Bezeichnen wir mit JTrägheitsmoment des Pendels relativ zur O-Achse. Punkt C sei der Massenschwerpunkt. Die Schwerkraft kann in zwei Komponenten zerlegt werden, von denen eine durch die Reaktion der Achse ausgeglichen wird. Das Pendel beginnt sich unter dem Einfluss einer anderen Komponente zu bewegen, einer Größe, die:

Für kleine Winkel Sünde A » A und Ausdruck (1) schreiben wir:

Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft entgegengesetzt zur Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtslage gerichtet ist.

Die Grundgleichung für die Dynamik der Rotationsbewegung eines physikalischen Pendels wird wie folgt geschrieben:

Kraftmoment relativ zur O-Achse unter Berücksichtigung von (2):

Wo l– Abstand vom Massenschwerpunkt C zur O-Achse.

Winkelbeschleunigung des Pendels:

Wenn wir (4) und (5) in Gleichung (3) einsetzen, erhalten wir:

Wo

Bestimmt haben

wir bekommen:

Gleichung (6) ist vom Aufbau her eine Differentialgleichung harmonischer Schwingungen mit zyklischer Frequenzw . Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels ist gleich:

Daher das Trägheitsmoment eines physikalischen Pendels:

Größe

wird die reduzierte Länge eines physikalischen Pendels genannt, gleich der Länge eines mathematischen Pendels, das die gleiche Schwingungsperiode wie das physikalische Pendel hat, d.h.

Punkt O 1 liegt auf einer geraden Linie, die durch den Aufhängungspunkt O und den Massenschwerpunkt C im Abstand der angegebenen Länge gezogen wirdl 0 von der Rotationsachse wird als Schwingzentrum des Pendels bezeichnet (Abb. 1). Der Schwungschwerpunkt liegt immer unterhalb des Massenschwerpunktes. Der Aufhängepunkt O und das Schwingzentrum O 1 sind miteinander konjugiert, d.h. Durch die Verschiebung des Aufhängepunkts in die Schwingmitte ändert sich die Schwingungsdauer des Pendels nicht. Der Aufhängepunkt und die Schwingmitte sind umkehrbar und der Abstand zwischen diesen Punkten ist die reduzierte Längel 0 eine der Arten physikalischer Pendel, das sogenannte reversible Pendel.

Bezeichnen wir mit J 0 Trägheitsmoment eines Pendels um eine Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt verläuft. Basierend auf dem Satz von Steiner, dem TrägheitsmomentJrelativ zu einer beliebigen Achse parallel zur ersten:

Wo M– Masse des Pendels,l– Abstand zwischen den Achsen.

Wenn das Pendel dann am Aufhängepunkt O aufgehängt ist, beträgt die Schwingungsdauer:

und wenn es am Schwingzentrum O 1 aufgehängt ist und sich das Pendel in einer umgekehrten Position befindet, beträgt die Periode:

Wo l 2 Und l 1 – der Abstand zwischen dem Massenschwerpunkt und den entsprechenden Schwingungsachsen.

Aus den Gleichungen (9) und (10):

Wo:

Formel (11) bleibt gültig, wenn das Pendel relativ zu zwei beliebigen Achsen O und O/ schwingt, die nicht unbedingt konjugiert sind, sondern auf gegenüberliegenden Seiten des Massenschwerpunkts des Pendels liegen.

Beschreibung des Betriebsaufbaus und der Messmethode.

Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung wird das FP-1-Gerät verwendet (Abb. 2),

bestehend aus einer Wandhalterung 1, an der 2 Trägerprismenkissen montiert sind und einem physikalischen Pendel, das ein homogener Metallstab 11 ist, an dem Linsen 5 und 9 befestigt sind. Linse 9 ist starr und bewegungslos befestigt. Die am Ende des Stabes befindliche Linse 5 lässt sich mit einem Nonius 4 entlang einer Skala 3 verschieben und wird mit einer Schraube 6 in der gewünschten Position fixiert. Das Pendel kann an Stützprismen 7 und 10 aufgehängt werden. Das Gerät umfasst a Spezialständer zur Bestimmung der Lage des Massenschwerpunktes des Pendels. Durch die Bewegung der Linse 5 ist es möglich, beim Aufhängen an den Stützprismen 7 und 10 gleiche Schwingungsperioden des Pendels zu erreichen, und dann werden die Schwingungsachsen konjugiert, der Abstand zwischen den Stützprismen wird gleich der reduzierten Länge des physikalischen Pendels.

