Треугольник Паскаля - элегантный математический треугольник, представляющий собой бесконечную таблицу биноминальных коэффициентов. Таблица иллюстрирует скрытые соотношения между числами, которые естественным образом возникают в теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей и алгебре.

Суть треугольной последовательности

Число 1 - важное число, а 11? Любопытно, что 11 × 11 = 121, 11 × 11 × 11 = 1331, а 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Если выстроить эти числа сверху вниз и представить их в виде отдельных цифр, то получится интересная формация:

• 1 2 1
• 1 3 3 1
• 1 4 6 4 1

Эти цифры - первые строки знаменитого треугольника Паскаля. Далее таблица строится по следующему принципу: по краям записываются единицы, а внутри ряда числа формируются путем суммы цифр, расположенных рядом выше слева и справа от искомых. Данная таблица знаменита в математике своей элегантностью, симметрией и неожиданными связями между числами. Связи таблицы с другими математическими сферами превратили треугольник Паскаля в Священный Грааль математики.

История открытия

Считается, что таблица была открыта Блезом Паскалем в 1653 году, однако происхождение формации гораздо древнее. Первое упоминание о бесконечной треугольной таблице встречается в трудах индийских математиков 10-го века, а наиболее полная информация о треугольнике представлена в работе китайского математика Шицзе, опубликованной в 1303 году. Однако и Шизце лишь упомянул о формации, создателем же треугольника Паскаля считается китайский ученый Ян Хуэй, поэтому в Китае таблица биноминальных коэффициентов носит название «треугольник Хуэя».

Удивительные свойства

Симметрия - очевидное свойство треугольника Паскаля. Если из верхней единицы провести вертикальную прямую, то числа справа и слева будут симметричны. Диагонали треугольника также симметричны. Диагонали вообще обладают рядом уникальных свойств. Если первая диагональ, как восточная, так и западная, представляет собой ряд сплошных единиц, то вторая - ряд натуральных чисел, третья - ряд треугольных чисел, а четвертая - тетраэдрических.

• Треугольные числа (1, 3, 6, 10…) - это числа, при помощи которых строятся плоские треугольники. Простыми словами, если в двухмерной игре вы захотите составить треугольник из круглых элементов, то вам понадобится выстроить элементы в количестве, советующему треугольным числам: сначала 6 кругов, потом 3, потом 1.
• Тетраэдрические числа (1, 4, 10, 20…) используются для построения объемных тетраэдров. Проще говоря, если вам понадобится сложить пушечные ядра аккуратной пирамидой, то в основании вам потребуется уложить 20 ядер, на них еще 10, сверху 4 и увенчать пирамиду одним верхним ядром.

Кроме того, если в треугольнике Паскаля четные числа заменить единицами, а нечетные - нулями, то получится треугольник Серпинского - известный фрактал, построенный польским математиком в начале 20 века.

Треугольник Паскаля также имеет удивительную связь с алгеброй. Если мы разложим бином Ньютона вида (1 + x) 2 , то получим 1 + 2x + x 2 . Если же это будет (1 + x) 3 , то в результате мы получим 1 + 3x + 3x 2 + x 3 . Если присмотреться, то биноминальные коэффициенты - это ни что иное как числа из соответствующего ряда треугольника Паскаля.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля - это бесконечная таблица элементов. При помощи нашего калькулятора вы можете построить таблицу любой размерности, однако не рекомендуется использовать слишком большие числа (n>100), так как столь огромные таблицы не имеют практического применения, а онлайн-калькулятор строит их слишком долго. Помимо элегантных свойств, используемых для решения биноминальных уравнений или построения тетраэдрических последовательностей, таблица Паскаля находит применение в комбинаторике.

