Produkte von Primzahlen. Primzahlen

Der Artikel behandelt die Konzepte von Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen. Definitionen solcher Zahlen mit Beispielen werden gegeben. Wir führen einen Beweis, dass die Anzahl der Primzahlen unbegrenzt ist, und machen einen Eintrag in der Primzahltabelle mit der Methode von Eratosthenes. Es wird nachgewiesen, ob eine Zahl eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist.

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Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen - Definitionen und Beispiele

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen werden als positive ganze Zahlen klassifiziert. Sie müssen größer als eins sein. Teiler werden auch in einfache und zusammengesetzte unterteilt. Um das Konzept zusammengesetzter Zahlen zu verstehen, ist es notwendig, zuerst die Konzepte von Teilern und Vielfachen zu studieren.

Bestimmung 1

Primzahlen sind ganze Zahlen, die größer als eins sind und zwei positive Teiler haben, nämlich sich selbst und 1.

Bestimmung 2

Zusammengesetzte Zahlen sind ganze Zahlen, die größer als eins sind und mindestens drei positive Teiler haben.

Eins ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl. Sie hat nur einen positiven Teiler und unterscheidet sich daher von allen anderen positiven Zahlen. Alle positiven ganzen Zahlen werden als natürliche Zahlen bezeichnet, dh beim Zählen verwendet.

Bestimmung 3

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur zwei positive Teiler haben.

Bestimmung 4

Zusammengesetzte Zahl ist eine natürliche Zahl, die mehr als zwei positive Teiler hat.

Jede Zahl größer als 1 ist entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl. Aus der Eigenschaft der Teilbarkeit haben wir, dass 1 und die Zahl a immer Teiler für jede Zahl a sind, das heißt, sie wird durch sich selbst und durch 1 teilbar sein. Wir geben die Definition von ganzen Zahlen.

Bestimmung 5

Natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, heißen zusammengesetzte Zahlen.

Primzahlen: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sie sind nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Zusammengesetzte Zahlen: 6, 63, 121, 6697. Das heißt, die Zahl 6 kann in 2 und 3 zerlegt werden und 63 in 1, 3, 7, 9, 21, 63 und 121 in 11, 11, das heißt, ihre Teiler werden 1, 11, 121 sein. Die Zahl 6697 zerfällt in 37 und 181. Beachten Sie, dass die Konzepte von Primzahlen und relativen Primzahlen unterschiedliche Konzepte sind.

Um die Verwendung von Primzahlen zu vereinfachen, müssen Sie eine Tabelle verwenden:

Eine Tabelle für alle existierenden natürlichen Zahlen ist unrealistisch, da es unendlich viele davon gibt. Wenn die Zahlen Größen von 10000 oder 1000000000 erreichen, dann sollten Sie darüber nachdenken, das Sieb von Eratosthenes zu verwenden.

Betrachten Sie einen Satz, der die letzte Aussage erklärt.

Satz 1

Der kleinste positive Teiler einer natürlichen Zahl größer als 1 außer 1 ist eine Primzahl.

Beweis 1

Angenommen, a ist eine natürliche Zahl größer als 1, b ist der kleinste Nicht-Eins-Teiler von a. Wir müssen mit der Widerspruchsmethode beweisen, dass b eine Primzahl ist.

Nehmen wir an, b ist eine zusammengesetzte Zahl. Daraus folgt, dass es einen Teiler für b gibt, der sowohl von 1 als auch von b verschieden ist. Ein solcher Divisor wird als b 1 bezeichnet. Voraussetzung ist, dass Bedingung 1< b 1 < b Wurde vervollständigt.

Aus der Bedingung, dass a durch b teilbar ist, ist ersichtlich, dass b durch b 1 teilbar ist, was bedeutet, dass der Begriff der Teilbarkeit folgendermaßen ausgedrückt wird: a = b q und b = b 1 q 1 , womit a = b 1 (q 1 q) , wobei q und q 1 sind ganze Zahlen. Gemäß der Regel der Multiplikation ganzer Zahlen haben wir, dass das Produkt ganzer Zahlen eine ganze Zahl mit einer Gleichheit der Form a = b 1 · (q 1 · q) ist. Es ist ersichtlich, dass b 1 ist der Teiler von a. Ungleichheit 1< b 1 < b nichtÜbereinstimmungen, weil wir erhalten, dass b der kleinste positive Nicht-1-Teiler von a ist.