Die Größe der Erdbeschleunigung wird anhand der Formel (11) ermittelt. Beim Experiment geht es darum, Mengen zu messen T 1 , T 2 , l 1 , l 2 . Formel (8) ist der Ausgangspunkt zur Bestimmung des Trägheitsmoments eines physikalischen Pendels.

Fortschritt

1) Bestimmung der Erdbeschleunigung .

1. Hängen Sie das Pendel an das Stützprisma 7, lenken Sie es in einem kleinen Winkel aus und messen Sie die Zeit mit einer StoppuhrT 1 30-50 vollständige Vibrationen. Das Experiment wird mindestens fünfmal wiederholt und der durchschnittliche Zeitwert ermittelt < T 1 > ausgewählte Schwingungszahl.

2. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer:

Wo N– Anzahl der Schwingungen.

3. Um die Position des Massenmittelpunkts des Pendels zu ermitteln, nehmen Sie es von den Stützprismakissen ab und balancieren Sie es auf der horizontalen Kante des auf dem Tisch montierten Prismas aus Die auf den rechten und linken Teil des Pendels wirkenden Schwerkraftmomente betragen gleich. Im Gleichgewichtsfall liegt der Schwerpunkt des Pendels in der dem Drehpunkt gegenüberliegenden Stange. Messen Sie den Abstand mit einem Lineal, ohne das Pendel vom Rand des Prismas zu entfernenl 1 zwischen Stütze 7 und Massenschwerpunkt.

4. Drehen Sie das Pendel um und hängen Sie es an das Stützprisma 10. Wählen Sie die gleiche Anzahl von SchwingungenNund wiederholen Sie das Experiment mindestens fünfmal, ermitteln Sie die Schwingungsdauer:

In diesem Fall sollten sich die Messwerte der Perioden T 1 und T 2 um nicht mehr als 5 % unterscheiden

5. Distanz findenl 2 zwischen der Kante des Stützprismas 10 und dem Massenschwerpunkt:l 2 = l 0 – l 1 wo l 0 – der Abstand zwischen den Kanten der Stützprismen 7 und 10 (für dieses Pendel).l 0 =0,730 m).

6. Berechnen Sie den Durchschnittswert < G> nach Formel (11)

7. Der absolute Fehler des Ergebnisses wird anhand des Tabellenwerts des gewünschten Wertes geschätztG Tischfür den Breitengrad von Bratsk. Finden Sie den relativen Fehler.

8. Die Ergebnisse der Messungen und Berechnungen sind in Tabelle 1 aufgeführt.

Tabelle 1

2) Bestimmung des Trägheitsmoments eines physikalischen Pendels.

1. Ermitteln Sie den Durchschnittswert des Trägheitsmoments eines physikalischen PendelsJrelativ zur Schwingungsachse gemäß Formel (8). Für Schwingungen eines an der Stütze 10 aufgehängten Pendels gilt: T = T 2 undl = l 2. Pendelmasse M= 10,65 kg.

2. Ermitteln Sie mithilfe der Methode zur Berechnung der Fehler indirekter Messungen den absoluten Fehler des Ergebnisses DJ.

3. Daten aus den Mess- und Berechnungsergebnissen werden in Tabelle 2 eingetragen.

Tabelle 2

Fragen zur Arbeitserlaubnis

1. Was ist der Zweck der Arbeit?

2. Was ist ein physikalisches Pendel? Welche Art von Pendel wird als Umkehrpendel bezeichnet?

3. Schreiben Sie die Formel für die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels auf und erläutern Sie die physikalische Bedeutung der darin enthaltenen Größen. Unter welchen Bedingungen ist diese Formel gültig?

4. Beschreiben Sie den Arbeitsaufbau und den Versuchsablauf.

Fragen zum Schutz Ihres Arbeitsplatzes

1. Leiten Sie eine Formel für die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels her.

2. Erstellen Sie eine Differentialgleichung für harmonische Schwingungen eines physikalischen Pendels und geben Sie deren Lösung an.

3. Was ist die reduzierte Länge eines physikalischen Pendels?

4. Geben Sie den Satz von Steiner an.

5. Leiten Sie die Arbeitsformel her:

um die Beschleunigung des freien Falls zu bestimmen;

um das Trägheitsmoment eines physikalischen Pendels zu bestimmen.