Примеры из реальной жизни

Подсчет количества способов

Если на кафедре работают 7 математиков, и троих из них нужно отправить на городскую олимпиаду, то сколькими способами можно это сделать? Это стандартная задача на комбинаторику, в котором важен порядок элементов, то есть вариант «Сидоров, Иванов и Петров» отличается от варианта «Иванов, Петров, Сидоров», хотя выбранная группа математиков одна и та же. Такая ситуация возникает в случае, если преподаватели должны участвовать в разных конкурсах. При «ручном» решении нам пришлось бы использовать стандартные формулы для комбинаторики, однако проще воспользоваться свойствами треугольника Паскаля.

Для ответа на вопрос нам достаточно построить треугольник с n = 10, найти седьмой ряд и третье число в нем. Таким образом, существует 35 способов объединить математиков для поездки на олимпиаду.

Определение вероятности

В корзине лежит 20 шаров, пронумерованных от 1 до 20. Наугад мы берем 3 шара. Какова вероятность, что мы вытащим шары с номерами 5, 12 и 13? Для решения этой задачи нам потребуется построить треугольник Паскаля с n = 20, после чего найти двадцатый ряд и третье число в нем. Вытащить три шара можно 1140 способами. Вероятность наступления нашего события составит 3 из 1140.

Заключение

Треугольник Паскаля - простая таблица, которая таит в себе огромное количество математических тайн. Члены рядов связаны с биноминальными коэффициентами, совершенными числами, числами Фибоначчи, тетраэдрическими и треугольными числами. Используйте наш калькулятор для построения сетки необходимой вам размерности для решения самых разных математических задач.

Числовой треугольник Паскаля

В верхней строчке треугольника располагается одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше - слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю. Треугольник бесконечно простирается вниз; мы приводим лишь восемь верхних строчек: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …

Обозначим буквой n номер строки треугольника, а буквой k - номер числа в строке (нумерация начинается в обоих случаях с нуля). Чаще всего число в n -ой строке и на k -ом месте в этой строке обозначается C n k , реже - n k .

Назовём лишь некоторые факты, относящиеся к треугольнику Паскаля.

Числа в n -ой строке треугольника являются биномиальными коэффициентами , то есть коэффициентами в разложении n -ой степени бинома Ньютона : a + b n = ∑ k = 0 n C n k ⁢ a k ⁢ b n − k .

Сумма всех чисел в n -ой строке равна n -ой степени двойки: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Эта формула получается из формулы бинома, если положить a = b = 1 .

Можно доказать явную формулу для вычисления биномиального коэффициента: C n k = n ! k ! ⁢ n − k ! .

Если строки в треугольнике Паскаля выровнять по левому краю, то суммы чисел, расположенных вдоль диагоналей, идущих слева направо и снизу вверх, равны числам Фибоначчи - 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 … (каждое число в этой последовательности равно сумме двух предыдущих, а начинают последовательность две единицы): 1 ⬃ 1 2 1 ⬃ ⬃ 3 5 1 1 ⬃ ⬃ 8 13 1 2 1 ⬃ ⬃ 21 34 1 3 3 1 ⬃ ⬃ 55 89 1 4 6 4 1 ⬃ ⬃ 144 233 1 5 10 10 5 1 ⬃ ⬃ 377 610 1 6 15 20 15 6 1 ⬃ ⬃ 987 1597 1 7 21 35 35 21 7 1 ⬃ ⬃ 2584 4181 … ⬃ ⬃

Если раскрасить нечётные числа в треугольнике Паскаля в один цвет, а чётные - в другой, получится такая картина (на рисунке 10.1. «Треугольник Паскаля - Серпинского» указанным образом раскрашены числа в первых 128 строчках):

Похожее изображение можно построить следующим образом. В закрашенном треугольнике перекрасим в другой цвет его серединный треугольник (образованный серединами сторон исходного). Три маленьких треугольника, расположенные по углам большого, останутся закрашенными в прежний цвет. Поступим с каждым из них точно так же, как мы поступили с большим, то есть перекрасим в каждом серединный треугольник. То же самое сделаем с оставшимися треугольниками старого цвета. Если эту процедуру проделывать до бесконечности, на месте исходного треугольника останется двухцветная фигура. Та её часть, которая не перекрашена, называется треугольником Серпинского . Несколько первых этапов построения треугольника Серпинского показаны на рисунке 10.2. «Построение треугольника Серпинского» .

Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие - ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам). Самоподобие - одно из характерных свойств фракталов , о которых мы ещё поговорим в главе 44. «L-системы » . Треугольник Серпинского также будет упомянут в этой главе.

О таинственной связи треугольника Паскаля с простыми числами мы вычитали в книге в небольшой заметке Ю. Матиясевича . Заменим в треугольнике Паскаля числа на их остатки от деления на номер строки. Расположим строки в полученном треугольнике таким образом, чтобы следующая строка начиналась на две колонки правее начала предыдущей (см. рисунок 10.3. «Связь треугольника Паскаля с простыми числами»). Тогда столбцы с простыми номерами будут состоять из одних нулей, а в столбцах, чьи номера составные, найдётся ненулевое число.

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями. Одним из них является Блез Паскаль. Его творческая биография еще раз подтверждает истинность выражения Лиона Фейхтвангера «Талантливый человек, талантлив во всем». Все научные достижения этого великого ученого трудно перечесть. К их числу относится одно из самых элегантных изобретений в мире математики — треугольник Паскаля.

Несколько слов о гении

Блез Паскаль по современным меркам умер рано, в возрасте 39 лет. Однако за свою короткую жизнь он проявил себя как выдающийся физик, математик, философ и писатель. Благодарные потомки назвали в его честь единицу давления и популярный язык программирования Pascal. Он уже почти 60 лет используется для обучения написания различных кодов. Например, с его помощью каждый школьник может написать программу для вычисления площади треугольника на «Паскале», а также исследовать свойства схемы, о которой речь пойдет ниже.

Деятельность этого ученого с экстраординарным мышлением охватывает самые разные области науки. В частности, Блез Паскаль является одним из основателей гидростатики математического анализа, некоторых направлений геометрии и теории вероятностей. Кроме того, он:

• создал механический калькулятор, известный под названием Паскалева колеса;
• представил экспериментальное доказательство того, что воздух обладает упругостью и имеет вес;
• установил, что барометр можно использовать для предсказания погоды;
• изобрел тачку;
• придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Арифметический треугольник Паскаля

Как уже было сказано, этот великий французский ученый внес огромный вклад в математическую науку. Одним из его безусловных научных шедевров является «Трактат об арифметическом треугольнике», который состоит из биномиальных коэффициентов, расставленных в определенном порядке. Свойства этой схемы поражают своим разнообразием, а сама она подтверждает пословицу «Все гениальное — просто!».

Немного истории

Справедливости ради нужно сказать, что на самом деле треугольник Паскаля был известен в Европе еще в начале 16 века. В частности, его изображение можно увидеть на обложке учебника арифметики известного астронома Петра Апиана из Ингольтштадского университета. Похожий треугольник представлен и в качестве иллюстрации в книге китайского математика Ян Хуэй, изданной в 1303 году. О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

Описание

Прежде чем исследовать интереснейшие свойства треугольника Паскаля, прекрасного в своем совершенстве и простоте, стоит узнать, что он из себя представляет.

Говоря научным языком, эта числовая схема - бесконечная таблица треугольной формы, образованная из биномиальных коэффициентов, расположенных в определенном порядке. В его вершине и по бокам находятся цифры 1. Остальные позиции занимают числа, равные сумме двух чисел, расположенных над ними рядом выше. При этом все строки треугольника Паскаля симметричны относительно его вертикальной оси.

Основные свойства

Треугольник Паскаля поражает своим совершенством. Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

• первое и последнее числа — 1;
• второе и предпоследнее — n;
• третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде т. е. 1, 3, 6, 10): T n -1 = n (n - 1) / 2.
• четвертое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании.