Satz 2

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis 2

Angenommen, wir nehmen eine endliche Anzahl natürlicher Zahlen n und bezeichnen sie als p 1 , p 2 , … , p n . Betrachten wir eine Variante, eine Primzahl zu finden, die sich von den angegebenen unterscheidet.

Betrachten Sie die Zahl p, die gleich p 1 , p 2 , … , p n + 1 ist. Sie ist nicht gleich jeder der Zahlen, die Primzahlen der Form p 1 , p 2 , … , p n entsprechen. Die Zahl p ist eine Primzahl. Dann gilt der Satz als bewiesen. Wenn es zusammengesetzt ist, müssen wir die Notation p n + 1 nehmen und zeigen Divisor-Nichtübereinstimmung mit einem von p 1 , p 2 , … , p n .

Wenn dem nicht so wäre, dann aufgrund der Teilbarkeitseigenschaft des Produkts p 1 , p 2 , … , p n , wir erhalten, dass es durch p n + 1 teilbar wäre. Beachten Sie, dass der Ausdruck p n + 1 die geteilte Zahl p ist gleich der Summe p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Wir erhalten damit den Ausdruck p n + 1 der zweite Term dieser Summe, der gleich 1 ist, muss geteilt werden, aber das ist unmöglich.

Es ist ersichtlich, dass jede Primzahl unter einer beliebigen Anzahl von gegebenen Primzahlen gefunden werden kann. Daraus folgt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Da es viele Primzahlen gibt, beschränken sich die Tabellen auf die Zahlen 100, 1000, 10000 und so weiter.

Beim Erstellen einer Tabelle mit Primzahlen ist zu beachten, dass eine solche Aufgabe eine sequentielle Überprüfung der Zahlen von 2 bis 100 erfordert. Wenn es keinen Divisor gibt, wird er in die Tabelle eingetragen, wenn er zusammengesetzt ist, wird er nicht in die Tabelle eingetragen.

Betrachten wir Schritt für Schritt.

Wenn Sie mit der Zahl 2 beginnen, dann hat sie nur 2 Teiler: 2 und 1, was bedeutet, dass sie in die Tabelle eingetragen werden kann. Auch mit der Nummer 3 . Die Zahl 4 ist zusammengesetzt, sie sollte in 2 und 2 zerlegt werden. Die Zahl 5 ist eine Primzahl, was bedeutet, dass sie in der Tabelle fixiert werden kann. Tun Sie dies bis zur Zahl 100.

Dieses Verfahren ist unbequem und zeitaufwendig. Sie können einen Tisch machen, aber Sie müssen viel Zeit aufwenden. Es ist notwendig, Teilbarkeitskriterien zu verwenden, die das Finden von Teilern beschleunigen.

Die Methode mit dem Sieb von Eratosthenes gilt als die bequemste. Werfen wir einen Blick auf die folgenden Tabellen. Zunächst werden die Zahlen 2, 3, 4, ..., 50 geschrieben.

Jetzt müssen Sie alle Zahlen durchstreichen, die ein Vielfaches von 2 sind. Machen Sie sequentielles Durchstreichen. Wir erhalten eine Tabelle der Form:

Gehen wir weiter zum Durchstreichen von Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind. Wir bekommen:

Wir streichen die Zahlen, die Vielfache von 7, 11 sind. Endlich sieht die Tabelle aus

Gehen wir zur Formulierung des Satzes über.

Satz 3

Der kleinste positive und von 1 verschiedene Teiler der Basiszahl a überschreitet nicht a , wobei a die arithmetische Wurzel der gegebenen Zahl ist.

Beweis 3

Es ist notwendig, b als den kleinsten Teiler einer zusammengesetzten Zahl a zu bezeichnen. Es gibt eine ganze Zahl q , wobei a = b · q , und wir haben , dass b ≤ q . Eine Ungleichheit der Form b > q weil die Bedingung verletzt ist. Beide Seiten der Ungleichung b ≤ q sollten mit einer beliebigen positiven Zahl b ungleich 1 multipliziert werden. Wir erhalten, dass b b ≤ b q , wobei b 2 ≤ a und b ≤ a .