6. Erhalten Sie eine Formel zur Berechnung des relativen Fehlers mithilfe der DifferentialmethodeDJ/ Jund Möglichkeiten zur Verbesserung der Genauigkeit des experimentellen Ergebnisses aufzeigen.

Ein physikalisches Pendel ist ein starrer Körper, der unter dem Einfluss der Schwerkraft um eine feste horizontale Achse schwingen kann.

Stellen wir den Querschnitt des Pendels mit einer Ebene dar, die senkrecht zur Aufhängungsachse steht und durch den Massenschwerpunkt des Pendels C verläuft (Abb. 324, a).

Führen wir die folgenden Notationen ein: P ist das Gewicht des Pendels, a ist der Abstand OS vom Massenschwerpunkt zur Aufhängungsachse und ist das Trägheitsmoment des Pendels relativ zur Aufhängungsachse. Die Position des Pendels wird durch den Abweichungswinkel der OS-Linie von der Vertikalen bestimmt.

Um das Schwingungsgesetz des Pendels zu bestimmen, verwenden wir die Differentialgleichung der Rotationsbewegung (66). In diesem Fall (das Minuszeichen wird verwendet, da der Moment negativ und at positiv ist) nimmt die Gleichung (66) die Form an

Dividieren Sie beide Seiten der Gleichheit durch und führen Sie die Notation ein

Finden wir die Differentialgleichung der Pendelschwingungen in der Form

Die resultierende Differentialgleichung kann nicht in gewöhnliche Funktionen integriert werden. Beschränken wir uns darauf, kleine Schwingungen des Pendels zu betrachten, den Winkel klein zu halten und ungefähr anzunehmen. Dann nimmt die vorherige Gleichung die Form an

Diese Differentialgleichung stimmt formal mit der Differentialgleichung der freien geradlinigen Schwingungen eines Punktes überein und ihre allgemeine Lösung wird in Analogie zur Gleichung (68) aus § 94 sein

Unter der Annahme, dass das Pendel im Anfangsmoment klein ausgelenkt und ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird, finden wir die Werte für die Integrationskonstanten

Dann gilt das Gesetz der kleinen Schwingungen des Pendels unter gegebenen Anfangsbedingungen

Folglich sind kleine Schwingungen eines physikalischen Pendels harmonisch. Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels wird durch die Formel bestimmt, wenn wir k durch seinen Wert (67) ersetzen

Wie wir sehen, hängt die Periode bei kleinen Schwingungen nicht vom Winkel der anfänglichen Abweichung ab. Dieses Ergebnis ist ungefähr. Wenn wir die zu Beginn erstellte Differentialgleichung der Schwingungen des Pendels integrieren, ohne den Winkel darin als klein zu betrachten (d. h. ohne anzunehmen), dann können wir davon überzeugt sein, dass es davon abhängt. Diese Abhängigkeit hat ungefähr die Form

Daraus folgt beispielsweise, dass Formel (68) bei rad (ca. 23°) die Periode mit einer Genauigkeit von bestimmt

Die erhaltenen Ergebnisse decken auch den Fall des sogenannten mathematischen Pendels ab, d. h. einer kleinen Last (die wir als materiellen Punkt betrachten), die an einem nicht dehnbaren Faden der Länge l hängt, deren Masse im Vergleich dazu vernachlässigt werden kann mit der Masse der Last (Abb. 324, b). Bei einem mathematischen Pendel ist dies offensichtlich der Fall, da es sich um ein System handelt, das aus einem materiellen Punkt besteht

Wenn wir diese Größen in die Gleichung (68) einsetzen, stellen wir fest, dass die Periode kleiner Schwingungen eines mathematischen Pendels durch die Formel bestimmt wird

Aus einem Vergleich der Formeln (68) und (68) wird deutlich, dass mit einer Länge

Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels stimmt mit der Schwingungsdauer des entsprechenden physikalischen Pendels überein.

Die Länge h eines solchen mathematischen Pendels, dessen Schwingungsdauer gleich der Schwingungsdauer eines gegebenen physikalischen Pendels ist, wird als reduzierte Länge des physikalischen Pendels bezeichnet. Der von der Aufhängungsachse entfernte Punkt K wird als Schwingzentrum des physikalischen Pendels bezeichnet (siehe Abb. 324).

Beachten Sie, dass wir gemäß dem Satz von Huygens die Formel (69) auf die Form reduzieren können

Daraus folgt, dass der Abstand OK immer größer ist als d. h. dass der Schwingmittelpunkt des Pendels immer unterhalb seines Massenschwerpunkts liegt.

