ALLGEMEINE KRÄFTE

ALLGEMEINE KRÄFTE

Größen, die bei der Untersuchung des Gleichgewichts oder der mechanischen Bewegung die Rolle gewöhnlicher Kräfte spielen. System, seine Position wird durch verallgemeinerte Koordinaten bestimmt. Anzahl der O. s. gleich der Anzahl s der Freiheitsgrade des Systems; In diesem Fall entspricht jede verallgemeinerte Koordinate qi einem eigenen Koordinatensystem. Qi. Der Wert von O. s. Q1, das der Koordinate q1 entspricht, kann durch Berechnen des Elements ermittelt werden. Arbeit dA1 aller Kräfte auf die mögliche Bewegung des Systems, bei der sich nur die Koordinate q1 ändert: Erhalt eines Inkrements dq1. Dann ist dA1=Q1dq1т. d. h. der Koeffizient für dqi im Ausdruck dA1 ist O. s. Q1. Q2 und Q3 werden auf ähnliche Weise berechnet. . .,Qs.

Dimension O. s. hängt von der Dimension der verallgemeinerten Koordinate ab. Wenn Qi Längen hat, dann ist Qi die Dimension der gewöhnlichen Kraft; Wenn Qi ein Winkel ist, dann hat Qi die Dimension des Kraftmoments usw. Bei der Untersuchung der Bewegung eines mechanischen Elements O.-Systeme gehen anstelle von gewöhnlichen Kräften in die Lagrange-Gleichungen der Mechanik ein, und im Gleichgewicht sind alle O.-Systeme. sind gleich Null.

Physikalisches enzyklopädisches Wörterbuch. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. Chefredakteur A. M. Prokhorov. 1983 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „GENERALISIERTE KRÄFTE“ sind:

Größen, die die Rolle gewöhnlicher Kräfte spielen, wenn bei der Untersuchung des Gleichgewichts oder der Bewegung eines mechanischen Systems dessen Position durch verallgemeinerte Koordinaten bestimmt wird (siehe Verallgemeinerte Koordinaten). Anzahl der O. s. gleich der Anzahl s der Freiheitsgrade des Systems; bei… …

In der Mechanik sind die Größen Qi, das Produkt der Größen Qi und die Elementarlösungen dqi der verallgemeinerten Koordinaten qi mechanisch. Systeme geben einen Ausdruck elementarer Arbeit bA, wenn sie aus einem Stapel faseriger Materialien (Baumwolle, Viskose) gebildet werden. Für Aufkleber O. normalerweise... ... Großes enzyklopädisches polytechnisches Wörterbuch

- (USA) (Vereinigte Staaten von Amerika, USA). I. Allgemeine Informationen Die USA sind ein Staat in Nordamerika. Fläche 9,4 Millionen km2. Bevölkerung 216 Millionen Menschen. (1976, Einschätzung). Die Hauptstadt ist Washington. Administrativ ist das Territorium der Vereinigten Staaten... Große sowjetische Enzyklopädie

- (Luftwaffe der UdSSR) Flagge der sowjetischen Luftwaffe seit Jahren ... Wikipedia

- الإمارات العربية المتحدة‎ al Emarat al Arabiya al Muttahida ... Wikipedia

Das Kraftfeld wird im Q-Bereich des Konfigurationsraums als Gradient der Skalarfunktion angegeben: wobei (verallgemeinerte) Koordinaten, U(q) potentielle Energie. Arbeit von P. s. entlang jeder geschlossenen Kontur in Q, die auf einen Punkt kontrahierbar ist, ist gleich Null. Ein Zeichen... ... Physische Enzyklopädie

- (Luftwaffe) eine Art der Streitkräfte des Staates, die für unabhängige Aktionen zur Lösung operativer strategischer Aufgaben und für gemeinsame Aktionen mit anderen Arten von Streitkräften bestimmt ist. Im Hinblick auf ihre Kampffähigkeiten verfügen moderne Luftstreitkräfte... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Kraft, ein Maß für die Wirkung einer Kraft, abhängig von der numerischen Größe und Richtung der Kraft sowie von der Bewegung des Angriffspunkts. Wenn die Kraft F numerisch und in der Richtung konstant ist und die Verschiebung M0M1 geradlinig ist (Abb. 1), dann ist P. A = F․s․cosα, wobei s = M0M1 … Große sowjetische Enzyklopädie

Kraft, ein Maß für die Wirkung einer Kraft, abhängig von der numerischen Größe und Richtung der Kraft sowie von der Bewegung des Angriffspunkts. Wenn die Kraft F numerisch und in der Richtung konstant ist und die Verschiebung M0M1 geradlinig ist (Abb. 1), dann gilt P. A = F s cosa, wobei s = M0M1, und der Winkel... ... Physische Enzyklopädie

Mechanik. 1) Lagrange-Gleichungen 1. Art, Differentialgleichungen der mechanischen Bewegung. Systeme, die in Projektionen auf rechtwinklige Koordinatenachsen gegeben sind und die sogenannten enthalten. Lagrange-Multiplikatoren. Erhalten von J. Lagrange im Jahr 1788. Für ein holonomisches System ... ... Physische Enzyklopädie

Bei der Berechnung dieser verallgemeinerten Kraft sollte natürlich die potentielle Energie als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten bestimmt werden

P = P( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,qs).

Anmerkungen.

Erste. Bei der Berechnung der verallgemeinerten Reaktionskräfte werden ideale Verbindungen nicht berücksichtigt.

Zweite. Die Dimension der verallgemeinerten Kraft hängt von der Dimension der verallgemeinerten Koordinate ab. Wenn also die Dimension [ Q] – Meter, dann die Abmessung

[Q]= Nm/m = Newton, wenn [ Q] – Bogenmaß, dann [Q] = Nm; Wenn [ Q] = m 2, dann [Q] = H/m usw.

Beispiel 4. Ein Ring gleitet entlang einer Stange, die in einer vertikalen Ebene schwingt. M Gewicht R(Abb. 10). Wir betrachten die Rute als schwerelos. Definieren wir verallgemeinerte Kräfte.

Abb.10

Lösung. Das System verfügt über zwei Freiheitsgrade. Wir weisen zwei verallgemeinerte Koordinaten zu S Und .

Finden wir die verallgemeinerte Kraft, die der Koordinate entspricht S. Wir erhöhen diese Koordinate, lassen die Koordinate unverändert und berechnen die Arbeit der einzigen aktiven Kraft R, erhalten wir die verallgemeinerte Kraft

Dann erhöhen wir die Koordinate, vorausgesetzt S= konst. Wenn die Stange um einen Winkel gedreht wird, liegt der Kraftangriffspunkt R, Ring M, wird umziehen. Die verallgemeinerte Kraft wird sein

Da das System konservativ ist, können verallgemeinerte Kräfte auch mithilfe potentieller Energie ermittelt werden. Wir bekommen Und . Es stellt sich viel einfacher heraus.

