function bilang isang Fourier integral kung:

Dahil ang tuluy-tuloy na even function, kung gayon, gamit ang mga formula (13.2), (13.2’), mayroon tayo

Tinutukoy namin sa pamamagitan ng simbolo ang integral na nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing halaga

Bunga 2.Para sa anumang function na nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng Corollary 1, mayroong lahat ng mga pagbabago , , , at may mga pagkakapantay-pantay

Sa mga ugnayang ito sa isip, ang pagbabagong-anyo (14) ay madalas na tinatawag kabaligtaran na pagbabago ng Fourier at sa halip ay isulat ang , at ang mga pagkakapantay-pantay (15) mismo ay tinatawag Fourier transform inversion formula.

Halimbawa 6 Hayaan at

Tandaan na kung , pagkatapos ay para sa anumang function

Magsagawa tayo ng isang function ngayon. Pagkatapos

Kung kukuha tayo ng isang function na isang kakaibang pagpapatuloy ng function , sa buong numerical axis, pagkatapos

Gamit ang Theorem 1, nakukuha natin iyon

Ang lahat ng integral dito ay nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing halaga,

Ang paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi sa huling dalawang integral, makikita natin ang Laplace integral

Kahulugan . Function

ay tatawaging normalized Fourier transform.

Kahulugan . Kung ang normalized Fourier transform ng function , kung gayon ang nauugnay na integral

Tatawagin natin ang normalized Fourier integral ng function .

Isasaalang-alang namin ang normalized Fourier transform (16).

Para sa kaginhawahan, ipinakilala namin ang sumusunod na notasyon:

(mga. ).

Kung ihahambing sa nakaraang notasyon, ito ay isang renormalization lamang: Kaya, sa partikular, ang mga relasyon (15) ay nagpapahintulot sa amin na tapusin na

o, sa mas maikling notasyon,

Kahulugan 5. Ang operator ay tatawaging normalized Fourier transform, at ang operator ay tatawaging inverse normalized Fourier transform.

Sa Lemma 1, nabanggit na ang pagbabago ng Fourier ng anumang ganap na pinagsama-samang function sa isang function ay may posibilidad na zero sa infinity. Ang susunod na dalawang pahayag ay nagsasaad na, tulad ng Fourier coefficients, ang Fourier transform ay may posibilidad na maging zero nang mas mabilis, mas makinis ang function kung saan ito kinuha (sa unang pahayag); Ang isang katotohanang kapalit nito ay ang mas mabilis na paggana kung saan kinuha ang Fourier transform ay nagiging zero, mas makinis ang Fourier transform nito (pangalawang pahayag).

Pahayag 1(sa koneksyon sa pagitan ng kinis ng isang function at ang rate ng pagbaba ng Fourier transform nito). Kung ang at lahat ng mga tampok ganap na maisasama sa , pagkatapos:

a) para sa anumang

Pahayag 2(sa relasyon sa pagitan ng rate ng pagkabulok ng isang function at ang kinis ng Fourier transform nito). Kung isang locally integrable function : ay tulad na ang function ganap na mapagsasama a , pagkatapos:

a) Fourier na pagbabago ng isang function kabilang sa klase

b) mayroong hindi pagkakapantay-pantay

Ipinakita namin ang mga pangunahing katangian ng hardware ng Fourier transform.

Lemma 2. Hayaang magkaroon ng Fourier transform para sa mga function at (ayon sa pagkakabanggit, ang inverse Fourier transform), kung gayon, anuman ang mga numero at , mayroong Fourier transform (ayon sa pagkakabanggit, ang inverse Fourier transform) at para sa function , at

(ayon sa pagkakabanggit).

Ang katangiang ito ay tinatawag na linearity ng Fourier transform (ayon sa pagkakabanggit, ang inverse Fourier transform).

Bunga. .

Lemma 3. Ang Fourier transform, pati na rin ang inverse transform, ay isang one-to-one transformation sa set ng tuluy-tuloy na ganap na integrable na function sa buong axis, na mayroong one-sided derivatives sa bawat punto.

Nangangahulugan ito na kung at ay dalawang function ng tinukoy na uri at kung (ayon sa pagkakabanggit, kung ), pagkatapos ay sa buong axis.

Mula sa paninindigan ng Lemma 1, makukuha natin ang sumusunod na lemma.

Lemma 4. Kung ang pagkakasunud-sunod ng ganap na integrable function at isang ganap na integrable function ay tulad na

pagkatapos ay ang pagkakasunod-sunod ay pare-pareho sa buong axis converges sa function.

Pag-aralan natin ngayon ang Fourier transform ng convolutions ng dalawang function. Para sa kaginhawahan, binabago namin ang kahulugan ng convolution sa pamamagitan ng pagdaragdag ng karagdagang salik

Teorama 2. Hayaan ang mga function at maging bounded, tuloy-tuloy, at ganap na maisasama sa totoong axis, kung gayon

mga. ang Fourier transform ng convolution ng dalawang function ay katumbas ng produkto ng Fourier transforms ng mga function na ito.

Bumuo tayo ng isang summary table No. 1 ng mga katangian ng normalized Fourier transform, na kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga problema sa ibaba.

Talahanayan #1

Function	Normalized Fourier Transform

Gamit ang mga katangian 1-4 at 6, nakukuha natin

Halimbawa 7 Hanapin ang normalized Fourier transform ng isang function

Ang halimbawa 4 ay nagpakita na

parang

Ayon sa property 3, mayroon kaming:

Katulad nito, maaari mong i-compile ang talahanayan No. 2 para sa normalized na inverse Fourier transform:

Numero ng talahanayan 2

Function	Normalized Inverse Fourier Transform

Tulad ng dati, gamit ang mga katangian 1-4 at 6 nakukuha natin iyon

Halimbawa 8 Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

Tulad ng sumusunod mula sa halimbawa 6

Kapag mayroon tayong:

