Es ist einfach, einem Kind beizubringen, durch eine Spalte zu dividieren. Es ist notwendig, den Algorithmus dieser Aktion zu erklären und das behandelte Material zu konsolidieren.

• Laut Schullehrplan beginnen Kinder bereits in der dritten Klasse, die Division durch eine Spalte zu erklären. Studierende, die alles „on the fly“ erfassen, verstehen dieses Thema schnell
• Wenn das Kind jedoch krank wird und den Mathematikunterricht verpasst oder das Thema nicht verstanden hat, müssen die Eltern dem Kind den Stoff selbst erklären. Es ist notwendig, ihm Informationen so klar wie möglich zu übermitteln.
• Mütter und Väter müssen während des Bildungsprozesses des Kindes geduldig sein und Taktgefühl in Bezug auf ihr Kind zeigen. Auf keinen Fall sollten Sie ein Kind anschreien, wenn bei ihm etwas nicht klappt, denn so können Sie ihm all die Lust am Lernen nehmen

Wichtig: Damit ein Kind die Division von Zahlen verstehen kann, muss es das Einmaleins gründlich kennen. Wenn das Kind die Multiplikation nicht gut kennt, wird es die Division nicht verstehen.

Während des zusätzlichen Unterrichts zu Hause können Spickzettel verwendet werden, aber das Kind muss das Einmaleins lernen, bevor es mit dem Thema „Division“ fortfahren kann.

Also, wie erklärt man einem Kind Spaltenaufteilung:

• Versuchen Sie es zunächst in kleinen Zahlen zu erklären. Nehmen Sie zum Beispiel Zählstöcke, 8 Stück
• Fragen Sie das Kind, wie viele Paare in dieser Reihe von Stöcken sind? Richtig - 4. Wenn Sie also 8 durch 2 teilen, erhalten Sie 4, und wenn Sie 8 durch 4 teilen, erhalten Sie 2
• Lassen Sie das Kind eine andere Zahl, zum Beispiel eine komplexere, selbst dividieren: 24:4
• Wenn das Baby die Division von Primzahlen beherrscht, können Sie mit der Division von dreistelligen Zahlen in einstellige Zahlen fortfahren

Division ist Kindern immer etwas schwerer gegeben als Multiplikation. Aber fleißiger zusätzlicher Unterricht zu Hause hilft dem Baby, den Algorithmus dieser Aktion zu verstehen und mit seinen Altersgenossen in der Schule Schritt zu halten.

Beginnen Sie einfach - Division durch eine einzelne Ziffer:

Wichtig: Rechnen Sie in Gedanken so, dass die Division ohne Rest ausfällt, sonst kann das Kind verwirrt werden.

Zum Beispiel 256 geteilt durch 4:

• Zeichnen Sie eine vertikale Linie auf ein Blatt Papier und teilen Sie sie auf der rechten Seite in zwei Hälften. Schreiben Sie die erste Zahl links und die zweite rechts über die Linie.
• Fragen Sie das Baby, wie viele Vieren in eine Zwei passen – überhaupt nicht
• Dann nehmen wir 25. Trennen Sie diese Zahl zur Verdeutlichung von oben mit einer Ecke. Fragen Sie das Kind erneut, wie viele Vieren in fünfundzwanzig passen? Richtig, sechs. Wir schreiben die Zahl "6" in die untere rechte Ecke unter der Linie. Das Kind muss das Einmaleins für die richtige Antwort verwenden.
• Schreiben Sie die Zahl 24 unter 25 und unterstreichen Sie, um die Antwort aufzuschreiben - 1
• Fragen Sie noch einmal: Wie viele Vierer passen in eine Einheit - überhaupt nicht. Dann reißen wir die Zahl "6" auf eins ab
• Es stellte sich heraus, dass 16 - wie viele Vierer in diese Zahl passen? Richtig - 4. Wir schreiben in der Antwort "4" neben "6" auf
• Unter 16 schreiben wir 16, unterstreichen und es ergibt „0“, was bedeutet, dass wir richtig geteilt haben und das Ergebnis „64“ war.

Schriftliche Division durch zwei Ziffern

Wenn das Kind die Division durch eine einzelne Zahl gemeistert hat, können Sie weitermachen. Die schriftliche Division durch eine zweistellige Zahl ist etwas komplizierter, aber wenn das Baby versteht, wie diese Aktion ausgeführt wird, wird es ihm nicht schwer fallen, solche Beispiele zu lösen.

Wichtig: Beginnen Sie auch hier wieder mit einfachen Schritten zu erklären. Das Kind lernt, Zahlen richtig auszuwählen, und es wird ihm leicht fallen, komplexe Zahlen zu dividieren.

Führen Sie gemeinsam diese einfache Aktion aus: 184:23 - wie man es erklärt:

• Zuerst teilen wir 184 durch 20, es ergibt ungefähr 8. Aber wir schreiben die Zahl 8 nicht in die Antwort, da dies eine Versuchszahl ist
• Prüfen Sie, ob 8 passt oder nicht. Wir multiplizieren 8 mit 23, es ergibt sich 184 - das ist genau die Zahl, die wir im Divisor haben. Die Antwort wird 8 sein

Wichtig: Damit das Kind es versteht, nehmen Sie 9 statt der 8, lassen Sie es 9 mit 23 multiplizieren, es stellt sich heraus 207 - das ist mehr als wir im Divisor haben. Die Zahl 9 passt nicht zu uns.

