Bau von Abschnitten Polyeder

Stereometrie 10. Klasse

Von einem Mathematiklehrer ausgefüllt

MBOU „Molodkovskaya-Sekundarschule“

Stepchenko M.A.

Der Zweck der Lektion:

Entwickeln Sie Fähigkeiten zur Lösung von Problemen, bei denen es um die Konstruktion von Abschnitten eines Tetraeders und eines Parallelepipeds geht

„Sag es mir und ich werde es vergessen. Zeig es mir und ich werde mich daran erinnern ...“

Altchinesisch

Sprichwort

Das ist interessant!

Viele Künstler verzerren die Gesetze der Perspektive und malen ungewöhnliche Bilder. Diese Zeichnungen erfreuen sich übrigens bei Mathematikern großer Beliebtheit. Im Internet finden Sie viele Seiten, auf denen diese unmöglichen Objekte veröffentlicht werden.

Die bekannten Künstler Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey und andere überraschten Mathematiker mit ihren Gemälden.

„Das kann nur jemand zeichnen, der einen Entwurf macht, ohne die Perspektive zu sehen ...“

Jos de Mey

In Computerspielen werden die Gesetze der Geometrie häufig verletzt.

Wenn wir diese Leiter erklimmen, bleiben wir auf derselben Etage.

A 2 . Wenn zwei Punkte auf einer Geraden liegen

liegen in der Ebene, dann alle Punkte

Geraden liegen in dieser Ebene.

Geometrie: Lehrbuch. Für die Klassen 10-11. Allgemeinbildung Institutionen / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev und andere – 9. Auflage, in der geänderten Fassung. – M.: Aufklärung, 2000. – 206 S.: Abb. – ISBN 5-09-008612-5.

Hier darf keine Leiter sein!

A

„Wer sich in die Praxis ohne Theorie verliebt, ist wie ein Seemann, der ohne Ruder und Kompass an Bord eines Schiffes geht und deshalb nie weiß, wohin er fährt.“

Leonardo da Vinci

http://blogs.nnm.ru/page6/

AXIOME

Planimetrie

Stereometrie

Charakterisieren Sie die relative Position von Punkten und Linien

A1. Durch drei beliebige Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, geht eine Ebene durch, und zwar nur eine

1. Jede Linie enthält mindestens zwei Punkte

A2. Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, dann liegen alle Punkte der Geraden in dieser Ebene

2. Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen

3. Eine Gerade geht durch zwei beliebige Punkte und nur durch einen.

A3. Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Linie, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.

Das Grundkonzept der Geometrie ist „dazwischen liegen“.

4. Von den drei Punkten auf einer Geraden liegt nur einer zwischen den beiden anderen.

Flugzeug (einschließlich Sekante) angegeben werden nächste Weg

Ein Schnittpunkt

Keine Schnittpunkte

Durch Überqueren

Ist Flugzeug

Durch Überqueren

ist ein Segment

Schnittebene Parallelepiped (Tetraeder) ist jede Ebene, auf deren beiden Seiten sich Punkte eines bestimmten Parallelepipeds (Tetraeders) befinden.

Einen Abschnitt eines Polyeders mit einer Ebene zu konstruieren bedeutet, die Schnittpunkte der Schnittebene mit den Kanten des Polyeders anzugeben und diese Punkte mit Segmenten zu verbinden, die zu den Flächen des Polyeders gehören.

Um einen Abschnitt eines Polyeders mit einer Ebene zu konstruieren, müssen Sie die Ebene jeder Fläche angeben 2 Punkte, die zum Abschnitt gehören, verbinden Sie sie mit einer Geraden und finden Sie die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Kanten des Polyeders.

Ein Nachschlagewerk zu Methoden zur Lösung mathematischer Probleme für die Oberstufe. Tsypkin A.G., Pinsky A.I./Under. Herausgegeben von V. I. Blagodatskikh. – M.: Wissenschaft. Hauptredaktion für physikalische und mathematische Literatur, 1983. – 416 S.

Schnittebene schneidet die Flächen eines Tetraeders (Parallelepipeds) entlang Segmente.

L

Polygon deren Seiten diese Segmente sind, heißt Querschnitt Tetraeder ((Parallelepiped).

Schnittebene

Die Schnittebene schneidet die Flächen des Tetraeders entlang von Segmenten.

Das Polygon, dessen Seiten diese Segmente sind, ist Tetraederabschnitt .

Um viele geometrische Probleme zu lösen, ist es notwendig, sie zu konstruieren Abschnitte verschiedene Flugzeuge.

Um einen Schnitt zu konstruieren, müssen Sie die Schnittpunkte der Schnittebene mit den Kanten konstruieren und diese mit Segmenten verbinden.

Folgendes ist zu berücksichtigen:

1. Sie können nur zwei Punkte liegend verbinden

in der Ebene einer Fläche.