Aus dem bewiesenen Theorem ist ersichtlich, dass das Streichen von Zahlen in der Tabelle dazu führt, dass mit einer Zahl begonnen werden muss, die gleich b 2 ist und die Ungleichung b 2 ≤ a erfüllt. Das heißt, wenn Sie Zahlen streichen, die ein Vielfaches von 2 sind, beginnt der Prozess bei 4, und diejenigen, die ein Vielfaches von 3 sind, beginnen bei 9 und so weiter bis 100.

Das Erstellen einer solchen Tabelle mit dem Satz von Eratosthenes besagt, dass, wenn alle zusammengesetzten Zahlen durchgestrichen sind, Primzahlen übrig bleiben, die n nicht überschreiten. In dem Beispiel, in dem n = 50 ist, haben wir, dass n = 50 ist. Daraus ergibt sich, dass das Sieb des Eratosthenes alle zusammengesetzten Zahlen aussiebt, die nicht größer als der Wert der Wurzel aus 50 sind. Die Suche nach Zahlen erfolgt durch Durchstreichen.

Vor dem Lösen muss festgestellt werden, ob die Zahl eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist. Häufig werden Teilbarkeitskriterien verwendet. Schauen wir uns das im folgenden Beispiel an.

Beispiel 1

Beweisen Sie, dass 898989898989898989 eine zusammengesetzte Zahl ist.

Entscheidung

Die Quersumme der gegebenen Zahl ist 9 8 + 9 9 = 9 17 . Die Zahl 9 17 ist also durch 9 teilbar, basierend auf dem Zeichen der Teilbarkeit durch 9. Daraus folgt, dass es zusammengesetzt ist.

Solche Zeichen sind nicht in der Lage, die Primzahl einer Zahl zu beweisen. Wenn eine Überprüfung erforderlich ist, sollten andere Schritte unternommen werden. Am besten geeignet ist das Aufzählen von Zahlen. Während des Prozesses können Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen gefunden werden. Das heißt, der Wert von Zahlen sollte a nicht überschreiten. Das heißt, die Zahl a muss in Primfaktoren zerlegt werden. Wenn dies zutrifft, kann die Zahl a als Primzahl betrachtet werden.

Beispiel 2

Bestimme die zusammengesetzte oder Primzahl 11723.

Entscheidung

Jetzt müssen Sie alle Teiler für die Zahl 11723 finden. Muss 11723 auswerten.

Von hier aus sehen wir, dass 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , und 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Für eine genauere Schätzung der Zahl 11723 muss der Ausdruck 108 2 = 11 664 und geschrieben werden 109 2 = 11 881 , dann 108 2 < 11 723 < 109 2 . Daraus folgt, dass 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Beim Zerlegen erhalten wir das 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 sind alle Primzahlen. Dieser gesamte Vorgang kann als Teilung durch eine Spalte dargestellt werden. Das heißt, teilen Sie 11723 durch 19. Die Zahl 19 ist einer ihrer Faktoren, da wir eine Division ohne Rest erhalten. Lassen Sie uns die Division durch eine Spalte darstellen:

Daraus folgt, dass 11723 eine zusammengesetzte Zahl ist, weil sie neben sich selbst und 1 einen Teiler 19 hat.

Antworten: 11723 ist eine zusammengesetzte Zahl.

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Liste der Teiler. Per Definition die Zahl n ist nur dann eine Primzahl, wenn sie nicht durch 2 und andere ganze Zahlen außer 1 und sich selbst teilbar ist. Die obige Formel entfernt unnötige Schritte und spart Zeit: Nachdem Sie beispielsweise überprüft haben, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie nicht prüfen, ob sie durch 9 teilbar ist.

Die Funktion floor(x) rundet x auf die nächste Ganzzahl kleiner oder gleich x.

