Der Graph einer Funktion von 2 Variablen z = f(x,y) ist eine auf die XOY-Ebene in den Definitionsbereich der Funktion D projizierte Fläche.
Betrachten Sie die Oberfläche σ , gegeben durch die Gleichung z = f(x,y), wobei f(x,y) eine differenzierbare Funktion ist und M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ein fester Punkt auf der Oberfläche σ sei, d.h. z 0 = f(x 0 ,y 0). Zweck. Der Online-Rechner dient zum Finden Tangentenebenen- und Flächennormalengleichungen. Die Lösung wird im Word-Format erstellt. Wenn Sie die Gleichung einer Tangente an eine Kurve (y = f(x)) finden müssen, müssen Sie diesen Dienst nutzen.

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Regeln für die Eingabe von Funktionen:

Tangente Ebene zur Oberfläche σ an ihrem Punkt M 0 ist die Ebene, in der die Tangenten aller auf der Oberfläche gezeichneten Kurven liegen σ durch den Punkt M 0 .
Die Gleichung der Tangentenebene an die durch die Gleichung definierte Fläche z = f(x,y) am Punkt M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) hat die Form:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Der Vektor wird Flächennormalenvektor genannt σ am Punkt M 0. Der Normalenvektor steht senkrecht zur Tangentenebene.
Normal zur Oberfläche σ am Punkt M 0 ist eine gerade Linie, die durch diesen Punkt verläuft und die Richtung des Vektors N hat.
Die kanonischen Gleichungen der Normalen zur Oberfläche, definiert durch die Gleichung z = f(x,y) am Punkt M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), wobei z 0 = f(x 0 ,y 0), habe die Form:

Beispiel Nr. 1. Die Oberfläche ergibt sich aus der Gleichung x 3 +5y. Finden Sie die Gleichung der Tangentialebene zur Oberfläche am Punkt M 0 (0;1).
Lösung. Schreiben wir die Tangentengleichungen in allgemeiner Form: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Gemäß den Bedingungen des Problems ist x 0 = 0, y 0 = 1, dann z 0 = 5
Finden wir die partiellen Ableitungen der Funktion z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Am Punkt M 0 (0,1) sind die Werte der partiellen Ableitungen:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Mit der Formel erhalten wir die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche am Punkt M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) oder -5 y+z = 0

Beispiel Nr. 2. Die Oberfläche ist implizit durch y 2 -1/2*x 3 -8z definiert. Finden Sie die Gleichung der Tangentialebene zur Oberfläche am Punkt M 0 (1;0;1).
Lösung. Ermitteln der partiellen Ableitungen einer Funktion. Da die Funktion implizit angegeben ist, suchen wir nach Ableitungen mit der Formel:

Für unsere Funktion:

Dann:

Am Punkt M 0 (1,0,1) Werte partieller Ableitungen:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Mit der Formel erhalten wir die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche am Punkt M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) oder 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Beispiel. Oberfläche σ gegeben durch die Gleichung z= y/x + xy – 5X 3. Finden Sie die Gleichung der Tangentialebene und der Normalen zur Oberfläche σ am Punkt M 0 (X 0 ,j 0 ,z 0), zu ihr gehörend, wenn X 0 = –1, j 0 = 2.
Finden wir die partiellen Ableitungen der Funktion z= F(X,j) = y/x + xy – 5X 3:
f x ’( X,j) = (y/x + xy – 5X 3)’ x = – y/x 2 + j – 15X 2 ;
f y ’ ( X,j) = (y/x + xy – 5X 3)’ y = 1/x + X.
Punkt M 0 (X 0 ,j 0 ,z 0) gehört zur Oberfläche σ , damit wir berechnen können z 0 , das Gegebene ersetzen X 0 = –1 und j 0 = 2 in die Oberflächengleichung:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Am Punkt M 0 (–1, 2, 1) partielle Ableitungswerte:
f x ’( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y ’( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Mit Formel (5) erhalten wir die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche σ am Punkt M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(j – 2) z – 1= –15X – 15 – 2y + 4 15X + 2j + z + 10 = 0.
Mit Formel (6) erhalten wir die kanonischen Gleichungen der Flächennormalen σ am Punkt M 0: .
Antworten: Tangentenebenengleichung: 15 X + 2j + z+ 10 = 0; normale Gleichungen: .