So wird das Baby nach und nach die Division verstehen, und es wird ihm leicht fallen, komplexere Zahlen zu dividieren:

• Teilen Sie 768 durch 24. Bestimmen Sie die erste Ziffer des Privaten - wir teilen 76 nicht durch 24, sondern durch 20, es ergibt sich 3. Wir schreiben 3 als Antwort unter die rechte Linie
• Unter 76 schreiben wir 72 auf und ziehen eine Linie, schreiben die Differenz auf - es stellte sich heraus 4. Ist diese Zahl durch 24 teilbar? Nein - wir reißen 8 ab, es stellt sich heraus, dass 48
• Ist 48 durch 24 teilbar? Das ist richtig - ja. Es stellt sich heraus, 2, wir schreiben diese Zahl als Antwort
• Es wurde 32. Jetzt können Sie überprüfen, ob wir die Teilungsaktion korrekt durchgeführt haben. Multiplizieren Sie in einer Spalte: 24x32, es stellt sich 768 heraus, dann ist alles richtig

Wenn das Kind gelernt hat, durch eine zweistellige Zahl zu dividieren, müssen Sie mit dem nächsten Thema fortfahren. Der Algorithmus zum Teilen durch eine dreistellige Zahl ist derselbe wie der Algorithmus zum Teilen durch eine zweistellige Zahl.

Zum Beispiel:

• Teilen Sie 146064 durch 716. Zuerst nehmen wir 146 – fragen Sie das Kind, ob diese Zahl durch 716 teilbar ist oder nicht. Richtig - nein, dann nehmen wir 1460
• Wie oft passt die Zahl 716 in die Zahl 1460? Richtig - 2, also schreiben wir diese Zahl in die Antwort
• Wir multiplizieren 2 mit 716, es ergibt sich 1432. Wir schreiben diese Zahl unter 1460. Es stellt sich heraus, dass die Differenz 28 beträgt, wir schreiben unter die Linie
• Abriss 6. Fragen Sie das Kind - 286 ist durch 716 teilbar? Richtig - nein, also schreiben wir 0 in die Antwort neben 2. Wir reißen eine weitere Nummer 4 ab
• Wir dividieren 2864 durch 716. Wir nehmen jeweils 3 - wenig, je 5 - viel, was bedeutet, dass wir 4 erhalten. Wir multiplizieren 4 mit 716, wir erhalten 2864
• Schreiben Sie 2864 unter 2864 für eine Differenz von 0. Antwort 204

Wichtig: Um die Richtigkeit der Teilung zu überprüfen, multiplizieren Sie zusammen mit dem Kind in einer Spalte - 204x716 = 146064. Die Aufteilung ist richtig.

Es ist an der Zeit, dass das Kind erklärt, dass die Division nicht nur ganz sein kann, sondern auch mit einem Rest. Der Rest ist immer kleiner oder gleich dem Divisor.

Die Division mit Rest soll an einem einfachen Beispiel erklärt werden: 35:8=4 (Rest 3):

• Wie viele Achten passen in 35? Richtig - 4. Bleibt 3
• Ist diese Zahl durch 8 teilbar? Das ist richtig - nein. Der Rest ist also 3.

Danach soll das Kind lernen, dass man die Division fortsetzen kann, indem man 0 zur Zahl 3 addiert:

• Die Antwort ist die Zahl 4. Danach schreiben wir ein Komma, da das Hinzufügen von Null anzeigt, dass die Zahl einen Bruch enthält
• Es stellte sich heraus 30. Teilen Sie 30 durch 8, es stellt sich heraus 3. Wir schreiben als Antwort und unter 30 schreiben wir 24, unterstreichen und schreiben 6
• Wir tragen die Zahl 0 zur Zahl 6. Teilen Sie 60 durch 8. Nehmen Sie jeweils 7, es wird 56. Schreiben Sie unter 60 und notieren Sie die Differenz 4
• Wir addieren 0 zur Zahl 4 und teilen durch 8, es ergibt sich 5 - wir schreiben es als Antwort auf
• Wir subtrahieren 40 von 40, wir erhalten 0. Die Antwort lautet also: 35:8=4,375

Tipp: Wenn das Kind etwas nicht versteht, seien Sie nicht böse. Lassen Sie ein paar Tage vergehen und versuchen Sie, den Stoff noch einmal zu erklären.

Auch der Mathematikunterricht in der Schule vertieft das Wissen. Die Zeit vergeht und das Kind wird schnell und einfach alle Teilungsbeispiele lösen.

Der Algorithmus zum Teilen von Zahlen lautet wie folgt:

• Schätzen Sie die Zahl, die in der Antwort enthalten sein wird
• Finden Sie den ersten unvollständigen Dividenden
• Bestimmen Sie die Anzahl der Stellen in einem Quotienten
• Finden Sie die Ziffern in jeder Ziffer des Quotienten
• Finden Sie den Rest (falls vorhanden)

Gemäß diesem Algorithmus wird die Division sowohl durch einstellige Zahlen als auch durch beliebige mehrstellige Zahlen (zweistellig, dreistellig, vierstellig usw.) durchgeführt.

Wenn Sie mit einem Kind lernen, fragen Sie es oft nach Beispielen für eine Schätzung. Er muss die Antwort schnell in seinem Kopf berechnen. Zum Beispiel:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Um das Ergebnis zu konsolidieren, können Sie die folgenden Divisionsspiele verwenden:

• "Puzzle". Schreiben Sie fünf Beispiele auf ein Blatt Papier. Nur einer von ihnen sollte die richtige Antwort haben.

Bedingung für das Kind: Von mehreren Beispielen wird nur eines richtig gelöst. Finden Sie ihn in einer Minute.

Video: Rechenspiel für Kinder Addition Subtraktion Division Multiplikation

Video: Lerntrickfilm Mathematik Das Einmaleins und die Division durch 2 auswendig lernen

Die Division von Zahlen wird als die Aktion der Division mit einem Rest betrachtet: eine nicht negative ganze Zahl zu dividieren a zu einer natürlichen Zahl b- es bedeutet, solche ganzzahligen nicht negativen Zahlen zu finden q und r, was a = bq + r, und 0 ≤ r< b .