Lagrange-Gleichgewichtsgleichungen

Per Definition (7) verallgemeinerte Kräfte , k = 1,2,3,…,S, Wo S– Anzahl der Freiheitsgrade.

Befindet sich das System im Gleichgewicht, dann gilt nach dem Prinzip der möglichen Verschiebungen (1) . Hier sind die durch die Verbindungen erlaubten Bewegungen, die möglichen Bewegungen. Wenn sich ein materielles System im Gleichgewicht befindet, sind daher alle seine verallgemeinerten Kräfte gleich Null:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Diese Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen in verallgemeinerten Koordinaten oder Lagrange-Gleichgewichtsgleichungen , ermöglichen eine weitere Methode zur Lösung statischer Probleme.

Wenn das System konservativ ist, dann . Dies bedeutet, dass es sich in einer Gleichgewichtslage befindet. Das heißt, in der Gleichgewichtslage eines solchen Stoffsystems ist seine potentielle Energie entweder maximal oder minimal, d.h. die Funktion П(q) hat ein Extremum.

Dies wird aus der Analyse des einfachsten Beispiels deutlich (Abb. 11). Potenzielle Energie des Balls in Position M 1 hat ein Minimum in Position M 2 – maximal. Das ist an der Position zu erkennen M 1 Gleichgewicht wird stabil sein; schwanger M 2 – instabil.

Abb.11

Das Gleichgewicht gilt als stabil, wenn dem Körper in dieser Position eine geringe Geschwindigkeit verliehen oder er um eine kleine Strecke verschoben wird und diese Abweichungen in Zukunft nicht zunehmen.

Es lässt sich beweisen (Lagrange-Dirichlet-Theorem), dass, wenn in der Gleichgewichtslage eines konservativen Systems dessen potentielle Energie ein Minimum aufweist, diese Gleichgewichtslage stabil ist.

Für ein konservatives System mit einem Freiheitsgrad wird die Bedingung für die minimale potentielle Energie und damit die Stabilität der Gleichgewichtsposition durch die zweite Ableitung, ihren Wert in der Gleichgewichtsposition, bestimmt.

Beispiel 5. Kernel OA Gewicht R kann sich in einer vertikalen Ebene um eine Achse drehen UM(Abb. 12). Lassen Sie uns die Stabilität von Gleichgewichtspositionen finden und untersuchen.

Abb.12

Lösung. Der Stab hat einen Freiheitsgrad. Verallgemeinerte Koordinate – Winkel.

Bezogen auf die untere Nullposition beträgt die potentielle Energie P = Ph oder

In der Gleichgewichtsposition sollte es sein . Daher haben wir zwei Gleichgewichtspositionen, die den Winkeln und (Positionen) entsprechen OA 1 und OA 2). Lassen Sie uns ihre Stabilität untersuchen. Finden der zweiten Ableitung. Natürlich mit , . Die Gleichgewichtslage ist stabil. Bei , . Die zweite Gleichgewichtslage ist instabil. Die Ergebnisse sind offensichtlich.

Verallgemeinerte Trägheitskräfte.

Unter Verwendung der gleichen Methode (8), mit der die verallgemeinerten Kräfte berechnet wurden Q k, entsprechend den aktiven, spezifizierten Kräften, werden auch verallgemeinerte Kräfte bestimmt S k, entsprechend den Trägheitskräften der Punkte des Systems:

Und da Das

Ein paar mathematische Transformationen.

Offensichtlich,

Da a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), dann

Dies bedeutet, dass die partielle Ableitung der Geschwindigkeit nach

Darüber hinaus können Sie im letzten Term (14) die Reihenfolge der Differenzierung ändern:

Wenn wir (15) und (16) in (14) und dann (14) in (13) einsetzen, erhalten wir

Wenn wir die letzte Summe durch zwei teilen und berücksichtigen, dass die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist, erhalten wir

Wo ist die kinetische Energie des Systems und die allgemeine Geschwindigkeit?

Lagrange-Gleichungen.

Per Definition (7) und (12) verallgemeinerte Kräfte

Basierend auf der allgemeinen Dynamikgleichung (3) ist die rechte Seite der Gleichheit jedoch gleich Null. Und da alles ( k = 1,2,3,…,S) von Null verschieden sind, dann . Wenn wir den Wert der verallgemeinerten Trägheitskraft (17) einsetzen, erhalten wir die Gleichung

Diese Gleichungen heißen Differentialgleichungen der Bewegung in verallgemeinerten Koordinaten, Lagrange-Gleichungen zweiter Art oder einfach – Lagrange-Gleichungen.

Die Anzahl dieser Gleichungen entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade des Materialsystems.

Wenn das System konservativ ist und sich unter dem Einfluss potenzieller Feldkräfte bewegt und die verallgemeinerten Kräfte sind, können die Lagrange-Gleichungen in der Form zusammengesetzt werden

Wo L = T– P heißt Lagrange-Funktion (Es wird angenommen, dass die potentielle Energie P nicht von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten abhängt).

Bei der Untersuchung der Bewegung materieller Systeme stellt sich häufig heraus, dass es sich um einige verallgemeinerte Koordinaten handelt q j sind nicht explizit in der Lagrange-Funktion enthalten (oder in T und P). Solche Koordinaten werden aufgerufen zyklisch. Die diesen Koordinaten entsprechenden Lagrange-Gleichungen werden einfacher erhalten.

Das erste Integral solcher Gleichungen kann sofort gefunden werden. Man nennt es ein zyklisches Integral:

Weitere Studien und Transformationen der Lagrange-Gleichungen sind Gegenstand eines speziellen Abschnitts der theoretischen Mechanik – „Analytische Mechanik“.

Die Lagrange-Gleichungen haben im Vergleich zu anderen Methoden zur Untersuchung der Bewegung von Systemen eine Reihe von Vorteilen. Hauptvorteile: Die Methode zum Aufstellen von Gleichungen ist bei allen Problemen gleich, die Reaktionen idealer Verbindungen werden bei der Lösung von Problemen nicht berücksichtigt.

Und noch etwas: Mit diesen Gleichungen können nicht nur mechanische, sondern auch andere physikalische Systeme (elektrisch, elektromagnetisch, optisch usw.) untersucht werden.

Beispiel 6. Lassen Sie uns unsere Untersuchung der Bewegung des Rings fortsetzen M auf einer schwingenden Stange (Beispiel 4).

