Definition eines Dreiecks

Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei in Reihe miteinander verbundenen Punkten besteht.

Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel.

Es gibt viele Arten von Dreiecken und alle haben unterschiedliche Eigenschaften. Wir listen die wichtigsten Arten von Dreiecken auf:

1. Vielseitig(alle Seiten unterschiedlich lang);
2. Gleichschenklige(zwei Seiten sind gleich, zwei Winkel an der Basis sind gleich);
3. Gleichseitig(Alle Seiten und alle Winkel sind gleich).

Für alle Arten von Dreiecken gibt es jedoch eine universelle Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Dreiecks – dies ist die Summe der Längen aller Seiten des Dreiecks.

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Dreiecksumfangsformel

P = a + b + c P = a + b + c P=ein +b+C

A, b, c a, b, c a, b, c sind die Längen der Seiten des Dreiecks.

Lassen Sie uns das Problem analysieren, den Umfang eines Dreiecks zu finden.

Aufgabe

Das Dreieck hat Seiten: a = 28 cm, b = 46 cm, c = 51 cm. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks?

Lösung
Wir verwenden die Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Dreiecks und ersetzen diese durch ein a A, bb B Und c c C ihre Zahlenwerte:
P = a + b + c P = a + b + c P=ein +b+C
P=28+46+51=125cm P=28+46+51=125\text(cm)P=2 8 + 4 6 + 5 1 = 1 2 5 cm

Antwort:
P = 125 cm. P = 125 \text( cm.)P=1 2 5 cm .

Aufgabe

Das Dreieck ist gleichseitig mit einer Seitenlänge von 23 cm. Wie groß ist der Umfang des Dreiecks?

Lösung

P = a + b + c P = a + b + c P=ein +b+C

Aber gemäß der Bedingung haben wir ein gleichseitiges Dreieck, das heißt, alle seine Seiten sind gleich. In diesem Fall sieht die Formel wie folgt aus:

P = a + a + a = 3a P = a + a + a = 3aP=ein +ein +a =3a

Setzen Sie den Zahlenwert in die Formel ein und ermitteln Sie den Umfang des Dreiecks:

P = 3 ⋅ 23 = 69 cm P = 3\cdot23 = 69\text( cm)P=3 ⋅ 2 3 = 6 9 cm

Antwort
P = 69 cm. P = 69 \text( cm.)P=6 9 cm .

Aufgabe

In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Seite b 14 cm und die Basis a 9 cm. Ermitteln Sie den Umfang des Dreiecks.

Lösung
Wir verwenden die Formel, um den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln:

P = a + b + c P = a + b + c P=ein +b+C

Aber aufgrund der Bedingung haben wir ein gleichschenkliges Dreieck, das heißt, seine Seiten sind gleich. In diesem Fall sieht die Formel wie folgt aus:

P = a + b + b = 2b + a P = a + b + b = 2b + aP=ein +b+b=2b+A

Wir setzen numerische Werte in die Formel ein und ermitteln den Umfang des Dreiecks:

P = 2 ⋅ 14 + 9 = 28 + 9 = 37 cm P = 2 \cdot 14 + 9 = 28 + 9 = 37 \text( cm)P=2 ⋅ 1 4 + 9 = 2 8 + 9 = 3 7 cm

Antwort
P = 37 cm. P = 37\text( cm.)P=3 7 cm .

Eine der grundlegenden geometrischen Formen ist ein Dreieck. Es entsteht, wenn sich drei Liniensegmente schneiden. Diese Liniensegmente bilden die Seiten der Figur und die Punkte ihrer Schnittpunkte werden Eckpunkte genannt. Jeder Studierende eines Geometriekurses muss in der Lage sein, den Umfang dieser Figur zu ermitteln. Die erworbenen Fähigkeiten werden für viele im Erwachsenenalter nützlich sein, zum Beispiel für einen Studenten, Ingenieur, Bauunternehmer,

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln. Die Wahl der benötigten Formel hängt von den verfügbaren Quelldaten ab. Um diesen Wert in mathematischer Terminologie zu schreiben, wird eine spezielle Bezeichnung verwendet - P. Betrachten Sie den Umfang und die wichtigsten Methoden zu seiner Berechnung für dreieckige Figuren verschiedener Typen.