2. Eine Schnittebene schneidet parallele Flächen entlang paralleler Segmente.

3. Wenn in der Gesichtsebene nur ein Punkt markiert ist, der zur Schnittebene gehört, muss ein zusätzlicher Punkt konstruiert werden. Dazu ist es notwendig, die Schnittpunkte der bereits konstruierten Linien mit anderen Linien zu finden, die auf denselben Flächen liegen.

Welche Polygone können in einem Abschnitt erhalten werden?

Ein Tetraeder hat 4 Flächen

Die Abschnitte können wie folgt aussehen:

• Vierecke

• Dreiecke

Das Parallelepiped hat 6 Flächen

• Fünfecke

• Dreiecke

In seinen Abschnitten

könnte sich herausstellen:

• Sechsecke

• Vierecke

Blitz - Umfrage

• Die Aufgabe der Blitzumfrage besteht darin, Fragen zu beantworten und die Antwort anhand von Axiomen, Theoremen und Eigenschaften paralleler Ebenen zu begründen.

Blitzumfrage.

D 1

MIT 1

Glauben Sie, dass sich die Geraden NK und BB 1 schneiden?

A 1

B 1

Blitzumfrage.

D 1

MIT 1

A 1

Glaubst du das

direkt NK und BB 1

schneiden?

B 1

Blitzumfrage.

D 1

MIT 1

Glauben Sie, dass sich direkte NK und MR überschneiden?

A 1

B 1

Die Zeichnung hat

schon wieder ein Fehler!

Glauben Sie, dass gerade Linien H R und NK

schneiden?

Blitzumfrage.

MIT 1

D 1

A 1

B 1

Die Zeichnung hat

schon wieder ein Fehler!

Schneiden sich die Linien H R und A 1 B 1?

Blitzumfrage.

Schneiden sich die Linien H R und C 1 D 1?

D 1

MIT 1

A 1

B 1

Überschneiden sie sich?

direkte NK und DC?

Überschneiden sie sich?

Geraden NK und A D?

Glauben Sie

das direkte MO und AC

schneiden?

Blitzumfrage.

Gerade MO und AB schneiden sich, weil liegen in derselben Ebene (A D C). Gerade MO und AB schneiden sich nicht, weil liegen in verschiedenen Ebenen (A D C) und (A D B) – diese Ebenen schneiden sich entlang der Geraden A D, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.

Glauben Sie

das direkte MO und AB

schneiden?

Die Fähigkeit, Probleme zu lösen, ist eine praktische Kunst, wie Schwimmen oder Skifahren...: Das kann man nur lernen, indem man ausgewählte Vorbilder nachahmt und ständig übt...

D. Polya

Eigentum

parallele Ebenen.

Wenn zwei parallele Ebenen

vom Dritten gekreuzt,

dann die Linien ihrer Schnittpunkte

parallel.

A

B

Diese Eigenschaft wird uns helfen

beim Erstellen von Abschnitten.

Die einfachsten Aufgaben.

D 1

MIT 1

B 1

A 1

Wir verbinden zwei Punkte, die zur gleichen Fläche des Polyeders gehören, mit Segmenten. Wenn man die Spitze einer Pyramide abschneidet, erhält man einen Pyramidenstumpf.

Die einfachsten Aufgaben.

Diagonale Abschnitte.

D 1

MIT 1

D 1

MIT 1

A 1

B 1

A 1

B 1

Wir verbinden zwei Punkte, die zur gleichen Fläche des Polyeders gehören, mit Segmenten. Diagonale Abschnitte.

D 1

MIT 1

A 1

B 1

Axiomatische Methode

Trace-Methode

• Trace-Methode

Der Kern der Methode besteht darin, eine Hilfslinie zu konstruieren, die ein Bild der Schnittlinie der Schnittebene mit der Ebene einer beliebigen Fläche der Figur ist. Am bequemsten ist es, ein Bild der Schnittlinie der Schnittebene mit der Ebene der unteren Basis zu erstellen. Diese Linie wird Spur der Schnittebene genannt. Mithilfe der Spur lassen sich leicht Bilder der an den Seitenkanten liegenden Punkte der Schnittebene konstruieren oder Kanten einer Figur.

1. Konstruieren Sie Abschnitte eines Parallelepipeds mit einer Ebene, die durch die Punkte B 1, M, N verläuft

7. Fahren wir mit MN und BD fort.

2.Weiter MN,BA

5. B 1 O ∩ A 1 A=K

10. B 1 E ∩ D 1 D=P, PN

Konstruieren Sie einen Abschnitt eines Polyeders mit einer Ebene, die durch die Punkte verläuft M, R, K, wenn K zur Ebene a gehört.

Lösungen zu Option 1.

Lösungen für Option 2.