Verallgemeinerte Koordinaten werden zugewiesen – und s (Abb. 13). Verallgemeinerte Kräfte werden definiert: und .

Abb.13

Lösung. Kinetische Energie des Rings Wobei a und .

Wir stellen zwei Lagrange-Gleichungen auf

dann sehen die Gleichungen so aus:

Wir haben zwei nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung erhalten, deren Lösung spezielle Methoden erfordert.

Beispiel 7. Lassen Sie uns eine Differentialgleichung der Bewegung des Strahls erstellen AB, das rollt, ohne auf einer zylindrischen Oberfläche zu gleiten (Abb. 14). Strahllänge AB = l, Gewicht - R.

In der Gleichgewichtsposition war der Balken horizontal und der Schwerpunkt MIT es befand sich am oberen Punkt des Zylinders. Der Strahl hat einen Freiheitsgrad. Seine Position wird durch eine verallgemeinerte Koordinate bestimmt – einen Winkel (Abb. 76).

Abb.14

Lösung. Das System ist konservativ. Daher erstellen wir die Lagrange-Gleichung unter Verwendung der potentiellen Energie P=mgh, berechnet relativ zur horizontalen Position. Am Kontaktpunkt gibt es einen momentanen Mittelpunkt der Geschwindigkeiten und (gleich der Länge des Kreisbogens mit Winkel).

Deshalb (siehe Abb. 76) und .

Kinetische Energie (der Strahl erfährt eine planparallele Bewegung)

Wir finden die notwendigen Ableitungen für die Gleichung und

Machen wir eine Gleichung

oder schließlich,

Fragen zum Selbsttest

Wie nennt man die mögliche Bewegung eines eingeschränkten mechanischen Systems?

Wie hängen mögliche und tatsächliche Bewegungen des Systems zusammen?

Welche Verbindungen heißen: a) stationär; b) ideal?

Formulieren Sie das Prinzip möglicher Bewegungen. Schreiben Sie den formelhaften Ausdruck auf.

Ist es möglich, das Prinzip der virtuellen Bewegung auf Systeme mit nichtidealen Zusammenhängen anzuwenden?

Was sind die verallgemeinerten Koordinaten eines mechanischen Systems?

Wie viele Freiheitsgrade hat ein mechanisches System?

In welchem ​​Fall hängen die kartesischen Koordinaten von Punkten im System nicht nur von verallgemeinerten Koordinaten, sondern auch von der Zeit ab?

Wie nennt man die möglichen Bewegungen eines mechanischen Systems?

Hängen mögliche Bewegungen von den Kräften ab, die auf das System einwirken?

Welche Verbindungen eines mechanischen Systems nennt man ideal?

Warum ist eine durch Reibung hergestellte Verbindung keine ideale Verbindung?

Wie ist das Prinzip möglicher Bewegungen formuliert?

Welche Arten kann die Arbeitsgleichung haben?

Warum vereinfacht das Prinzip der möglichen Verschiebungen die Ableitung von Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte, die auf eingeschränkte Systeme aus einer großen Anzahl von Körpern wirken?

Wie werden Arbeitsgleichungen für Kräfte aufgestellt, die auf ein mechanisches System mit mehreren Freiheitsgraden wirken?

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Antriebskraft und der Widerstandskraft bei einfachen Maschinen?

Wie ist die Goldene Regel der Mechanik formuliert?

Wie werden die Reaktionen von Verbindungen nach dem Prinzip möglicher Bewegungen bestimmt?

Welche Verbindungen werden holonom genannt?

Wie viele Freiheitsgrade hat ein mechanisches System?

Was sind die verallgemeinerten Koordinaten des Systems?

Wie viele verallgemeinerte Koordinaten hat ein nichtfreies mechanisches System?

Wie viele Freiheitsgrade hat das Lenkrad eines Autos?

Was ist generalisierte Kraft?

Schreiben Sie eine Formel auf, die die gesamte Elementararbeit aller auf das System wirkenden Kräfte in verallgemeinerten Koordinaten ausdrückt.

Wie wird die Dimension der verallgemeinerten Kraft bestimmt?

Wie werden verallgemeinerte Kräfte in konservativen Systemen berechnet?

Schreiben Sie eine der Formeln auf, die die allgemeine Gleichung der Dynamik eines Systems mit idealen Verbindungen ausdrücken. Welche physikalische Bedeutung hat diese Gleichung?

Was ist die verallgemeinerte Kraft aktiver Kräfte, die auf ein System wirken?

Was ist die verallgemeinerte Trägheitskraft?

Formulieren Sie das d'Alembert-Prinzip in verallgemeinerten Kräften.

Wie lautet die allgemeine Gleichung der Dynamik?

Was nennt man die verallgemeinerte Kraft, die einer verallgemeinerten Koordinate des Systems entspricht, und welche Dimension hat sie?

Was sind die verallgemeinerten Reaktionen idealer Bindungen?

Leiten Sie die allgemeine Gleichung der Dynamik verallgemeinerter Kräfte her.

Welche Form haben die Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte, die auf ein mechanisches System wirken, die sich aus der allgemeinen Gleichung der Dynamik in verallgemeinerten Kräften ergeben?

Welche Formeln drücken verallgemeinerte Kräfte durch Kraftprojektionen auf die festen Achsen kartesischer Koordinaten aus?

Wie werden verallgemeinerte Kräfte bei konservativen und bei nichtkonservativen Kräften ermittelt?

Welche Verbindungen nennt man geometrisch?

Geben Sie eine Vektordarstellung des Prinzips der möglichen Verschiebungen an.

Nennen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für das Gleichgewicht eines mechanischen Systems mit idealen stationären geometrischen Verbindungen.

Welche Eigenschaft hat die Kraftfunktion eines konservativen Systems im Gleichgewichtszustand?

Schreiben Sie ein System von Lagrange-Differentialgleichungen zweiter Art auf.

Wie viele Lagrange-Gleichungen zweiter Art können für ein eingeschränktes mechanisches System aufgestellt werden?

Hängt die Anzahl der Lagrange-Gleichungen eines mechanischen Systems von der Anzahl der im System enthaltenen Körper ab?

Was ist das kinetische Potenzial eines Systems?

Für welche mechanischen Systeme existiert die Lagrange-Funktion?

Welche Argumente hat die Funktion des Geschwindigkeitsvektors eines Punktes, der zu einem mechanischen System gehört? S Freiheitsgrade?

Was ist die partielle Ableitung des Geschwindigkeitsvektors eines Punktes im System nach einer verallgemeinerten Geschwindigkeit?

Die Funktion welcher Argumente ist die kinetische Energie eines Systems, das holonomen instationären Beschränkungen unterliegt?