Erfahren Sie mehr über modulare Arithmetik. Die Operation „x mod y“ (mod ist eine Abkürzung des lateinischen Wortes „modulo“, also „modul“) bedeutet „dividiere x durch y und finde den Rest“. Mit anderen Worten, in der modularen Arithmetik wird beim Erreichen eines bestimmten Werts aufgerufen Modul, "drehen" sich die Zahlen zurück auf Null. Zum Beispiel misst eine Uhr die Zeit in Modulus 12: Sie zeigt 10, 11 und 12 Uhr an und kehrt dann zu 1 zurück.

Viele Taschenrechner haben eine Mod-Taste. Am Ende dieses Abschnitts wird gezeigt, wie diese Funktion für große Zahlen manuell berechnet wird.

Erfahren Sie mehr über die Fallstricke des kleinen Satzes von Fermat. Alle Zahlen, für die die Testbedingungen nicht erfüllt sind, sind zusammengesetzt, die restlichen Zahlen jedoch nur wahrscheinlich gelten als einfach. Wenn Sie falsche Ergebnisse vermeiden möchten, suchen Sie nach n in der Liste der „Carmichael-Zahlen“ (zusammengesetzte Zahlen, die diesen Test erfüllen) und „Pseudo-Prime-Fermat-Zahlen“ (diese Zahlen erfüllen die Bedingungen des Tests nur für einige Werte a).

Verwenden Sie gegebenenfalls den Miller-Rabin-Test. Obwohl diese Methode für manuelle Berechnungen eher umständlich ist, wird sie häufig in Computerprogrammen verwendet. Es bietet eine akzeptable Geschwindigkeit und gibt weniger Fehler als das Verfahren von Fermat. Eine zusammengesetzte Zahl wird nicht als Primzahl angenommen, wenn Berechnungen für mehr als ¼-Werte durchgeführt werden a. Wenn Sie zufällig verschiedene Werte auswählen a und bei allen wird der Test positiv ausfallen, davon können wir mit ziemlicher Sicherheit ausgehen n ist eine Primzahl.

Verwenden Sie für große Zahlen modulare Arithmetik. Wenn Sie keinen Mod-Rechner zur Hand haben oder Ihr Rechner nicht für die Verarbeitung so großer Zahlen ausgelegt ist, verwenden Sie die Potenzeigenschaften und die modulare Arithmetik, um Ihre Berechnungen zu vereinfachen. Unten ist ein Beispiel für 3 50 (\displaystyle 3^(50)) Mod 50:

Schreiben Sie den Ausdruck in eine bequemere Form um: mod 50. Bei der manuellen Berechnung können weitere Vereinfachungen erforderlich sein.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Hier haben wir die Eigenschaft der modularen Multiplikation berücksichtigt.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25)) Mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) Mod 50) Mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) Mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) Mod 50.
= 49 (\displaystyle=49).

Übersetzung

Die Eigenschaften von Primzahlen wurden zuerst von den Mathematikern des antiken Griechenlands untersucht. Mathematiker der pythagoräischen Schule (500 - 300 v. Chr.) interessierten sich vor allem für die mystischen und numerologischen Eigenschaften der Primzahlen. Sie waren die ersten, die sich Gedanken über perfekte und freundliche Zahlen machten.

Eine vollkommene Zahl hat ihre eigenen Teiler, die gleich sind. Zum Beispiel sind die richtigen Teiler der Zahl 6: 1, 2 und 3. 1 + 2 + 3 = 6. Die Teiler der Zahl 28 sind 1, 2, 4, 7 und 14. Außerdem 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Zahlen werden freundlich genannt, wenn die Summe der echten Teiler einer Zahl gleich einer anderen ist und umgekehrt - zum Beispiel 220 und 284. Wir können sagen, dass eine perfekte Zahl freundlich zu sich selbst ist.

Zum Zeitpunkt des Erscheinens des Werks von Euklids "Anfängen" im Jahr 300 v. Einige wichtige Tatsachen über Primzahlen wurden bereits bewiesen. In Buch IX der Elemente bewies Euklid, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dies ist übrigens eines der ersten Beispiele für die Anwendung des Widerspruchsbeweises. Er beweist auch den Grundsatz der Arithmetik – jede ganze Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Er zeigte auch, dass, wenn die Zahl 2 n -1 eine Primzahl ist, die Zahl 2 n-1 * (2 n -1) perfekt sein wird. Ein anderer Mathematiker, Euler, konnte 1747 zeigen, dass alle geraden vollkommenen Zahlen in dieser Form geschrieben werden können. Bis heute ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt.