Beispiel Nr. 1. Gegeben sei eine Funktion z=f(x,y) und zwei Punkte A(x 0, y 0) und B(x 1, y 1). Erforderlich: 1) Berechnen Sie den Wert z 1 der Funktion am Punkt B; 2) Berechnen Sie den ungefähren Wert z 1 der Funktion am Punkt B basierend auf dem Wert z 0 der Funktion am Punkt A und ersetzen Sie das Inkrement der Funktion beim Übergang von Punkt A zu Punkt B durch ein Differential; 3) Erstellen Sie eine Gleichung für die Tangentialebene zur Oberfläche z = f(x,y) am Punkt C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Lösung.
Schreiben wir die Tangentengleichungen in allgemeiner Form:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Gemäß den Bedingungen des Problems ist x 0 = 1, y 0 = 2, dann z 0 = 25
Finden wir die partiellen Ableitungen der Funktion z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Am Punkt M 0 (1,2) sind die Werte der partiellen Ableitungen:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Mit der Formel erhalten wir die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche im Punkt M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
oder
-26 x-36 y+z+73 = 0

Beispiel Nr. 2. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen zum elliptischen Paraboloid z = 2x 2 + y 2 am Punkt (1;-1;3).

Lassen Sie uns eine Oberfläche haben, die durch eine Gleichung der Form definiert ist

Lassen Sie uns die folgende Definition einführen.

Definition 1. Eine gerade Linie wird an einem bestimmten Punkt als Tangente an die Oberfläche bezeichnet, wenn dies der Fall ist

Tangente an jede Kurve, die auf der Oberfläche liegt und durch den Punkt verläuft.

Da durch den Punkt P unendlich viele verschiedene auf der Oberfläche liegende Kurven verlaufen, gibt es im Allgemeinen unendlich viele Tangenten an die Oberfläche, die durch diesen Punkt verlaufen.

Lassen Sie uns das Konzept der singulären und gewöhnlichen Punkte einer Oberfläche einführen

Wenn an einem Punkt alle drei Ableitungen gleich Null sind oder mindestens eine dieser Ableitungen nicht existiert, dann heißt der Punkt M ein singulärer Punkt der Oberfläche. Wenn an einem Punkt alle drei Ableitungen existieren und stetig sind und mindestens eine davon von Null verschieden ist, dann wird der Punkt M als gewöhnlicher Punkt der Oberfläche bezeichnet.

Nun können wir den folgenden Satz formulieren.

Satz. Alle Tangenten an eine gegebene Fläche (1) an ihrem gewöhnlichen Punkt P liegen in derselben Ebene.

Nachweisen. Betrachten wir eine bestimmte Linie L auf der Oberfläche (Abb. 206), die durch einen gegebenen Punkt P der Oberfläche verläuft. Die betrachtete Kurve sei durch parametrische Gleichungen gegeben

Die Tangente an die Kurve ist die Tangente an die Oberfläche. Die Gleichungen dieser Tangente haben die Form

Wenn die Ausdrücke (2) in Gleichung (1) eingesetzt werden, wird diese Gleichung bezüglich t zu einer Identität, da die Kurve (2) auf der Oberfläche (1) liegt. Wenn wir es differenzieren, erhalten wir

Die Projektionen dieses Vektors hängen ab von - den Koordinaten des Punktes P; Beachten Sie, dass diese Projektionen am Punkt P nicht gleichzeitig verschwinden, da Punkt P gewöhnlich ist

Tangente an eine Kurve, die durch Punkt P verläuft und auf der Oberfläche liegt. Die Projektionen dieses Vektors werden auf der Grundlage der Gleichungen (2) für den Wert des Parameters t berechnet, der dem Punkt P entspricht.

Berechnen wir das Skalarprodukt der Vektoren N, das gleich der Summe der Produkte gleichnamiger Projektionen ist:

Basierend auf Gleichung (3) ist der Ausdruck auf der rechten Seite gleich Null, daher

Aus der letzten Gleichung folgt, dass der Vektor LG und der Tangentenvektor an Kurve (2) im Punkt P senkrecht stehen. Die obige Argumentation gilt für jede Kurve (2), die durch den Punkt P verläuft und auf der Oberfläche liegt. Folglich steht jede Tangente an die Oberfläche im Punkt P senkrecht auf demselben Vektor N und daher liegen alle diese Tangenten in derselben Ebene senkrecht zum Vektor LG. Der Satz ist bewiesen.

Definition 2. Die Ebene, in der sich alle Tangenten an die Linien auf der Oberfläche befinden, die durch den gegebenen Punkt P verlaufen, wird als Tangentenebene an die Oberfläche am Punkt P bezeichnet (Abb. 207).

Beachten Sie, dass es an einzelnen Punkten der Oberfläche möglicherweise keine Tangentenebene gibt. An solchen Punkten liegen die Tangenten zur Oberfläche möglicherweise nicht in derselben Ebene. Beispielsweise ist der Scheitelpunkt einer Kegelfläche ein singulärer Punkt.