Welche Form haben Lagrange-Gleichungen zweiter Art? Wie viele dieser Gleichungen gibt es für jedes mechanische System?

Welche Form nehmen Lagrange-Gleichungen zweiter Art an, wenn gleichzeitig konservative und nichtkonservative Kräfte auf das System einwirken?

Was ist die Lagrange-Funktion oder das kinetische Potential?

Welche Form haben die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für ein konservatives System?

Abhängig von welchen Variablen sollte die kinetische Energie eines mechanischen Systems beim Aufstellen der Lagrange-Gleichungen ausgedrückt werden?

Wie wird die potentielle Energie eines mechanischen Systems unter dem Einfluss elastischer Kräfte bestimmt?

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

Aufgabe 1. Bestimmen Sie mithilfe des Prinzips der möglichen Verschiebungen die Reaktionen von Verbindungen von Verbundstrukturen. Strukturdiagramme sind in Abb. dargestellt. 15, und die für die Lösung notwendigen Daten sind in der Tabelle angegeben. 1. Auf den Bildern sind alle Maße in Metern angegeben.

Tabelle 1

R 1, kN R 2, kN Q, kN/m M, kNm R 1, kN R 2, kN Q, kN/m M, kNm

Option 1 Option 2

Option 3 Option 4

Option 5 Option 6

Option 7 Option 8

Abb.16 Abb.17

Lösung. Es lässt sich leicht überprüfen, dass bei diesem Problem alle Bedingungen für die Anwendung des Lagrange-Prinzips erfüllt sind (das System befindet sich im Gleichgewicht, die Verbindungen sind stationär, holonom, einschränkend und ideal).

Befreien wir uns von der Verbindung, die der Reaktion entspricht X A (Abb. 17). Dazu sollte am Punkt A das feste Scharnier beispielsweise durch eine Stangenhalterung ersetzt werden, wodurch das System einen Freiheitsgrad erhält. Wie bereits erwähnt, wird die mögliche Bewegung des Systems durch die ihm auferlegten Beschränkungen bestimmt und hängt nicht von den angewendeten Kräften ab. Daher ist die Bestimmung möglicher Verschiebungen ein kinematisches Problem. Da sich der Rahmen in diesem Beispiel nur in der Bildebene bewegen kann, sind auch seine möglichen Bewegungen planar. Bei der ebenen Bewegung kann die Bewegung des Körpers als Rotation um den momentanen Geschwindigkeitsschwerpunkt betrachtet werden. Liegt der momentane Mittelpunkt der Geschwindigkeiten im Unendlichen, so entspricht dies dem Fall der momentanen Translationsbewegung, bei der die Verschiebungen aller Punkte des Körpers gleich sind.

Um den momentanen Mittelpunkt der Geschwindigkeiten zu ermitteln, ist es notwendig, die Richtungen der Geschwindigkeiten zweier beliebiger Punkte des Körpers zu kennen. Daher sollte die Bestimmung der möglichen Verschiebungen einer Verbundstruktur damit beginnen, die möglichen Verschiebungen des Elements zu ermitteln, für das solche Geschwindigkeiten bekannt sind. In diesem Fall sollten Sie mit dem Rahmen beginnen CDB, da sein Punkt IN ist bewegungslos und daher ist die mögliche Bewegung dieses Rahmens seine Drehung um einen Winkel um eine Achse, die durch Scharnier B verläuft. Nun kennen wir die mögliche Bewegung des Punktes MIT(es gehört gleichzeitig zu beiden Rahmen des Systems) und mögliche Bewegung des Punktes A(Eine mögliche Bewegung von Punkt A ist seine Bewegung entlang der Achse X), finden Sie das momentane Geschwindigkeitszentrum C 1 des Rahmens AES. Somit ist eine Bewegung des Rahmens möglich AES ist seine Drehung um den Punkt C 1 um einen Winkel. Der Zusammenhang zwischen den Winkeln und wird durch die Bewegung des Punktes C bestimmt (siehe Abb. 17)

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke EC 1 C und BCD ergibt sich

Als Ergebnis erhalten wir die Abhängigkeiten:

Nach dem Prinzip möglicher Bewegungen

Lassen Sie uns nacheinander die hier enthaltenen möglichen Jobs berechnen:

Q=2q – Resultierende der Flächenlast, deren Angriffspunkt in Abb. dargestellt ist. 79; die mögliche von ihm verrichtete Arbeit ist gleich.

Betrachten wir ein mechanisches System bestehend aus materiellen Punkten, auf die Kräfte wirken. Das System habe s Freiheitsgrade und seine Position werde durch verallgemeinerte Koordinaten (104) bestimmt. Informieren wir das System über eine solche unabhängige mögliche Bewegung, bei der die Koordinate ein Inkrement erhält und sich die übrigen Koordinaten nicht ändern. Dann erhält jeder der Radiusvektoren der Punkte des Systems ein elementares Inkrement. Da sich nach Gleichung (106) während der betrachteten Bewegung nur die Koordinaten ändern (der Rest behält konstante Werte), wird es als partielles Differential berechnet und daher

Mit dieser Gleichheit und der Formel (42) aus § 87 berechnen wir die Summe der Elementararbeiten aller wirkenden Kräfte auf die betrachtete Verschiebung, die wir bezeichnen. Wir erhalten

Wenn wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern herausnehmen, finden wir schließlich

wo angegeben

In Analogie zur Gleichung, die die Elementararbeit der Kraft F definiert, wird die Größe als verallgemeinerte Kraft bezeichnet, die der Koordinate entspricht

Indem wir dem System eine weitere unabhängige mögliche Bewegung mitteilen, bei der sich nur die Koordinaten ändern, erhalten wir den Ausdruck für die elementare Arbeit aller wirkenden Kräfte an dieser Bewegung

Die Größe stellt die verallgemeinerte Kraft dar, die der Koordinate usw. entspricht.

Wenn dem System eine solche mögliche Bewegung gegeben wird, die gleichzeitig alle seine verallgemeinerten Koordinaten ändert, wird die Summe der Elementararbeiten der auf diese Bewegung ausgeübten Kräfte offensichtlich durch die Gleichheit bestimmt

Formel (112) gibt einen Ausdruck für die gesamte Elementararbeit aller auf das System wirkenden Kräfte in verallgemeinerten Koordinaten an. Aus dieser Gleichheit geht klar hervor, dass verallgemeinerte Kräfte Größen sind, die den Koeffizienten für Inkremente verallgemeinerter Koordinaten im Ausdruck der gesamten Elementararbeit der auf das System wirkenden Kräfte entsprechen.