Regeln zur Selbstkontrolle:

• Die Eckpunkte des Abschnitts liegen nur an den Kanten.

• Die Seiten des Abschnitts liegen nur am Rand des Polyeders.

• Eine Schnittebene schneidet eine Fläche oder Flächenebene nur einmal.

Wenn Sie schwimmen lernen wollen, dann gehen Sie mutig ins Wasser, und wenn Sie lernen wollen, wie man Probleme löst, dann lösen Sie sie

(D. Polya)

• Atanasyan L.S., et al. Geometrie 10-11. – M.: Bildung, 2008.
• Litvinenko V.N., Polyeder. Probleme und Lösungen. – M.: Vita-Press, 1995.
• Smirnov V.A., Smirnova I.M., Einheitliches Staatsexamen 100 Punkte. Geometrie. Abschnitt von Polyedern. – M.: Prüfung, 2011.
• Pädagogische und methodische Beilage zur Zeitung „Erster September“ „Mathematik“. Fedotova O., Kabakova T. Integrierte Lektion „Konstruktion von Abschnitten eines Prismas“, 9/2010.

• Ziv B.G. Didaktisches Material zur Geometrie für die 10. Klasse. – M., Bildung, 1997.
• Elektronische Ausgabe „1C: Schule. Mathematik, 5.-11. Klasse. Werkstatt"

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

Chudaeva Elena Vladimirovna, Mathematiklehrerin,

Städtische Bildungseinrichtung „Insarskaya-Sekundarschule Nr. 1“,

Insar, Republik Mordwinien

Konstruktion von Polyederabschnitten

Pädagogische und methodische Unterstützung: Atanasyan L.S. und andere. Geometrieklassen 10-11.

Ausrüstung und Materialien für den Unterricht: Computer, Beamer, Leinwand, unterrichtsbegleitende Präsentation, Schülerhandouts.

Der Zweck der Lektion: Vertiefung, Verallgemeinerung, Systematisierung, Festigung des erworbenen Wissens und ihre zukünftige Entwicklung (Studieren Sie die Trace-Methode)

Lernziele:

1. Motivation bei Schülern schaffen, sich mit diesem Thema zu beschäftigen.

2. Entwickeln Sie bei den Schülern die Fähigkeit, Grundwissen zu nutzen, um neues Wissen zu erlangen.

3. Entwickeln Sie das Denken der Schüler (die Fähigkeit, wesentliche Merkmale zu erkennen und Verallgemeinerungen vorzunehmen).

4. Entwickeln Sie bei den Studierenden die Fähigkeiten eines kreativen Ansatzes zur Lösung von Problemen und die Fähigkeiten der Forschungsarbeit an einem Problem.

Kenntnisse, Fähigkeiten, Fertigkeiten und Qualitäten, die die Studierenden im Unterricht festigen:

die Fähigkeit, Grundwissen zu nutzen, um neues Wissen zu erlangen;

die Fähigkeit, wesentliche Merkmale zu erkennen und Verallgemeinerungen vorzunehmen;

Fähigkeiten einer kreativen Herangehensweise an die Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Konstruktion von Abschnitten

Unterrichtsplan:

1. Motivationsbildung bei Schülern, sich mit diesem Thema zu beschäftigen.

2. Hausaufgaben überprüfen. Historische Informationen.

3. Wiederholung von Grundkenntnissen (Axiomatik, Methoden zur Definition einer Ebene).

4. Anwendung von Wissen in einer Standardsituation.

5. Neues Material studieren und festigen: die Trace-Methode.

6. Selbstständiges Arbeiten.

7. Zusammenfassung der Lektion.

8. Hausaufgaben.

Während des Unterrichts: ICH Bühne – Einführungsgespräch.

Hausaufgaben überprüfen. (6-7 Minuten)

Formen und Methoden der Arbeit

Aktivitäten

Studenten

1. Motivation

Einführungsgespräch (1 Min.)

Lehrer hören zu

2. Hausaufgaben überprüfen

Kommentare zu studentischen Minireden

Hören Sie sich die Reden Ihrer Kameraden an und stellen Sie Fragen

II Bühne– Wissen aktualisieren (10 Min.)

(Wiederholung des theoretischen Materials)

Formen und Methoden der Arbeit

Aktivitäten

Studenten

1. Wiederholung der Axiome der Stereometrie

2. Wiederholung: relative Lage von Linien und Ebenen im Raum

3. Verallgemeinerung der Theorie

Fazit zu Methoden zur Definition einer Ebene

Aufzeichnung der Ausgabe in einem Notizbuch

4. Wiederholung des Konzepts eines Polyeders und des Schnitts eines Polyeders durch eine Ebene

Studentenbefragung

Mündliche Antworten auf Lehrerfragen

III Bühne– Anwendung des Wissens in einer Standardsituation (6-7 Min.)