Aus Formel (69) geht hervor, dass . Wenn Sie also die Aufhängungsachse am Punkt K platzieren, verringert sich die Länge U des resultierenden Pendels gemäß

Folglich sind die Punkte K und O gegenseitig, d Umkehrpendel, das zur Bestimmung der Erdbeschleunigung verwendet wird.

Während die Schwerkraft R, angewendet im Massenschwerpunkt MIT, entlang der Stabachse gerichtet (Abb. 5.1, A) befindet sich das System im Gleichgewicht. Wird der Stab um einen bestimmten kleinen Winkel ausgelenkt (Abb. 5.1, B), dann der Schwerpunkt MIT steigt auf eine geringe Höhe und der Körper erwirbt eine Reserve an potentieller Energie. Auf dem Pendel relativ zur Achse UM, deren Richtung wir „zu uns hin“ wählen, wirkt das Schwerkraftmoment, dessen Projektion auf diese Achse gleich ist

Wo ; L– Abstand zwischen der Drehachse UM und Schwerpunkt MIT.

Drehmoment M, mit Gewalt geschaffen R, bei kleinen Winkeln ist gleich

Es bewirkt eine Beschleunigung bei der Drehbewegung des Pendels. Der Zusammenhang zwischen dieser Beschleunigung und dem Drehmoment ergibt sich aus der Grundgleichung der Dynamik der Drehbewegung

, (5.2)

Wo J– Trägheitsmoment des Pendels relativ zur Achse UM.

Bezeichnen wir

Dann erhalten wir aus Gleichung (5.2).

Gleichung (5.4) beschreibt einen oszillierenden Prozess mit zyklischer Frequenz.

Die Schwingungsdauer ist daher gleich

Aus Formel (5.5) drücken wir das Trägheitsmoment aus

Wenn sich die Position des Massenschwerpunkts des Systems nicht ändert, dann der Wert L ist konstant und ein konstanter Koeffizient kann in die Formel (5.6) eingeführt werden.

. (5.7)

Zeit messen T, während dessen es auftritt N vollständige Schwingungen, wir finden die Periode . Ersetzen T Und K in (5.6) erhalten wir die Arbeitsformel

Mit der Formel (5.8) werden indirekte Messungen des Trägheitsmoments eines physikalischen Pendels relativ zur Achse durchgeführt UM.

Andererseits das Trägheitsmoment J hängt von der Position der Gewichte auf der Stange ab. Bewegen wir die Gewichte entlang der Stange, sodass sie symmetrisch zu einem bestimmten Punkt liegen A. Dieser mathematische Punkt wird willkürlich in der Nähe der Stabmitte gewählt. Der Massenschwerpunkt des Systems behält seinen Standort. Wir betrachten die Größe der Lasten als klein im Vergleich zu und (siehe Abb. 5.1). Dann können sie als materielle Punkte betrachtet werden. In diesem Fall wird das Trägheitsmoment des Systems durch den Ausdruck bestimmt

wo ist das Trägheitsmoment des Systems ohne Lasten; X– Abstand der Last zum Punkt A; l– Punktabstand A zur Drehachse des Pendels UM.

Wenn wir die Formel (5.9) transformieren, erhalten wir

Wo ist das Trägheitsmoment des Pendels, wenn die Lasten am Punkt positioniert sind? A.

Wir werden die Abhängigkeit (5.10) überprüfen, indem wir die Mengen ermitteln J Und J A experimentell unter Verwendung der Formel (5.8).

Arbeitsauftrag

1. Besorgen Sie sich bei der Vorbereitung auf Laborarbeiten eine Berechnungsformel für den Fehler indirekter Messungen D J Trägheitsmoment (siehe Einleitung). Bitte beachten Sie, dass das Trägheitsmoment mit der Arbeitsformel (5.8) ermittelt wird. Um die Berechnungen zu vereinfachen, können wir davon ausgehen, dass der Koeffizient K genau in dieser Formel gemessen: D K= 0.

2. Erstellen Sie eine Skizze des Tisches. 1 zur statistischen Verarbeitung direkter Fünffach-Zeitmessungen T(Ein Beispiel finden Sie in der Einführung zu Tabelle B.1).

3. Erstellen Sie eine Skizze des Tisches. 2 zur Abhängigkeitsforschung J aus X 2 .

4. Schalten Sie die elektronische Stoppuhr ein. Durch Drücken der Taste „Mode“ stellen Sie Modus Nr. 3 ein (die Anzeige „Mode 3“ leuchtet auf) und die Bremsvorrichtung, die den Körper hält, wird ausgeschaltet.