Wenn alle dem System auferlegten Verbindungen ideal sind, wird die Arbeit bei möglichen Bewegungen nur durch aktive Kräfte geleistet und die Größen stellen die verallgemeinerten aktiven Kräfte des Systems dar.

Die Dimension der verallgemeinerten Kraft hängt von der Dimension der entsprechenden verallgemeinerten Koordinate ab. Da das Produkt also die Dimension der Arbeit hat, dann

Das heißt, die Dimension der verallgemeinerten Kraft ist gleich der Dimension der Arbeit dividiert durch die Dimension der entsprechenden verallgemeinerten Koordinate. Daraus ist klar, dass, wenn q eine lineare Größe ist, Q die Dimension der gewöhnlichen Kraft hat (in SI wird sie in Newton gemessen), wenn q ein Winkel (eine unermessliche Größe) ist, dann wird Q in gemessen und hat die Dimension des Augenblicks; Wenn q das Volumen ist (z. B. kann die Position des Kolbens im Zylinder durch das Volumen des Kolbenraums bestimmt werden), dann wird Q in gemessen und hat die Dimension Druck usw.

Wie wir sehen, umfasst der Begriff der verallgemeinerten Kraft in Analogie zur verallgemeinerten Geschwindigkeit alle Größen, die bisher als Maß für die mechanische Wechselwirkung materieller Körper bekannt waren (Kraft, Kraftmoment, Druck).

Wir berechnen verallgemeinerte Kräfte mit Formeln der Form (108), (110), was sich auf die Berechnung möglicher Elementararbeit reduziert (siehe § 140). Zunächst sollten Sie die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems ermitteln, verallgemeinerte Koordinaten auswählen und in der Zeichnung alle aktiven Kräfte und Reibungskräfte darstellen, die auf das System wirken (sofern sie funktionieren). Um dies zu bestimmen, ist es dann notwendig, das System über eine solche mögliche Bewegung zu informieren, bei der sich nur die Koordinaten ändern und ein positives Inkrement erhalten, und die Summe der Elementararbeiten aller auf diese Bewegung einwirkenden Kräfte gemäß den Formeln (101) und zu berechnen Präsentieren Sie den resultierenden Ausdruck in der Form (108). Dann ergibt der Koeffizient für und den gewünschten Wert. Berechnen Sie ähnlich

Beispiel 1. Berechnen wir die verallgemeinerte Kraft für das in Abb. gezeigte System. 366, wo Gewicht A entlang einer glatten geneigten Ebene gekreuzt wird und Gewicht B entlang einer rauen horizontalen Ebene gekreuzt wird, deren Reibungskoeffizient gleich ist

Die Gewichte sind durch einen Faden verbunden, der über einen Block O geworfen wird. Wir vernachlässigen die Masse des Fadens und des Blocks. Das System hat einen Freiheitsgrad; die Position wird durch die Koordinate bestimmt (die positive Bezugsrichtung wird durch den Pfeil angezeigt). Zur Bestimmung teilen wir dem System die mögliche Verschiebung mit und berechnen die Elementararbeit der Kräfte an dieser Verschiebung; die übrigen Kräfte leisten keine Arbeit. Seit damals

Somit,

Beispiel 2. Unter Vernachlässigung der Reibung finden wir die verallgemeinerten Kräfte für das in Abb. gezeigte System. 367. Ein homogener Stab A B hat die Länge l und das Gewicht P und kann sich in einer vertikalen Ebene um die Achse A drehen. Der darauf aufgereihte Ball M hat Gewicht. Die Federlänge AM ist im unbelasteten Zustand gleich und die Steifigkeit beträgt c.

Das System verfügt über zwei Freiheitsgrade (die Bewegung der Kugel entlang der Stange und die Drehung der Stange um die Achse A sind unabhängig). Als verallgemeinerte Koordinaten wählen wir den Winkel und den Abstand der Kugel vom Ende der unbelasteten Feder; die positiven Richtungen der Koordinaten werden durch Pfeile angezeigt.

Wir informieren das System zunächst über die mögliche Bewegung, bei der der Winkel ein Inkrement erhält. Bei dieser Bewegung wird von den Kräften Arbeit verrichtet. Mit der zweiten der Formeln (101) finden wir (hier Minuszeichen, da die Richtung des Moments der Richtung entgegengesetzt ist)

Somit,

Nun informieren wir das System über eine mögliche Bewegung, bei der sich nur die Koordinate, ein Inkrement und der Winkel ändern. Bei dieser Verschiebung wird Arbeit durch die Schwerkraft und die elastische Kraft verrichtet, deren Modul Then ist

Betrachten wir ein mechanisches System mit idealen Verbindungen. Seien es die aktiven Kräfte des Systems. Geben wir dem mechanischen System eine virtuelle Verschiebung und berechnen wir die Elementararbeit der Systemkräfte an dieser Verschiebung:

.

Mit Gleichung (17.2) drücken wir die Variation aus
Radiusvektor Punkte M k durch Variationen
verallgemeinerte Koordinaten:

somit,

. (17.6)

Ändern wir die Reihenfolge der Summation in Gleichheit (17.6):

. (17.7)

Bezeichnen wir im Ausdruck (17.7)

. (17.8)

.

Durch verallgemeinerte Kräfte Q J Nennen Sie die Koeffizienten für Variationen verallgemeinerter Koordinaten im Ausdruck der Elementararbeit von Systemkräften.

Abhängig von der Dimension der Variationen verallgemeinerter Koordinaten
verallgemeinerte Kräfte Q J kann die Dimensionen Kraft, Moment usw. haben.

Methoden zur Berechnung verallgemeinerter Kräfte

Betrachten wir drei Möglichkeiten zur Berechnung verallgemeinerter Kräfte.

1. Bestimmung verallgemeinerter Kräfte anhand der Grundformel(17.8)

. (17.9)

Formel (17.9) wird in der Praxis selten verwendet. Bei der Lösung von Problemen wird am häufigsten die zweite Methode verwendet.

2. Eine Methode zum „Einfrieren“ verallgemeinerter Koordinaten.

Geben wir dem mechanischen System eine virtuelle Verschiebung, sodass alle Variationen verallgemeinerter Koordinaten außer
sind gleich Null:

Berechnen wir die Arbeit für diese Bewegung
alle auf das System wirkenden Kräfte

.

Per Definition der Multiplikator für Variation
gleich der ersten verallgemeinerten Kraft Q 1 .

und definieren Sie die zweite verallgemeinerte Kraft Q 2, nachdem die virtuelle Arbeit aller Kräfte des Systems berechnet wurde

.

Berechnen wir auf ähnliche Weise alle anderen verallgemeinerten Kräfte des Systems.