(Arbeiten nach vorgefertigten Zeichnungen)

Formen und Methoden der Arbeit

Aktivitäten

Studenten

Lösung typischer Probleme anhand vorgefertigter Zeichnungen (jeder Schüler erhält ein Arbeitsblatt mit den Bedingungen des Problems und eine Zeichnung zum Aufbau eines Abschnitts).

Gemeinsame Lösung des ersten Problems (ausführliche Kommentierung der Lösungsschritte und Festhalten des Entwurfs in einem Arbeitsblatt).

Studieren Sie die Bedingungen des Problems, arbeiten Sie an vorgefertigten Zeichnungen und analysieren Sie anschließend die Lösung anhand der Folien.

IV Bühne–MITEigenschaften paralleler Ebenen (6 Min.)

Formen und Methoden der Lehrerarbeit

Arten von studentischen Aktivitäten

1. Wiederholung des Themas „Parallelität der Ebenen“.

2. Problemlösung

Arbeiten an vorgefertigten Folien (Frontalbefragung der Studierenden)

Überprüfung der Richtigkeit der Aufgabe

Mündliche Antworten auf Lehrerfragen

Abschnitte in einem Arbeitsblatt konstruieren.

Antworten finden Sie an der Tafel.

Stufe V – Zugang zu neuem Wissen: „Methode der Spuren“ (6 Min.)

Formen und Methoden der Arbeit

Aktivitäten

Studenten

1. Neues Material lernen

2. Konsolidierung von neuem Material

Erläuterung des neuen Materials. Zeigt einen Lehrausschnitt des Lehrfilms „Wie konstruiert man einen Würfelquerschnitt?“

Arbeiten nach vorgefertigten Zeichnungen an der Tafel (mit anschließender Kommentierung der Phasen des Aufbaus eines Abschnitts auf einer Folie)

Hören Sie sich die Erklärung des Lehrers an. Ansehen eines Lehrfilms. Analyse von Videofragmenten, Aufzeichnen einer Beispiellösung.

Zwei Schüler lösen an der Tafel, der Rest auf dem Arbeitsblatt

VI Bühne - Selbstständiges Arbeiten (4-5 Min.)

Formen und Methoden der Arbeit

Aktivitäten

Studenten

Unabhängige pädagogische Arbeit

Erläuterung der durchzuführenden Arbeiten.

Überprüfung der Erledigung der Aufgabe.

Durchführen selbstständiger Arbeiten (anhand vorgefertigter Zeichnungen).

Selbsttest mit vorgefertigten Folien.

VII Bühne– Zusammenfassung der Lektion (4 Min.)

Formen und Methoden der Arbeit

Aktivitäten

Studenten

1. Zusammenfassung

2. Kreative Hausaufgaben

Diskussion nach der Unterrichtsstunde anhand von Folien

Auf Leinwand projiziert

Mündliche Antworten auf Lehrerfragen

Eintrag in Tagebüchern

WÄHREND DES UNTERRICHTS

Einführungsgespräch. Historische Informationen.

Lehrer: Hallo Leute! Das Thema unserer Lektion ist „Konstruktion von Polyederabschnitten auf der Grundlage der Axiomatik“. Während der Lektion fassen wir das behandelte theoretische Material zusammen, systematisieren es und wenden es auf praktische Probleme beim Aufbau von Abschnitten an, um so einen neuen, komplexeren Schwierigkeitsgrad der Aufgabe zu erreichen.

Das Hauptziel Unsere Lektion in der Vertiefung, Systematisierung, Festigung des erworbenen Wissens und deren Entwicklung in der Zukunft.

Als Hausaufgabe wurden Sie gebeten, Aufsätze oder kurze Reden über die Entwicklungsgeschichte der Geometrie, über das Leben großer Mathematiker, über ihre berühmten Entdeckungen und Theoreme zu schreiben. Die Berichte und Abstracts erwiesen sich als sehr interessant, aber während der Lektion werden wir nur drei Minivorträge hören, die die Frage beantworten: Was untersucht die Stereometrie, wie ist sie entstanden und entwickelt und wo wird sie verwendet?

1 Schüler. Das Konzept der Stereometrie, das untersucht wird. (2 Minuten)

2 Schüler. Euklid – der Begründer der Geometrie und der griechischen Architektur. (2 Minuten)

3 Schüler. Mathematische Theorie der Malerei. Der „Goldene Schnitt“ ist nach Leonardo da Vinci die Formel für den perfekten menschlichen Körper. (2 – 3 Minuten)

IN Stereometrie schöne mathematische Objekte werden untersucht. Ihre Formen finden ihre Anwendung in Kunst, Architektur und Bauwesen. „Es ist kein Zufall, dass man sagt, die Cheops-Pyramide sei eine stille Abhandlung über die Geometrie, und die griechische Architektur sei der äußere Ausdruck der Geometrie Euklids“, schrieb der Architekt Corbusier.