Wenn eine einstellige oder zweistellige Zahl (nicht größer als 89) durch eine einstellige Zahl geteilt wird, wird die Tabelle der einstelligen Zahlen verwendet. Zum Beispiel sind die privaten Zahlen 56 und 8 die Zahl 7, da 8 7 \u003d 56. Wenn Sie 52 durch 8 teilen müssen, finden Sie die nächste kleinere Zahl, die durch 8 teilbar ist - dies ist die Zahl 48. und daher ist der Quotient unvollständig, wenn 52 durch 8 geteilt wird, die Zahl 6. Um den Rest zu finden, müssen Sie 48 von 52 subtrahieren: 52 - 48 = 4. Somit ist 52 = 8 6 + 4, d.h. Wenn 52 durch 8 geteilt wird, ist der Teilquotient 6 und der Rest 4.

Aufgabe 8. Veranschaulichen Sie die theoretische Grundlage für die Division der dreistelligen Zahl 377 durch die einstellige Zahl 4.

Entscheidung. 377 durch 4 zu teilen bedeutet, einen solchen unvollständigen Quotienten zu finden q und der Rest r dass 377 = 4 q+ r, und der Rest r muss die Bedingung 0 erfüllen ≤ r< b , aber der unvollständige Quotient q- Bedingung 4 q≤ 377 < 4·(q+ 1).

Bestimmen Sie, wie viele Ziffern die Nummer enthalten wird q. einzelne Ziffer q kann nicht sein, denn dann ist das Produkt 4 q maximal gleich 36 sein kann und daher die oben formulierten Bedingungen für r und q. Wenn Zahl q zweistellig, d.h. wenn 10< q< 100, то тогда 40 < 4q< 400 и, следовательно, 40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 - число двузначное.

Um die Zehnerstelle des Quotienten zu finden, multiplizieren wir den Divisor 4 hintereinander mit 20, 30, 40 usw. Da 4 90 = 360 und 4 100 = 400 und 360< 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q= 90 + q0. Dann müssen aber folgende Ungleichungen gelten:

4 (90+ q0) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + q0+ 1), woher

360 + 4q0≤ 377 < 360 + 4·(q0+ 1) und 4 q 0 ≤ 17 < 4·(q0+ 1).

Anzahl q0(Anzahl der Quotienteneinheiten), die die letzte Ungleichung erfüllt, kann durch Auswahl anhand der Tabelle gefunden werden. Das verstehen wir q0= 4 und damit der unvollständige Quotient q\u003d 90 + 4 \u003d 94. Der Rest ergibt sich durch Subtraktion: 377 - 4 94 \u003d 1.

Wenn Sie also die Zahl 377 durch 4 teilen, ist der Teilquotient 94 und der Rest 1: 377=4 94+1.

Aufgabe 9. Veranschaulichen Sie die theoretische Grundlage für die Division der mehrstelligen Zahl 4316 durch die mehrstellige Zahl 52.

Entscheidung. Das Teilen von 4316 durch 52 bedeutet, solche ganzzahligen, nicht negativen Zahlen zu finden q und r dass 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Bestimmen Sie die Anzahl der Stellen im Quotienten q. Offensichtlich liegt der Quotient zwischen den Zahlen 10 und 100 (d.h. q- zweistellige Zahl), seit 520< 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Dann müssen aber folgende Ungleichungen gelten:

52 (80+ q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0+ 1),

4160 + 52 q0≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0≤ 153 < 52·(q0+ 1).

Anzahl q0(Anzahl der Quotienteneinheiten), die die letzte Ungleichung erfüllt, kann durch Auswahl gefunden werden: 156 = 52 3, d.h. wir haben den Fall, dass der Rest 0 ist. Wenn wir also 4316 durch 52 dividieren, erhalten wir den Quotienten 83.

Die obige Argumentation liegt der Teilung durch eine Ecke zugrunde:

Verallgemeinerung verschiedener Fälle der Division einer nicht negativen ganzen Zahl a zu einer natürlichen Zahl b ist der folgende Algorithmus zum Teilen durch eine Ecke.

1. Wenn a= b, dann privat q = 1, Rest r = 0.

2. Wenn ein >b und die Anzahl der Stellen in Zahlen a und b das gleiche, dann privat q finden wir durch Aufzählung, sukzessives Multiplizieren b durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, weil a< 10b. Diese Aufzählung kann beschleunigt werden, indem eine Division mit dem Rest der Ziffern der höchsten Ziffern von Zahlen durchgeführt wird a und b.

3. Wenn ein >b und die Anzahl der Stellen in der Nummer a mehr als an der Zahl b, dann schreibe die Dividende a und rechts davon steht der Divisor b, von dem getrennt wird a Ecke und suche den Quotienten und den Rest in der folgenden Reihenfolge:

a) unter auswählen a so viele führende Ziffern, wie Ziffern in der Nummer vorhanden sind b oder ggf. eine Ziffer mehr, aber so, dass sie eine Zahl bilden d1 größer als oder gleich b. Suche nach dem Quotienten q1 Zahlen d1 und b, sukzessive multiplizieren b auf 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Aufschreiben q1 Ecke (unten) b);

b) multiplizieren b auf der q1 und schreiben Sie das Produkt unter die Nummer a damit die niedrigstwertige Ziffer der Zahl bq1 wurde unter die niederwertigste Ziffer der hervorgehobenen Zahl geschrieben d1;

c) einen Strich darunter ziehen bq1 und finden Sie den Unterschied r1= d1- bq1;

d) Schreibe die Differenz auf r1 unter der Nummer bq1, rechts zuordnen r1 höchstwertige Stelle der unbenutzten Stellen des Dividenden a und vergleiche die resultierende Zahl d2 mit Nummer b.

e) wenn die resultierende Zahl d2 mehr oder gleich b, dann handeln wir in Bezug darauf gemäß Absatz 1 oder Absatz 2. Privat q2 danach aufschreiben q1;

e) wenn die resultierende Zahl d2 kleiner b, dann weisen wir so viele nächste Ziffern wie nötig zu, um die erste Zahl zu erhalten d3, größer oder gleich b. In diesem Fall schreiben wir nach q1 die gleiche Anzahl von Nullen. Dann relativ d3 Handeln Sie gemäß den Punkten 1, 2. Privat q2 nach Nullen schreiben. Wenn, wenn die niedrigstwertige Ziffer einer Zahl verwendet wird a es stellt sich heraus, dass d3< b, dann der Quotient d3 und b gleich Null ist, und diese Null wird als letzte Ziffer des Quotienten geschrieben, und der Rest r= d3.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Bestimmen Sie die Anzahl der Ziffern privater Nummern, ohne zu dividieren:

a) 475 und 7; b) 6134 und 226; c) 5683 und 25; d) 43127 und 536.