3. Der Fall eines potentiellen Kraftfeldes.

Angenommen, die potentielle Energie eines mechanischen Systems ist bekannt

Dann
und nach Formel (32.8)

Das Prinzip der virtuellen Bewegungen der Statik in verallgemeinerten Koordinaten

Nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen der Statik ist für das Gleichgewicht eines Systems mit ideal haltenden holonomen, stationären Verbindungen die Bedingung notwendig und ausreichend:

bei einer Anfangsgeschwindigkeit von Null.

Wenn wir zu verallgemeinerten Koordinaten übergehen, erhalten wir

. (17.11)

Da Variationen verallgemeinerter Koordinaten unabhängig sind, ist die Gleichheit des Ausdrucks (17.11) mit Null nur dann möglich, wenn alle Koeffizienten für Variationen verallgemeinerter Koordinaten gleich Null sind:

Auf diese Weise, Damit ein mechanisches System mit idealen, holonomen, stationären und stützenden Verbindungen im Gleichgewicht ist, ist es notwendig und ausreichend, dass alle verallgemeinerten Kräfte des Systems gleich Null sind (bei Null-Anfangsgeschwindigkeiten des Systems).

Lagrange-Gleichungen in verallgemeinerten Koordinaten (Lagrange-Gleichungen zweiter Art)

Lagranges Gleichungen werden aus der allgemeinen Gleichung der Dynamik abgeleitet, indem virtuelle Verschiebungen durch ihre Ausdrücke durch Variationen verallgemeinerter Koordinaten ersetzt werden. Sie stellen ein System von Differentialgleichungen der Bewegung eines mechanischen Systems in verallgemeinerten Koordinaten dar:

. (17.13)

Wo
- allgemeine Geschwindigkeiten,

T kinetische Energie des Systems, dargestellt als Funktion verallgemeinerter Koordinaten und verallgemeinerter Geschwindigkeiten

Q J- verallgemeinerte Kräfte.

Die Anzahl der Gleichungen des Systems (17.13) wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade bestimmt und hängt nicht von der Anzahl der im System enthaltenen Körper ab. Bei idealen Verbindungen gehen auf der rechten Seite der Gleichungen nur wirkende Kräfte ein. Wenn die Verbindungen nicht ideal sind, sind ihre Reaktionen als aktive Kräfte zu klassifizieren.

Bei potentiellen Kräften, die auf das mechanische System einwirken, ergeben sich die Gleichungen (17.13).

.

Wenn wir die Lagrange-Funktion einführen L = T  P Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die potentielle Energie nicht von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten abhängt, erhalten wir die Lagrange-Gleichungen zweiter Art für den Fall potentieller Kräfte in der folgenden Form

.

Beim Erstellen von Lagrange-Gleichungen zweiter Art müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

Legen Sie die Anzahl der Freiheitsgrade des mechanischen Systems fest und wählen Sie seine verallgemeinerten Koordinaten aus.

Erstellen Sie einen Ausdruck für die kinetische Energie des Systems und stellen Sie ihn als Funktion verallgemeinerter Koordinaten und verallgemeinerter Geschwindigkeiten dar.

Ermitteln Sie mithilfe der oben beschriebenen Methoden die verallgemeinerten aktiven Kräfte des Systems.

Führen Sie alle in den Lagrange-Gleichungen erforderlichen Differenzierungsoperationen durch.

Beispiel.

Wo J z Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse z,
- Winkelgeschwindigkeit des Körpers.

3. Definieren wir die verallgemeinerte Kraft. Geben wir dem Körper eine virtuelle Verschiebung  und berechnen wir die virtuelle Arbeit aller aktiven Kräfte des Systems:

Somit, Q = M z das Hauptmoment der aktiven Kräfte des Systems relativ zur Rotationsachse des Körpers.

4. Führen wir Differenzierungsoperationen in der Lagrange-Gleichung durch

: (17.14)

. (17.15)

Einsetzen der Gleichungen (17.15) in die Gleichung (173).

14) Wir erhalten die Differentialgleichung der Rotationsbewegung des Körpers

.

Definition verallgemeinerter Kräfte

Für ein System mit einem Freiheitsgrad entspricht eine verallgemeinerte Kraft der verallgemeinerten Koordinate Q, heißt die durch die Formel bestimmte Größe

wo d Q– kleines Inkrement der generalisierten Koordinate; – die Summe der elementaren Kräfte des Systems auf seine mögliche Bewegung.

Erinnern wir uns daran, dass die mögliche Bewegung des Systems als die Bewegung des Systems zu einer unendlich nahen Position definiert ist, die durch die Verbindungen zu einem bestimmten Zeitpunkt zugelassen wird (weitere Einzelheiten finden Sie in Anhang 1).

Es ist bekannt, dass die Summe der Arbeit, die die Reaktionskräfte idealer Bindungen bei jeder möglichen Verschiebung des Systems leisten, gleich Null ist. Daher sollte für ein System mit idealen Verbindungen nur die Arbeit der aktiven Kräfte des Systems im Ausdruck berücksichtigt werden. Wenn die Verbindungen nicht ideal sind, werden ihre Reaktionskräfte, beispielsweise Reibungskräfte, herkömmlicherweise als aktive Kräfte betrachtet (Anweisungen zum Diagramm in Abb. 1.5 finden Sie unten). Dazu gehören die Elementararbeit aktiver Kräfte und die Elementararbeit von Momenten aktiver Kräftepaare. Schreiben wir Formeln auf, um diese Werke zu bestimmen. Nehmen wir an, die Kraft ( F kx, F ky, F kz) an der Stelle angewendet ZU, dessen Radiusvektor ist ( x k ,y k ,z k) und mögliche Verschiebung – ​​(d xk, D y k , D z k). Die Elementararbeit einer Kraft an einer möglichen Verschiebung ist gleich dem Skalarprodukt, das in analytischer Form dem Ausdruck entspricht

D A( ) = F zu D r zu cos(), (1.3a)

und in Koordinatenform – der Ausdruck

D A( ) = F kx D x k + F ky D y k + F kz D z k. (1.3b)

Wenn ein paar Kräfte mit einem Moment M angewendet auf einen rotierenden Körper, dessen Winkelkoordinate j ist und dessen mögliche Verschiebung dj ist, dann die elementare Arbeit des Moments Müber die mögliche Verschiebung dj wird durch die Formel bestimmt

D BIN) = ± M D J. (1,3 V)

Hier entspricht das Zeichen (+) dem Fall, wenn der Moment M und mögliche Bewegung dj stimmen in der Richtung überein; Vorzeichen (–), wenn die Richtung entgegengesetzt ist.