Kinakatawan ang function sa form

gamitin ang ari-arian 6 kapag

Mga opsyon para sa mga gawain para sa settlement at graphic na mga gawa

1. Hanapin ang sine - Fourier transform ng isang function

2. Hanapin ang sine - Fourier transform ng isang function

3. Maghanap ng cosine - Fourier transform ng isang function

4. Maghanap ng cosine - Fourier transform ng isang function

5. Hanapin ang sine - Fourier transform ng isang function

6.Find cosine - Fourier transform ng isang function

7. Hanapin ang sine - Fourier transform ng function

8. Maghanap ng cosine - Fourier transform ng isang function

9. Maghanap ng cosine - Fourier transform ng isang function

10. Hanapin ang sine - Fourier transform ng isang function

11. Hanapin ang sine - Fourier transform ng isang function

12. Maghanap ng sine - pagbabago ng function

13. Maghanap ng sine - pagbabago ng function

14. Maghanap ng cosine - pagbabago ng function

15. Maghanap ng cosine - pagbabago ng function

16. Hanapin ang Fourier transform ng isang function kung:

17. Hanapin ang Fourier transform ng isang function kung:

18. Hanapin ang Fourier transform ng isang function kung:

19. Hanapin ang Fourier transform ng isang function kung:

20. Hanapin ang Fourier transform ng isang function kung:

21. Hanapin ang Fourier transform ng isang function kung:

22. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

24. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

26. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

28. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

30. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

23. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

25. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

27. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

29. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

31. Hanapin ang normalized inverse Fourier transform ng isang function

gamit ang formula

32. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

33. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

34. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

35. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

36. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

37. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

38. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

39. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

40. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

41. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

42. Kinakatawan ang isang function bilang isang Fourier integral

43. Kinakatawan ang function bilang isang Fourier integral, pinalawak ito sa kakaibang paraan sa pagitan kung:

44. Kinakatawan ang function bilang isang Fourier integral, na ipagpatuloy ito sa isang kakaibang paraan sa pagitan kung.