Jahrhunderte sind vergangen, aber die Rolle der Geometrie hat sich nicht verändert. Es bleibt die „Grammatik des Architekten“. Geometrische Formen finden ihre Anwendung in Kunst, Architektur und Bauwesen.

Mathematische Theorie der Malerei – Dabei handelt es sich um die Theorie der Perspektive, die in den Worten von Leonardo da Vinci „eine äußerst subtile Studie und Erfindung darstellt, die auf dem Studium der Mathematik basiert und durch die Kraft der Linien das Nahe und das Ferne erscheinen lässt.“ war klein, groß.“ Der Bau von Ingenieurbauten während der Renaissance belebte und erweiterte die in der Antike verwendeten Techniken der Projektionsbilder. Architekten und Bildhauer standen vor der Notwendigkeit, eine Lehre der Bildperspektive auf geometrischer Grundlage zu schaffen. Zahlreiche Beispiele für die Konstruktion perspektivischer Bilder finden sich in den Werken des brillanten italienischen Künstlers und herausragenden Wissenschaftlers Leonardo da Vinci. Zum ersten Mal spricht er über die Verkleinerung verschiedener in die Tiefe des Bildes zurücktretender Segmente, legt den Grundstein für die Panoramaperspektive, gibt die Regeln für die Verteilung von Schatten an und drückt sein Vertrauen in die Existenz einer bestimmten mathematischen Formel dafür aus die Schönheit des Größenverhältnisses des menschlichen Körpers – die Formel „Goldener Schnitt“.

So haben wir uns reibungslos dem Thema unserer Lektion genähert, und die Brücke zur nächsten Stufe werden die Worte von Leonardo da Vinci sein:

„Wer sich in die Praxis ohne Theorie verliebt, ist wie ein Seemann, der ohne Ruder und Kompass an Bord eines Schiffes geht und deshalb nie weiß, wohin er fährt.“

Diese Aussage definiert die nächste Stufe unserer Lektion: Wiederholung des theoretischen Materials.

II. Aktualisierung des Wissens (Wiederholung des theoretischen Materials)

2.1. Axiome der Stereometrie (Tabellen bleiben den Schülern zur Bearbeitung überlassen).

a) den Inhalt der Axiome erläutern und anhand eines Modells veranschaulichen;

b) Studierende lesen den Text der Axiome;

c) Ausführung der Zeichnung;

2.2. Folgerungen aus den Axiomen der Stereometrie.

2.3. Die relative Lage von Geraden und Ebenen im Raum.

a) zwei Linien (Linien sind parallel, schneiden sich, kreuzen)

b) Gerade und Ebene (die Gerade liegt in der Ebene, schneidet die Ebene, ist parallel zur Ebene)

c) zwei Ebenen (die Ebenen schneiden sich oder sind parallel).

Im Gespräch werden die wesentlichen Punkte der Theorie hervorgehoben:

a) Zeichen der Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene: Wenn eine Linie, die nicht in einer bestimmten Ebene liegt, parallel zu einer Linie ist, die in dieser Ebene liegt, dann ist sie parallel zu dieser Ebene.

b) Vorzeichen paralleler Ebenen: Wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind, dann sind diese Ebenen parallel.

Lehrer: Wenn wir alles zusammenfassen, was gesagt wurde, kommen wir zu dem Schluss, dass es Methoden zur Definition einer Ebene gibt.

2.5. Das Konzept der Polyeder. Abschnitt.

Polyeder ist ein Körper, der durch eine endliche Anzahl von Ebenen begrenzt ist. Die Oberfläche eines Polyeders besteht aus einer endlichen Anzahl von Polygonen.

M
das Polyeder, das man durch den Schnitt eines Polyeders und einer Ebene erhält, heißt Querschnitt Polyeder durch die angegebene Ebene .

III. Anwendung von Wissen in einer Standardsituation.

Mit den erworbenen Kenntnissen wenden wir diese auf die axiomatische Konstruktion von Polyederabschnitten an.

Beispiele und deren Lösungen werden von den Schülern (unter Anleitung des Lehrers) gegeben.

IV. Konstruieren von Schnitten unter Verwendung der Eigenschaften paralleler Ebenen.

Lehrer: Um die nächste Gruppe von Problemen zu lösen, müssen wir die Eigenschaften paralleler Ebenen wiederholen.

V. Ein Weg zu neuem Wissen: „Trace-Methode“.

Einen Lehrfilm ansehen.

Elektronische Ausgabe

Anwendung des erworbenen Wissens (Schüler lösen zwei Probleme an der Tafel und sehen sich dann die richtige Lösung an und zeichnen den Entwurf auf).

VI- Selbstständige Arbeit

Anschließend erfolgt eine gegenseitige Überprüfung (anhand eines Objektträgers mit einer vorgefertigten Lösung).