Um die verallgemeinerte Kraft nach Formel (1.3) bestimmen zu können, ist es notwendig, die möglichen Bewegungen von Körpern und Punkten in durch ein kleines Inkrement der verallgemeinerten Koordinate d auszudrücken Q, unter Verwendung von Abhängigkeiten (1)…(7) adj. 1.

Definition der verallgemeinerten Kraft Q, entsprechend der ausgewählten verallgemeinerten Koordinate Q, wird empfohlen, dies in der folgenden Reihenfolge zu tun.

· Zeichnen Sie im Entwurfsdiagramm alle aktiven Kräfte des Systems ein.

· Erhöhen Sie die verallgemeinerte Koordinate d geringfügig q> 0; Zeigen Sie im Berechnungsdiagramm die entsprechenden möglichen Verschiebungen aller Kraftangriffspunkte und die möglichen Winkelverschiebungen aller Körper an, auf die die Momente von Kraftpaaren wirken.

· Verfassen Sie einen Ausdruck für die elementare Arbeit aller aktiven Kräfte des Systems an diesen Bewegungen und drücken Sie mögliche Bewegungen in d aus Q.

· Bestimmen Sie die verallgemeinerte Kraft mithilfe der Formel (1.3).

Beispiel 1.4 (siehe Bedingung zu Abb. 1.1).

Definieren wir die verallgemeinerte Kraft, die der verallgemeinerten Koordinate entspricht S(Abb. 1.4).

Auf das System wirken aktive Kräfte: P- Ladungsgewicht; G– Trommelgewicht und Drehmoment M.

Die grobe schiefe Ebene dient der Belastung A unvollständige Verbindung. Gleitreibungskraft F tr, auf die Last wirkend A aus dieser Verbindung ist gleich F tr = f N.

Um die Stärke zu bestimmen N Normaldruck einer Last auf einer Ebene während der Bewegung verwenden wir das D'Alembert-Prinzip: Wenn auf jeden Punkt des Systems zusätzlich zu den aktiven Wirkkräften und Reaktionskräften der Verbindungen eine bedingte Trägheitskraft ausgeübt wird, dann ist die resultierende Menge von Kräfte werden ausgeglichen und die dynamischen Gleichungen können in die Form statischer Gleichgewichtsgleichungen gebracht werden. In Anlehnung an die bekannte Methode dieses Prinzips werden wir alle auf die Last wirkenden Kräfte darstellen A(Abb. 1.5), – und , wobei die Zugkraft des Kabels ist.

Reis. 1.4 Abb. 1.5

Fügen wir die Trägheitskraft hinzu, wobei die Beschleunigung der Last ist. Gleichung des d'Alembertschen Prinzips in Projektion auf die Achse j sieht aus wie N–Pcos A = 0.

Von hier N = Pcos A. Mit der Formel lässt sich nun die Gleitreibungskraft ermitteln F tr = f P cos A.

Geben wir die verallgemeinerte Koordinate an S kleiner Schritt d s> 0. In diesem Fall bewegt sich die Last (Abb. 1.4) die schiefe Ebene um eine Strecke d nach oben S, und die Trommel dreht sich um den Winkel dj gegen den Uhrzeigersinn.

Unter Verwendung von Formeln wie (1.3a) und (1.3c) erstellen wir einen Ausdruck für die Summe der elementaren Drehmomentarbeiten M, Stärke P Und F tr:

Drücken wir dj in dieser Gleichung durch d aus S: , Dann

Wir definieren die verallgemeinerte Kraft mit der Formel (1.3)

Berücksichtigen wir die zuvor geschriebene Formel für F tr und wir werden endlich bekommen

Nehmen wir im gleichen Beispiel den Winkel j als verallgemeinerte Koordinate, dann ist die verallgemeinerte Kraft Q j ausgedrückt durch die Formel

1.4.2. Bestimmung verallgemeinerter Systemkräfte
mit zwei Freiheitsgraden

Wenn das System hat N Freiheitsgrade wird seine Position bestimmt N verallgemeinerte Koordinaten. Jede Koordinate q ich(ich = 1,2,…,N) entspricht seiner verallgemeinerten Kraft Q i, was durch die Formel bestimmt wird

wo ist die Summe der Elementararbeiten der aktiven Kräfte auf ich-te mögliche Bewegung des Systems, wenn d q i > 0 und die übrigen verallgemeinerten Koordinaten bleiben unverändert.

Bei der Ermittlung sind die Hinweise zur Ermittlung verallgemeinerter Kräfte nach Formel (1.3) zu berücksichtigen.

Es wird empfohlen, die verallgemeinerten Kräfte eines Systems mit zwei Freiheitsgraden in der folgenden Reihenfolge zu bestimmen.

· Zeigen Sie im Entwurfsdiagramm alle aktiven Kräfte des Systems an.

· Bestimmen Sie die erste verallgemeinerte Kraft F 1. Geben Sie dazu dem System die erste mögliche Bewegung, wenn d q 1 > 0 und d q 2 =q 1 mögliche Bewegungen aller Körper und Punkte des Systems; komponieren - ein Ausdruck der elementaren Arbeit der Kräfte des Systems an der ersten möglichen Verschiebung; Mögliche Bewegungen werden durch d ausgedrückt q 1; finden F 1 nach Formel (1.4), nehmen ich = 1.

· Bestimmen Sie die zweite verallgemeinerte Kraft F 2. Geben Sie dazu dem System eine zweite mögliche Bewegung, wenn d q 2 > 0 und d q 1 = 0; Zeigen Sie das entsprechende d im Konstruktionsdiagramm an q 2 mögliche Bewegungen aller Körper und Punkte des Systems; komponieren – ein Ausdruck der elementaren Arbeit der Systemkräfte an der zweiten möglichen Verschiebung; Mögliche Bewegungen werden durch d ausgedrückt q 2; finden F 2 nach Formel (1.4), nehmen ich = 2.

Beispiel 1.5 (siehe Bedingung zu Abb. 1.2)

Definieren wir F 1 Und F 2, entsprechend verallgemeinerten Koordinaten xD Und xA(Abb. 1.6, A).

Auf das System wirken drei aktive Kräfte: P A = 2P, P B = P D = P.