Ang isa sa mga makapangyarihang kasangkapan para sa pag-aaral ng mga problema ng matematikal na pisika ay ang paraan ng integral na pagbabago. Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa pagitan (a, 6), finite o infinite. Ang integral transformation ng function f (x) ay ang function kung saan ang K (x, w) ay isang function na naayos para sa isang partikular na pagbabago, na tinatawag na transformation kernel (pinapalagay na ang integral (*) ay umiiral sa wasto o hindi wastong kahulugan nito. ). §isa. Fourier integral Anumang function f(x), na sa segment [-f, I] ay nakakatugon sa mga kondisyon ng pagpapalawak sa isang Fourier series, ay maaaring katawanin sa segment na ito ng isang trigonometriko series. : Fourier transform Fourier integral Complex integral form Fourier transform Cosine at sine transforms Amplitude at phase spectra Application properties Ang serye sa kanang bahagi ng equation (1) ay maaaring isulat sa ibang anyo. Para sa layuning ito, ipinakilala namin dito mula sa mga formula (2) ang mga halaga ng mga coefficient a» at op, ibawas sa ilalim ng mga palatandaan ng mga integral cos ^ x at sin x (na posible, dahil ang variable ng pagsasama ay m) O) at gamitin ang formula para sa cosine ng pagkakaiba. Magkakaroon tayo Kung ang function na /(x) ay orihinal na tinukoy sa pagitan ng numerical axis na mas malaki kaysa sa interval [-1,1] (halimbawa, sa buong axis), pagkatapos ay ang pagpapalawak (3) ay magpaparami ng mga halaga ng function na ito lamang sa interval [-1, 1] at magpatuloy sa buong real axis bilang periodic function na may period na 21 (Fig. 1). Samakatuwid, kung ang function na f(x) (sa pangkalahatan, hindi pana-panahon) ay tinukoy sa buong tunay na aksis, sa formula (3) ay maaaring subukan ng isa na pumasa sa limitasyon bilang I + oo. Sa kasong ito, natural na hilingin na matugunan ang mga sumusunod na kundisyon: 1. natutugunan ng f(x) ang mga kundisyon ng pagpapalawak sa isang seryeng Fourier sa anumang finite segment ng xx\ axis 2. ang function na f(x) ay ganap na integrable sa buong real axis. (3) ay may posibilidad na zero bilang I -* + oo. Sa katunayan, Subukan nating itatag kung ano ang mapupunta sa kabuuan sa kanang bahagi ng (3) sa limitasyon bilang I + oo. Ipagpalagay natin na Pagkatapos ang kabuuan sa kanang bahagi ng (3) ay magkakaroon ng anyo Dahil sa ganap na tagpo ng integral, ang kabuuan na ito para sa malaki ay kaunti lamang ang pagkakaiba ng I sa isang expression na kahawig ng integral na kabuuan para sa function ng variable £ pinagsama-sama para sa pagitan (0, + oo) ng pagbabago. Samakatuwid, natural na asahan na para sa , ang kabuuan (5) ay pupunta sa integral С Sa kabilang banda, para sa fixed) ito ay sumusunod mula sa formula (3 ) na makukuha rin natin ang pagkakapantay-pantay Ang sapat na kondisyon para sa bisa ng formula (7) ay ipinahayag ng sumusunod na teorama. Theorem 1. Kung ang function na f(x) ay ganap na maisasama sa buong tunay na axis at, kasama ng derivative nito, ay may hangganan na bilang ng mga discontinuity point ng unang uri sa alinmang segment [a, 6], pagkatapos ay sa ika-uri ng function /(x), ang halaga ng integral sa kanang bahagi ng (7) ay katumbas ng Formula (7) ay tinatawag na Fourier integral formula, at ang integral sa kanang bahagi nito ay tinatawag na Fourier integral. Kung gagamitin natin ang formula para sa araw ng cosine ng pagkakaiba, kung gayon ang formula (7) ay maaaring isulat bilang Ang mga function na a(t), b(t) ay mga analogue ng kaukulang Fourier coefficients an at bn ng isang 2n-periodic function, ngunit ang huli ay tinukoy para sa mga discrete values ng n, habang ang a(0 > HO ay tinukoy para sa tuloy-tuloy na values ng G(-oo, +oo). Ang kumplikadong anyo ng Fourier integral , malinaw na kakaibang function ng But then Sa kabilang banda, ang integral ay isang even function ng variable upang Samakatuwid, ang Fourier integral formula ay maaaring isulat ng mga sumusunod: Let us multiply the equality by the imaginary unit i and add to the equality (10). Ito ang kumplikadong anyo ng Fourier integral. Dito, ang panlabas na pagsasama sa t ay nauunawaan sa kahulugan ng pangunahing halaga ng Cauchy: § 2. Fourier transform Cosine at sine Fourier transforms Let the func Ang linyang f(x) ay putol-putol na makinis sa anumang may hangganang bahagi ng x-axis at ganap na maisasama sa buong axis. Kahulugan. Ang function kung saan, sa pamamagitan ng pormula ni Euler, magkakaroon tayo ay tinatawag na Fourier transform ng function na f(r) (spectral function). Ito ang integral transformation ng function / (r) sa interval (-oo, + oo) na may kernel. Gamit ang Fourier integral formula, makuha natin Ito ang tinatawag na inverse Fourier transform, na nagbibigay ng transition mula sa F (t) hanggang / (x). Minsan ang direktang Fourier transform ay ibinibigay tulad ng sumusunod: Pagkatapos ang kabaligtaran na Fourier transform ay tinutukoy ng formula Ang Fourier transform ng function /(x) ay tinukoy din bilang mga sumusunod: FOURIER TRANSFORM Fourier integral Complex form ng integral Fourier transform Cosine at sine ng transform Amplitude at phase spectra Application properties Pagkatapos, sa pagkakataong ito, ang posisyon ng factor ^ ay medyo arbitrary: maaari itong magpasok ng alinman sa formula (1") o formula (2"). Halimbawa 1. Hanapin ang Fourier transform ng function -4 Mayroon kaming Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagbibigay-daan sa pagkita ng kaibhan na may paggalang sa £ sa ilalim ng integral sign (ang integral na nakuha pagkatapos ng pagkita ng kaibahan ay pare-parehong nagtatagpo kapag ( nabibilang sa anumang may hangganang segment): Pagsasama ng mga bahagi, magkakaroon tayo ng Ang termino sa labas ng integral ay naglalaho, at nakukuha natin kung saan (C ay ang pare-pareho ng pagsasama). Ang pagtatakda ng £ = 0 sa (4), nakita namin ang С = F(0). Sa bisa ng (3) mayroon tayo Ito ay kilala na Sa partikular, para sa) nakuha natin iyon Isaalang-alang natin ang function 4. Para sa spectra oyu ng function F(t), makuha natin ang Hence (Fig. 2). Ang kondisyon ng ganap na pagkakaisa ng function na f(x) sa buong tunay na axis ay napakahigpit. Ibinubukod nito, halimbawa, ang mga elementarya na function tulad ng f(x) = e1, kung saan ang Fourier transform (sa klasikal na anyo na isinasaalang-alang dito) ay hindi umiiral. Tanging ang mga function na iyon ay may Fourier transform na malamang na maging zero nang sapat na mabilis para sa |x| -+ +oo (tulad ng sa mga halimbawa 1 at 2). 2.1. Cosine at sine Fourier transforms Gamit ang cosine formula, ang pagkakaiba, muling isusulat natin ang Fourier integral formula sa sumusunod na anyo: Hayaan ang f(x) na maging isang even na function. Pagkatapos, upang mula sa pagkakapantay-pantay (5) mayroon tayo Sa kaso ng kakaibang f(x), pareho nating makukuha Kung ang f(x) ay ibinibigay lamang sa (0, -foo), kung gayon ang formula (6) ay umaabot sa f(x) sa buong axis ng Ox sa pantay na paraan, at formula (7) - kakaiba. (7) Kahulugan. Ang function ay tinatawag na cosine Fourier transform ng function na f(x). Mula sa (6) ito ay sumusunod na para sa isang pantay na function na f(x) Nangangahulugan ito na ang f(x), naman, ay isang cosine transform para sa Fc(t). Sa madaling salita, ang mga function / at Fc ay mutual cosine transforms. Kahulugan. Ang function ay tinatawag na sine Fourier transform ng function na f(x). Mula sa (7) nakuha natin iyon para sa isang kakaibang function f(x), ibig sabihin, Ang f at Fs ay mutual sine transforms. Halimbawa 3 (right-angle pulse). Hayaan ang f(t) na maging pantay na function na tinukoy bilang mga sumusunod: (Larawan 3). Gamitin natin ang nakuhang resulta upang kalkulahin ang integral Sa bisa ng formula (9), mayroon tayong Fig.3 0 0 Sa puntong t = 0, ang function na f(t) ay tuloy-tuloy at katumbas ng isa. Samakatuwid, mula sa (12") nakakakuha tayo ng 2.2. Amplitude at phase spectra ng Fourier integral Hayaan ang f(x) na maging periodic function na may periodic na 2m at lumawak sa isang Fourier series. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring isulat pagdating natin sa mga konsepto ng amplitude at phase spectra ng isang periodic function Para sa isang non-periodic function na f(x) na ibinigay sa (-oo, +oo), sa ilalim ng ilang partikular na kundisyon, lumalabas na posible itong katawanin ng Fourier integral, na pinapalawak ang function na ito sa lahat ng frequency (pagpapalawak sa tuloy-tuloy na frequency spectrum Kahulugan Ang spectral function, o ang spectral density ng Fourier integral, ay isang expression (ang direktang Fourier transform ng function f ay tinatawag na amplitude spectrum, at ang function na Ф " ) = -argSfc) - ang phase spectrum ng function / ("). Ang amplitude spectrum A(t) ay nagsisilbing sukatan ng kontribusyon ng frequency t sa function /(x). Halimbawa 4. Hanapin ang amplitude at phase spectra ng function 4 Hanapin ang spectral function Mula dito Ang mga graph ng mga function na ito ay ipinapakita sa fig. 4. §3. Fourier transform properties 1. Linearity. Kung ang at G(0 ay ang Fourier transforms ng mga function na f(x) at g(x), ayon sa pagkakabanggit, kung gayon para sa anumang pare-parehong a at p ang Fourier transform ng function ay isang f(x) + p g(x) ang magiging function a Gamit ang linearity property ng integral, mayroon tayong Kaya, ang Fourier transform ay isang linear operator. Ang pagtukoy nito sa pamamagitan ng isusulat natin. Kung ang F(t) ay ang Fourier transform ng isang function na f(x) absolutely integrable sa buong real axis, pagkatapos F(t) ay bounded para sa lahat. Hayaang ang function na f(x) ay ganap na maisasama sa buong axis - ang Fourier transform ng function na f (x). Pagkatapos ay 3 "flts J. Hayaang ang f (x) ay isang function, ang tolerance nito ay ang Fourier transform, ang L ay ang bilang ng mga katangian. Ang function na fh (x) \u003d f (z-h) ay tinatawag na shift ng fundium f(x).Gamit ang kahulugan ng Fourier transform , ipakita na Problema.Hayaan ang isang function na f(z) na magkaroon ng Fourier transform F(0> h ay isang tunay na numero.Ipakita na 3. Fourier transform at differentiation ooeresis.Hayaan ang isang ganap na pinagsama-samang function na f (x) ay may derivative f " (x), na ganap ding maisasama sa buong axis Oh, kaya ang /(n) ay nagiging zero bilang |x| -» +oo. Ipagpalagay na ang f "(x) ay isang maayos na function, isinusulat namin ang Integrating by parts, mayroon kaming term sa labas ng integral vanishes (dahil, at nakuha namin Kaya, ang pagkita ng kaibahan ng function / (x) ay tumutugma sa multiplikasyon ng Fourier nito. larawan ^ П /] sa pamamagitan ng kadahilanan Kung ang function na f (x) ay may makinis na ganap na intetable derivatives hanggang sa pagkakasunud-sunod ng m inclusive, at lahat ng mga ito, tulad ng function na f(x) mismo, ay may posibilidad na zero, at pagkatapos, pagsasama-sama ng mga bahagi ang kinakailangang bilang ng beses, nakuha namin ang Fourier transform ay tiyak na kapaki-pakinabang dahil pinapalitan nito ang operasyon ng pagkita ng kaibhan sa pagpapatakbo ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang halaga at sa gayon ay pinapasimple ang problema sa pagsasama ng ilang uri ng mga differential equation. Dahil ang Fourier transform ng isang ganap na integrable function f^k\x) ay isang bounded function ng (property 2), mula sa relation (2) nakukuha natin ang sumusunod na pagtatantya para sa : Fourier transform Fourier integral Complex integral form Fourier transform Cosine at sine transforms Amplitude at phase spectra Application properties Mula ang pagsusuring ito kasama ang sumusunod: kung mas ang function na f(x) ay may ganap na integrable derivatives, mas mabilis ang Fourier transform nito ay may posibilidad na maging zero sa. Magkomento. Ang kundisyon ay medyo natural, dahil ang karaniwang teorya ng Fourier integrals ay tumatalakay sa mga proseso na, sa isang kahulugan o iba pa, ay may simula at nagtatapos, ngunit hindi nagpapatuloy nang walang hanggan na may humigit-kumulang sa parehong intensity. 4. Relasyon sa pagitan ng rate ng pagkabulok ng function na f(x) para sa |z| -» -f oo at ang kinis ng Fourm transformation nito. Ipagpalagay natin na hindi lamang /(x), kundi pati na rin ang produkto nito na xf(x) ay isang ganap na pinagsama-samang function sa buong x-axis. Pagkatapos ang Fourier transform) ay magiging isang differentiable function. Sa katunayan, ang pormal na pagkakaiba-iba na may paggalang sa parameter £ ng integrand ay humahantong sa isang integral na ganap at pare-parehong nagtatagpo sa paggalang sa parameter. . Kung, kasama ng function na f(x), ang mga function ay ganap na maisasama sa buong Ox axis, kung gayon ang proseso ng pagkita ng kaibhan ay maaaring ipagpatuloy. Nakukuha namin na ang function ay may mga derivatives hanggang sa pagkakasunud-sunod ng m inclusive, at Kaya, mas mabilis na bumaba ang function na f(x), mas maayos ang function na lumilitaw. Theorem 2 (tungkol sa drill). Hayaan ang Fourier transforms ng mga function /,(x), at f2(x), ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ang dobleng integral sa kanang bahagi ay ganap na nagtatagpo. Lagyan natin ng x. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng o, binabago ang pagkakasunud-sunod ng pagsasama, Ang function ay tinatawag na convolution of functions at ipinapahiwatig ng simbolong Formula (1) ay maaari na ngayong isulat ng mga sumusunod: Mula dito ay malinaw na ang Fourier transform ng convolution ng ang mga function f \ ang produkto ng Fourier transforms ng foldable function, Puna. Madaling itatag ang mga sumusunod na katangian ng convolution: 1) linearity: 2) commutativity: §4. Mga aplikasyon ng Fourier transform 1. Hayaang ang Р(^) ay isang linear differential operator ng order m na may pare-parehong coefficients. Ang y(x) ay may Fourier transform na y (O. at ang function na f(x) ay may transform /(t) Ang paglalapat ng Fourier transform sa equation (1), makuha namin sa halip na isang differential algebraic equation sa axis na may paggalang sa kung saan upang pormal na kung saan ang simbolo ay nagsasaad ng inverse Fourier transform Ang pangunahing limitasyon ng applicability ng pamamaraang ito ay konektado sa mga sumusunod katotohanan: Ang solusyon ng isang ordinaryong differential equation na may pare-parehong coefficient ay naglalaman ng mga function ng form< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

