Jobquelle: Lösung 4954. Einheitliches Staatsexamen 2016 Mathematik, I.V. Jaschtschenko. 36 Optionen. Antwort.

Aufgabe 19. Nennen wir eine natürliche Zahl ein Palindrom, wenn in ihrer Dezimalschreibweise alle Ziffern symmetrisch angeordnet sind (die erste und die letzte Ziffer sind gleich, die zweite und die vorletzte usw.). Beispielsweise sind die Zahlen 121 und 953359 Palindrome, aber die Zahlen 10 und 953953 sind keine Palindrome.

a) Geben Sie ein Beispiel für eine palindromische Zahl, die durch 45 teilbar ist.

b) Wie viele fünfstellige palindromische Zahlen gibt es, die durch 45 teilbar sind?

c) Finden Sie die zehntgrößte Palindromzahl, die durch 45 teilbar ist.

Lösung.

a) Die einfachste Möglichkeit wäre die palindromische Zahl 5445, die durch 45 teilbar ist.

Antwort: 5445.

b) Zerlegen wir die Zahl 45 in Primfaktoren, erhalten wir

Das heißt, die Zahl muss sowohl durch 5 als auch durch 9 teilbar sein. Ein Zeichen dafür, dass eine Zahl durch 5 teilbar ist, ist das Vorhandensein der Zahl 5 am Ende der Zahl (wir berücksichtigen die Zahl 0 nicht, da dies der Fall ist). nicht passen). Wir erhalten eine palindromische Zahl in der Form 5aba5, wobei a, b die Ziffern der Zahl sind. Ein Zeichen dafür, dass eine Zahl durch 9 teilbar ist, ist die Summe der Ziffern

muss durch 9 teilbar sein. Aus dieser Bedingung ergibt sich:

Für b=0: ;

Für b=1: ;

Für b=2: ;

Für b=3: ;

Für b=5: ;

Für b=6: ;

Für b=7: ;

Beschreibung der Präsentation anhand einzelner Folien:

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Folienbeschreibung:

Was ist ein Palindrom? Die Arbeit wurde von der Mathematiklehrerin Galina Vladimirovna Prikhodko durchgeführt

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Folienbeschreibung:

Problem: Ein Autofahrer schaute auf den Zähler seines Autos und sah eine symmetrische Zahl (Palindrom) 15951 km (dasselbe von links nach rechts lesen oder umgekehrt). Er ging davon aus, dass höchstwahrscheinlich nicht so schnell eine weitere symmetrische Zahl auftauchen würde. Nach zwei Stunden entdeckte er jedoch eine neue symmetrische Zahl. Mit welcher konstanten Geschwindigkeit fuhr der Autofahrer in diesen zwei Stunden? Lösung: Die nächste symmetrische Zahl ist 16061. Die Differenz beträgt 16061 - 15951 = 110 km. Wenn man 110 km durch 2 Stunden teilt, kommt man auf eine Geschwindigkeit von 55 km/h. Antwort: 55 km/h

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Folienbeschreibung:

Einheitliche Staatsexamensaufgabe a) Nennen Sie ein Beispiel für eine Palindromzahl, die durch 15 teilbar ist. b) Wie viele fünfstellige Palindromzahlen gibt es, die durch 15 teilbar sind? c) Finden Sie die 37. größte palindromische Zahl, die durch 15 teilbar ist. Antworten: a) 5115; b) 33; c) 59295

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Was bedeutet Palindrom? Das Wort Palindrom kommt vom griechischen Wort palindromos und bedeutet „wieder zurücklaufen“. Palindrome können nicht nur Zahlen, sondern auch Wörter, Sätze und sogar Texte sein.

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In der Mathematik werden Zahlen – Palindrome sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gleich gelesen. Beispiele sind alle einstelligen Zahlen, zweistellige Zahlen der Form αα, beispielsweise 11 und 99, dreistellige Zahlen der Form αβα, beispielsweise 535 usw. Darüber hinaus ergeben alle zweistelligen Zahlen Palindrome (die größte Schrittzahl – 24 – erfordert die Zahlen 89 und 98). Ob die Zahl 196 jedoch ein Palindrom ergibt, ist noch unbekannt. Numerische Palindrome 676 (die kleinste Palindromzahl, die das Quadrat eines Nicht-Palindroms darstellt, ist 26). 121 (die kleinste Palindromzahl, die das Quadrat des Palindroms darstellt, ist 11).

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Superpalindrom Einige palindromische Phrasen und Phrasen sind uns seit der Antike bekannt. Dann wurde ihnen oft eine magische Bedeutung zugeschrieben. Zu den magischen Palindromen gehören auch magische Quadrate, zum Beispiel SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (übersetzt als „Der Sämann von Arepo kann seine Räder kaum halten“).

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Derzeit verfügt das Palindrom über keine magischen Kräfte und ist ein einfaches Wortspiel, das es Ihnen ermöglicht, Ihr Gehirn ein wenig zu nutzen. Die meisten Palindrome bestehen aus relativ zusammenhängenden Wörtern, es gibt aber auch interessante integrale und verständliche Sätze, zum Beispiel: „Aber der unsichtbare Erzengel legte sich auf den Tempel und war wundersam.“ Wenn wir über palindromische Wörter sprechen, gilt das längste Wort der Welt als „SAIPPUAKIVIKAUPPIAS“, was aus dem Finnischen übersetzt „Seifenverkäufer“ bedeutet.