Im Jahr 200 v. Der Grieche Eratosthenes entwickelte einen Algorithmus zum Auffinden von Primzahlen, der als Sieb des Eratosthenes bezeichnet wird.

Und dann gab es einen großen Bruch in der Geschichte des Studiums der Primzahlen im Zusammenhang mit dem Mittelalter.

Die folgenden Entdeckungen wurden bereits zu Beginn des 17. Jahrhunderts von dem Mathematiker Fermat gemacht. Er bewies die Vermutung von Albert Girard, dass jede Primzahl der Form 4n+1 eindeutig als Summe von zwei Quadraten geschrieben werden kann, und formulierte auch einen Satz, dass jede Zahl als Summe von vier Quadraten dargestellt werden kann.

Er entwickelte eine neue Faktorisierungsmethode für große Zahlen und demonstrierte sie an der Zahl 2027651281 = 44021 × 46061. Er bewies auch den kleinen Satz von Fermat: Wenn p eine Primzahl ist, dann gilt für jede ganze Zahl a, dass a p = a modulo p gilt .

Diese Aussage beweist die Hälfte dessen, was als „chinesische Hypothese“ bekannt ist und 2000 Jahre früher stammt: Eine ganze Zahl n ist genau dann eine Primzahl, wenn 2n-2 durch n teilbar ist. Der zweite Teil der Hypothese stellte sich als falsch heraus - zum Beispiel ist 2341 - 2 durch 341 teilbar, obwohl die Zahl 341 zusammengesetzt ist: 341 = 31 × 11.

Der kleine Satz von Fermat war die Grundlage für viele andere Ergebnisse in der Zahlentheorie und Methoden zum Testen, ob Zahlen Primzahlen sind, von denen viele noch heute verwendet werden.

Fermat korrespondierte intensiv mit seinen Zeitgenossen, insbesondere mit einem Mönch namens Marin Mersenne. In einem seiner Briefe vermutete er, dass Zahlen der Form 2 n + 1 immer Primzahlen sind, wenn n eine Zweierpotenz ist. Er testete dies für n = 1, 2, 4, 8 und 16 und war sich sicher, dass, wenn n keine Zweierpotenz ist, die Zahl nicht unbedingt eine Primzahl sein muss. Diese Zahlen werden Fermat-Zahlen genannt, und erst 100 Jahre später zeigte Euler, dass die nächste Zahl, 232 + 1 = 4294967297, durch 641 teilbar und daher keine Primzahl ist.

Auch Zahlen der Form 2 n - 1 waren Gegenstand der Forschung, da man leicht zeigen kann, dass wenn n zusammengesetzt ist, auch die Zahl selbst zusammengesetzt ist. Diese Zahlen werden Mersenne-Zahlen genannt, weil er sie aktiv studiert hat.

Aber nicht alle Zahlen der Form 2 n - 1, wobei n eine Primzahl ist, sind Primzahlen. Zum Beispiel 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dies wurde erstmals 1536 entdeckt.

Zahlen dieser Art lieferten den Mathematikern viele Jahre lang die größten bekannten Primzahlen. Dass die Zahl M 19 1588 von Cataldi bewiesen wurde und 200 Jahre lang die größte bekannte Primzahl war, bis Euler bewies, dass M 31 auch eine Primzahl ist. Dieser Rekord hielt weitere hundert Jahre, und dann zeigte Lucas, dass M 127 eine Primzahl ist (und das ist bereits eine 39-stellige Zahl), und danach wurde die Forschung mit dem Aufkommen von Computern fortgesetzt.

1952 wurde die Primzahl der Zahlen M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 und M 2281 nachgewiesen.

Bis 2005 wurden 42 Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte von ihnen, M 25964951 , besteht aus 7816230 Ziffern.