Na medyo nagsawa na. At pakiramdam ko ay dumating na ang sandali kung kailan oras na upang kunin ang mga bagong de-latang pagkain mula sa mga strategic reserves ng teorya. Posible bang palawakin ang function sa isang serye sa ibang paraan? Halimbawa, upang ipahayag ang isang segment ng tuwid na linya sa mga tuntunin ng mga sine at cosine? Tila hindi kapani-paniwala, ngunit ang mga tila malayong pag-andar ay nagpapahiram sa kanilang sarili
"reunion". Bilang karagdagan sa mga pamilyar na degree sa teorya at kasanayan, may iba pang mga diskarte sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye.

Sa araling ito, makikilala natin ang trigonometric Fourier series, hipuin ang isyu ng convergence at sum nito, at, siyempre, susuriin natin ang maraming halimbawa para sa pagpapalawak ng mga function sa isang Fourier series. Taos-puso kong nais na tawagan ang artikulong "Fourier Series for Dummies", ngunit ito ay magiging tuso, dahil ang paglutas ng mga problema ay mangangailangan ng kaalaman sa iba pang mga seksyon ng pagsusuri sa matematika at ilang praktikal na karanasan. Samakatuwid, ang preamble ay magiging katulad ng pagsasanay ng mga astronaut =)

Una, ang pag-aaral ng mga materyales sa pahina ay dapat na lapitan sa mahusay na hugis. Inaantok, pahinga at matino. Nang walang malakas na emosyon tungkol sa sirang paa ng isang hamster at obsessive na pag-iisip tungkol sa hirap ng buhay ng aquarium fish. Ang serye ng Fourier ay hindi mahirap mula sa punto ng view ng pag-unawa, gayunpaman, ang mga praktikal na gawain ay nangangailangan lamang ng isang pagtaas ng konsentrasyon ng pansin - sa isip, ang isa ay dapat na ganap na iwanan ang panlabas na stimuli. Ang sitwasyon ay pinalala ng katotohanan na walang madaling paraan upang suriin ang solusyon at ang sagot. Kaya, kung ang iyong kalusugan ay mas mababa sa average, pagkatapos ay mas mahusay na gumawa ng isang bagay na mas simple. Katotohanan.