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Folienbeschreibung:

Aufgabe: Finden Sie heraus, wie oft symmetrische Zahlen unter Primzahlen vorkommen. Für Zahlen kleiner als 1000 lässt sich dies leicht aus der Primzahlentabelle herausfinden. Unter den einfachen zweistelligen Zahlen gibt es nur eine symmetrische Zahl – 11. Dann fanden wir: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

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Beweis Unter vierstelligen Zahlen gibt es keine symmetrischen Primzahlen. Lass es uns beweisen. Die vierstellige symmetrische Zahl hat die Form abba. Nach dem Kriterium der Teilbarkeit durch 11 ist die Differenz zwischen der Summe der Zahlen an ungeraden Stellen und der Summe der Zahlen an ungeraden Stellen: (a + b) – (b + a) = 0. Das bedeutet, dass alle vierstelligen symmetrischen Zahlen durch 11 teilbar, also zusammengesetzt, sind. Ebenso kann man beweisen, dass es unter allen 2n-stelligen symmetrischen Zahlen keine Primzahlen gibt.

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Bis 100 gibt es 25 Primzahlen, davon ist eine symmetrisch, also 4 %. Bis zu 1000 Primzahlen ergeben 168. Symmetrische Zahlen - 16. Das sind ungefähr 9,5 %. Bis 10000 ändert sich die Anzahl der symmetrischen Zahlen nicht. Bis zu 1.000.000 – 78.498 Primzahlen. Es gibt jetzt 109 symmetrische Zahlen. Das sind ungefähr 0,13 %. Es ist klar, dass der Anteil symmetrischer Zahlen abnimmt, aber es ist keineswegs unmöglich zu sagen, dass die Primzahlen bei sehr großen Zahlen symmetrisch sind.

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Folienbeschreibung:

Ich habe eine Idee. Numerische Palindrome können das Ergebnis von Operationen an anderen Zeichen sein. Martin Gardner, der Autor des Buches „There is an Idea!“ und ein ziemlich bekannter Popularisierer der Wissenschaft, stellt eine bestimmte Hypothese auf. Wenn Sie eine natürliche Zahl (beliebig) nehmen und ihre Umkehrung (bestehend aus denselben Zahlen, aber in umgekehrter Reihenfolge) dazu addieren, dann wiederholen Sie die Aktion, jedoch mit der resultierenden Summe, dann erhalten Sie in einem der Schritte ein Palindrom . In manchen Fällen reicht es aus, die Addition einmal durchzuführen: 213 + 312 = 525. In der Regel sind jedoch mindestens zwei Operationen erforderlich. Nehmen wir also zum Beispiel die Zahl 96, dann kann durch sequentielle Addition ein Palindrom nur auf der vierten Ebene erhalten werden: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 The Der Kern der Hypothese besteht darin, dass man, wenn man eine beliebige Zahl annimmt, nach einer bestimmten Anzahl von Aktionen mit Sicherheit ein Palindrom erhält. Beispiele finden sich nicht nur bei der Addition, sondern auch bei Potenzierungen, Wurzelziehen und anderen Operationen.

12 Folie

Folienbeschreibung:

Beispiel1 Nehmen wir die Zahl 619. Lesen wir sie 1 Schritt von rechts nach links. 916. Addieren wir zwei Zahlen. 1535 „drehen wir sie um“ 5351. 2. Schritt. Addieren wir 6886. Die Zahl 6886 ist ein Palindrom. Darüber hinaus wurde es in nur 2 Schritten erhalten. Wenn wir es von rechts nach links oder von links nach rechts lesen, erhalten wir die gleiche Zahl.

Folie 13

Folienbeschreibung:

Beispiel2 Nehmen wir die Zahl 95 1 Schritt. Schritt 1 „Lass es uns umdrehen“ 59 Addiere es 154 Schritt 2. „Lass uns umdrehen“ 451 2. Schritt Addieren wir 605 3. Schritt „Lass uns umdrehen“ 506 3. Schritt Addieren wir 1111 Die Zahl 1111 ist ein Palindrom.

Folie 14

Folienbeschreibung:

Pinocchio Sie alle erinnern sich wahrscheinlich an das Buch über die Abenteuer von Pinocchio. Erinnern Sie sich, wie streng Malvina ihm das Schreiben beigebracht hat? Sie forderte ihn auf, den folgenden Satz aufzuschreiben: AND THE ROSE FALLED ON AZOR'S PAW – das ist ein weiteres Palindrom.

15 Folie

Folienbeschreibung:

Palindrome in der Literatur DAS EBER PRESSTE DIE AUBERGINE, DU, SASHA, SIND VOLL, AUF DER STIRN, BOOM ARGENTINIEN WIRD ZU EINEM NEGRA, ABER DU BIST DÜNN, WIE DIE NOTEN VON TONE, ADA HUNTERS UND DECAY

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Folienbeschreibung:

Wörter-Palindrome SHALASH, NAGAN, COSSACK, KOK, TOPOT, ROTOR, KABAC, PULP, GROSSVATER, RADAR

Folie 17

Folienbeschreibung:

Palindromische Sätze DAS RAD STEHT AN, ICH BIN NICHT DER ALTE BRUDER SENYA ICH ESSE EINE SCHLANGE UND DER HUND BOSA ARGENTINA WINKT EINEN NEGER, UM NACH EINEM TAXI ZU SUCHEN, SCHÄTZT EINEN NEGER. DER ARGENTINIER LYOSHA HAT EINEN KÄFER AUF EINEM REGAL GEFUNDEN

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Folienbeschreibung:

Palindrome in Fremdsprachen „Madam, ich bin Adam“ – die Vorstellung eines Mannes mit einer Dame (Madam, ich bin Adam). Darauf kann die Dame bescheiden mit einem „Wandler“ antworten: „Eve“ (Eve). Es sind nicht nur Sätze oder Buchstabenfolgen, die symmetrisch sind. Fahre ein schnelles, sicheres Auto (Renne ein schnelles, sicheres Auto) Siehst du Gott? (Sehen Gänse Gott?) Niemals gerade oder ungerade (Niemals gerade oder ungerade) Nicken Sie nicht (nicken Sie nicht) Dogma: Ich bin Gott (Dogma: Ich bin Gott) Madam, in Eden bin ich Adam (Madam, im Paradies) Ich bin Adam) Ah, Satan sieht Natasha (Ah, Satan sieht Natasha) Gott sah, dass ich ein Hund war (Gott sah, dass ich ein Hund war) Ich bevorzuge Pi (Ich bevorzuge π) Zu heiß zum Schreien (Zu heiß zum Schreien )

Folie 19

Folienbeschreibung:

Palindrome-Gedichte Ich halte selten eine Zigarettenkippe in der Hand... Ich sitze hier ernst und schöpfe wütend in der Stille, ich werde einmal lachen, ich werde Glück haben, ich werde einmal lachen - Ja, ich bin froh ! Sie können es vom Anfang oder vom Ende lesen.

20 Folie

Folienbeschreibung:

In der Musik werden palindromische Musikstücke nach den Regeln „wie gewohnt“ gespielt. Sobald das Stück fertig ist, werden die Noten umgekehrt. Dann wird das Stück erneut gespielt, die Melodie ändert sich jedoch nicht. Es kann beliebig viele Iterationen geben, es ist jedoch nicht bekannt, was unten und was oben ist. Diese Musikstücke können von zwei Personen gespielt werden, während gleichzeitig die Noten auf beiden Seiten gelesen werden. Beispiele für solche palindromischen Werke sind „The Way of the World“ von Moscheles und „Table Tune for Two“ von Mozart.

Formulierung. Es wird eine vierstellige Zahl angegeben. Überprüfen Sie, ob es sich um ein Palindrom handelt. Hinweis: Ein Palindrom ist eine Zahl, ein Wort oder ein Text, der von links nach rechts und von rechts nach links gleich gelesen wird. In unserem Fall sind dies beispielsweise die Nummern 1441, 5555, 7117 usw.

Beispiele für andere palindromische Zahlen mit willkürlicher Dezimalstelle, die nichts mit dem zu lösenden Problem zu tun haben: 3, 787, 11, 91519 usw.

Lösung. Um eine Zahl über die Tastatur einzugeben, verwenden wir eine Variable N. Die eingegebene Zahl gehört zur Menge der natürlichen Zahlen und ist vierstellig, also offensichtlich größer als 255, also der Typ Byte ist für uns nicht geeignet, es zu beschreiben. Dann werden wir den Typ verwenden Wort.

Welche Eigenschaften haben palindromische Zahlen? Aus den obigen Beispielen ist leicht zu erkennen, dass aufgrund ihrer beidseitig identischen „Lesbarkeit“ die ersten und letzten Ziffern, die zweiten und vorletzten usw. bei ihnen bis zur Mitte gleich sind. Wenn die Zahl außerdem eine ungerade Anzahl von Ziffern hat, kann die mittlere Ziffer bei der Prüfung ignoriert werden, da die Zahl bei Erfüllung der obigen Regel unabhängig von ihrem Wert ein Palindrom ist.

Bei unserem Problem ist alles noch etwas einfacher, da die Eingabe eine vierstellige Zahl ist. Das bedeutet, dass wir zur Lösung des Problems nur die 1. Ziffer der Zahl mit der 4. und die 2. Ziffer mit der 3. vergleichen müssen. Wenn beide Gleichungen wahr sind, ist die Zahl ein Palindrom. Es bleibt nur noch, die entsprechenden Ziffern der Zahl in einzelnen Variablen zu ermitteln und dann mithilfe eines Bedingungsoperators die Erfüllung beider Gleichheiten mithilfe eines booleschen (logischen) Ausdrucks zu überprüfen.

Sie sollten Ihre Entscheidung jedoch nicht überstürzen. Vielleicht können wir die resultierende Schaltung vereinfachen? Nehmen Sie zum Beispiel die oben bereits erwähnte Zahl 1441. Was passiert, wenn wir sie in zwei zweistellige Zahlen teilen, von denen die erste die Tausender- und Hunderterstelle des Originals und die zweite die Zehner- und Einerstelle des Originals enthält? des Originals. Wir erhalten die Zahlen 14 und 41. Wenn nun die zweite Zahl durch ihre umgekehrte Schreibweise ersetzt wird (wir haben dies in getan). Aufgabe 5), dann erhalten wir zwei gleiche Zahlen 14 und 14! Diese Transformation ist ziemlich offensichtlich, da das Palindrom in beide Richtungen gleich gelesen wird, es aus einer zweimal wiederholten Zahlenkombination besteht und eine der Kopien einfach rückwärts gedreht wird.

Daher die Schlussfolgerung: Sie müssen die ursprüngliche Zahl in zwei zweistellige Zahlen aufteilen, eine davon umkehren und dann die resultierenden Zahlen mit dem bedingten Operator vergleichen Wenn. Um eine umgekehrte Aufzeichnung der zweiten Hälfte einer Zahl zu erhalten, müssen wir übrigens zwei weitere Variablen erstellen, um die verwendeten Ziffern zu speichern. Bezeichnen wir sie als A Und B, und sie werden so sein Byte.