Definition F 1. Geben wir dem System die erste mögliche Bewegung, wenn d xD> 0, d x A = 0 (Abb. 1.6, A). Gleichzeitig ist die Belastung D xD, Block B dreht sich um den Winkel dj gegen den Uhrzeigersinn B, Zylinderachse A wird bewegungslos bleiben, Zylinder A dreht sich um eine Achse A im Winkel DJ A im Uhrzeigersinn. Lassen Sie uns die Summe der Arbeit an den angegebenen Bewegungen zusammenstellen:

lasst uns definieren

Definieren wir F 2. Geben wir dem System eine zweite mögliche Bewegung, wenn d x D = 0, d xA> 0 (Abb. 1.6, B). In diesem Fall die Zylinderachse A bewegt sich vertikal um eine Strecke d nach unten xA, Zylinder A dreht sich um eine Achse A im Uhrzeigersinn, um DJ anzuwinkeln A, Block B und Fracht D wird bewegungslos bleiben. Lassen Sie uns die Summe der Arbeit an den angegebenen Bewegungen zusammenstellen:

lasst uns definieren

Beispiel 1.6 (siehe Bedingung zu Abb. 1.3)

Definieren wir F 1 Und F 2, entsprechend den verallgemeinerten Koordinaten j, S(Abb. 1.7, A). Auf das System wirken vier aktive Kräfte: das Gewicht der Stange P, Kugelgewicht, Federelastizität und .

Berücksichtigen wir das. Der Modul der elastischen Kräfte wird durch Formel (a) bestimmt.

Beachten Sie den Angriffspunkt der Kraft F 2 ist bewegungslos, daher ist die Arbeit dieser Kraft auf jede mögliche Verschiebung des Systems Null, im Ausdruck verallgemeinerter Kräfte die Kraft F 2 werde nicht reingehen.

Definition F 1. Geben wir dem System beim DJ die erste mögliche Bewegung > 0, d s = 0 (Abb. 1.7, A). In diesem Fall die Stange AB dreht sich um eine Achse z gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel dj, mögliche Bewegungen des Balls D und Zentrum E Die Stäbe sind senkrecht zum Segment ausgerichtet ANZEIGE, die Länge der Feder ändert sich nicht. Lassen Sie es uns in Koordinatenform bringen [siehe. Formel (1.3b)]:

(Bitte beachten Sie, dass daher die von dieser Kraft bei der ersten möglichen Verschiebung geleistete Arbeit Null ist).

Lassen Sie uns die Verschiebungen d ausdrücken x E und d xDüber DJ. Dazu schreiben wir zunächst

Dann gemäß Formel (7) adj. 1 werden wir finden

Wenn wir die gefundenen Werte einsetzen, erhalten wir

Mit der Formel (1.4) bestimmen wir unter Berücksichtigung dessen

Definition F 2. Geben wir dem System beim DJ eine zweite mögliche Bewegung = 0, d s> 0 (Abb. 1.7, B). In diesem Fall die Stange AB wird bewegungslos bleiben, und der Ball M bewegt sich entlang der Stange um eine Strecke d S. Lassen Sie uns die Summe der Arbeit an den angegebenen Bewegungen zusammenstellen:

lasst uns definieren

Ersetzen des Kraftwerts F 1 aus Formel (a) erhalten wir

1.5. Ausdrücken der kinetischen Energie eines Systems
in verallgemeinerten Koordinaten

Die kinetische Energie eines Systems ist gleich der Summe der kinetischen Energien seiner Körper und Punkte (Anhang 2). Zu bekommen T Ausdruck (1.2) sollte die Geschwindigkeiten aller Körper und Punkte des Systems durch verallgemeinerte Geschwindigkeiten unter Verwendung kinematischer Methoden ausdrücken. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass sich das System in einer beliebigen Position befindet, alle seine verallgemeinerten Geschwindigkeiten werden als positiv betrachtet, d. h. als auf zunehmende verallgemeinerte Koordinaten gerichtet.

Beispiel 1. 7 (siehe Bedingung zu Abb. 1.1)

Bestimmen wir die kinetische Energie des Systems (Abb. 1.8), indem wir den Abstand als verallgemeinerte Koordinate nehmen S,

T = T A + T B.

Nach den Formeln (2) und (3) adj. 2 wir haben: .

Ersetzen dieser Daten in T und unter Berücksichtigung dessen erhalten wir

Beispiel 1.8(siehe Bedingung zu Abb. 1.2)

Bestimmen wir die kinetische Energie des Systems in Abb. 1.9, wobei die Größen als verallgemeinerte Koordinaten verwendet werden xD Und xA,

T = T A + T B + T D.

Nach den Formeln (2), (3), (4) adj. 2 werden wir aufschreiben

Lassen Sie uns ausdrücken V A , V D , w B und W A durch :

Bei der Bestimmung von w A Es wird berücksichtigt, dass der Punkt Ö(Abb. 1.9) – momentaner Mittelpunkt der Zylindergeschwindigkeiten A Und V k = V D(siehe entsprechende Erläuterungen zum Beispiel 2 Anhang 2).

Einsetzen der erhaltenen Ergebnisse in T und angesichts dessen

lasst uns definieren

Beispiel 1.9(siehe Bedingung zu Abb. 1.3)

Bestimmen wir die kinetische Energie des Systems in Abb. 1.10, wobei j und als verallgemeinerte Koordinaten verwendet werden S,

T = T AB + T D.

Nach den Formeln (1) und (3) adj. 2 haben wir

Lassen Sie uns w ausdrücken AB Und V Düber und:

Wo ist die Übertragungsgeschwindigkeit des Balls? D, sein Modul wird durch die Formel bestimmt

Senkrecht zum Segment gerichtet ANZEIGE in Richtung zunehmenden Winkels j; – relative Geschwindigkeit des Balls, sein Modul wird durch die Formel bestimmt, gerichtet auf zunehmende Koordinaten S. Beachten Sie daher, dass dies senkrecht ist

Ersetzen Sie diese Ergebnisse in T und angesichts dessen

1.6. Differentialgleichungen aufstellen
Bewegung mechanischer Systeme

Um die erforderlichen Gleichungen zu erhalten, ist es notwendig, in die Lagrange-Gleichungen (1.1) den zuvor gefundenen Ausdruck für die kinetische Energie des Systems in verallgemeinerten Koordinaten und verallgemeinerten Kräften einzusetzen Q 1 , Q 2 , … , Qn.

Beim Finden partieller Ableitungen T Bei der Verwendung verallgemeinerter Koordinaten und verallgemeinerter Geschwindigkeiten sollte berücksichtigt werden, dass die Variablen Q 1 , Q 2 , … , q n; gelten als unabhängig voneinander. Dies bedeutet, dass bei der Definition der partiellen Ableitung T für eine dieser Variablen, alle anderen Variablen im Ausdruck für T sollten als Konstanten betrachtet werden.

Bei der Durchführung einer Operation müssen alle in der Variablen enthaltenen Variablen zeitlich differenziert werden.

Wir betonen, dass die Lagrange-Gleichungen für jede verallgemeinerte Koordinate geschrieben werden q ich (ich = 1, 2,…N) Systeme.