Pangalawa, bago lumipad sa kalawakan, kinakailangan na pag-aralan ang panel ng instrumento ng spacecraft. Magsimula tayo sa mga halaga ng mga pag-andar na dapat i-click sa makina:

Para sa anumang natural na halaga:

isa). At sa katunayan, ang sinusoid ay "nag-flash" ng x-axis sa bawat "pi":
. Sa kaso ng mga negatibong halaga ng argumento, ang resulta, siyempre, ay magiging pareho: .

2). Ngunit hindi alam ng lahat ito. Ang cosine na "pi en" ay katumbas ng "flashing light":

Ang isang negatibong argumento ay hindi nagbabago ng kaso: .

Siguro sapat na.

At pangatlo, mahal na cosmonaut corps, kailangan mong... pagsamahin.
Sa partikular, sigurado magdala ng function sa ilalim ng differential sign, pagsamahin ayon sa mga bahagi at makipagkasundo sa iyo Formula ng Newton-Leibniz. Simulan natin ang mahahalagang pagsasanay bago ang paglipad. Lubos kong inirerekumenda na laktawan ito, upang sa ibang pagkakataon ay hindi ka ma-flatten sa zero gravity:

Halimbawa 1

Kalkulahin ang mga tiyak na integral

kung saan kumukuha ng mga natural na halaga.

Solusyon: Isinasagawa ang pagsasama sa variable na "x" at sa yugtong ito ang discrete variable na "en" ay itinuturing na pare-pareho. Sa lahat ng integral dalhin ang function sa ilalim ng sign ng differential:

Isang maikling bersyon ng solusyon, na magandang kunan, ganito ang hitsura:

Masanay sa:

Ang apat na natitirang puntos ay sa kanilang sarili. Subukang tratuhin ang gawain nang matapat at ayusin ang mga integral sa maikling paraan. Mga halimbawang solusyon sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng KALIDAD na ehersisyo, nagsuot kami ng mga spacesuit
at naghahanda upang magsimula!

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa pagitan

Isaalang-alang natin ang isang function na tinukoy hindi bababa sa pagitan (at, posibleng, sa isang mas malaking agwat). Kung ang function na ito ay integrable sa segment , maaari itong palawakin sa isang trigonometriko Fourier serye:
, nasaan ang mga tinatawag na Fourier coefficients.

Sa kasong ito, ang numero ay tinatawag panahon ng agnas, at ang numero ay kalahating buhay na agnas.

Malinaw, sa pangkalahatang kaso, ang seryeng Fourier ay binubuo ng mga sine at cosine:

Sa katunayan, isulat natin ito nang detalyado:

Ang zero term ng serye ay karaniwang isinusulat bilang .

Ang mga fourier coefficient ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

Naiintindihan kong lubos na ang mga bagong termino ay malabo pa rin para sa mga nagsisimula upang pag-aralan ang paksa: panahon ng agnas, kalahating ikot, Fourier coefficients at iba pa. Huwag mag-panic, hindi ito maikukumpara sa excitement bago ang isang spacewalk. Alamin natin ang lahat sa pinakamalapit na halimbawa, bago isagawa kung saan ito ay lohikal na magtanong ng pagpindot sa mga praktikal na katanungan:

Ano ang kailangan mong gawin sa mga sumusunod na gawain?

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier. Bukod pa rito, madalas na kinakailangan na gumuhit ng isang graph ng isang function, isang graph ng kabuuan ng isang serye, isang bahagyang kabuuan, at sa kaso ng mga sopistikadong pantasyang propesor, gumawa ng iba pa.

Paano palawakin ang isang function sa isang serye ng Fourier?

Mahalaga, kailangan mong hanapin Fourier coefficients, iyon ay, bumuo at mag-compute ng tatlo mga tiyak na integral.

Mangyaring kopyahin ang pangkalahatang anyo ng seryeng Fourier at ang tatlong gumaganang formula sa iyong kuwaderno. Tuwang-tuwa ako na ang ilan sa mga bisita sa site ay may pangarap noong bata pa na maging isang astronaut na nagkatotoo sa harap ng aking mga mata =)

Halimbawa 2

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier sa pagitan. Bumuo ng isang graph, isang graph ng kabuuan ng isang serye at isang bahagyang kabuuan.

Solusyon: ang unang bahagi ng gawain ay upang palawakin ang function sa isang seryeng Fourier.

Ang simula ay pamantayan, siguraduhing isulat iyon:

Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon .

Pinalawak namin ang function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Gamit ang naaangkop na mga formula, nakita namin Fourier coefficients. Ngayon kailangan nating bumuo at kalkulahin ang tatlo mga tiyak na integral. Para sa kaginhawahan, bibilangin ko ang mga puntos:

1) Ang unang integral ay ang pinakasimpleng, gayunpaman, nangangailangan na ito ng mata at mata:

2) Ginagamit namin ang pangalawang formula:

Ang integral na ito ay kilala at unti-unti niyang kinukuha:

Kapag natagpuang ginamit paraan ng pagdadala ng function sa ilalim ng differential sign.

Sa gawaing isinasaalang-alang, mas maginhawang gamitin kaagad formula para sa pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral :

Isang pares ng mga teknikal na tala. Una, pagkatapos ilapat ang formula ang buong expression ay dapat na nakapaloob sa malalaking bracket, dahil mayroong isang pare-pareho sa harap ng orihinal na integral. Huwag nating mawala ito! Maaaring mabuksan ang mga panaklong sa anumang karagdagang hakbang, ginawa ko ito sa pinakahuling pagliko. Sa unang "piraso" nagpapakita kami ng matinding katumpakan sa pagpapalit, tulad ng nakikita mo, ang pare-pareho ay wala sa negosyo, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay pinapalitan sa produkto. Ang aksyon na ito ay minarkahan ng mga square bracket. Well, ang integral ng pangalawang "piraso" ng formula ay kilala sa iyo mula sa gawain sa pagsasanay ;-)

At ang pinakamahalaga - ang sukdulang konsentrasyon ng atensyon!