2. Veranschaulichen Sie die theoretische Grundlage für die Division der dreistelligen Zahl 868 durch die einstellige Zahl 3.

3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks auf zwei Arten:

a) (297 + 405 + 567): 27; c) 56 (378:14);

b) (240 23):48; d) 15120:(14 5 8).

4. Suchen Sie den Wert des Ausdrucks:

a) 8919:9 + 114240:21; b) 1190 - 35360: 34 + 271; c) 8631 - (99 + 44352:63);

d) 48600 (5045 - 2040) : 243 - (8604 3:43 + 504) 200.

Betrachten Sie die Algorithmen für die Operation zum Teilen positiver ganzzahliger Binärzahlen durch , wobei SONDERN– 2n-Bit-Dividende; BEIM– i-Bit-Teiler; . Wir nehmen an, dass der Quotient eine ganze Zahl von Bitzahl ist, während

Divisionsalgorithmus mit Restrückgewinnung. Die Werte der Ziffern des Quotienten werden als Ergebnis der Analyse der nach Subtraktion des Divisors erhaltenen Residuen bestimmt BEIM im ersten Schritt des Algorithmus von den höchsten Ziffern des teilbaren Dst und in nachfolgenden Schritten von den höchsten Ziffern des aktuellen Rests.

Beim positiv und Patrone Restwerte Quotient Ziffer c k = 1. Um den nächsten Rest zu erhalten, wird in diesem Fall der aktuelle Rest um ein Bit nach links verschoben und der Divisor davon subtrahiert BEIM.

Beim Negativ der Wert des Restes ist die aktuelle Stelle des Quotienten c k = 0. Eine Sackgasse tritt auf. Um es zu verlassen, wird der vorherige Rest durch Hinzufügen eines Divisors wiederhergestellt BEIM zu einem negativen Saldo. Der wiederhergestellte Rest wird um ein Bit nach links verschoben und der Divisor davon abgezogen. BEIM. Die Wiederherstellungs- und Verschiebungsoperationen ermöglichen es Ihnen, den vorherigen Rest zu verdoppeln und die Divisionsoperation fortzusetzen.

Beispiel 2.30. Lassen Sie uns den Algorithmus veranschaulichen, indem wir den Rest für den Fall wiederherstellen P = 3 bei Dividende A = 100011 (35|0), Divisor B = 111 (710). Einen Divisor subtrahieren BEIM Lassen Sie uns die algebraische Additionsoperation im zusätzlichen Code verwenden. Der negative Wert des Divisors im zusätzlichen Code (~B) = 1001. Um die Divisionsoperation durchzuführen, führen wir zusätzliche Vorzeichenziffern ein, die wir fett hervorheben. Die Abfolge der Aktionen während der Teilung ist unten in Abb. 1 dargestellt. 2.17.

Reis. 2.17.

Beispiel 2.31. Die Division verwendet Additions- und Verschiebungsoperationen.

Als Ergebnis der Division erhält man den Quotienten C= 0101, was eigentlich eine Sammlung von Überträgen ist, die aus Additionsoperationen resultieren.

Algorithmus zur Division ohne Wiederherstellung des Restes. Bei der Hardwareimplementierung der Division von Binärzahlen wird die Additionsoperation im Addierer implementiert und die Schiebeoperation im Register implementiert. Die Registrierkasse hat die Fähigkeit, den vorherigen Saldo während der Summierungsoperation zu speichern. Daher ist die Wiederherstellung des Gleichgewichts ein optionaler Vorgang. Beim Negativ den Wert des aktuellen Saldos, ist es notwendig, den im Register gespeicherten vorherigen Saldo zu verwenden und ihn um eine Stelle nach links zu verschieben.

Beispiel 2.32. Der Algorithmus ohne Wiederherstellung des Restes für dieselben Divisor- und Dividendenwerte ähnelt Beispiel 2.29 (Abb. 2.18).

Reis. 2.18.

Bei der algebraischen Division von Binärzahlen müssen separate Schritte durchgeführt werden, um das Vorzeichen und den Betrag des Quotienten zu bestimmen. Das Vorzeichen des Quotienten wird durch die Operation der Modulo-Zwei-Addition über Vorzeichenbits auf die gleiche Weise bestimmt wie bei der Multiplikation von Binärzahlen.

Die Division natürlicher Zahlen, insbesondere mehrwertiger, erfolgt zweckmäßigerweise durch ein spezielles Verfahren, das aufgerufen wird Division durch eine Spalte (in einer Spalte). Sie können auch den Namen sehen Eckeinteilung. Wir stellen sofort fest, dass in der Spalte sowohl die Division natürlicher Zahlen ohne Rest als auch die Division natürlicher Zahlen mit Rest durchgeführt werden kann.

In diesem Artikel werden wir verstehen, wie die Division durch eine Spalte durchgeführt wird. Hier sprechen wir über die Schreibregeln und über alle Zwischenberechnungen. Lassen Sie uns zunächst auf die Division einer mehrwertigen natürlichen Zahl durch eine einstellige Zahl durch eine Spalte eingehen. Danach konzentrieren wir uns auf Fälle, in denen sowohl der Dividende als auch der Divisor mehrwertige natürliche Zahlen sind. Die gesamte Theorie dieses Artikels ist mit charakteristischen Beispielen für die Division durch eine Spalte natürlicher Zahlen mit detaillierten Erklärungen zur Lösung und Illustrationen versehen.