5. Bei Arbeitsbeginn beide Gewichte an der Stelle platzieren A(Ihre Position ist in der Tabelle der Ausgangsdaten im Anhang und in der Nähe der Laboranlage, an der Sie arbeiten werden, angegeben).

6. Lenken Sie das Pendel von Hand in einem kleinen Winkel aus und schalten Sie in dem Moment, in dem das Pendel losgelassen wird, die Stoppuhr ein, indem Sie die „Start“-Taste drücken. Nachdem Sie 10 volle Pendelschwingungen gezählt haben, stoppen Sie die Stoppuhr, indem Sie die „Stopp“-Taste drücken. Tragen Sie die ermittelte Zeit in die Messtabelle ein.

7. Nehmen Sie fünf Zeitmessungen vor T zehn vollständige Schwingungen eines physikalischen Pendels, ohne die Position der Gewichte zu verändern.

8. Berechnen Sie die durchschnittliche Zeit und bestimmen Sie den Vertrauensfehler der Messung D T.

9. Bestimmen Sie mit der Arbeitsformel (5.8) den Wert des Trägheitsmoments J A Bestimmen Sie mithilfe der in Schritt 1 dieser Aufgabe erhaltenen Formel den Messfehler dieses Werts D J. Schreiben Sie das Ergebnis in das Formular und tragen Sie es in die Tabelle ein. 2 für Wert.

10. Verteilen Sie die Gewichte symmetrisch zum Punkt A auf eine Distanz (siehe Abb. 5.1). Es wird empfohlen, den Abstand gleich dem Wert zu nehmen, der in der einzelnen Aufgabe verwendet wurde. Nehmen Sie einmalige Zeitmessungen vor T zehn vollständige Schwingungen eines physikalischen Pendels.

11. Wiederholen Sie Experimentschritt 7 in fünf verschiedenen Abständen X.

12. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Pendels mit Formel (5.8) in verschiedenen Abständen X. Tragen Sie die Ergebnisse in die Tabelle ein. 2.

13. Zeichnen Sie ein Diagramm des Trägheitsmoments des Pendels
aus X 2, mit Tabelle. 2. Tragen Sie die erwartete Zeit in dasselbe Diagramm ein.
Abhängigkeit (5.10). Vergleichen und analysieren Sie die erzielten Ergebnisse
tatov.

Kontrollfragen

1. Was ist der Zweck dieser Arbeit?

2. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines Körpers? Was ist seine physikalische Bedeutung?

3. Formulieren Sie das Grundgesetz der Dynamik der Rotationsbewegung und wenden Sie es auf diese Arbeit an.

4. Was ist der Massenschwerpunkt des Systems?

5. Warum ändert sich die Lage des Massenschwerpunkts des Pendels nicht, wenn sich die Position der Gewichte ändert?

6. Ermitteln Sie das Trägheitsmoment des Systems relativ zum Massenschwerpunkt, indem Sie die dafür notwendigen Größen einstellen oder messen.

7. Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz und schreiben Sie ihn in Bezug auf ein physikalisches Pendel auf.

8. Wie erhält man die Arbeitsformel (5.8) und die Abhängigkeit (5.10)?

9. Wie erhält man eine Formel zur Berechnung des Fehlers indirekter Messungen des Trägheitsmoments?

10. Wie ist Steiners Satz formuliert? Wie kann es auf das untersuchte System angewendet werden?

11. Warum wird vorgeschlagen, die Abhängigkeit des Trägheitsmoments vom Quadrat des Wertes darzustellen? X?

12. Was ist Kraftmoment, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Winkelverschiebung, wie sind diese Vektoren gerichtet?

Individuelle Aufgaben für Teammitglieder,

Durchführung von Laborarbeiten an einer Anlage

Literatur

Savelyev I.V. Allgemeiner Physikkurs. – M.: Nauka, 1982. – T. 1 (und nachfolgende Ausgaben dieses Kurses).

Laborarbeit Nr. 6

BESTIMMUNG DES ADIABATH-INDIKATORS

NACH DER METHODE VON CLEMENT UND DEZORMES

Ziel der Arbeit - Untersuchung thermodynamischer Gleichgewichtsprozesse und Wärmekapazität idealer Gase, Messung des adiabatischen Exponenten mit der klassischen Methode von Clément und Desormes.