VII. Zusammenfassung der Lektion

1. Was haben Sie in der Lektion Neues gelernt?

2. Wie ist der Querschnitt eines Tetraeders aufgebaut?

3. Welche Polygone können ein Abschnitt eines Tetraeders sein?

4. Welche Polygone erhält man im Querschnitt eines Parallelepipeds?

5. Was können Sie zur Trace-Methode sagen?

Kreative Hausaufgaben. Verfassen Sie mit den erworbenen Kenntnissen zwei Aufgaben zur Konstruktion von Polyederabschnitten.

Verwendete Quellen

Der Prototyp dieser Lektion war die Lektion der Autorin Legkoshur Irina Mikhailovna Weitere Änderungen und Präsentationen für die Lektion wurden 2008 mit ihrer Genehmigung vorgenommen. Link:

Atanasyan L.S. und andere. Geometrieklassen 10-11. Lernprogramm.

Elektronische Ausgabe „1C: Schule. Mathematik, 5.-11. Klasse. Werkstatt"

Elektronische Ausgabe“ Arbeitsbuch zur Geometrie. Leitfaden für Bewerber. Vollständiger Kurs für die Klassen 7–11

Aufgaben zum Konstruieren von Abschnitten

Definitionen. 1. Die Sekantenebene eines Tetraeders (Parallelpipeds) ist jede Ebene, auf deren beiden Seiten sich Punkte eines gegebenen Tetraeders (Parallepipeds) befinden. 2. Ein Polygon, dessen Seiten Segmente sind, die die Flächen eines Tetraeders (Parallepipeds) schneiden, wird als Abschnitt eines Tetraeders (Parallepipeds) bezeichnet.

Abschnitte eines Tetraeders und Parallelepipeds

A B C S Aufgabe 1. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die gegebenen Punkte D, E, K verläuft. D E K M F Konstruktion: 2. EK 3. EK ∩ AC = F 4 . FD 5. FD ∩ B C = M 6. KM 1. DE D E K M – erforderlicher Abschnitt

Erläuterungen zur Konstruktion: 1. Verbinde die Punkte K und F, die zur gleichen Ebene A 1 B 1 C 1 D 1 gehören. A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 2. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die angegebenen Punkte E, F, K verläuft. K L M Konstruktion: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ A B = L EFKNM – der erforderliche Abschnitt F E N 4 . LN ║ FK 6. EM 5. LN ∩ AD = M 7 . KN Erläuterungen zur Konstruktion: 2. Verbinde die Punkte F und E, die zur gleichen Ebene AA 1 B 1 B gehören. Erläuterungen zur Konstruktion: 3. Die Linien FE und AB, die in der gleichen Ebene AA 1 B 1 B liegen, schneiden sich im Punkt L . Erläuterungen zum Aufbau: 4. Wir zeichnen eine Gerade LN parallel zu FK (wenn die Schnittebene gegenüberliegende Flächen schneidet, dann schneidet sie diese entlang paralleler Segmente). Erläuterungen zum Aufbau: 5. Die Linie LN schneidet die Kante AD im Punkt M. Erläuterungen zur Konstruktion: 6. Wir verbinden die Punkte E und M, die zur gleichen Ebene AA 1 D 1 D gehören. Erläuterungen zur Konstruktion: 7. Wir verbinden die Punkte K und N, die zur gleichen Ebene ВСС 1 В 1 gehören.

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 3. Konstruieren Sie einen Abschnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte K, L, M geht. K L M Konstruktion: 1. ML 2. ML ∩ D 1 A 1 = E 3. EK M LFKPG – erforderlicher Abschnitt F E N P G T 4 . EK ∩ A 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7. E K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9. NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11. PK

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte T, H, M, M∈AB verläuft. N T M Konstruktion: 1. NM 1. MT 1. N T Wählen Sie die richtige Option:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte T, H, M, M∈AB verläuft. N T M Konstruktion: 1. NM Kommentare: Diese Punkte gehören zu verschiedenen Flächen! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte T, H, M, M∈AB verläuft. N T M Konstruktion: 1. M T Kommentare: Diese Punkte gehören zu verschiedenen Flächen! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E 2. NT ∩ B C = E Wählen Sie das Richtige Möglichkeit:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ BC = E Zurück Kommentare: Diese Geraden schneiden sich! Sie können sich nicht schneiden!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3. ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B C = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Wählen Sie die richtige Option:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Abschnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 3. ME ∩ AA 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Zurück Kommentare: Diese Geraden sind gekreuzt! Sie können sich nicht schneiden!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Abschnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 3. ME ∩ CC 1 = F 2. NT ∩ D C = E E Zurück Kommentare: Diese Geraden sind gekreuzt! Sie können sich nicht schneiden!