Beschreiben wir nun den Algorithmus selbst:

1) Geben Sie die Nummer ein N;

2) Weisen Sie die Einerstelle der Zahl zu N Variable A, dann entsorgen Sie es. Dann vergeben wir die Zehnerstelle N Variable B und verwerfen Sie es auch:

3) Einer Variablen zuweisen A eine Zahl, die den in Variablen gespeicherten umgekehrten Eintrag darstellt A Und B zweiter Teil der Originalnummer N nach der bereits bekannten Formel:

4) Jetzt können wir einen booleschen Ausdruckstest für die Gleichheit der resultierenden Zahlen verwenden N Und A Bedienerunterstützung Wenn und organisieren Sie die Ausgabe der Antwort mithilfe von Verzweigungen:

if n = a then writeln('Yes') else writeln('No');

Da in der Problemstellung nicht explizit angegeben ist, in welcher Form die Antwort angezeigt werden soll, halten wir es für logisch, sie auf einer für den Benutzer intuitiven und in der Sprache selbst zugänglichen Ebene anzuzeigen Pascal. Denken Sie daran, dass Sie den Operator verwenden schreiben (writeln) können Sie das Ergebnis eines booleschen Ausdrucks anzeigen, und wenn dieser Ausdruck wahr ist, wird das Wort „TRUE“ angezeigt (true auf Englisch bedeutet „true“), wenn false – das Wort FALSE (false auf Englisch) bedeutet "FALSCH"). Dann die vorherige Konstruktion mit Wenn kann ersetzt werden durch

1. Programm PalindromeNum;
2. n: Wort;
3. a, b: Byte;
4. beginnen
5. readln(n);
6. a:= n mod 10;
7. n:= n div 10;
8. b:= n mod 10;
9. n:= n div 10;
10. a:= 10 * a + b;
11. writeln(n = a)

Jakowlew Danil

Fast alle mathematischen Konzepte basieren auf die eine oder andere Weise auf dem Konzept der Zahl, und das Endergebnis jeder mathematischen Theorie wird in der Regel in der Sprache der Zahlen ausgedrückt. Viele von ihnen, insbesondere natürliche Zahlen, werden nach bestimmten Merkmalen und Eigenschaften in separate Strukturen (Sammlungen) gruppiert und haben eigene Namen. Ziel der Studie ist es daher, sich mit palindromischen Zahlen vertraut zu machen

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Vorschau:

DIE RUSSISCHE FÖDERATION

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

„Sekundarschule Nr. 7“

Stadt Nischnewartowsk

Forschungsarbeit
zur schulwissenschaftlichen und praktischen Konferenz junger Forscher

Palindrome in der Mathematik

2016

EINFÜHRUNG 4

HAUPTTEIL................................................ .................................................. .....................5

FAZIT 9

REFERENZEN 11

Hypothese
Primzahlen gehören zu den Zahlen, aus denen alle natürlichen Zahlen bestehen.
Durch die Untersuchung der Menge der Primzahlen kann man erstaunliche Zahlenmengen mit ihren außergewöhnlichen Eigenschaften erhalten.

Zweck der Studie
Fast alle mathematischen Konzepte basieren auf die eine oder andere Weise auf dem Konzept der Zahl, und das Endergebnis jeder mathematischen Theorie wird in der Regel in der Sprache der Zahlen ausgedrückt. Viele von ihnen, insbesondere natürliche Zahlen, werden nach bestimmten Merkmalen und Eigenschaften in separate Strukturen (Sammlungen) gruppiert und haben eigene Namen. Auf diese Weise,Zweck der Studieist eine Einführung in palindromische Zahlen.

Forschungsschwerpunkte

1. Studieren Sie die Literatur zum Forschungsthema.

2. Betrachten Sie die Eigenschaften von Palindromen.

3. Finden Sie heraus, welche Rolle Primzahlen bei der Veränderung der Eigenschaften der Zahlen spielen, die uns interessieren.

Gegenstand der Studie– eine Menge von Primzahlen.

Studienobjekt– Zahlen sind Palindrome..

Forschungsmethoden:

• theoretisch
• Umfrage
• Analyse

EINFÜHRUNG

Eines Tages fielen mir beim Bowling ungewöhnliche Zahlen auf: 44, 77, 99, 101, und ich fragte mich, was das für Zahlen seien? Als ich im Internet recherchierte, fand ich heraus, dass es sich bei diesen Zahlen um Palindrome handelt.

Palindrom (aus dem Griechischen πάλιν – „zurück, wieder“ und dem Griechischen δρóμος – „laufen“), manchmal auch Palindromon, ab Gr. Palindromos laufen zurück).

Wenn man darüber spricht, was ein Palindrom ist, sollte man sagen, dass „Changer“ seit der Antike bekannt sind. Oftmals wurde ihnen eine magisch-heilige Bedeutung zugeschrieben. Vermutlich im Mittelalter tauchten Palindrome auf, von denen Beispiele in verschiedenen Sprachen zu finden sind.

Ein Palindrom kann durch Operationen mit anderen Zahlen erhalten werden. Also, im Buch „Ich habe eine Idee!“ Der berühmte Wissenschaftspopularist Martin Gardner erwähnt im Zusammenhang mit diesem Problem die „Palindrom-Hypothese“.Wenn Sie eine natürliche Zahl (beliebig) nehmen und ihre Umkehrung (bestehend aus denselben Zahlen, aber in umgekehrter Reihenfolge) dazu addieren, dann wiederholen Sie die Aktion, jedoch mit der resultierenden Summe, dann erhalten Sie in einem der Schritte ein Palindrom . In manchen Fällen reicht es aus, die Addition einmal durchzuführen: 213 + 312 = 525. In der Regel sind jedoch mindestens zwei Operationen erforderlich. Nehmen wir also zum Beispiel die Zahl 96, dann kann durch sequentielle Addition ein Palindrom nur auf der vierten Ebene erhalten werden: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 The Der Kern der Hypothese besteht darin, dass man, wenn man eine beliebige Zahl annimmt, nach einer bestimmten Anzahl von Aktionen mit Sicherheit ein Palindrom erhält.