3) Hinahanap namin ang ikatlong Fourier coefficient:

Ang isang kamag-anak ng nakaraang integral ay nakuha, na kung saan ay din isinama ng mga bahagi:

Ang pagkakataong ito ay medyo mas kumplikado, magkokomento ako sa mga karagdagang hakbang nang hakbang-hakbang:

(1) Ang buong expression ay nakapaloob sa malalaking bracket.. Hindi ko nais na mukhang isang mainip, nawala nila ang pare-pareho masyadong madalas.

(2) Sa kasong ito, agad kong pinalawak ang malalaking bracket na iyon. Espesyal na atensyon itinatalaga namin ang unang "piraso": ang patuloy na usok sa gilid at hindi nakikilahok sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama (at) sa produkto. Dahil sa kalat ng rekord, ipinapayong muli na i-highlight ang pagkilos na ito sa mga square bracket. Gamit ang pangalawang "piraso" ang lahat ay mas simple: dito lumitaw ang fraction pagkatapos magbukas ng malalaking bracket, at ang pare-pareho - bilang resulta ng pagsasama ng pamilyar na integral ;-)

(3) Sa mga square bracket, nagsasagawa kami ng mga pagbabago, at sa tamang integral, pinapalitan namin ang mga limitasyon ng pagsasama.

(4) Inalis namin ang "flasher" mula sa mga square bracket: , pagkatapos ay binuksan namin ang mga panloob na bracket: .

(5) Kinansela namin ang 1 at -1 sa mga bracket at ginagawa ang panghuling pagpapasimple.

Sa wakas ay natagpuan ang lahat ng tatlong Fourier coefficient:

Ipalit ang mga ito sa formula :

Huwag kalimutang hatiin sa kalahati. Sa huling hakbang, ang pare-pareho ("minus dalawa"), na hindi nakasalalay sa "en", ay kinuha mula sa kabuuan.

Kaya, nakuha namin ang pagpapalawak ng function sa isang serye ng Fourier sa pagitan:

Pag-aralan natin ang tanong ng convergence ng seryeng Fourier. Ipapaliwanag ko ang teorya sa partikular Dirichlet theorem, literal na "sa mga daliri", kaya kung kailangan mo ng mahigpit na mga formulation, mangyaring sumangguni sa isang aklat-aralin sa calculus (halimbawa, ang 2nd volume ng Bohan; o ang 3rd volume ng Fichtenholtz, ngunit mas mahirap dito).

Sa ikalawang bahagi ng gawain, kinakailangan na gumuhit ng isang graph, isang serye ng sum graph at isang bahagyang sum graph.

Ang graph ng function ay ang karaniwan tuwid na linya sa eroplano, na iginuhit ng isang itim na tuldok na linya:

Nakikitungo kami sa kabuuan ng serye. Tulad ng alam mo, ang functional na serye ay nagtatagpo sa mga function. Sa aming kaso, ang itinayong serye ng Fourier para sa anumang halaga ng "x" converges sa function na ipinapakita sa pula. Ang pagpapaandar na ito ay napapailalim sa mga break ng 1st kind sa mga puntos , ngunit tinukoy din sa mga ito (mga pulang tuldok sa pagguhit)

Sa ganitong paraan: . Madaling makita na kapansin-pansing naiiba ito sa orihinal na function , kaya naman sa notasyon isang tilde ang ginagamit sa halip na isang equals sign.

Pag-aralan natin ang isang algorithm kung saan ito ay maginhawa upang bumuo ng kabuuan ng isang serye.

Sa gitnang agwat, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mismong function (ang gitnang pulang segment ay kasabay ng itim na tuldok na linya ng linear na function).

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa likas na katangian ng itinuturing na trigonometriko na pagpapalawak. Fourier serye kasama lang ang mga periodic function (constant, sines at cosine), kaya ang kabuuan ng serye ay isa ring panaka-nakang pag-andar.

Ano ang ibig sabihin nito sa aming partikular na halimbawa? At nangangahulugan ito na ang kabuuan ng serye –kinakailangang pana-panahon at ang pulang bahagi ng agwat ay dapat na walang katapusan na paulit-ulit sa kaliwa at kanan.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa wakas ang kahulugan ng pariralang "panahon ng agnas". Sa madaling salita, sa tuwing paulit-ulit ang sitwasyon.

Sa pagsasagawa, kadalasan ay sapat na upang ilarawan ang tatlong panahon ng agnas, tulad ng ginagawa sa pagguhit. Buweno, at higit pang "mga tuod" ng mga kalapit na panahon - upang gawing malinaw na ang tsart ay nagpapatuloy.

Ang partikular na interes ay mga discontinuity point ng 1st kind. Sa ganitong mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng discontinuity "jump" (mga pulang tuldok sa pagguhit). Paano mahahanap ang ordinate ng mga puntong ito? Una, hanapin natin ang ordinate ng "itaas na palapag": para dito, kinakalkula natin ang halaga ng function sa pinakakanang punto ng central expansion period: . Upang kalkulahin ang ordinate ng "ibabang palapag", ang pinakamadaling paraan ay kunin ang pinakakaliwang halaga ng parehong panahon: . Ang ordinate ng mean na halaga ay ang arithmetic mean ng kabuuan ng "itaas at ibaba": . Maganda ang katotohanan na kapag nagtatayo ng isang guhit, makikita mo kaagad kung ang gitna ay tama o hindi tama ang pagkalkula.

Bumuo tayo ng bahagyang kabuuan ng serye at sabay ulitin ang kahulugan ng terminong "convergence". Nalaman ang motibo mula sa aralin tungkol sa ang kabuuan ng serye ng numero. Ilarawan natin nang detalyado ang ating kayamanan:

Upang makagawa ng bahagyang kabuuan, kailangan mong isulat ang zero + dalawa pang termino ng serye. Yan ay,

Sa pagguhit, ang graph ng function ay ipinapakita sa berde, at, tulad ng nakikita mo, ito ay bumabalot sa kabuuang kabuuan ng medyo mahigpit. Kung isasaalang-alang namin ang isang bahagyang kabuuan ng limang termino ng serye, kung gayon ang graph ng function na ito ay tinatantya ang mga pulang linya nang mas tumpak, kung mayroong isang daang termino, kung gayon ang "berdeng ahas" ay talagang ganap na sumanib sa mga pulang segment, atbp. Kaya, ang seryeng Fourier ay nagtatagpo sa kabuuan nito.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang bahagyang kabuuan ay tuluy-tuloy na pag-andar, ngunit ang kabuuang kabuuan ng serye ay hindi pa rin nagpapatuloy.