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Regeln für die Aufzeichnung beim Teilen durch eine Spalte

Beginnen wir mit dem Studium der Regeln zum Schreiben des Dividenden, des Divisors, aller Zwischenberechnungen und Ergebnisse beim Teilen natürlicher Zahlen durch eine Spalte. Nehmen wir gleich an, dass es am bequemsten ist, eine Spalte schriftlich auf Papier mit einer karierten Linie zu unterteilen - so besteht eine geringere Wahrscheinlichkeit, dass Sie von der gewünschten Zeile und Spalte abweichen.

Zuerst werden der Dividende und der Divisor in einer Zeile von links nach rechts geschrieben, danach wird ein Symbol der Form zwischen den geschriebenen Zahlen angezeigt. Wenn der Dividende beispielsweise die Zahl 6 105 und der Divisor 5 5 ist, dann lautet ihre korrekte Notation bei der Aufteilung in eine Spalte:

Sehen Sie sich das folgende Diagramm an, das die Stellen zum Schreiben von Dividenden-, Divisor-, Quotienten-, Rest- und Zwischenberechnungen beim Teilen durch eine Spalte veranschaulicht.

Aus dem obigen Diagramm ist ersichtlich, dass der gewünschte Quotient (oder unvollständige Quotient beim Teilen mit einem Rest) unter dem Divisor unter der horizontalen Linie geschrieben wird. Unterhalb der Dividende werden Zwischenberechnungen durchgeführt, und Sie müssen sich im Voraus um die Verfügbarkeit von Platz auf der Seite kümmern. Dabei sollte man sich an der Regel orientieren: Je größer der Unterschied in der Anzahl der Zeichen bei den Einträgen von Dividende und Divisor ist, desto mehr Platz wird benötigt. Wenn zum Beispiel eine natürliche Zahl 614.808 durch 51.234 durch eine Spalte dividiert wird (614.808 ist eine sechsstellige Zahl, 51.234 ist eine fünfstellige Zahl, die Differenz in der Anzahl der Zeichen in den Datensätzen beträgt 6−5=1), dazwischen Berechnungen benötigen weniger Platz als bei der Division der Zahlen 8 058 und 4 (hier beträgt der Unterschied in der Anzahl der Zeichen 4−1=3 ). Um unsere Worte zu bestätigen, präsentieren wir die vollständigen Aufzeichnungen der Division durch eine Spalte dieser natürlichen Zahlen:

Jetzt können Sie direkt zum Prozess der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte gehen.

Division durch eine Spalte einer natürlichen Zahl durch eine einstellige natürliche Zahl, Algorithmus zur Division durch eine Spalte

Es ist klar, dass das Dividieren einer einstelligen natürlichen Zahl durch eine andere ziemlich einfach ist, und es gibt keinen Grund, diese Zahlen in eine Spalte zu unterteilen. Es wird jedoch nützlich sein, die anfänglichen Fähigkeiten der Division durch eine Spalte an diesen einfachen Beispielen zu üben.

Beispiel.

Lassen Sie uns durch eine Spalte 8 durch 2 dividieren.

Entscheidung.

Natürlich können wir mit dem Einmaleins dividieren und sofort das Ergebnis 8:2=4 aufschreiben.

Aber uns interessiert, wie man diese Zahlen durch eine Spalte dividiert.

Zuerst schreiben wir den Dividenden 8 und den Divisor 2, wie es die Methode erfordert:

Jetzt fangen wir an herauszufinden, wie oft der Divisor in der Dividende vorkommt. Dazu multiplizieren wir den Divisor sukzessive mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., bis das Ergebnis eine Zahl gleich dem Dividenden ist (oder eine Zahl größer als der Dividende, falls es sich um eine Division mit Rest handelt ). Wenn wir eine Zahl gleich dem Dividenden erhalten, schreiben wir sie sofort unter den Dividenden und anstelle des Privaten schreiben wir die Zahl, mit der wir den Divisor multipliziert haben. Wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als die Teilbare ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Los geht's: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Wir haben eine Zahl, die der Dividende entspricht, also schreiben wir sie unter die Dividende, und anstelle des Privaten schreiben wir die Zahl 4. Der Datensatz sieht dann so aus:

Die letzte Stufe der Division einstelliger natürlicher Zahlen durch eine Spalte bleibt bestehen. Unter der Zahl, die unter dem Dividenden steht, müssen Sie eine horizontale Linie zeichnen und Zahlen über dieser Linie auf die gleiche Weise subtrahieren, wie Sie es tun, wenn Sie natürliche Zahlen mit einer Spalte subtrahieren. Die nach der Subtraktion erhaltene Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die ursprünglichen Zahlen ohne Rest dividiert.

In unserem Beispiel erhalten wir

Jetzt haben wir eine fertige Aufzeichnung der Division durch eine Spalte mit der Zahl 8 durch 2. Wir sehen, dass der Quotient 8:2 4 ist (und der Rest 0 ist).

Antworten:

8:2=4 .

Überlegen Sie nun, wie die Division durch eine Spalte mit einstelligen natürlichen Zahlen mit Rest durchgeführt wird.

Beispiel.

Teile durch eine Spalte 7 durch 3.

Entscheidung.

In der Anfangsphase sieht der Eintrag so aus:

Wir beginnen herauszufinden, wie oft der Dividenden einen Divisor enthält. Wir multiplizieren 3 mit 0, 1, 2, 3 usw. bis wir eine Zahl erhalten, die größer oder gleich dem Dividenden 7 ist. Wir erhalten 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ggf. siehe Artikel Vergleich natürlicher Zahlen). Unter den Dividenden schreiben wir die Zahl 6 (erhalten im vorletzten Schritt) und anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (im vorletzten Schritt wurde eine Multiplikation durchgeführt).

Es bleibt die Subtraktion durchzuführen, und die Division durch eine Spalte mit einstelligen natürlichen Zahlen 7 und 3 wird abgeschlossen.

Der partielle Quotient ist also 2 und der Rest ist 1 .

Antworten:

7:3=2 (Ruhe 1) .

Jetzt können wir dazu übergehen, mehrwertige natürliche Zahlen durch einstellige natürliche Zahlen durch eine Spalte zu dividieren.