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. N F 4. T F 4. MT Wählen Sie die richtige Option:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Kommentare: Diese Punkte gehören zu verschiedenen Flächen! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Kommentare: Diese Punkte gehören zu verschiedenen Flächen! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K 5. T F ∩ B 1 B = K Wählen Sie die richtige Option:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ A 1 A = K Kommentare: Diese Geraden kreuzen sich! Sie können sich nicht schneiden! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L 6. N K ∩ A D = L 6. T K ∩ A D = L Wählen Sie die richtige Option:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T geht. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. N K ∩ A D = L Kommentare: Diese Geraden sind gekreuzt! Sie können sich nicht schneiden! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. T K ∩ A D = L Kommentare: Diese Geraden sind gekreuzt! Sie können sich nicht schneiden! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Wählen Sie die richtige Option:

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L T Kommentare: Diese Punkte gehören zu verschiedenen Flächen! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. LF Kommentare: Diese Punkte gehören zu verschiedenen Flächen! zurück

A D B 1 B C A 1 C 1 D 1 Aufgabe 4. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Punkte H, M, T verläuft. N T M Konstruktion: 1. NT 2. NT ∩ D C = E E 3 . ME ∩ BC = F F 4. T F 5. T F ∩ B 1 B = K K 6. M K ∩ AA 1 = L L 7. L N NT F M L – der erforderliche Abschnitt

A B C S Aufgabe 5. Konstruieren Sie einen Schnitt mit einer Ebene, die durch die gegebenen Punkte K, M, P, P∈ABC K M P verläuft. Konstruktion:

A B C S Aufgabe 5. Konstruieren Sie einen Schnitt durch eine Ebene, die durch die gegebenen Punkte K, M, P, P∈ABC K M R E N F verläuft. Konstruktion: 1. KM 2. KM ∩ CA = E 3. E P 4 . EP ∩ AB = F EP ∩ B C = N 5 . M F 6. N K KM FN – erforderlicher Abschnitt

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Viele Künstler verzerren die Gesetze der Perspektive und malen ungewöhnliche Bilder. Diese Zeichnungen erfreuen sich übrigens bei Mathematikern großer Beliebtheit. Im Internet finden Sie viele Seiten, auf denen diese unmöglichen Objekte veröffentlicht werden. Die bekannten Künstler Maurice Escher, Oscar Reutersvard, Jos de Mey und andere überraschten Mathematiker mit ihren Gemälden. Das ist interessant!

Jos de Mey „Das kann nur jemand zeichnen, der einen Entwurf macht, ohne die Perspektive zu kennen …“

„Wer sich in die Praxis ohne Theorie verliebt, ist wie ein Seemann, der ohne Ruder und Kompass an Bord eines Schiffes geht und deshalb nie weiß, wohin er fährt.“ Leonardo da Vinci

Einen Abschnitt eines Polyeders mit einer Ebene zu konstruieren bedeutet, die Schnittpunkte der Schnittebene mit den Kanten des Polyeders anzugeben und diese Punkte mit Segmenten zu verbinden, die zu den Flächen des Polyeders gehören. Um einen Abschnitt eines Polyeders mit einer Ebene zu konstruieren, müssen Sie in der Ebene jeder Fläche zwei zum Abschnitt gehörende Punkte angeben, diese mit einer Geraden verbinden und die Schnittpunkte dieser Geraden mit den Kanten des Polyeders ermitteln .

AXIOMS ​​Planimetrie-Stereometrie 1. Jede Linie enthält mindestens zwei Punkte. 2. Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen. 3. Eine Linie verläuft durch zwei beliebige Punkte, und zwar nur durch einen. Charakterisieren Sie die relative Position von Punkten und geraden Linien. Das Grundkonzept der Geometrie besteht darin, „zwischen“ zu liegen. 4. Von den drei Punkten einer geraden Linie liegt nur einer zwischen den beiden anderen. A1. Durch drei beliebige Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, verläuft eine Ebene und außerdem nur ein A2. Liegen zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene, dann liegen alle Punkte der Geraden in dieser Ebene A3. Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Gerade, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.

In diesem Fall ist Folgendes zu berücksichtigen: 1. Sie können nur zwei Punkte verbinden, die in der Ebene einer Fläche liegen. Um einen Schnitt zu konstruieren, müssen Sie die Schnittpunkte der Schnittebene mit den Kanten konstruieren und diese mit Segmenten verbinden. 2. Eine Schnittebene schneidet parallele Flächen entlang paralleler Segmente. 3. Wenn in der Gesichtsebene nur ein Punkt markiert ist, der zur Schnittebene gehört, muss ein zusätzlicher Punkt konstruiert werden. Dazu ist es notwendig, die Schnittpunkte der bereits konstruierten Linien mit anderen Linien zu finden, die auf denselben Flächen liegen.