Sa pagsasagawa, hindi karaniwan na bumuo ng isang bahagyang sum graph. Paano ito gagawin? Sa aming kaso, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar sa segment, kalkulahin ang mga halaga nito sa mga dulo ng segment at sa mga intermediate na punto (mas maraming puntos ang iyong isinasaalang-alang, mas tumpak ang graph). Pagkatapos ay dapat mong markahan ang mga puntong ito sa pagguhit at maingat na gumuhit ng isang graph sa panahon, at pagkatapos ay "kopyahin" ito sa mga katabing agwat. Paano pa? Pagkatapos ng lahat, ang approximation ay isa ring periodic function ... ... ang graph nito sa paanuman ay nagpapaalala sa akin ng isang pantay na ritmo ng puso sa pagpapakita ng isang medikal na aparato.

Siyempre, hindi masyadong maginhawa upang isagawa ang konstruksiyon, dahil kailangan mong maging maingat, na mapanatili ang katumpakan ng hindi bababa sa kalahating milimetro. Gayunpaman, papasayahin ko ang mga mambabasa na salungat sa pagguhit - sa isang "tunay" na gawain, malayo sa palaging kinakailangan na magsagawa ng pagguhit, sa isang lugar sa 50% ng mga kaso kinakailangan na palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at iyon ay ito.

Matapos makumpleto ang pagguhit, nakumpleto namin ang gawain:

Sagot:

Sa maraming mga gawain, ang pag-andar ay naghihirap pagkalagot ng 1st kind sa mismong panahon ng agnas:

Halimbawa 3

Palawakin sa isang seryeng Fourier ang function na ibinigay sa pagitan . Gumuhit ng graph ng function at ang kabuuang kabuuan ng serye.

Ang iminungkahing function ay ibinibigay nang paisa-isa (at, bale, sa segment lang) at magtiis pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Posible bang kalkulahin ang Fourier coefficients? Walang problema. Parehong ang kaliwa at kanang bahagi ng function ay pinagsama sa kanilang mga pagitan, kaya ang mga integral sa bawat isa sa tatlong mga formula ay dapat na kinakatawan bilang ang kabuuan ng dalawang integral. Tingnan natin, halimbawa, kung paano ito ginagawa para sa isang zero coefficient:

Ang pangalawang integral ay naging katumbas ng zero, na nagbawas ng trabaho, ngunit hindi ito palaging nangyayari.

Dalawang iba pang mga Fourier coefficient ang nakasulat nang magkatulad.

Paano ipakita ang kabuuan ng isang serye? Sa kaliwang pagitan ay gumuhit kami ng isang tuwid na linya ng segment , at sa pagitan - isang tuwid na linya ng segment (i-highlight ang seksyon ng axis sa bold-bold). Iyon ay, sa pagitan ng pagpapalawak, ang kabuuan ng serye ay tumutugma sa pag-andar sa lahat ng dako, maliban sa tatlong "masamang" puntos. Sa discontinuity point ng function, ang Fourier series ay nagtatagpo sa isang nakahiwalay na halaga, na eksaktong matatagpuan sa gitna ng "jump" ng discontinuity. Hindi mahirap makita ito nang pasalita: limitasyon sa kaliwang kamay:, limitasyon sa kanang kamay: at, malinaw naman, ang ordinate ng midpoint ay 0.5.

Dahil sa periodicity ng sum , ang larawan ay dapat na "multiplied" sa mga kalapit na panahon, sa partikular, ilarawan ang parehong bagay sa mga pagitan at . Sa kasong ito, sa mga punto, ang serye ng Fourier ay nagtatagpo sa mga median na halaga.

Sa totoo lang, wala namang bago dito.

Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Isang tinatayang sample ng magandang disenyo at pagguhit sa pagtatapos ng aralin.

Pagpapalawak ng isang function sa isang Fourier series sa isang arbitrary na panahon

Para sa isang arbitrary na panahon ng pagpapalawak, kung saan ang "el" ay anumang positibong numero, ang mga formula para sa Fourier series at Fourier coefficient ay naiiba sa isang bahagyang kumplikadong argumento ng sine at cosine:

Kung , pagkatapos ay makuha namin ang mga formula para sa pagitan kung saan kami nagsimula.

Ang algorithm at mga prinsipyo para sa paglutas ng problema ay ganap na napanatili, ngunit ang teknikal na pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon ay nagdaragdag:

Halimbawa 4

Palawakin ang function sa isang seryeng Fourier at i-plot ang kabuuan.

Solusyon: sa katunayan, isang analogue ng Halimbawa No. 3 na may pagkalagot ng 1st kind sa puntong . Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Ang pag-andar ay tinukoy lamang sa kalahating pagitan , ngunit hindi nito binabago ang mga bagay - mahalaga na ang parehong bahagi ng function ay mapagsasama.

Palawakin natin ang function sa isang seryeng Fourier:

Dahil ang function ay hindi nagpapatuloy sa pinanggalingan, ang bawat Fourier coefficient ay dapat na malinaw na nakasulat bilang ang kabuuan ng dalawang integral:

1) Isusulat ko ang unang integral bilang detalyado hangga't maaari:

2) Maingat na sumilip sa ibabaw ng buwan:

Pangalawang integral kumuha ng mga bahagi:

Ano ang dapat mong bigyang pansin pagkatapos naming buksan ang pagpapatuloy ng solusyon na may asterisk?

Una, hindi natin nawawala ang unang integral , kung saan agad naming pinaandar pagdadala sa ilalim ng tanda ng kaugalian. Pangalawa, huwag kalimutan ang malas na pare-pareho bago ang malaking bracket at huwag malito sa pamamagitan ng mga palatandaan kapag ginagamit ang formula . Malaking bracket, pagkatapos ng lahat, ito ay mas maginhawa upang buksan kaagad sa susunod na hakbang.

Ang natitira ay isang bagay ng pamamaraan, tanging ang hindi sapat na karanasan sa paglutas ng mga integral ay maaaring maging sanhi ng mga paghihirap.