Der einfachste Weg, den Umfang einer Form zu ermitteln, besteht darin, Daten für alle Seiten zu haben. In diesem Fall wird die folgende Formel verwendet:

Der Buchstabe „P“ bezeichnet den Wert des Umfangs selbst. „a“, „b“ und „c“ sind wiederum die Längen der Seiten.

Wenn man die Größe der drei Größen kennt, reicht es aus, ihre Summe, also den Umfang, zu ermitteln.

Alternative Möglichkeit

Bei mathematischen Problemen sind selten alle angegebenen Längen bekannt. In solchen Fällen empfiehlt es sich, einen alternativen Weg zu nutzen, um den gewünschten Wert zu ermitteln. Wenn die Bedingungen die Länge zweier Geraden sowie den Winkel zwischen ihnen angeben, erfolgt die Berechnung durch die Suche nach der dritten. Um diese Zahl zu ermitteln, müssen Sie die Quadratwurzel mithilfe der Formel ermitteln:

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Umfang auf beiden Seiten

Um den Umfang zu berechnen, ist es nicht notwendig, alle Daten einer geometrischen Figur zu kennen. Betrachten Sie die Berechnungsmethoden auf zwei Seiten.

Gleichschenkligen Dreiecks

Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei seiner Seiten gleich lang sind. Sie werden seitlich genannt und die dritte Seite wird Basis genannt. Gleiche Linien bilden einen Scheitelwinkel. Ein Merkmal in einem gleichschenkligen Dreieck ist das Vorhandensein einer Symmetrieachse. Die Achse ist eine vertikale Linie, die in der oberen Ecke beginnt und in der Mitte der Basis endet. Im Kern umfasst die Symmetrieachse die folgenden Konzepte:

• Scheitelwinkelhalbierende;
• Median zur Basis;
• die Höhe des Dreiecks;
• Mittelsenkrechte.

Um den Umfang einer gleichschenkligen Dreiecksfigur zu bestimmen, verwenden Sie die Formel.

In diesem Fall müssen Sie nur zwei Größen kennen: die Basis und die Länge einer Seite. Die Bezeichnung „2a“ impliziert die Multiplikation der Seitenlänge mit 2. Zu der resultierenden Zahl müssen Sie den Wert der Basis addieren – „b“.

Im Ausnahmefall, wenn die Länge der Grundfläche eines gleichschenkligen Dreiecks gleich seiner Seitenlinie ist, kann eine einfachere Methode verwendet werden. Es wird in der folgenden Formel ausgedrückt:

Um das Ergebnis zu erhalten, genügt es, diese Zahl mit drei zu multiplizieren. Diese Formel wird verwendet, um den Umfang eines regelmäßigen Dreiecks zu ermitteln.

Nützliches Video: Probleme am Umfang eines Dreiecks

Dreieck rechteckig

Der Hauptunterschied zwischen einem rechtwinkligen Dreieck und anderen geometrischen Formen dieser Kategorie besteht im Vorhandensein eines Winkels von 90°. Auf dieser Grundlage wird die Art der Figur bestimmt. Bevor Sie bestimmen, wie Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks ermitteln, sollten Sie beachten, dass dieser Wert für jede flache geometrische Figur die Summe aller Seiten ist. In diesem Fall lässt sich das Ergebnis am einfachsten ermitteln, indem man die drei Werte summiert.