Кроме того, сравнительно недавно, в 1972 году, было установлено еще одно свойство треугольника Паскаля. Для того чтобы его обнаружить, нужно записать элементы этой схемы в виде таблицы со сдвигом строк на 2 позиции. Затем отмечают числа, делящиеся на номер строки. Оказывается, что номер столбца, в котором выделены все числа, является простым числом.

Тот же трюк можно осуществить и по-другому. Для этого в треугольнике Паскаля заменяют числа на остатки от их деления на номер строки в таблице. Затем располагают строки в полученном треугольнике так, чтобы следующая из них начиналась правее на 2 колонки от первого элемента предыдущей. Тогда столбцы, имеющие номера, являющиеся простыми числами, будут состоять только из нулей, а в тех, у которых они составные, будет присутствовать хотя бы один ноль.

Связь с биномом Ньютона

Как известно, так называется формула для разложения на слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, которая имеет вид:

Присутствующие в них коэффициенты равны C n m = n! / (m! (n - m)!), где m, представляет собой порядковый номер числа в строке n треугольника Паскаля. Иными словами, имея под рукой эту таблицу, можно легко возводить в степень любые числа, предварительно разложив их на два слагаемых.

Таким образом, треугольник Паскаля и бином Ньютона взаимосвязаны самым тесным образом.

Математические чудеса

При внимательном изучении треугольника Паскаля можно обнаружить, что:

• сумма всех чисел в строке с порядковым номером n (отсчет ведется с 0) равна 2 n ;
• если строки выровнять по левому краю, то суммы чисел, которые расположены вдоль диагоналей треугольника Паскаля, идущих снизу вверх и слева направо, равны числам Фибоначчи;
• первая «диагональ» состоит из натуральных чисел, идущих по порядку;
• любой элемент из треугольника Паскаля, уменьшенный на единицу, равен сумме всех чисел, расположенных внутри параллелограмма, который ограничен левыми и правыми диагоналями, пересекающимися на этом числе;
• в каждой строке схемы сумма чисел на четных местах равна сумме элементов на нечетных местах.

Треугольник Серпинского

Такая интересная математическая схема, достаточно перспективная с точки зрения решения сложных задач, получается, если раскрасить четные числа Паскалевого изображения в один цвет, а нечетные — в другой.

Треугольник Серпинского можно выстроить и другим образом:

• в закрашенной схеме Паскаля перекрашивают в другой цвет серединный треугольник, который образован путем соединения середин сторон исходного;
• точно также поступают с тремя незакрашенными, расположеными в углах;
• если процедуру продолжать бесконечно, то в итоге должна получиться двухцветная фигура.

Самое интересное свойство треугольника Серпинского — его самоподобие, так как он состоит из 3-х своих копий, которые уменьшены в 2 раза. Оно позволяет отнести эту схему к фрактальным кривым, а они, как показывают новейшие исследования лучше всего подходят для математического моделирования облаков, растений, дельт рек, да и самой Вселенной.

Несколько интересных задач

Где используется треугольник Паскаля? Примеры задач, которые можно решать с его помощью, достаточно разнообразны и относятся к различным областям науки. Рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них.

Задача 1. У некоторого большого города, обнесенного крепостной стеной, только одни входные ворота. На первом перекрестке основная дорога расходится на две. То же происходит и на любом другом. В город заходят 210 человек. На каждом из встречающихся перекрестков они делятся пополам. Сколько человек будет находить на каждом перекрестке, когда делиться будет уже невозможно. Ее ответом является 10 строка треугольника Паскаля (формула коэффициентов представлена выше), где по обе стороны от вертикальной оси расположены числа 210.

Задача 2. Имеется 7 наименований цветов. Нужно составить букет из 3 цветков. Требуется выяснить, сколькими различными способами это можно сделать. Эта задача из области комбинаторики. Для ее решения опять же используем треугольник Паскаля и получаем на 7 строке на третьей позиции (нумерация в обоих случаях с 0) число 35.

Теперь вы знаете, что изобрел великий французский философ и ученый Блез Паскаль. Его знаменитый треугольник при правильном использовании может стать настоящей палочкой-выручалочкой для решения множества задач, особенно из области комбинаторики. Кроме того, его возможно использовать для разгадывания многочисленных загадок, связанных с фракталами.