Eulers Arbeit hatte einen großen Einfluss auf die Zahlentheorie, einschließlich der Primzahlen. Er erweiterte den kleinen Satz von Fermat und führte die φ-Funktion ein. Zerlegte die 5. Fermat-Zahl 2 32 +1, fand 60 Paare freundlicher Zahlen und formulierte (aber nicht beweisen) das quadratische Gesetz der Reziprozität.

Er führte als erster die Methoden der mathematischen Analyse ein und entwickelte die analytische Zahlentheorie. Er bewies, dass nicht nur die harmonische Reihe ∑ (1/n), sondern auch eine Reihe der Form

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Erhalten durch die Summe von Größen, die zu Primzahlen invers sind, divergiert ebenfalls. Die Summe der n Terme der harmonischen Reihe wächst ungefähr wie log(n), während die zweite Reihe langsamer divergiert, wie log[ log(n) ]. Das bedeutet, dass zum Beispiel die Summe der Kehrwerte aller bisher gefundenen Primzahlen nur 4 ergibt, obwohl die Reihe immer noch divergiert.

Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob Primzahlen eher zufällig auf ganze Zahlen verteilt sind. Zum Beispiel gibt es unter den 100 Zahlen unmittelbar vor 10000000 9 Primzahlen und unter den 100 Zahlen unmittelbar nach diesem Wert nur 2. Aber auf großen Segmenten sind Primzahlen ziemlich gleichmäßig verteilt. Legendre und Gauss befassten sich mit ihrer Verbreitung. Gauß hat einmal einem Freund erzählt, dass er in seinen freien 15 Minuten immer die Anzahl der Primzahlen in den nächsten 1000 Zahlen zählt. Am Ende seines Lebens hatte er alle Primzahlen bis 3 Millionen gezählt. Legendre und Gauß berechneten gleichermaßen, dass für große n die Dichte der Primzahlen 1/log(n) ist. Legendre schätzte die Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und n als

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Und Gauß - als logarithmisches Integral

π(n) = / 1/log(t) dt

Mit einem Integrationsintervall von 2 bis n.

Die Aussage über die Dichte der Primzahlen 1/log(n) ist als Primzahlsatz bekannt. Sie versuchten das ganze 19. Jahrhundert hindurch, dies zu beweisen, und Chebyshev und Riemann machten Fortschritte. Sie verbanden sie mit der Riemann-Hypothese, einer bisher unbewiesenen Vermutung über die Verteilung der Nullstellen der Riemann-Zeta-Funktion. Die Dichte der Primzahlen wurde 1896 gleichzeitig von Hadamard und de la Vallée-Poussin bewiesen.

In der Theorie der Primzahlen gibt es noch viele ungelöste Fragen, von denen einige viele hundert Jahre alt sind:

Primzahlzwillingshypothese - über eine unendliche Anzahl von Paaren von Primzahlen, die sich um 2 voneinander unterscheiden
Goldbachs Vermutung: Jede gerade Zahl ab 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n 2 + 1 ?
ist es immer möglich, eine Primzahl zwischen n 2 und (n + 1) 2 zu finden? (dass es zwischen n und 2n immer eine Primzahl gibt, wurde von Chebyshev bewiesen)
Gibt es unendlich viele Fermat-Primzahlen? Gibt es Fermat-Primzahlen nach dem 4.?
Gibt es eine arithmetische Folge aufeinanderfolgender Primzahlen für eine bestimmte Länge? zum Beispiel für Länge 4: 251, 257, 263, 269. Die maximal gefundene Länge ist 26 .
Gibt es in einer arithmetischen Folge unendlich viele Mengen von drei aufeinanderfolgenden Primzahlen?
n 2 - n + 41 ist eine Primzahl für 0 ≤ n ≤ 40. Gibt es unendlich viele solcher Primzahlen? Die gleiche Frage für die Formel n 2 - 79 n + 1601. Diese Zahlen sind Primzahlen für 0 ≤ n ≤ 79.
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# + 1? (n# ist das Ergebnis der Multiplikation aller Primzahlen kleiner als n)
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# -1 ?
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n! +1?
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n! - ein?
wenn p eine Primzahl ist, gehört 2 p -1 immer nicht zu den Faktoren von quadrierten Primzahlen?
Enthält die Fibonacci-Folge unendlich viele Primzahlen?