Die Tangenten an die Kegelfläche liegen an diesem Punkt nicht in derselben Ebene (sie bilden selbst eine Kegelfläche).

Schreiben wir die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche (1) an einem gewöhnlichen Punkt. Da diese Ebene senkrecht zum Vektor (4) steht, hat ihre Gleichung die Form

Wenn die Flächengleichung in der Form gegeben ist oder die Gleichung der Tangentialebene in diesem Fall die Form annimmt

Kommentar. Wenn wir Formel (6) eingeben, dann nimmt diese Formel die Form an

ihre rechte Seite ist das vollständige Differential der Funktion. Somit, . Somit ist das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen an einem Punkt, der den Inkrementen der unabhängigen Variablen x und y entspricht, gleich dem entsprechenden Inkrement des Applikaten der Tangentenebene an die Oberfläche, die den Graphen dieser Funktion darstellt.

Definition 3. Eine gerade Linie, die durch einen Punkt auf der Oberfläche (1) senkrecht zur Tangentenebene gezogen wird, wird als Normale zur Oberfläche bezeichnet (Abb. 207).

Schreiben wir die Normalgleichungen. Da seine Richtung mit der Richtung des Vektors N übereinstimmt, haben seine Gleichungen die Form

Definition 1 : Die Tangentenebene an die Oberfläche an einem gegebenen Punkt P (x 0, y 0, z 0) ist eine Ebene, die durch Punkt P verläuft und alle am Punkt P konstruierten Tangenten an alle möglichen Kurven auf dieser Oberfläche enthält, die durch Punkt P verlaufen.

Die Fläche s sei durch die Gleichung gegeben F (X, bei, z) = 0 und Punkt P (X 0 , ja 0 , z 0) gehört zu dieser Oberfläche. Wählen wir eine Kurve auf der Oberfläche aus L, durch den Punkt gehen R.

Lassen X = X(T), bei = bei(T), z = z(T) - parametrische Gleichungen der Linie L.

Nehmen wir an, dass: 1) Funktion F(X, bei, z) ist an der Stelle differenzierbar R und nicht alle seiner partiellen Ableitungen sind zu diesem Zeitpunkt gleich Null; 2) Funktionen X(T), bei(T), z(T) sind ebenfalls differenzierbar.

Da die Kurve zur Oberfläche s gehört, werden die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dieser Kurve, wenn sie in die Gleichung der Oberfläche eingesetzt werden, diese in eine Identität umwandeln. Somit gilt die identische Gleichheit: F [X(T), bei(T), z (T)]= 0.

Differenzieren dieser Identität in Bezug auf die Variable T Mit der Kettenregel erhalten wir eine neue identische Gleichheit, die an allen Punkten der Kurve, auch am Punkt, gültig ist P (X 0 , ja 0 , z 0):

Der Punkt P soll dem Parameterwert entsprechen T 0, das heißt X 0 = X (T 0), j 0 = j (T 0), z 0 = z (T 0). Dann wird die letzte Beziehung an diesem Punkt berechnet R, wird das Formular annehmen

Diese Formel ist das Skalarprodukt zweier Vektoren. Der erste ist ein konstanter Vektor

unabhängig von der Wahl der Krümmung auf der Oberfläche.

Der zweite Vektor tangiert den Punkt R zur Linie L, was bedeutet, dass es von der Wahl der Linie auf der Oberfläche abhängt, das heißt, es ist ein variabler Vektor.

Mit der eingeführten Notation lautet die Gleichheit:

Lassen Sie uns umschreiben, wie.

Seine Bedeutung ist folgende: Das Skalarprodukt ist gleich Null, daher stehen die Vektoren senkrecht. Auswahl aller möglichen Kurven, die durch einen Punkt verlaufen R Auf der Oberfläche s werden am Punkt verschiedene Tangentenvektoren konstruiert R zu diesen Zeilen; Der Vektor hängt nicht von dieser Wahl ab und steht senkrecht zu jedem von ihnen, das heißt, alle Tangentenvektoren liegen in derselben Ebene, die per Definition tangential zur Oberfläche s und zum Punkt ist R in diesem Fall wird er Tangentenpunkt genannt. Der Vektor ist der Richtungsvektor der Oberflächennormalen.

Definition 2: Die Normale zur Oberfläche s am Punkt P ist eine gerade Linie, die durch den Punkt P verläuft und senkrecht zur an diesem Punkt konstruierten Tangentialebene verläuft.