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 N H K Die einfachsten Probleme D R O M A B C

O A B C D O A B C D

A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Diagonalschnitte A B C D A1A1 D1D1 C1C1 B1B1

Axiomatische Methode Methode der Spuren Die Essenz der Methode besteht darin, eine Hilfslinie zu konstruieren, die ein Bild der Schnittlinie der Schnittebene mit der Ebene einer beliebigen Fläche der Figur ist. Am bequemsten ist es, ein Bild der Schnittlinie der Schnittebene mit der Ebene der unteren Basis zu erstellen. Diese Linie wird Spur der Schnittebene genannt. Mithilfe einer Spur lassen sich leicht Bilder von Punkten der Schnittebene konstruieren, die sich an den Seitenkanten oder Flächen der Figur befinden.

A B C D K L M N F G Zeichnen Sie eine gerade Linie FO durch die Punkte F und O. O Das Segment FO ist ein Schnitt der Fläche KLBA durch eine Schnittebene. Ebenso ist das Segment FG ein Schnitt der Fläche LMCB. Axiom Wenn zwei verschiedene Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann schneiden sie sich entlang einer Geraden, die durch diesen Punkt verläuft (und wir haben sogar 2 Punkte). Satz: Gehören zwei Punkte einer Geraden zu einer Ebene, so gehört auch die gesamte Gerade zu dieser Ebene. Warum sind wir sicher, dass wir Schnitte an den Kanten gemacht haben? Konstruieren Sie einen Abschnitt des Prismas, der durch die Punkte O, F, G verläuft. Schritt 1: Schneiden Sie die Flächen KLBA und LMCB

A B C D K L M N F G Schritt 2: Suchen Sie nach der Spur der Schnittebene auf der Basisebene. Zeichnen Sie die gerade Linie AB, bis sie die gerade Linie FO schneidet. O Wir erhalten den Punkt H, der sowohl zur Schnittebene als auch zur Basisebene gehört. Auf ähnliche Weise erhalten wir den Punkt R. Axiom Wenn zwei verschiedene Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann schneiden sie sich entlang einer geraden Linie, die durch diesen Punkt verläuft (und wir haben sogar 2 Punkte). Satz: Gehören zwei Punkte einer Geraden zu einer Ebene, so gehört auch die gesamte Gerade zu dieser Ebene. H R Durch die Punkte H und R zeichnen wir eine Gerade HR – die Spur der Schnittebene. Warum sind wir sicher, dass die Gerade HR die Spur der Schnittebene auf der Basisebene ist?

E S A B C D K L M N F G Schritt 3: Schnitte auf anderen Flächen ausführen Da die gerade Linie HR die untere Fläche des Polyeders schneidet, erhalten wir am Eingang den Punkt E und am Ausgang den Punkt S. O Somit ist das Segment ES ein Schnitt der Fläche ABCD. Axiom Wenn zwei verschiedene Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann schneiden sie sich entlang einer Geraden, die durch diesen Punkt verläuft (und wir haben sogar 2 Punkte). Satz: Gehören zwei Punkte einer Geraden zu einer Ebene, so gehört auch die gesamte Gerade zu dieser Ebene. H R Wir zeichnen die Segmente OE (Schnitt der KNDA-Fläche) und GS (Schnitt der MNDC-Fläche). Warum sind wir sicher, dass wir alles richtig machen?

A1A1 A B B1B1 C C1C1 D D1D1 M N 1. Konstruieren Sie Abschnitte eines Parallelepipeds mit einer Ebene, die durch die Punkte B 1, M, N O K E P geht. Regeln 1. MN 2. Weiter MN, BA 4. B 1 O 6. KM 7. Weiter MN und BD. 9. B 1 E 5. B 1 O A 1 A=K 8. MN BD=E 10. B 1 E D 1 D=P, PN 3.MN BA=O

Regeln zur Selbstkontrolle: Die Scheitelpunkte des Abschnitts liegen nur an den Kanten. Die Seiten des Abschnitts liegen nur am Rand des Polyeders. Eine Schnittebene schneidet eine Fläche oder Flächenebene nur einmal.

44 1. Atanasyan L.S., et al. Geometrie - M.: Aufklärung, Litvinenko V.N., Polyhedra. Probleme und Lösungen. – M.: Vita-Press, Smirnov V.A., Smirnova I.M., Einheitliches Staatsexamen 100 Punkte. Geometrie. Abschnitt von Polyedern. – M.: Prüfung, pädagogische und methodische Beilage zur Zeitung „Erster September“ „Mathematik“. Fedotova O., Kabakova T. Integrierte Lektion „Konstruktion von Abschnitten eines Prismas“, 9/ Ziv B.G. Didaktisches Material zur Geometrie für die 10. Klasse. – M., Bildung, Elektronische Veröffentlichung „1C: School. Mathematik, 5.-11. Klasse. Werkstatt" 7. ml