Oo, hindi walang kabuluhan na ang mga kilalang kasamahan ng Pranses na matematiko na si Fourier ay nagalit - gaano siya nangahas na i-decompose ang mga function sa trigonometrikong serye?! =) Siyanga pala, malamang lahat ay interesado sa praktikal na kahulugan ng gawaing pinag-uusapan. Si Fourier mismo ay nagtrabaho sa isang matematikal na modelo ng pagpapadaloy ng init, at pagkatapos ang seryeng ipinangalan sa kanya ay nagsimulang gamitin upang pag-aralan ang maraming pana-panahong proseso, na tila hindi nakikita sa labas ng mundo. Ngayon, sa pamamagitan ng paraan, nahuli ko ang aking sarili na iniisip na hindi nagkataon na inihambing ko ang graph ng pangalawang halimbawa sa isang panaka-nakang ritmo ng puso. Ang mga interesado ay maaaring maging pamilyar sa praktikal na aplikasyon Nag-transform si Fourier mula sa mga mapagkukunan ng third party. ... Bagama't mas mabuting hindi - ito ay maaalala bilang Unang Pag-ibig =)

3) Dahil sa paulit-ulit na binanggit na mahinang mga link, nakikitungo kami sa ikatlong koepisyent:

Pagsasama ayon sa mga bahagi:

Pinapalitan namin ang natagpuang Fourier coefficients sa formula , hindi nakakalimutang hatiin ang zero coefficient sa kalahati:

I-plot natin ang kabuuan ng serye. Ulitin natin sandali ang pamamaraan: sa pagitan ay nagtatayo tayo ng isang linya, at sa pagitan - isang linya. Sa isang zero na halaga ng "x", naglalagay kami ng isang punto sa gitna ng "jump" ng gap at "kopyahin" ang tsart para sa mga kalapit na panahon:

Sa "mga junction" ng mga yugto, ang kabuuan ay magiging katumbas din ng mga midpoint ng "jump" ng gap.

handa na. Ipinapaalala ko sa iyo na ang function mismo ay may kondisyon na tinukoy lamang sa kalahating pagitan at, malinaw naman, nag-tutugma sa kabuuan ng serye sa mga pagitan

Sagot:

Minsan ang isang piecewise na ibinigay na function ay tuloy-tuloy din sa panahon ng pagpapalawak. Ang pinakasimpleng halimbawa: . Solusyon (Tingnan ang Bohan Tomo 2) ay katulad ng sa dalawang naunang halimbawa: sa kabila pagpapatuloy ng function sa puntong , ang bawat Fourier coefficient ay ipinahayag bilang kabuuan ng dalawang integral.

Sa pagitan ng breakup mga discontinuity point ng 1st kind at / o "junction" na mga punto ng graph ay maaaring higit pa (dalawa, tatlo, at sa pangkalahatan anuman pangwakas halaga). Kung ang isang function ay integrable sa bawat bahagi, ito ay napapalawak din sa isang Fourier series. Ngunit mula sa praktikal na karanasan, hindi ko naaalala ang gayong lata. Gayunpaman, may mga mas mahirap na gawain kaysa sa isinasaalang-alang lamang, at sa dulo ng artikulo para sa lahat ay may mga link sa serye ng Fourier na mas kumplikado.

Pansamantala, magpahinga tayo, sumandal sa ating mga upuan at pag-isipan ang walang katapusang kalawakan ng mga bituin:

Halimbawa 5

Palawakin ang function sa isang Fourier series sa pagitan at i-plot ang kabuuan ng serye.

Sa gawaing ito, ang function tuloy-tuloy sa kalahating pagitan ng agnas, na pinapasimple ang solusyon. Ang lahat ay halos kapareho sa Halimbawa Blg. 2. Walang pagtakas mula sa sasakyang pangalangaang - kailangan mong magpasya =) Isang tinatayang sample ng disenyo sa dulo ng aralin, ang iskedyul ay nakalakip.

Fourier serye pagpapalawak ng kahit at kakaiba function

Sa pantay at kakaibang mga pag-andar, ang proseso ng paglutas ng problema ay kapansin-pansing pinasimple. At dahil jan. Bumalik tayo sa pagpapalawak ng function sa isang Fourier series sa isang panahon ng "two pi" at arbitrary na panahon "dalawang ale" .

Ipagpalagay natin na ang ating function ay pantay. Ang pangkalahatang termino ng serye, tulad ng nakikita mo, ay naglalaman ng kahit na mga cosine at kakaibang sine. At kung nabubulok natin ang isang EVEN function, bakit kailangan natin ng mga kakaibang sine?! I-reset natin ang hindi kinakailangang koepisyent: .

Sa ganitong paraan, ang isang even function ay lumalawak sa isang Fourier series lamang sa mga cosine:

Dahil ang integral ng even functions sa isang segment ng integration symmetric na may paggalang sa zero ay maaaring doblehin, pagkatapos ay ang iba pang mga Fourier coefficients ay pinasimple din.

Para sa span:

Para sa isang arbitrary na pagitan:

Ang mga halimbawa ng aklat-aralin na matatagpuan sa halos anumang aklat-aralin sa calculus ay kinabibilangan ng mga pagpapalawak ng kahit na mga function . Bilang karagdagan, paulit-ulit silang nagkita sa aking personal na pagsasanay:

Halimbawa 6

Nabigyan ng function. Kailangan:

1) palawakin ang function sa isang Fourier series na may period , kung saan ay isang arbitrary na positibong numero;

2) isulat ang pagpapalawak sa pagitan, bumuo ng isang function at i-graph ang kabuuang kabuuan ng serye.

Solusyon: sa unang talata, iminungkahi na lutasin ang problema sa pangkalahatang paraan, at ito ay napaka-maginhawa! Magkakaroon ng pangangailangan - palitan lamang ang iyong halaga.

1) Sa problemang ito, ang panahon ng pagpapalawak , kalahating panahon . Sa kurso ng mga karagdagang aksyon, lalo na sa panahon ng pagsasama, ang "el" ay itinuturing na pare-pareho

Ang function ay kahit na, na nangangahulugan na ito ay lumalawak sa isang seryeng Fourier sa mga cosine lamang: .

Ang mga fourier coefficient ay hinahanap ng mga formula . Bigyang-pansin ang kanilang ganap na mga pakinabang. Una, ang pagsasama ay isinasagawa sa positibong bahagi ng pagpapalawak, na nangangahulugan na ligtas nating mapupuksa ang module , isinasaalang-alang lamang ang "x" mula sa dalawang piraso. At, pangalawa, ang pagsasama ay kapansin-pansing pinasimple.