In der wissenschaftlichen Terminologie werden die Seiten, die an den rechten Winkel angrenzen, „Beine“ genannt, und das Gegenteil des 90°-Winkels ist die Hypotenuse. Die Merkmale dieser Figur wurden vom antiken griechischen Wissenschaftler Pythagoras untersucht. Nach dem Satz des Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

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Basierend auf diesem Theorem wurde eine weitere Formel abgeleitet, die erklärt, wie man den Umfang eines Dreiecks mit zwei bekannten Seiten ermittelt. Mit der folgenden Methode können Sie den Umfang mit der angegebenen Länge der Beine berechnen.

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Um den Umfang herauszufinden und Informationen über die Größe eines Beins und der Hypotenuse zu haben, müssen Sie die Länge der zweiten Hypotenuse bestimmen. Zu diesem Zweck werden folgende Formeln verwendet:

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Auch der Umfang des beschriebenen Figurentyps wird ohne Angabe der Beinabmessungen bestimmt.

Sie müssen die Länge der Hypotenuse sowie den angrenzenden Winkel kennen. Wenn man die Länge eines der Beine kennt und sich daneben ein Winkel befindet, wird der Umfang der Figur nach folgender Formel berechnet:

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P=a+b+c So ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks: Jeder weiß, dass der Umfang leicht zu ermitteln ist – Sie müssen nur alle drei Seiten des Dreiecks addieren. Es gibt jedoch mehrere andere Möglichkeiten, die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks zu ermitteln. Schritt 1 Bestimmen Sie anhand des Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises und seiner Fläche den Umfang mithilfe der Formel P=2S/r. Schritt 2 Wenn Sie zwei Winkel, zum Beispiel α und β, neben der Seite und die Länge dieser Seite kennen, verwenden Sie zur Ermittlung des Umfangs die Formel a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). Schritt 3 Wenn die Bedingung benachbarte Seiten und den Winkel β zwischen ihnen angibt, berücksichtigen Sie beim Ermitteln des Umfangs den Kosinussatz. Dann ist P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), wobei a^2 und b^2 die Quadrate der Längen benachbarter Seiten sind. Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Länge der dritten unbekannten Seite, ausgedrückt durch den Kosinussatz. Schritt 4 Für ein gleichschenkliges Dreieck hat die Umfangsformel die Form P=2a+b, wobei a die Seiten und b die Basis sind. Schritt 5 Berechnen Sie den Umfang eines regelmäßigen Dreiecks mit der Formel P=3a. Schritt 6 Ermitteln Sie den Umfang anhand der Radien der Kreise, die in das Dreieck eingeschrieben oder umschrieben sind. Denken Sie also für ein gleichseitiges Dreieck an die Formel P=6r√3=3R√3 und verwenden Sie sie, wobei r der Radius des eingeschriebenen Kreises und R der Radius des umschriebenen Kreises ist. Schritt 7 Für ein gleichschenkliges Dreieck wenden Sie die Formel P=2R(2sinα+sinβ) an, wobei α der Winkel an der Basis und β der Winkel gegenüber der Basis ist.

Vorabinformationen

Der Umfang einer flachen geometrischen Figur in der Ebene ist definiert als die Summe der Längen aller ihrer Seiten. Das Dreieck ist hier keine Ausnahme. Zunächst geben wir das Konzept eines Dreiecks sowie die Dreieckstypen in Abhängigkeit von den Seiten an.

Definition 1

Wir nennen ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei durch Segmente verbundenen Punkten besteht (Abb. 1).

Definition 2

Die Punkte in Definition 1 werden als Eckpunkte des Dreiecks bezeichnet.

Definition 3

Die Segmente im Rahmen von Definition 1 werden als Seiten des Dreiecks bezeichnet.

Offensichtlich hat jedes Dreieck drei Eckpunkte und drei Seiten.

Abhängig vom Verhältnis der Seiten zueinander werden Dreiecke in ungleichseitige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke unterteilt.

Definition 4

Ein Dreieck heißt skalenförmig, wenn keine seiner Seiten einer anderen gleich ist.