Die größten Primzahlzwillinge sind 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sie bestehen aus 58711 Ziffern und wurden 2007 gefunden.

Die größte Fakultätsprimzahl (von der Form n! ± 1) ist 147855! - 1. Es besteht aus 142891 Ziffern und wurde 2002 gefunden.

Die größte Primzahl (eine Zahl der Form n# ± 1) ist 1098133# + 1.

Übersetzung

Und dann gab es einen großen Bruch in der Geschichte des Studiums der Primzahlen im Zusammenhang mit dem Mittelalter.

Der kleine Satz von Fermat war die Grundlage für viele andere Ergebnisse in der Zahlentheorie und Methoden zum Testen, ob Zahlen Primzahlen sind, von denen viele noch heute verwendet werden.

Aber nicht alle Zahlen der Form 2 n - 1, wobei n eine Primzahl ist, sind Primzahlen. Zum Beispiel 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dies wurde erstmals 1536 entdeckt.

1952 wurde die Primzahl der Zahlen M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 und M 2281 nachgewiesen.

Bis 2005 wurden 42 Mersenne-Primzahlen gefunden. Die größte von ihnen, M 25964951 , besteht aus 7816230 Ziffern.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Und Gauß - als logarithmisches Integral

π(n) = / 1/log(t) dt

Mit einem Integrationsintervall von 2 bis n.

In der Theorie der Primzahlen gibt es noch viele ungelöste Fragen, von denen einige viele hundert Jahre alt sind:

Primzahlzwillingshypothese - über eine unendliche Anzahl von Paaren von Primzahlen, die sich um 2 voneinander unterscheiden
Goldbachs Vermutung: Jede gerade Zahl ab 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n 2 + 1 ?
ist es immer möglich, eine Primzahl zwischen n 2 und (n + 1) 2 zu finden? (dass es zwischen n und 2n immer eine Primzahl gibt, wurde von Chebyshev bewiesen)
Gibt es unendlich viele Fermat-Primzahlen? Gibt es Fermat-Primzahlen nach dem 4.?
Gibt es eine arithmetische Folge aufeinanderfolgender Primzahlen für eine bestimmte Länge? zum Beispiel für Länge 4: 251, 257, 263, 269. Die maximal gefundene Länge ist 26 .
Gibt es in einer arithmetischen Folge unendlich viele Mengen von drei aufeinanderfolgenden Primzahlen?
n 2 - n + 41 ist eine Primzahl für 0 ≤ n ≤ 40. Gibt es unendlich viele solcher Primzahlen? Die gleiche Frage für die Formel n 2 - 79 n + 1601. Diese Zahlen sind Primzahlen für 0 ≤ n ≤ 79.
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# + 1? (n# ist das Ergebnis der Multiplikation aller Primzahlen kleiner als n)
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n# -1 ?
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n! +1?
Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n! - ein?
wenn p eine Primzahl ist, gehört 2 p -1 immer nicht zu den Faktoren von quadrierten Primzahlen?
Enthält die Fibonacci-Folge unendlich viele Primzahlen?

Die größten Primzahlzwillinge sind 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sie bestehen aus 58711 Ziffern und wurden 2007 gefunden.

Die größte Fakultätsprimzahl (von der Form n! ± 1) ist 147855! - 1. Es besteht aus 142891 Ziffern und wurde 2002 gefunden.

Die größte Primzahl (eine Zahl der Form n# ± 1) ist 1098133# + 1.

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Alle natürlichen Zahlen, bis auf eine, werden in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen unterteilt. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur zwei Teiler hat: einen und sich selbst.. Alle anderen werden zusammengesetzt genannt. Das Studium der Eigenschaften von Primzahlen befasst sich mit einem speziellen Teilgebiet der Mathematik – der Zahlentheorie. In der Ringtheorie beziehen sich Primzahlen auf irreduzible Elemente.

Hier ist eine Folge von Primzahlen, beginnend mit 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... usw.