HAUPTTEIL

Zahlen sind Palindrome

Das Finden von Zahlen – Palindromen in der Mathematik – war nicht schwierig. Ich habe versucht, für diese Zahlen eine Zahl zu schreiben – Palindrome.

Bei zweistelligen Zahlen – Palindromen – stimmt die Einerzahl mit der Zehnerzahl überein.

– in dreistelligen Zahlen – Palindromen, die Hunderterzahl stimmt immer mit der Einserzahl überein.

Bei vierstelligen Zahlen – Palindromen – stimmt die Tausenderzahl mit der Einerzahl überein, die Hunderterzahl mit der Zehnerzahl usw.

Formeln sind Palindrome

Palindromische Formeln weckten mein Interesse. Mit Formeln – Palindromen – meine ich einen Ausdruck (der aus der Summe oder Differenz von Zahlen besteht), dessen Ergebnis sich nicht ändert, wenn man den Ausdruck von rechts nach links liest.

Wenn Sie Zahlen hinzufügen, die Palindrome sind, ändert sich die Summe nicht. Das Addieren zweistelliger Zahlen ist ganz einfach. Ich habe beschlossen, die Summe für dreistellige Zahlen aufzuschreiben.

Beispiel: 121+343=464

Im Allgemeinen kann es so geschrieben werden:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + y) = 111(y + x)

x + y = y + x

Durch eine Neuordnung der Begriffe ändert sich die Summe nicht(Kommutative Eigenschaft der Addition).

Für 4-, 5- und n-stellige Zahlen lässt sich das auf genau die gleiche Weise beweisen.

Betrachten wir alle Paare solcher zweistelliger Zahlen, damit sich das Ergebnis ihrer Subtraktion durch das Ablesen der Differenz von rechts nach links nicht ändert.

Jede zweistellige Zahl kann als Summe von Zifferntermen dargestellt werden:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10µ 2 + x 2) – (10µ 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Solche Zahlen haben gleiche Ziffernsummen.

Jetzt können Sie folgende Unterschiede vornehmen:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25 usw.

Nominale Palindrome

Palindrome kommen in einigen Zahlenreihen vor, die eigene Namen haben: Fibonacci-Zahl, Smith-Zahl, Repdigit, Repunit.

Fibonacci-ZahlenBenennen Sie die Elemente einer Zahlenfolge. Darin wird jede nächste Zahl in einer Reihe durch Summieren der beiden vorherigen Zahlen erhalten.

Beispiel: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Smith-Nummer - eine zusammengesetzte Zahl, deren Ziffernsumme gleich der Ziffernsumme ihrer Primteiler ist.

Beispiel: 202=2+0+2=4

Repdigit - eine natürliche Zahl, bei der alle Ziffern gleich sind.

Wiedervereinigen - eine natürliche Zahl, die nur mit Einheiten geschrieben wird

Numerischer Konstruktor

Aus palindromischen Primzahlen lassen sich durch eine bestimmte Anordnung, beispielsweise Zeile für Zeile, symmetrische Figuren erstellen, die sich durch ein originelles Muster sich wiederholender Zahlen auszeichnen.

Hier ist zum Beispiel eine schöne Kombination einfacher Palindrome, geschrieben mit 1 und 3 (Abb. 1). Die Besonderheit dieses Zahlendreiecks besteht darin, dass dasselbe Fragment dreimal wiederholt wird, ohne dass die Symmetrie des Musters gebrochen wird.

Reis. 1

Es ist leicht zu erkennen, dass die Gesamtzahl der Zeilen und Spalten eine Primzahl (17) ist. Außerdem Primzahlen und Ziffernsummen: rot hervorgehobene Fragmente (17); jede Zeile außer der ersten (5, 11, 17, 19, 23); die dritte, fünfte, siebte und neunte Spalte (7, 11) und die „Leiter“ der Einheiten, die die Seiten des Dreiecks bilden (11). Wenn wir uns schließlich parallel zu den angegebenen „Seiten“ bewegen und die Zahlen der dritten und fünften Reihe getrennt addieren (Abb. 2), erhalten wir zwei weitere Primzahlen (17, 5).

Reis. 2

Wenn Sie die Konstruktion fortsetzen, können Sie auf Basis dieses Dreiecks komplexere Figuren konstruieren. Es ist also nicht schwer, ein weiteres Dreieck mit ähnlichen Eigenschaften zu erhalten, indem man vom Ende ausgeht, das heißt von der letzten Zahl ausgeht, bei jedem Schritt zwei identische, symmetrisch angeordnete Zahlen durchstreicht und andere neu anordnet oder ersetzt – 3 durch 1 und umgekehrt . In diesem Fall sollten die Zahlen selbst so gewählt werden, dass die resultierende Zahl einfach ausfällt. Durch die Kombination beider Figuren erhalten wir eine Raute mit einem charakteristischen Zahlenmuster, hinter dem sich viele Primzahlen verbergen (Abb. 3). Insbesondere beträgt die Summe der rot hervorgehobenen Zahlen 37.