Definition 5

Wir nennen ein Dreieck gleichschenklig, wenn zwei seiner Seiten einander gleich sind, aber nicht gleich der dritten Seite.

Definition 6

Ein Dreieck heißt gleichseitig, wenn alle seine Seiten einander gleich sind.

Sie können alle Arten dieser Dreiecke in Abbildung 2 sehen.

Wie finde ich den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein ungleichseitiges Dreieck mit den Seitenlängen $α$, $β$ und $γ$.

Abschluss: Um den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie alle Längen seiner Seiten.

Beispiel 1

Ermitteln Sie den Umfang eines ungleichseitigen Dreiecks mit den Maßen 34 cm, 12 cm und 11 cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Antwort: 57 $ siehe.

Beispiel 2

Finden Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel 6$ und 8$ cm lang sind.

Zuerst ermitteln wir die Länge der Hypotenusen dieses Dreiecks mithilfe des Satzes des Pythagoras. Bezeichnen Sie es dann mit $α$

$α=10$ Gemäß der Regel zur Berechnung des Umfangs eines ungleichseitigen Dreiecks erhalten wir

$P=10+8+6=24$ cm

Antwort: 24 $ sehen.

Wie finde ich den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks?

Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Seitenlänge gleich $α$ und dessen Grundlänge gleich $β$ sei.

Durch die Definition des Umfangs einer flachen geometrischen Figur erhalten wir das

$P=α+α+β=2α+β$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, addieren Sie die doppelte Länge seiner Seiten zur Länge seiner Grundfläche.

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Seiten 12 cm und dessen Grundfläche 11 cm betragen.

Aus dem obigen Beispiel sehen wir das

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Antwort: 35 $ siehe.

Beispiel 4

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Höhe zur Basis $8$ cm und die Basis $12$ cm beträgt.

Betrachten Sie die Zahl je nach Zustand des Problems:

Da das Dreieck gleichschenklig ist, ist $BD$ auch ein Median, also $AD=6$ cm.

Nach dem Satz des Pythagoras ermitteln wir aus dem Dreieck $ADB$ die Seite. Bezeichnen Sie es dann mit $α$

Nach der Regel zur Berechnung des Umfangs eines gleichschenkligen Dreiecks erhalten wir

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Antwort: 32 $ siehe.

Wie finde ich den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks?

Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit der Länge aller Seiten gleich $α$.

Durch die Definition des Umfangs einer flachen geometrischen Figur erhalten wir das

$P=α+α+α=3α$

Abschluss: Um den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks zu ermitteln, multiplizieren Sie die Seitenlänge des Dreiecks mit $3$.

Beispiel 5

Ermitteln Sie den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Seitenlänge $12$ cm beträgt.

Aus dem obigen Beispiel sehen wir das

$P=3\cdot 12=36$ cm

Ein Dreieck ist eine der grundlegenden geometrischen Formen, bei der es sich um drei sich schneidende Liniensegmente handelt. Diese Zahl war sogar den Wissenschaftlern des alten Ägypten, des antiken Griechenlands und des alten China bekannt, die die meisten Formeln und Muster abgeleitet haben, die bisher von Wissenschaftlern, Ingenieuren und Designern verwendet wurden.

Die Hauptbestandteile eines Dreiecks sind:

Eckpunkte - Schnittpunkte von Segmenten.

Die Seiten sind sich schneidende Liniensegmente.

Basierend auf diesen Komponenten formulieren sie Konzepte wie den Umfang eines Dreiecks, seine Fläche, die eingeschriebenen und umschriebenen Kreise. Seit der Schulzeit ist bekannt, dass der Umfang eines Dreiecks ein numerischer Ausdruck der Summe aller drei seiner Seiten ist. Gleichzeitig gibt es sehr viele Formeln, um diesen Wert zu ermitteln, abhängig von den Ausgangsdaten, die dem Forscher in diesem oder jenem Fall vorliegen.