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно , потому что это сумма чисел и .

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно .

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в Traité du triangle arithmétique как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вы можете увидеть исходный треугольник Паскаля .

Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если вы хотите выбрать объектов из данных, то количество возможных вариантов выбора равно -му числу в -й строке треугольника. Помните, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля! Используя это правило, мы видим, что существует ровно способов выбрать двух человек из четырех данных. И так — третье число в девятой строке треугольника, то существует способа выбрать трех человек из девяти данных. Научившись вычислять это, вы сделаете маленький шаг к вычислению всевозможных вероятностей.

На первый взгляд, кажется довольно непонятным, почему треугольник дает правильный ответ на этот вопрос. Может также показаться странным, что мы должны всегда начинать с нуля, чтобы заставить его работать. Чтобы увидеть, что все это совершенно верно, мы сделаем два замечания.

Во-первых, если у вас есть группа объектов, каким количеством способов вы можете выбрать нуль объектов из них? Есть ровно один способ выбрать нуль объектов, а именно: просто заявив, что вы не берете ни одного из них. Кроме того, у вас есть только один способ выбрать все объекты. И это как раз соответствует единицам на двух концах каждой строки.

Блез Паскаль

Во-вторых, если мы хотим выбрать предметов из данных , мы замечаем, что есть два взаимоисключающих сценария: либо наш любимый предмет является одним из выбранных, либо это не так. Если мы выбираем его, то мы должны также выбрать предмет из оставшихся предметов, чтобы выбрать ровно предметов. Если мы не выбираем данный предмет, то мы должны выбрать все предметов из данных предмета, оставшихся после исключения нашего любимого предмета. Так как это взаимоисключающие возможности, чтобы получить общее количество вариантов выбора, мы должны сложить количества вариантов в каждом сценарии.

Короче говоря, чтобы получить число способов выбора объектов из данных , мы должны сложить количество способов выбрать объект из , и число способов выбрать объектов из . Но это именно и есть правило сложения для треугольника Паскаля!

Мы уже знаем, что треугольник полностью определяется расположением единиц по его сторонам и правилом сложения. Так как эти свойства применимы также к ответу на вопрос о количестве вариантов выбора объектов, треугольник должен и здесь давать правильный ответ.

Возможность сделать такие расчеты неоценима во множестве случаев. Поэтому мало удивляет, что Паскаль не был первым. Данные числа были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. И, конечно, все узнают треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:

Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, вы можете найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет! Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если вы посмотрите внимательно, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.

В треугольнике много чудесного. Где же чудеса? Некоторые из них легко заметить. Если вы сложите числа в -й строке треугольника, вы всегда получите в степени (например, ). Для нас это довольно скучно.

Несколько более интересным является тот факт, что если вы сложите числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи. А последовательность чисел Фибоначчи сама содержит множество сюрпризов.

Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.

Давайте обозначим через произведение чисел в -й строке треугольника. Так, , и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для он нашел числа , получающиеся по следующей формуле:

Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.

И вот удивительная вещь: когда становится все больше, это отношение становится все ближе к числу ! Помните, — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное . Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Так как вы знаете, что нужно искать , несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к с ростом . Как вы можете видеть , для вычислений требуется всего лишь немного алгебры.