Reis. 3

Sie können auch vieleckige Figuren aus Zahlen erstellen, die bestimmte Eigenschaften haben. Angenommen, Sie müssen eine Figur aus einfachen Palindromen konstruieren, die mit 1 und 3 geschrieben sind und von denen jedes extreme Ziffern hat, die Einsen sind, und die Summe aller Ziffern und die Gesamtzahl der Einsen in der Zeile Primzahlen sind (die Ausnahme ist eine einzelne). -stelliges Palindrom). Darüber hinaus muss eine einfache Zahl die Gesamtzahl der im Datensatz gefundenen Zeilen sowie die Ziffern 1 oder 3 ausdrücken.

In Abb. Abbildung 4 zeigt eine der Lösungen des Problems – ein „Haus“, das aus 11 verschiedenen Palindromen gebaut wurde.

Reis. 4

Natürlich ist es nicht notwendig, sich auf zwei Ziffern zu beschränken und das Vorhandensein aller angegebenen Ziffern im Datensatz jeder verwendeten Nummer zu verlangen. Im Gegenteil: Schließlich sind es ihre ungewöhnlichen Kombinationen, die dem Muster der Figur Originalität verleihen. Um dies zu bestätigen, geben wir mehrere Beispiele für schöne palindromische Abhängigkeiten (Abb. 5–7).

Reis. 5

Reis. 6

Reis. 7

ABSCHLUSS

In meiner Arbeit habe ich mir Zahlen – Palindrome, Formeln – Palindrome für die Summe dreistelliger Zahlen und die Differenz zweistelliger Zahlen angesehen und konnte diese beweisen. Ich lernte erstaunliche natürliche Zahlen kennen: Palindrome und Repunites. Sie alle verdanken ihre Eigenschaften Primzahlen.
Intuitiv habe ich Formeln für die Summe und Differenz von n-stelligen Zahlen, das Produkt und den Quotienten von zweistelligen Zahlen zusammengestellt.

Im Fall der Multiplikation gilt:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 usw.

Das Produkt der ersten Ziffern ist gleich dem Produkt ihrer zweiten Ziffern x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Für die Division erhalten wir folgende Beispiele:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23 usw.

Ich konnte diese Aussagen noch nicht beweisen, denke aber, dass mir dies in Zukunft gelingen wird.

In der Literatur konnte ich Formeln finden – Palindrome zur Multiplikation mehrstelliger Zahlen

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Ich habe das Ziel meiner Arbeit erreicht. Ich habe mir Zahlen angeschaut – Palindrome – und sie in allgemeiner Form aufgeschrieben. Er gab Beispiele und bewies Formeln – Palindrome zum Addieren und Subtrahieren zweistelliger Zahlen. Ich habe eine Reihe von Problemen identifiziert, an denen ich noch arbeiten und Formeln erforschen muss – Palindrome. Damit habe ich die Hypothese bestätigt, dass Primzahlen zu den Zahlen gehören, aus denen alle natürlichen Zahlen bestehen. Durch die Untersuchung der Menge der Primzahlen kann man erstaunliche Zahlenmengen mit ihren außergewöhnlichen Eigenschaften erhalten.

Vorschau:

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Natalya Karpushina.

RÜCKWÄRTS

Ein numerisches Palindrom ist eine natürliche Zahl, die von links nach rechts und von rechts nach links gleich gelesen wird. Mit anderen Worten: Es zeichnet sich durch die Symmetrie der Notation (Anordnung der Zahlen) aus und die Anzahl der Zeichen kann entweder gerade oder ungerade sein. Palindrome kommen in einigen Zahlenreihen vor, die eigene Namen haben: unter den Fibonacci-Zahlen - 8, 55 (6. und 10. Mitglied der gleichnamigen Folge); Zahlenzahlen - 676, 1001 (quadratisch bzw. fünfeckig); Smith-Nummern - 45454, 983389. Jede Repdigit, zum Beispiel 2222222 und insbesondere Repunit, hat ebenfalls diese Eigenschaft.

Ein Palindrom kann durch Operationen mit anderen Zahlen erhalten werden. Also, im Buch „Ich habe eine Idee!“ Der berühmte Wissenschaftspopularist Martin Gardner erwähnt im Zusammenhang mit diesem Problem die „Palindrom-Hypothese“. Nehmen wir eine beliebige natürliche Zahl und addieren sie zur inversen Zahl, also mit den gleichen Ziffern, aber in umgekehrter Reihenfolge. Machen wir die gleiche Aktion mit der resultierenden Summe und wiederholen sie, bis ein Palindrom entsteht. Manchmal reicht nur ein Schritt (zum Beispiel 312 + 213 = 525), aber normalerweise sind mindestens zwei erforderlich. Nehmen wir an, die Zahl 96 erzeugt erst im vierten Schritt das Palindrom 4884. Tatsächlich:

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

Und der Kern der Hypothese ist, dass wir bei einer beliebigen Zahl nach einer endlichen Anzahl von Aktionen mit Sicherheit ein Palindrom erhalten.

Sie können nicht nur die Addition in Betracht ziehen, sondern auch andere Operationen, einschließlich Potenzierung und Wurzelziehen. Hier sind einige Beispiele dafür, wie sie verwendet werden können, um aus einigen Palindromen andere zu erstellen:

ZAHLENSPIELE

Bisher haben wir uns hauptsächlich mit zusammengesetzten Zahlen befasst. Kommen wir nun zu einfachen Zahlen. In ihrer unendlichen Vielfalt gibt es viele kuriose Exemplare und sogar ganze Familien von Palindromen. Allein unter den ersten hundert Millionen natürlichen Zahlen gibt es 781 einfache Palindrome, von denen zwanzig in die ersten tausend fallen, von denen vier einstellige Zahlen sind – 2, 3, 5, 7 und nur eine zweistellige Zahl – 11. Viele interessante Fakten und mit solchen Zahlen sind schöne Muster verbunden.