1. Der einfachste Weg, den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln, besteht darin, die numerischen Werte aller drei Seiten (x, y, z) zu kennen. Daraus folgt:

2. Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks kann ermittelt werden, wenn man bedenkt, dass bei einer gegebenen Figur jedoch alle Seiten, wie auch alle Winkel, gleich sind. Wenn man die Länge dieser Seite kennt, kann der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks durch die Formel bestimmt werden:

3. In einem gleichschenkligen Dreieck haben im Gegensatz zu einem gleichseitigen Dreieck nur zwei Seiten den gleichen Zahlenwert, daher sieht der Umfang in diesem Fall im Allgemeinen wie folgt aus:

4. Die folgenden Methoden sind in Fällen erforderlich, in denen die Zahlenwerte nicht aller Seiten bekannt sind. Wenn die Studie beispielsweise Daten auf zwei Seiten enthält und der Winkel zwischen ihnen bekannt ist, kann der Umfang des Dreiecks mithilfe der Definition der dritten Seite und des bekannten Winkels ermittelt werden. In diesem Fall wird dieser Dritte nach der Formel gefunden:

z= 2x+2y-2xycosβ

Auf dieser Grundlage beträgt der Umfang des Dreiecks:

P= x+y+2x+(2y-2xycos β)

5. Wenn zunächst die Länge von nicht mehr als einer Seite des Dreiecks angegeben ist und die Zahlenwerte der beiden angrenzenden Winkel bekannt sind, kann der Umfang des Dreiecks auf dieser Grundlage berechnet werden der Sinussatz:

P = x+sinβ x/(sin(180°-β)) + sinγ x/(sin(180°-γ))

6. Es gibt Fälle, in denen die bekannten Parameter des darin eingeschriebenen Kreises verwendet werden, um den Umfang eines Dreiecks zu ermitteln. Diese Formel kennen die meisten auch von der Schulbank:

P= 2S/r (S ist die Fläche des Kreises, während r sein Radius ist).

Aus all dem ist ersichtlich, dass der Wert des Umfangs eines Dreiecks auf viele Arten ermittelt werden kann, basierend auf den Daten, über die der Forscher verfügt. Darüber hinaus gibt es noch einige weitere Sonderfälle bei der Ermittlung dieses Wertes. Der Umfang ist also eine der wichtigsten Größen und Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks.

Wie Sie wissen, nennt man ein solches Dreieck eine Figur, deren beiden Seiten einen rechten Winkel bilden. Der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks wird durch den numerischen Ausdruck der Summe beider Schenkel und der Hypotenuse ermittelt. Für den Fall, dass der Forscher die Daten nur auf zwei Seiten kennt, kann der Rest mit dem berühmten Satz des Pythagoras berechnet werden: z = (x2 + y2), wenn beide Schenkel bekannt sind, oder x = (z2 – y2), wenn Hypotenuse und Bein bekannt sind.

Für den Fall, dass die Länge der Hypotenuse und einer der angrenzenden Winkel bekannt sind, werden die anderen beiden Seiten durch die Formeln ermittelt: x = z sinβ, y = z cosβ. In diesem Fall beträgt der Umfang:

P= z(cosβ + sinβ +1)

Ein Sonderfall ist auch die Berechnung des Umfangs eines regelmäßigen (oder gleichseitigen) Dreiecks, also einer Figur, bei der alle Seiten und alle Winkel gleich sind. Den Umfang eines solchen Dreiecks von einer bekannten Seite aus zu berechnen, ist kein Problem, oft kennt der Forscher jedoch andere Daten. Wenn also der Radius des eingeschriebenen Kreises bekannt ist, lässt sich der Umfang eines regelmäßigen Dreiecks mit der Formel ermitteln:

Und wenn der Wert des Radius des umschriebenen Kreises angegeben ist, ergibt sich der Umfang eines regelmäßigen Dreiecks wie folgt:

Formeln müssen auswendig gelernt werden, um sie in der Praxis erfolgreich anwenden zu können.