Jetzt werden wir analysieren Spaltenteilungsalgorithmus. In jeder Phase präsentieren wir die Ergebnisse, die durch Division der vielwertigen natürlichen Zahl 140 288 durch die einwertige natürliche Zahl 4 erhalten werden. Dieses Beispiel wurde nicht zufällig gewählt, da wir bei der Lösung auf alle möglichen Nuancen stoßen und sie im Detail analysieren können.

Zuerst schauen wir uns die erste Ziffer von links im Dividendeneintrag an. Wenn die durch diese Zahl definierte Zahl größer als der Divisor ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links im Dividendendatensatz hinzufügen und mit der Zahl weiterarbeiten, die durch die beiden betreffenden Ziffern bestimmt wird. Der Einfachheit halber wählen wir in unserem Datensatz die Nummer aus, mit der wir arbeiten werden.

Die erste Ziffer von links im Dividenden 140.288 ist die Zahl 1. Die Zahl 1 ist kleiner als der Divisor 4, also schauen wir uns auch die nächste Ziffer links im Dividendendatensatz an. Gleichzeitig sehen wir die Zahl 14, mit der wir weiter arbeiten müssen. Wir wählen diese Zahl in der Notation der Dividende.

Die folgenden Punkte vom zweiten bis zum vierten werden zyklisch wiederholt, bis die Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

Jetzt müssen wir bestimmen, wie oft der Divisor in der Zahl enthalten ist, mit der wir arbeiten (der Einfachheit halber bezeichnen wir diese Zahl als x ). Dazu multiplizieren wir den Divisor sukzessive mit 0, 1, 2, 3, ... bis wir die Zahl x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn eine Zahl x erhalten wird, schreiben wir sie unter die ausgewählte Zahl gemäß den Notationsregeln, die beim Subtrahieren um eine Spalte natürlicher Zahlen verwendet werden. Die Zahl, mit der die Multiplikation durchgeführt wurde, wird beim ersten Durchlauf des Algorithmus anstelle des Quotienten geschrieben (bei weiteren Durchläufen von 2-4 Punkten des Algorithmus wird diese Zahl rechts neben die bereits vorhandenen Zahlen geschrieben). Wenn eine Zahl erhalten wird, die größer als die Zahl x ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des Quotienten (oder rechts neben den bereits vorhandenen Zahlen) die Zahl von dem die Multiplikation im vorletzten Schritt durchgeführt wurde. (Wir haben ähnliche Aktionen in den beiden oben diskutierten Beispielen durchgeführt).

Wir multiplizieren den Teiler von 4 mit den Zahlen 0, 1, 2, ..., bis wir eine Zahl erhalten, die gleich 14 oder größer als 14 ist. Wir haben 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>vierzehn . Da wir im letzten Schritt die Zahl 16 erhalten haben, die größer als 14 ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die Zahl 12, die sich im vorletzten Schritt herausstellte, und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 3, da in im vorletzten Absatz wurde genau darauf die Multiplikation durchgeführt.


In diesem Stadium subtrahieren Sie von der ausgewählten Zahl die Zahl darunter in einer Spalte. Unterhalb der horizontalen Linie befindet sich das Ergebnis der Subtraktion. Wenn das Ergebnis der Subtraktion jedoch Null ist, muss es nicht aufgeschrieben werden (es sei denn, die Subtraktion an dieser Stelle ist die allerletzte Aktion, die die Division durch eine Spalte vollständig vervollständigt). Hier ist es für Ihre Kontrolle nicht überflüssig, das Ergebnis der Subtraktion mit dem Divisor zu vergleichen und sicherzustellen, dass es kleiner als der Divisor ist. Ansonsten ist irgendwo ein Fehler unterlaufen.

Wir müssen die Zahl 12 von der Zahl 14 in einer Spalte subtrahieren (für die korrekte Schreibweise darf man nicht vergessen, links neben den subtrahierten Zahlen ein Minuszeichen zu setzen). Nach Abschluss dieser Aktion erschien die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Jetzt überprüfen wir unsere Berechnungen, indem wir die resultierende Zahl mit einem Divisor vergleichen. Da die Zahl 2 kleiner als der Teiler 4 ist, kannst du getrost zum nächsten Element übergehen.


Jetzt schreiben wir unter der horizontalen Linie rechts von den dort befindlichen Zahlen (oder rechts von der Stelle, an der wir keine Null geschrieben haben) die Zahl ein, die sich in derselben Spalte im Datensatz des Dividenden befindet. Wenn in dieser Spalte keine Zahlen im Datensatz des Dividenden vorhanden sind, endet die Division durch eine Spalte hier. Danach wählen wir die unter der horizontalen Linie gebildete Zahl aus, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit 2 bis 4 Punkte des Algorithmus.

Unter der horizontalen Linie rechts neben der bereits vorhandenen Zahl 2 schreiben wir die Zahl 0, da es die Zahl 0 ist, die im Datensatz des Dividenden 140 288 in dieser Spalte steht. Somit wird die Zahl 20 unter der horizontalen Linie gebildet.


Wir wählen diese Zahl 20 aus, nehmen sie als Arbeitszahl und wiederholen damit die Aktionen des zweiten, dritten und vierten Punktes des Algorithmus.

Wir multiplizieren den Teiler von 4 mit 0, 1, 2, ... bis wir die Zahl 20 oder eine Zahl größer als 20 erhalten. Wir haben 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Wir führen die Subtraktion nach einer Spalte durch. Da wir gleiche natürliche Zahlen subtrahieren, erhalten wir aufgrund der Eigenschaft, gleiche natürliche Zahlen zu subtrahieren, als Ergebnis Null. Wir schreiben keine Null (da dies nicht die letzte Stufe der Division durch eine Spalte ist), aber wir erinnern uns an die Stelle, an der wir sie aufschreiben könnten (der Einfachheit halber markieren wir diese Stelle mit einem schwarzen Rechteck).


Unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Stelle schreiben wir die Nummer 2 auf, da sie in dieser Spalte die Dividende 140 288 aufzeichnet. Unter der horizontalen Linie haben wir also die Zahl 2 .