Erstens gibt es ein einzigartiges einfaches Palindrom mit einer geraden Anzahl von Ziffern – 11. Mit anderen Worten: Jedes Palindrom mit einer geraden Anzahl von Ziffern größer als zwei ist eine zusammengesetzte Zahl, die anhand des Tests der Teilbarkeit durch 11 leicht zu beweisen ist .

Zweitens können die erste und letzte Ziffer eines einfachen Palindroms nur 1, 3, 7 oder 9 sein. Dies ergibt sich aus den bekannten Teilbarkeitszeichen durch 2 und 5. Es ist merkwürdig, dass alle einfachen zweistelligen Zahlen mit den aufgeführten Ziffern geschrieben werden (mit Ausnahme von 19) können in Paare von „invertierten“ Zahlen (gegeneinander invertierten Zahlen) der Form und unterteilt werden, wobei die Zahlen a und b unterschiedlich sind. Jeder von ihnen, unabhängig davon, welche Zahl zuerst kommt, wird von links nach rechts und von rechts nach links gleich gelesen:

13 und 31, 17 und 71,

37 und 73, 79 und 97.

Wenn wir in die Tabelle der Primzahlen schauen, werden wir ähnliche Paare finden, in deren Aufzeichnungen auch andere Zahlen vorkommen, insbesondere unter den dreistelligen Zahlen wird es vierzehn solcher Paare geben.

Darüber hinaus gibt es unter einfachen dreistelligen Palindromen Zahlenpaare, deren mittlere Ziffer sich nur um 1 unterscheidet:

18 1 und 1 9 1, 37 3 und 3 8 3,

78 7 und 7 9 7, 91 9 und 9 2 9.

Ein ähnliches Bild ergibt sich bei größeren Primzahlen, zum Beispiel:

948 49 und 94 9 49,

1177 711 und 117 8 711.

Palindromische Primzahlen können durch verschiedene symmetrische Formeln „gesetzt“ werden, die die Merkmale ihrer Notation widerspiegeln. Dies wird am Beispiel fünfstelliger Zahlen deutlich:

Einfache mehrstellige Zahlen dieser Form kommen übrigens offenbar nur bei Repuniten vor. Es sind fünf solcher Zahlen bekannt. Bemerkenswert ist, dass für jede von ihnen die Anzahl der Ziffern als Primzahl ausgedrückt wird: 2, 19, 23, 317, 1031. Aber unter den Primzahlen, in denen alle Ziffern außer der zentralen Ziffer vorkommen, gibt es ein Palindrom von sehr beeindruckender Länge wurde entdeckt - es hat 1749 Ziffern:

Im Allgemeinen gibt es unter den palindromischen Primzahlen erstaunliche Beispiele. Hier ist nur ein Beispiel – ein numerischer Riese

Und es ist interessant, weil es 11.811 Ziffern enthält, die in drei palidromische Gruppen unterteilt werden können, und in jeder Gruppe wird die Anzahl der Ziffern als Primzahl (5903 oder 5) ausgedrückt.

BEMERKENSWERTE PAARE

Merkwürdige palindromische Muster können auch in Gruppen von Primzahlen beobachtet werden, die bestimmte Ziffern enthalten. Nehmen wir an, nur die Zahlen 1 und 3 und in jeder Zahl. Somit bilden zweistellige Primzahlen die geordneten Paare 13 - 31 und 31 - 13, von sechs dreistelligen Primzahlen sind es fünf Zahlen auf einmal, darunter zwei Palindrome: 131 und 313, und zwei weitere Zahlen bilden Paare von „Umkehrungen“ 311 - 113 und 113 - 311 In all diesen Fällen werden die gebildeten Paare visuell in Form von Zahlenquadraten dargestellt (Abb. 1).

Reis. 1

Ihre Eigenschaften ähneln magischen und lateinischen Quadraten. In einem durchschnittlichen Quadrat beträgt beispielsweise die Summe der Zahlen in jeder Zeile und jeder Spalte 444, auf den Diagonalen 262 und 626. Wenn wir die Zahlen aus allen Zellen addieren, erhalten wir 888. Und was typisch ist, ist jede Summe ein Palindrom. Selbst wenn wir mehrere Zahlen aus einer Tabelle ohne Leerzeichen ausschreiben, erhalten wir neue Palindrome: 3113, 131313131 usw. Was ist die größte Zahl, die auf diese Weise zusammengesetzt werden kann? Wird es ein Palindrom sein?

Wenn wir zu den Paaren 311 - 113 und 113 - 311 jeweils 131 oder 313 addieren, entstehen vier palindromische Tripletts. Schreiben wir einen davon in eine Kolumne:

Wie wir sehen, machen sich sowohl die Zahlen selbst als auch die gewünschte Kombination aus ihnen bemerkbar, wenn man sie in verschiedene Richtungen liest. Darüber hinaus ist die Anordnung der Zahlen symmetrisch und ihre Summe in jeder Zeile, jeder Spalte und auf einer der Diagonalen wird durch eine einfache Zahl ausgedrückt – 5.