Вот такая симпатичная анимация Ричарда Грина наглядно показывает результат Харлана Бразерса:

Существует еще одно чудо в треугольнике, которое каждый должен знать. Давайте каждое число в треугольнике покрасим в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, мы могли бы покрасить четные числа белым, а нечетные — синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность:

Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского! Это приводит к разного рода вопросам. Число четное или нечетное, если оно при делении на дает остаток или соответственно. Что происходит, когда разделим на ? Остатки могут быть равны или . Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим прекрасную картину:

Комментариев: 6

1. 1 Murad :

   Грубые ошибки – абсурды, допущенные предками и нами

   Мои исследования раскрыли следующие грубые ошибки – абсурды, допущенные предками и нами:
   1. Считали, что человек – смертен, а оказывается, он вечен и идеален. Во Вселенной созданные тела, откуда вышли, туда никогда не возвращаются. Тогда нет смерти – все созданные тела во Вселенной живые. Все, до сих пор рожденные человеком восстанавливаются в вечном и идеальном виде, каждые 30-разрядными кодами – номерами находят свои идеальные пары, причем сумма кодов – номеров пар 30 девятки.
   2. Мы только поднимается на 4 ступени умственного развития, а их 7: Дальше не разделяемая величина 1бутто =1000 ст.-7 = 10 ст.-21 – начало, вес и объем живой клетки – живой души и дальше не расширяемая величина 1сапа =1000 ст.7 = 10 ст.21. Это размер каждой Солнечной системы и их будут 3 секстиллиона.
   3. Все созданные тела во Вселенной состоят одних и тех же клеток – кубов, веса и объема 1бутто = 10-21. Идеальная женщина 25-летная состоит из 360 секстиллионов клеток, а идеальный мужчина 25-летний 366 секстиллионов = 366х10ст.21 клеток, при этом каждая клетка есть сам человек. Это означает, что часть равна целому: Один «Я» за всех «366х10ст.21Я» и «366х10ст.21 Я» за одного «Я» – это для мужчин.
   4. Часть равна целому и нет никаких дробных чисел, а считали наоборот. Тогда нет иррациональных и трансцендентных чисел. Также нет логарифмы, тригонометрические функции, пределы, дифференциалы и интегралы, вариационные счисления, теории вероятности и статистики. Вселенная и знания конечны, а считали наоборот. Нет необходимости использования подкоренные выражения.
   5. Мы равенство Zn = Xn +Yn считали великой теоремой Ферма или Диофанта уравнение, а есть решение уравнения (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Тогда Zn = – (Xn +Yn) есть решение уравнения (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Перепутали решение с уравнением, а не знали само уравнение. Это абсурд, для математиков позор!
   Решения оптимизационных задач приводили к системам линейных, степенных и дифференциальных уравнений. Оказывается, что мы перепутали решение с системой уравнением, а не знали само уравнение: Zn = Xn +Yn есть решение уравнения (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Решение Zn = Xn +Yn есть +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) и -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)). Каждые 103n =10n х 102n – есть основание куба и одновременно рубика порядка 10n.
   Мы равенство c2= a2+ b2: квадрат гипотенузы = сумме квадрата катетов, считали теоремой Пифагора, а оказывается, что оно есть решение уравнения (c2- a2) a2 = (c2- b2) b2 . Тогда c2= – (a2+ b2) есть решение уравнения (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Это означает, что из 2-х равных прямоугольных треугольников, равными катетами можно образовать квадрат – основание куба. Из 12 равных прямоугольных треугольников, равными катетами можно образовать куб. В зависимости от длины катета можно образовать различные кубы и одновременно рубики.
   6. Мы не понимали смысла сложения и умножения 1(единиц). Если имеются 9 мужчин и 9 женщин, то 9 + 9 =18 человек. 10 мужчин и 9 женщин, то 10 + 9 =19 человек, 10 мужчин и 10 женщин, то 10 +10 =20 человек, 11 мужчин и 10 женщин, то 11 +10 =21 человек. Произведения 1(единиц):
   111111111 х 111111111= 12345678987654321; 1111111111 х 111111111= 123456789987654321. 0111111111 х 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 х 1111111110 = 01234567899876543210. Эти операции над 1-разрядными отрицательными и положительными целыми числами.