Nach dem Hauptsatz der Arithmetik ist jede natürliche Zahl größer als eins als Produkt von Primzahlen darstellbar. Dies ist jedoch die einzige Möglichkeit, natürliche Zahlen bis zur Ordnung der Faktoren darzustellen. Auf dieser Grundlage können wir sagen, dass Primzahlen die elementaren Bestandteile natürlicher Zahlen sind.

Eine solche Darstellung einer natürlichen Zahl nennt man die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primzahlen oder die Faktorisierung einer Zahl.

Eine der ältesten und effektivsten Methoden zur Berechnung von Primzahlen ist das „Sieb des Erastothenes“.

Die Praxis hat gezeigt, dass nach der Berechnung von Primzahlen mit dem Erastofen-Sieb überprüft werden muss, ob die angegebene Zahl eine Primzahl ist. Dafür wurden spezielle Tests, die sogenannten Einfachheitstests, entwickelt. Der Algorithmus dieser Tests ist probabilistisch. Am häufigsten werden sie in der Kryptographie verwendet.

Übrigens gibt es für einige Zahlenklassen spezialisierte effektive Primzahltests. Um beispielsweise Mersenne-Zahlen auf Einfachheit zu testen, wird der Lucas-Lehmer-Test verwendet, und um die Einfachheit von Fermat-Zahlen zu testen, wird der Pepin-Test verwendet.

Wir alle wissen, dass es unendlich viele Zahlen gibt. Es stellt sich zu Recht die Frage: Wie viele Primzahlen gibt es denn? Es gibt auch unendlich viele Primzahlen. Der älteste Beweis dieses Urteils ist der Beweis von Euklid, der in den Elementen aufgeführt ist. Euklids Beweis lautet wie folgt:

Stellen Sie sich vor, die Anzahl der Primzahlen ist endlich. Lassen Sie uns sie multiplizieren und eins addieren. Die resultierende Zahl kann nicht durch eine der endlichen Mengen von Primzahlen geteilt werden, weil der Rest der Division durch eine von ihnen 1 ergibt. Daher muss die Zahl durch eine Primzahl teilbar sein, die nicht in dieser Menge enthalten ist.

Der Primzahlverteilungssatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen kleiner als n, bezeichnet als π(n), mit n / ln(n) wächst.

Durch Tausende von Jahren des Studiums von Primzahlen wurde festgestellt, dass die größte bekannte Primzahl 243112609 − 1 ist. Diese Zahl hat 12.978.189 Dezimalstellen und ist eine Mersenne-Primzahl (M43112609). Diese Entdeckung wurde am 23. August 2008 an der mathematischen Fakultät der uCLA-Universität im Rahmen der verteilten GIMPS-Suche nach Mersenne-Primzahlen gemacht.

Das Hauptunterscheidungsmerkmal von Mersenne-Zahlen ist das Vorhandensein eines hocheffizienten Luc-Lehmer-Primzahltests. Damit sind Mersenne-Primzahlen über einen langen Zeitraum die größten bekannten Primzahlen.

Viele Fragen zu Primzahlen sind jedoch bis heute nicht exakt beantwortet worden. Auf dem 5. Internationalen Mathematikerkongress formulierte Edmund Landau die Hauptprobleme auf dem Gebiet der Primzahlen:

Das Goldbach-Problem oder Landaus erstes Problem besteht darin, zu beweisen oder zu widerlegen, dass jede gerade Zahl größer als zwei als Summe zweier Primzahlen und jede ungerade Zahl größer als fünf als Summe dreier Primzahlen dargestellt werden kann.
Landaus zweites Problem erfordert, eine Antwort auf die Frage zu finden: Gibt es eine unendliche Menge von "einfachen Zwillingen" - Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist?
Legendres Vermutung oder Landaus drittes Problem lautet: Stimmt es, dass zwischen n2 und (n + 1)2 immer eine Primzahl liegt?
Landaus viertes Problem: Ist die Menge der Primzahlen der Form n2 + 1 unendlich?
Zusätzlich zu den oben genannten Problemen besteht das Problem, in vielen ganzzahligen Folgen wie der Fibonacci-Zahl, der Fermat-Zahl usw. unendlich viele Primzahlen zu bestimmen.

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Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen - Definitionen und Beispiele

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