Wir nehmen die Nummer 2 als Arbeitsnummer, markieren sie und müssen erneut die Schritte von 2 bis 4 Punkten des Algorithmus ausführen.

Wir multiplizieren den Divisor mit 0 , 1 , 2 usw. und vergleichen die resultierenden Zahlen mit der markierten Zahl 2 . Wir haben 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Deshalb schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten rechts von der bereits vorhandenen Zahl schreiben wir die Zahl 0 (wir haben beim vorletzten mit 0 multipliziert Schritt).


Wir führen eine Subtraktion durch eine Spalte durch, wir erhalten die Zahl 2 unter der horizontalen Linie. Wir überprüfen uns selbst, indem wir die resultierende Zahl mit dem Divisor 4 vergleichen. Seit 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Unter der horizontalen Linie rechts neben der Zahl 2 fügen wir die Zahl 8 hinzu (da sie in dieser Spalte im Datensatz des Dividenden 140 288 steht). Unter der horizontalen Linie steht also die Zahl 28.


Wir akzeptieren diese Nummer als Arbeiter, markieren sie und wiederholen die Schritte 2-4 der Absätze.

Hier sollte es keine Probleme geben, wenn man bisher vorsichtig war. Nachdem alle erforderlichen Aktionen durchgeführt wurden, wird das folgende Ergebnis erhalten.

Es bleibt zum letzten Mal, die Aktionen aus den Punkten 2, 3, 4 auszuführen (wir stellen sie Ihnen zur Verfügung), danach erhalten Sie ein vollständiges Bild der Teilung der natürlichen Zahlen 140 288 und 4 in einer Spalte:

Bitte beachten Sie, dass die Zahl 0 ganz unten in der Zeile steht. Wenn dies nicht der letzte Schritt der Division durch eine Spalte wäre (das heißt, wenn in den Spalten rechts im Datensatz des Dividenden Zahlen wären), dann würden wir diese Null nicht schreiben.

Wenn wir uns also die vollständige Aufzeichnung der Division der mehrwertigen natürlichen Zahl 140 288 durch die einwertige natürliche Zahl 4 ansehen, sehen wir, dass die Zahl 35 072 privat ist (und der Rest der Division Null ist, es ist genau Endeffekt).

Wenn Sie natürliche Zahlen durch eine Spalte dividieren, werden Sie natürlich nicht alle Ihre Aktionen so detailliert beschreiben. Ihre Lösungen werden in etwa wie in den folgenden Beispielen aussehen.

Beispiel.

Führen Sie eine lange Division durch, wenn der Dividende 7136 und der Divisor eine einzelne natürliche Zahl 9 ist.

Entscheidung.

Im ersten Schritt des Algorithmus zum Teilen natürlicher Zahlen durch eine Spalte erhalten wir eine Aufzeichnung des Formulars

Nachdem die Aktionen vom zweiten, dritten und vierten Punkt des Algorithmus ausgeführt wurden, nimmt der Datensatz der Division durch eine Spalte die Form an

Den Zyklus wiederholend, werden wir haben

Ein weiterer Durchgang gibt uns ein vollständiges Bild der Division durch eine Spalte mit den natürlichen Zahlen 7 136 und 9

Somit ist der partielle Quotient 792 und der Rest der Division ist 8 .

Antworten:

7 136:9=792 (Rest 8) .

Und dieses Beispiel zeigt, wie eine lange Teilung aussehen sollte.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 7 042 035 durch die einstellige natürliche Zahl 7 .

Entscheidung.

Es ist am bequemsten, eine Division durch eine Spalte durchzuführen.

Antworten:

7 042 035:7=1 006 005 .

Division durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen

Wir beeilen uns, Ihnen zu gefallen: Wenn Sie den Algorithmus zum Teilen durch eine Spalte aus dem vorherigen Absatz dieses Artikels gut beherrschen, wissen Sie bereits fast, wie man vorgeht Division durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen. Dies ist richtig, da die Schritte 2 bis 4 des Algorithmus unverändert bleiben und nur geringfügige Änderungen im ersten Schritt auftreten.

In der ersten Stufe der Division in eine Spalte mit mehrwertigen natürlichen Zahlen müssen Sie nicht auf die erste Ziffer links im Dividendeneintrag schauen, sondern auf so viele davon, wie Ziffern im Divisoreintrag vorhanden sind. Wenn die durch diese Zahlen definierte Zahl größer als der Divisor ist, müssen wir im nächsten Absatz mit dieser Zahl arbeiten. Wenn diese Zahl kleiner als der Divisor ist, müssen wir die nächste Ziffer links im Datensatz des Dividenden zur Betrachtung hinzufügen. Danach werden die in den Absätzen 2, 3 und 4 des Algorithmus angegebenen Aktionen durchgeführt, bis das Endergebnis erreicht ist.

Es bleibt nur noch die Anwendung des Algorithmus zum Teilen durch eine Spalte mehrwertiger natürlicher Zahlen in der Praxis beim Lösen von Beispielen zu sehen.

Beispiel.

Führen wir eine Division durch eine Spalte mit mehrwertigen natürlichen Zahlen 5562 und 206 durch.

Entscheidung.

Da am Datensatz des Divisors 206 3 Zeichen beteiligt sind, schauen wir uns die ersten 3 Ziffern links im Datensatz des Dividenden 5 562 an. Diese Nummern entsprechen der Nummer 556. Da 556 größer als der Divisor 206 ist, nehmen wir die Zahl 556 als Arbeitszahl, wählen sie aus und fahren mit der nächsten Stufe des Algorithmus fort.