   Если 2 куба поставим в концах отрезка длины 20 единиц. Придадим одному заряд минус, 2-ому плюс, то они одновременно встречаются в середине отрезка, каждый проходя 10 единиц пути, если в пути нет преград: 01234567899876543210. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут начальные положения, при этом номера меняются: 98765432100123456789.
   Если 2 куба поставим в концах отрезка длины 200 единиц. Придадим одному заряд минус, 2-ому плюс, то они одновременно встречаются в середине отрезка, каждый проходя 100 единиц пути, если в пути нет преград: 00…9999…00. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут начальные положения, при этом номера меняются: 99…0000…99.
   Если 2 куба поставим в концах отрезка длины 2000 единиц. Придадим одному заряд минус, 2-ому плюс, то они одновременно встречаются в середине отрезка, каждый проходя 1000 единиц пути, если в пути нет преград: 000…999999…000. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут начальные положения, при этом номера меняются: 999…000000…999.
   Продолжая этот процесс, дойдем до 2секстиллиона единиц, то каждый куб, пройдя, 1секстиллинов пути встречаются в середине. Закон Ньютона о притяжении дополнить отталкиванием. Каждой 1 (единице) пути надо присвоить номер, и начинать с 21 нулей и закончить 21 девятки.
   Кода – номера, присваиваемые каждой паре – созданные тела во Вселенной, является произведением целых чисел, составленные из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, каждой человеческой паре присваивается 30 – разрядный код – номер, их сумма 30 девяток. Присвоение кода – номера каждого человека начинается с 30 нулей и заканчивается 30 девятки.
   Использования целые числа для нужды Человечества достаточны 3-й степени:
   -(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
   -(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
   7. Считали, что 1Кб = 1024б, а 1Kб =1000б, 1Kг =1000г, 1м =1000мм. У времени основание 60. 1час= 60мин., 1мин. = 60сек., 1сек = 60миллисек, 1миллисек =60микросек,1микросек =60наносек, 1наносек =60пикосек, 1пикосек =60фемтосек, 1фемтосек =60оттосек, 1оттоосек =60буттосек.
   8. В мире кубическая (основание квадратная) система координат, не прямоугольная (не декартовая). Это из того, что X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a – основание. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
   Прямоугольная (декартовая) система координат получается из свойства целых чисел: Сумма 2 чисел X и Y не меняется от сложения и вычитания числа b, а произведения меняются.
   X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
   X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
   X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
   X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
   9. Модель Земли не глобус, а куб и одновременно рубик порядка 24 – поверхности большой квадрат, разделенный на 576 маленьких квадратов, одинакового размера. Длина стороны маленького квадрата 1000 км = 10 ст.6 м. Каждый кв. м. поверхности Земли должно покрыто парами, а мы живем абсурдами.
   10. Центр Земли (начало, пупок) и началом времени находится на севере Туркмении (г. Куня-Ургенч, святое место 360), а считали, что начало времени Гринвичем.
   11. В мире множество календарей, а должен быть универсальный календарь Сапарова М;
   12. Новый год встречать – восход Солнца и вечером новолуние.
   13. Носит часы, показывающие 24 часов. Сутки -24 часов начинается и заканчивается восходом Солнца;
   14. В мире множество алфавитов и языков, а должен быть единственный цифровой язык.
   15 В мире множество наук, а должна быть единственная наука – Арифграф.
   16. Человек рождается через 9 месяцев = ¾ года, а день рождения отмечаем через год. Возраст человека определить формулой: (4n)/3, где n – число, делящее на 3 – через 3 года прибавить 1лет = 9 месяцев.
   17.В Периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева каждый химический элемент живой организм, все деньги – бумажные, металлические также живые организмы, то что едим, пьем, дышим и ходим по ними также являются живыми организмами. В этом убедимся, получив величину 1бутто=10ст.-21.
   Можете добавлять абсурды и как их исправлять, от этого выиграем, скоро станем вечными и идеальными.
   Только один выход – полный переход на 10-ю систему счисления. Если исправим все абсурды, то наши головы – компьютеры будут работать 1000 ст.1000 операции в секунду, и все наши проблемы решены.
   Обо всем в teoremaferma.far.ru, опубликовал в блогах и сообществах facebook.com и в группах yandex.ru.