Wir haben die Existenz einer Tangentialebene und damit einer Normalen zur Oberfläche bewiesen. Schreiben wir ihre Gleichungen auf:

Gleichung der am Punkt P (x0, y0, z0) konstruierten Tangentenebene an die Oberfläche s, gegeben durch die Gleichung F(x, y, z) = 0;

Gleichung der an einem Punkt konstruierten Normalen R zur Oberfläche s.

Beispiel: Finden Sie die Gleichung der Oberfläche, die durch die Drehung der Parabel entsteht:

z 2 = 2p (j +2)

Berechnen Sie den Punkt um die Y-Achse M(3, 1, - 3) gehört zur Oberfläche. Finden Sie die Gleichungen der Normal- und Tangentenebene zur Oberfläche am Punkt M.

Lösung. Mit der Regel zum Schreiben einer Rotationsfläche erhalten wir:

z 2 + X 2 = 2p (j +2) .

Indem wir die Koordinaten des Punktes M in diese Gleichung einsetzen, berechnen wir den Wert des Parameters p: 9 + 9 = 2ð(1 + 2) . Wir zeichnen die endgültige Ansicht der durch den Punkt verlaufenden Rotationsfläche auf M:

z 2 + X 2 = 6(y +2).

Nun finden wir die Gleichungen der Normal- und Tangentenebene anhand der Formeln, für die wir zunächst die partiellen Ableitungen der Funktion berechnen:

F(x, y) = z 2 + X 2- 6 (Jahr +2):

Dann nimmt die Gleichung der Tangentenebene die Form an 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 oder x – y – z – 5 = 0;

1°

1°. Gleichungen der Tangentenebene und der Normalen für den Fall der expliziten Definition der Oberfläche.

Betrachten wir eine der geometrischen Anwendungen partieller Ableitungen einer Funktion zweier Variablen. Lassen Sie die Funktion z = F (X ;y) am Punkt differenzierbar (x 0; y 0) Irgendein Bereich DÎ R 2. Schneiden wir die Oberfläche ab S, die Funktion darstellt z, Flugzeuge x = x 0 Und y = y 0(Abb. 11).

Flugzeug X = x 0 schneidet die Oberfläche S entlang irgendeiner Linie z 0 (y ), deren Gleichung durch Einsetzen in den Ausdruck der ursprünglichen Funktion erhalten wird z ==F (X ;y) anstatt X Zahlen x 0 . Punkt M 0 (x 0 ;y 0,F (x 0 ;y 0)) gehört zur Kurve z 0 (y). Aufgrund der differenzierbaren Funktion z am Punkt M 0 Funktion z 0 (y) ist an der Stelle auch differenzierbar y =y 0 . Daher an dieser Stelle im Flugzeug x = x 0 zur Kurve z 0 (y) Es kann eine Tangente gezogen werden l 1.

Führen Sie eine ähnliche Argumentation für den Abschnitt durch bei = y 0, Lasst uns eine Tangente bilden l 2 zur Kurve z 0 (X) am Punkt X = x 0 - Direkte 1 1 Und 1 2 Definieren Sie eine Ebene namens Tangentialebene zu der Oberfläche S am Punkt M 0.

Lassen Sie uns seine Gleichung erstellen. Da das Flugzeug durch den Punkt geht Mo(x 0 ;y 0 ;z 0), dann kann seine Gleichung geschrieben werden als

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

was wie folgt umgeschrieben werden kann:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(Dividieren der Gleichung durch -C und Bezeichnen ).

Wir werden finden Eine 1 und B 1.

Tangentengleichungen 1 1 Und 1 2 aussehen

jeweils.

Tangente l 1 liegt in der Ebene a , also die Koordinaten aller Punkte l 1 Gleichung (1) erfüllen. Diese Tatsache kann in Form eines Systems geschrieben werden

Wenn wir dieses System nach B 1 auflösen, erhalten wir das. Ähnliche Überlegungen führen wir auch für den Tangens durch l 3, das lässt sich leicht feststellen.

Ersetzen der Werte Eine 1 und B 1 in Gleichung (1) ein, erhalten wir die gewünschte Tangentenebenengleichung:

Linie, die durch einen Punkt geht M 0 und senkrecht zur an diesem Punkt auf der Oberfläche konstruierten Tangentenebene heißt es normal.

Unter Verwendung der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Linie und der Ebene lassen sich leicht die kanonischen Normalgleichungen erhalten:

Kommentar. Für gewöhnliche, also nicht spezielle Punkte der Oberfläche erhält man Formeln für die Tangentialebene und die Flächennormale. Punkt M 0 Oberfläche heißt besonders, wenn zu diesem Zeitpunkt alle partiellen Ableitungen gleich Null sind oder mindestens eine davon nicht existiert. Solche Punkte berücksichtigen wir nicht.