Jetzt multiplizieren wir den Divisor 206 mit den Zahlen 0, 1, 2, 3, ... bis wir eine Zahl erhalten, die entweder gleich 556 oder größer als 556 ist. Wir haben (wenn die Multiplikation schwierig ist, dann ist es besser, die Multiplikation natürlicher Zahlen in einer Spalte durchzuführen): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Da wir eine Zahl erhalten haben, die größer als 556 ist, schreiben wir unter die ausgewählte Zahl die Zahl 412 (sie wurde im vorletzten Schritt erhalten) und anstelle des Quotienten schreiben wir die Zahl 2 (da sie im vorletzten Schritt multipliziert wurde). Schritt). Der Spaltenteilungseintrag hat folgende Form:

Spaltensubtraktion durchführen. Wir erhalten die Differenz 144 , diese Zahl ist kleiner als der Divisor, sodass Sie die erforderlichen Aktionen sicher fortsetzen können.

Unter die horizontale Linie rechts neben der dort verfügbaren Zahl schreiben wir die Zahl 2, da sie im Datensatz des Dividenden 5 562 in dieser Spalte steht:

Jetzt arbeiten wir mit der Nummer 1442, wählen sie aus und gehen die Schritte zwei bis vier erneut durch.

Wir multiplizieren den Divisor 206 mit 0, 1, 2, 3, ... bis wir die Zahl 1442 oder eine Zahl größer als 1442 erhalten. Los geht's: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Wir subtrahieren mit einer Spalte, wir bekommen Null, aber wir schreiben sie nicht gleich auf, sondern merken uns nur ihre Position, weil wir nicht wissen, ob die Division hier endet, oder wir müssen die Schritte des Algorithmus wiederholen wieder:

Jetzt sehen wir, dass wir unter der horizontalen Linie rechts von der gespeicherten Position keine Zahl schreiben können, da es in dieser Spalte keine Zahlen in der Aufzeichnung des Dividenden gibt. Damit ist diese Trennung durch eine Spalte beendet und wir vervollständigen den Eintrag:

• Mathematik. Alle Lehrbücher für die Klassen 1, 2, 3, 4 von Bildungseinrichtungen.
• Mathematik. Alle Lehrbücher für 5 Klassen von Bildungseinrichtungen.

Wenn es um die Technik der Division von Zahlen geht, wird dieser Vorgang als die Aktion der Division mit einem Rest betrachtet: dividiere eine nicht-negative ganze Zahl a durch eine natürliche Zahl b - das bedeutet, nicht-negative ganze Zahlen q r zu finden, so dass a = bq + r, und 0 £ r< b.

Lassen Sie uns zuerst herausfinden, wie Division durch eine einzelne Zahl. Wenn eine einstellige oder zweistellige Zahl (nicht größer als 89) durch eine einstellige Zahl dividiert wird, wird das Einmaleins für einstellige Zahlen verwendet. zum Beispiel, die privaten Zahlen 54 und 9 sind die Zahl 6, da 9 × 6 \u003d 54. Wenn Sie 51 durch 9 teilen müssen, finden Sie die nächste kleinere Zahl dazu, die durch 9 teilbar ist - dies ist die Zahl 45 , und daher ist ein unvollständiger Quotient zum Teilen von 51 durch 9 die Zahl 5. Um den Rest zu finden, müssen Sie 45 von 51 subtrahieren: 51 - 45 \u003d 6. Also 51 \u003d 9 × 5 + 6, d.h. Wenn Sie 51 durch 9 teilen, erhalten Sie einen unvollständigen Quotienten von 5 und einen Rest von 6. Sie können dies anders schreiben, indem Sie eine Division durch eine Ecke verwenden:

Wir werden jetzt eine dreistellige Zahl durch eine einstellige Zahl teilen, zum Beispiel 378 durch 4. 378 durch 4 dividieren bedeutet, einen so unvollständigen Quotienten q und einen Rest r zu finden, dass 378=4q+r, und der Rest r muss die Bedingung 0£r erfüllen

Lassen Sie uns bestimmen, wie viele Ziffern im Datensatz der Zahl q enthalten sein werden. Die Zahl q kann nicht einwertig sein, da dann das Produkt 4q maximal gleich 36 werden kann und somit die oben formulierten Bedingungen für r und q nicht erfüllt sind. Wenn die Zahl q zweistellig ist, d.h. es gibt 10

Um die Zehnerstelle des Quotienten zu finden, multiplizieren wir den Divisor 4 hintereinander mit 20, 30, 40 usw. Denn 4x90=360 und 4x100=400 und 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q 0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q 0)£ 378<4×(90q+q 0 +1), откуда 360+4q 0 £78<360+4(q 0 +1) и 4q 0 £18<4(q 0 +1). Число q 0 (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q 0 =4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

Wenn also 378 durch 4 geteilt wird, ist der Teilquotient 94 und der Rest 2: 378–4×94+2.

Der beschriebene Vorgang liegt der Teilung durch eine Ecke zugrunde:

Ähnlich ausgeführt Dividieren einer mehrstelligen Zahl durch eine mehrstellige Zahl . Teilen wir zum Beispiel 4316 durch 52. Diese Division durchzuführen bedeutet, solche ganzzahligen nicht negativen Zahlen q und r zu finden, dass 4316=52q+r, 0£r < 52, und der unvollständige Quotient muss die Ungleichung 52q £ 4316 erfüllen<52(q+1).

Bestimmen wir die Anzahl der Stellen im Quotienten q. Offensichtlich liegt der Quotient zwischen den Zahlen 10 und 100 (d. h. q ist eine zweistellige Zahl), seit 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52× 80=4160 und 52 × 90=4680 und 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q 0 .

Dann müssen aber folgende Ungleichungen gelten:

52× (80+q 0) £ 4316< 52× (80+q 0 +1),

4160+52q 0 £4316<4160+52× (q 0 +1),

52q 0 £156<52× (q 0 +1).

Die Zahl q 0 (die Anzahl der Einheiten des Quotienten), die die letzte Ungleichung erfüllt, kann durch Auswahl gefunden werden: 156=52 × 3, d. h. wir haben den Fall, dass der Rest 0 ist. Wenn wir also 4316 durch 52 dividieren, erhalten wir den Quotienten 83.

Die obige Begründung liegt der Teilung durch eine Ecke zugrunde.