Es muss gesagt werden, dass die betrachteten Zahlen an sich schon interessant sind. Beispielsweise ist das Palindrom 131 eine zyklische Primzahl: Alle aufeinanderfolgenden Umordnungen der ersten bis zur letzten Stelle ergeben die Primzahlen 311 und 113. Können Sie andere Primzahlpalindrome nennen, die dieselbe Eigenschaft haben?

Aber die Paare der „invertierten“ Zahlen 13 – 31 und 113 – 311 ergeben, wenn man sie quadriert, auch Paare „invertierter“ Zahlen: 169 – 961 und 12769 – 96721. Es ist merkwürdig, dass sogar die Summen ihrer Ziffern so waren auf raffinierte Weise verbunden:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Fügen wir hinzu, dass es unter den natürlichen Zahlen weitere Paare von „Umkehrungen“ mit einer ähnlichen Eigenschaft gibt: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111 usw. Was erklärt das beobachtete Muster? Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie verstehen, was das Besondere an der Aufzeichnung dieser Zahlen ist, welche Zahlen und in welchen Mengen darin enthalten sein können.

NUMERISCHER KONSTRUKTOR

Aus palindromischen Primzahlen lassen sich durch eine bestimmte Anordnung, beispielsweise Zeile für Zeile, symmetrische Figuren erstellen, die sich durch ein originelles Muster sich wiederholender Zahlen auszeichnen.

Hier ist zum Beispiel eine schöne Kombination einfacher Palindrome, geschrieben mit 1 und 3 (mit Ausnahme des ersten, Abb. 2). Die Besonderheit dieses Zahlendreiecks besteht darin, dass dasselbe Fragment dreimal wiederholt wird, ohne dass die Symmetrie des Musters gebrochen wird.

Reis. 2

Es ist leicht zu erkennen, dass die Gesamtzahl der Zeilen und Spalten eine Primzahl (17) ist. Außerdem Primzahlen und Ziffernsummen: rot hervorgehobene Fragmente (17); jede Zeile außer der ersten (5, 11, 17, 19, 23); die dritte, fünfte, siebte und neunte Spalte (7, 11) und die „Leiter“ der Einheiten, die die Seiten des Dreiecks bilden (11). Wenn wir uns schließlich parallel zu den angegebenen „Seiten“ bewegen und die Zahlen der dritten und fünften Reihe separat addieren (Abb. 3), erhalten wir zwei weitere Primzahlen (17, 5).

Reis. 3

Wenn Sie die Konstruktion fortsetzen, können Sie auf Basis dieses Dreiecks komplexere Figuren konstruieren. Es ist also nicht schwer, ein weiteres Dreieck mit ähnlichen Eigenschaften zu erhalten, indem man vom Ende ausgeht, das heißt von der letzten Zahl ausgeht, bei jedem Schritt zwei identische, symmetrisch angeordnete Zahlen durchstreicht und andere neu anordnet oder ersetzt – 3 durch 1 und umgekehrt . In diesem Fall sollten die Zahlen selbst so gewählt werden, dass die resultierende Zahl einfach ausfällt. Durch die Kombination beider Figuren erhalten wir eine Raute mit einem charakteristischen Zahlenmuster, hinter dem sich viele Primzahlen verbergen (Abb. 4). Insbesondere beträgt die Summe der rot hervorgehobenen Zahlen 37.

Reis. 4

Ein weiteres Beispiel ist ein Dreieck, das aus dem Original erhalten wurde, nachdem sechs einfache Palindrome hinzugefügt wurden (Abb. 5). Die Figur fällt durch ihr elegantes Gestell sofort ins Auge. Es wird von zwei einfachen Repuniten gleicher Länge begrenzt: 23 Einheiten bilden die „Basis“ und ebenso viele bilden die „Seiten“ des Dreiecks.

Reis. 5

Noch ein paar Zahlen

Sie können auch vieleckige Figuren aus Zahlen erstellen, die bestimmte Eigenschaften haben. Angenommen, Sie müssen eine Figur aus einfachen Palindromen konstruieren, die mit 1 und 3 geschrieben sind und von denen jedes extreme Ziffern hat, die Einsen sind, und die Summe aller Ziffern und die Gesamtzahl der Einsen in der Zeile Primzahlen sind (die Ausnahme ist eine einzelne). -stelliges Palindrom). Darüber hinaus muss eine einfache Zahl die Gesamtzahl der im Datensatz gefundenen Zeilen sowie die Ziffern 1 oder 3 ausdrücken.

In Abb. Abbildung 6 zeigt eine der Lösungen des Problems – ein „Haus“, das aus 11 verschiedenen Palindromen gebaut wurde.

Reis. 6

Natürlich ist es nicht notwendig, sich auf zwei Ziffern zu beschränken und das Vorhandensein aller angegebenen Ziffern im Datensatz jeder verwendeten Nummer zu verlangen. Im Gegenteil: Schließlich sind es ihre ungewöhnlichen Kombinationen, die dem Muster der Figur Originalität verleihen. Um dies zu bestätigen, geben wir mehrere Beispiele für schöne palindromische Abhängigkeiten (Abb. 7–9).

Reis. 7

Reis. 8

Reis. 9

Jetzt können Sie, ausgestattet mit einer Tabelle mit Primzahlen, selbst Zahlen wie die von uns vorgeschlagenen konstruieren.

Und zum Schluss noch eine Kuriosität – ein Dreieck, buchstäblich längs und quer mit Palindromen durchbohrt (Abb. 10). Es besteht aus 11 Zeilen mit Primzahlen und die Spalten bestehen aus Wiederholungsziffern. Und das Wichtigste: Das Palindrom 193111111323111111391, das die Figur von den Seiten her begrenzt, ist eine Primzahl!