Beispiel. Schreiben Sie Gleichungen für die Tangentenebene und die Normale zur Oberfläche an ihrem Punkt M(2; -1; 1).

Lösung. Finden wir die partiellen Ableitungen dieser Funktion und ihre Werte am Punkt M

Von hier aus erhalten wir unter Anwendung der Formeln (2) und (3): z-1=2(x-2)+2(y+1) oder 2х+2у-z-1=0- Tangentenebenengleichung und - Normalgleichungen.

2°. Gleichungen der Tangentenebene und der Normalen für den Fall der impliziten Definition der Oberfläche.

Wenn die Oberfläche S gegeben durch die Gleichung F (X ; y;z)= 0, dann Gleichungen (2) und (3), unter Berücksichtigung der Tatsache, dass partielle Ableitungen als Ableitungen einer impliziten Funktion gefunden werden können.

Normalebenengleichung

1.

4.

Tangentenebene und Flächennormale

Es sei eine Oberfläche gegeben, A ist ein fester Punkt der Oberfläche und B ist ein variabler Punkt der Oberfläche.

(Abb. 1).

Vektor ungleich Null

→

N

angerufen Normalenvektor zur Oberfläche am Punkt A, wenn

lim B → A j = π 2 .

Ein Oberflächenpunkt F (x, y, z) = 0 heißt gewöhnlich, wenn er sich an diesem Punkt befindet

1. die partiellen Ableitungen F " x , F " y , F " z sind stetig;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Wenn mindestens eine dieser Bedingungen verletzt ist, wird der Oberflächenpunkt aufgerufen besonderer Punkt der Oberfläche .

Satz 1. Wenn M(x 0 , y 0 , z 0 ) ist ein gewöhnlicher Punkt der Oberfläche F (x , y , z) = 0 , dann der Vektor

→ N = Grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → ich + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → J + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

ist normal zu dieser Oberfläche im Punkt M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Nachweisen gegeben im Buch von I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova „Kurs der höheren Mathematik: Integralrechnung. Funktionen mehrerer Variablen. Differentialgleichung. M.: Verlag MPEI, 2002 (S. 128).

Normal zur Oberfläche Irgendwann gibt es eine Gerade, deren Richtungsvektor normal zur Oberfläche an diesem Punkt ist und die durch diesen Punkt geht.

Kanonisch normale Gleichungen kann im Formular dargestellt werden

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Tangentialebene zur Oberfläche an einem bestimmten Punkt ist eine Ebene, die durch diesen Punkt senkrecht zur Normalen der Oberfläche an diesem Punkt verläuft.

Aus dieser Definition ergibt sich Folgendes Tangentenebenengleichung hat die Form:

(3)

Wenn ein Punkt auf einer Oberfläche singulär ist, existiert an diesem Punkt möglicherweise kein Vektor normal zur Oberfläche, und daher verfügt die Oberfläche möglicherweise nicht über eine Normale und eine Tangentenebene.

Geometrische Bedeutung des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen

Die Funktion z = f (x, y) sei im Punkt a (x 0, y 0) differenzierbar. Sein Graph ist die Oberfläche

f (x, y) − z = 0.

Setzen wir z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Dann gehört Punkt A (x 0 , y 0 , z 0 ) zur Oberfläche.

Die partiellen Ableitungen der Funktion F (x, y, z) = f (x, y) − z sind

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

und am Punkt A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sie sind kontinuierlich;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Daher ist A ein gewöhnlicher Punkt der Oberfläche F (x, y, z) und an diesem Punkt gibt es eine Tangentialebene zur Oberfläche. Nach (3) hat die Tangentialebenengleichung die Form:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Die vertikale Verschiebung eines Punktes auf der Tangentenebene beim Bewegen vom Punkt a (x 0, y 0) zu einem beliebigen Punkt p (x, y) beträgt B Q (Abb. 2). Das entsprechende Inkrement der Anwendungen beträgt

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Hier auf der rechten Seite gibt es ein Differential D z-Funktion z = f (x, y) am Punkt a (x 0, x 0). Somit,
D f (x 0 , y 0 ). ist das Inkrement des Applikaten eines tangentialen Ebenenpunkts zum Graphen der Funktion f (x, y) am Punkt (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Aus der Definition eines Differentials folgt, dass der Abstand zwischen Punkt P auf dem Funktionsgraphen und Punkt Q auf der Tangentenebene ein Infinitesimalwert höherer Ordnung ist als der Abstand von Punkt p zu Punkt a.